高中数学选修2-3 (75)

阶段复习课第二课　随机变量及其分布返[核心速填](建议用时5分钟)1．离散型随机变量如果随机变量X 的所有可能的取值都能__________，则称X 为离散型随机变量．2．条件概率的性质 (1)非负性：______________.(2)可加性：如果是两个互斥事件， 则P (B ∪C |A )＝________________． 一一列出 0≤P (B |A )≤1 P (B |A )＋P (C |A )返3．相互独立事件的性质(1)推广：一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1A 2…A n )＝_________________________． (2)对于互斥事件A 与B 有下面的关系：P (A ＋B )＝__________． P (A 1)×P (A 2)×…×P (A n ) P (A )＋P (B )返4．二项分布满足的条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的． (2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． (4)随机变量是这n 次独立重复试验中某事件发生的次数． 5．超几何分布与二项分布的概率计算(1)超几何分布：P (X ＝k )＝___________ (其中k 为非负整数)．(2)二项分布：P (X ＝k )＝____________ (k ＝0,1,2，…，n )． C k M C n －k N －MC nN C k n p k (1－p )n －k返6．期望与方差及性质(1)E (X )＝________________________.(2)D (X )＝_______________________________________________.(3)若·＝a ¾＋b (a ，b 是常数)，¾是随机变量，则·也是随机变量，E (·)＝E (a ¾＋b )＝___________.(4)D (a ¾＋b )＝________． (5)D (¾)＝_______________.X 1·P 1＋X 2·P 2＋…＋X n P n (X 1－E (X ))2·P 1＋(X 2－E (X ))2·P 2＋…＋(x n －E (X ))2·P n aE (¾)＋b a 2D (¾)E (¾2)－(E (¾))2返7．正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P (¼－Ã＜X ≤¼＋Ã)≈_________. (2)P (¼－2Ã＜X ≤¼＋2Ã)≈_______. (3)P (¼－3Ã＜X ≤¼＋3Ã)≈________. 68.27% 95.45% 99.73%[体系构建]返返返条件概率[题型探究]条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率．求条件概率的主要方法有：(1)利用条件概率公式P (B |A )＝P ABP A；(2)针对古典概型，可通过缩减基本事件总数求解．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率.【导学号：95032213】返[解]设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2次抽到理科题”为事件B，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB.(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n(©)＝A25＝20.根据分步乘法计数原理，n(A)＝A13×A14＝12.于是P(A)＝n An ©＝1220＝35.(2)因为n(AB)＝A23＝6，所以P(AB)＝n ABn ©＝620＝310.返返(3)法一(定义法)：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率P (B |A )＝P AB P A＝31035＝12.法二(直接法)：因为n (AB )＝6，n (A )＝12， 所以P (B |A )＝n AB n A＝612＝12.[规律方法]条件概率的两个求解策略(1)定义法：计算P(A)，P(B)，P(AB)，利用P(A|B)＝P ABP B或P B|A ＝P ABP A求解．(2)缩小样本空间法(直接法)：利用P(B|A)＝n ABn A求解．其中(2)常用于古典概型的概率计算问题．返[跟踪训练]1．抛掷5枚硬币，在已知至少出现了2枚正面朝上的情况下，问：正面朝上数恰好是3枚的条件概率是多少？[解]法一(直接法)：记至少出现2枚正面朝上为事件A，恰好出现3枚正面朝上为事件B，所求概率为P(B|A)，事件A包含的基本事件的个数为n(A)＝C25＋C35＋C45＋C55＝26，事件B包含的基本事件的个数为n(B)＝C35＝10，P(B|A)＝n ABn A＝n Bn A＝10 26＝513.返法二(定义法)：事件A，B同上，则P(A)＝C25＋C35＋C45＋C5525＝2632，P(AB)＝P(B)＝C3525＝1032，所以P(B|A)＝P ABP A＝P BP A＝513.返相互独立事件的概率与二项分布求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解．特别注意以下两公式的使用前提：(1)若A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立．(2)若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)，反之成立．返一个暗箱里放着6个黑球、4个白球．(1)依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率．(2)有放回地依次取出3个球，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率．(3)有放回地依次取出3个球，求取到白球个数¾的分布列和期望.【导学号：95032214】返返[解] 设事件A 为“第1次取出的是白球，第3次取到黑球”，B 为“第2次取到白球”，C 为“第3次取到白球”，(1)P (A )＝C 14 C 16C 15＋C 13C 16 C 14A 29＝23. (2)因为每次取出之前暗箱的情况没有变化，所以每次取球互不影响， 所以P (C －)＝610＝35.返(3)设事件D 为“取一次球，取到白球”，则P (D )＝25，P (D －)＝35，这3次取出球互不影响，则¾～B3，25， 所以P (¾＝k )＝C k 3 25k353－k(k ＝0,1,2,3)．E (¾)＝3×25＝65.返提醒：有放回地依次取出3个球，相当于独立重复事件，即¾～B3，25，则可根据独立重复事件的定义求解．[规律方法]求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题(1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．(3)公式“P(A＋B)＝1－P(A－B－)”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．