选修2-3 第一章 计数原理 1.2.2 组合 第2课时 组合的综合应用

2 ①α 内 1 点，β 内 2 点确定的平面，有 C1 · C 4 6个．
②α 内 2 点，β 内 1 点确定的平面，有 C2 C1 4· 6个． ③α，β 本身．
2 2 1 故所作的平面最多有 C1 · C ＋ C C6＋2＝98(个) 4 6 4·
答：最多可作 98 个不同的平面．
(3)∵当等底面积，等高的情况下三棱锥体积才能相等．
内6点都无3点共线情况．由于过不共线三点的平面与点的
顺序无关，因此这是一组合问题．
(2)因为所作棱锥要最多，故α，β两平面内的点无3点
共线情况．由于一个棱锥与顶点顺序无关，所以它是组合
问题． (3) 在(2) 的基础上必须同时等底面积，等高的棱锥体 积才能相等．
【解】 (1)所作出的平面有三类：
1 2 C1 C 4 3 C2 各 1 个，另一组 2 个，分组方法有 2 种，然后将这三组 A2 1 2 C1 4C3C2 4 再加上一个空盒进行全排列，即共有 A2 · A4＝144(种). 2
已知平面α∥平面 β ，在 α内有4 个点，在 β 内
有6个点，
(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不 同平面？ (2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？ (3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？ 【分析】 (1)因为所作平面必须最多，故α内4点和β
法．
1．本题中的每一个小题都提出了一种类型的问题， 搞清楚类型的归属对解题大有裨益．要分清是分组问题还 是分配问题，这个是很关键的． 2．分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有 三种： (1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
(2)部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最
后必须除以n！；
【解】
2 2 2 (1)根据分步计数原理得到：C6 C4C2＝90(种)．
2 2 2 (2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有 C6 C4C2种方法，这
个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有 x 种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有 A3 3
2 2 3 种方法．根据分步计数原理可得：C2 C C ＝ x A 6 4 2 3，所以 x ＝ 2 2 C2 6C4C2 3 ＝1
(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，
解法一：(直接法)按选取的外科专家的人数分类：
4 ①选 2 名外科专家，共有 C2 · C 4 6种选法；
②选 3 名外科专家，共有 C3 C3 4· 6种选法；
2 ③选 4 名外科专家，共有 C4 · C 4 6种选法； 4 3 3 4 2 根据分类加法计数原理，共有 C2 · C ＋ C · C ＋ C C6＝ 4 6 4 6 4·
条件的卡片后还需排列，这是易错点．
(2010 · 湖南高考 ) 在某种信息传输过 程中，用 4 个数字的一个排列 ( 数字允许重复 ) 表示一个信
息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与
的综合问题．
【解析】 分 3 类：第 1 类，当取出的 4 张卡片分别标
1 1 1 4 有数字 1,2,3,4 时，不同的排法有 C1 · C C2· C2· A4种； 2 2·
第 2 类，当取出的 4 张卡片分别标有数字 1,1,4,4 时，不 同的排法有 C2 C2 A4 2· 2· 4种； 第 3 类，当取出的 4 张卡片分别标有数字 2,2,3,3 时，不
先分类后分步的原则．明确以下三点；①整体分类．对事 件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并 集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于 空集，以保证分类的不重复，计算结果是使用分类加法计
数原理；
②局部分步．整体分类以后，对每一类进行局部分步， 分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要
6 本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法： (1)分给甲、乙、丙三人，每人两本； (2)分为三份，每份两本； (3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
(4) 分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一
人三本；
(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．
【分析】
(1) 是平均分组问题，与顺序无关，相当
5 ②有 1 名外科专家参加，有 C1 · C 4 6种选法； 4 ③有 2 名外科专家参加，有 C2 · C 4 6种选法． 1 5 所以共有 C6 C6＋C2 C4 6＋C4· 4· 6＝115(种)抽调方法．
解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法” 和“间接法(排除法)”．其中用直接法求解时，则应坚持 “特殊元素优先选取”的原则，优先安排特殊元素的选取，
2．“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这
类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含 义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但 通常用直接法分类较繁杂时，考虑逆向思维，用间接法处 理.
