【20套试卷合集】北京市第十二中学2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案
2023-2024学年北京丰台区十二中高二(上)期中数学试题及答案
北京十二中2023-2024学年第一学期高二年级期中考试2023.11本试卷共4页，满分150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题纸交回。
第一部分选择题（共60分）一、选择题。
本题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.直线21y x =-+的一个方向向量是A.(1,2)- B.(2,1)- C.(1,2)D.(2,1)2.已知圆心为(1,2)，且过原点的圆的方程为A.5)2()1(22=-+-y xB.5)2()1(22=-+-y x C.5)2()1(22=+++y x D.22(1)(2)5x y +++=3.正方体1111ABCD A B C D -中，E 为正方形1111A B C D 的中心，1AE AA xAB y AD =++，则x ，y 的值是A.1x =，1y = B.12x =，1y = C.1x =，12y =D.12x =，12y =4.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，设11AD AA ==，2AB =，则1BD AD ⋅等于A.1B.2C.3D.365.“1a =”是“直线(1)10ax a y +--=与直线(1)10a x ay -++=垂直”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.下面结论正确的个数是①已知,,a b c是不共面的三个向量，则c ，a c + ，a c - 能构成空间的一个基底；②任意向量,,a b c （0a ≠）满足a b a c ⋅=⋅ ，则b c = ；③已知向量(1,1,)a x = ，(3,,9)b x =- ，若a 与b共线，则3x =-．A.3B.2C.1D.07.已知圆C 的方程为22(3)(4)1x y -+-=，过直线l ：3450x y +-=上任意一点作圆C 的切线，则切线长的最小值为A.4B.C.D.58.已知(2,3)A -，(3,2)B --，直线l 过点(1,1)P 且与射线AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是A.4k - 或15k -B.344k -C.145k -<-D.4k - 或51->k10.已知空间直角坐标系O xyz -中，(1,2,3)OA = ，(2,1,2)OB = ，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为A.131(,,)243B.11(,,1)22 C.44833(3,, D.333(,,)44212.在空间直角坐标系O xyz -中，若有且只有一个平面α，使点(2,2,2)A 到α的距离为1，且点(,0,0)B m 到α的距离为4，则m 的值为A.2B.1或3C.0或4D.2-2第二部分非选择题（共90分）二、填空题。
北京市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含答案
北京市2023—2024学年第一学期期中阶段练习高二数学（答案在最后）2023.11班级____________姓名____________学号____________本试卷共3页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．．.1.已知(1,3),(3,5)A B --，则直线AB 的斜率为（）A.2 B.1C.12D.不存在【答案】A 【解析】【分析】由斜率公式，可求出直线AB 的斜率.【详解】由(1,3),(3,5)A B --，可得35213AB k --==--.故选：A.2.圆222430x y x y +-++=的圆心为（）．A.(1,2)-B.(1,2)- C.(2,4)- D.(2,4)-【答案】A 【解析】【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，从而可求出其圆心坐标.【详解】由222430x y x y +-++=，得22(1)(2)2x y -++=，所以圆心为(1,2)-，故选：A3.一个椭圆的两个焦点分别是()13,0F -，()23,0F ，椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（）A.2216428x y += B.221167x y += C.221169x y += D.22143x y +=【答案】B 【解析】【分析】利用椭圆的定义求解即可.【详解】椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，故28,4a a ==，且()13,0F -，故2223,7c b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为221167x y +=.故选：B4.任意的k ∈R ，直线13kx y k -+=恒过定点（）A.()0,0 B.()0,1 C.()3,1 D.()2,1【答案】C 【解析】【分析】将直线方程整理成斜截式，即可得定点.【详解】因为13kx y k -+=，即()31y k x =-+，所以直线13kx y k -+=恒过定点()3,1.故选：C.5.已知圆221:1C x y +=与圆222:870C x y x +-+=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（）A.相离B.相交C.内切D.外切【答案】D 【解析】【分析】求出两圆的圆心和半径，得到12124C C r r ==+，得到两圆外切.【详解】圆221:1C x y +=的圆心为()10,0C ，半径为11r =，圆()22222:87049C x y x x y +-+=⇒-+=，故圆心()24,0C ，半径为23r =，则12124C C r r ==+，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是外切.故选：D6.过点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与圆2214x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角取值范围是（）A.π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.π22π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.5π,π6⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系及倾斜角与斜率的关系计算即可.【详解】易知圆的半径为12，圆心为原点，当倾斜角为π2时，即直线l 方程为12x =-，此时直线l 与圆相切满足题意；当斜率存在时，不妨设直线l方程为122y k x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则圆心到其距离为12d =≤，解不等式得33k ≤-，所以直线l 的倾斜角取值范围为π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：A7.“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求出当12l l //时实数的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】当12l l //时，()34a a -=，即2340a a --=，解得1a =-或4.当1a =-时，直线1l 的方程为430x y -+=，直线2l 的方程为420x y -+=，此时12l l //；当4a =时，直线1l 的方程为304x y +-=，直线2l 的方程为20x y ++=，此时12l l //.因为{}1-{}1,4-，因此，“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行”的充分不必要条件.故选：A.8.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AA AD AB ===，2BAD π∠=，113BAA A AD π∠=∠=，则11AB AD ⋅=（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】()()21111111AB AD AB AA AD AA AB AD AB AA AD AA AA ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+ 211110222228,22AB AD ⇒⋅=+⨯⨯+⨯⨯+= 故选：B9.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点()2,0A ，()1,2B ，且AC BC =，则△ABC 的欧拉线的方程为（）A.240x y --=B.240x y +-=C.4210x y ++=D.2410x y -+=【答案】D 【解析】【分析】由题设条件求出AB 垂直平分线的方程，且△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，结合欧拉线的定义，即垂直平分线即为欧拉线.【详解】由题设，可得20212AB k -==--，且AB 中点为3(,1)2，∴AB 垂直平分线的斜率112AB k k =-=，故垂直平分线方程为131()12224x y x =-+=+，∵AC BC =，则△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，∴△ABC 的欧拉线的方程为2410x y -+=.故选：D10.曲线33:1C x y +=.给出下列结论:①曲线C 关于原点对称;②曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1;③曲线C 只经过2个整点(即横､纵坐标均为整数的点).其中,所有正确结论的序号是A.①② B.②C.②③D.③【答案】C 【解析】【分析】将(),x y --代入，化简后可确定①的真假性.对x 分成0,0,01,1,1x x x x x <=<<=>等5种情况进行分类讨论，得出221x y +≥，由此判断曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1.进而判断出②正确.对于③，首先求得曲线C 的两个整点()()0,1,1,0，然后证得其它点不是整点，由此判断出③正确.【详解】①，将(),x y --代入曲线33:1C x y +=，得331x y +=-，与原方程不相等，所以曲线C 不关于原点对称，故①错误.②，对于曲线33:1C x y +=，由于331y x =-，所以y =，所以对于任意一个x ，只有唯一确定的y和它对应.函数y =是单调递减函数.当0x =时，有唯一确定的1y =；当1x =时，有唯一确定的0y =.所以曲线C 过点()()0,1,1,0，这两点都在单位圆上，到原点的距离等于1.当0x <时，1y >，所以221x y +>>.当1x >时，0y <，所以221x y +>>.当01x <<时，01y <<，且()()()()223322221110x y x y x y x x y y -+=+-+=-+-<，所以221x y +>>.综上所述，曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1，所以②正确.③，由②的分析可知，曲线C 过点()()0,1,1,0，这是两个整点.由331x y +=可得()331x y -=-，当0x ≠且1x ≠时，若x 为整数，31x -必定不是某个整数的三次方根，所以曲线C 只经过两个整点.故③正确.综上所述，正确的为②③.故选：C【点睛】本小题主要考查根据曲线方程研究曲线的性质，属于中档题.二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．.11.已知空间()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，a b ⊥ ，则b ＝_____．【答案】【解析】【分析】根据空间向量的垂直，根据数量积的坐标表示，建立方程，结合模长公式，可得答案.【详解】由a b ⊥ ，且()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，则860a b x ⋅=-++=r r ，解得2x =，故b =r.故答案为：12.已知过点(0,2)的直线l 的方向向量为(1,6)，点(,)A a b 在直线l 上，则满足条件的一组,a b 的值依次为__________．【答案】1；8【解析】【分析】根据方向向量设出直线l 的方程，再由点(0,2)求出其方程，从而得出62b a =+，即可得出答案.【详解】直线l 的方向向量为(1,6)，可设直线l 的方程为60x y C -+=因为点(0,2)在直线l 上，所以2C =，即直线l 为620x y -+=所以620a b -+=，即62b a =+可取1a =，则8b =故答案为：1；813.在正方体ABCD A B C D -''''中，E 是C D ''的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为______.【答案】10【解析】【分析】利用正方体的特征构造平行线，利用勾股定理及余弦定理解三角形即可.【详解】如图所示，取A B ''的中点F ，易得//AF DE ，则FAC ∠或其补角为所求角，不妨设正方体棱长为2，则,3,AF FC FC AC '====，由余弦定理知：222cos 210AF AC FC FAC AF AC +-∠==⋅，则FAC ∠为锐角，即异面直线DE 与AC 所成角.故答案为：1010.14.将一张坐标纸对折，如果点()0,m 与点()()2,22m m -≠重合，则点()4,1-与点______重合.【答案】()1,2--【解析】【分析】先求线段AB 的中垂线方程，再根据点关于直线对称列式求解即可.【详解】已知点()0,A m 与点()2,2B m -，可知线段AB 的中点为1,122mm M ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，且212AB mk m -==--，则线段AB 的中垂线的斜率1k =，则线段AB 的中垂线方程为1122m m y x ⎛⎫⎛⎫-+=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即20x y -+=，设点()4,1-关于直线20x y -+=的对称点为(),a b ，则114412022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩，所以所求点为()1,2--.故答案为：()1,2--.15.给定两个不共线的空间向量a 与b，定义叉乘运算：a b ⨯ .规定：（i ）a b ⨯ 为同时与a，b垂直的向量；（ii ）a，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图1）；（iii ）sin ,a b a b a b ⨯=.如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =.给出下列四个结论：①1AB AD AA ⨯= ；②AB AD AD AB ⨯=⨯；③()111AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯ ；④()11111ABCD A B C D V AB AD CC -=⨯⋅.其中，正确结论的序号是______________.【答案】①③④【解析】【分析】由新定义逐一核对四个选项得答案．【详解】解： ||||||sin902214AB AD AB AD ⨯=︒=⨯⨯=，且1AA 分别与,AB AD 垂直，∴1AB AD AA ⨯= ，故①正确；由题意，1AB AD AA ⨯= ，1AD AB A A ⨯=，故②错误；AB AD AC +=，∴11|()|||41AB AD AA AC AA +⨯=⨯=⨯= 且1()AB AD AA +⨯ 与DB 共线同向， 1||2418AB AA ⨯=⨯⨯= ，1AB AA ⨯ 与DA 共线同向，1||2418AD AA ⨯=⨯⨯= ，1AD AA ⨯ 与DB共线同向，11||AB AA AD AA ∴⨯+⨯= 11AB AA AD AA ⨯+⨯ 与DB共线同向，故③正确；11()||||||sin90cos022416AB AD CC AB AD CC ⨯=⨯⨯︒⨯︒=⨯⨯=，故④成立．故答案为：①③④．三、解答题：本大题共6题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并把答案．．．写在答题纸中相应位置上．．．．．．．．．．．.16.在平面直角坐标系中，已知(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，线段AC 的中点M ；（1）求过M 点和直线BC 平行的直线方程；（2）求BC 边的高线所在直线方程．【答案】（1）3170x y -+=（2）30x y +=【解析】【分析】（1）根据(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，求得点M 的坐标，和直线直线BC 的斜率，写出直线方程；（2）根据13BC k =，得到BC 边的高线的斜率，写出直线方程；【小问1详解】解：因为(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，所以()1,6M ，13BC k =，所以过M 点和直线BC 平行的直线方程为()1613y x -=-，即3170x y -+=；【小问2详解】因为13BC k =，所以BC 边的高线的斜率为-3，所以BC 边的高线所在直线方程()933y x -=-+，即30x y +=17.如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1BB 的中点.（1）求证：1//BC 平面1AED ；（2）求点1A 到平面1AED 的距离；（3）直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）43（3）23【解析】【分析】（1）证明出四边形11ABC D 为平行四边形，可得出11//BC AD ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点1A 到平面1AED 的距离；（3）利用空间向量法可求得直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【小问1详解】证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB C D 且11AB C D =，故四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ，因为1BC ⊄平面1AED ，1AD ⊂平面1AED ，因此，1//BC 平面1AED .【小问2详解】解：以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()0,2,1E 、()12,0,2D ，所以，()10,0,2AA = ，()12,0,2AD = ，()0,2,1AE = ，设平面1AED 的法向量为(),,n x y z = ，则122020n AD x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取2z =-，可得()2,1,2n =- ，所以，点1A 到平面1AED 的距离为143AA n d n⋅== .【小问3详解】解：因为11142cos ,233AA n AA n AA n ⋅<>===⨯⋅ ，因此，直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值为23.18.已知圆C 的圆心在直线20x y -=上，且与x 轴相切于点()1,0.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 直线:0l x y m -+=交于A ，B 两点，____，求m 的值.从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：圆C 被直线l 分成两段圆弧，其弧长比为2:1；条件②：2AB =；条件③：90ACB ∠=︒.【答案】（1）()()22124x y -+-=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用几何关系求出圆心的坐标即可；（2）任选一个条件，利用选择的条件，求出圆心到直线的距离，然后列方程求解即可.【小问1详解】设圆心坐标为(),C a b ，半径为r .由圆C 的圆心在直线20x y -=上，知：2a b =.又 圆C 与x 轴相切于点()1,0，1a ∴=，2b =，则02r b =-=.∴圆C 圆心坐标为()1,2，则圆C 的方程为()()22124x y -+-=【小问2详解】如果选择条件①：120ACB ∠=°，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离1cos 60d CA =⨯= ，则1d ==，解得1m +或1+.如果选择条件②和③：AB =，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离d =，则d ==，解得1m =-或3.如果选择条件③：90ACB ∠=︒，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离cos 45d CA ⨯== ，则d ==，解得1m =-或3.19.如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面ABP ，,90,2,3,BC AD PAB PA AB AD BC m ∠=︒==== ，E 是PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PBC ；（2）若二面角C AE D --的余弦值是33，求m 的值；（3）若2m =，在线段A 上是否存在一点F ，使得PF CE ⊥．若存在，确定F 点的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）1（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）推导出⊥BC 平面PAB ．,AE BC AE PB ⊥⊥．由此能证明AE ⊥平面PBC ;（2）建立空间直角坐标系A xyz -，利用向量法能求出m 的值;（3）设()()0,0,03F t t ≤≤，当2m =，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE ==-- ，由PF CE ⊥知，0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,从而在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．【小问1详解】证明：因为AD ⊥平面PAB ，BC AD ∥,所以⊥BC 平面PAB ,又因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥．在PAB 中，PA AB =，E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥．又因为BC PB B = ,,BC PB ⊂平面PBC ,所以AE ⊥平面PBC ．【小问2详解】因为AD ⊥平面PAB ，,AB PA ⊂平面PAB ，所以,AD AB AD PA ⊥⊥,又因为PA AB ⊥,所以如图建立空间直角坐标系A xyz -．则()()()()()()0,0,0,0,2,0,0,2,,1,1,0,2,0,0,0,0,3A B C m E P D ,则()0,2,AC m = ，()1,1,0AE = ，设平面AEC 的法向量为 =s s ．则00AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即200y mz x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z m =，故21,1,n m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥,又AE PB ⊥,,,AD AE A AD AE ⋂=⊂平面AED ,所以PB ⊥平面AED ．