返[跟踪训练]2．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用¾表示红队队员获胜的总盘数，求P(¾≤1)．返返[解] (1)设“甲胜A ”为事件D ，“乙胜B ”为事件E ，“丙胜C ”为事件F ，则D －，E －，F －分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式，知P (D －)＝ 0.4，P (E －)＝0.5，P (F －)＝0.5.红队至少两人获胜的事件有DE F －，D E －F ，D －EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F －)＋P (D E －F )＋P (D －EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意，知¾的可能取值为0,1,2,3.P(¾＝0)＝P(D－E－F－)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P(¾＝1)＝P(D－E－F)＋P(D－E F－)＋P(D E－F－)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，所以P(¾≤1)＝P(¾＝0)＋P(¾＝1)＝0.45.返(2)由题意，知¾的可能取值为0,1,2,3.P(¾＝0)＝P(D－E－F－)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P(¾＝1)＝P(D－E－F)＋P(D－E F－)＋P(D E－F－)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，所以P(¾≤1)＝P(¾＝0)＋P(¾＝1)＝0.45.返离散型随机变量的分布列、均值和方差1.含义：均值和方差分别反映了随机变量取值的平均水平及其稳定性．2．应用范围：均值和方差在实际优化问题中应用非常广泛，如同等资本下比较收益的高低、相同条件下比较质量的优劣、性能的好坏等．3．求解思路：应用时，先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布列．对于一般类型的随机变量，应先求其分布列，再代入公式计算，此时解题的关键是概率的计算．计算概率时要结合事件的特点，灵活地结合排列组合、古典概型、独立重复试验概率、互斥事件和相互独立事件的概率等知识求解．若离散型随机变量服从特殊分布(如两点分布、二项分布等)，返一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字)(1)设随机变量·表示一次掷得的点数和，求·的分布列．(2)若连续投掷10次，设随机变量¾表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E(¾)，D(¾)．返返[解] (1)由已知，随机变量·的取值为：2,3,4,5,6.设掷一次正方体骰子所得点数为·0，则·0的分布列为：P (·0＝1)＝16，P (·0＝2)＝13， P (·0＝3)＝12， 所以·的分布列为： P (·＝2)＝16×16＝136， P (·＝3)＝2×16×13＝19，P(·＝4)＝2×16×12＋13×13＝518，P(·＝5)＝2×13×12＝13.P(·＝6)＝12×12＝14.返返(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为6，设其发生的概率为p ，由(1)知，p ＝14，因为随机变量¾～B10，14， 所以E (¾)＝np ＝10×14＝52， D (¾)＝np (1－p )＝10×14×34＝158.[规律方法]求离散型随机变量的期望与方差的步骤返[跟踪训练]3．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．返返[解] (1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以，事件A 发生的概率为635.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3C 48(k ＝1,2,3,4)．所以，随机变量X 的分布列为 X 1 2 3 4 P1143737114随机变量X 的数学期望E (X )＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52.正态分布的概率对于正态分布问题，课标要求不是很高，只要求了解正态分布中最基础的知识，主要是：(1)掌握正态分布曲线函数关系式；(2)理解正态分布曲线的性质；(3)记住正态分布在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图象求相应的概率．返正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝¼对称，曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3Ã原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的¼、Ã进行对比联系，确定它们属于(¼－Ã，¼＋Ã)，(¼－2Ã，¼＋2Ã)，(¼－3Ã，¼＋3Ã)中的哪一个．返设X～N(10,1)．(1)证明：P(1＜X＜2)＝P(18＜X＜19)．(2)设P(X≤2)＝a，求P(10＜X＜18).【导学号：95032215】返返[解] (1)证明：因为X ～N (10,1)，所以，正态曲线Ƽ，Ã(x )关于直线x ＝10对称，而区间(1,2)和(18,19)关于直线x ＝10对称，所以 12Ƽ，Ã(x )dx ＝ 1819Ƽ，Ã(x)dx即P (1＜X ＜2)＝P (18＜X ＜19)．(2)因为P(X≤2)＋P(2＜X≤10)＋P(10＜X＜18)＋P(X≥18)＝1，P(X≤2)＝P(X≥18)＝a，P(2＜X≤10)＝P(10＜X＜18)，所以，2a＋2P(10＜X＜18)＝1，即P(10＜X＜18)＝1－2a2＝12－a.返母题探究：(改变结论)在题设条件不变的情况下，求P(8＜X＜12)．[解]由X～N(10,1)可知，¼＝10，Ã2＝1，又P(8＜X＜12)＝P(10－2＜X＜10＋2)＝0.954 5.返[规律方法]正态分布的概率求法(1)注意“3Ô原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率．(2)注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．返[跟踪训练]4．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(¼，22)，且正态分布密度曲线如图2-2所示．若体重大于58.5 kg小)于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是(A．997B．954C．819D．683返D[由题意，可知¼＝60.5，Ã＝2，故P(58.5<X≤62.5)＝P(¼－Ã<X≤¼＋Ã)＝0.682 7，从而属于正常情况的人数是1 000×0.682 7≈683.]返专题强化训练（二）点击上面图标进入…返谢谢观看。