1.处理排列、组合综合题时，应遵循三大原则，掌握 基本类型，突出转化思想．
三大原则是：先特殊后一般的原则、先取后排的原则、
“抗震救灾，众志成城”，在我国四川 “5·12”抗震救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名
奔赴赈灾前线，其中这 10 名医疗专家中有 4 名是外科专
家．问： (1) 抽调的 6 名专家中恰有 2 名是外科专家的抽调方法 有多少种？
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？ (3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
(3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． 3．分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要
求逐个分配，也可以分组后再分配．
四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的 四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？
解： 恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为 1,1,2，实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组
有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张 分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张
卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于
10，则不同的排法共有________种(用数字作答)． 【分析】 取出的4 张卡片所标的数字之和等于10，
注意到：1＋2＋3＋4＝1＋1＋4＋4＝2＋2＋3＋3＝10，据 此进行分类，又取出卡片还要排序，因此这是排列与组合
1 2 3 (3)这是“不均匀分组”问题，一共有 C6 C5C3＝60(种)方
法．
2 3 3 (4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有 C1 C 6 5C3A3
＝360(种)方法． (5)可以分为三类情况：①“2、2、2 型”即(1)中的分配
2 2 情况，有 C2 C 6 4C2＝90(种)方法；②“1、2、3 型”即(4)中的 2 3 3 分配情况，有 C1 6C5C3A3＝360(种)方法；③“1、1、4 型”， 3 有 C4 A 6 3＝90(种)方法．所以一共有 90＋360＋90＝540(种)方
(1)没有次品；
(2)恰有两件是次品； (3)至少有两件是次品．
解：(1)没有次品的抽法就是从 97 件正品中抽取 5 件的 抽法，共有 C5 97＝64 446 024(种)． (2)恰有 2 件是次品的抽法就是从 97 件正品中抽取 3 件，
2 并从 3 件次品中抽 2 件的抽法，共有 C3 C 97 3＝442 320(种)．
2 4 同的排法有 C2 · C A4种． 2 2·
故满足题意的所有不同的排法共有 C 1 C1 C1 C1 A4 2· 2· 2· 2· 4＋
2 4 2C2 · C · A 2 2 4＝432(种)． 【答案】 432
本题在求解时需注意两点：一是如何分类，分成几类，
这里“数字之和为10”即为问题的突破口；二是选出满足
独立，以保证分步的不重复，计算每一类的相应结果时，
使用分步乘法计数原理：③考查顺序、无序的问题，用组 合解答；有序的问题属排列问题． 2．基本类型主要包括：排列中的“在与不在”问题， “相邻不相邻”问题，组合中的“含与不含”问题，“分
组与不分组”问题．转化思想就是把一些排列、组合问题
通过合理的分类或分步将其与基本类型相联系，从而把这 些问题转化为基本类型，然后加以解决.
2 ①α 内 1 点，β 内 2 点确定的平面，有 C1 · C 4 6个．
②α 内 2 点，β 内 1 点确定的平面，有 C2 C1 4· 6个． ③α，β 本身．
2 2 1 故所作的平面最多有 C1 · C ＋ C C6＋2＝98(个) 4 6 4·
答：最多可作 98 个不同的平面．
【解】 (1)所作出的平面有三类：
(2) 以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？
4 解：(1)正方体 8 个顶点可构成 C8 个四点组，其中共面
的四点组有正方体的 6 个表面和正方体相对棱分别所在 6 个 平面的四个顶点，故可以确定的四面体有 C4 8－12＝58(个)．
(2)由(1)知，正方体共面的四点组有 12 个，以这个四点 组构成的四边形为底面，以其余的四个点中任意一点为顶点 都可以确定一个四棱锥，故可以确定四棱锥 12C1 4＝48(个)．
185(种)抽调方法．
6 解法二：(间接法)不考虑是否有外科专家，共有 C10 种选
法，考虑选取 1 名外科专家参加，有 C1 C5 4· 6种选法；没有外 科专家参加，有 C6 6种选法，所以共有：
1 5 6 C6 － C · C － C 10 4 6 6＝185(种)抽调方法．
(3)“至多 2 名”包括“没有”、 “有 1 名”、 “有 2 名” 三种情况，分类解答． ①没有外科专家参加，有 C6 6种选法；
第2课时
组合的综合应用
1 ．进一步理解组合的定义，掌握组合数的计算公 式．
2．会解决一些简单的组合问题．
3．体会简单的排列组合综合问题．
1.“含有”或“不含有”某些元素的组合题型： “含”， 则先将这些元素取出，再由另外元素补足，“不含”，则先 将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．如：现从 5 位 男同学、4 位女同学中选出 5 名代表，若男甲、女 A 都必须 当选，有多少种不同的选法？由于男甲、女 A 必须当选，只 需从剩下 7 人中任选 3 人即可满足题目的要求，故有 C3 7＝ 35(种)不同的选法．