【优品】高中数学人教版必修1+3.1.2用二分法求方程的近似解+课件(系列四)

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人教版高中数学必修一3.1.2《用二分法求方程的近似解》ppt课件

设函数f(x)＝lnx+2x－6,用计算器计算得：
f(2)<0, f(3)>0 x1∈(2,3) f(2.5)<0, f(3)>0 x1∈(2.5,3)
f(2.5)<0, f(2.75)>0x1∈(2.5,2.75)
23
f(2.5)<0, f(2.625)>0 x1∈(2.5,2.625)
f(2.5)<0, f(2.5625)>0 x1∈(2.5,2.5625)
f(2.53125)<0, f(2.5625)>0 x1∈(2.53125,2.5625)
f(2.53125)<0, f(2.546875)>0 x1∈(2.53125,2.546875) f(2.53125)<0, f(2.5390625)>0 x1∈(2.53125,2.5390625)
（1）若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；
（2）若f(a).f(x1)<0，则令b= x1（此时零点x0∈(a, x1) ); （3）若f(x1).f(b)<0，则令a= x1（此时零点x0∈( x1,,b));
4、判断是否达到精确度ε ，即若|a-b|< ε
则得到零点近似值a(或b),否则重复2~4
练习：
方程用二分法求函数方程的近似解
小结
数学源于生活
1.寻找解所在的区间数学 Nhomakorabea用于生活
2.不断二分解所在的区间
3.根据精确度得出近似解算法思想
二分法
数形结合
逼近思想
转化思想
生活中也常常会用到二分法思想：
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障。这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？

人教版新课标高中数学精品系列必修一3.1.2用二分法求方程的近似解课件(四课时)

2 3x 7
x
的近似解（精确到0.1）。
例2．求函数
y x 2x x 2
3 2
的零点，并画出它的图象。
例3．已知函数 f ( x) ax bx 的图象如图所示，则 A．b (,0) B． b (0,1) b (2, ) D． C． b (1, 2)
，那么函数 y f ( x) 在区间 [ a, b] 内至少有一个实数
根、若能证明 y f ( x) 在 [a, b] 上的单调性，则在
[a, b] 有且只有一个零点、再在其它区间内同理去寻找。
解二：试探着找到两个x对应值为一正一负（至少有一个）；再证单调增函数即可得有且只有一个。
解三：构造两个易画函数，画图，看图象交点个数，很实用。
3．计算 f (c) ：（1）若 f (c) =0，则c就是函数的零点，计算终止；（2）若 f (a) f (c) 0 ，则令b=c（此时零点 x0 a, c ）；
（3）若 f (c) f (b) 0 则令a=c（此时零点
x0 c, b 。(用列表更清楚)
ab 的中点 c 2
3
2
cx d
2 1
2 f ( x ) mx (m 3) x 1 例4．已知函数的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数
m 的取值范围是（）
A．(0,1] C． (,1) B．
(0,1)
D．
(,1]
3.1.2 用二分法求方程的近似解 (2)
问题1 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房
到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这上一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？
方法分析：

必修1课件：3.1.2《用二分法求方程的近似解(四)》课件ppt

3
142 273
y
f(x)= 2 x+3x-7
可知f(1)·f(2)<0,说明在区间说明在区间(1,2)内有零点。可知说明在区间内有零点通过计算得下表
区间[a,b] 区间[a,b] a 1 1 1.25 1.375 1.375 b 2 1.5 1.5 1.5 1.4375 中点c 中点c 1.5 1.25 1.375 1.4375 1.40625 f （c ） 0.328427125 -0.87158577 -0.281320891 0.021011094 -0.13078 -1 0
（1）若f（c）=0， c就是函数的零点。）（），就是函数的零点则就是函数的零点。（2）若f（a）·f（c）﹤0，）（）（），（3）若f（c）·f（b）﹤0，）（）（），
则令b=c（此时零点 x 0 ∈（a，c））；（则令，））；则令a=c（此时零点 x 0 ∈（c，b）；（则令，）； 4.判断是否达到精确度；若︱ a-b︱﹤m则得到零点判断是否达到精确度；判断是否达到精确度则得到零点近似值a（或b）；否则重复2～4。近似值（）；否则重复。）；否则重复
2 2.5
2.75
3
因为︱因为︱2.5-2.5625︱=0.0625 <0.1时，2.5（或2.5625）就是方程︱时（） lnx+2x-6=0的近似解的近似解 2.5 根 2.5625
二分法定义: 二分法定义
对于在区间[a,b]上连续不断且＿＿＿＿＿的函数上连续不断且对于在区间＿＿＿＿＿＿＿＿＿ f(a)·f(b)<0 y=f(x),通过不断地把函数通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，的零点所在的区间一分为二，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方使区间的两个端点逐步逼近零点进而得到零点近似值的方法叫做二分法 .

