【配套K12】[学习]2018-2019学年高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变
2018-2019学年高中数学(人教A版+必修4)课后习题：第三章 三角恒等变换+测评+Word版含解析
第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.函数f(x)=1-2sin2的最小正周期为()A.2πB.πC.D.4π解析f(x)=1-2sin2=cos x,于是最小正周期为2π.答案A2.若cos-,则cos(π-2α)=()A. B.- C. D.-解析由已知得sin α=,所以cos(π-2α)=-cos 2α=2sin2α-1=-.答案B3.函数f(x)=-cos2-的单调增区间是()A.-,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.-,k∈Z解析∵f(x)=-=-cos-=-sin 2x,令+2kπ≤2x≤π+2kπ,∴+kπ≤x≤π+kπ,∴增区间为,k∈Z.答案C4.已知α∈,cos α=-,则tan-等于()A.7B.C.-D.-7解析由已知得tan α=,则tan--.1答案B5.函数f(x)=sin2+cos2--1是()A.周期为π的奇函数B.周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数解析f(x)=sin2+cos2--1=2sin2-1=-cos=sin 2x,所以周期T==π,且函数是奇函数.答案A6.已知sin-,则cos=()A.-B.-C.-D.解析由sin-,可得cos=sin-,所以cos=2cos2-1=2·-1=-.答案A7.的值等于()A. B. C.1 D.2解析.答案A8.三角函数f(x)=sin-+cos 2x的振幅和最小正周期分别是()A. B.,π C. D.,π解析f(x)=sin-+cos 2x=sin cos 2x-cos sin 2x+cos 2x=cos 2x-sin 2x=-sin-,振幅为,周期为T==π.答案D9.已知A,B,C是△ABC的三个内角,且tan A,tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析由一元二次方程根与系数的关系,得2∴tan(A+B)=.--在△ABC中,tan C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-<0,∴C是钝角,∴△ABC是钝角三角形.故选A.答案A10.导学号68254113已知函数f(x)=cos4x+sin2x,下列结论中错误的是()A.f(x)是偶函数B.函数f(x)最小值为C.是函数f(x)的一个周期D.函数f(x)在内是减函数解析由f(-x)=cos4(-x)+sin2(-x)=f(x),知函数f(x)是偶函数,故A正确;f(x)=(1-sin2x)2+sin2x=sin4x-sin2x+1=-,又sin2x∈[0,1],则当sin2x=时,f(x)min=,所以B正确;f=sin4-sin2+1=cos4x+1-cos2x=cos4x+sin2x,则f(x)=f.所以C也正确,选D.答案D11.(2018全国Ⅱ高考)若f(x)=cos x-sin x在[0,a]是减函数,则a的最大值是()A. B. C. D.π解析∵f(x)=cos x-sin x=-cos ,3(方法1)作图如图所示.易知a max=π.(方法2)∵f(x)在2kπ≤x+≤2kπ+π,k∈Z上为减函数,∴2kπ-≤x≤2kπ+π,k∈Z,令k=0可知x∈-,∴a max=π.答案C12.已知sin 2(α+γ)=n sin 2β,则-=()A.-B.C.-D.-解析为方便,记α+γ=δ,则原式变为sin[(δ+β)+(δ-β)]=n sin[(β+δ)+(β-δ)],展开得sin(δ+β)cos(δ-β)+cos(δ+β)sin(δ-β)=n sin(β+δ)cos(β-δ)+n cos(β+δ)sin(β-δ),等式两边同除以cos(δ-β)cos(δ+β)得tan(δ+β)+tan(δ-β)=n tan(β+δ)-n tan(δ-β),于是--.答案D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若函数f(x)=sin 2x+cos 2x,且函数y=f(0<φ<π)是一个偶函数,则φ的值等于.解析因为f(x)=sin 2x+cos 2x=sin,所以y=f sin,则有φ++kπ,因此φ=+kπ(k∈Z),当k=0时,φ=.答案14.化简----=.解析原式=tan(90-2α)·=--=.答案415.(2018全国Ⅱ高考)已知tan-,则tan α=.-解析∵tan-=-,∴5tan α-5=1+tan α.∴tan α=.答案16.若函数f(x)=2sin x+b cos x在x=处取得最大值,则f(x)在上的最小值等于.解析依题意有f=2sin +b cos ,即3+,解得b=2,于是f(x)=2sinx+2cos x=4sin,由于x∈,所以x+,故最小值等于4sin =2.答案2三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=A sin-(A>0,ω>0)的最小值为-2,其图象相邻两个对称中心之间的距离为.(1)求f(x)的最小正周期及对称轴方程;(2)若f-,求f的值.解(1)因为函数f(x)的最小值为-2,所以A=2.