秋九级数学上册二次函数yaxhk的图象和性质时新版新人教版PPT课件
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新人教版九上《二次函数图像和性质》课件
图像的描绘方法
Байду номын сангаас
01
02
03
列表法
通过选取自变量的值，计 算对应的函数值，并列表 ，从而描绘出函数的图像 。
描点法
通过描点，将函数图像上 的点连接起来，得到函数 的图像。
两种方法的比较
列表法简单易行，但精确 度不高；描点法虽然较为 繁琐，但可以得到精确的 函数图像。
03
二次函数的性质
开口方向
总结词
要点一
总结词
要点二
详细描述
转化思想，解决问题
数形结合是一种重要的数学思想方法，它可以将抽象的数 学问题转化为直观的图像问题，从而降低解题难度。在解 决二次函数问题时，利用数形结合的方法可以将一些看似 复杂的问题转化为图像问题，进而通过观察图像得出问题 的答案。例如，利用数形结合的方法解决二次函数的最值 问题、比较大小问题等。
学习目标
掌握二次函数的图像 和性质的基本概念和 运算方法。
培养学生的数学思维 能力和解决问题的能 力。
能够根据二次函数的 图像和性质，解决实 际问题中的一些简单 问题。
课程结构
本课件共分为五个部分
引言、知识点讲解、例题解析、课 堂练习和总结回顾。
引言部分
介绍课程背景和学习目标，激发学 生的学习兴趣。
二次函数的图像
图像的形状
通过二次函数的表达式，可以得 出二次函数的图像是抛物线形状
。
开口方向与对称轴
开口方向由$a$决定，对称轴由 $b$决定。
顶点坐标与对称轴
抛物线的顶点坐标是$(\frac{b}{2a}, \frac{4ac b^{2}}{4a})$，对称轴是直线$x = \frac{b}{2a}$。
人教版九年级数学上册课件：小专题5 二次函数的图像和性质(共11张PPT)
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 12:22:59 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/82021/9/82021/9/8Sep-218-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/82021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树1/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
•
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 12:22:59 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/82021/9/82021/9/8Sep-218-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/82021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树1/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
2
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
新人教版九年级数学上册《二次函数图像与性质》优质课课件(共14张PPT)
y = x2
9
6
3 －3 3
看出： y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称轴的交
点（0，0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线 的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．
1 2 y x , y 2 x 2 的图象． 例1 在同一直角坐标系中，画出函数 2 解：分别填表，再画出它们的图象，如图 x · · · －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
|a|越大,抛物线的开口越小;
1、函数y=2x2的图象的开口 向上 ,对称轴 (0,0) y轴 ,顶点是 ;
2、函数y=－3x2的图象的开口 向下 ,对称 y轴 (0,0) 轴 ,顶点是 ;
巩固训练
|a|越大，抛物线开口越小
.下列二次函数图像开口，按从小 到大的顺序排列为 (4),(2),(3),(1)
6
3 －3 3
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中 所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ， 二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或者向下． 一般地， 二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值： x · · · －3 －2 －1 0 1 2 3 · · ·
y = x2
· · ·
9
4
1
0
1
4
9
y = x2
· · ·
9
6
3 －3 3
看出： y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称轴的交
点（0，0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线 的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．
1 2 y x , y 2 x 2 的图象． 例1 在同一直角坐标系中，画出函数 2 解：分别填表，再画出它们的图象，如图 x · · · －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