2017-2018学年高中数学必修一(人教版3.1.2用二分法求方程的近似解教学课件 (共21张PPT)

四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论数学建构
问题3．能否给二分法下一个定义呢？
对于在区间[a,b]上连续不断，且f (a)f (b)<0 的函数y=f (x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点(或对应方程的根)近似解的方法叫做二分法。
4 y=4-x 4 y=2x
在同一坐标系内画函数y=2x 与y=4-x的图象，如图：
得:方程有一个解x0 ∈(0,4), 解：设函数f(x)=2x +x-4，且 f(0)=-3<0 ,f(4)=16>0,列表如下

1 0 1 2
x
解：设f(x)=2x +x-4,且f(0)=-3<0 ,f(4)=16>0 x0所在的区间 (a,b) （0，4）（ 0 , 2） (1 , 2) (1 , 1.5) (1.25 , 1.5) (1.375 , 1.5) (1.375 , 1.4375) 中点的值
问题4：二分法实质是什么？
用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的方法，运用“逼近思想逐步缩小零点所在的区间。
四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论
(五）课堂练习，巩固新知
练习1：利用计算器，求方程2x=4-x的近似解（精确到0.1）怎样找到它的解所在的区间呢？ y
课题：用二分法求方程的近似解
海南华侨中学
吴维宝
四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论
教学目标：
用二分法求方程的近似解
（1）知识目标：掌握二分法求方程近似解的一般方法，能借助计算机或计算器求方程的近似解；理解二分法求方程近似解的算法原理，进一步理解函数与方程的关系；（2）能力目标：培养学生利用现代信息技术和计算工具的能力；培养学生探究问题的能力与合作交流的精神，以及辩证思维的能力；（3）情感目标：鼓励学生大胆探索，激发学生学习数学的兴趣，培养学生探寻和欣赏数学美，形成正确的数学观。

人教版高中数学必修一_3.1.2_用二分法求方程的近似解ppt课件

(1.25,1.5)
x3＝1.25＋ 2 1.5＝1.375
(1.375,1.5)
x4＝1.3752＋1.5＝1.4375
(1.437 5,1.5)
∵|1.5－1.4375|＝0.062 5<0.1，
中点函数近似值
f(x1)＝0.375>0
f(x2)＝－1.046 9<0
f(x3)＝－0.400 4<0
第三章
函数的应用
1.1.1 集合的概念
第三章
3.1 函数与方程
1.1.1 集合的概念
第三章
3.1.2 用二分法求方程的近似解
1.1.1 集合的概念
1
预习导学
2
互动课堂
3
随堂测评
4
课后强化作业
预习导学
●课标展示 1．掌握用二分法求函数零点近似值的步骤． 2．了解函数零点与方程根之间的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识． 3．能够借助计算器用二分法求方程的近似解．
●温故知新
旧知再现
1．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调增函数，则b的取值范围为________.
2．函数y＝(x－b≥10)(x2－2x－3)的零点为_________.
3．方程log2x＋x2＝2的实数解的个数为_____.
－1,1,3 1
新知导学
1．二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且__________＜0f的(a)函·f(数b)y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点逐步逼一近分__为__二_，进而得到
规律总结： (1)精确度ε与等分区间次数之间有什么关系？
若初始区间选定为(a，b)，则区间长度为 b－a，等分 1 次，

高中数学人教版必修1课件：3.1.2 用二分法求方程的近似解

4．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实数根时，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．
解析：∵f(2)<0，f(2.5)>0， ∴下一个有根区间是(2,2.5)．答案：(2,2.5)
5．求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1)．
解：设f(x)＝x2－2x－1. ∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0， ∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0. 取2与3的平均数2.5， ∵f(2.5)＝0.25>0， ∴2<x0<2.5；再取2与2.5的平均数2.25， ∵f(2.25)＝－0.437 5<0，
[活学活用] 用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600 0)＝0.200 f(1.562 5)＝0.003
f(1.587 5)＝0.133 f(1.556 2)＝－0.029
f(1.575 0)＝0.067 f(1.550 0)＝－0.060
根据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度0.1)为 ________．
[活学活用] 证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1)．
解：由于f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又因为函数f(x)在[1,2]内是增函数，所以函数在区间[1,2]内有唯一零点．不妨设为x0，则x0∈ [1,2]．下面用二分法求解.
(a，b) (1,2) (1,1.5) (1,1.25) (1.125,1.25)
(1)
× × × √ 解方程x＋7＝0，得x＝－7 解方程5x－1＝0，得x＝0 解方程log3x＝1，得x＝1 1 无法通过方程2x－x＝0得到零点

