高中数学(1.2.1几个常用的导数)
_高中数学第一章导数及其应用2
f(x)＝1x
f ′(x)＝－x12＝－x－2
f(x)＝ x
f ′(x)＝21 x＝12x－12
f(x)＝x3
f′(x)＝3x2
结论：若f(x)＝xα(α为有理数)，则f′(x)＝αxα－1.
1．y＝c表示平行于x轴的直线，或与x轴重合的直线， 其斜率为0，故y＝c上任一点处的导数值为____0____， 直线y＝x的斜率为1，故直线y＝x上任一点处的导数值 为___1_____.
[分析] 只需求出K、Q两点的横坐标即可．
[解析]
设P(x0，y0)，则kl1＝y′|x＝x0＝2
1 x0
.
∵直线l1与l2垂直，则kl2＝－2 x0，
∴直线l2的方程为y－y0＝－2 x0(x－x0)．
∵点P(x0，y0)在曲线y＝ x上，∴y0＝ x0.
在直线l2的方程中令y＝0，则－ x0＝－2 x0(x－x0)．
2．当y＝c表示路程关于时间的函数时，常数c表明路 程不变化，因此一直处于__静__止____状态，故瞬时速度 为___0_____，因此y′＝____0____；
当y＝x表示路程关于时间的函数时，路程的改变量等 于时间的改变量，因此物体做匀速直线运动，瞬时速 度为___1_____，故y′＝____1____.
当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切 线的斜率为k＝3x20.
∵A在曲线上，∴y0＝x30，∴xx300－－82＝3x20，
∴x30－3x20＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， ∴x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3， 此时切线方程y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0和 3x－y＋2＝0. [警示] 求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲 线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．
1.2.1几个常用函数的导数及基本初等函数导数公式(教学设计)
1.2导数的计算（教学设计）（1）1．2．1几个常用函数的导数；1.2.2基本初等函数的导数公式教学目标：知识与技能目标：（1）能够用定义求五个常用函数的导数，并熟悉求导数的三个步骤。
（2）使学生应用由定义求导数的三个步骤推导五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y =的导数公式；并能运用这四个公式正确求函数的导数． 过程与方法目标：通过本节的学习，掌握利用导数的定义求导数的方法。
情感、态度与价值观目标：（1）通过本节的学习，进一步体会导数与物理知识之间的联系，提高数学的应用意识。
（2）通过本节的学习，培养学生对问题的分析能力与认识能力，进一步明白数学在研究整个自然科学中的重要位置。
教学重点： 五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =、y =的导数公式及应用教学难点： 五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y =的导数公式教学过程： 一、复习回顾：1．求f(x)在x 0年的导数的步骤为： 1）求增量：∆y=f(x+∆x)-f(x)2)算比值：()()y f x x f x x x∆+∆-=∆∆ 3）求极限：y ’=0lim x yx∆→∆∆2．导数的几何意义。
二．创设情景，新课引入我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数． 三．师生互动，新课讲解： 1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00limlim 00x x yy ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y 0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00limlim 11x x yy x ∆→∆→∆'===∆以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x +∆+∆-==+∆∆所以00limlim (2)2x x yy x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆ 2y x '=表示函数y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011limlim ()x x y y x∆→∆→∆'==-=-∆5．函数()y f x =因为()()y f x x f xx x ∆+∆-==∆∆==所以0lim lim x x y y x ∆→∆→∆'===∆（2）推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'= 小结：基本初等函数的导数公式：例1（课本P14例1）假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？ 解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．