由图象相邻两个对称中心之间的距离为,得最小正周期T=,所以,即ω=2,于是f(x)=2sin-.由4x-=kπ+,得x=(k∈Z),故其图象的对称轴方程为x=(k∈Z).(2)由f-=1,可得2sin(θ-π)=,于是sin θ=-,因此f=2sin-=2sin=-2cos 2θ=4sin2θ-2=-.18.(本小题满分12分)已知cos-=-,sin-,且α∈,β∈.求:(1)cos;(2)tan(α+β).5解(1)∵<α<π,0<β<,∴<α-<π,--β<.∴sin---,cos---.∴cos=cos---=cos-·cos-+sin-·sin--=-.(2)∵,∴sin-.∴tan=-.∴tan(α+β)=.-19.(本小题满分12分)已知向量a=(cos ωx,1),b=-其中,函数f(x)=a·b,且f(x)图象的一条对称轴为x=.(1)求f的值;(2)若f-,f-,且α,β∈-,求cos(α-β)的值.解(1)∵向量a=(cos ωx,1),b=-=((sin ωx+cos ωx),-1),∴函数f(x)=a·b=2cos ωx(sin ωx+cos ωx)-1=2sin ωx cos ωx+2cos2ωx-1=sin 2ωx+cos2ωx=sin.∵f(x)图象的一条对称轴为x=,∴2ω×+kπ(k∈Z).又≤ω≤,∴ω=1,∴f(x)=sin,6∴f sin=-cos =-1.(2)∵f-,f-,∴sin α=,sin β=.∵α,β∈-,∴cos α=,cos β=,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=. 20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=tan.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)设α∈,若f=2cos 2α,求α的大小.解(1)由2x++kπ,k∈Z,得x≠,k∈Z,所以f(x)的定义域为x∈R x≠,k∈Z.f(x)的最小正周期为.(2)由f=2cos 2α,得tan=2cos 2α,即=2(cos2α-sin2α),整理得-=2(cos α+sin α)(cos α-sin α).因为α∈,所以sin α+cos α≠0.因此(cos α-sin α)2=,即sin 2α=.由α∈,得2α∈,所以2α=,即α=.21.7(本小题满分12分)如图,以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A,点B,P在单位圆上,且B-,∠AOB=α.(1)求-的值;(2)设∠AOP=θ,四边形OAQP的面积为S,f(θ)=(-1)2+S-1,求f(θ)的最值及此时θ的值.=-2,解(1)依题意,tan α=-∴----=-10.-(2)由已知点P的坐标为P(cos θ,sin θ),又,||=||,∴四边形OAQP为菱形,∴S=2S△OAP=sin θ,∵A(1,0),P(cos θ,sin θ),∴=(1+cos θ,sin θ),∴=1+cos θ,∴f(θ)=(1+cos θ-1)2+sin θ-1=cos2θ+sin θ-1=-sin2θ+sin θ=--.∵≤sin θ≤1,∴当sin θ=,即θ=时,f(θ)max=;当sin θ=1,即θ=时,f(θ)min=1.22.导学号68254114(本小题满分12分)已知函数f(x)=4sin -cos x+.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)若函数g(x)=f(x)-m区间在上有两个不同的零点x1,x2,求实数m的取值范围,并计算tan(x1+x2)的值.解(1)f(x)=4sin-cos x+8=4-cos x+=2sin x cos x-2cos2x+=sin 2x-cos 2x=2sin-.∴函数f(x)的周期为T=π.由2kπ-≤2x-≤2kπ+,得kπ-≤x≤kπ+π(k∈Z).∴f(x)的递增区间为-(k∈Z).(2)∵方程g(x)=f(x)-m=0同解于f(x)=m,在直角坐标系中画出函数y=f(x)=2sin-在上的图象,由图象可知,当且仅当m∈[,2)时,方程f(x)=m有两个不同的解x1,x2,且x1+x2=2×,故tan(x1+x2)=tan =-tan =-.9。
【配套K12】高中数学第三章三角恒等变换3.2倍角公式和半角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切课堂导
3.2.2 半角的正弦余弦和正切课堂导学三点剖析一、运用半角公式求值由二倍角公式可得cos α=cos(2×2α)=1-2sin 22α=2cos 22α-1, 即sin 22α=2cos 1α-,cos 22α=2cos 1α+. ∴sin 2cos 12αα-±=,cos 2cos 12αα+±=,tan 2α=±ααcos 1cos 1+-. 在应用以上半角公式时,根号前的正负号由角2α所在的象限确定. 【例1】 已知cos θ=53-,且180°<θ<270°，求tan 2θ. 思路分析：先判断2θ所在象限，再用半角公式求值. 解：∵180°<θ<270°, ∴90°<2θ<135°.∴tan 2θ<0. ∴tan 2θ=)53(1)53(1cos 1cos 1-+---=+--θθ=-2. 各个击破类题演练 1设5π<θ<6π,cos2θ=a,|a|≤１，求sin 4θ的值. 思路分析：先由θ的范围确定角4θ的范围，再用半角公式求值. 