初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件
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⑴a决定抛物线的开口方向： a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 ⑵c决定抛物线与y轴交点的位置： ① c＞0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴上方； ② c=0 ＜＝＞图象过原点； ③ c＜0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴下方。
b ⑶a，b决定抛物线对称轴的位置:(对称轴是直线x = 2 a ）
① a，b同号＜＝＞对称轴在y轴左侧； ② b=0 ＜＝＞对称轴是y轴； ③ a，b异号＜＝＞对称轴在y轴右侧
(四 )
y 4
练习：（巩固知识）
1、如图所示：求抛物线的解析式。 由图象得：抛物线过（ 8 ， 0），（ 0 ， 4 ） x 对称轴是直线x = 3，从而可得抛物线又 过（-2，0）。
3 8
解法一：设抛物线的解析式为：y = ax2+bx+c，依题 意得： 1 a 64a+8b+c=0
c=4 解得
b 3 2
4
4a-2b+c=0 c=4 1 2 3 ∴所求的函数解析式为: y 4 x 2 x 4
解法二：设抛物线的解析式为：y = a（x-3）2+k， 1 依题意得： a 4 a（8-3）2+k=0 解得 25 2 a（0-3） +k=4 k =
4
∴所求的函数解析式为:
y
例1：根据二次函数的图象上三个点的坐标（-1，0），（3，0）， （1，-5），求函数解析式。
解法一 设所求二次函数解析式为：y = ax2+bx+c. 又抛物线过点（-1，0），（3，0），（1，-5），依题意得
a–b+c=0 9a+3b+c = 0 解得 a + b + c=-5
a
b
5 4
1 25 ( x 3) 2 。 4 4
解法三：设抛物线的解析式为：y = a（x-8）（x+2）， 依题意得： 1 a 4=a（0-8）（0+2） 解得 4 ∴所求的函数解析式为:
1 y ( x 8)( x 2) 4
。
二次函数
1、什么叫做二次函数？它的图象是什么？ 它的对称轴、顶点坐标各是什么？
答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，y叫做x的二次 函数。它的图象是一条抛物线。它的对称轴是直
线x=
b 2a
,顶点坐标是（
b 2a
，
4ac b 2 4a
）。
2、二次函数的解析式有哪几种？
有三种：⑴一般式：y = ax2+bx+c(a≠0) ⑵顶点式：y = a(x-h)2+k 顶点 为(h,k) ⑶交点式：y = a(x-x1)(x-x2) 与x轴两交 点:(x1,0),(x2,0)
5 2
c
5 2 5 15 ∴所求的函数解析式为 y x x 。 4 2 4
15 4
解法二 ∵点（-1，0）和（3，0）是抛物线与x轴 的两个交点，故可设二次函数解析式为： y=a(x+1)(x-3), 又抛物线过点（1，-5）， 5 a 有-5=a（1+1）（1-3）解得 4 5 ∴y 4 ( x 1)( x 3) ， 5 2 5 15 y x x 即所求的函数解析式为 。 4 2 4 解法三 ∵点（-1，0）和（3，0）是关于直线x =1 对称，显然（ 1 ， -5 ）是抛物线的顶点坐标， 故可设二次函数解析式为：y = a(x-1)2-5, 又抛物 5 线 过点 （ 3,0 ） ， 0=a(3-1)2-5, 解 得 a 4 , 5 ∴ y 4 ( x 1) 5 , 5 5 15 y x x 即所求的函数解析式为 4 2 4 。
2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解法四 经上述分析，点（1，-5）是抛物线的顶 点坐标，依题意得：
b 1 2a
5 a 4
4ac b 2 5 4a
解得
a-b+c=0
即所求的函数解析式为
5 b 2 15 c 4 5 5 15 y x2 x 。 4 2 4
（三）知识升华 抛物线位置与系数a，b，c的关系：
b 4ac b 2 ⑷顶点坐标是（ 2 a ， 4a
）。
⑸△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况： ① △＞0＜＝＞抛物线与x轴有两个交点； ② △＝0＜＝＞抛物线与x轴有唯一的公式点； ③ △＜0＜＝＞抛物线与x轴无交点。 ⑹二次函数的最大、最小值由a决定。
例 2 、已知函数 y = ax2 +bx +c 的图象如下图所示， x= 1 3 为该图象的对称轴，根据图象信息你能得到关于系数 a ， b ， c的一些什么结论？ 【分析与参考答案】 y 首先观察到二次函数的图象为抛物 1 线，其对称轴为直线x= 3 ，抛物线 1 与x轴有两个交点，交点的横坐标其 3 -1 0 1 x 一大于1，另一个介于-1与0之间，抛 物线开口向上，顶点的纵坐标及抛 -1 物线与 y 轴的交点的纵坐标均介于 -1 与0之间，由此可得如下结论： b 1 ⑴a＞0; ⑵-1＜c＜0; ⑶b2-4ac＞0; ⑷∵ 2a 3 ,∴2a=-3b; ⑸由⑴，(4)得b＜0; ⑹由⑴,⑵,⑸得abc＞0; ⑺考虑x = 1时y＜0，所以有a+b+c＜0; ⑻又x = -1时y＞0，所以有a-b+c＞0; ⑼考虑顶点的纵坐标，有0＜cb2 ＜-1。 4a