又因为()2,2,0PB =- ，所以取平面AED 的法向量为()2,2,0PB =-所以cos ,3n PB n PB n PB⋅== ，3=，解得21m =．又因为0m >，所以1m =；【小问3详解】结论：不存在．理由如下：证明：设()()0,0,03F t t ≤≤．当2m =时，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE =-=-- ，由PF CE ⊥知0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,所以在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．20.已知圆()22:1C x a y -+=与直线1y x --=交于M 、N 两点，点P 为线段MN 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为13-.（1）求a 的值及MON △的面积；（2）若圆C 与x 轴交于,A B 两点，点Q 是圆C 上异于,A B 的任意一点，直线QA 、QB 分别交:4l x =-于,R S 两点.当点Q 变化时，以RS 为直径的圆是否过圆C 内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）12,2MON a S =-=（2）()4-【解析】【分析】（1）先确定直线OP 的方程，联立直线方程求得P 点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得a ，再根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可；（2）设QA 方程，含参表示QB 方程，求出,R S 坐标，从而求出以RS 为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可.【小问1详解】由题知：直线OP 方程为13y x =-，则由113y x y x =--⎧⎪⎨=-⎪⎩，得到3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 点P 为线段MN 的中点，MN PC ∴⊥，即1021132MN PC k k a -⋅=-⨯=-+，2a ∴=-，即圆心−2,0；C ∴到直线=1y x --距离为2d ==，MN ∴==，又O 到直线=1y x --的距离为22，MN 边上的高为22.11222MON S ∴=⨯= .【小问2详解】由上可知()()3,0,1,0A B --,不妨设直线QA 的方程为()3y k x =+，其中0k ≠，在直线QA 的方程中，令4x =-，可得()4,R k --，因为QA QB ⊥，则直线QB 的方程为()11y x k =-+，在直线QB 的方程中，令4x =-，可得3y k =，即点34,S k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则线段RS 的中点为234,2k F k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径平方为2232k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以，以线段MN 为直径的圆的方程为()2222233422k k x y k k ⎛⎫⎛⎫-+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()2223430k x y y k -++--=，由()2430031x y x ⎧+-=⎪=⎨⎪-<<-⎩，解得40x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，因此，当点Q 变化时，以RS 为直径的圆恒过圆C内的定点()4-+.21.已知{}1,2,,n S = ，A S ⊆，{}12,T t t S =⊆，记{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，用X 表示有限集合X 的元素个数.（1）若4n =，12A A =∅ ，分别指出{}1,2,3A =和{}1,2,4A =时，集合T 的情况（直接写出结论）；（2）若6n =，12A A =∅ ，求12A A ⋃的最大值；（3）若7n =，4A =，则对于任意的A ，是否都存在T ，使得12A A =∅ 说明理由.【答案】（1）{}1,4（2）10（3）不一定存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知得12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，当{}1,2,3A =时，12t t ，相差3；由此可求得T ，当{}1,2,4A =时，同理可得；（2）若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当{}2,3,4,5,6A =时，则12t t ，相差5，所以{}1,6T =，A 中至多有5个元素，所以12,A A 也至多有5个元素，求出12,A A 得出结果；（3）举反例{}1,2,5,7A =和{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，根据题意检验即可说明.【小问1详解】若12A A =∅ ，则12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，否则12t a t b +=+，12A A ⋂≠∅，若4n =，当{}1,2,3A =时，211-=，312-=，所以121,2t t -≠，则1t ，2t 相差3，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以{}1,4T =；当{}1,2,4A =时，211-=，422-=，413-=，所以121,2,3t t -≠，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以T 不存在；【小问2详解】若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当A S =时，211-=，514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，所以A S ≠，121,2,3,4,5t t -≠，所以T 不存在；所以A 中至多有5个元素；当{}2,3,4,5,6A =时，321-=，422-=，523-=，624-=，所以121,2,3,4t t -≠，则1t ，2t 相差5，所以{}1,6T =；{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，所以{}1345,6,7A =,,，{}28910,11,12A =,,，{}12345,6,7,8910,11,12A A = ,,,,.因为A 中至多有5个元素，所以1A ，2A 也至多有5个元素，所以12A A ⋃的最大值为10.【小问3详解】不一定存在，理由如下：例如{}1,2,5,7A =，则211-=514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，则1t ，2t 相差不可能1，2，3，4，5，6，这与{}{}12,1,2,3,4,5,6,7T t t =⊆矛盾，故不都存在T ；例如{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，不妨令121,6t t ==，则{}{}122,3,4,5,7,8,9,10A A ==，满足12A A =∅ .【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把定义进行转化为已知的知识点或结论，方便解题.。
【20套试卷合集】北京市第十二中学2019-2020学年数学高三上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高三上数学期中模拟试卷含答案一、选择题 本题共 8小题，每个小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项．．．．．．是符合题意。
1.设集合{}1, 2, 3, 4, 5M =，集合{}2,4,6N =，集合{}4, 5, 6T =，则()MT N 是（ ）． A ．{}2, 4, 5 6，B ． {}4, 5 6，C ． {}1, 2, 3, 4, 5 6，D ． {}2, 4, 62.复数1ii =-（ ） A ．122i +B ．122i - C ．122i -+ D ．122i -- 3．设数列{}n a 是等比数列，则“123a a a <<”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为2，则输出的x 的值为（ ）A ．3B ．126C ．127D ．1285. 若向量a=（1，2）与向量 b =（-1， x ）平行，则x 等于( ）（A ）-2 （B ）2 （C ）-21 （D ）216．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y 万元与营运年数x (x ∈N *)的关系式为y ＝－x 2＋12x －25，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为( )A ．2B ．4C ．5D ．6 7. 函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ）(A) 2sin(2)4y x π=-(B) 2sin(2)4y x π=+(C) 32sin()8y x π=+(D) 72sin()216x y π=+EOBCDAP8．已知函数()()1xf x x x=-∈+R ，区间[]()M a b a b =<，，集合{}()N y y f x x M ==∈，，则使MN =成立的实数对()a b ，有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分 9．函数1()1f x x x =+-(1)x >的最小值为 ． 10.在△ABC中，如果a =，2b =, 1c =，那么A 的值是______________11．二元一次不等式组1020x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，，，所表示的平面区域的面积为 ，12.等差数列{}n a 的公差d=3，且36a =，则10a 等于______________13.如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形， 则该三棱锥的体积是14．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为ij a （*,,N j i j i ∈≥），则53a 等于 ，____(3)mn a m =≥．三、解答题（本大题共6小题共80分，解答应写出文字说明演算步骤或证明过程。
【精品高二数学试卷】2019--2020高二(上)期中+答案
2019-2020学年北京市高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（3分）下列叙述中，错误的一项为（ ） A ．棱柱的面中，至少有两个面相互平行 B ．棱柱的各个侧面都是平行四边形 C ．棱柱的两底面是全等的多边形D ．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面2．（3分）下列函数中，在定义域内为奇函数，且在（0，+∞）上为减函数的是（ ） A ．f （x ）＝log 2xB ．f （x ）＝2﹣x 2C ．f （x ）＝3﹣xD ．f （x ）=−x 343．（3分）圆锥的高缩小为原来的13，底面半径扩大为原来的2倍，则它的体积是原来体积的（ ） A ．23B ．32C ．43D ．344．（3分）设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，“m ∥β“是“α∥β”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（3分）双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A ．√6B ．√3C ．√2D ．√336．（3分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，b ＝10，则结合a 的值解三角形有两解的为（ ） A ．a ＝8B ．a ＝9C ．a ＝10D ．a ＝117．（3分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为底面ABCD上的动点，PE⊥A1C于E，且P A＝PE，则点P的轨迹是（）A．线段B．圆弧C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分二、填空题（共7小题，其中，第9-14题，每小题3分，共18分；第15题，每空2分，共4分）9．（3分）圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0上的点到直线3x+4y+8＝0的最大距离是．10．（3分）若将函数f（x）＝sin（2x+π4）的图象向左平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是 ．11．（3分）如图是正方形的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60°角；④DM 与BN 垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是 ．12．（3分）已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ．13．（3分）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BC ＝CC 1＝1，∠AD 1B =π3，则直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为14．（3分）已知函数f （x ）＝ax 2﹣1的图象在点A （1，f （1））处的切线与直线x +8y ＝0垂直，若数列{1f(n)}的前n 项和为S n ，则S n ＝ ．15．（4分）如图，四面体 ABCD 的一条棱长为 x ，其余棱长均为 1，记四面体 ABCD 的体积为F （x ），则函数F （x ）的单调增区间是 ；最大值为 ．三、解答题（共5小题，共54分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．） 16．（8分）已知函数f （x ）＝sin 2ωx +√3sin ωx •sin （ωx +π2）﹣1（ω＞0）的相邻两条对称轴之间的距离为π2．（1）求ω的值；（2）当x ∈[−π12，π2]时，求函数f （x ）的值域．17．（8分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，满足a 1＝b 1＝2，2a 2＝b 2，S 2+T 2＝13．（1）求数列{a n }，{b n }通项公式；（2）设c n ＝a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和H n ．18．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ，点F 是棱PD 的中点，点E 为CD 的中点． （1）证明：EF ∥平面P AC ； （2）证明：AF ⊥PC ．19．（14分）已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的右焦点F(√3，0)，点M(−√3，12)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，过原点O 作直线l 的垂线，垂足为P ，如果△OAB 的面积为λ|AB|+42|OP|（λ为实数），求λ的值．20．（14分）已知函数f （x ）＝a （x ﹣2lnx ）−12x 2+2x ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）有两个不同的零点，求a 的取值范围．2019-2020学年北京市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．【解答】解：定义1：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体叫棱柱． 定义2：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围城的几何体叫棱柱；正4棱柱，正6棱柱中，相对的侧面都是互相平行的平面，故D 错； 故选：D ．2．【解答】解：A ．f （x ）的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数； B ．f （﹣x ）＝2﹣（﹣x ）2＝2﹣x 2＝f （x ），则f （x ）是偶函数，不满足条件； C ．f （x ）为指数函数，单调递减，为非奇非偶函数；D ．f （﹣x ）=−(−x)34=x 34=−f （x ），则f （x ）是奇函数，当x ＞0时，函数f （x ）为减函数，满足条件． 故选：D ．3．【解答】解：设一个圆锥的底面半径为r ，高为h ，则其体积V =13πr 2ℎ；圆锥的高缩小为原来的13，底面半径扩大为原来的2倍，则所得圆锥的底面半径为2r ，高为13ℎ，体积为V 1=13π⋅(2r)2⋅13ℎ=49πr 2ℎ． ∴V 1V=49πr 2ℎ13πr 2ℎ=43．∴它的体积是原来体积的43． 故选：C ．4．【解答】解：m ⊂α，m ∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m 和α，β的交线平行即可得到m ∥β；α∥β，m ⊂α，∴m 和β没有公共点，∴m ∥β，即α∥β能得到m ∥β； ∴“m ∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选：B．5．【解答】解：如图在Rt△MF1F2中，∠MF1F2＝30°，F1F2＝2c∴MF1=2ccos30°=43√3c，MF2=2c⋅tan30°=23√3c∴2a=MF1−MF2=43√3c−23√3c=23√3c∴e=ca=√3，故选：B．6．【解答】解：由正弦定理，有asinA =bsinB，∴sinB=bsinAa=10×√32a=5√3a，∵三角形有两解，∴sin B＜1且b＞a，∴5√3＜a＜10，因此由选项知，只有a＝9时符合条件，故选：B．7．【解答】解：由已知中锥体的侧视图和俯视图，可得该几何体是三棱锥，由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P﹣ABC所示：顶点P在以BA和BC为邻边的平行四边形ABCD上的射影为CD的中点O，故该锥体的正视图是：故选：A．8．【解答】解：连接A1P，由题意知A1A⊥AP，因为PE ⊥A 1C ，且P A ＝PE ， 所以△A 1AP ≌△A 1EP ， 所以A 1A ＝A 1E ，即E 为定点． 因为P A ＝PE ，所以点P 位于线段 AE 的中垂面上， 又点P 在底面上，所以点P 的轨迹为两平面的交线，即点P 的轨迹是线段． 故选：A ．二、填空题（共7小题，其中，第9-14题，每小题3分，共18分；第15题，每空2分，共4分）9．【解答】解：由题意可得，圆的标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1， 圆心的坐标为（1，1），半径r ＝1， ∴圆心到直线的距离 d =√3+4=3，所以所求最大距离是4， 故答案为：4．10．【解答】解：将函数f （x ）＝sin （2x +π4）的图象向左平移φ个单位，可得y ＝sin （2x +π4+2φ）的图象，再根据所得图象关于y 轴对称，可得π4+2φ=π2+k π，k ∈Z ，则φ的最小正值为π8，故答案为：π8．11．【解答】解：展开图复原的正方体如图，不难看出：①BM 与ED 平行；错误的，是异面直线； ②CN 与BE 是异面直线，错误；是平行线；③从图中连接AN ，AC ，由于几何体是正方体，故三角形ANC 是等边三角形，所以AN 与CN 的夹角是60°，又AN ∥BM ，故CN 与BM 成60°；正确； ④DM 与BN 垂直．正确 判断正确的答案为③④． 故答案为：③④．12．【解答】解：依题设P 在抛物线准线的投影为P '，抛物线的焦点为F ，则 F(12，0)， 依抛物线的定义知P 到该抛物线准线的距离为|PP '|＝|PF |， 则点P 到点A （0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和 d =|PF|+|PA|≥|AF|=√(12)2+22=√172．故答案为：√172． 13．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系． ∵长方体中，BC ＝CC 1＝1，∠AD 1B =π3， ∴AD 1=√2，AB ＝AD 1tan π3=√6．∴A （1，0，0），B 1（1，√6，1），B （1，√6，0），C 1（0，√6，1）． ∴AB 1→=（0，√6，1），BC 1→=（﹣1，0，1）， ∴cos ＜AB 1→，BC 1→＞=AB 1→⋅BC 1→|AB 1→|⋅|BC 1→|=7×2=√1414．故答案为：√1414．14．【解答】解：函数f （x ）＝ax 2﹣1的导数为f ′（x ）＝2ax ， 可得f （x ）在x ＝1处的切线斜率为2a ，切线与直线x +8y ＝0垂直，可得2a ＝8，即a ＝4， 则f （x ）＝4x 2﹣1，1f(n)=14n 2−1=12（12n−1−12n+1），可得S n =12（1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1） =12（1−12n+1）=n2n+1． 故答案为：n 2n+1．15．【解答】解：如图所示，设BC ＝x ，AB ＝AC ＝AD ＝CD ＝BD ＝1． 取AD 的中点O ，连接OB ，OC ，则OB ⊥AD ，OC ⊥AD ，OB ＝OC =√32． 又OB ∩OC ＝O ，则AD ⊥平面OBC ， 取BC 的中点E ，连接OE ，则OE ⊥BC ， OE =(√32)2−(x 2)2=√3−x 22．∴S △OBC =12BC ⋅OE =x √3−x 24． ∴F （x ）=13S △OBC ⋅AD=13×x √3−x 24×1=x √3−x 212（0＜x ＜√3）．F ′（x ）=3−2x 212√3−x ，令F ′（x ）≥0，解得0＜x ≤√62，此时函数F （x ）单调递增；令F ′（x ）＜0，解得√62＜x ＜√3，此时函数F （x ）单调递减法．因此当x =√62时，F （x ）取得最大值，F(√62)=√62×3−(√62)212=18．故答案分别为：(0，√62]，18．三、解答题（共5小题，共54分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．） 16．【解答】解：（1）f(x)=1−cos2ωx 2+√3sinωxcosωx −1=√32sin2ωx −12cos2ωx −12=sin(2ωx −π6)−12，∵函数f （x ）的最小正周期为π，且ω＞0， ∴2π2ω=π，∴解得ω＝1， （2）∵x ∈[−π12，π2]， ∴2x −π6∈[−π3，5π6]，根据正弦函数的图象可得：当2x −π6=π2，即x =π3时，g （x ）＝sin （2x −π6）取最大值1． 当2x −π6=−π3，即x =−π12时，g （x ）＝sin （2x −π6）取最小值−√32， ∴−12−√32≤sin(2x −π6)−12≤12，即f （x ）的值域为[−1+√32，12]． 17．【解答】解：（1）设公差为d 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公比为q 的等比数列{b n }的前n 项和为T n ，满足a 1＝b 1＝2，2a 2＝b 2，S 2+T 2＝13． 所以：{2(2+d)=2q2+2+d +2+2q =13，解得{d =1q =3，所以a n ＝2+（n ﹣1）＝n +1，b n =2⋅3n−1．（2）由于c n ＝a n +b n ＝n +1+2•3n ﹣1， 所以H n ＝（1+2+…+n ）+n +2（30+31+…+3n ﹣1）=n 2+n 2+2n 2+2(3n−13−1)=n 2+3n 2+3n −1． 