高一数学：3.1.2《用二分法求方程的近似解》课件

3.1.2 用二分法求方程的近似解
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1
问题提出
1. 函数 f (x) x2 4x 3有零点吗？你怎样求其零点？
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2
2.对于高次多项式方程，在十六世纪已找到
了三次和四次方程的求根公式，但对于高于
4次的方程，类似的努力却一直没有成功.
到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗
4
知识探究（一）:二分法的概念
思考1:有12个大小相同的小球，其中有 11个小球质量相等，另有一个小球稍重，用天平称几次就可以找出这个稍重的球？
思考2:已知函数 f (x) lnx 2x 6
在区间（2，3）内有零点，你有什么方
法求出这个零点的近似值？
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5
思考3:怎样计算函数 f (x) lnx 2x 6在区间（2，3）内精确到0.01的零点近似值？
若f(c)·f(b)<0 ，则零点x0∈(c,b).
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9
思考4:若给定精确度ε，如何选取近似值？
当|m—n|<ε时，区间[m，n]内的任意一个值都是函数零点的近似值.
思考5：对下列图象中的函数，能否用
二分法求函数零点的近似值？为什么？
y
y
o
x
o
x林老师网络编辑整理
10
理论迁移
（2.531 25，2.562 5） 2.546 875 （2.531 25，2.546 875） 2.539 062 5 （2.531 25，2.539 062 5）林老师2网.5络3编5辑1整5理6 25
0.029 0.01 0.001
0.03125 0.015625 0.0078613

3.1.2用二分法求方程的近似解(s必修一数学优秀课件)

f (2.75) 0.512 0
f (2.5) f (2.75) 0 所以零点在区间(2.5，2.75)内.
结论:由于 (2,3) (2.5,3) (2.5, 2.75) 所以零点所在的范围确实越来越小
用二分法求方程的近似解：
口诀
定区间，找中点，中值计算两边看. 同号去，异号算，零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
x 2 bx c, x 0 5.设函数 f ( x) ，若f (– 4) = f (0)， x0 2,
f (– 2) = – 2，则关于x的方程f (x) = x的解的个数为（（B ） 2 （C ）3 （D ）4
）
（A ）1
6.若直线y = 2a与函数y = | a x– 1 |（a > 0且a ≠ 1）的
函数f(x)的一个零点在（-1，0）内，另一个零点在（2，3）内
y
如何进一步有效缩小根所在的区间？第一步：得到初始区间（2，3）第二步：取2与3的平均数2.5 第三步：再取2与2.5的平均数2.25 如此继续取下去：若要求结精确度为0.1，则何时停止操作？
y=x2-2x-1
-1 0 1 2 3 2.25 2
15
10
y
-
(2,3)
+
2.5 2.75 2.625
-0.084
0.512
-20
1
5
（2.5，3） +
0.5
-10 0.25
-(2.5,2.75)+
0.215
o
5
10
x
-(2.5,2.625)+ 2.5625
(2.5,2.5625)

高中数学人教A版必修一3.1.2用二分法求方程的近似解课件

2.5625) f(2.5625)>0
>0
(2.53125, f(2.53125) 2.546875) <0,
f(2.546875) >0 (2.53125, f(2.53125) 2.5390625) <0, f(2.5390625) >0
2.5390625 f(2.5390625) >0
2.53515625 f(2.53515625) >0
思考3:怎样计算函数 f (x) lnx 2x 6在区间（2，3）内精确到0.01的零点近似值？
区间（a，b）
（2，3）（2.5，3）（2.5，2.75）（2.5，2.625）（2.5，2.562 5）（2.531 25，2.562 5）（2.531 25，2.546 875）（2.531 25，2.539 062 5）
f(2.546875) >0 (2.53125, f(2.53125) 2.5390625) <0, f(2.5390625) >0
2.5390625 f(2.5390625) >0
2.53515625 f(2.53515625) >0
(2.53125, f(2.53125)<0, 2.546875 f(2.546875)
2.5390625 f(2.5390625) >0
2.53515625 f(2.53515625) >0
(2.53125, f(2.53125)<0, 2.546875 f(2.546875)
2.5625) f(2.5625)>0
>0
(2.53125, f(2.53125) 2.546875) <0,

高中数学 3.1.2《用二分法求方程的近似解》课件新人教A版必修1

(1.375,1.5) 1.438
(1.375,1.43
|a－b| 1 0.5
0.25 0.125
第十六页，共24页。
由上表计算可知区间(1.375,1.438)长度小于0.1，故可在 (1.438,1.5)内取1.406 5作为函数f(x)正数的零点的近似值．
第十七页，共24页。
1．准确理解“二分法”的含义顾名思义，二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
图象可以作出，由图象确定根的大致区间，再用二分法求解．
第九页，共24页。
【解析】作出y＝lg x，y＝3－x的图象可以发现，方程lgx＝3－x有唯一解，记为x0，并且解在区间(2,3)内．
设f(x)=lgx+x-3，用计算器计算，得
f(2)<0，f(3)>0，
∴x0∈(2,3)； f(2.5)<0，f(3)>0⇒x0∈(2.5,3)； f(2.5)<0，f(2.75)>0⇒x0∈(2.5,2.75)； f(2.5)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.5,2.625)； f(2.562)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.562,2.625)． ∵|2.625－2.562|＝0.063<0.1 ∴方程的近似解可取为2.625(不唯一)．
第四页，共24页。
下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
【思路点拨】由题目可获取以下主要信息： ①题中给出了函数的图象；
②二分法的概念．解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件．

