高中数学函数的零点教学设计

第4讲与函数的零点相关的问题函数零点的个数问题1.函数f(x)=xcos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为( D )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:要使f(x)=xcos 2x=0,则x=0,或cos 2x=0,而在区间[0,2π]上,通过观察y=cos 2x 的函数图象,易得满足cos 2x=0的x的值有,,,,所以零点的个数为5个.2.(2015南昌二模)已知函数f(x)=函数g(x)是周期为2的偶函数,且当x∈[0,1]时,g(x)=2x-1,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数是( B )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解析:函数y=f(x)-g(x)的零点个数就是函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点个数.在同一坐标系中画出这两个函数的图象:由图可得这两个函数的交点为A,O,B,C,D,E,共6个点.所以原函数共有6个零点.故选B.3.(2015南昌市一模)已知函数f(x)=若关于x的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数解,则实数a的取值范围为.解析:依题意,得a≠0,令f(x)=0,得lg x=0,即x=1,由f[f(x)]=0,得f(x)=1,当x>0时,函数y=lg x的图象与直线y=1有且只有一个交点,则当x≤0时,函数y=的图象与直线y=1没有交点,若a>0,结论成立;若a<0,则函数y=的图象与y轴交点的纵坐标-a<1,得-1<a<0,则实数a的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞).答案:(-1,0)∪(0,+∞)4.(2015北京卷)设函数f(x)=①若a=1,则f(x)的最小值为;②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.解析:①当a=1时,f(x)=其大致图象如图所示:由图可知f(x)的最小值为-1.②当a≤0时,显然函数f(x)无零点;当0<a<1时,易知f(x)在(-∞,1)上有一个零点,要使f(x)恰有2个零点,则当x≥1时,f(x)有且只有一个零点,结合图象可知,2a≥1,即a≥,则≤a<1;当a≥1时,2a>1,由二次函数的性质可知,当x≥1时,f(x)有2个零点,则要使f(x)恰有2个零点,则需要f(x)在(-∞,1)上无零点,则2-a≤0,即a≥2.综上可知,满足条件的a的取值范围是[,1)∪[2,+∞).答案:①-1 ②[,1)∪[2,+∞)确定函数零点所在的区间5.(2015四川成都市一诊)方程ln(x+1)-=0(x>0)的根存在的大致区间是( B )(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,e) (D)(3,4)解析:设f(x)=ln(x+1)-,则f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln 3-1>0,得f(1)f(2)<0,函数f(x)在区间(1,2)有零点,故选B.6.(2015河南郑州市一模)设函数f(x)=e x+2x-4,g(x)=ln x+2x2-5,若实数a,b分别是f(x),g(x)的零点,则( A )(A)g(a)<0<f(b) (B)0<g(a)<f(b)(C)f(b)<0<g(a) (D)f(b)<g(a)<0解析:考查函数y=e x与y=4-2x的图象,得其交点的横坐标a应满足0<a<1;考查函数y=ln x 与y=5-2x2的图象,得其交点的横坐标b应满足1<b<2,f(b)>e+2-4>0,可排除C,D;0<a<1,g(a)<ln 1+2-5<0,故选A.利用导数解决与函数有关的方程根(函数零点)问题7.(2015河南省六市3月第一次联合调研)设函数f(x)=xln x,g(x)=(-x2+ax-3)e x(a为实数).(1)当a=5时,求函数y=g(x)在x=1处的切线方程;(2)求f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值;(3)若存在两不等实根x1,x2∈[,e],使方程g(x)=2e x f(x)成立,求实数a的取值范围.