18．【解答】证明：（1）点F 是棱PD 的中点，点E 为CD 的中点．∴EF ∥PC ，∵EF ⊄平面P AC ，PC ⊂平面P AC ，∴EF ∥平面P AC ．（2）∵在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ，点F 是棱PD 的中点，∴AF ⊥PD ，P A ⊥CD ，AD ⊥CD ，∵P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ，∵AF ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AF ，∵PD ∩CD ＝D ，∴AF ⊥平面PCD ，∵PC ⊂平面PCD ，∴AF ⊥PC ．19．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：c =√3，左焦点F ′（−√3，0）．根据椭圆的定义得：2a ＝|MF ′|+|MF |=√(−√3−√3)2+(12)2+12，解得a ＝2，∴b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣3＝1，∴椭圆C 的标准方程为：x 24+y 2＝1； （Ⅱ）由题意知，S △ABC =12|AB |•|OP |=λ|AB|+42|OP|，整理得：λ＝|OP |2−4|AB|． ①当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为：x =√3，此时|AB |＝1，|OP |=√3，∴λ＝|OP |2−4|AB|=−1；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y ＝k （x −√3），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{x 24+y 2=1y =k(x −√3)，消去y 整理得：（1+4k 2）x 2﹣8√3k 2x +12k 2﹣4＝0，显然△＞0，则x 1+x 2=−8√3k 21+4k 2，x 1x 2=12k 2−41+4k 2，∵y 1＝k （x 1−√3），y 2＝k （x 2−√3），∴|AB |=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2＝4•1+k 21+4k 2， ∴|OP |2＝（√3k|√1+k 2）2=3k 21+k2， 此时，λ=3k 21+k 2−1+4k21+k 2=−1；综上所述，λ为定值﹣1．20．【解答】解：（1）函数f （x ）＝a （x ﹣2lnx ）−12x 2+2x ．定义域为（0，+∞）， f ′（x ）＝a （1−2x ）﹣x +2=1x （x ﹣2）（a ﹣x ），（x ＞0）①a ≤0时，a ﹣x ＜0，当x ∈（0，2）．f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；当x ∈（2，+∞）．f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；②0＜a ＜2时，f ′（x ）＝0，解得x ＝2或x ＝a ，当x ∈（0，a ），f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ∈（a ，2）f （x ）＞0，f （x ）单调递增，当x ∈（2，+∞），f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；③a ＝2时，f ′（x ）=−1x （x ﹣2）2＜0，f （x ）在（0，+∞）单调递减；④a ＞2时，f ′（x ）＝0，解得x ＝2或x ＝a ，当x ∈（0，2），f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；x ∈（2，a ），f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；x ∈（a ，+∞），f ′（x ）＜0．f （x ）单调递减；（2）由（1）得当a ＝0时，f （x ）=−12x 2+2x 在定义域上只有一个零点，a ＜0，由（1）可得，要使f（x）有两个零点，则f（2）＞0，即f（2）＝a（2﹣2ln2）+2＞0，所以1ln2−1＜a ＜0，下证f（x）有两个零点，取x=e 1a，f（e1a）＝a（e1a−2×1a）−12（e1a）2+2e1a＜0，满足f（e1a）•f（2）＜0，故f（x）在（0，2）有且只有一个零点；因为f（4）＝a（4﹣2ln4）＜0，满足f（2）•f（4）＜0，故f（x）在（2，+∞）有且只有一个零点；当0＜a＜2时，由（1）可得x∈（0，2），f（x）≥f（a）＝a（a﹣2lna）−12a2+2a=12a2+2a（1﹣lna）＞0，故f（x）在（0，2）无零点，又因为f（x）在（2，+∞）单调递减，∴f（x）在（0，+∞）至多一个零点，不满足条件；当a＞2时，x∈（0，a），f（x）≥f（2）＝a（2﹣2ln2）+2＞0，故f（x）在（0，a）上无零点，又因为f（x）在（a，+∞）单调递减，∴f（x）在（0，+∞）至多一个零点，不满足条件；∴满足条件a的取值范围1ln2−1＜a＜0，。
【精品高二数学试卷】2019-2020北京高二(上)期中+答案
2019-2020学年北京高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项的和S 10＝（ ） A ．100B ．210C ．380D ．4002．（5分）已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则|a |＞|b | B ．若a ＞b ，则1a＜1bC ．若|a |＞b ，则a 2＞b 2D ．若a ＞|b |，则a 2＞b 23．（5分）已知数列{a n ）的通项公式为a n =n 2−n ，则下列各数中不是数列中的项的是（ ） A ．2B ．40C ．56D ．904．（5分）不等式2x +3﹣x 2＞0的解集是（ ） A ．{x |﹣3＜x ＜1}B ．{x |﹣1＜x ＜3}C ．{x |1≤x ＜3}D ．{x |−32≤x ＜3}5．（5分）抛物线y ＝2x 2的焦点到其准线的距离为（ ） A ．2B ．1C ．12D ．146．（5分）下列说法正确的是（ ）①数列1，3，5，7与数列7，3，5，1是同一数列；②数列0，1，2，3…的一个通项公式为a n ＝n ﹣1；③数列0，1，0，1…没有通项公式； ④数列{n n+1}是递增数列A ．①③B ．②④C ．②③D ．②③④7．（5分）已知F 为双曲线C ：x 29−y 216=1的左焦点，P ，Q 为双曲线C 上的点，若线段PQ 的长等于16，点A （5，0）在线段PQ 上，则△PQF 的周长为（ ） A ．44B ．34C ．32D ．468．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y =√3x ，且它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为（ ） A ．x 227−y 29=1 B ．x 236−y 2108=1C ．x 29−y 227=1D ．x 2108−y 236=19．（5分）若抛物线y 2＝3x 的焦点是F ，准线是l ，点M （3，m ）（m ＞0）是抛物线上的一点．则经过点F ，M 且与l 相切的圆共有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个10．（5分）已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，抛物线上的两个动点A ，B 始终满足∠AFB ＝60°，过弦AB 的中点H 作抛物线的垂线HN ，垂足为N ，则|HN||AB|的取值范围是（ ） A ．（0，√33] B ．（√33，+∞] C ．[1，+∞] D ．（0，1]二、填空题（本大题共9个小题，每小题5分，共45分，把答案填在题中横线上） 11．（5分）已知抛物线y 2＝2ax 过点（﹣1，4），则抛物线的焦点坐标为 ． 12．（5分）函数y ＝x ﹣1+4x （x ＞0）的最小值为 ．此时x ＝ ． 13．（5分）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2＝0，则公比q ＝ ． 14．（5分）双曲线x 23−y 24=1的焦点坐标为 ，渐近线方程是 ．15．（5分）已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ﹣1，则数列{a n }的通项公式是 ． 16．（5分）如果关于x 的不等式2kx 2+kx −38＜0对一切实数x 都成立，那么k 的取值范围是 ．17．（5分）河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m 时，水面宽为8m ，一小船宽4m ，高2m ，载货后穿露出水面上的部分高0.75m ，则水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距 m 时，小船开始不能通航．18．（5分）已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝2，a n+2={2a n (n 为奇数)a n +3(n 为偶数)，则数列{a n }的前2n 项和S 2n ＝ ． 19．（5分）已知椭圆M ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0），双曲线N ：x 2m −y 2n =1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 ；双曲线N 的离心率为 ．三、解答题：版大题有4小题，共55分．解答应写出文字证明，证明过程或演算步骤． 20．（14分）已知等差数列{a n }中，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列． （1）求{a n }的通项公式；（2）若数列{a n }的公差小于零，求数列{a n }的前n 项和S n 的表达式及其最大值； （3）求a 1+a 4+a 7+…+a 3n ﹣2．21．（13分）解关于x 的不等式ax 2﹣2≥2x ﹣ax （a ∈R ）．22．（13分）已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率为√22，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线y ﹣x +2＝0相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P （﹣2√2，0），A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点G ． 23．（15分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F （1，0），离心率为12，A为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上异于A 的两个动点，直线AP ，AQ 与直线l ：x ＝4分别交于M ，N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若△P AF 与△PMF 的面积之比为15，求M 的坐标；（Ⅲ）设直线l 与x 轴交于点R ，若P ，F ，Q 三点共线，判断∠MFR 与∠FNR 的大小关系，并说明理由．2019-2020学年北京高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．【解答】解：d =a 4−a 24−2=15−72=4，a 1＝3， ∴S 10＝10×3+10×9×42＝210， 故选：B ．2．【解答】解：A ．错误，比如3＞﹣4，便得不到|3|＞|﹣4|； B ．错误，比如3＞﹣4，便得不到13＜1−4；C ．错误，比如|3|＞﹣4，得不到32＞（﹣4）2；D ．正确，a ＞|b |，则a ＞0，根据不等式的性质即可得到a 2＞b 2． 故选：D ．3．【解答】解：由数列{a n ）的通项公式为a n =n 2−n ， n ＝2时，a 2＝2．n ＝8时，a 8＝56．n ＝10时，a 10＝90． 令a n =n 2−n =40，无整数解． 则下列各数中不是数列中的项的是B ． 故选：B ．4．【解答】解：因为2x +3﹣x 2＞0，所以（x ﹣3）（x +1）＜0， 所以﹣1＜x ＜3，所以不等式的解集为{x |﹣1＜x ＜3}． 故选：B ．5．【解答】解：抛物线y ＝2x 2化为标准方程为x 2=12y ∴抛物线y ＝2x 2的焦点到其准线的距离为12×12=14故选：D ．6．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于①、数列1，3，5，7与数列7，5，3，1中顺序不同，不是同一数列，故①错误； 对于②、数列0，1，2，3，…的通项公式是a n ＝n ﹣1，故②正确；对于③、数列0，1，0，1…它的一个通项公式为：a n ={0，n 为奇数1，n 为偶数，故③错误；对于④、数列{nn+1}是递增数列，故④正确．故选：B ．7．【解答】解：双曲线C ：x 29−y 216=1的左焦点F （﹣5，0），∴点A （5，0）是双曲线的右焦点， 双曲线图象如图： |PF |﹣|AP |＝2a ＝6，① |QF |﹣|QA |＝2a ＝6，② 而|PQ |＝16， ①+②得：|PF |+|QF |﹣|PQ |＝12，∴周长为：|PF |+|QF |+|PQ |＝12+2|PQ |＝44． 故选：A ．8．【解答】解：由题意可得：ba =√3，c ＝6=√a 2+b 2，联立解得：a ＝3，b ＝3√3． ∴双曲线的方程为：x 29−y 227=1，故选：C ．9．【解答】解：抛物线y 2＝3x 的焦参数p =32，所以F （34，0），直线l ：x =−34，即x +34=0，点M （3，m ）（m ＞0）是抛物线上的一点．可得点M （3，3）、经过点M 、F （34，0），且与直线l 相切的圆的圆心为G ，如图：由抛物线的定义以及圆的性质可知：GN ⊥l 于N ，GN ＝GF ＝GM ， 所以满足条件的圆有两个． 故选：C ．10．【解答】解：设|AF |＝a ，|BF |＝b ， 由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP | 在梯形ABPQ 中，∴2|HN |＝|AQ |+|BP |＝a +b ． 由余弦定理得，|AB |2＝a 2+b 2﹣2ab cos60°＝a 2+b 2﹣ab ， 配方得，|AB |2＝（a +b ）2﹣3ab ， 又∵ab ≤（a+b 2） 2，∴（a +b ）2﹣3ab ≥（a +b ）2−34（a +b ）2=14（a +b ）2， 得到|AB |≥12（a +b ）． ∴|HN||AB|≤1，故选：D ．二、填空题（本大题共9个小题，每小题5分，共45分，把答案填在题中横线上） 11．【解答】解：抛物线y 2＝2ax 过点（﹣1，4）， 可得16＝﹣2a ，解得a ＝﹣8． 所以抛物线方程为：y 2＝﹣16x ， 抛物线的焦点坐标（﹣4，0）． 故答案为：（﹣4，0） 12．【解答】解：∵x ＞0，由基本不等式可得y ＝x +4x −1≥2√x ⋅4x −1=3， 当且仅当x =4x即x ＝2时，函数取得最小值3 故答案为：3；213．【解答】解：由题意可得，q ≠1 ∵S 3+3S 2＝0 ∴a 1(1−q 3)1−q+3a 1(1−q 2)1−q=0∴q 3+3q 2﹣4＝0 ∴（q ﹣1）（q +2）2＝0 ∵q ≠1 ∴q ＝﹣2 故答案为：﹣2 14．【解答】解：双曲线x 23−y 24=1可得a =√3，b ＝2，双曲线的焦点坐标为（±√7，0），双曲线的渐近线方程为：y ＝±2√33x ． 故答案为：（±√7，0）；y ＝±2√33x ． 15．【解答】解：由S n ＝3n ﹣1，得a 1=S 1=31−1=2； 当n ≥2时，a n =S n −S n−1=3n −1−(3n−1−1)=2⋅3n−1， 验证a 1＝2适合上式， ∴a n =2⋅3n−1． 故答案为：a n =2⋅3n−1．16．【解答】解：不等式2kx 2+kx −38＜0对一切实数x 都成立， k ＝0时，不等式化为−38＜0恒成立，k ≠0时，应满足{k ＜0k 2−8k(−38)＜0， 解得﹣3＜k ＜0．综上，不等式2kx 2+kx −38＜0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是（﹣3，0]． 故答案为：（﹣3，0]．17．【解答】解：以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y 轴建立如图的平面直角坐标系，使得抛物线开口向下；设拱桥型抛物线方程为x 2＝﹣2py （p ＞0）； A （2，y 1），B （4，﹣5） 将B （4，﹣5）代入抛物线方程 得p ＝1.6； 所以抛物线方程为 x 2＝﹣3.2y ； 当船两侧与抛物线接触时不能通过， 由22＝﹣3.2y 1，得y 1＝﹣1.25，（因为船露出水面的部分高0.75米）； 所以h ＝|y 1|+0.75＝2米．故水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行． 故答案为：2．18．【解答】解：当n 为奇数时，a n +2＝2a n ，∴奇数项成等比数列，首项为1，公比为2，∴a 1+a 3+a 5+…+a 2n ﹣1=1×(1−2n)1−2=2n ﹣1，当n 为偶数时，a n +2﹣a n ＝3，∴偶数项成等差数列，首项为2，公差为3，∴a 2+a 4+a 6+…+a 2n ＝2n +n(n−1)2×3=3n 2+n2．S 2n ＝2n ﹣1+3n 2+n2． 故答案为：2n ﹣1+3n 2+n2． 19．【解答】解：椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），双曲线N ：x 2m 2−y 2n 2=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标（c ，0），正六边形的一个顶点（c2，√3c 2），可得：c 24a +3c 24b=1，可得14e 2+34(1e2−1)=1，可得e 4﹣8e 2+4＝0，e ∈（0，1），解得e =√3−1．同时，双曲线的渐近线的斜率为√3，即n m=√3，可得：n 2m =3，即m 2+n 2m =4，可得双曲线的离心率为e =√m 2+n 2m2=2． 故答案为：√3−1；2．三、解答题：版大题有4小题，共55分．解答应写出文字证明，证明过程或演算步骤． 20．【解答】解：（1）等差数列{a n }的公差设为d ，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列，可得a 1a 13＝a 112，即25（25+12d ）＝（25+10d ）2， 解得d ＝0或d ＝﹣2，则a n ＝25或a n ＝25﹣2（n ﹣1）＝27﹣2n ；（2）数列{a n }的公差小于零，可得d ＝﹣2，a 1＝25，数列{a n }的前n 项和S n ＝25n +12n （n ﹣1）×（﹣2）＝﹣n 2+26n ＝﹣（n ﹣13）2+169，可得n ＝13时，S n 取得最大值169；（3）当d ＝0时，a 1+a 4+a 7+…+a 3n ﹣2＝25+25+…+25＝25n ； 当d ＜0时，a 1+a 4+a 7+…+a 3n ﹣2＝25+19+…+（﹣6n +31） =12n （25﹣6n +31）＝28n ﹣3n 2．21．【解答】解：原不等式变形为ax 2+（a ﹣2）x ﹣2≥0． ①a ＝0时，x ≤﹣1；②a ≠0时，不等式即为（ax ﹣2）（x +1）≥0， 当a ＞0时，x ≥2a或x ≤﹣1； 由于2a −（﹣1）=a+2a ，于是 当﹣2＜a ＜0时，2a≤x ≤﹣1；当a ＝﹣2时，x ＝﹣1； 当a ＜﹣2时，﹣1≤x ≤2a．综上，当a ＝0时，x ≤﹣1；当a ＞0时，x ≥2a 或x ≤﹣1；当﹣2＜a ＜0时，2a≤x ≤﹣1；当a ＝﹣2时，x ＝﹣1；当a ＜﹣2时，﹣1≤x ≤2a．22．【解答】解：（1）e =c a =√22，所以c 2=12a 2，设以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆方程为x 2+y 2＝b 2，则圆心到直线的距离d =21+1=b ， 解得b 2＝2，所以a 2＝4，椭圆C 的方程为x 24+y 22=1，（2）设B （x 1，y 1），E （x 2，y 2），A （x 1，﹣y 1）由题知PB 斜率肯定存在，设直线PB 方程为y ＝k （x +2√2），联立{y =k(x +2√2)x 24+y 22=1，整理得（1+2k 2）x 2+8√2k 2x +16k 2﹣4＝0，则x 1+x 2=−8√2k 21+2k 2，x 1x 2=16k 2−41+2k 2，直线AE 的方程为：y ﹣y 2=y 2+y 1x 2−x 1(x −x 2)，令y ＝0，则x =x 1y 2+x 2y 1y 1+y 2， 将y 1=k(x 1+2√2)，y 2=k(x 2+2√2)代入得x =−√2，所以G （−√2，0）， 故直线AE 过定点G （−√2，0），23．【解答】（Ⅰ）解：由题意得c ＝1，又c a =12，解得a ＝2，c ＝1． ∵a 2﹣b 2＝c 2，∴b 2＝3．∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；（Ⅱ）解：∵△P AF 与△PMF 的面积之比为15，∴|AP |=15|PM |，则AP →=16AM →， 设M （4，m ）（m ≠0），P （x 0，y 0），则（x 0+2，y 0）=16（6，m ），解得x 0＝﹣1，y 0=m 6．将其代入x 24+y 23=1，解得m ＝±9．∴M 的坐标为（4，9）或（4，﹣9）；（Ⅲ）证明：设M （4，m ），N （4，n ），P （x 0，y 0），若m ＝0，则P 为椭圆C 的右顶点，由P ，F ，Q 三点共线知，Q 为椭圆C 的左顶点，不符合题意．∴m ≠0．同理n ≠0．直线AM 的方程为y =m 6（x +2）． 由{y =m 6(x +2)x 24+y 23=1消去y ，整理得（27+m 2）x 2+4m 2x +（4m 2﹣108）＝0． △＝（4m 2）2﹣4（27+m 2）（4m 2﹣108）＞0成立．由−2x 0=4m 2−10827+m 2，解得x 0=54−2m 227+m 2． ∴y 0=m 6(x 0+2)=18m 27+m 2． 得P （54−2m 227+m 2，18m 27+m 2）．当|m |＝3时，|n |＝3，54−2m 227+m 2=1，即直线PQ ⊥x 轴．由椭圆的对称性可得|MR |＝|FR |＝|NR |＝3． 又∵∠MRF ＝∠NRF ＝90°，∴∠MFR ＝∠FNR ＝45°．当|m |≠3时，|n |≠3，直线FP 的斜率k FP =18m 27+m 2−054−2m 227+m 2−1=6m 9−m 2，同理k FQ =6n 9−n 2． ∵P ，F ，Q 三点共线，∴6m9−m =6n9−n ，得mn ＝﹣9．在Rt △MRF 和Rt △NRF 中，tan ∠MFR =|MR||FR|=|m|3，tan ∠FNR =|FR||NR|=3|n|=|m|3， ∴tan ∠MFR ＝tan ∠FNR ．∵∠MFR ，∠FNR 均为锐角，∴∠MFR ＝∠FNR ．综上，若P ，F ，Q 三点共线，则∠MFR ＝∠FNR ．。
2019_2020学年10月北京丰台区北京市第十二中学高二上学期月考数学试卷(详解)
”，故③错误；
④在
中，
，由正弦定理得，
，
∴“
”是“
”的充要条件，故④正确；
故不正确的命题为①③．
故选 ．
5. “
成立”是“
A. 充分不必要条件
C. 充分必要条件
【答案】 B 【解析】 若
∴“
，则 ． ”是“
成立”的（ ）． B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
；若
，则
，又
”的必要不充分条件，故选 ．
；命题
B.
C.
【答案】 B 【解析】 因为命题 是真命题，命题 是假命题，所以
，则下列命题为真命题的 D.
是真命题
3. 椭圆
的焦点坐标是（ ）．
A.
、
B.
、
C.
、
D.
、
【答案】 A 【解析】 ∵椭圆
∴
，
∴
，即
，
，焦点在 轴上，
，
，
∴焦点坐标是
、
．
故选 ．
4. 给出如下四个命题：
①若“ 且 ”为假命题，则 、 均为假命题；
，
，
，
点 在圆
的内部，
故选 ．
11. 如果椭圆
和双曲线
和 ， 是两条曲线的交点，则
的值是（ ）．
A.
B.
C.
有相同的焦点． D.