高中新课程数学(新课标人教A版)必修一《3.1.2 用二分法求方程的近似解》课件PPT课件

人教
确度0.1)．
Ａ
解：由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可取区间(1,2)
版必为初始区间，用二分法逐次计算．
修一
列表如下：
·
新课标
·
数学
∵|1.5－1.4375|＝0.0625<0.1，
人教
∴函数的正实数零点近似值可以取1.4375.
Ａ
版必
修
一
·
新课标
·
数学
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥
Ａ由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求
版必零点．
修一
答案：B
·
新课标
·
数学
温馨提示：(1)准确理解“二分法”的含义．二分就是
人教
平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分
Ａ为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，版必根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真
标
D．只有求函数零点时才用二分法
·
·
数学
答案：B
2．设f(x)＝3x＋2x－8，用二分法求方程3x＋2x－8＝0
人教
在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，
Ａ则方程的根在区间
()
版必
A．(1.25,1.5)
B．(1,1.25)
修一
C．(1.5,2)
课
∵2.625－2.5625＝0.0625<0.1
标 ∴原方程的近似解为2.5625.
数
学
·

高中数学【人教A版必修】1第三章3.1.2 用二分法求方程的近似解课件(28张ppt)

中点值m
f（m）的近似值
2.5
-0.084
2.75
0.512
2.625 2.562 5 2.531 25 2.546 875 2.539 062 5
0.215 0.066 -0.009 0.029 0.01
2.535 156 25 0.001
精确度 |a-b|
1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.007813
思考2:如何确定零点的存在性？
运用零点存在性定理，确定零点存在的区间[a,b]，使 f(a)f(b)<0
高中数学【人教A版必修】1第三章3.1 .2 用二分法求方程的近似解课件(28张ppt)【精品】
高中数学【人教A版必修】1第三章3.1 .2 用二分法求方程的近似解课件(28张ppt)【精品】
思考:怎样计算函数 f(x)lnx 2 x6在区间（2，3）内精确度为0.01的零点？
区间（a，b）
（2，3）（2.5，3）（2.5，2.75）（2.5，2.625）（2.5，2.562 5）（2.531 25，2.562 5）（2.531 25，2.546 875）（2.531 25，2.539 062 5）
函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值：
当精确度为0.01时，由于 | 2.5390625-2.53125 |= 0.0078125<0.01
所以，我们可以将x=2.53125作为函数
f(x)= lnx+2x-6 的近似零点；也即是方程
lnx+2x-6=0 根的近似值。
用二分法求方程的近似解
2. 明确二分法的适用条件，即函数在零点所在区间内是连续不断的。

人教版高中数学必修一课件3.1.2用二分法求方程的近似解 (共54张PPT)

设计意图：解决“怎样取”问题。让学生理解零点值、区间值、近似解之间的关系，并理解怎样取最后近似解。
按照“怎么缩——缩到哪——怎么取”的环节设置这3个问题，从而将较难理解的二分法求近似解的过程简化为3个问题，层次清晰，分散难点的同时也达到突破本节课重点的目的，也为后面学生归纳定义和步骤做铺垫。
教材分析
重难点
突破方法：
创设生活情境，以通俗方式切入，同时分2 次提前铺垫二分法求方程近似解的解题思路，分散难点，然后通过由浅到深的方式逐步提问来突破重点概念，并顺势归纳出二分法求方程近似解的基本步骤，从而突破本节课的难点。
教材分析
教法分析过程分析教法分析
教材分析学情分析教法分析过程分析效果分析
请同学们相互讨论，并提出解决问题的方案。
重
轻
互动讨论铺垫思路
请同学们相互讨论，并提出解决问题的方案。
第2次一分为二
互动讨论铺垫思路
请同学们相互讨论，并提出解决问题的方案。
重
轻
互动讨论铺垫思路
请同学们相互讨论，并提出解决问题的方案。
第3次一分为二
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重
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第4次一分为二
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问题球
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设计意图：通过学生自主探究和对比分析，对二分法的操作原理和应用方式有了一个初步感知，同时也为后面提炼概念和新知应用做了铺垫，起到突出重点，分散难点的作用。

高中数学人教版必修1+3.1.2用二分法求方程的近似解+教案(系列四)