解:(1)当a=5时g(x)=(-x2+5x-3)·e x,g(1)=e.g′(x)=(-x2+3x+2)·e x,故切线的斜率为g′(1)=4e.所以切线方程为y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e.(2)f′(x)=ln x+1,(0,①当t≥时,在区间(t,t+2)上f(x)为增函数,所以f(x)min=f(t)=tln t,②当0<t<时,在区间(t, )上f(x)为减函数,在区间(,t+2)上f(x)为增函数,所以f(x)min=f()=-.(3)由g(x)=2e x f(x),可得2xln x=-x2+ax-3,a=x+2ln x+,令h(x)=x+2ln x+,h′(x)=1+-=.,1)h()=+3e-2,h(1)=4,h(e)=+e+2.h(e)-h()=4-2e+<0.所以实数a的取值范围为(4,e+2+].8.(2015湖北八市联考)已知函数f(x)=ln(x+a)-x2-x在x=0处取得极值.(1)求实数a的值;(2)若关于x的方程f(x)=-x+b在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围.解:(1)f′(x)=-2x-1,因为x=0时,f(x)取得极值,所以f′(0)=0,故-2×0-1=0,解得a=1,经检验当a=1时,f(x)在x=0处取得极大值符合题意,所以a=1.(2)由a=1知f(x)=ln(x+1)-x2-x,由f(x)=-x+b,得ln(x+1)-x2+x-b=0,令φ(x)=ln(x+1)-x2+x-b,则f(x)=-x+b在[0,2]上恰有两个不同的实数根等价于φ(x)=0在[0,2]上恰有两个不同的实数根.φ′(x)=-2x+=,当x∈(0,1)时,φ′(x)>0,于是φ(x)在(0,1)上单调递增;当x∈(1,2)时,φ′(x)<0,于是φ(x)在(1,2)上单调递减;依题意有解得ln 3-1≤b<ln 2+,所以实数b的取值范围是[ln 3-1,ln 2+).一、选择题1.(2015太原一模)已知实数a,b满足2a=3,3b=2,则函数f(x)=a x+x-b的零点所在的区间是( B )(A)(-2,-1) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(1,2)解析:因为实数a,b满足2a=3,3b=2,所以a=log23>1,0<b=log32<1,因为函数f(x)=a x+x-b,所以f(x)=(log23)x+x-log32单调递增,因为f(0)=1-log32>0f(-1)=log32-1-log32=-1<0,所以根据函数的零点存在性定理得出函数f(x)=a x+x-b的零点所在的区间是(-1,0),故选B.2.(2015凉山州模拟)设函数f(x)=|ln x|-的两个零点为x1,x2,则有( A )(A)x1x2<1 (B)x1x2=1(C)1<x1x2<(D)x1x2≥解析:由f(x)=|ln x|-=0,得|ln x|=,作函数y=|ln x|与y=的图象如图.不妨设x1<x2,由图可知,x1<1<x2,则ln x1<0,且|ln x1|>|ln x2|,所以-ln x1>ln x2,则ln x1+ln x2<0,即ln (x1x2)<0,所以x1x2<1.故选A.3.(2015蚌埠二模)函数f(x)=有且只有一个零点时,a的取值范围是( D )(A)(-∞,0] (B)(0, )(C)(,1) (D)(-∞,0]∪(1,+∞)解析:因为f(1)=ln 1=0,所以当x≤0时,函数f(x)没有零点,故-2x+a>0或-2x+a<0在(-∞,0]上恒成立,即a>2x,或a<2x在(-∞,0]上恒成立,故a>1或a≤0.故选D.4.(2014重庆卷)已知函数f(x)=且g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是( A )(A) (-,-2]∪(0, ] (B) (-,-2]∪(0, ](C) (-,-2]∪(0, ] (D) (-,-2]∪(0, ]解析:g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点就是函数y=f(x)的图象与函数y=m(x+1)的图象有两个交点,在同一直角坐标系内作出函数f(x)=和函数y=m(x+1)的图象,如图,当直线y=m(x+1)与y=-3,x∈(-1,0]和y=x,x∈(0,1]都相交时,0<m≤;当直线y=m(x+1)与y=-3,x∈(-1,0]有两个交点时,由方程组消元得-3=m(x+1),即m(x+1)2+3(x+1)-1=0,化简得mx2+(2m+3)x+m+2=0,当Δ=9+4m=0,即m=-时,直线y=m(x+1)与y=-3相切,当直线y=m(x+1)过点(0,-2)时,m=-2,所以m∈(-,-2].