变式训练1：（课本P15思考）如果上式（例1）中某种商品的P 0=5，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？例2 求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x ；(6)y ＝1－2sin 2x 2.解 (1)y ′＝0； (2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5；(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3x －4； (4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝1434x -＝344x；(5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3；(6)y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，y ′＝(cos x )′＝－sin x .反思与感悟 若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导． 变式训练2：(1)下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x )′＝3x log 3e ；②(log 2x )′＝1x ln 2；③1(ln x )′＝x ；④若y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227.A ．1B ．2C ．3D ．4(2) ①已知f (x )＝5x ，则f ′(2)＝________. ②已知f (x )＝ln x ，且f ′(x 0)＝1x 20，则x 0＝________.答案 (1)C (2)①25ln 5 ②1解析 (1)①中(3x )′＝3x ln 3，②③④均正确． (2)①f ′(x )＝5x ln 5，f ′(2)＝25ln 5. ②f ′(x )＝1x ，∴f ′(x 0)＝1x 0＝1x 20，解得x 0＝1.例3：求过曲线y=cosx 上点P 132π（，）且与在这点的切线垂直的直线方程。
高中常用函数导数表
高中常用函数导数表导数是微积分中非常重要的概念，通过求导可以求得函数在某一点的变化率。
在高中数学中，我们会接触到许多常用的函数，它们的导数有着特定的形式。
了解这些常用函数导数的形式，可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
下面是一份高中常用函数导数表，方便大家参考和记忆。
1. 常数函数：f(x) = C，其中C为常数导数：f'(x) = 0对于常数函数来说，其函数值始终保持不变，因此导数恒为0。
2. 幂函数：f(x) = x^n，其中n为正整数导数：f'(x) = nx^(n-1)幂函数是指以x为底的n次幂的函数，它的导数是通过幂函数的指数降低1，并乘以原幂函数的系数。
3. 指数函数：f(x) = a^x，其中a为正实数且a≠1导数：f'(x) = a^x * ln(a)指数函数的导数是原函数的结果乘以底数a的自然对数值ln(a)。
4. 对数函数：f(x) = logₐ(x)，其中a为正实数且a≠1导数：f'(x) = 1 / (x * ln(a))对数函数的导数是1除以x乘以底数a的自然对数值ln(a)。
5. 三角函数：f(x) = sin(x)，f(x) = cos(x)，f(x) = tan(x)导数：f'(x) = cos(x)，f'(x) = -sin(x)，f'(x) = sec²(x)三角函数的导数可以通过基本的三角函数关系式求得，请注意tan(x)的导数是sec²(x)，其中sec(x)表示secant函数。
6. 反三角函数：f(x) = arcsin(x)，f(x) = arccos(x)，f(x) = arctan(x)导数：f'(x) = 1 / √(1 - x²)，f'(x) = -1 / √(1 - x²)，f'(x) = 1 / (1 + x²)反三角函数的导数也可以通过基本的反三角函数关系式求得，请注意arctan(x)的导数是1除以1 + x²。
高中数学第一章导数及其应用1.2.1_2几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课件新
1. 能根据定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x， y＝ x的导数.
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导 数.
自主学习 基础认识
|新知预习|
1．几个常用函数的导数
函数 导数 函数
导数
f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1
f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝1x f′(x)＝－x12
3．函数 f(x)＝sinx，则 f′(6π)＝________.
解析：f′(x)＝cosx，所以 f′(6π)＝1. 答案：1
【解析】 (1)因为 y＝sinx，所以 y′＝cosx，
曲线在点 Pπ6，12处的切线斜率是
y′|x＝π6＝cosπ6＝
3 2.
所以过点
P
且与切线垂直的直线的斜率为－
2， 3
故所求的直线方程为 y－12＝－ 23x－π6，
即 2x＋ 3y－ 23－π3＝0.