3.1.2 用二分法求方程的近似解整体设计教学分析求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难.本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用.用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算.在教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步. 三维目标1.让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法.2.了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想.3.回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣.重点难点用二分法求方程的近似解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情景导入)师：(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔10元降低报价.生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价.如果低了，每50元上升；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……师：在现实生活中我们也常常利用这种方法.譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障，(相距大约3 500米)电工是怎样检测的呢？是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测,还是按照生3那样来检测呢？生：(齐答)按照生3那样来检测.师：生3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件，区间逼近法).思路2.(事例导入)有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好.(让同学们自由发言，找出最好的办法)解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球.第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球.第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？推进新课新知探究提出问题①解方程2x-16=0.②解方程x2-x-2=0.③解方程x3-2x2-x+2=0.④解方程(x2-2)(x2-3x+2)=0.⑤我们知道，函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？⑥“取中点”后，怎样判断所在零点的区间?⑦什么叫二分法?⑧试求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内零点的近似值.⑨总结用二分法求函数零点近似值的步骤.⑩思考用二分法求函数零点近似值的特点.讨论结果：①x=8.②x=-1,x=2.③x=-1,x=1,x=2.-,x=2,x=1,x=2.④x=2⑤如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.〔“取中点”,一般地,我们把x=2ba 称为区间(a,b)的中点〕 ⑥比如取区间(2，3)的中点2.5,用计算器算得f(2.5)<0,因为f(2.5)·f(3)<0,所以零点在区间(2.5,3)内.⑦对于在区间［a,b ］上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).⑧因为函数f(x)=lnx+2x-6，用计算器或计算机作出函数f(x)=lnx+2x-6的对应值表.由表可知，f(2)<0,f(3)>0,则f(2)·f(3)<0，这说明f(x)在区间内有零点x 0，取区间(2，3)的中点x 1=2.5,用计算器算得f(2.5)≈-0.084，因为f(2.5)·f(3)<0，所以x 0∈(2.5,3). 同理,可得表(下表)与图象(如图3-1-2-1).图3-1-2-1由于所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见上表).这样，在一定的精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值.特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值.例如，当精确度为0.01时，由于|2.5390625-2.53-1-2-5|=0.0078125<0.01，所以，我们可以将x=2.53-1-2-5作为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值.⑨给定精度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：1°确定区间［a,b］，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε.2°求区间(a,b)的中点c.3°计算f(c):a.若f(c)=0，则c就是函数的零点；b.若f(a)·f(c)<0，则令b=c〔此时零点x0∈(a,c)〕；c.若f(c)·f(b)<0，则令a=c〔此时零点x0∈(c,b)〕.4°判断是否达到精度ε；即若|a-b|<ε，则得到零点值a(或b)；否则重复步骤2°~4°．⑩由函数的零点与相应方程的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.应用示例思路1例1借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精确度为0.1).活动：①师生共同探讨交流，引出借助函数f(x)=2x+3x-7的图象，能够缩小根所在区间，并根据f(1)<0,f(2)>0,可得出根所在区间(1,2)；②引发学生思考，如何进一步有效缩小根所在的区间；③共同探讨各种方法，引导学生探寻出通过不断对分区间，有助于问题的解决；④用图例演示根所在区间不断被缩小的过程，加深学生对上述方法的理解；⑤引发学生思考在有效缩小根所在区间时，到什么时候才能达到所要求的精确度.学生简述上述求方程近似解的过程.解：原方程即2x+3x-7=0,令f(x)=2x+3x-7,用计算器或计算机做出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表与图象(3-1-2-2).图3-1-2-2观察图表可知f(1)·f(2)<0,说明这个函数在区间(1，2)内有零点x.取区间(1，2)的中点x=1.5,用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)<0,所以x∈(1,1.5).再取区间(1，1.5)的中点x=1.25,用计算器算得f(1.25)≈-0.87.因为f(1.25)·f(1.5)<0,所以x∈(1.25,1.5).同理,可得，x∈(1.375,1.5)，x0∈(1.375,1.4375).由于|1.375-1.437 5|=0.0625<0.1,所以，原方程的近似解可取为1.4375.例2利用计算器，求方程x2-2x-1=0的一个近似解(精确度0.1)．活动：教师帮助学生分析:画出函数f(x)=x2-2x-1的图象，如图3-1-2-3所示.从图象上可以发现，方程x2-2x-1=0的一个根x1在区间(2，3)内，另一个根x2在区间(-1，0)内.根据图象，我们发现f(2)=-1<0，f(3)=2>0，这表明此函数图象在区间(2，3)上穿过x轴一次，即方程f(x)=0在区间(2，3)上有唯一解.图3-1-2-3 计算得f(232+)=41>0，发现x 1∈(2，2.5)(如图3-1-2-3)，这样可以进一步缩小x 1所在的区间. 解：设f(x)=x 2-2x-1，先画出函数图象的简图，如图3-1-2-3. 