b ⑶a，b决定抛物线对称轴的位置:(对称轴是直线x = 2 a ）
① a，b同号＜＝＞对称轴在y轴左侧； ② b=0 ＜＝＞对称轴是y轴； ③ a，b异号＜＝＞对称轴在y轴右侧
(四 )
y 4
练习：（巩固知识）
1、如图所示：求抛物线的解析式。 由图象得：抛物线过（ 8 ， 0），（ 0 ， 4 ） x 对称轴是直线x = 3，从而可得抛物线又 过（-2，0）。
3 8
解法一：设抛物线的解析式为：y = ax2+bx+c，依题 意得： 1 a 64a+8b+c=0
c=4 解得
b 3 2
4
4a-2b+c=0 c=4 1 2 3 ∴所求的函数解析式为: y 4 x 2 x 4
解法二：设抛物线的解析式为：y = a（x-3）2+k， 1 依题意得： a 4 a（8-3）2+k=0 解得 25 2 a（0-3） +k=4 k =
4
∴所求的函数解析式为:
y
例1：根据二次函数的图象上三个点的坐标（-1，0），（3，0）， （1，-5），求函数解析式。
解法一 设所求二次函数解析式为：y = ax2+bx+c. 又抛物线过点（-1，0），（3，0），（1，-5），依题意得
a–b+c=0 9a+3b+c = 0 解得 a + b + c=-5
a
b
5 4
1 25 ( x 3) 2 。 4 4
解法三：设抛物线的解析式为：y = a（x-8）（x+2）， 依题意得： 1 a 4=a（0-8）（0+2） 解得 4 ∴所求的函数解析式为:
1 y ( x 8)( x 2) 4
。
二次函数
1、什么叫做二次函数？它的图象是什么？ 它的对称轴、顶点坐标各是什么？
答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，y叫做x的二次 函数。它的图象是一条抛物线。它的对称轴是直
线x=
b 2a
,顶点坐标是（
b 2a
，
4ac b 2 4a
）。
2、二次函数的解析式有哪几种？
有三种：⑴一般式：y = ax2+bx+c(a≠0) ⑵顶点式：y = a(x-h)2+k 顶点 为(h,k) ⑶交点式：y = a(x-x1)(x-x2) 与x轴两交 点:(x1,0),(x2,0)
5 2
c
5 2 5 15 ∴所求的函数解析式为 y x x 。 4 2 4
15 4
解法二 ∵点（-1，0）和（3，0）是抛物线与x轴 的两个交点，故可设二次函数解析式为： y=a(x+1)(x-3), 又抛物线过点（1，-5）， 5 a 有-5=a（1+1）（1-3）解得 4 5 ∴y 4 ( x 1)( x 3) ， 5 2 5 15 y x x 即所求的函数解析式为 。 4 2 4 解法三 ∵点（-1，0）和（3，0）是关于直线x =1 对称，显然（ 1 ， -5 ）是抛物线的顶点坐标， 故可设二次函数解析式为：y = a(x-1)2-5, 又抛物 5 线 过点 （ 3,0 ） ， 0=a(3-1)2-5, 解 得 a 4 , 5 ∴ y 4 ( x 1) 5 , 5 5 15 y x x 即所求的函数解析式为 4 2 4 。
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2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解法四 经上述分析，点（1，-5）是抛物线的顶 点坐标，依题意得：
b 1 2a
5 a 4
4ac b 2 5 4a
解得
a-b+c=0
即所求的函数解析式为
5 b 2 15 c 4 5 5 15 y x2 x 。 4 2 4
（三）知识升华 抛物线位置与系数a，b，c的关系：
b 4ac b 2 ⑷顶点坐标是（ 2 a ， 4a
）。
⑸△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况： ① △＞0＜＝＞抛物线与x轴有两个交点； ② △＝0＜＝＞抛物线与x轴有唯一的公式点； ③ △＜0＜＝＞抛物线与x轴无交点。 ⑹二次函数的最大、最小值由a决定。
例 2 、已知函数 y = ax2 +bx +c 的图象如下图所示， x= 1 3 为该图象的对称轴，根据图象信息你能得到关于系数 a ， b ， c的一些什么结论？ 【分析与参考答案】 y 首先观察到二次函数的图象为抛物 1 线，其对称轴为直线x= 3 ，抛物线 1 与x轴有两个交点，交点的横坐标其 3 -1 0 1 x 一大于1，另一个介于-1与0之间，抛 物线开口向上，顶点的纵坐标及抛 -1 物线与 y 轴的交点的纵坐标均介于 -1 与0之间，由此可得如下结论： b 1 ⑴a＞0; ⑵-1＜c＜0; ⑶b2-4ac＞0; ⑷∵ 2a 3 ,∴2a=-3b; ⑸由⑴，(4)得b＜0; ⑹由⑴,⑵,⑸得abc＞0; ⑺考虑x = 1时y＜0，所以有a+b+c＜0; ⑻又x = -1时y＞0，所以有a-b+c＞0; ⑼考虑顶点的纵坐标，有0＜cb2 ＜-1。 4a