(2)因为 y′＝(x2)′＝2x， 设切点为 M(x0，y0)， 则 y′|x＝x0＝2x0， 又因为直线 PQ 的斜率为 k＝42－ ＋11＝1，而切线平行于直线 PQ，
切线方程为 y－14＝－x＋12， 即 4x＋4y＋1＝0.
|素养提升|
1．基本初等函数的导数公式可分为四类 第一类为幂函数，y′＝(xα)′＝αxα－1(注意幂指数 α 可推广到全体 非零实数)； 第二类为三角函数，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函 数的导数为正弦函数的相反数； 第三类为指数函数，y′＝(ax)′＝axlna，当 a＝e 时，y＝ex 的导 数是指数函数的导数的一个特例； 第四类为对数函数，y′＝(logax)′＝xl1na，也可写为(logax)′＝ 1x·logae，当 a＝e 时，y＝lnx 的导数是对数函数的导数的一个特例．
高中数学第一章几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课件
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【跟踪训练 2】 已知点 P(－1,1)，点 Q(2,4)是曲线 y＝x2 上的两点，求 与直线 PQ 平行的曲线 y＝x2 的切线方程．
解 因为 y′＝(x2)′＝2x，设切点为 M(x0，y0)， 则 y′| x＝x0＝2x0. 又因为 PQ 的斜率为 k＝42－ ＋11＝1，而切线平行于 PQ，
3．曲线 y＝cosx 在点 Aπ6， 23处的切线方程为________．
答案 解析
x＋2y－ 3－π6＝0 因为 y′＝(cosx)′＝－sinx，所以 k＝－sinπ6＝－12，所以在点 A
处的切线方程为 y－ 23＝－12x－π6，即 x＋2y－ 3－π6＝0.
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(3)第三类为指数函数，y′＝(ax)′＝ax·ln a，当 a＝e 时，ex 的导数是(ax)′
的一个特例．
(4)
第
四
类
为
对
数
函
数
，
y′
＝
(logax)′
＝
1 x·ln
a
，
也
可
记
为
(logax)′
＝
1x·logae，当 a＝e 时，ln x 的导数也是(logax)′的一个特例．
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1．已知函数 f(x)＝5，则 f′(1)等于( ) A．5 B．1 C．0 D．不存在
答案 C 解析 因为 f(x)＝5，所以 f′(x)＝0，所以 f′(1)＝0.
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高中数学导数及其应用导数的计算几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
2021/12/8
第十页，共二十八页。
[规律方法] 1.若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解 2.对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原 则，避免不必要的运算失误 3.要特别注意“1x与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别.
2021/12/8
第一章 导数及其应用(yìngyòng)。谢谢观看
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12/8/2021
第二十八页，共二十八页。
2021/12/8
第十九页，共二十八页。
其中正确命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C
[对于①，y′＝0，故①错；对于②，∵y′＝－
2 x3
，∴y′|x＝3＝－
2 27
，
故②正确；显然③，④正确，故选C.]
2021/12/8
第二十页，共二十八页。
2．已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝14，则α等于(
(4)若y＝2sin x－cos x，则y′＝2cos x＋sin x．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
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第六页，共二十八页。
2．若函数y＝10xn 10
D．10l1n 10
C [∵y′＝10xln 10，∴y′|x＝1＝10ln 10.]
)
A．13
B．12
C．18
D．14
D [∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝14.]