【答案】 A 【解析】 两曲线相同的焦点，则
，由 是两曲线的焦点，可知
∴ 故选 ．
①， ，
．
②， ① ② 得
12. 如图，一个底面半径为 的圆柱被与其底面所成角为 （ 个椭圆，当 为 时，这个椭圆的离心率为（ ）．
北京十二中2019-2020学年第一学期高二年级数学期中考试题
33
66
33
(D)（- 2 3 ，2 3 ） 33
12.如图,正方体 ABCD—A’B’C’D’中，M 为 BC 边的中点，点 P 在底
面 A’B’C’D’和侧面 CDD’C’上运动并且使∠MAC’=∠PAC’，那么
点 P 的轨迹是
(A) 两段抛物线弧
(B) 两段双曲线弧
(C) 两段椭圆弧
(D) 两段圆弧
7.已知 m.n 是两条直线,a,β是两个平面则下列命题中不正确的是
(A) 若 m⊥β, m ,则 a⊥β
(B) 若 m⊥a,a//β,n β,则 m⊥n
(C) 若 a//β,n⊥a,m⊥β,则 m//n
(D) 若 m//n,n//a,a//β,则 m//β
8. 已 知 双 曲 线 C:
（D) (a+b-c)
2
6.下列命题中正确的是
(A)若直线 l 上有无数个点不在平面 内，则 l //
(B)若 l 不平行于平面 ，且 l ,则 内不存在与 l 平行的直线
(C)若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行
(D)双若两条直线分别在两个不同的平面内，则这两条直线异面
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0) 的 一 条 渐 近 线 方 程 为
y=
5 x，且与椭圆 2
x 2 y2 =1 有公共的焦点 C 的方程为 12 3
（A) x2 y2 1 8 10
（B) x 2 y2 1 45
(C) x2 y2 1 54
(D) x2 y2 1 43
北京十二中 2019-2020 学年第一学期高二年级数学期中考试题
2019北京十二中高二(上)数学期中试卷和答案
北京十二中2019-2020学年第一学期高二年级数学期中考试题一．选择题：本大题共12小题, 每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．命题“12,N 2+∈∀nn 是质数”的否定形式为(A) 12,N 2+∈∀nn 不是质数 (B) 12,N 2+∉∀nn 是质数 (C) 12,N 2+∈∃n n 是质数(D) 12,N 2+∈∃nn 不是质数2．已知两个向量a=)3,1,2(-,b=),,4(n m ,若a //b ,则m+n 的值为 3. 已知向量a=)0,1,1(,b=)1,0,1(-,且k a+b 与a 互相垂直,则k = 4．已知p ：0)2)(1(≤--x x ,q ：1)1(log 2≥+x ,则p 是q 的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件5．如图,三棱锥ABC O -中,设=a ,=b ,=c ,N M ,分别是OC AB ,的中点,则=6．下列命题中正确的是(A) 若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α(B) 若l 不平行于平面α，且l ⊄α，则α内不存在与l 平行的直线 (C) 若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行 (D) 若两条直线分别在两个不同的平面内，则两条直线异面(A)1(B) 2(C) 4(D) 8(A)31(B)21 (C) 31-(D) 21-(A) 21(－a+b+c )(B) 21(－a －b+c )(C) 21(a －b+c )(D) 21(a+b －c )7．已知m ,n 是两条直线,α,β是两个平面,则下列命题中不正确．．．的是 (A) 若,,αβ⊂⊥m m 则βα⊥ (B) 若,,//,ββαα⊂⊥n m 则n m ⊥ (C) 若,,,//βαβα⊥⊥m n 则n m //(D) 若,//,//,//βααn n m 则β//m8．已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为x y 25=,且与椭圆131222=+y x 有公共焦点,则C 的方程为9．方程13222=++-m y m x 表示椭圆的一个充分不必要条件是10．已知F 是抛物线x y =2的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 11．已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是双曲线C 的两个焦点，若120MF MF <，则0y 的取值范围是12．如图,正方体''''D C B A ABCD -中,M 为BC 边的中点,点P 在底面''''D C B A 和侧面''C CDD 上运动并且使''PAC MAC ∠=∠,那么点P 的轨迹是(A) 两段抛物线弧 (B) 两段双曲线弧 (C) 两段椭圆弧 (D) 两段圆弧(A) 110822=-y x(B) 15422=-y x(C) 14522=-y x(D) 13422=-y x(A) 03<<-m(B) 2>m(C) 42<<m (D) 31<<-m(A)43 (B) 1(C)45 (D)47(A) ((B) ((C) ( (D)(二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分．13．若a=)2,0,1(,b=)2,1,0(,则 |a －2b |=______．14．若命题“02,2≤--∈∃a x x R x ”是假命题,则实数a 的取值范围是______． 15．焦点在y 轴上的抛物线过点(2,1)-，则该抛物线的准线方程为______．16．如右图，空间四边形ABCD 各边长均为1，若BD ＝1，则AC 的取值范围是______．17．已知双曲线C ：22221x y a b -=)0,0(>>b a 的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于N M ,两点．若060=∠MAN ，则C 的离心率为______． 18．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C :x 2+y 2=1+x y 就是其中之一．给出下列四个结论：①曲线C 与y 轴有2个交点；②曲线C 关于x 轴对称；③曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ④曲线C 上所有点到原点的距离都不小于1． 其中所有正确结论的序号为______．三、解答题: 本大题共5小题,共60分．解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程．19．（本小题满分10分）已知p ：x 满足2||<-m x ，q ： 0652≤+-x x ，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．20. （本小题满分10分）已知点)1,5,1(),3,1,1(),2,1,0(--C B A ． （Ⅰ）若D 为线段BC 的中点，求线段AD 的长；（Ⅱ）若)1,,2(a =，且1=⋅，求a 的值，并求此时向量与夹角的余弦值．21．（本小题满分12分）若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上． （Ⅰ）若13PF =，求线段2PF 的长； （Ⅱ）若o1260F PF ∠=，求12F PF ∆的面积．22．（本小题满分14分）已知抛物线C ：px y 22=的焦点为F （2,0），过抛物线C 的焦点的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若以AB 为直径的圆过点M (0,2)，求直线l 的方程．23．（本小题满分14分）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左,右焦点分别为21,F F ,且21,F F 与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形,点)23,22(P 在椭圆E 上．过点2F 作互相垂直且与x 轴不重合的两直线CD AB ,分别交椭圆E 于D C B A ,,,四点,点M ,N 分别是弦AB ,CD 的中点． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：直线MN 过定点．北京十二中2019-2020学年第一学期高二年级数学期中考试题一．选择题：本大题共12小题, 每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．命题“12,N 2+∈∀nn 是质数”的否定形式为(A) 12,N 2+∈∀nn 不是质数 (B) 12,N 2+∉∀nn 是质数 (C) 12,N 2+∈∃n n 是质数(D) 12,N 2+∈∃nn 不是质数2．已知两个向量a=)3,1,2(-,b=),,4(n m ,若a //b ,则m+n 的值为 3. 已知向量a=)0,1,1(,b=)1,0,1(-,且k a+b 与a 互相垂直,则k = 4．已知p ：0)2)(1(≤--x x ,q ：1)1(log 2≥+x ,则p 是q 的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件5．如图,三棱锥ABC O -中,设=a ,=b ,=c ,N M ,分别是OC AB ,的中点,则=6．下列命题中正确的是(A) 若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α(B) 若l 不平行于平面α，且l ⊄α，则α内不存在与l 平行的直线 (C) 若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行 (D) 若两条直线分别在两个不同的平面内，则两条直线异面(A)1(B) 2(C) 4(D) 8(A)31(B)21 (C) 31-(D) 21-(A) 21(－a+b+c )(B) 21(－a －b+c )(C) 21(a －b+c )(D) 21(a+b －c )7．已知m ,n 是两条直线,α,β是两个平面,则下列命题中不正确．．．的是 (A) 若,,αβ⊂⊥m m 则βα⊥ (B) 若,,//,ββαα⊂⊥n m 则n m ⊥ (C) 若,,,//βαβα⊥⊥m n 则n m //(D) 若,//,//,//βααn n m 则β//m8．已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为x y 25=,且与椭圆131222=+y x 有公共焦点,则C 的方程为9．方程13222=++-m y m x 表示椭圆的一个充分不必要条件是10．已知F 是抛物线x y =2的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 11．已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是双曲线C 的两个焦点，若120MF MF <，则0y 的取值范围是12．如图,正方体''''D C B A ABCD -中,M 为BC 边的中点,点P 在底面''''D C B A 和侧面''C CDD 上运动并且使''PAC MAC ∠=∠,那么点P 的轨迹是(A) 两段抛物线弧 (B) 两段双曲线弧 (C) 两段椭圆弧 (D) 两段圆弧(A) 110822=-y x(B) 15422=-y x(C) 14522=-y x(D) 13422=-y x(A) 03<<-m(B) 2>m(C) 42<<m (D) 31<<-m(A)43 (B) 1(C)45 (D)47(A) ((B) ((C) ( (D)(二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分．13．若a=)2,0,1(,b=)2,1,0(,则 |a －2b |=______．14．若命题“02,2≤--∈∃a x x R x ”是假命题,则实数a 的取值范围是______． 15．焦点在y 轴上的抛物线过点(2,1)-，则该抛物线的准线方程为______．16．如右图，空间四边形ABCD 各边长均为1，若BD ＝1，则AC 的取值范围是______．17．已知双曲线C ：22221x y a b -=)0,0(>>b a 的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于N M ,两点．若060=∠MAN ，则C 的离心率为______． 18．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C :x 2+y 2=1+x y 就是其中之一．给出下列四个结论：①曲线C 与y 轴有2个交点；②曲线C 关于x 轴对称；③曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ④曲线C 上所有点到原点的距离都不小于1． 其中所有正确结论的序号为______．三、解答题: 本大题共5小题,共60分．解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程．19．（本小题满分10分）已知p ：x 满足2||<-m x ，q ： 0652≤+-x x ，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．20. （本小题满分10分）已知点)1,5,1(),3,1,1(),2,1,0(--C B A ． （Ⅰ）若D 为线段BC 的中点，求线段AD 的长；（Ⅱ）若)1,,2(a =，且1=⋅，求a 的值，并求此时向量与夹角的余弦值．21．（本小题满分12分）若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上． （Ⅰ）若13PF =，求线段2PF 的长； （Ⅱ）若o1260F PF ∠=，求12F PF ∆的面积．22．（本小题满分14分）已知抛物线C ：px y 22=的焦点为F （2,0），过抛物线C 的焦点的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若以AB 为直径的圆过点M (0,2)，求直线l 的方程．23．（本小题满分14分）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左,右焦点分别为21,F F ,且21,F F 与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形,点)23,22(P 在椭圆E 上．过点2F 作互相垂直且与x 轴不重合的两直线CD AB ,分别交椭圆E 于D C B A ,,,四点,点M ,N 分别是弦AB ,CD 的中点． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：直线MN 过定点．。
北京市2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷(四)
北京市2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷（四）（理科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题：（本大题共有八道小题，每个小题只有一个正确答案，请将各题的正确答案填到下面相应的表格内，总分40分）1．“a，b是异面直线”是指（）A．a⊂平面a，b⊂平面β且α∩β=∅B．a⊂平面α，b⊄平面αC．a⊂平面α，b⊂平面β D．a∩b=∅且a不平行于b2．原点到直线x+2y﹣5=0的距离为（）A．1 B．C．2 D．3．直线x+2ay﹣1=0与（a﹣1）x﹣ay+1=0平行，则a的值为（）A．B．或0 C．0 D．﹣2或04．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得（）A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α5．已知直线l的斜率k满足﹣1≤k＜1，则它的倾斜角α的取值范围是（）A．B．C．或D．或6．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A．8 B．10 C．12 D．147．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6B．30+6C．56+12 D．60+128．三条直线l1：x﹣y=0，l2：x+y﹣2=0，l3：5x﹣ky﹣15=0构成一个三角形，则k的取值范围是（）A．k∈R B．k∈R且k≠±1，k≠0C．k∈R且k≠±5，k≠﹣10 D．k∈R且k≠±5，k≠1二、填空题：（本大题共6道小题，请把正确答案填在相应的横线处，总分30分）9．已知点A（a，2）到直线l：x﹣y+3=0距离为，则a=．10．在正四面体ABCD中，E是BC边的中点，则AE与BD所成角的余弦值为．11．已知三点A（0，a），B（2，3），C（4，5a）在一条直线上，则实数a的值是，直线的倾斜角是．12．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．13．给出下列命题：①如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于β；②如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ③若α∥β，β⊥γ，则α⊥γ④若α⊥β，α∩β=a，a⊥b，则b⊥α．其中正确命题的序号是．14．已知平面上一点M（5，0），若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（填上所有正确答案的序号）．①y=x+1；②y=2；③y=x．三、解答题：（本小题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）15．已知直线l与直线4x﹣3y+5=0垂直，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．16．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1，．（Ⅰ）AB∥平面A1B1C；（Ⅱ）证明CB1⊥BA1；（Ⅲ）已知，求三棱锥C1﹣ABA1的体积．17．在△ABC中，已知2sinBcosA=sin（A+C）．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若BC=2，△ABC的面积是，求AB．18．已知两直线l1：ax﹣by+4=0，l2：（a﹣1）x+y+b=0．求分别满足下列条件的a，b的值．（1）直线l1过点（﹣3，﹣1），并且直线l1与l2垂直；（2）直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB中点，F是DC上的点，且为△PAD中AD边上的高．（Ⅰ）证明：PH⊥平面ABCD；（Ⅱ）若PH=1，AD=2，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积；（Ⅲ）证明：EF⊥平面PAB．20．数列{a n}满足a1=a，a2=﹣a（a＞0），且{a n}从第二项起是公差为6的等差数列，S n 是{a n}的前n项和．（1）当n≥2时，用a与n表示a n与S n；（2）若在S6与S7两项中至少有一项是S n的最小值，试求a的取值范围；（3）若a为正整数，在（2）的条件下，设S n取S6为最小值的概率是p1，S n取S7为最小值的概率是p2，比较p1与p2的大小．参考答案一、单项选择题1．D．2．D．3．A．4．B．5．D．6．C．7．B．8．C．二、填空题9．解：∵点A（a，2）到直线l：x﹣y+3=0距离为，∴，化为|a+1|=2，∴a+1=±2．解得a=1或﹣3．故答案为：1或﹣3．10．解：作AO⊥平面BCD，交平面BCD于点O，取BD中点F，以O为原点，OF为x轴，OE为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，设正四面体ABCD的棱长为2，则A（0，0，），E（0，，0），B（1，，0），D（0，﹣，0），=（0，，﹣），=（﹣1，，0），设AE与BD所成角为θ，则cosθ===．∴AE与BD所成角的余弦值为．故答案为：．11．解：∵三点A（0，a），B（2，3），C（4，5a）在一条直线上，∴=，解得a=1．则实数a的值是1，设直线的倾斜角是θ，tanθ==1，解得θ=45°．故答案分别为：1；45°．12．解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y﹣3=0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x即2x﹣y=0．综上，所求直线的方程为：2x﹣y=0或x+y﹣3=0．故答案为：2x﹣y=0或x+y﹣3=013．解：在①中，如果α⊥β，那么α内的直线与β相交、平行或包含于β，故①错误；在②中，如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么由面面垂直的性质得l⊥γ，故②正确；在③中，若α∥β，β⊥γ，则由面面垂直的判定定理得α⊥γ，故③正确；在④中，若α⊥β，α∩β=a，a⊥b，则b与α相交、平行或b⊂α，故④错误．故答案为：②③．14．解：设点M到直线的距离为d，①d==3＞4，故直线上不存在点到点M距离等于4，不是“切割型直线”；②d=2＜4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M距离等于4，是“切割型直线”；③d==4，直线上存在一点，使之到点M距离等于4，是“切割型直线”．故答案为：②③．三、解答题15．解：依题意可设直线l的方程为y=kx+m，因直线l与直线4x﹣3y+5=0垂直，故有得故直线l的方程为，其与x轴、y轴的交点坐标分别为与（0，m），故直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为：，解得m=±6，因此，所求直线l的方程为或，即3x+4y﹣24=0或3x+4y+24=0．16．解：（I）证明：∵AA1∥BB1，AA1=BB1，∴四边形ABB1A1是平行四边形，∴AB∥A1B1．又AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C∴AB∥平面A1B1C．（II）证明：连结B1C，AB1，∵AA1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥AA1，又，即AC⊥AB，AB∩AA1=A，AB⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，∴AC⊥平面ABB1A1，∵BA1⊂平面ABB1A1，∴AC⊥BA1．∴四边形ABB1A1是平行四边形，AB=AA1，∴四边形ABB1A1是正方形，∴AB1⊥BA1．又AC∩AB1=A，AC⊂平面AB1C，AB1⊂平面AB1C，∴BA1⊥平面AB1C，∵CB1⊂平面AB1C，∴CB1⊥BA1．（III）∵，∠CAB=，∴．又，∴三棱锥C1﹣ABA1的体积V=V===．17．解：（Ⅰ）∵A+B+C=π，∴sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB，…∴2sinBcosA=sin（A+C）化为：2sinBcosA=sinB，…∵B∈（0，π），∴sinB＞0，∴cosA=，…∵A∈（0，π），∴A=；…（Ⅱ）∵A=，∴cosA=，=AB•AC•sin=，即AB•AC=4①，又BC=2，S△ABC∴由余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=AB2+AC2﹣AB•AC，…∴AB2+AC2=BC2+AB•AC=4+4=8，…∴（AB+AC）2=AB2+AC2+2AB•AC=8+8=16，即AB+AC=4②，联立①②解得：AB=AC=2，则AB=2．…18．解：（1）∵l1⊥l2，∴a（a﹣1）+（﹣b）•1=0，即a2﹣a﹣b=0①又点（﹣3，﹣1）在l1上，∴﹣3a+b+4=0②由①②得a=2，b=2．（2）∵l1∥l2，∴=1﹣a，∴b=，故l1和l2的方程可分别表示为：（a﹣1）x+y+=0，（a﹣1）x+y+=0，又原点到l1与l2的距离相等．∴4||=||，∴a=2或a=，∴a=2，b=﹣2或a=，b=2．19．证明：（Ⅰ）由AB⊥平面PAD，PH⊆平面PAD可得：AB⊥PH，又PH为△PAD中边AD的高，即PH⊥AD，而AB∩AD=A，AB，AD⊆平面ABCD，故由线面垂直的判定定理可得：PH⊥平面ABCD．解：（Ⅱ）由E为PB中点可得：三棱锥E﹣BCF的体积为，而又由（1）可得：，故所求三棱锥E﹣BCF的体积为．证明：（Ⅲ）取AB的中点G，连接GE，GF，PF，由题意知：，又AG∥DF，故四边形ADFG为平行四边形，于是得AD∥FG，而EG为△ABP的中位线，故EG∥AP，又AD∩AP=A，EG∩FG=G，可得平面EFG∥平面ADP，而AB⊥平面ADP，于是有AB⊥平面EFG，又EF⊆平面EFG，因此，EF⊥AB，在Rt△PDF中，，在Rt△BFG中，，而PD=AD=FG，BG=AG=DF，故BF=PF，在等腰三角形BPF中，E为底边BP的中点，于是有EF⊥BP，又AB∩BP=B，AB，BP⊆平面PAB，故由线面垂直的判定定理可得：EF⊥平面PAB．20．解：（1）由已知，当n≥2时，a n=﹣a+6（n﹣2），即a n=6n﹣（a+12）．∴S n=a1+a2+a3++a n=a+（n﹣1）（﹣a）+•6=3n2﹣（a+9）n+2a+6．（2）由已知，当n≥2时，{a n}是等差数列，公差为6，数列递增．若S6是S n的最小值，则即∴24≤a≤30．若S7是S n的最小值，则即∴30≤a≤36．∴当S6与S7两项中至少有一项是S n的最小值时，a的取值范围是[24，36]．（3）∵a是正整数，由（2）知，a=24，25，26，，36．当S6是S n最小值时，a=24，25，26，27，28，29，30当S7是S n最小值时，a=30，31，32，33，34，35，36∴p1=p2=．。
北京市第十二中学 2019-2020 学年第二学期 5 月月考高二年级数学试卷PDF无答案
t. 中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造.根据史书的记载和考古材料的发现，古 代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为 13 1 a ，径粗 t. t.3a ，多用 竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的，大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋
里，系在腰部随身携带.需要记数和计算的时候，就把它们取出来，放在桌上、炕上或地上都能摆弄. 在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示数字.如图，是利用算筹表示数 1 的一种方法.例如： 3 可表示为“ ”，26 可表示为“ ”，现有 6 根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用这 6
C.
D.
11. Ͳ
的展开式中，含 项的系数为 40，则
A. 1
B. Ͳ 1
C. 2
D. Ͳ
1 . 随机变量 X 的分布列如下表，其中 ͳ ͳa 成等差数列，且 a 1 ，则 P X െ
() ()
X
2
4
6
P
a
A. 1
B.
b
c
C.