综上,实数m的取值范围是(-,-2]∪(0, ],故选A.5.(2014湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为( D )(A){1,3} (B){-3,-1,1,3}(C){2-,1,3} (D){-2-,1,3}解析:当x≥0时,函数g(x)的零点即方程f(x)=x-3的根,由x2-3x=x-3,解得x=1或3;当x<0时,由f(x)是奇函数得-f(x)=f(-x)=x2-3(-x),即f(x)=-x2-3x.由f(x)=x-3得x=-2-(正根舍去).故选D.6.已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点,若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( B )(A)f(x1)<0,f(x2)<0 (B)f(x1)<0,f(x2)>0(C)f(x1)>0,f(x2)<0 (D)f(x1)>0,f(x2)>0解析:函数y=2x,y=在(1,+∞)都为单调增函数,所以f(x)=2x+在(1,+∞)上为单调增函数.因为f(x0)=0,所以x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞)时,f(x1)<f(x0)=0,f(x2)>f(x0)=0,从而答案B正确.7.(2015山东模拟)已知函数f(x)=则下列关于函数y=f[f(kx)+1]+1(k≠0)的零点个数的判断正确的是( C )(A)当k>0时,有3个零点;当k<0时,有4个零点(B)当k>0时,有4个零点;当k<0时,有3个零点(C)无论k为何值,均有3个零点(D)无论k为何值,均有4个零点解析:令f[f(kx)+1]+1=0得,或解得f(kx)+1=0或f(kx)+1=;由f(kx)+1=0得,或即x=0或kx=;由f(kx)+1=得,或即e kx=1+(无解)或kx=;综上所述,x=0或kx=或kx=;故无论k为何值,均有3个解.故选C.8.(2015怀化二模)定义域为R的函数f(x)=若关于x的函数h(x)=f2(x)+af(x)+有5个不同的零点x1,x2,x3,x4,x5,则++++等于( C )(A)15 (B)20 (C)30 (D)35解析:作函数f(x)=的图象如图,则由函数h(x)=f2(x)+af(x)+有5个不同的零点知,1+a+=0,解得a=-,则解f2(x)-f(x)+=0得,f(x)=1或f(x)=;故若f(x)=1,则x=2或x=3或x=1;若f(x)=,则x=0或x=4;故++++=1+4+9+16=30.故选C.9.(2015郑州二模)已知函数f(x)=函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是( A )(A)[-1,3) (B)[-3,-1](C)[-3,3) (D)[-1,1)解析:因为f(x)=所以g(x)=f(x)-2x=而方程-x+3=0的解为3,方程x2+4x+3=0的解为-1,-3;若函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则解得,-1≤a<3.实数a的取值范围是[-1,3).故选A.10.(2015呼和浩特一模)若函数f(x)=ln x+kx-1有两个零点,则实数k的取值范围是( A )(A) (-,0) (B) (-∞,- )(C) (-,+∞) (D) (-e2,- )解析:作函数y=ln x-1与y=-kx的图象如图,当直线与y=ln x-1相切时,设切点(x,ln x-1),y′=,=,解得,x=e2,故0<-k<,故-<k<0.故选A.11.(2013安徽卷)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是( A )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:先求函数的导函数,由极值点的性质及题意,得出f(x)=x1或f(x)=x2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.因为f′(x)=3x2+2ax+b,函数f(x)的两个极值点为x1,x2,所以f′(x1)=0,f′(x2)=0,所以x1,x2是方程3x2+2ax+b=0的两根.