2021/12/8
第二十一页，共二十八页。
3．设y＝－2exsin x，则y′等于( )
【导学号：31062023】
基本导数公式16个汇总
基本导数公式16个汇总基本导数公式16个整理16个基本导数公式(y：原函数;y：导函数)：1、y=c，y=0(c为常数)。
2、y=x^μ，y=μx^(μ-1)(μ为常数且μ≠0)。
3、y=a^x，y=a^x lna;y=e^x，y=e^x。
4、y=logax，y=1/(xlna)(a0且a≠1);y=lnx，y=1/x。
5、y=sinx，y=cosx。
6、y=cosx，y=-sinx。
7、y=tanx，y=(secx)^2=1/(cosx)^2。
8、y=cotx，y=-(cscx)^2=-1/(sinx)^2。
9、y=arcsinx，y=1/√(1-x^2)。
10、y=arccosx，y=-1/√(1-x^2)。
11、y=arctanx，y=1/(1+x^2)。
12、y=arccotx，y=-1/(1+x^2)。
13、y=shx，y=ch x。
14、y=chx，y=sh x。
15、y=thx，y=1/(chx)^2。
16、y=arshx，y=1/√(1+x^2)。
导数的几何意义是什么导数的数学意义是：函数y=f(x)在x0点的导数f(x0)的几何意义：表示函数曲线在点P0(x0,f(x0))处的切线的斜率(导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率)。
导数的物理意义是：导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度(就直线运动而言，位移关于时间的一阶导数是瞬时速度，二阶导数是加速度)，可以表示曲线在一点的斜率，还可以表示经济学中的边际和弹性。
导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。
导数运算法则减法法则：(f(x)-g(x))=f(x)-g(x)加法法则：(f(x)+g(x))=f(x)+g(x)乘法法则：(f(x)g(x))=f(x)g(x)+f(x)g(x)除法法则：(g(x)/f(x))=(g(x)f(x)-f(x)g(x))/(f(x))^2常用导数公式1、y=c(c为常数) y=02、y=x^n y=nx^(n-1)3、y=a^x y=a^xlnay=e^x y=e^x4、y=logax y=logae/x y=lnx y=1/x5、y=sinx y=cosx6.y=cosx y=-sinx7、y=tanx y=1/cos^2x8、y=cotx y=-1/sin^2x。
16-17版：1.2.1 几个常用函数的导数~1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算 法则(
1．2.1 几个常用函数的导数1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[学习目标] 1.能根据定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x 的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．知识点一 几个常用函数的导数思考 (1)函数f (x )＝c ，f (x )＝x ，f (x )＝x 2的导数的几何意义和物理意义分别是什么？ (2)函数f (x )＝1x 导数的几何意义是什么？知识点二基本初等函数的导数公式思考由函数y＝x，y＝x2的导数，你能得到y＝xα(α∈Q*)的导数吗？如何记忆该公式？题型一运用求导公式求常见的基本初等函数的导数例1求下列函数的导数：(1)y＝1x5；(2)y＝12log x；(3)y＝cos π4；(4)y＝22x.反思与感悟 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． 跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y ＝x 8；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫12x； (3)y ＝x x ；(4)y ＝12log x .题型二 利用导数公式求曲线的切线方程例2 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝⎛⎭⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程．反思与感悟 导数的几何意义是曲线在某点处的切线斜率，两条直线互相垂直时，其斜率之积为－1(在其斜率都存在的情形下)． 跟踪训练2 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．在利用求导公式时，因没有进行等价变形出错例3 求函数y ＝3x 2的导数． 错解 ∵y ＝3x 2，∴y ＝x 32，故y ′＝3212x .错因分析 出错的地方是根式化为指数幂，没有进行等价变形，从而导致得到错误的结果． 正解 ∵y ＝3x 2＝23x ，∴y ′＝2313x -.防范措施 准确把握根式与指数幂的互化：nx m ＝m nx ，1n x m＝m nx-.1．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．32．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36B ．0 C.12xD.323．给出下列结论：①⎝⎛⎭⎫cos π6′＝－sin π6＝－12； ②若y ＝1x 2，则y ′＝－2x －3；③若f (x )＝3x ，则[f ′(1)]′＝3； ④若y ＝5x ，则y ′＝155x .其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．44．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．5．