D. 1
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13. 现有 10 名学生排成一排，其中 4 名男生，6 名女生，若有且只有 3 名男生相邻排在一起，则不同的排
. 某校有 4 个社团向高一学生招收新成员，现有 3 名同学，每人只选报 1 个社团，恰有 2 个社团没有同 学选报的报法有________种. 用数字作答െ．
. 将正奇数划分成下列各组： 1，3,5，7，9,11,13,15,17，19, 21, 23, 25, 27, 29,31，
则前 n 组各数的和是
根算筹能表示的两位数的个数为
A. 13
B. 14
C. 15
【精品高二数学试卷】2019-2020高二(上)期中+答案
2019-2020学年北京高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题：共40分）1．（3分）命题p：“∀x∈（﹣∞，0），3x≥4x”的否定￢p为（）A．∀x∈（﹣∞，0），3x＜4xB．∀x∈（﹣∞，0），3x≤4xC．∃x0∈(−∞，0)，3x0＜4x0D．∃x0∈(−∞，0)，3x0≤4x02．（3分）在等比数列{a n}中，a3＝2，a5＝8，则a4＝（）A．4B．5C．±4D．±5 3．（3分）若a＞b＞c且a+b+c＝0，则下列不等式中正确的是（）A．ab＞ac B．ac＞bc C．a|b|＞c|b|D．a2＞b2＞c24．（3分）设0＜x＜1，则a=√2x，b＝1+x，c=11−x中最大的一个是（）A．a B．b C．c D．不能确定5．（3分）在等比数列{a n}中，a1＝3，前n项和为S n，若数列{a n+1}也是等比数列，则S n 等于（）A．2n B．3n C．2n+1﹣1D．3n﹣16．（3分）若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a+3b+c＝10，则a＝（）A．4B．2C．﹣2D．﹣47．（3分）设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i+1的矩形的面积（i＝1，2，…），则{A n}为等比数列的充要条件是（）A．{a n}是等比数列B．a1，a3，…，a2n﹣1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列C．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同8．（3分）设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元（t 为正常数）．公司决定从原有员工中分流x（0＜x＜100）人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%．若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是（）A．15B．16C．17D．18二、填空题（共6小题：共30分）9．（3分）数列{a n}中，已知a1＝1，a2＝2，a n+1＝a n+a n+2（n∈N*），则a7＝．10．（3分）若实数x，y满足xy＝1，则x2+4y2的最小值为．11．（3分）设a，b是两个实数，给出下列条件：①a+b＞1；②a+b＝2；③a+b＞2；④a2+b2＞2；⑤ab＞1．其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是．（填序号，只有一个正确选项）12．（3分）已知{a n}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，S n为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝．13．（3分）等比数列{a n}中，若前n项的和为S n＝2n﹣1，则a12+a22+…+a n2＝．14．（3分）珠海市板樟山森林公园（又称澳门回归公园）的山顶平台上，有一座百子回归碑．百子回归碑是一座百年澳门简史，记载着近年来澳门的重大历史事件以及有关史地，人文资料等，如中央四数连读为1999﹣12﹣20标示澳门回归日，中央靠下有23﹣50标示澳门面积约为23.50平方公里．百子回归碑实为一个十阶幻方，是由1到100共100个整数填满100个空格，其横行数字之和与直列数字之和以及对角线数字之和都相等．请问如图2中对角线上数字（从左上到右下）之和为．三、解答题（共6小题：共80分）15．记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{a n}的通项公式；（2）若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围．16．已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m＝0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．17．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得利润是100(5x+1−3x)元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产1200千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．18．已知p：（x+1）（2﹣x）≥0，q：关于x的不等式x2+2mx﹣m+6＞0恒成立．（1）当x∈R时q成立，求实数m的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．19．已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n为其前n项和，且满足a n2=S2n−1，n∈N*．数列{b n}满足b n=1a n−1a n+1，T n为数列{b n}的前n项和．（1）求a1、d和T n；（2）若对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+8⋅(−1)n恒成立，求实数λ的取值范围．20．已知无穷数列{a n}（a n∈Z）的前n项和为S n，记S1，S2，…，S n中奇数的个数为b n．（Ⅰ）若a n＝n，请写出数列{b n}的前5项；（Ⅱ）求证：“a1为奇数，a i（i＝2，3，4，…）为偶数”是“数列{b n}是单调递增数列”的充分不必要条件；（Ⅲ）若a i＝b i，i＝1，2，3，…，求数列{a n}的通项公式．2019-2020学年北京高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题：共40分）1．【解答】解：命题是全称命题，则￢p：∃x0∈(−∞，0)，3x0＜4x0，故选：C．2．【解答】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由已知得a5=a3⋅q2，所以q＝±2，都符合题意，所以a4＝a3•q＝±4，故选：C．3．【解答】解：a＞b＞c且a+b+c＝0，∴a＞0＞c，b∈R．∴ab＞ac，ac＜bc，a|b|与c|b|大小关系不确定，a2、b2、c2大小关系不确定．则上述不等式中正确的是A．故选：A．4．【解答】解：∵0＜x＜1，∴1+x＞2√x=√4x＞√2x．∴只需比较1+x与11−x的大小．∵1+x−11−x=1−x2−11−x=−x21−x＜0，∴1+x＜11−x．故选：C．5．【解答】解：因数列{a n}为等比，则a n＝3q n﹣1，因数列{a n+1}也是等比数列，则（a n+1+1）2＝（a n+1）（a n+2+1）∴a n+12+2a n+1＝a n a n+2+a n+a n+2∴a n+a n+2＝2a n+1∴a n（1+q2﹣2q）＝0∴q＝1即a n＝3，所以s n＝3n，故选：B ．6．【解答】解：由互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，可设a ＝b ﹣d ，c ＝b +d ，由题设得， {b −d +3b +b +d =10(b −d)2=b(b +d)， 解方程组得{b =2d =6，或{b =2d =0，∵d ≠0， ∴b ＝2，d ＝6， ∴a ＝b ﹣d ＝﹣4， 故选：D ．7．【解答】解：依题意可知A i ＝a i •a i +1， ∴A i +1＝a i +1•a i +2， 若{A n }为等比数列则A i+1A i=a i+2a i=q （q 为常数），则a 1，a 3，…，a 2n ﹣1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比均为q ； 反之要想{A n }为等比数列则A i+1A i=a i+2a i需为常数，即需要a 1，a 3，…，a 2n ﹣1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相等；故{A n }为等比数列的充要条件是a 1，a 3，…，a 2n ﹣1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同． 故选：D ．8．【解答】解：由题意，公司原有100人每年创造的产值为100t （万元）， 分流后剩余（100﹣x ）人每年创造的产值为（100﹣x ）（1+1.2x %）t ，则由{0＜x ＜100(100−x)(1+1.2x%)t ≥100t，解得：0＜x ＜503．∵x ∈N ，∴x 的最大值为16． 故选：B ．二、填空题（共6小题：共30分）9．【解答】解：由a n +1＝a n +a n +2，得a n +2＝a n +1﹣a n ，所以a 3＝a 2﹣a 1＝1，a 4＝a 3﹣a 2＝1﹣2＝﹣1，a 5＝a 4﹣a 3＝﹣1﹣1＝﹣2，a 6＝a 5﹣a 4＝﹣2﹣（﹣1）＝﹣1，a 7＝a 6＝a 5＝﹣1﹣（﹣2）＝1． 故答案为：1．10．【解答】解：若实数x ，y 满足xy ＝1， 则x 2+4y 2≥2x •2y ＝4xy ＝4，当且仅当x ＝2y ＝±√2时，上式取得最小值4． 故答案为：4．11．【解答】解：关于①，a +b ＞1，可取a =23，b =23，不能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”；关于②，a +b ＝2，可取a ＝1，b ＝1，不能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”； 关于④，a 2+b 2＞2，可取a ＝﹣2，b ＝﹣2，不能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”； 关于⑤，ab ＞1，可取a ＝﹣2，b ＝﹣2，不能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”． 关于③，若a +b ＞2，则a ，b 中至少有一个大于1，可用反证法证明，它是正确的． 证明如下：假设a ≤1且b ≤1， 则a +b ≤2．与已知条件“a +b ＞2”矛盾， 故假设不成立．即有a ，b 中至少有一个大于1，故③正确． 故选③．12．【解答】解：∵{a n }是等差数列，a 1，a 2，a 5成等比数列， ∴(a 1+d)2=a 1•（a 1+4d ），又a 1＝1， ∴d 2﹣2d ＝0，公差d ≠0， ∴d ＝2．∴其前8项和S 8＝8a 1+8×72×d ＝8+56＝64． 故答案为：64．13．【解答】解：∵a 1＝S 1＝1，a 2＝S 2﹣S 1＝3﹣1＝2，∴公比q ＝2． 又∵数列{a n 2}也是等比数列，首项为a 12=1，公比为q 2＝4， ∴a 12+a 22+⋯+a n2=1×(1−42)1−4=43(4n −1)故答案为：43(4n −1) 14．【解答】解：由题意得：82+75+53+54+19+20+98+4+31+69＝505，故答案为：505．三、解答题（共6小题：共80分）15．【解答】解：（1）根据题意，等差数列{a n }中，设其公差为d ， 若S 9＝﹣a 5，则S 9=(a 1+a 9)×92=9a 5＝﹣a 5，变形可得a 5＝0，即a 1+4d ＝0， 若a 3＝4，则d =a 5−a 32=−2， 则a n ＝a 3+（n ﹣3）d ＝﹣2n +10， （2）若S n ≥a n ，则na 1+n(n−1)2d ≥a 1+（n ﹣1）d ， 当n ＝1时，不等式成立， 当n ≥2时，有nd 2≥d ﹣a 1，变形可得（n ﹣2）d ≥﹣2a 1，又由S 9＝﹣a 5，即S 9=(a 1+a 9)×92=9a 5＝﹣a 5，则有a 5＝0，即a 1+4d ＝0，则有（n ﹣2）−a 14≥−2a 1，又由a 1＞0，则有n ≤10， 则有2≤n ≤10，综合可得：n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }．16．【解答】解：（1）由x 2﹣x ﹣m ＝0可得m ＝x 2﹣x =(x −12)2−14 ∵﹣1＜x ＜1 ∴−14≤m ＜2 M ＝{m |−14≤m ＜2}（2）若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，则M ⊆N①当a ＞2﹣a 即a ＞1时，N ＝{x |2﹣a ＜x ＜a }，则{2−a ＜−14a ≥2a ＞1即a ＞94②当a ＜2﹣a 即a ＜1时，N ＝{x |a ＜x ＜2﹣a }，则{a ＜1a ＜−142−a ≥2即a ＜−14③当a ＝2﹣a 即a ＝1时，N ＝φ，此时不满足条件 综上可得a ＞94或a ＜−1417．【解答】解：（1）由题意可得：200（5x +1−3x）≥3000， 即5x −3x≥14，解得x ≥3，又1≤x ≤10， ∴3≤x ≤10．（2）设生产1200千克产品的利润为y ， 则y ＝100（5x +1−3x ）•1200x=120000（−3x 2+1x +5）＝120000[﹣3（1x −16）2+6112]， ∴当1x=16即x ＝6时，y 取得最大值610000．故甲厂以6千克/小时的速度生产可使利润最大，最大利润为610000元． 18．【解答】解：（1）∵4m 2+4m ﹣24＜0， ∴m 2+m ﹣6＜0，∴﹣3＜m ＜2， ∴实数m 的取值范围为：（﹣3，2）． （2）p ：﹣1≤x ≤2，设A ＝{x |﹣1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2+2mx ﹣m +6＞0}， ∵p 是q 的充分不必要条件，∴A ⊊B①由（1）知，﹣3＜m ＜2时，B ＝R ，满足题意； ②m ＝﹣3时，B ＝{x |x 2﹣6x +9＞0}＝{x |x ≠3}，满足题意； ③m ＝2时，B ＝{x |x 2+4x +4＞0}＝{x |x ≠﹣2}，满足题意； ④m ＜﹣3，或m ＞2时，设f （x ）＝x 2+2mx ﹣m +6， f （x ）对称轴为x ＝﹣m ，由A ⊊B 得 {−m ＜−1f(−1)＞0或{−m ＞2f(2)＞0， ∴{m ＞1−3m +7＞0或{m ＜−23m +10＞0，∴1＜m ＜73或−103＜m ＜−2， ∴−103＜m ＜−3或2＜m ＜73综上可知：−103＜m ＜7319．【解答】解：（1）∵a 12=S 1=a 1，a 1≠0，∴a 1＝1．…．（1分） ∵a 22=S 3=a 1+a 2+a 3，∴（1+d ）2＝3+3d ，∴d＝﹣1，2，当d＝﹣1时，a2＝0不满足条件，舍去．因此d＝2．…．（4分）∴a n＝2n﹣1，∴b n=12n−1−12n+1，∴T n=2n2n+1．…．（6分）（2）当n为偶数时，λ⋅2n2n+1＜n+8，∴λ＜(2n+1)(n+8)2n=12(2n+8n+17)，∵2n+8n≥8，当n＝2时等号成立，∴12(2n+8n+17)最小值为252，因此λ＜252．…．（9分）当n为奇数时，λ＜(2n+1)(n−8)2n=12(2n−8n−15)，∵2n−8n在n≥1时单调递增，∴n＝1时12(2n−8n−15)的最小值为−212，∴λ＜−212．…．（12分）综上，λ＜−212．…．（14分）20．【解答】解：（I）a n＝n，S n=n(n+1)2．∴S1＝1，S2＝3，S3＝6，S4＝10，S5＝15．∴b1＝1，b2＝2，b3＝2，b4＝2，b5＝3．证明：（II）（充分性）∵a1是奇数，a i（i＝2，3，4…）为偶数，∴对于任意i∈N*，S i都是奇数，∴b n＝n，∴数列{b n}是单调递增数列．（不必要性）当数列{a n}中只有a2是奇数，其余项都是偶数时，S1为偶数，S i（i＝2，3，4…）均为奇数，∴b n＝n﹣1，数列{b n}是单调递增数列，∴“a1为奇数，a i（i＝2，3，4，…）为偶数”是“数列{b n}是单调递增数列”的不必要条件．综上，：“a1为奇数，a i（i＝2，3，4，…）为偶数”是“数列{b n}是单调递增数列”的充分不必要条件．（Ⅲ）（1）当a k为奇数时，若S k为偶数，若a k+1是奇数，则S k+1为奇数，∴b k+1＝b k+1＝a k+1为偶数，与a k+1＝b k+1矛盾；若a k+1为偶数，则S k+1为偶数，∴b k+1＝b k＝a k为奇数，与a k+1＝b k+1矛盾．∴当a k为奇数时，S k不能为偶数；（2）当a k为偶数，若S k为奇数，若a k+1为奇数，则S k+1为偶数，∴b k+1＝b k＝a k为偶数，与a k+1＝b k+1矛盾，若a k+1为偶数，则S k+1为奇数，∴b k+1＝b k+1＝a k+1为奇数，与a k+1＝b k+1矛盾，∴当a k为偶数时，S k不能是奇数．综上，a k与S k同奇偶，∵a1＝b1＝S1为偶数，且0≤b1≤1，∴b1＝a1＝0，∵a2＝b2≤b1+1＝1，且b2≥0，∴b2＝a2＝0，以此类推，得到a n＝0．。
【精品高二数学试卷】2019--2020高二(上)期中+答案
2019-2020学年北京高二（上）期中数学试卷一、选择题 1．（3分）过椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为（ ） A ．√22B ．√33C ．12D ．132．（3分）在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．63．（3分）椭圆2x 2+3y 2＝12的两焦点之间的距离为（ ） A ．2√10B ．√10C ．2√2D ．√24．（3分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y =√3x ，一个焦点坐标为（2，0），则双曲线C 的方程为（ ） A ．x 22−y 26=1 B ．x 26−y 22=1C ．x 2−y 23=1D ．x 23−y 2=15．（3分）“（x ﹣1）（x +2）＝0”是“x ＝1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．（3分）若1a ＜1b＜0，则下列不等式：①a +b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④ab ＜b 2中，正确的不等式有（ ） A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④7．（3分）已知x ，y ＞0且x +4y ＝1，则1x+1y的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．118．（3分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N ＞100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A ．440B ．330C ．220D ．110二、填空题9．（3分）在等比数列{a n }中，若a 1+a 2＝18，a 2+a 3＝12，则公比q 为 ．10．（3分）若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为 ． 11．（3分）椭圆x 2m+y 24=1的焦距为2，则m 的值等于 ．12．（3分）若对任意正实数a ，不等式x 2≤1+a 恒成立，则实数x 的最小值为 ． 13．（3分）若命题“∃x ∈R ，有x 2﹣mx ﹣m ≤0”是假命题，则实数m 的取值范围是 ． 14．（3分）在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和．那么这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为 ． 三、解答题15．已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3=92． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }前n 项和T n ． 16．求过点(3，−√2)，离心率e =√52的双曲线的标准方程．17．已知f （x ）＝ax 2+x ﹣a ，a ∈R （1）若a ＝1，解不等式f （x ）≥1； （2）若a ＜0，解不等式f （x ）＞1． 18．如图，椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1（Ⅰ）若|PF 1|＝2+√2，|PF 2|＝2−√2，求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e ．19．设函数f（x）＝x+ax+1，x∈[0，+∞）（1）当a＝2时，求函数f（x）的最小值；（2）当0＜a＜1时，求函数f（x）的最小值．20．有限数列A n：a1，a2，…，a n．（n≥3）同时满足下列两个条件：①对于任意的i，j（1≤i＜j≤n），a i＜a j；②对于任意的i，j，k（1≤i＜j＜k≤n），a i a j，a j a k，a i a k三个数中至少有一个数是数列A n中的项．（Ⅰ）若n＝4，且a1＝1，a2＝2，a3＝a，a4＝6，求a的值；（Ⅱ）证明：2，3，5不可能是数列A n中的项；（Ⅲ）求n的最大值．2019-2020学年北京高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：由题意知点P 的坐标为（﹣c ，b 2a）或（﹣c ，−b2a ），∵∠F 1PF 2＝60°， ∴2cb 2a=√3，即2ac =√3b 2=√3（a 2﹣c 2）． ∴√3e 2+2e −√3=0， ∴e =√33或e =−√3（舍去）．故选：B ．2．【解答】解：在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 4=12（a 2+a 6）=12(4+a 6)=2， 解得a 6＝0． 故选：B ．3．【解答】解：椭圆2x 2+3y 2＝12化为x 26+y 24=1，所以a 2＝6；b 2＝4，所以c 2＝2，所以2c =2√2．椭圆2x 2+3y 2＝12的两焦点之间的距离为：2√2． 故选：C ． 4．【解答】解：双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y =√3x ，可得ba =√3，它的一个焦点坐标为（2，0），可得c ＝2，即a 2+b 2＝4， 解得a ＝1，b =√3， 所求双曲线方程为：x 2−y 23=1． 故选：C ．5．【解答】解：由（x ﹣1）（x +2）＝0得x ＝1或x ＝﹣2， 则“（x ﹣1）（x +2）＝0”是“x ＝1”的必要不充分条件， 故选：B ．6．【解答】解：∵1a＜1b＜0，∴b ＜a ＜0．则下列不等式：①a +b ＜0＜ab ，正确； ②|a |＞|b |，不正确； ③a ＜b ，不正确； ④ab ＜b 2，正确． 