所以解关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0得f(x)=x1或f(x)=x2.不妨设x1<x2, 由题意知函数f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.又f(x1)=x1<x2,如图,数形结合可知f(x)=x1有两个不同实根,f(x)=x2有一个实根,所以不同实根的个数为3.故选A.二、填空题12.(2015兰州二模)设函数f(x)=函数y=f[f(x)]-1的零点个数为.解析:因为函数f(x)=当x≤0时,y=f[f(x)]-1=f(2x)-1=log22x-1=x-1,令y=f[f(x)]-1=0,x=1(舍去).当0<x≤1时,y=f[f(x)]-1=f(log2x)-1=-1=x-1,令y=f[f(x)]-1=0,x=1.当x>1时,y=f[f(x)]-1=f(log2x)-1=log2(log2x)-1,令y=f[f(x)]-1=0,log2(log2x)=1,则log2x=2,x=4,故函数y=f[f(x)]-1的零点个数为2个.答案:213.(2015潍坊模拟)已知f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,f′(x)是f(x)的导函数,若对∀x∈(0,+∞),都有f[f(x)-2x]=3,则方程f′(x)-=0的解所在的区间是.(区间长度不大于1)解析:由题意,可知f(x)-2x是定值,令t=f(x)-2x,则f(x)=2x+t,又f(t)=2t+t=3,解得t=1,所以有f(x)=2x+1,所以f′(x)=2x·ln 2,令F(x)=f′(x)-=2x·ln 2-,可得F(1)=21·ln 2-4<0,F(2)=22·ln 2-2>0,即F(x)=2x·ln 2-零点在区间(1,2)内,所以f′(x)-=0的解所在的区间是(1,2).答案:(1,2)14.(2011山东卷)已知函数f(x)=1og a x+x-b(a>0,且a≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N*,则n= .解析:对函数f(x),因为2<a<3<b<4,所以f(2)=log a2+2-b<1+2-b=3-b<0,f(3)=log a3+3-b>1+3-b=4-b>0.即f(2)f(3)<0,易知f(x)在(0,+∞)单调递增,所以f(x)存在唯一的零点x0,且x0∈(2,3),所以n=2.答案:2利用导数研究方程根的问题训练提示: 利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程解的个数问题的一般思路(1)将问题转化为函数的零点问题,进而转化为函数的图象与x轴(或直线y=k)在该区间上的交点问题.(2)利用导数研究出该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质,进而画出其图象.(3)结合图象求解.1.(2015贵州七校联盟第一次联考)已知函数f(x)=(ax2+x)e x,其中e是自然对数的底数,a ∈R.(1)当a>0时,解不等式f(x)≤0;(2)当a=0时,求整数t的所有值,使方程f(x)=x+2在[t,t+1]上有解.解:(1)因为e x>0,所以不等式f(x)≤0,即为ax2+x≤0,又因为a>0,所以不等式可化为x(x+)≤0,所以不等式f(x)≤0的解集为[-,0].(2)当a=0时,方程即为xe x=x+2,由于e x>0,所以x=0不是方程的解,所以原方程等价于e x--1=0,令h(x)=e x--1,因为h′(x)=e x+>0对于x≠0恒成立,所以h(x)在(-∞,0)和(0,+∞)内是单调增函数,又h(1)=e-3<0,h(2)=e2-2>0,h(-3)=e-3-<0,h(-2)=>0,所以方程f(x)=x+2有且只有两个实数根,且分别在区间[1,2]和[-3,-2]上,所以整数t的所有值为{-3,1}.2.(2015广东江门市3月模拟)设函数f(x)=e x(ln x-a),e是自然对数的底数,a∈R为常数.(1)若y=f(x)在x=1处的切线l的斜率为2e,求a的值;(2)在(1)的条件下,证明切线l与曲线y=f(x)在区间(0, )至少有1个公共点.