求下列函数的导数：(1)y＝1x3；(2)y＝3 x.1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y＝1－2sin2x2的导数．因为y＝1－2sin2x2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．提醒：完成作业 1.2.1～1.2.2(一)答案精析知识梳理 知识点一0 1 2x －1x 2 12x思考 (1)常数函数f (x )＝c ：导数为0，几何意义为函数在任意点处的切线垂直于y 轴，斜率为0；当y ＝c 表示路程关于时间的函数时，y ′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．一次函数f (x )＝x ：导数为1，几何意义为函数在任意点处的切线斜率为1，当y ＝x 表示路程与时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动；一般地，一次函数y ＝kx ：导数y ′＝k 的几何意义为函数在任意点处的切线斜率为k ，|k |越大，函数变化得越快．二次函数f (x )＝x 2：导数y ′＝2x ，几何意义为函数y ＝x 2的图象上点(x ，y )处的切线斜率为2x ，当y ＝x 2表示路程关于时间的函数时，y ′＝2x 表示在时刻x 的瞬时速度为2x . (2)反比例函数f (x )＝1x ：导数y ′＝－1x 2，几何意义为函数y ＝1x 的图象上某点处切线的斜率为－1x 2. 知识点二0 αx α－1 cos x －sin x a x ln a e x1x ln a 1x思考 因y ＝x ，得y ′＝1；y ＝x 2，得y ′＝2x ，故y ＝x α的导数y ′＝αx α－1，结合该规律，可记忆为“求导幂减1，原幂作系数”． 题型探究例1 解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 5′＝(x －5)′＝－5x －6＝－5x 6； (2)y ′＝1x ln 12＝－1x ln2；(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos π4′＝0； (4)y ′＝(22x )′＝(4x )′＝4x ·ln 4. 跟踪训练1 解 (1)y ′＝8x 7； (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2；(3)∵y ＝x x ＝x 32，∴y ′＝32x 12；(4) y ′＝1x ln 13＝－1x ln 3.例2 解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π6，12处的切线斜率是： y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23， 故所求的直线方程为y －12＝－23⎝⎛⎭⎫x －π6， 即2x ＋3y －32－π3＝0. 跟踪训练2 解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1. 又∵f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)．∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)．又∵切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)． 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1.当x 0＝2时，f ′(x 0)＝1，此时所求切线方程为x －y －4＝0； 当x 0＝1时，f ′(x 0)＝0，此时所求切线方程为y ＋2＝0. 故经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为 x －y －4＝0或y ＋2＝0. 当堂检测1．D [令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义，可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.]2．A [∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36.]3．A [cos π6＝32为常数，则⎝⎛⎭⎫cos π6′＝0，所以①错误；y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，所以②正确；因为f (x )＝3x ，所以f ′(x )＝3，所以[f ′(1)]′＝0，所以③错误；y ′＝(5x )′＝⎝⎛⎭⎫x 15′＝15x －45，所以④错误．] 4.12e 2 解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.5．解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3x －3－1＝－3x －4. (2)y ′＝(3x )′＝(x 13)′＝13x 13－1＝13x －23.。
人教版高中数学选修2-2第一章1.2.1几个常用函数的导数