|a|越大,抛物线的开口越小;
1、函数y=2x2的图象的开口 向上 ,对称轴 (0,0) y轴 ,顶点是 ;
2、函数y=－3x2的图象的开口 向下 ,对称 y轴 (0,0) 轴 ,顶点是 ;
巩固训练
|a|越大，抛物线开口越小
.下列二次函数图像开口，按从小 到大的顺序排列为 (4),(2),(3),(1)
6
3 －3 3
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中 所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ， 二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或者向下． 一般地， 二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值： x · · · －3 －2 －1 0 1 2 3 · · ·
y = x2
· · ·
9
4
1
0
1
4
9
y = x2
· · ·
人教版数学九年级上册《二次函数的图像和性质》课件PPT
2
2
2
2
b
1
1,
4ac b2
4
1 2
5 2
12
4
2
2a
y
21
1 2
x
1
2
4a
2
，
4
1 2
2
2
∴顶点为（1，－2），对称轴为直线 x＝1。
练习2 用公式法把y 2x2 8x 6 化成
b 2a
,
4ac 4a
b2
;
（2）对称轴是直线 x b
2a
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开
口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
（4）最值：
如果a＞0，当 x
b 2a
时，函数有最小值，
y最小＝
4ac 4a
b
2
,
如果a＜0，当
x
b 2a
时，函数有最大值，
y最大＝
那么一般地，函数y ax2 的图象怎样平 移就得到 y ax2 bx c 的图象呢？
1．用配方法把 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
例1
用配方法把 y 1 x2 3x 5
2
2
化为
y a x h2 k 的形式，求出顶点坐标和对称轴。
分析：我们可以用顶点坐标公式求出图 象的顶点，过顶点作平行于y轴的直线就 是图象的对称轴．在对称轴的一侧再找 两个点，则根据对称性很容易找出另两 个点，这四个点连同顶点共五个点，过 这五个点画出图像．
人教版九年级数学上册《二次函数y=a(x-h)_+k的图象和性质》第1课时 课件(共22张PPT)
复习回顾
二次函数 =
>0
的图像和性质
<0
图像
开口方向
对称轴
顶点
<0
增减性
>0
开口大小
向上
向下
轴
轴
(0,0) (0,0) 最低点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(0,0) (0,0) 最高点
随 的增大而减小
随 的增大而增大
随 的增大而增大
随 的增大而减小
越大，开口越小
探究二次函数 =
2
+ ≠ 0 的图像和性质
1 在同一个直角坐标系中画出 1 = 22，2 = 22 + 1，3 = 22 − 1 的图象.
1. 列表
1 =
···
2
2
2 = 22 + 1
3 =
2
2
−1
−2 −1.5 −1 −0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
···
8
4.5
2
0.5
0
0.5
(0, ) 最高点
函数性质
最值
有最小值是
有最大值是
探究二次函数 =
2
+ ≠ 0 的图像和性质
6 抛物线 = 2 + 的性质.
图像从左至右 在对称轴左侧
的变化趋势 在对称轴右侧
增减性
>0
<0
下降
上升
上升
下降
>0
<0
<0
随 的增大而减小 随 的增大而增大
二次函数 =
>0
的图像和性质
<0
图像
开口方向
对称轴
顶点
<0
增减性
>0
开口大小
向上
向下
轴
轴
(0,0) (0,0) 最低点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(0,0) (0,0) 最高点
随 的增大而减小
随 的增大而增大
随 的增大而增大
随 的增大而减小
越大，开口越小
探究二次函数 =
2
+ ≠ 0 的图像和性质
1 在同一个直角坐标系中画出 1 = 22，2 = 22 + 1，3 = 22 − 1 的图象.
1. 列表
1 =
···
2
2
2 = 22 + 1
3 =
2
2
−1
−2 −1.5 −1 −0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
···
8
4.5
2
0.5
0
0.5
(0, ) 最高点
函数性质
最值
有最小值是
有最大值是
探究二次函数 =
2
+ ≠ 0 的图像和性质
6 抛物线 = 2 + 的性质.
图像从左至右 在对称轴左侧
的变化趋势 在对称轴右侧
增减性
>0
<0
下降
上升
上升
下降
>0
<0
<0
随 的增大而减小 随 的增大而增大
秋九级数学上册二次函数yax的图像和性质新版新人教版PPT课件
线,我们把它叫做抛物线.
课堂练习
画出函数 y= - x2 的图象.
x
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y
0 -4 -2
24
x
-3
-6
-9
讨论
说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
1.y＝x2是一条抛物线;
2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
4
y 1 x2
2
2
-4 -2
24
当a>0时， a越大，开口越小.