正确的不等式有①④． 故选：C ．7．【解答】解：∵x ，y ＞0且x +4y ＝1， ∴1x +1y =（1x +1y）（x +4y ）＝1+4+x y +4y x ≥5+2√x y ⋅4yx =9．当且仅当x =13，y =16时，等号成立． ∴1x+1y 的最小值为9．故选：B ．8．【解答】解：设该数列为{a n }，设b n =a (n−1)n2+1+⋯+a n(n+1)2=2n +1﹣1，（n ∈N +），则∑ n i=1b i=∑ n(n+1)2i=1a i ，由题意可设数列{a n }的前N 项和为S N ，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝21﹣1+22﹣1+…+2n +1﹣1＝2n +1﹣n ﹣2， 可知当N 为n(n+1)2时（n ∈N +），数列{a n }的前N 项和为数列{b n }的前n 项和，即为2n +1﹣n ﹣2，容易得到N ＞100时，n ≥14， A 项，由29×302=435，440＝435+5，可知S 440＝T 29+b 5＝230﹣29﹣2+25﹣1＝230，故A项符合题意． B 项，仿上可知25×262=325，可知S 330＝T 25+b 5＝226﹣25﹣2+25﹣1＝226+4，显然不为2的整数幂，故B 项不符合题意． C 项，仿上可知20×212=210，可知S 220＝T 20+b 10＝221﹣20﹣2+210﹣1＝221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C 项不符合题意． D 项，仿上可知14×152=105，可知S 110＝T 14+b 5＝215﹣14﹣2+25﹣1＝215+15，显然不为2的整数幂，故D 项不符合题意． 故选A ．方法二：由题意可知：20︸第一项，20，21第二项，20，21，22第三项，⋯20，21，22，⋯，2n−1第n 项，根据等比数列前n 项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n ﹣1， 每项含有的项数为：1，2，3，…，n ， 总共的项数为N ＝1+2+3+…+n =(1+n)n2， 所有项数的和为S n ：21﹣1+22﹣1+23﹣1+ (2)﹣1＝（21+22+23+ (2)）﹣n =2(1−2n)1−2−n＝2n +1﹣2﹣n ，由题意可知：2n +1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n 消去即可， 则①1+2+（﹣2﹣n ）＝0，解得：n ＝1，总共有(1+1)×12+2＝3，不满足N ＞100， ②1+2+4+（﹣2﹣n ）＝0，解得：n ＝5，总共有(1+5)×52+3＝18，不满足N ＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n ）＝0，解得：n ＝13，总共有(1+13)×132+4＝95，不满足N ＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n ）＝0，解得：n ＝29，总共有(1+29)×292+5＝440，满足N ＞100，∴该款软件的激活码440． 故选：A ． 二、填空题9．【解答】解：∵a 1+a 2＝18，a 2+a 3＝12，则公比q =a 2+a 3a 1+a 2=q(a 1+a 2)a 1+a 2=1218=23． 故答案为：23．10．【解答】解：依题意可知a ＝3，c ＝5 ∴b =√25−9=4根据顶点坐标可知焦点在x 轴， ∴双曲线的方程为x 29−y 216=1故答案为：x 29−y 216=111．【解答】解：由题意可得：c ＝1．①当椭圆的焦点在x轴上时，m﹣4＝1，解得m＝5．②当椭圆的焦点在y轴上时，4﹣m＝1，解得m＝3．故答案为：3或5．12．【解答】解：∵对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，∴等价于a≥x2﹣1，∴a≥（x2﹣1）max0≥（x2﹣1）max﹣1≤x≤1∴实数x的最小值为﹣1．13．【解答】解：命题“∃x∈R，有x2﹣mx﹣m≤0”是假命题，它的否定命题是“∀x∈R，有x2﹣mx﹣m＞0”，是真命题，即m2+4m＜0；解得﹣4＜m＜0，∴m的取值范围是（﹣4，0）．故答案为：（﹣4，0）．14．【解答】解：因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和，甲、乙阅读量之和等于大于丙、丁阅读量之和，所以乙的阅读量大于丙的阅读量，甲的阅读量大于丁的阅读量，因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和，所以这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为甲丁乙丙，故答案为：甲丁乙丙三、解答题15．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3＝2，前3项和S3=9 2．∴a1+2d＝2，3a1+3d=92，解得a1＝1，d=12．∴a n＝1+12（n﹣1）=n+12．（II）b1＝a1＝1，b4＝a15＝8，可得等比数列{b n}的公比q满足q3＝8，解得q＝2．∴{b n}前n项和T n=2n−12−1=2n﹣1．16．【解答】解：当双曲线焦点在x轴上时，∵点（3，−√2）在双曲线C上，且双曲线C的离心率e =√52，∴{9a 2−2b 2=1c a =√52a 2+b 2=c 2，解得a 2＝1，b 2=14．∴双曲线的标准方程为x 2−y 214=1；当双曲线焦点在y 轴上时，∵点（3，−√2）在双曲线C 上，且双曲线C 的离心率e =√52，∴{2a 2−9b 2=1c a=√52a 2+b 2=c 2，此方程组无解． 综上，双曲线C 的标准方程为x 2−y 214=1．17．【解答】解：（1）若a ＝1，不等式f （x ）≥1可化为：x 2+x ﹣1≥1，即x 2+x ﹣2≥0， 解得：x ∈（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞），（2）若a ＜0，不等式f （x ）≥1可化为：ax 2+x ﹣a ﹣1＞0，即（x ﹣1）（x +a+1a）＜0， 当−a+1a ＜1，即a ＜−12时，不等式的解集为（−a+1a ，1）； 当−a+1a =1，即a =−12时，不等式的解集为∅； 当−a+1a ＞1，即−12＜a ＜0时，不等式的解集为（1，−a+1a ）．18．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|+|PF 2|＝2+√2+2−√2=4，故a ＝2， 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 2⊥PF 1，因此2c ＝|F 1F 2|=√|PF 1|2+|PF 2|2=2√3，即c =√3，从而b =√a 2−c 2=1， 故所求椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．（Ⅱ）连接F 1Q ，由椭圆的定义，|PF 1|+|PF 2|＝2a ，|QF 1|+|QF 2|＝2a ， 从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|+|QF 2|， 有|QF 1|＝4a ﹣2|PF 1|，又由PQ ⊥PF 1，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|=√2|PF 1|＝4a ﹣2|PF 1|，解得|PF 1|＝2（2−√2）a ，从而|PF 2|＝2a ﹣|PF 1|＝2（√2−1）a ， 由PF 2⊥PF 1，知2c ＝|F 1F 2|=√|PF 1|2+|PF 2|2，因此e =c a =√|PF 1|2+|PF 2|22a=√(2−√2)2+(√2−1)2=√9−6√2=√6−√3．19．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝x+2x+1=x+1+2x+1−1≥2√2−1当且仅当x+1=2x+1，即x=√2−1时取等号，∴f（x）min＝2√2−1．（2）当0＜a＜1时，任取0≤x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝（x1﹣x2）[1−a(x1+1)(x2+1)]，∵0＜a＜1，（x1+1）（x2+1）＞1，∴1−a(x1+1)(x2+1)＞0，∵x1＜x2，∴f（x1）＜f（x2），即f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴f（x）min＝f（0）＝a．20．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）由①，得2＜a＜6．由②，当i＝2，j＝3，k＝4时.2a，6a，12中至少有一个是数列1，2，a，6中的项，但6a＞6，12＞6，故2a＝6，解得a＝3．经检验，当a＝3时，符合题意．…（3分）（Ⅱ）假设2，3，5是数列A n中的项，由②可知：6，10，15中至少有一个是数列A n 中的项，则有限数列A n的最后一项a n＞5，且n≥4．由①，a n＞a n﹣1＞a n﹣2＞a n﹣3＞1．…（4分）对于数a n﹣2，a n﹣1，a n，由②可知：a n﹣2a n﹣1＝a n；对于数a n﹣3，a n﹣1，a n，由②可知：a n﹣3a n﹣1＝a n．…（6分）所以a n﹣2＝a n﹣3，这与①矛盾．所以2，3，5不可能是数列A n中的项．…（7分）（Ⅲ）n的最大值为9，证明如下：…（8分）（1）令A9：−4，−2，−1，−12，−14，0，12，1，2，则A9符合①、②．…（11分）（2）设A n：a1，a2，…，a n（n≥3）符合①、②，则：（ⅰ）A n中至多有三项，其绝对值大于1．假设A n中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设a i，a j，a k，a l是A n中绝对值最大的四项，其中1＜|a i|≤|a j|≤|a k|≤|a l|．则对a i，a k，a l有|a i a l|＞|a l|，|a k a l|＞|a l|，故a i a l，a k a l均不是数列A n中的项，即a i a k是数列A n中的项．同理：a j a k也是数列A n中的项．但|a i a k|＞|a k|，|a j a k|＞|a k|．所以a i a k＝a j a k＝a l．所以a i＝a j，这与①矛盾．（ⅱ）A n中至多有三项，其绝对值大于0且小于1．假设A n中至少有四项，其绝对值大于0且小于1，类似（ⅰ）得出矛盾．（ⅲ）A n中至多有两项绝对值等于1．（ⅳ）A n中至多有一项等于0．综合（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ）可知A n中至多有9项．…（14分）由（1），（2）可得，n的最大值为9．。
【精品高二数学试卷】2019-2020高二(上)期中+答案
2019-2020学年北京市高二（上）期中数学试卷一、选择题：（共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ） A ．13B ．√33C ．12D ．√322．（5分）倾斜角为135°，在y 轴上的截距为﹣1的直线方程是（ ） A ．x ﹣y +1＝0B ．x ﹣y ﹣1＝0C ．x +y ﹣1＝0D ．x +y +1＝03．（5分）过点（﹣1，2）且与直线2x ﹣3y +4＝0垂直的直线方程为（ ） A ．3x +2y ﹣1＝0B ．3x +2y +7＝0C ．2x ﹣3y +5＝0D ．2x ﹣3y +8＝0 4．（5分）设m 是不为零的实数，则“m ＞0”是“方程x 2m−y 2m=1表示的曲线为双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．（5分）已知椭圆x 24+y 23=1的两个焦点为F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|﹣|MF 2|＝1则△MF 1F 2是（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形6．（5分）已知点F 1、F 2是椭圆x 2+2y 2＝2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→+PF 2→|的最小值是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．2√27．（5分）已知直线x ﹣y +m ＝0与圆O ：x 2+y 2＝1相交于A ，B 两点，且△AOB 为正三角形，则实数m 的值为（ ） A ．√32B ．√62C ．√32或−√32 D ．√62或−√62 8．（5分）在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，D 是AC 的中点，则BD →⋅CD →的取值范围是（ ） A ．(−34，14)B ．(−∞，14)C ．(−34，+∞)D ．(14，34)二、填空题：（共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）双曲线x 2−y 22=1的渐近线方程为 ．10．（5分）已知圆C 的圆心在直线x ﹣y ＝0上，过点（2，2）且与直线x +y ＝0相切，则圆C 的方程是 ．11．（5分）已知l 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的一条渐近线，其倾斜角为π4，且C 的右焦点为（2，0），则C 的右顶点为 ，C 的方程为 ．12．（5分）已知圆的方程为x 2+y 2+2x ﹣8y +8＝0，过点P （1，0）作该园的一条切线，切点为A ，那么线段P A 的长度为 ．13．（5分）若⊙O 1：x 2+y 2＝5与⊙O 2：（x ﹣m ）2+y 2＝20（m ∈R ）相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 ． 14．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →=AB →，F 1B →•F 2B →=0，则C 的离心率为 ．三、解答题：（共6小题，17、19题每题14分，其余每题13分，共80分） 15．（13分）已知函数f(x)=2√3sinxcosx +2cos 2x ． （1）求函数f （x ）图象的相邻两条对称轴的距离；（2）求函数f （x ）在区间[−π6，π3]上的最大值与最小值，以及此时x 的取值． 16．（13分）在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+ac ． （1）求cos B 的值；（2）若cosA =17，a ＝8，求b 以及S △ABC 的值．17．（14分）已知C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的短轴长2√3，离心率为12，圆O ：x 2+y 2＝b 2．（1）求椭圆C 和圆O 的方程；（2）过椭圆左焦点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，|AB|=165，若直线l 于圆O 交于M ，N 两点，求直线l 的方程及△OAB 与△OMN 的面积之比．18．（13分）已知函数f （x ）＝（ax +a ）e x （其中e ＝2.71828…），g （x ）＝x 2+bx +2，已知f （x ）和g （x ）在x ＝0处有相同的切线． （1）求函数f （x ）和g （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值；（3）判断函数F （x ）＝2f （x ）﹣g （x ）+2的零点个数，并说明理由．19．（14分）已知椭圆C ：x 22+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的焦点到短轴的端点的距离为√5，离心率为2√55． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点（1，0）的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，过点B 作平行于x 轴的直线BN ，交直线x ＝5于点N ，求证：直线AN 恒过定点．20．（13分）已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数n ，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项a n +1，a n +2，…的最小值记为B n ，记d n ＝A n ﹣B n ． （1）若数列{a n }的通项公式为a n ={5−n ，1≤n ≤41，n ≥5，求数列{d n }的通项公式；（2）证明：“数列{a n }单调递增”是“∀n ∈N *，d n ＜0”的充要条件； （3）若d n ＝a n 对任意n ∈N *恒成立，证明：数列{a n }的通项公式为a n ＝0．2019-2020学年北京市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（共8小题，每小题5分，共40分）1．【解答】解：已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴a ＝2b ，椭圆的离心率e =c a =√32， 故选：D ．2．【解答】解：∵直线倾斜角是135°， ∴直线的斜率等于﹣1， ∵在y 轴上的截距是﹣1，由直线方程的斜截式得：y ＝﹣1×x ﹣1， 即 y ＝﹣x ﹣1， 故选：D ．3．【解答】解：∵所求直线方程与直线2x ﹣3y +4＝0垂直，∴设方程为﹣3x ﹣2y +c ＝0 ∵直线过点（﹣1，2），∴﹣3×（﹣1）﹣2×2+c ＝0 ∴c ＝1∴所求直线方程为3x +2y ﹣1＝0． 故选：A ． 4．【解答】解：方程x 2m−y 2m=1表示的曲线为双曲线⇔m ≠0．∴“m ＞0”是“方程x 2m−y 2m=1表示的曲线为双曲线”的充分不必要条件．故选：A ．5．【解答】解：由题意， |F 1F 2|＝2，|MF 1|+|MF 2|＝4， ∵|MF 1|﹣|MF 2|＝1， ∴|MF 1|=52，|MF 2|=32， ∴|MF 2|2+|F 1F 2|2＝|MF 1|2， 故选：B ．6．【解答】解：∵O 为F 1F 2的中点，∴PF 1→+PF 2→=2PO →，可得|PF 1→+PF 2→|=2|OP →|当点P 到原点的距离最小时，|OP →|达到最小值，|PF 1→+PF 2→|同时达到最小值． ∵椭圆x 2+2y 2＝2化成标准形式，得x 22+y 2=1∴a 2＝2且b 2＝1，可得a =√2，b ＝1因此点P 到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即|OP →|最小值为b ＝1 ∴|PF 1→+PF 2→|=2|OP →|的最小值为2 故选：C ．7．【解答】解：直线x ﹣y +m ＝0与圆O ：x 2+y 2＝1相交于A ，B 两点，且△AOB 为正三角形， 则：△AOB 的边长为1，则：圆心（0，0）到直线x ﹣y +m ＝0的距离d =2=√32， 解得：m ＝±√62． 故选：D ．8．【解答】解：BD →=−（DA →+AB →），设∠CAB ＝α∈（0，π），所以BD →⋅CD →=−(DA →+AB →)⋅DA →=−[(12CA →)2+12CA →⋅AB →]=−14−12cos （π﹣α）＝﹣（14−12cosα）∈(−34，14)．故选：A ．二、填空题：（共6小题，每小题5分，共30分） 9．【解答】解：双曲线x 2−y 22=1的a ＝1，b =√2，可得渐近线方程为y ＝±bax ，即有y ＝±√2x ． 故答案为：y ＝±√2x ．10．【解答】解：根据题意，圆C 的圆心在直线x ﹣y ＝0上，设圆C 的圆心为（a ，a ），半径为r ；又由圆C 过点（2，2）且与直线x +y ＝0相切，则有r 2＝（a ﹣2）2+（a ﹣2）2＝（√1+1）2，解可得a ＝1，即圆心的坐标为（1，1）， 则r 2＝（a ﹣2）2+（a ﹣2）2＝2，则圆C 的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2； 故答案为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2．11．【解答】解：由题意可得c ＝2，即a 2+b 2＝4， 一条渐近线的斜率为k =ba =tan π4=1，解得a ＝b =√2，则双曲线的右顶点为（√2，0）， C 的方程为x 22−y 22=1．故答案为：（√2，0），x 22−y 22=1．12．【解答】解：圆x 2+y 2+2x ﹣8y +8＝0，即 （x +1）2+（y ﹣4）2＝9，表示以C （﹣1，4）为圆心、半径R ＝3的圆，再由切线长定理可得切线长P A =√PC 2−R 2=√20−9=√11， 故答案为：√11．13．【解答】解：由题知O 1（0，0），O 2（m ，0），半径分别为√5，2√5，根据两圆相交， 可得圆心距大于两圆的半径之差而小于半径之和，即√5＜m ＜3√5． 又O 1A ⊥O 2A ，所以有 m 2=(√5)2+(2√5)2=25，∴m ＝±5． 再根据S △AO 1O 2=12•AO 1•AO 2=12O 1O 2•AB2，求得 AB ＝2×√5⋅2√55=4，故答案为：4． 14．【解答】解：如图，∵F 1A →=AB →，且F 1B →•F 2B →=0，∴OA ⊥F 1B ， 则F 1B ：y =ab(x +c)，联立{y =ab (x +c)y =b a x ，解得B （a 2c b −a ，abc b −a ）， 则OB 2=a 4c 2(b2−a 2)2+a 2b 2c 2(b2−a 2)2=c 2，整理得：b 2＝3a 2，∴c 2﹣a 2＝3a 2，即4a 2＝c 2， ∴c 2a 2=4，e =ca =2．故答案为：2．三、解答题：（共6小题，17、19题每题14分，其余每题13分，共80分） 15．【解答】解：f(x)=2√3sinxcosx +2cos 2x =√3sin2x +cos2x +1 ＝2sin （2x +π6）+1．（1）函数f （x ）图象的相邻两条对称轴的距离为T2=π2；（2）∵x ∈[−π6，π3]，∴2x +π6∈[−π6，5π6]，∴当2x +π6=π2，即x =π6时，f （x ）取得最大值为3； 当2x +π6=−π6，即x =−π6时，f （x ）取得最小值为﹣1．16．【解答】解：（1）由余弦定理及已知得：cos B =a 2+c 2−b 22ac =12， （2）因为A ，B 为三角形内角，所以sin A =√1−cos 2A =√1−(17)2=4√37，sin B =√1−cos 2B =√1−(12)2=√32，由正弦定理得：b =a⋅sinB sinA =8×√32437=7，又∵cos A =17=b 2+c 2−a 22bc．∴c 2﹣2c ﹣15＝0，解得 c ＝5 （c ＝﹣3舍）． ∴S △ABC =12bc •sin A ＝10√3．17．