解：∵5π<θ<6π,∴25π<2θ<3π,45π<4θ<23π. ∴sin 4θ=2122cos 1a --=--θ. 变式提升 1已知cos α=21,求sin 2α,cos 2α. 思路分析:∵cos α=21,∴α是第一或第四象限角，2α可能为任何象限角，如果不能确定角的象限，用半角公式计算时，根号前保持正、负两个符号.解:sin 2α=±22112cos 1-±=-α=±21. cos 2α=±2322112cos 1±=+±=+α. 二、运用公式化简三角函数式在三角恒等变形中,所涉及的三角公式要求做到灵活运用,既要会正用,又要会逆用,更要会变用.特别要注意根号前正负号的选择,要由2α所在的象限来确定. 【例2】 若23π<α<2π,化简:α2cos 21212121++. 思路分析:在逐层去根号时,要根据角的范围确定被开方数的符号. 解：∵23π<α<2π,∴43π<2α<π. ∴原式=αααcos 2121cos 212122cos 121212+=+=++ 2cos )cos 1(212αα=+==-cos 2α. 类题演练 2化简:8cos 228sin 12+=+等于( )A.2sin4B.2sin4-4cos4C.-2sin4-4cos4D.4cos4-2sin4解析:原式=)14cos 2(22)4cos 4(sin 222-+++-2(sin4+cos4)-2cos4=-2sin4-4cos4.答案:C变式提升 2 化简:cos α·cos2α·cos 22α·…·cos 12-n α. 解:原式=1112sin 22sin 22cos 2cos cos ---∙∙∙∙n n n ααααα 12222sin 22sin 2cos 2cos 2cos cos ---∙∙∙∙∙=n n n αααααα=11112322sin 22sin 2sin 2sin cos 2sin 22sin 2cos 2coscos -----=∙∙=∙∙∙∙n n n n n n αααααααααα .。
全国通用高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换第1课时三角恒等变换检测新人教A版必修4
（全国通用版）2018-2019高中数学第三章三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换第1课时三角恒等变换检测新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2018-2019高中数学第三章三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换第1课时三角恒等变换检测新人教A 版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（全国通用版）2018-2019高中数学第三章三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换第1课时三角恒等变换检测新人教A版必修4的全部内容。
第三章 3.2 第1课时三角恒等变换A级基础巩固一、选择题1．y＝sin x cos x＋sin2x可化为( A )A．错误!sin错误!＋错误!B．错误!sin错误!－错误!C．sin错误!＋错误!D．2sin错误!＋1[解析］y＝错误!sin2x＋错误!＝错误!sin2x－错误!cos2x＋错误!＝错误!错误!＋错误!＝错误!sin错误!＋错误!．2．若f（tan x)＝sin2x,则f(－1）＝( B ）A．－2 B．－1C．0 D．1[解析]f（－1）＝f［tan（－错误!＋kπ）]＝sin2(－错误!＋kπ）＝sin(－错误!＋2kπ)＝－1．3．若θ∈错误!，sin2θ＝错误!，则sinθ＝（ D )A．错误!B．错误!C．错误!D．错误![解析]由θ∈错误!可得2θ∈错误!,cos2θ＝－错误!＝－错误!，sinθ＝错误!＝错误!，答案应选D．另解：由θ∈错误!及sin2θ＝错误!可得sinθ＋cosθ＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!，而当θ∈错误!时sinθ>cosθ,结合选项即可得sinθ＝错误!,cosθ＝错误!.答案应选D．4．若cosα＝错误!,且α∈(0，π)，则cos错误!＋sin错误!的值为（ B ）A．错误!B．错误!C．65D．错误![解析]∵cosα＝错误!，且α∈（0，π），∴错误!∈（0,错误!)．∴cos错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!．sin错误!＝错误!＝错误!＝错误!∴cos错误!＋sin错误!＝错误!＋错误!＝错误!．5。
[k12精品]高中数学第三章三角恒等变换3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式示范教案新人教B版必修4
![[k12精品]高中数学第三章三角恒等变换3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式示范教案新人教B版必修4](https://img.taocdn.com/s3/m/6c020a36eff9aef8941e0660.png)