解:(1)f′(x)=e x(ln x-a+),依题意,k=f′(1)=e(ln 1-a+1)=2e,解得a=-1,(2)由(1)f(1)=e,直线l的方程为y-e=2e(x-1),即y=2ex-e,令g(x)=f(x)-(2ex-e)=e x(ln x+1)-2ex+e,则g()=(1-ln 2)>0,g(e-4)=-3e e-4-2e-3+e<-3+e<0(用其他适当的数替代e-4亦可)因为y=g(x)在(e-4, )上是连续不断的曲线,g(e-4)g()<0,y=g(x)在(e-4, )内有零点,而(e-4, )⊂ (0, ),从而切线l与曲线y=f(x)在区间(0, )至少有1个公共点.3.(2015菏泽市一模)设函数f(x)=ln x-ax2-bx.(1)当a=b=时,求函数f(x)的单调区间;(2)令F(x)=f(x)+ax2+bx+(0<x≤3),其图象上任意一点P(x0,y0)处切线的斜率k≤恒成立,求实数a的取值范围;(3)当a=0,b=-1时,方程f(x)=mx在区间[1,e2]内有唯一实数解,求实数m的取值范围.解:(1)依题意,知f(x)的定义域为(0,+∞),当a=b=时,f(x)=ln x-x2-x,f′(x)=-x-=.令f′(x)=0,解得x=1或x=-2(舍去),当0<x<1时,f′(x)>0;当x>1时,f′(x)<0,所以f(x)的单调增区间为(0,1),减区间为(1,+∞);(2)由题意知F(x)=ln x+,x∈(0,3],则有k=F′(x0)=≤在(0,3]上恒成立,所以a≥(-+x0)max,当x0=1时,-+x0取得最大值,所以a∈[,+∞);(3)当a=0,b=-1时,f(x)=ln x+x,由f(x)=mx,得ln x+x=mx,又x>0,所以m=1+,要使方程f(x)=mx在区间[1,e2]上有唯一实数解,只需m=1+有唯一实数解,令g(x)=1+(x>0),所以g′(x)=,由g′(x)>0得0<x<e;g′(x)<0,得x>e,所以g(x)在区间[1,e]上是增函数,在区间[e,e2]上是减函数. g(1)=1,g(e2)=1+,g(e)=1+,故1≤m<1+.4.(2015威海5月模拟)已知函数f(x)=+ax,x>1.(1)若f(x)在(1,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围;(2)若a=2,求函数f(x)的极小值;(3)若方程(2x-m)ln x+x=0在(1,e]上有两个不等实根,求实数m的取值范围. 解:(1)f′(x)=+a,由题意可得f′(x)≤0在x∈(1,+∞)上恒成立;所以a≤-=(-)2-,因为x∈(1,+∞),所以ln x∈(0,+∞),所以-=0时函数t=(-)2-的最小值为-,所以a≤-.(2)当a=2时,f(x)=+2x,f′(x)=,令f′(x)=0得2ln2x+ln x-1=0,解得ln x=或ln x=-1(舍去),即x=.当1<x<时,f′(x)<0,当x>时,f′(x)>0,所以f(x)的极小值为f()=+2=4.(3)将方程(2x-m)ln x+x=0两边同除ln x得(2x-m)+=0,整理得+2x=m,即函数f(x)与函数y=m在(1,e]上有两个不同的交点.由(2)可知,f(x)在(1,)上单调递减,在(,e]上单调递增f()=4,f(e)=3e,当x→1时,→+∞,所以4<m≤3e.实数m的取值范围为(4,3e].类型:利用导数研究方程根的问题1.已知函数f(x)=x3-x-.(1)判断的单调性;(2)求函数y=f(x)的零点的个数;解:(1)设φ(x)=x2-1-,其中x>0,φ′(x)=2x+>0,所以φ(x)在(0,+∞)单调递增,即在(0,+∞)单调递增.(2)因为φ(1)=-1<0,φ(2)=3->0,又φ(x)在(0,+∞)单调递增,故φ(x)在(1,2)内有唯一零点.又f(x)=x3-x-=x·φ(x),显然x=0为f(x)一个零点,因此y=f(x)在[0,+∞)有且仅有2个零点.2.设a∈R,函数f(x)=ln x-ax.(1)讨论函数f(x)的单调区间和极值;(2)已知x1=(e为自然对数的底数)和x2是函数f(x)的两个不同的零点,求a的值并证明:x2>.(1)解:函数f(x)的定义域为(0,+∞).求导数,得f′(x)=-a=.①若a≤0,则f′(x)>0,f(x)是(0,+∞)上的增函数,无极值;②若a>0,令f′(x)=0,得x=.当x∈(0, )时,f′(x)>0,f(x)是增函数;当x∈(,+∞)时,f′(x)<0,f(x)是减函数.所以当x=时,f(x)有极大值,极大值为f()=ln -1=-ln a-1.综上所述,当a≤0时,f(x)的递增区间为(0,+∞),无极值;当a>0时,f(x)的递增区间为(0, ),递减区间为(,+∞),极大值为-ln a-1.(2)证明:因为x1=是函数f(x)的零点,所以f()=0,即-a=0,解得a==.