练一练：在同一直角坐标系中，画出函数
y 1 x2, y 2x2 2
的图象．
x
··· －4 －3 －2 －1
y 1 x2 2
···
-8
-4.5
-2
-0.5
0123
0 -0.5 -2 -4.5
4 ···
-8 ···
x
··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
思考1：从二次函数 y 1 x2 , y x2 , y 2x2 开口大小与a的大小
2有什么关系？y x2y 2x2 86
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2··· -8 -4.5 －2 -0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 ···
思考2 从二次函数 y 1 x2 , y x2 , y 2x2 开口大
课堂练习
画出函数 y= - x2 的图象.
x
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y
0 -4 -2
24
x
-3
-6
-9
讨论
说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
1.y＝x2是一条抛物线;
2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
4
y 1 x2
2
2
-4 -2
24
当a>0时， a越大，开口越小.
练一练：在同一直角坐标系中，画出函数
y 1 x2, y 2x2 2
的图象．
x
··· －4 －3 －2 －1
y 1 x2 2
···
-8
-4.5
-2
-0.5
0123
0 -0.5 -2 -4.5
4 ···
-8 ···
x
··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
思考1：从二次函数 y 1 x2 , y x2 , y 2x2 开口大小与a的大小
2有什么关系？y x2y 2x2 86
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2··· -8 -4.5 －2 -0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 ···
思考2 从二次函数 y 1 x2 , y x2 , y 2x2 开口大
二次函数yaxhk的图象和性质PPT课件
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
上下平移 |k|个单位
左右平移
y = ax2 |h|个单位
结论: 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k 与y = ax2形状相同，位置不同。
抛物线y=a(x－h)2+k有如下 特点:
(1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时，开口向下;
(2)对称轴是直线x=h;
2．抛物线的左右平移 （1）把二次函数y=(x+1) 2的图像， 沿x轴向左平移３个单位， 得到___y_=_(x_+_4_)_2____的图像； （2）把二次函数___y_=_(x_+_2_)_2+_1___的图像， 沿x轴向右平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.
3．抛物线的平移： （1）把二次函数y=3x 2的图像， 先沿x轴向左平移３个单位， 再沿y轴向下平移2个单位， 得到_y_=_3_(_x_+_3_)2_-2____的图像； （2）把二次函数___y_=_-_3(_x_+_6_)2___的图像， 先沿y轴向下平移2个单位， 再沿x轴向右平移3个单位， 得到y=-3(x+3) 2－2的图像.
2
y 1 x2 2
y 1
有什么关系?
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
平移方法1:
y 1 (x 1)2 1
-2
2
-3
y
1 2
x
2向下平移 1个单位
y
1 2
x
2
1
-4 -5 -6
向左平移 y 1 (x 1)2 1
1个单位
2
-7
人教版九级数学上册课件 二次函数的图像与性质 课件
例2、y=（m+3）xm2-7 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m取什么值时，此函数是反比例函数？ （3） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：（１）当m2－7=1且m+3≠0即m=± 2 2 时是正
比例函数。
（２）当m2－7=-1且m+3≠0即m=± 6 时是反比例函
数。 （３）当m2－7=2且m+3≠0即m=3时是二次函数。
人教版九级数学上册课件 二次函数的图像与性质 课件
人教版九级数学上册课件 二次函数的图像与性质 课件
画形如y=ax2的函数图像： 1、画函数y=x2的图像；
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
人教版九级数学上册课件 二次函数的图像与性质 课件
人教版九级数学上册课件 二次函数的图像与性质 课件
3、画函数图像的基本步骤是： 列表 、 描点 、 连线 。
人教版九级数学上册课件 二次函数的图像与性质 课件
人教版九级数学上册课件 二次函数的图像与性质 课件
…二次函数的图像和性质…