因为f(2)=-1<0，f(3)=2>0，所以在区间(2，3)内，方程x 2-2x-1=0有一解，记为x 1. 取2与3的平均数2.5，因为f(2.5)=0.25>0，所以2<x 1<2.5.再取2与2.5的平均数2.25，因为f(2.25)=-0.437 5<0，所以2.25<x 1<2.5.如此继续下去，得f(2)<0，f(3)>0⇒x 1∈(2,3), f(2)<0,f(2.5)>0⇒x 1∈(2,2.5), f(2.25)<0，f(2.5)>0⇒x 1∈(2.25,2.5), f(2.375)<0，f(2.5)>0⇒x 1∈(2.375,2.5), f(2.375)<0，f(2.437 5)>0⇒x 1∈(2.375,2.437 5).因为2.375与2.437 5精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为x 1≈2.4. 点评：利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解. 思路2例1利用计算器，求方程lgx=3-x 的近似解(精确度0.1).活动：学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.分别画出y=lgx 和y=3-x 的图象，如图3124所示.在两个函数图象的交点处，函数值相等.因此，这个点的横坐标就是方程lgx=3-x 的解.由函数y=lgx 与y=3-x 的图象可以发现，方程lgx=3-x 有唯一解，记为x 1，并且这个解在区间(2，3)内.图3-1-2-4解：设f(x)=lgx+x-3，设x 1为函数的零点即方程lgx=3-x 的解. 用计算器计算，得f(2)<0，f(3)>0⇒x1∈(2,3)，f(2.5)<0，f(3)>0⇒x1∈(2.5,3)，f(2.5)<0，f(2.75)>0⇒x1∈(2.5,2.75)，f(2.5)<0，f(2.625)>0⇒x1∈(2.5,2.625)，f(2.562 5)<0，f(2.625)>0⇒x1∈(2.562 5,2.625).因为2.562 5与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为x≈2.6.1例2求方程lnx-2x+3=0在区间［1,2］内的根(精确度0.1).解：设f(x)=lnx-2x+3,则原方程的根为函数f(x)的零点.为函数的零点即方程lnx-2x+3=0的解.设x1如图3-1-2-5,因为f(1)=1,f(2)=-0.306 852 819,所以f(1)f(2)<0,即函数f(x)在［1,2］内有一个零点.根据二分法，用计算器得出以下表格：(步长为1)(步长为0.5)(步长为0.25)(步长为0.125)(步长为0.062 5)由上述表格可以得到下表与图象3-1-2-5:图3-1-2-5因为f(1.75)=0.059 615 787>0,f(1.812 5)=-0.030 292 892<0,所以x∈(1.75,1.812 5).1由于|1.812 5-1.75|=0.062 5<0.1,所以区间(1.75,1.812 5)内的每一个实数都可以作为方程lnx-2x+3=0在区间［1,2］内的根.点评：①先设出方程对应的函数，画出函数的图象，初步确定解所在的区间,再用二分法求方程近似解.②二分法,即逐渐逼近的方法.③计算量较大，而且是重复相同的步骤，借助计算器或计算机完成计算比较容易.知能训练1.根据下表中的数据，可以断定方程e x-x-2=0的一个根所在的区间为( )A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)2.用二分法判断方程2x=x2的根的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案:1.C.设f(x)=e x-x-2,f(1)<0,f(2)>0,即f(1)f(2)<0,∴x∈(1,2).2.C.设f(x)=2x-x2(下表),画出函数y=2x与y=x2的图象(图3-1-2-6).图3-1-2-6由图与表,知有三个根.拓展提升从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为多少？(此例既体现了二分法的应用价值，也有利于发展学生的应用意识)答案:至少需要检查接点的个数为4.课堂小结活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.引导方法：从基本知识基本技能和思想方法两方面来总结.①掌握用二分法求方程的近似解，及二分法的其他应用.②思想方法：函数方程思想、数形结合思想.作业课本P习题3.1A组1、3.92设计感想“猜价格”的游戏深受人们的喜欢,它是二分法的具体应用,用它引入拉近了数学与生活的距离.二分法是科学的数学方法，它在求方程的近似解和现实生活中都有着广泛的应用.本节设计紧紧围绕这两个中心展开，充分借助现代教学手段，用多种角度处理问题，使学生充分体会数学思想方法的科学性与完美性.习题详解(课本第88页练习)1.(1)令f(x)=-x2+3x+5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(1))，它与x轴有两个交点，所以方程-x2+3x+5=0有两个不相等的实数根.(2)2x(x-2)=-3可化为2x2-4x+3=0，令f(x)=2x2-4x+3,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(2))，它与x 轴没有交点，所以方程2x(x-2)=-3无实数根.(3)x2=4x-4可化为x2-4x+4=0,令f(x)=x2-4x+4,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(3))，它与x轴只有一个交点(相切)，所以方程x2=4x-4有两个相等的实数根.(4)5x2+2x=3x2+5可化为2x2+2x-5=0,令f(x)=2x2+2x-5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(4))，它与x 轴有两个交点，所以方程5x2+2x=3x2+5有两个不相等的实数根.图3-1-2-72.(1)作出函数图象(图3-1-2-8(1)),因为f(1)=1>0,f(1.5)=-2.875<0,所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有一个零点.又因为f(x)是(-∞,+∞)上的减函数，所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有且只有一个零点. (2)作出函数图象(图3-1-2-8(2)),因为f(3)<0,f(4)>0,所以f(x)=2x·ln(x-2)-3在区间(3,4)上有一个零点.又因为f(x)=2x·ln(x-2)-3在(2,+∞)上是增函数,所以f(x)在(3,4)上有且仅有一个零点.(3)作出函数图象(图3-1-2-8(3)),因为f(0)<0,f(1)>0,所以f(x)=e x-1+4x-4在区间(0,1)上有一个零点. 又因为f(x)=e x-1+4x-4在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点.(4)作出函数图象(图3-1-2-8(4)),因为f(-4)<0,f(-3)>0,f(-2)<0,f(2)<0,f(3)>0,所以f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一个零点.图3-1-2-8(课本第91页练习)1.由题设可知f(0)=-1.4<0,f(1)=1.6>0,于是f(0)·f(1)<0,所以函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点x.下面用二分法求函数f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在区间(0，1)内的零点.取区间(0，1)的中点x=0.5,用计算器可算得f(0.5)=-0.55.1因为f(0.5)·f(1)<0,所以x∈(0.5,1).再取区间(0.5，1)的中点x=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.32.2因为f(0.5)·f(0.75)<0,所以x∈(0.5,0.75).