旧知回顾函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.00()();f x x f xyx x+∆-∆=∆∆lim.xyyx∆→∆'=∆（1）求增量（2）算比值（3）求极限新课导入我们知道，导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么，对于函数y=f(x)，如何求它的导数呢？上节内容，我们讲述了导数的定义，可以根据定义求导数. 这节课我们求几个常见函数的导数.3.2 导数的计算导数的计算常见函数导数基本初等函数的导数公式导数运算法则3.2.1 几个常见函数的导数教学目标知识与能力（1）深刻理解导数的几何意义.（2）根据导数定义求基本函数的导数.过程与方法（1）通过分析实例，了解求导数的方法. （2）掌握几个基本函数的导数.情感态度与价值观根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式，更好的学习导数等概念.教学重难点 重点难点 根据导数定义求解导数方法.21y =c,y =x,y =x ,y =,y =x x 会根据导数的定义求五个函数的导数.知识要点根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.1.函数y=f(x)=c的导数.0lim .x ∆→''= y =f(x)=C,ΔyΔy=f(x+Δx)-f(x)=C -C,=0ΔxΔy ∴f (x)=C =0Δx证明:概念理解若 y=c （如图）表示路程关于时间的函数，则y′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.知识拓展公式1: C=0(C为常数)2. 函数y=f(x)=x 的导数 00lim lim 111x x δδ→→==='证明：Δyf(x +Δx)-f(x)∵==Δx Δx Δy ∴y Δx概念理解若 y=x（如图1.2–2）表示路程关于时间的函数，则y′=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.探究2,3,4y x y x y x===在同一直角坐标系中，画出函数的图像，并根据导数定义，求它们的导数.2040608010012345678910111213141516171819202122xy=2x y=3x y=4x（1）从图像上看，它们的导数分别表示什么？2,3,4y x y x y x === 从图像上看，函数的导数分别表示这些直线的斜率.（2）这三个函数中，哪一个增加的最快？哪一个增加的最慢？在这三个函数中，y=4x增加的最快，y=3x增加的最慢.（3）函数y=kx(k≠0)增（减）的快慢与什么有关？解：函数增加的快慢与k有关系，即与函数的导数有关系，k越大，增加的越快，反之，越慢.3. 函数y=f(x)= 的导数 2x 00lim lim x x δδ→→==22222'证明：Δy f(x +Δx)-f(x)(x +Δx)-x∵==Δx Δx Δxx +2x Δx +(Δx)-x =Δx=2x +ΔxΔy ∴y (2x +Δx)=2x.Δx ×概念理解 0510152025301234567891011系列2 若 表示路程关于时间的函数，则 可以解释为某物体做变速速度，它在时刻x 的瞬时速度为2x. 2y x ='2y x =4. 函数y=f(x)= 的导数 1x证2'22δx→0δx→0明：Δy f(x +Δ'x)-f(x)x -(Δx)∵==Δx Δx x(x +Δx)Δx 1=-x +xΔxΔy11∴y =lim =lim (-)=-Δx x +xΔx x探究1画出函数y=的图像，x根据图像，描述它的变化情况，并求出曲线在点（1，1）处的切线方程.结合函数图像及其导数发现，当x<0时，随着x 的增加，函数 减少的越来越快；当x>0时，函数减少的越来越慢.'21y x =-1y x='x=1' 点（1，1）处的切线的斜率就是y |=-1,故斜率为-1，过点(1,1)的切线方程y =-x +2.5. 函数y=f(x)= 的导数x 'δx →0δx →0证明：Δy f(x +Δx)-f(x)x +Δx -x∵==Δx Δx Δx1=x +Δx +xΔy 11∴y =lim =lim =Δx x +Δx +x 2x知识拓展公式2: . )()(1Q n nx x n n ∈='- 请注意公式中的条件是 ,但根据我们所掌握的知识,只能就 的情况加以证明.这个公式称为幂函数的导数公式.事实上n 可以是任意实数. n Q ∈*n N ∈例 13(1) (x ) 2(2) 3x 3'21(x )=3x 解：（）2' (2)3x )=6x（课堂小结1.根据定义求常用函数的导数.21 ,,,, y c y x y x yx ====课堂小结2. 根据定义求导数的具体步骤（1）计算 ，并化简. y x ∆∆（2）观察当△x 趋近于0时， 趋近于哪个定值.y x ∆∆（3） 趋近于的定值就是函数f=f(x)的函数.y x ∆∆3.认识导数不同方面的意义，建立不同意义方面的联系，能够在不同意义间进行转换.(2007浙江文)32曲线y =x -2x -4x+2在点(1,-3)处的切线方程是 .520x y +-=高考链接(2007江西理)设函数f(x)是R上以5为周期的可导函数，则函数曲线在x=5处的切线的斜率为（）B1A. -B. 051C. D. 55随堂练习1..3'1f'(x)f(x)=x+2x+12f(-1)是的导函数，则的值是311,,111.y x x y y x ⎧==⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎩解：联立方程组解得故交点为（，） 求双曲线 与抛物线 交点处切线的夹角. 1y x =y x =2.211111,,1|1,(1,1)1;x y y x xk y y xk ='==-'∴==-==-双曲线故双曲线在交点处的 切线斜率为121121,,21|,(1,1)21;2x y x y x k y y x k -='=='∴==== 抛物线故抛物线在交点处的切线斜率为1212112tan |||| 3.111(1)2k k k k θ---===++-⋅arctan 3.θ∴=夹角由夹角公式：0||,()0,,1lim 1;x y x y x x xx y x x xy x ∆→=∆+∆-∴>===∆∆∆∴=∆当时则3.解：利用导数的定义求函数y=|x|（x≠0）的导数.00()(),1,lim 1;x x y x x x y x x xy x∆→<∆-+∆--=-==-∆∆∆∴=-∆当时10.10x y x >⎧'∴=⎨-<⎩。
人教版高中数学第一章1.2第1课时几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式
则切线方程为 y－1a＝－a12(x－a)．① 将 Q(1，0)代入方程：0－1a＝－a12(1－a)． 得 a＝12，代回方程①，整理可得切线方程为 4x＋y －4＝0.