1. y=ax2的函数图像 2. y=ax2 +k 的函数图像 3. y=a(x-h)2的函数图像 4. y=a(x-h)2 +k 的函数图像 5. y=ax2+bx+c 的函数图像
解：由题意得： Y=x(40-2x)
x
即：Y=-2x2+40x(0<x<20) m
y m2
x m
当x＝12m时，菜园的面积为：（40-2x ）m
Y=-2x2+40x＝-2×122+40×12
解：（１）当m2－7=1且m+3≠0即m=± 2 2 时是正
比例函数。
（２）当m2－7=-1且m+3≠0即m=± 6 时是反比例函
数。 （３）当m2－7=2且m+3≠0即m=3时是二次函数。
人教版九级数学上册课件 二次函数的图像与性质 课件
人教版九级数学上册课件 二次函数的图像与性质 课件
画形如y=ax2的函数图像： 1、画函数y=x2的图像；
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
人教版九级数学上册课件 二次函数的图像与性质 课件
人教版九级数学上册课件 二次函数的图像与性质 课件
3、画函数图像的基本步骤是： 列表 、 描点 、 连线 。
人教版九级数学上册课件 二次函数的图像与性质 课件
人教版九级数学上册课件 二次函数的图像与性质 课件
…二次函数的图像和性质…
1. y=ax2的函数图像 2. y=ax2 +k 的函数图像 3. y=a(x-h)2的函数图像 4. y=a(x-h)2 +k 的函数图像 5. y=ax2+bx+c 的函数图像
解：由题意得： Y=x(40-2x)
x
即：Y=-2x2+40x(0<x<20) m
y m2
x m
当x＝12m时，菜园的面积为：（40-2x ）m
Y=-2x2+40x＝-2×122+40×12
人教版九年级上数学第《二次函数的图象和性质》二次函数y=a(xh)的图像与性质示范课件(PPT)
•
7.阅历之所以会对读书所得产生深浅 有别的 影响， 原因在 于阅读 并非是 对作品 的简单 再现， 而是一 个积极 主动的 再创造 过程， 人生的 经历与 生活的 经验都 会参与 进来。
•
8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理 解力有 所欠缺 ，所以 在读书 时往往 容易只 看其中 一点或 几点， 对书中 蕴含的 丰富意 义难以 全面把 握。
当a>0时， 抛物线y=a(x-h)2的开口 向 上 ， 对称轴是 x=h ，顶点坐标是 (h,0) ， 在对称轴的左侧（即 x<h ），y随x的增大而 减小 ， 在对称轴的右侧（即 x>h ），y随x的增大而 增大， 当x= h 时，取得最 小 值，这个值等于 0 ；
(h,0) x=h
(h,0) x=h
沿y轴对折后得到的函数解析式是
y=3（x+4）；2
6.把抛物线y=a（x-4）2向左平移6个单位后得到抛物 线y=- 3（x-h）2的图象，则 a= -3 ，h= -2 .
7. 将抛物线y=2x2－3先向上平移3单位，就得到函 数 y=2x2 的图象，在向 右 平移 3 个单 位得到函数y= 2（x-3）2的图象.
y=2(x-1)2
(-1，0) x=-1
o
(1，0) x
x=1
抛物线y=2(x-1）2的开口方向、对称轴、顶点坐标分 别是什么？当x取什么值，y随x的增大而增大？当x 取什么值，y随x的增大而减小？当x取什么值，y的 值最小，最小值是什么？
类似的，抛物线y=2(x+1)2有哪些性质？
在同一平面直角坐标系中，画出了二次函数 y 1(x1)2
和 y 1(x1)2的图象，它们可以看作是抛物线
2
y
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22.1. 3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第3课时
九年级上册
学习目标
1、会用描点法画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象； 2、掌握二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象的性质并会
应用； 3、理解y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系.
2mm/s的速度从A向B移动，（不与B重合），动点Q以4mm/s的速度从B向
C移动，（不与C重合），若P、Q同时出发，试问经过几秒后，四边形
APQC的面积最小？并求出最小值．
解：设运动那个时间为t秒，则
S四边形APQC S ABC S PBQ
1 12 24 1（12 2t）4t
（1）y =2( x+3) 2 +5;
（2）y = －3(x－1) 2 －2;
（3）y = 4(x－3) 2 +7;
（4）y = －5(x+2) 2 －6.
例题解析
例1 画出函数
y
1 2
(x
1)2
1的图像.指出它的开口方
向、顶点与对称轴.
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
… y 1 (x 1)2 1
直线x=2
顶点坐标 (－3, 5 ) ( 1, －2 ) ( 3 , 7) ( 2 , －6 )
2.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有
下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,
（
3 2
，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是
3 且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式.