【解答】解：（1）由题得b =√3，e =ca =12，所以c 2=14a 2，所以b 2=34a 2＝3，则a 2＝4， 所以椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1，圆O 的方程为：x 2+y 2＝3；（2）根据题意可知，左焦点F （﹣1，0），且直线l 的斜率存在且不为0， 不妨设y ＝k （x +1），联立{y =k(x +1)x 24+y 23=1，整理得（3+4k 2）x 2+8k 2x +4k 2﹣12＝0，所以x A +x B =−8k23+4k2，x A x B=4k 2−123+4k2，所以|AB |=2|x A ﹣x B |=2√(x A +x B )2−4x A x B =12×1+k23+4k2=165， 解得k ＝±√3，则l ：y =±√3（x +1）； 所以原点到l 的距离d =√31+3=√32，所以△AOB 面积为12×√32×165=4√35；MN ＝2√3−d 2=3，所以△MON 面积为12×√32×3=3√34，所以△OAB 与△OMN 的面积之比为16：15．18．【解答】解：（1）f （x ）＝（ax +a ）e x （其中e ＝2.71828…），g （x ）＝x 2+bx +2， f （0）＝a ，g （0）＝2．f ′（x ）＝a （x +2）e x ，g ′（x ）＝2x +b ， f ′（0）＝2a ，g ′（0）＝b ．∵f （x ）和g （x ）在x ＝0处有相同的切线． ∴2a ＝b ，a ＝2． 解得a ＝2，b ＝4．∴f （x ）＝2（x +1）e x ，g （x ）＝x 2+4x +2， （2）f （x ）＝2（x +1）e x ，x ∈[﹣3，3]．f ′（x ）＝2（x +2）e x ，可得f （x ）在[﹣3，﹣2）上单调递减，在（﹣2，3]上单调递增． ∴x ＝﹣2时，函数f （x ）取得极小值即最小值，f （﹣2）=−22． 又f （﹣3）=−4e3，f （3）＝8e 3．∴x ＝3时，函数f （x ）取得最大值，f （3）＝8e 3．综上可得：函数f （x ）在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值分别为：8e 3，−22． （3）函数F （x ）＝2f （x ）﹣g （x ）+2＝4（x +1）e x ﹣x 2﹣4x ． F ′（x ）＝4（x +2）e x ﹣2x ﹣4＝2（x +2）（2e x ﹣1）． 令F ′（x ）＝0，解得x ＝﹣2，x ＝﹣ln 2．可得：x ＝﹣2时，函数F （x ）取得极大值，F （﹣2）＝4−4e 2＞0； x ＝﹣ln 2．函数F （x ）取得极小值，F （﹣ln 2）＝2+2ln 2﹣ln 22＞0． 又x →﹣∞时，F （x ）→﹣∞．可得：函数F （x ）＝2f （x ）﹣g （x ）+2只有一个零点．19．【解答】解：（1）由椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的焦点到短轴的端点的距离为√5，则a =√5， 又离心率为2√55，即e =c a =2√55，解得c ＝2，∴b 2＝a 2﹣c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 25+y 2＝1；（2）证明：当直线l 的斜率不存在，即方程设为x ＝1，代入椭圆方程可得y ＝±√1−15=±√5，即有A （1，√5），B （1，2√5），N （5，2√5）， 直线AN 的方程为y =−√55（x ﹣3），直线AN 恒过定点Q （3，0）； 当直线l 的斜率存在，设过点（1，0）的直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1）， 由{y =k(x −1)x 2+5y 2=5，消去y 整理得（1+5k 2）x 2﹣10k 2x +5k 2﹣5＝0． 由△＝100k 4﹣4（1+5k 2）（5k 2﹣5）＝80k 2+20＞0恒成立， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），N （5，y 2）， 则x 1+x 2=10k21+5k2，…①，x 1x 2=5k 2−51+5k2，…②，k AN =y 2−y 15−x 1=k(x 2−x 1)5−x 1， 由k QN =y 2−05−3=y22=k(x 2−1)2，k AN ﹣k QN ＝k （x 2−x 15−x 1−x 2−12） ＝k •x 1x 2−3(x 1+x 2)+52(5−x 1)，由①②可得x 1x 2﹣3（x 1+x 2）+5=5k 2−51+5k2−3•10k 21+5k 2+5＝0，则k AN ﹣k QN ＝0，即k AN ＝k QN ，综上可得直线AN 过定点（3，0）．20．【解答】解：（1）当1≤n ≤4，数列{a n }是递减数列，最大为a 1＝4，又a 4＝a 5＝…＝a n＝…＝1，所以A n ＝4，B n ＝1，n ＝1，2，3，…， 所以d n ＝A n ﹣B n ＝4﹣1＝3，（2）充分性：数列{a n }单调递增，则a 1＜a 2＜…＜a n ＜…，则A n ＝a 1，B n ＝a n +1， 所以d n ＝A n ﹣B n ＝a 1﹣a n +1＜0；必要性：数列{a n }，∀n ∈N *，d n ＜0，d n ＝A n ﹣B n ＜0，d 1＝A 1﹣B 1＜0，a 1＜B 1＝min {a 2，…，a n +1，…}，所以a 1＜a 2，d 2＝A 2﹣B 2＜0，A n ＝max {a 1，a 2}＝a 2，B 2＝min {a 3，…，a n +1，…}，所以a 2＜a 3， 同理a 3＜a 4＜…＜a n …即数列{a n }单调递增，故“数列{a n }单调递增”是“∀n ∈N *，d n ＜0”的充要条件．（3）反证法：若d n ＝a n 对任意n ∈N *恒成立，数列{a n }的通项a n ≠0．当n ＝1时，d 1＝a 1＝A 1﹣B 1，A n ＝a 1，所以B 1＝0，这说明从第二项起，至少有一个项为0，这与假设矛盾， 故原命题成立．。
【精品高二数学试卷】2019-2020高二(上)期中+答案 (2)
2019-2020学年北京高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题5分，共40分. 1．（5分）椭圆x 29+y 24=1的离心率是（ ） A ．23B ．32C ．√53D ．√522．（5分）等差数列{a n }中，a 1＝2，a 4＝11，a n ＝20，则n 的值是（ ） A ．7B ．8C ．9D ．103．（5分）设a ＞0，b ＞0，若a +2b ＝8，则ab 的最大值为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．164．（5分）若方程x 2+y 2m−2=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，3）B ．（2，3）C ．（2，+∞）D ．（3，+∞）5．（5分）已知﹣1，x ，3x ，y 中，前三项依次成等差数列，后三项依次成等比数列，则y ＝（ ） A ．﹣5B ．5C ．﹣9D ．96．（5分）设实数x ，y 满足3＜x ＜4，1＜y ＜2．则2x ﹣y 的取值范围是（ ） A ．（4，6）B ．.（4，7）C ．（5，6）D ．（5，7）7．（5分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，对任意n ≥3且n ∈N *有a n +a n ﹣1+a n ﹣2＝8，则a 1000＝（ ） A ．1B ．2C ．5D ．88．（5分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若当且仅当n ＝10或11时S n 取得最小值，则下列选项错误的是（ ） A ．数列{a n }的首项a 1＜0 B ．数列{a n }的公差d ＞0 C ．存在k ∈N *，使得S k ＝S k +1 D ．存在k ∈N *，使得S k ＝S 2k二、填空题：每小题5分，共30分9．（5分）不等式x 2﹣2x ﹣3＜0的解集是 ．10．（5分）已知各项均不为0的等差数列{a n }中，a 5＝2a 2，则a 7a 3= ．11．（5分）己如数列{a n }通项公式为a n ＝|n −103|，则a n 的最小值为 ，此时n 的值为 ．12．（5分）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4S 2=3，数列{a n }的公比为 ．13．（5分）设椭圆x 22+y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点（1，0）作斜率k ≠0的直线交椭圆C 于两点P ，Q ，则四边形F 1PF 2Q 的周长为14．（5分）设a ＞0，函数f （x ）=x +ax−5的值域为集合S ，若2∈S ，则a 的取值范围是 ． 三、解答题：每小题10分，共30分.15．（10分）已知以F 1（﹣2，0），F 2（2，0）为焦点的椭圆过点P （2，3）． （1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左项点为A ，线段AF 1的垂直平分线L 交椭圆于M ，N 两点，求△MNP 面积．16．（10分）设函数f （x ）＝x 2+mx +n ，已知不等式f （x ）＜0的解集为{x |1＜x ＜4}． （1）求m 和n 的值；（2）若f （x ）≥ax 对任意x ＞0恒成立，求a 的取值范围．17．（10分）数列{a n }中，a 1＝1，对任意n ≥2且n ∈N *有（n ﹣1）a n ＝2na n ﹣1． （1）设b n =a nn，证明：数列{b n }为等比数列，并求{a n }的通项公式； （2）求{a n }的前n 项和S n ． 四、填空题：每小题5分，共25分.18．（5分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝3，S 7＝63，则a 3＝ ． 19．（5分）一个皮球从距地面高度为H 的地方释放，经地面反弹后最高上升至H2处，之后每次反弹后上升的最高高度均为上一次反弹的一半，若该皮球从开始释放至第五次接触地面瞬间，在空中的运动轨迹长为10米，则H ＝ 米．20．（5分）若关于x 的方程x 2﹣（m ﹣1）x +2m ﹣1＝0的两根分别在区间（﹣1，0）和（0，1）内，则m 的取值范围是 ．21．（5分）如图，椭圆C 的中心为坐标原点O ，其左、右焦点分别为F 1，F 2，上、下顶点分别为A 1，A 2，已知点P 在椭圆C 上，满足|PF 1|＝|F 1F 2|＝4，取线段PF 1的中点Q ，若|OQ |＝1，则|A 1A 2|＝ ．22．（5分）已知数列{a n}，{b n}的通项公式分別为a n=8n，b n＝n+λ，设c n={a n，a n≤b nb n，a n＞b n，若λ＝﹣2．则数列{c n}中的最大项是；若数列{c n}中的最大项c n≤2，则λ的取值范围是．五、解答题：共25分.23．（6分）解关于x的不等式ax2﹣4x+a＜0．24．（7分）己知数列{a n}满足a1＝1，对任意n∈N*，都有a n+1＝n2+2a nn+1成立．（1）直接写出a1，a2，a3，的值；（2）推测出{a n}通项公式并证明．25．（12分）设等差数列{a n}的前n项和S n，已知a1＝1，且S5﹣3a4＝4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=a n+1S n S n+1，数列{b n}的前n项和T n，求使不等式|T1•T2…T m−12|＜12019成立的最小的正整数m；（3）设c n＝（a n﹣t）•2a n，若数列{c n}单调递增．①求t的取值范围；②若t是符合条件的最小正整数．那么{c n}中是否存在三项c i，c j，c k（i＜j＜k）依次成等差数列？若存在，给出i，j，k的值；若不存在，说明理由．2019-2020学年北京高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共40分. 1．【解答】解：∵椭圆x 29+y 24=1中a ＝3，b ＝2，∴c =√a 2−b 2=√5， ∴e =c a =√53， 故选：C ．2．【解答】解：依题意，设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 4﹣a 1＝3d ＝9，得d ＝3，所以a n ＝a 1+（n ﹣1）×d ＝2+（n ﹣1）×3＝3n ﹣1， 所以a n ＝20＝3n ﹣1，解得n ＝7， 故选：A ．3．【解答】解：∵a ＞0，b ＞0且a +2b ＝8， ∴8＝a +2b ≥2√2ab ，∴ab ≤8，当且仅当a ＝2b ，即a ＝4，b ＝2时取等号， ∴ab 的最大值为8． 故选：C ．4．【解答】解：∵方程x 2+y 2m−2=1表示焦点在y 轴上的椭圆， 满足m ﹣2＞1，解之得3＜m ． 故选：D ．5．【解答】解：∵前三项依次成等差数列，∴2x ＝﹣1+3x ，解得x ＝1， 又∵后三项依次成等比数列，∴9x 2＝xy ，∵x ＝1，解得y ＝9． 故选：D ．6．【解答】解：根据约束条件画出可行域：由图得当z ＝2x ﹣y 过点A （3，2）时，Z 最小为4． 当z ＝2x ﹣y 过点B （4，1）时，Z 最大为7． 故所求z ＝2x ﹣y 的取值范围是（4，7）． 故选：B ．7．【解答】解：令n＝3，则a3+a2+a1＝8，得：a3＝5，令n＝4，则a4+a3+a2＝8，得：a4＝1，令n＝5，则a5+a4+a3＝8，得：a5＝2，从而数列{a n}的周期为3，∴a1000＝a3×333+1＝a1＝1，故选：A．8．【解答】解：依题意，等差数列{a n}的前n项和为S n，当且仅当n＝10或11时S n取得最小值，所以数列{a n}为递增数列，即d＞0，且a1～a10为负项，a11＝0，故AB正确；对于C选项，S k＝S k+1，即a k+1＝0，而当k＝10时成立，故C正确；对应D选项，S k＝S2k，即S2k﹣S k＝0，所以a k+1+a2k＝0，所以当k∈N*时，11≠2k+1 2，∴a11不是a k+1和a2k的等差中项，故D错误；故选：D．二、填空题：每小题5分，共30分9．【解答】解：不等式x2﹣2x﹣3＜0，因式分解得：（x﹣3）（x+1）＜0，可得：{x−3＞0x+1＜0或{x−3＜0x+1＞0，解得：﹣1＜x＜3，则原不等式的解集为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）10．【解答】解：依题意，a5＝2a2，∴a 1+4d ＝2a 1+2d ， ∴a 1＝2d ≠0， ∴a 7a 3=a 1+6d a 1+4d =8d 6d=43，故答案为：43．11．【解答】解：依题意，a n ={103−n(n ≤3，n ∈N ∗)n −103(n ≥4，n ∈N ∗)， 当n ≤3且n ∈N *时，a n 单调递减，所以最小值为a 3=13； 当n ≥4且n ∈N *时，a n 单调递增，所以最小值为a 4=23； 综上a n 的最小值为13，此时n 的值为3，故答案为：13，3．12．【解答】解：设数列{a n }的公比为q ≠1，S 4S 2=3，∴a 1(1−q 4)1−q a 1(1−q 2)1−q=1+q 2＝3，解得q =±√2．故答案为：±√2． 13．【解答】解：椭圆x 22+y 2＝1的左、右焦点分别为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），根据椭圆的性质：PF 1+PF 2＝2a ，QF 1+QF 2＝2a ， 所以周长为4a ＝4√2， 故答案为：4√2．14．【解答】解：∵f （x ）的值域为S ，2∈S ，∴方程x +ax−5=2有实根，即x 2−7x+10+a x−5=0有实根，∴△＝（﹣7）2﹣4（a +10）≥0，∴a ≤94， 又a ＞0，∴0＜a ≤94． ∴a 的取值范围为(0，94]． 故答案为：(0，94]．三、解答题：每小题10分，共30分. 15．【解答】解：（1）由题意设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）．可得c ＝2，即a 2﹣b 2＝4， 将A （2，3）代入椭圆方程，可得4a 2+9b 2=1，解得a ＝4，b ＝2√3， 即椭圆的方程为x 216+y 212=1；（2）线段AF 1的垂直平分线L 的方程为x ＝﹣3，代入x 216+y 212=1，解得y =±√212，∴|MN |=√21， P 到直线L 的距离d ＝2﹣（﹣3）＝5． ∴△MNP 面积S =12×√21×5=5√212．16．【解答】解：（1）依题意，1，4为方程x 2+mx +n ＝0的两根， 所以﹣m ＝1+4，n ＝1×4， 即m ＝﹣5，n ＝4；（2）由（1）知，f （x ）＝x 2﹣5x +4，所以f （x ）≥ax 对任意x ＞0恒成立，即x 2﹣5x +4≥ax 对任意x ＞0恒成立， ∵x ＞0，∴a ≤x +4x−5在（0，+∞）上恒成立， 当x ＞0时，4x＞0，∴根据基本不等式，x +4x −5≥2√x ⋅4x −5＝﹣1，当且仅当x ＝2时，等号成立，所以a ≤﹣1．17．【解答】（1）证明：∵对任意n ≥2且n ∈N *有（n ﹣1）a n ＝2na n ﹣1． ∴a n =2a n−1，即b n ＝2b n ﹣1（n ≥2），又：当n ＝1时，a 2＝2×1×a 1＝2， ∴b 1=a 11=1，b 2=a22=2， 满足b 2＝2b 1，从而数列{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列． ∴b n =1×2n−1=2n−1． ∴a n =n2n−1．（2）解：S n ＝a 1+a 2+a 3+……+a n ＝1×20+2×21+3×22+……+n •2n ﹣1，……①∴2S n ＝1×21+2×22+3×23+……+n ×2n ……②∴①﹣②得：﹣S n ＝1×20+1×21+1×22+……+1×2n=1×(1−2n+1)1−2=2n+1−1．从而S n ＝1﹣2n +1．四、填空题：每小题5分，共25分.18．【解答】解：由题意可得，{3a 1+3d =37a 1+21d =63，解方程可得，a 1＝﹣3，d ＝4， ∴a 3＝a 1+2d ＝﹣3+8＝5． 故答案为：519．【解答】解：第一次接触地面时，运动轨迹长度为H ， 第二次接触地面时，又运动了2×H 2米， 第三次接触地面时，又运动了2×H 4， 第四次接触地面时，又运动了2×H8， 第五次接触地面时，又运动了2×H16米， 所以H +2×H 2+2×H 4+2×H 8+2×H 16=H +2（H 2+H 4+H 8+H 16）＝H +2×H 2[1−(12)4]1−12=10， 解得：H =8023． 故答案为：8023．20．【解答】解：设函数f （x ）＝x 2﹣（m ﹣1）x +2m ﹣1，由题意可知：{f(−1)＞0f(0)＜0f(1)＞0，即：{3m −1＞02m −1＜0m +1＞0，解得：13＜m ＜12，故答案为：（13，12）．21．【解答】解：∵Q 是线段PF 1的中点，∴OQ ∥PF 2， 由|OQ |＝1，得|PF 2|＝2，∵|PF 1|＝|F 1F 2|＝4，∴2a ＝|PF 1|+|PF 2|＝6，则a ＝3， 2c ＝4，c ＝2． ∴b =√a 2−c 2=√5． ∴|A 1A 2|=2√5． 故答案为：2√5．22．【解答】解：若λ＝﹣2，则b n ＝n ﹣2， 令a n ≤b n ，得，n ≥4，∴c n ={n −2(n ∈N ∗，n ≤3)8n(n ∈N ∗，n ≥4)，所以当n ≤3时，数列{c n }单调递增，最大值为c 3＝1， 当n ≥4时，数列{c n }单调递减，最大值为c 4＝2， 综上，当λ＝﹣2．则数列{c n }中的最大项为2， 若数列{c n }中的最大项c n ≤2，因为数列a n =8n ，b n ＝n +λ，分别表示函数y =8x 和y ＝x +λ上正整数所对应的函数值，根据题意，a 4＝2，a 3=83＞2， 故当n ≤3且n ∈N *时，c n ＝b n ，所以a 3＜b 3，即83＜3﹣λ，解得，λ＜13，故答案为：2，13．五、解答题：共25分.23．【解答】解：当a ≠0时，△＝16﹣4a 2， ①当a ＜﹣2时，△＜0，不等式的解集为R ； ②当a ＝﹣2时，解集为{x |x ≠﹣1}； ③﹣2＜a ＜0时，△＞0，解集为{x |2+√4−a 2a＜x ＜2−√4−a 2a}；④当a ＝0时，﹣4x ＜0，解可得x ＞0，即不等式的解集{x |x ＞0}； ⑤0＜a ＜2时，解集为{x |2−√4−a 2a＜x ＜2+√4−a 2a}；⑥a ≥2时，解集为∅．24．【解答】解：（1）∵a 1＝1，对任意n ∈N *，都有a n +1＝n 2+2a nn+1 ∴a 2＝12+2×1+1＝4， a 3＝22+2a 22+1＝9； （2）由（1）知，a 1＝1＝12，a 2＝4＝22，a 3＝9＝32， 故a n ＝n 2，证明：当n ＝1时，显然有a 1＝12成立， 假设当n ＝k 时有a k ＝k 2成立， 则当n ＝k +1时， a k +1＝k 2+2a kk+1＝k 2+2k +1＝（k +1）2， 即当n ＝k +1时有a k +1＝（k +1）2成立， 所以a n ＝n 2．25．【解答】解：（1）等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，a 1＝1，且S 5﹣3a 4＝4， 可得5+10d ﹣3（1+3d ）＝4，解得d ＝2， 则a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1；（2）由（1）可得S n =12n （1+2n ﹣1）＝n 2，b n=a n+1S n S n+1=2n+1n2(n+1)2=1n2−1(n+1)2，则T n＝1−122+122−132+⋯+1n2−1(n+1)2=1−1(n+1)2=n(n+2)(n+1)2，T1•T2…T m=1⋅322•2⋅43•3⋅54⋯m(m+2)(m+1)=m+22(m+1)，|T1•T2…T m−12|＜12019，即为|m+22(m+1)−12|＜12019，即有1m+1＜22019，可得m＞20152，可得最小的正整数m为1008；（3）①c n＝（a n﹣t）•2a n=（2n﹣1﹣t）•22n﹣1，若数列{c n}单调递增，则c n+1﹣c n＝（2n+1﹣t）•22n+1﹣（2n﹣1﹣t）•22n﹣1＝（6n+5﹣3t）•22n﹣1＞0恒成立，即有6n+5﹣3t＞0恒成立，可得3t＜11，即t＜11 3；②由t是符合条件的最小正整数，可得t的最小正整数为1，即有c n＝（n﹣1）•4n，假设{c n}中存在三项c i，c j，c k（i＜j＜k）依次成等差数列，可得2c j＝c i+c k，即2（j﹣1）•4j＝（i﹣1）•4i+（k﹣1）•4k，（*）由i＜j＜k可得j≥2，k≥3，可得k﹣1＞j﹣1，2k＞2j+1，可得22k＞22j+1，则（k﹣1）•4k＞2（j﹣1）•4j，可得方程（*）无解，故{c n}中不存在三项c i，c j，c k（i＜j＜k）依次成等差数列．11/ 11。
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2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案说明：本试卷分填空题和解答题两部分,共160分,考试用时120分钟. 请在答题纸上作答。