[迁移探究 2] (将已知点改为已知切线的斜率)已知 曲线 y＝1x，求满足斜率为－13的曲线的切线方程．
解：y＝1x，y′＝－x12.设切点坐标为 Aa，1a， 则切线斜率为 k＝－a12＝－13，解得 a＝± 3， 那么 A 3， 33，A′－ 3，－ 33.
y′＝0 y′＝nxn－1 y′＝cos x y′＝－sin x y′＝axln a y′＝ex
y＝logax(a＞0，a≠1) y′＝xln1 a
y＝ln x
y′＝1x
温馨提示 (1)注意 y＝sin x 和 y＝cos x 求导后的名 称变化及符号变化；(2)注意 y＝ax(a＞0，a≠1)和 y＝logax(a ＞0，a≠1)求导后 ln a 所处的位置．
代入点斜式方程得 y－ 33＝－13(x－ 3)或 y＋ 33＝ －13(x＋ 3)．即 x＋3y－2 3＝0 或 x＋3y＋2 3＝0.
归纳升华 求曲线方程或切线方程时，应注意： (1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲 线方程也满足切线方程，可联立方程求解； (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率； (3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设 出切点．
1．关于几个基本初等函数导数公式的特点： (1)幂函数 f(x)＝xα 中的 α 可以由 Q*推广到任意实数； (2)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符 号)正同余反”； (3)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自 然对数； (4)对数函数的导数等于 x 与底数的自然对数乘积的 倒数．
高中导数的基本公式14个
高中导数的基本公式14个
高中导数的基本公式是高中数学中需要掌握的基本内容之一，系统
性地掌握这些公式，可以帮助我们更加深入地理解导数的本质和应用。
下面是高中导数的基本公式列表：
一、导数的定义公式
导数的定义公式是利用导数的极限定义来计算导数，公式如下：
f’(x)=lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx 〗
二、基本导数公式
基本导数公式是我们在计算导数时最基本的公式，它们是：
1.常数函数的导数
（k）’=0
2.幂函数的导数
(x^n)’=n*x^(n-1)
3.指数函数的导数
(a^x)’=a^xlna
4.对数函数的导数
log(a,x)’=1/(xlna)
5.三角函数的导数
sinx’=cosx，cosx’=-sinx，tanx’=sec^2x
三、导数的四则运算公式
导数的四则运算公式是指导数在加减乘除中的运算规则，具体如下：
1.和的导数
(f+g)’=f’+g’
2.差的导数
(f-g)’=f’-g’
3.积的导数
(f*g)’=f’g+fg’
4.商的导数
(f/g)’=(f’g-fg’)/g^2
四、复合函数的导数
复合函数的导数是指由两个简单函数组成的函数对导数的求解，具体如下：
设y=f(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))，则y对x的导数为：
dy/dx=f′（u）·g′（x）
以上就是高中导数的基本公式，自己多加练习，掌握这些公式，将有助于你更加深入地理解导数的本质和应用。
高中三年级数学优质课件精选几个常用函数的导数
分析： (1)对于简单函数的求导，关键是合理转化函数的
关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y＝x14 可以 写成y＝x－4，y＝5 x3＝x35等，这样就可以直接使用幂函数的求 导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．
解析：(1)①y′＝(x12)′＝12x11；
②y′＝x14′＝(x－4)′＝－4x－5＝－x45；
D.－12，14
6．下列函数满足f(x)＝f′(x)的是( C )
A．f(x)＝2x
B．f(x)＝x
C．f(x)＝0
D．f(x)＝1
7．如果f(x)＝sin x，则f′(6π)＝____1____.