所以f(x)=ln x-x.因为f()=->0,f()=-<0,所以f()f()<0.由(1)知,函数f(x)在(2,+∞)上单调递减,所以函数f(x)在区间(,)上有唯一零点,因此x2>.3.(2015郑州质量预测)已知函数f(x)=(x2-2x)ln x+ax2+2.(1)当a=-1时,求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当a>0时,设函数g(x)=f(x)-x-2,且函数g(x)有且仅有一个零点,若e-2<x<e,g(x)≤m,求m的取值范围.解:(1)当a=-1时,f(x)=(x2-2x)ln x-x2+2,定义域为(0,+∞),f′(x)=(2x-2)ln x+(x-2)-2x.所以f′(1)=-3,又f(1)=1,f(x)在(1,f(1))处的切线方程为3x+y-4=0.(2)令g(x)=f(x)-x-2=0,则(x2-2x)ln x+ax2+2=x+2,即a=,令h(x)=,则h′(x)=--+=.令t(x)=1-x-2ln x,t′(x)=-1-=,因为t′(x)<0,所以t(x)在(0,+∞)上是减函数,又因为t(1)=h′(1)=0,所以当0<x<1时,h′(x)>0,当x>1时,h′(x)<0,所以h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以h(x)max=h(1)=1.因为a>0,所以当函数g(x)有且仅有一个零点时,a=1.当a=1,g(x)=(x2-2x)ln x+x2-x,若e-2<x<e,g(x)≤m,只需g(x)max≤m,g′(x)=(x-1)(3+2ln x),令g′(x)=0得x=1或x=,又因为e-2<x<e,所以函数g(x)在(e-2,)上单调递增,在(,1)上单调递减,在(1,e)上单调递增, 又g()=-e-3+2,g(e)=2e2-3e,因为g()=-e-3+2<2e<2e(e-)=g(e),即g()<g(e),g(x)max=g(e)=2e2-3e,所以m≥2e2-3e.4.已知函数f(x)=x3-ax2,常数a∈R.(1)若a=1,过点(1,0)作曲线y=f(x)的切线l,求l的方程;(2)若曲线y=f(x)与直线y=x-1只有一个交点,求实数a的取值范围.解:函数求导得f′(x)=3x2-2ax.(1)当a=1时有f′(x)=3x2-2x,设切点P为(x0,y0),则k=f′(x0)=3-2x0,则P处的切线方程为y=(3-2x0)(x-x0)+-.该直线经过点(1,0),所以有0=(3-2x0)(1-x0)+-,化简得-2+x0=0,解得x0=0或x0=1,所以切线方程为y=0和y=x-1.(2)法一由题得方程x3-ax2-x+1=0只有一个根,设g(x)=x3-ax2-x+1,则g′(x)=3x2-2ax-1,因为Δ=4a2+12>0,所以g′(x)有两个零点x1,x2,即3-2ax i-1=0(i=1,2),且x1x2<0,a=,不妨设x1<0<x2,所以g(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)单调递增,在(x1,x2)单调递减,g(x1)为极大值,g(x2)为极小值,方程x3-ax2-x+1=0只有一个根等价于g(x1)>0且g(x2)>0,或g(x1)<0且g(x2)<0,又g(x i)=-a-x i+1=--x i+1=--+1(i=1,2),设h(x)=-x3-+1,所以h′(x)=-x2-<0,所以h(x)为减函数,又h(1)=0,所以x<1时h(x)>0,x>1时h(x)<0,所以x i(i=1,2)大于1或小于1,由x1<0<x2知,x i(i=1,2)只能小于1,所以由二次函数g′(x)=3x2-2ax-1性质可得g′(1)=3-2a-1>0,所以a<1. 法二曲线y=f(x)与直线y=x-1只有一个交点,等价于关于x的方程ax2=x3-x+1只有一个实根.显然x≠0,所以方程a=x-+只有一个实根.设函数g(x)=x-+,则g′(x)=1+-=.设h(x)=x3+x-2,h′(x)=3x2+1>0,h(x)为增函数,又h(1)=0.所以当x<0时,g′(x)>0,g(x)为增函数;当0<x<1时,g′(x)<0,g(x)为减函数;当x>1时,g′(x)>0,g(x)为增函数;所以g(x)在x=1时取极小值1.又当x趋向于0时,g(x)趋向于正无穷;又当x趋向于负无穷时,g(x)趋向于负无穷;又当x趋向于正无穷时,g(x)趋向于正无穷.所以g(x)图象大致如图所示.所以方程a=x-+只有一个实根时,实数a的取值范围为(-∞,1).。