y 1 ( x 4)2 2 3
随堂检测
1.完成下列表格: 二次函数
y=2(x+3)2+5 y=－3(x－1)2－2 y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6
开口方向 向上 向下 向上 向下
对称轴 直线x=－3 直线x=1 直线x=3
1 2
x2
就可以得到抛物线
y 1 (x 1)2 1 ？
2
平移方法2
y 1 (x 1)2 向左平移
2
1个单位
1
个 单 位
向 下 平 移
y 1 (x 1)2 1 2
y 1 x2 2
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 O1 -2 -3 -4
-5 -6 -7 -8 -9
…
2
解: 先列表,
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y 1 (x 1)2 1 2
…
-5.5
-3 -1.5
-1 -1.5
-3 -5.5
…
再描点、连线
y 1 ( x 1)2 1 2
开口方向向下；
对称轴是直线x=-1;
顶点坐标是(-1,-1)
1y
-5 -4 -3 -2 -1-1 O 1
（B ）
y
A．①②③ B．①③④
C．①②④ D．②③④ 3.求二次函数y=x2- 2x-1的顶点坐标、对称轴及其最值. 解：y=x2-2x-1=x2-2x+1-1=(x-1)2-2,
O x=-1
2x
∴ 顶点坐标为（1，-2），对称轴是直线x=1.当x=1，时，y最小值=-2.
4、如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P以
括号内左加右减.
左右平移 二次项系数a不变.
THANK YOU
SUCCESS
2019/7/11
例题解析
例2 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶 端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处 达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
解:如图建立直角坐标系,点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
平移方法1
y 1
y 1 x2 2
1
y 1 (x 1)2 1 2
向左平移
y
个 单 位
1
向 下 平 移
x2 1
1个单位
2
-5 -4 -3 -2 -1-1 O1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8 -9
y 1 (x 1)2 1
-10
2
怎样移动抛物线
y
-10
2345 x
y 1 (x 1)2 1 2
归纳总结
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2பைடு நூலகம்k的关系
可以看作互相平移得到的.
平移规律
左 右 平 移 y = ax2 + k
y = a( x - h )2 + k
上下平移
y = ax2
上 下 平 移 y = a(x - h )2
简记为： 上下平移， 括号外上加下减； 左右平移，
x
-2
归纳总结
二次函数y=a（x-h)2 +k的特点 a＞0时，开口 向上 , 最 低 点是顶点; a＜0时，开口 向下 , 最 高 点是顶点; 对称轴是 直线x=h ， 顶点坐标是(h,k) .
合作探究
怎样移动抛物线
y
1 2
x2
就可以得到抛物线 y 1 ( x 1)2 1？
2
-2
-3
-4
-5
-6
-7
直线x=－1
-8 -9
-10
2345 x
y 1 (x 1)2 1 2
试一试
画出函数y= 2（x+1）2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对
称轴、顶点. y= 2（x+1）2-2
开口方向向上； 对称轴是直线x=-1; 顶点坐标是(-1,-2)
y
8 6
4 2
-4 -2 O 2 4
预习反馈
1、若点P与坐标原点O关于抛物线y=x2-4x+1的对称轴对称，则点P的坐
标为（4，0）。 2、二次函数y=-x2-2x+3的顶点坐标为 （-1，4） 。
3、若二次函数y=2x2经过平移后顶点的坐标为（-2，3），则平移后
的解析式为 y=2x2+8x+11 .
4、说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
因此可设这段抛物线对应的函数是
y = a( x - 1 )2 + 3(0≤x≤3).
∵这段抛物线经过点(3,0)， ∴ 0= a( 3 - 1 )2 + 3.
y B(1，3)
3
A 2
解得:
1
因此抛物线的解析式为:
O
1
2
C(3,0)
3
x
当x=0时,y=2.25. 答:水管长应为2.25m.
练一练
1、请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到? 答：由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的. 2、如果一条抛物线的形状与 y 1 x 2 2形状相同，
第3课时
九年级上册
学习目标
1、会用描点法画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象； 2、掌握二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象的性质并会
应用； 3、理解y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系.
2mm/s的速度从A向B移动，（不与B重合），动点Q以4mm/s的速度从B向
C移动，（不与C重合），若P、Q同时出发，试问经过几秒后，四边形
APQC的面积最小？并求出最小值．
解：设运动那个时间为t秒，则
S四边形APQC S ABC S PBQ
1 12 24 1（12 2t）4t
（1）y =2( x+3) 2 +5;
（2）y = －3(x－1) 2 －2;
（3）y = 4(x－3) 2 +7;
（4）y = －5(x+2) 2 －6.