3.2.1 倍角公式示范教案 整体设计教学分析倍角公式是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具，通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律，通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想．因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α＝β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想．这一切教师要引导学生自己去做，因为，《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验．”在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，否则就违背了新课标在这一节的编写意图和新课改精神．三维目标1．通过让学生探索、发现并推导二倍角公式，了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力．2．通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明．体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用．3．通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神．重点难点教学重点：二倍角公式推导及其应用．教学难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式． 课时安排 1课时教学过程 导入新课思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式．教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的．当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？今天，我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课．思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sin α＝35，α∈(π2，π)，求sin2α，cos2α的值．学生会很容易看出：sin2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式．推进新课新知探究 提出问题还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α＝β吗？此时公式变成什么形式？ 在得到的C 2α公式中，还有其他表示形式吗？ 细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：＝，＝cos 2 －sin2思考过公式的逆用吗？想一想C 2α还有哪些变形？请思考以下问题：sin2α＝2sin α吗？cos2α＝2cos α吗？tan2α＝2tan α吗 活动：本节总的指导思想是教师引导学生自己推导倍角公式．学生默写完问题(1)后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α，β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试．如果学生想到α，β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题(2)，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化，教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释．这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义．同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉．sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β⇒sin2α＝2sin αcos α(S 2α)；cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β⇒cos2α＝cos 2α－sin 2α(C 2α)；tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β ⇒tan2α＝2tan α1－tan 2α(T 2α)． 这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”．教师适时提出问题(3)，点拨学生结合sin 2α＋cos 2α＝1思考，因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式．sin2α＝2sin αcos α2αcos2α＝cos 2α－sin 2α2αtan2α＝2tan α1－tan 2α2αcos2α＝2cos 2α－1cos2α＝1－2sin 2α这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式(用多媒体演示)．倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系．问题(4)，教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式．