．．．．．．．．．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.椭圆22916144x y +=的焦点坐标为___▲____.2.质点的运动方程为S=2t+1(位移单位m ，时间单位s),则t=1时质点的速度为___▲__m/s.3.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，直线AD 1与平面ABCD 所成的角的大小是__▲____．4.如果函数()y f x =的图像在点P(1,0)处的切线方程是1y x =-+,则(1)f '=_____▲___.5. 定点P 不在△ABC 所在平面内，过P 作平面α，使△ABC 的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有 ▲ 个．6. 方程x 2k －3＋y 2k ＋3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是___▲___． 7. 长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3．8. 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线 y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为____▲____．9.用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题，正确的有 ▲ ．(填写所有正确选项的序号．．). ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b .10. 若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点F 分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为__▲___．11. 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为___▲ ．12.已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等,现沿PA ,PB ,PC 三条侧棱剪开,将其表面展开成一个平面图形,若这个平面图形外接圆的半径为则三棱锥P ABC -的体积为__▲__. 13. 设双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上,且124PF PF =,则此双曲线离心率的最大值为__▲__.14. 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点P 是棱上一点，则满足|PA|＋|PC 1|＝2的点P 的个数为___▲___个．二、解答题（本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数2()1f x x =+，（1）求在区间[1,2]上()f x 的平均变化率；（2）求()f x 在1x =处的导数.16. 如图，平面PAC ⊥平面ABC ,AC ⊥ BC ,PE ∥CB ,,M N 分别是,AE PA 的中点.⑴求证：MN ∥平面ABC ；⑵求证：平面CMN ⊥平面PAC .17. 根据下列条件求椭圆的标准方程：(1) 焦点在x 轴，两准线间的距离为18 55，焦距为25；(2) 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过P 点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点．EABC MN P18. 如图，用一块长为2米，宽为1米的矩形木板，在教室的墙角处围出一个直三棱柱的储物角（使木板垂直于地面的两边与墙面贴紧），试问应怎样围才能使储物角的容积最大？并求出这个最大值.19. 如图,圆O 与离心率为23的椭圆T 12222=+by a x (0>>b a )相切于点M )1,0(. ⑴求椭圆T 与圆O 的方程；⑵过点M 引两条互相垂直的两直线1l 、2l 与两曲线分别交于点A 、C 与点B 、D(均不重合).若MD MB MC MA ⋅=⋅43,求1l 与2l 的方程.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；(2)过点Q )2,2( 作直线l 与双曲线C 1有且只有一个交点，求直线l 的方程；(3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题（5×12＝60分）1. 下列命题正确的是（）A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面2. 为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k为（）A.40 B.30 C.20 D.123.已知直线⊥平面，直线m，给出下列命题：①∥②∥m; ③∥m④∥其中正确的命题是（）A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①③4.某程序框图如图所示,若输出的S=57,则判断框内为（）A．k>4? B．k>5? C．k>6? D．k>7?5. 有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率为( )A．B．C．D．6.如右图是歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有() A．a1>a2B．a2>a1C．a1＝a2D．a1、a2的大小不确定7. 某人5次上班途中所花的时间（单位：min）分别为：x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数是10，方差为2，则的值为（）A．1 B．2 C．3 D．48.两条异面直线a,b所成的角是60°，A为空间一定点，则过点A作一条与直线a,b均成60°的直线，这样的直线能作几条（）A.1条B.2条C.3条D.4条9. 如右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中①与平行；②与是异面直线；③与成角；④与垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④10.如图，在棱长为1的正方体—中，点在线段上运动，给出以下四个命题：①异面直线与所成的角为定值；②二面角的大小为定值；③三棱锥的体积为定值；其中真命题的个数为( )A．B．C．D．11.下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为，后因某未知原因第5组数据的值模糊不清，此位置数据记为（如下表所示），则利用回归方程可求得实数的值为（）（A）（B）（C）（D）12.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为( ) A. B.C. D.二、填空题（5×4＝20分）13.已知A表示点，a，b，c表示直线，M，N表示平面，给出以下命题：①a⊥M，若M⊥N，则a∥N ②a⊥M，若b∥M,c∥a,则a⊥b,c⊥b③a⊥M，b M,若b∥M，则b⊥a④a b∩=A,c为b在内的射影，若a⊥c，则a⊥b。
其中命题成立的是___________14.执行如下图所示的程序框图，若输入的值为8，则输出的值为．15.如右上图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是．16. 甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，则有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率为．三、解答题（10+12×5＝70分）（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．18. （12分）已知：四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PD的中点，PA=a，∠PDA=45º (1)求证：AF∥平面PCE；(2)求证：平面PCE⊥平面PCD；(3)求点D到平面PCE的距离.（1）求图中a的值；20.已知四棱锥P—GBCD中(如图)，PG⊥平面GBCD，GD∥BC，GD=BC，且BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，PG=4。
（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；（Ⅱ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC,PFFC=k,求k的值.21.等边三角形ABC的边长为2,沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ，设点A到直线PQ的距离为x，AB 的长为d．（Ⅰ）x为何值时，d2取得最小值，最小值是多少；（Ⅱ）若∠BAC=θ，求cosθ的最小值．22.如图：在三棱锥D-ABC中，已知是正三角形，AB平面BCD，，E为BC的中点，F在棱AC 上，且.（1）求三棱锥D－ABC的表面积；（2）求证AC⊥平面DEF；（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．文科数学试题答案1~5、DADAC 6~10、BDCCD 11、D 12、B13、②③④14、8 15、90°16、16、解：甲比乙早到4小时内乙需等待，甲比乙晚到2小时内甲需等待．以x和y分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为－2≤x－y≤4，在如图所示的平面直角坐标系内，（x，y）的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A“有一艘船停靠泊位时需等待一段时间”的可能结果由阴影部分表示．由几何概型公式得：P（A）＝＝．故有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率是．17、解：（Ⅰ）由题意可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生人数为20×0.04×5=4（人），参加社区服务在时间段[95，100]的学生人数为20×0.02×5=2（人）．所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+2=6（人）．…………5分（Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A．由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生有4人，记为a，b，c，d；参加社区服务在时间段[95，100]的学生有2人，记为A，B．从这6人中任意选取2人有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况．事件A包括ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率．…………10分18. （1）取PC的中点为G，连结FG、EG∵FG∥DC FG=DC DC∥AB AE=AB∴FG∥AE 且FG＝AE∴四边形AFGE为平行四边形∴AF∥EG 又∵AF平面PCE EG平面PCE∴AF∥平面PCE…………4分（2）∵PA⊥平面ABCD AD⊥DC ∴PD⊥DC∴∠PDA为二面角P-CD-B的平面角∴∠PDA=45º，即△PAD为等腰直角三角形又∵F为PD的中点AF⊥PD ①由DC⊥AD DC⊥PD AD∩PD=D得：DC⊥平面PAD 而AF平面PAD∴AF⊥DC ②由①②得AF⊥平面PDC 而EG∥AF∴EG⊥平面PDC 又EG平面PCE∴平面PCE⊥平面PDC…………8分（3）过点D作DH⊥PC于H∵平面PCE⊥平面PDC ∴DH⊥平面PEC即DH的长为点D到平面PEC的距离在Rt△PAD中，PA=AD=a PD= a在Rt△PDC中，PD=a,CD=aPC= a DH= a即：点D到平面PCE的距离为a…………12分19、(1)……………………2分解得………………………………3分(3)依题意：70-80段数学成绩的的人数为=80-90段数学成绩的的人数为=90-100段数学成绩的的人数为=……………………12分20、解法一：（I）如图所示，以G点为原点建立空间直角坐标系o—xyz，则B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4）故E（1，1，0）故异面直线GE与PC所成角的余弦值为.…………6分（Ⅱ）设F（0，y , z）在平面PGC内过F点作FM⊥GC，M为垂足，则，∴……………………12分解法二：（Ⅰ）在平面ABCD内，过C点作CH//EG交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角.在△PCH中，由余弦定理得，cos∠PCH=∴异面直线GE与PC所成角的余弦值为.…………6分（Ⅱ）在平面GBCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，又因为DF⊥GC∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD ∴FM//PG由得GM⊥MD，∴GM=GD·cos45°=，∴………………12分21、解：（Ⅰ）如图（1）为折叠前对照图，图（2）为折叠后的空间图形．∵平面APQ⊥平面PBCQ，又∵AR⊥PQ，∴AR⊥平面PBCQ，∴AR⊥RB．在Rt△BRD中，BR2=BD2+RD2=，AR2=x2．故d2=BR2+AR2=．∴当时，d2取得最小值．…………6分（Ⅱ）∵AB=AC=d，BC=2，∴在等腰△ADC中，由余弦定理得，即，∴当时，cosθ取得最小值．…………12分22、解：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．∵△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，∴AD＝AC＝．…………1分设G为CD的中点，则CG＝，AG＝．∴，，．……3分三棱锥D－ABC的表面积为．…………4分（2）取AC的中点H，∵AB＝BC，∴BH⊥AC．∵AF＝3FC，∴F为CH的中点．∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．…………5分∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．∵AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC…………6分∵DE∩EF＝E，∴AC⊥平面DEF．…………8分（3）存在这样的点N，当CN＝时，MN∥平面DEF．连CM，设CM∩DE＝O，连OF．由条件知，O为△BCD的重心，CO＝CM．…………10分∴当CF＝CN时，MN∥OF．∴CN＝…………12分2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卷相应的位置上．．．．．．．．．． 1．抛物线24x y =的焦点坐标是_______________．2．直线10x y +-=与直线20x ay +-=互相垂直，则实数a 的值为_____________．3．已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的实轴长为2，离心率为2，则双曲线C 的左焦点坐标是__________．4．已知直线l 过点A （-3,4），倾斜角为60°，则直线l 的方程为____________．5．已知双曲线2219x y a -=的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为__________． 6．已知椭圆13422=+y x 上一点P 到左焦点的距离为25，则它到右准线的距离为_______． 7．如图一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于P ，则点P 的轨迹是_______． 8．设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB的长为a =___________．9．已知无论k 取任何实数，直线0)142()32()41(=-+--+k y k x k 必经过一定点，则该定点坐标为____________．10．集合{}22(,)|A x y x y =+＝4，{}222)4()3(|),(ry x y x B =-+-=，其中0r >，若A B ⋂中有且只有一个元素，则实数r 的值为______________．11．如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若090BAO BFO ∠+∠=，则椭圆的离心率是_________．12．设集合222{(,)|(2),,}A x y x y m x y R =-+≤∈，{(,)|2,,}B x y x y m x y R =+=∈，若,A B ⋂≠∅则实数m 的取值范围是______________．13．已知定点(2,0)N ，动点,A B 分别在图中抛物线28y x =及椭圆22195x y +=的实线部分上运动，且//AB x 轴，则△NAB 的周长L 的取值范围是________．14．设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，PQ 是过左焦点F 且与x 轴不垂直的弦，若在左准线l 上存在点R ，使PQR ∆为正三角形，则椭圆离心率e 的取值范围是___________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．求分别满足下列条件的直线方程．(1)经过直线220x y ++=和310x y ++=的交点且与直线0532=++y x 平行； (2)与直线l ：01243=-+y x 垂直且与坐标轴围成的三角形面积为6．16．已知圆22:450C x y x +--=．(1)过点()5,1作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 的弦AB 的中点(3,1)P ，求AB 所在直线方程．17．已知双曲线的中心在原点，焦点12,F F 在坐标轴上，一条渐近线方程为y x =，且过点(4,．(1)求双曲线方程；(2)设A 点坐标为()0,2，求双曲线上距点A 最近的点P 的坐标及相应的距离PA ．18．已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，左焦点为1(3,0)F -，右准线方程为253x =． (1)求椭圆的标准方程和离心率e ；(2)设P 为椭圆上第一象限的点，2F 为右焦点，若12PF F ∆为直角三角形，求12PF F ∆的面积．19．已知：以点)0,)(2,(≠∈t R t tt C 为圆心的圆与x 轴交于点A O ,，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：OAB ∆的面积为定值；(2)设直线42+-=x y 与圆C 交于点N M ,，若ON OM =，求圆C 的方程．20．如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，(0,8)A ，直线(08)y t t =<<与线段1AF 、2AF 分别交于点P 、Q ．(1)当3t =时，求以12,F F 为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程； (2)过点Q 作直线1QRAF 交12F F 于点R ，记1PRF ∆的外接圆为圆C ．①求证：圆心C 在定直线7480x y ++=上；②圆C 是否恒过异于点1F 的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷(非选择题)两部分第I 卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.1. 命题“若a b >，则a c b c +>+”的逆否命题为（ ）A ．若a b <，则a c b c +>+ B. 若a b ≤，则a c b c +≤+ C. 若a c b c +<+，则a b < D. 若a c b c +≤+，则a b ≤2．与曲线1492422=+y x 共焦点，且与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为（ ） A ．191622=-x y B ．191622=-y x C ．116922=-x y D ．116922=-y x 3．已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x y 53±= B ．x y 35±= C ．x y 43±= D ．x y 34±= 4．函数12)(2+-=ax x x f 在(]2,∞-上是单调递减函数的必要不充分条件是（ ） A ．2≥a B ．6=a C ．3≥a D ．0≥a 5．过抛物线x y -=2的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，且A 、B 在直线41=x 上的射影分别M 、N ，则∠MFN 等于（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．以上都不对6．有下列四个命题：①命题“若1=xy ，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1>m ，则022=+-m x x 有实根”的逆否命题； ④命题“若AB B =，则A B ⊆”的逆否命题.其中是真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．方程02=+ny mx 与)0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图可能是（ ）8．已知动点),(y x P 满足5|1243|)2()1(22++=-+-y x y x ，则点P 的轨迹是 ( )A ．两条相交直线B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆9．一个圆的圆心为椭圆的右焦点F ，且该圆过椭圆的中心交椭圆于点P, 直线PF 1（F 1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A ．21 B ．22 C ．23 D ．13-10．已知点P 为抛物线221x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是)217,6(，则PM PA +的最小值是（ ）A ． 8B ．219 C ．10 D ．22111．若椭圆1422=+y x 与双曲线1222=-y x 有相同的焦点F 1、F 2，P 是这两条曲线的一 个交点，则21PF F ∆的面积是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．2112．已知,A B 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>长轴的两个端点， ,M N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线,AM BN 的斜率分别为12,k k )0(21≠k k ，若椭圆的离心率为23,则||||21k k +的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．2第II 卷(非选择题90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。