8．设f(x)＝2x，则f′(x)＝__2_x_l_n_2____；设f(x)＝ln x，则
1
f′(3)＝_3_________.
9．如果曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n＝__3______.
① ②
熟记各基本初等函数的求导公式．
谢谢观看
请指导
直接用导数公式求函数的导数 求下列函数的导数： (1)(x6)′＝________；(2)x12′＝________.
答案：(1)6x5(2)－2x－3Fra bibliotek跟踪训练
1．(1)求下列函数的导数：
①y＝x12；②y＝
1 x4
；③y＝5 x3 .
(2)设f(x)＝10x，则f′(1)＝__________.
1 2
在点
，
-1 2
处的切线与两坐标轴围
成的三角形的面积为18，则a＝( )
A．64
B．32
C．16
D．8
分析：本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切 线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力．
河南省新乡市原阳一中高中数学课件：1.2.1 几个常用函数的导数 选修2-2
y f ( x0 ) f ( x0)( x x0 )
第九页，编辑于星期日：十五点 一分。
题型：导数的几何意义的应用
例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.
解：y
|x1
lim
x0
3(1
x)2 x
3
12
lim 3x2 6x
要注意,曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限,则在此点 有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚
至可以无穷多个.
第八页，编辑于星期日：十五点 一分。
导数的几何意义
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲 线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 f ( x0 ).
x
点P处的切线。
此处切线定义与以前的定义有何不同？
第五页，编辑于星期日：十五点 一分。
y
圆的切线定义并不适用
l1 于一般的曲线。
NAo
通过逼近的方法，将割 线趋于的确定位置的直
Imagel2
线定义为切线（交点可能
B
不惟一）适用于各种曲线
x 。所以，这种定义才真
C
正反映了切线的直观本
质。
第六页，编辑于星期日：十五点 一分。
k f (x0 )
②再利用点斜式求出切线方程
y f ( x0 ) f ( x0)( x x0 )
第十七页，编辑于星期日：十五点 一分。
新湘教版高中数学选择性必修第二册1.2.1几个基本函数的导数
1
x2
则 ＝k，e ＝k，所以x1＝ ，x2＝ln
x1
k
k，
1
k
可得直线y＝kx与函数f(x)＝ln x＋a的切点为( ，1)，
直线y＝kx与函数g(x)＝ex的切点为(ln k，k ln
1
ln + a = 1
k)，∴ቐ k
，解得a＝2.
eln k = k ln k
方法归纳
利用导数的几何意义解决切线问题的两种类型
x
2
(4)y＝1－2sin .
(4)因为y＝1－2sin2 ＝cosx，所以y′＝－sin x．
2
x
2
方法归纳
利用导数公式求函数的导数的策略
巩固训练1
若f(x)＝x3，g(x)＝log3x，则f′(x)－g′(x)＝________．
1
x ln 3
答案：3x2－
1
，
x ln 3
解析：∵f′(x)＝2，g′(x)＝
当x＝0时，y＝a－1，当y＝0时，x＝1－a，
1
1
则 ×|a－1|×|1－a|＝ ，又a>0，解得a＝2.
2
2
(2)若直线y＝kx与f(x)，g(x)的图象都相切，求实数a的值．
1
x
解析：(2)由已知f′(x)＝ ，g′(x)＝ex，
设直线y＝kx与f(x)，g(x)的图象相切的切点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
1．2.1 几个基本函数的导数
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
教 材 要 点
要点一 常见幂函数的导数❶
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)