问题(5)，因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式，可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α)，(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R ，但公式(T 2α)需在α≠12k π＋π4和α≠k π＋π2(k∈Z )时才成立，这一条件限制要引起学生的注意．但是当α＝k π＋π2，k∈Z 时，虽然tan α不存在，此时不能用此公式，但tan2α是存在的，故可改用诱导公式．问题(6)，填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α是2α的二倍，α2是α4的二倍，3α是3α2的二倍，α3是α6的二倍，π2－α是π4－α2的二倍等，所有这些都可以应用二倍角公式． 例如：sin α2＝2sin α4cos α4，cos α3＝cos 2α6－sin 2α6等等．问题(7)，本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意．如：sin3αcos3α＝12sin6α，4sin α4cos α4＝2(2sin α4cos α4)＝2sin α2，2tan40°1－tan 240°＝tan80°，cos 22α－sin 22α＝cos4α，tan2α＝2tan α(1－tan 2α)等等． 问题(8)，一般情况下：sin2α≠2sin α，cos2α≠2cos α，tan2α≠2tan α.若sin2α＝2sin α，则2sin αcos α＝2sin α，即sin α＝0或cos α＝1，此时α＝k π(k∈Z )．若cos2α＝2cos α，则2cos 2α－2cos α－1＝0，即cos α＝1－32(cos α＝1＋32舍去)．若tan2α＝2tan α，则2tan α1－tan 2α＝2tan α，∴tan α＝0，即α＝k π(k∈Z )． 讨论结果：(1)～(8)略． 应用示例思路1例 1已知sin α＝513，α∈(π2，π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值．活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想．让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的．本题中的已知条件给出了α的正弦值．由于2α是α的二倍角，因此可以考虑用倍角公式．本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成．解：因为sin α＝513，α∈(π2，π)，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－5132＝－1213， sin2α＝2sin αcos α＝2×513×(－1213)＝－120169， cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(－1213)2－(513)2＝119169，tan2α＝sin2αcos2α＝－120169÷119169＝－120119.点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意，在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度．本节变式训练1．y ＝(sinx －cosx)2－1是( )A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数 答案：D 2．若cos2αα－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( ) A ．－72 B ．－12 C.12 D.72 答案：C 3．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin15°－cos15° B ．cos 215°－sin 215°C ．2sin 215°－1D ．sin 215°＋cos 215° 答案：B例 2证明1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ＝tan θ.活动：教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等．对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发．点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励．强调“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它．证明：方法一：左＝sin2θ＋－cos2θsin2θ＋＋cos2θ＝2sin θcos θ＋＋1－2cos 2θ2sin θcos θ＋＋2cos 2θ－＝sin θcos θ＋1－cos 2θsin θcos θ＋cos 2θ＝sin θcos θ＋sin 2θsin θcos θ＋cos 2θ ＝sin θθ＋sin θcos θθ＋cos θ＝tan θ＝右，所以，原式成立． 