函数零点的定义理解

函数零点的定义理解

函数的零点是函数图象的一个重要的特征，同时也沟通了函数、方程、不等式以及算法等内容，在分析解题思路、探求解题方法中起着重要的作用，因此要重视对函数零点的学习．下面就函数的零点判定中的几个误区进行剖析，希望对大家有所帮助．

1． 因＂望文生义＂而致误

例１．函数23)(2+-=x x x f 的零点是 （ ）

Ａ．()0,1 Ｂ．()0,2 Ｃ．()0,1，()0,2 Ｄ．１，２

错解：Ｃ

错解剖析：错误的原因是没有理解零点的概念，＂望文生义＂，认为零点就是一个点．而函数的零点是一个实数，即使()0=x f 成立的实数x ，也是函数()x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．

正解：由()0232=+-=x x x f 得，x ＝１和２，所以选Ｄ．

点拨：求函数的零点有两个方法，⑴代数法：求方程()0=x f 的实数根，⑵几何法：由公式不能直接求得，可以将它与函数的图象联系起来，函数的图象与x 轴交点的横坐标． 即使所求．

2． 因函数的图象不连续而致误

例２．函数()x

x x f 1+=的零点个数为 （ ） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３

错解：因为2)1(-=-f ，()21=f ，所以()()011<-f f ，函数()x f y =有一个零点，选Ｂ．

错解剖析：分析函数的有关问题首先考虑定义域，其次考虑函数()x x x f 1+

=的图象是不是连续的，这里的函数图像是不连续的，所以不能用零点判定定理．

正解：函数的定义域为()()+∞⋃∞-,00,，当0>x 时，()0>x f ，当0

x 得012=+x 方程无实数解． 点拨：对函数零点个数的判定，可以利用零点存在性定理来判定，涉及多个零点的往往借助于函数的单调性．若函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即()()0

有零点也不一定有()()0

下图所示：

3． 因函数值同号而致误 例３．判定函数()32-=x x f 在区间[]1,1-内是否有零点．

错解：因为()()111-==-f f ，所以()()011>-f f ，函数()32-=x x f 在区间[]

1,1-内没有零点．

错解剖析：上述做法错误地用了函数零点判定定理，因为函数()x f 在区间[]b a ,上的函

数图像是连续曲线，且()()0>b f a f ，也可能在[]b a ,内有零点．如函数()1

2-=x x g 在区间[]1,1-上有()()011>-g g ，但在[]1,1-内有零点2

1±=x ． 正解：当∈x []1,1-时，()132-≤-=x x f ，函数()x f y =在[]1,1-上的图象与x 轴

没有交点，即函数()32-=x x f 在区间[]1,1-内没有零点．

法二：由032=-x 得∉±=2

3x []1,1-，故函数()32-=x x f 在区间[]1,1-内没有零点．

点拨：对有些函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变

号．如函数2)1(-=x y 有零点１，（如上图）但函数值没变号．对函数零点的判定一定

要抓住两点：①函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续曲线，②在区间端点的函数

值符号相反，即()()0

4． 因忽略区间端点而致误

例４．已知二次函数()m x m x x f 2)1(2+--=在[]1,0上有且只有一个零点，求实数m

的取值范围．

错解：由函数的零点的性质得()()010

所以实数m 的取值范围为()0,2-．

错解剖析：错解的原因是只注意到函数零点的应用，而忽略问题的其它形式：①在[]

1,0上有二重根；②终点的函数值可能为０．

正解：⑴当方程02)1(2=+--m x m x 在[]1,0上有两个相等实根时， ()0812=--=∆m m 且12

10<-

① 有且只有一根在[]1,0上时，有()()010

2<<-m ②当()00=f 时，m ＝０，()02=+=x x x f ，解得1,021-==x x ，合题意．

③当()01=f 时，2-=m ，方程可化为0432=-+x x ，解得4,121-==x x 合题意．

综上所述，实数m 的取值范围为[]0,2-．

点拨：在求参数时，要注意将函数零点的特殊性质与函数的有关性质相结合，进行分类

讨论使复杂的问题简单化．