同理,可得x∈(0.625,0.75)，x0∈(0.625,0.687 5)，x0∈(0.656 25,0.687 5).由于|0.687 5-0.656 25|=0.031 25<0.1,所以原方程的近似解可取为0.656 25.2.原方程可化为x+lgx-3=0,令f(x)=x+lgx-3,用计算器可算得f(2)≈-0.70,f(3)≈0.48.于是f(2)·f(3)<0, 所以这个方程在区间(2,3)内有一个解x.下面用二分法求方程x=3-lgx在区间(2,3)的近似解.取区间(2,3)的中点x=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈-0.10.因为f(2.5)·f(3)<0,所以x0∈(2.5,3).1再取区间(2.5,3)的中点x=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以x0∈2(2.5,2.75).同理,可得x∈(2.5,2.625),x0∈(2.562 5,2.625),x0∈(2.562 5,2.593 75),x0∈(2.578 125,2.593 75),x0∈(2.585 937 5,2.59 375).由于|2.585 937 5-2.593 75|=0.007 812 5<0.01,所以原方程的近似解可取为2.593 75.(课本第92页习题3.1)A组1.A,C点评：需了解二分法求函数的近似零点的条件.2.由x,f(x)的对应值表可得f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,又根据“如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.”可知函数f(x)分别在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内有零点.3.原方程即(x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1,可算得f(-1)=-1,f(0)=5.于是f(-1)·f(0)<0,所以这个方程在区间(-1,0)内有一个解.下面用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间(-1，0)内的近似解.取区间(-1，0)的中点x=-0.5,用计算器可算得f(-0.5)=3.375.1因为f(-1)·f(-0.5)<0,所以x∈(-1,-0.5).再取(-1，-0.5)的中点x=-0.75,用计算器可算得f(-0.75)≈1.58.2因为f(-1)·f(-0.75)<0,所以x∈(-1,-0.75).同理,可得x∈(-1,-0.875)，x0∈(-0.937 5,-0.875).由于|(-0.875)-(-0.937 5)|=0.062 5<0.1,所以原方程的近似解可取为-0.937 5.4.原方程即0.8x -1-lnx=0,令f(x)=0.8x -1-lnx,f(0)没有意义，用计算器算得f(0.5)≈0.59,f(1)=-0.2. 于是f(0.5)·f(1)<0,所以这个方程在区间(0.5,1)内有一个解.下面用二分法求方程0.8x -1=lnx 在区间(0，1)内的近似解.取区间(0.5，1)的中点x 1=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.13.因为f(0.75)·f(1)<0,所以x 0∈(0.75,1).再取(0.75,1)的中点x 2=0.875,用计算器可算得f(0.875)≈-0.04.因为f(0.875)·f(0.75)<0,所以x 0∈(0.75,0.875).同理,可得x 0∈(0.812 5,0.875)，x 0∈(0.812 5,0.843 75).由于|0.812 5-0.843 75|=0.031 25<0.1,所以原方程的近似解可取为0.843 75.5.由题设有f(2)≈-0.31<0,f(3)≈0.43>0,于是f(2)·f(3)<0,所以函数f(x)在区间(2，3)内有一个零点.下面用二分法求函数f(x)=lnx x2-在区间(2，3)内的近似解. 取区间(2，3)的中点x 1=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈0.12.因为f(2)·f(2.5)<0,所以x 0∈(2,2.5).再取(2，2.5)的中点x 2=2.25,用计算器可算得f(2.25)≈-0.08.因为f(2.25)·f(2.5)<0,所以x 0∈(2.25,2.5).同理,可得x 0∈(2.25,2.375)，x 0∈(2.312 5,2.375),x 0∈(2.343 75,2.375),x 0∈(2.343 75,2.359 375),x 0∈(2.343 75,2.351 562 5),x 0∈(2.343 75,2.347 656 25).由于|2.343 75-2.347 656 25|=0.003 906 25<0.01,所以原方程的近似解可取为2.347 656 25.B 组1.将系数代入求根公式x=aac b b 242-±-,得x=22)1(24)3(322⨯-⨯⨯--±=4173+,所以方程的两个解分别为x 1=4173+,x 2=4173-. 下面用二分法求方程的近似解.取区间(1.775,1.8)和(-0.3,-0.275),令f(x)=2x 2-3x-1.在区间(1.775,1.8)内用计算器可算得f(1.775)=-0.023 75,f(1.8)=0.08.于是f(1.775)·f(1.8)<0.所以这个方程在区间(1.775,1.8)内有一个解.由于|1.8-1.775|=0.025<0.1,所以原方程在区间(1.775,1.8)内的近似解可取为1.8.同理,可得方程在区间(-0.3,-0.275)内的近似解可取为-0.275.所以方程精确到0.1的近似解分别是1.8和-0.3.2.原方程即x 3-6x 2-3x+5=0,令f(x)=x 3-6x 2-3x+5,函数图象如下图所示.图3-1-2-9所以这个方程在区间(-2,0),(0,1),(6,7)内各有一个解.取区间(-2，0)的中点x 1=-1,用计算器可算得f(-1)=1.因为f(-2)·f(-1)<0,所以x 0∈(-2,-1).再取(-2，-1)的中点x 2=-1.5,用计算器可算得f(-1.5)=-7.375.因为f(-1.5)·f(-1)<0,所以x 0∈(-1.5,-1).同理,可得x 0∈(-1.25,-1)，x 0∈(-1.125,-1),x 0∈(-1.125,-1.062 5).由于|(-1.062 5)-(-1.125)|=0.062 5<0.1,所以原方程在区间(-2，0)内的近似解可取为-1.062 5.同理,可得原方程在区间(0，1)内的近似解可取为0.7,在区间(6，7)内的近似解可取为6.3.3.(1)由题设有g(x)=2-［f(x)］2=2-(x 2+3x+2)2=-x 4-6x 3-13x 2-12x-2.(2)函数图象如下图所示.图3-1-2-10(3)由图象可知，函数g(x)分别在区间(-3，-2)和区间(-1，0)内各有一个零点.取区间(-3，-2)的中点x=-2.5,用计算器可算得g(-2.5)=0.187 5.1因为g(-3)·g(-2.5)<0,所以x∈(-3,-2.5).再取(-3，-2.5)的中点x=-2.75,用计算器可算得g(-2.75)≈0.28.2因为g(-3)·g(-2.75)<0,所以x∈(-3,-2.75).同理,可得x∈(-2.875,-2.75)，x0∈(-2.812 5,-2.75).由于|-2.75-(-2.812 5)|=0.062 5<0.1,所以原方程在区间(-3，-2)内的近似解可取为-2.812 5.同样可求得函数在区间(-1,0)内的零点约为-0.2.所以函数g(x)精确到0.1的零点约为-2.8或-0.2.点评：第2、3题采用信息技术画出函数图象,并据此明确函数零点所在的区间.在教学中,如果没有信息技术条件,建议教师直接给出函数图象或零点所在区间.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