方法二：左＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin2θ＋sin 2θ－cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＋sin2θ＋cos 2θ－sin 2θ＝sin2θ＋2sin 2θsin2θ＋2cos 2θ＝2sin θθ＋cos θ2cos θθ＋cos θ＝tan θ＝右．方法三： 左＝＋sin2θ－cos2θ＋sin2θ＋cos2θ＝2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ－2θ－sin 2θ2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ＋2θ－sin 2θ＝θ＋cos θ2－θ＋sin θθ－sinθθ＋cos θ2＋θ＋sin θθ－sinθ＝θ＋cos θθ＋cos θ＋sin θ－cos θθ＋cos θθ＋cos θ＋cos θ－sin θ＝θ＋cos θθθ＋cos θθ＝tan θ＝右．点评：以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点．在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规范才是.变式训练1．若角α的终边经过点P(1，－2)，则tan2α的值为__________． 答案：432．证明恒等式：sin2θ＋sin θ2cos2θ＋2sin 2θ＋cos θ＝tan θ. 证明：左边＝2sin θcos θ＋sin θ2θ－sin 2θ＋2sin 2θ＋cos θ ＝sin θθ＋cos θθ＋＝tan θ＝右边.思路2例 1求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题．本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式．教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式．并点拨学生结合诱导公式思考．学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°，40°，60°，80°余弦的积，其中60°是特殊角，很容易发现40°是20°的2倍，80°是40°的2倍，故可考虑逆用二倍角公式．解：原式＝cos80°cos60°cos40°cos20°＝23·sin20°cos20°cos40°cos80°23·2sin20°＝sin160°16sin20°＝sin20°16sin20°＝116.例 2在△ABC 中，cosA ＝45，tanB ＝2，求tan(2A ＋2B)的值．活动：这是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性，同时也是和与差公式的应用问题．教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题，会带来一些隐含的条件，如A ＋B ＋C ＝π，0<A<π，0<B<π，0<C<π，就是其中的一个隐含条件．可先让学生讨论探究，教师适时点拨．学生探究解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系．由于对2A ＋2B 与A ，B 之间关系的看法不同会产生不同的解题思路，所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别．不论学生的解答正确与否，教师都不要直接干预．在学生自己尝试解决问题后，教师可与学生一起比较各种不同的解法，并引导学生进行解题方法的归纳总结．基础较好的班级还可以把求tan(2A ＋2B)的值改为求tan2C 的值．解法一：在△ABC 中，由cosA ＝45，0<A<π，得sinA ＝1－cos 2A ＝1－452＝35. 所以tanA ＝sinA cosA ＝35×54＝34，tan2A ＝2tanA1－tan 2A ＝2×341－342＝247. 又tanB ＝2，所以tan2B ＝2tanB 1－tan 2B ＝2×21－22＝－43.于是tan(2A ＋2B)＝tan2A ＋tan2B1－tan2Atan2B ＝247－431－247－43＝44117. 解法二：在△ABC 中，由cosA ＝45，0<A<π，得sinA ＝1－cos 2A ＝1－452＝35. 所以tanA ＝sinA cosA ＝35×54＝34.又tanB ＝2，所以tan(A ＋B)＝tanA ＋tanB 1－tanAtanB ＝34＋21－34×2＝－112.于是tan(2A ＋2B)＝tan[2(A ＋B)]＝＋1－tan2＋＝－1121－－1122＝44117. 变式训练化简：1＋cos4α＋sin4α1－cos4α＋sin4α.解：原式＝2cos 22α＋2sin2αcos2α2sin 22α＋2sin2αcos2α＝2cos2αα＋sin2α2sin2αα＋cos2α＝1tan2α. 课堂小结1．先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明．2．教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题．在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．作业课本本节练习B 组1～4.设计感想 1．新课改的核心理念是：以学生发展为本．