例题解析
例1 画出函数
y
1 2
(x
1)2
1的图像.指出它的开口方
向、顶点与对称轴.
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
… y 1 (x 1)2 1
直线x=2
顶点坐标 (－3, 5 ) ( 1, －2 ) ( 3 , 7) ( 2 , －6 )
2.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有
下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,
（
3 2
，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是
3 且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式.
y 1 ( x 4)2 2 3
随堂检测
1.完成下列表格: 二次函数
y=2(x+3)2+5 y=－3(x－1)2－2 y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6
开口方向 向上 向下 向上 向下
对称轴 直线x=－3 直线x=1 直线x=3
1 2
x2
就可以得到抛物线
y 1 (x 1)2 1 ？
2
平移方法2
y 1 (x 1)2 向左平移
2
1个单位
1
个 单 位
向 下 平 移
y 1 (x 1)2 1 2
y 1 x2 2
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 O1 -2 -3 -4
-5 -6 -7 -8 -9
…
2
解: 先列表,
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y 1 (x 1)2 1 2
…
-5.5
-3 -1.5
-1 -1.5
-3 -5.5
…
再描点、连线
y 1 ( x 1)2 1 2
开口方向向下；
对称轴是直线x=-1;
顶点坐标是(-1,-1)
1y
-5 -4 -3 -2 -1-1 O 1
（B ）
y
A．①②③ B．①③④
C．①②④ D．②③④ 3.求二次函数y=x2- 2x-1的顶点坐标、对称轴及其最值. 解：y=x2-2x-1=x2-2x+1-1=(x-1)2-2,
O x=-1
2x
∴ 顶点坐标为（1，-2），对称轴是直线x=1.当x=1，时，y最小值=-2.
4、如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P以
括号内左加右减.
左右平移 二次项系数a不变.
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例题解析
例2 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶 端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处 达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
解:如图建立直角坐标系,点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
平移方法1
y 1
y 1 x2 2
1
y 1 (x 1)2 1 2
向左平移
y
个 单 位
1
向 下 平 移
x2 1
1个单位
2
-5 -4 -3 -2 -1-1 O1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8 -9
y 1 (x 1)2 1
-10
2
怎样移动抛物线
y
-10
2345 x
y 1 (x 1)2 1 2
归纳总结
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2பைடு நூலகம்k的关系
可以看作互相平移得到的.
平移规律
左 右 平 移 y = ax2 + k
y = a( x - h )2 + k
上下平移
y = ax2
上 下 平 移 y = a(x - h )2
简记为： 上下平移， 括号外上加下减； 左右平移，
x
-2
归纳总结
二次函数y=a（x-h)2 +k的特点 a＞0时，开口 向上 , 最 低 点是顶点; a＜0时，开口 向下 , 最 高 点是顶点; 对称轴是 直线x=h ， 顶点坐标是(h,k) .
合作探究
怎样移动抛物线
y
1 2
x2
就可以得到抛物线 y 1 ( x 1)2 1？
2
-2
-3
-4
-5
-6
-7
直线x=－1
-8 -9
-10
2345 x
y 1 (x 1)2 1 2
试一试
画出函数y= 2（x+1）2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对
称轴、顶点. y= 2（x+1）2-2
开口方向向上； 对称轴是直线x=-1; 顶点坐标是(-1,-2)
y
8 6
4 2
-4 -2 O 2 4
预习反馈
1、若点P与坐标原点O关于抛物线y=x2-4x+1的对称轴对称，则点P的坐
标为（4，0）。 2、二次函数y=-x2-2x+3的顶点坐标为 （-1，4） 。
3、若二次函数y=2x2经过平移后顶点的坐标为（-2，3），则平移后
的解析式为 y=2x2+8x+11 .
4、说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
因此可设这段抛物线对应的函数是
y = a( x - 1 )2 + 3(0≤x≤3).
∵这段抛物线经过点(3,0)， ∴ 0= a( 3 - 1 )2 + 3.
y B(1，3)
3
A 2
解得:
1
因此抛物线的解析式为:
O
1
2
C(3,0)
3
x
当x=0时,y=2.25. 答:水管长应为2.25m.
练一练
1、请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到? 答：由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的. 2、如果一条抛物线的形状与 y 1 x 2 2形状相同，