人教A版数学必修一3.1.2用二分法求方程的近似解(4).pptx

例5（上海02高考）、
已知函数 f ( x) a x x 2 a 1
x1
（1）求证：f(x)在 (1,) 为增函数。（2）若a=3,求方程f(x)=0的正根（精确到0.1）
作业
完成<<成才之路>>,<<作业本>>
(a) • f (x1)
x1 就是函数的零点；
0，则令b=x1(此时零点
x0
(a,
x1
)
)；
x ③若 f (x1) • f (b) 0 ，则令a= 1 (此时零点 x0 (x1,b))；
⑷,判则断得是到否零达点到近精似确值度：即若|a-b|<
为a(或b);否则重复⑵~⑷
关于二分法的适用范围和精确度
2 1
例3．已知函数 f (x) mx2 (m 3)x 1
x 的图象与轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数
m 的取值范围是（）
A．(0,1]B．
C． (,D1．)
(0,1)
(,1]
3 例4．求 3 的近似值。（精确度0.1）
解:x= 3 3
x3 3
x3 3 0 再利用二分法求近似根
的零点，并画出它的图象。
解:
y x3 2x2 x 2 (x 2)(x 1)(x 1)
所以零点为 1,1, 2 ，3个零点把横轴
分成4个区间，然后列表描点画图
例2．已知函数 f (x) ax3 bx2 cx d
的图象如图所示，则
A．b (, 0) B． b (0,1) C． b (1, 2) D． b (2, )
是连续不间断的一条曲线，并且有 f (a) f (b) 0 那么函数 y f (x) 在区间 (a, b) 内有零点，即存在