本节课的设计流程从回顾→探索→应用，充分体现了“学生主体、主动探索、培养能力”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式．本节在学生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，在这个活动过程中，由一般化归为特殊的基本数学思想方法就深深的留在了学生记忆中．本节课的教学设计流程还是比较流畅的．2．纵观本教案的设计，学生发现二倍角后就是应用，至于如何训练二倍角公式正用，逆用，变形用倒成了次要的了．而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，又发现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的．3．教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推理特点，本节主要是教给学生“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法．这样做增加了学生温故知新的空间，增强了学生的参与意识，教给了学生发现规律、探索推导、获取新知的途径，让学生真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体．备课资料 一、三角变换中的“一致代换”法在三角变换中，“一致代换”法是一种重要的方法，所谓“一致代换”法，即在三角变换中，化“异角”“异名”“异次”为“同角”“同名”“同次”的方法．它主要包括：在三角函数式中，①如果只含同角三角函数，一般应从变化函数名称入手，尽量化为同名函数，常用“化弦法”；②如果含有异角，一般应从变化角入手，尽量化不同角为同角，变复角为单角；③如果含有异次幂，一般利用升幂或降幂公式化异次幂为同次幂．二、备用习题1．求值：1sin10°－3cos10°.2．化简：cos36°cos72°.3．化简：cos αcos α2cos α22cos α23·…·cos α2n －1.4．求值：sin6°sin42°sin66°sin78°.5．已知向量m ＝(sinA ，cosA)，n ＝(1，－2)，且m·n ＝0. (1)求tanA 的值；(2)求函数f(x)＝cos2x ＋tanAsinx(x∈R )的值域．6．已知cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求cos(α＋β)的值．7．已知cos(x －π4)＝210，x∈(π2，3π4)．(1)求sinx 的值； (2)求sin(2x ＋π3)的值．参考答案：1．解：原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝12cos10°－32sin10°cos10° ＝－cos30°sin2sin10°cos10°＝－sin20°＝4.2．解：原式＝2sin36°cos36°·cos72°2sin36°＝2sin72°cos72°4sin36°＝sin144°4sin36°＝14.3．解：先将原式同乘除因式sin α2n －1，然后逐次使用倍角公式，则原式＝sin2α2nsin α2n －1.4．解：原式＝sin6°cos48°cos24°cos12°＝sin6°cos12°cos24°cos48° ＝24cos6°sin6°cos12°cos24°cos48°24cos6°＝sin96°24cos6°＝cos6°16cos6°＝116. 5．解：(1)由题意，得m·n ＝sinA －2cosA ＝0，因为cosA≠0，所以tanA ＝2.(2)由(1)知tanA ＝2，得f(x)＝cos2x ＋2sinx ＝1－2sin 2x ＋2sinx ＝－2(sinx －12)2＋32，因为x∈R ，所以sinx∈[－1,1]．当sinx ＝12时，f(x)有最大值32；当sinx ＝－1时，f(x)有最小值－3，所以所求函数f(x)的值域是[－3，32]．6．∵cos(α－β2)＝－19，π2<α<π，0<β<π2，∴π2<α－β2<π. ∴sin(α－β2)＝459.∵sin(α2－β)＝23，π2<α<π，0<β<π2，∴0<α2－β<π2.∴cos(α2－β)＝53.∵cosα＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)]＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β) ＝(－19)×53＋459×23＝7275，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝－239729. 7．解：(1)因为x∈(π2，3π4)，所以x －π4∈(π4，π2)．于是sin(x －π4)＝1－cos2－π4＝7210， sinx ＝sin[(x －π4)＋π4]＝sin(x －π4)cos π4＋cos(x －π4)sin π4＝7210×22＋210×22＝45. (2)因为x∈(π2，3π4)，故cosx ＝－1－sin 2x ＝－1－452＝－35，sin2x ＝2sinxcosx ＝－2425，cos2x ＝2cos 2x －1＝－725.所以sin(2x ＋π3)＝sin2xcos π3＋cos2xsin π3＝－24＋7350.。
推荐K12学习高中数学第三章三角恒等变换3.3三角函数的积化和差与和差化积示范教案新人教B版必修4
3.3三角函数的积化和差与和差化积示范教案 整体设计教学分析本节主要包括利用已有的公式进行推导发现．本节的编写意图与特色是教师引导学生发现创造，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三角恒等变换所涉及的问题各种各样，内容十分丰富，我们希望能总结出一些有规律性的数学思想、方法和技巧，提高对三角变换的理性认识．科学发现是从问题开始的，没有问题就不可能有深入细致的观察．为了让学生经历一个完整的探索发现过程，教科书从三角函数运算的角度提出了研究课题．这是从数学知识体系的内部发展需要提出问题的方法．用这种方法提出问题可以更好地揭示知识间的内在联系，体会推理论证和逻辑思维在数学发现活动中的作用．从运算的角度提出问题，还可以帮助学生认识到三角变换也是一种运算，丰富对运算的认识，从而把对三角变换的研究纳入整体的数学体系之中．类比对数运算，由两角和与差的正弦公式易推出积化和差公式．在推导了公式sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2以后，可以让学生推导其余的和差化积及积化和差公式．和差化积、积化和差不要求记忆，都在试卷上告诉我们，要注意不应该加大三角变换的难度，不要在三角变换中“深挖洞”．高考在该部分内容上的难度是一降再降．三维目标1．通过类比推导出积化和差与和差化积公式．体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力．2．通过和差化积公式和积化和差公式的推导，让学生经历数学探索和发现过程，激发学生学好数学的欲望和信心．重点难点教学重点：推导积化和差、和差化积公式．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．课时安排 1课时教学过程 导入新课思路1.(复习导入)在前面的几节课中我们学习了两角和与差的三角函数的计算公式，并运用这些公式解决了一些三角函数的化简、求值以及三角恒等式的证明问题，在我们运用三角函数知识解决一些问题的时候，我们也会遇到形如sin α＋sin β，sin α－sin β，cos α＋cos β，cos α－cos β的形式，那么，我们能否运用角α、β的有关三角函数值表示它们呢？这就是我们本节课所要研究的问题．思路2.(类比导入)我们知道log a m ＋log a n ＝log a (mn)，那么sin α＋sin β等于什么呢？ 推进新课 新知探究 提出问题你能从两角和与差的正、余弦公式中发现些什么？积化和差与和差化积公式的特点是什么？活动：考察公式cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.从公式结构上看，把cos αcos β，sin αsin β，sin αcos β，cos αsin β分别看成未知数解方程组，则容易得到如下结论：cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]；sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．从上面这四个公式，又可以得出sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β； sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cos αsin β； cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cos αcos β； cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin β. 设α＋β＝x ，α－β＝y ，则α＝x ＋y 2，β＝x －y2.这样，上面得出的四个式子可以写成sinx ＋siny ＝2sin x ＋y 2cos x －y2；sinx －siny ＝2cos x ＋y 2sin x －y2；cosx ＋cosy ＝2cos x ＋y 2cos x －y2；cosx －cosy ＝－2sin x ＋y 2sin x －y2.利用这四个公式和其他三角函数关系式，我们可把某些三角函数的和或差化成积的形式．教师还可引导学生用向量运算证明和差化积公式． 如图1所示．作单位圆，并任作两个向量图1OP →＝(cos α，sin α)，OQ →＝(cos β，sin β)．取的中点M ，则M(cos α＋β2，sin α＋β2)．连接PQ ，OM ，设它们相交于点N ，则点N 为线段PQ 的中点且ON⊥PQ. ∠xOM 和∠MOQ 分别为α＋β2，α－β2.探索三个向量OP →，ON →，OQ →之间的关系，并用两种形式表达点N 的坐标，以此导出和差化积公式cos α＋cos β＝2cos α＋β2cos α－β2；sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.讨论结果：略应用示例例 1已知sinx －cosx ＝12，求sin 3x －cos 3x 的值．活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解．由于(a －b)3＝a 3－3a 2b ＋3ab 2－b 3＝a 3－b 3－3ab(a －b)，∴a 3－b 3＝(a －b)3＋3ab(a －b)．解完此题后，教师引导学生深挖本例的思想方法，由于sinxcosx 与sinx±cosx 之间的转化，提升学生的运算、化简能力及整体代换思想．本题也可直接应用上述公式求之，即sin 3x －cos 3x ＝(sinx －cosx)3＋3sinxcosx(sinx －cosx)＝1116.此方法往往适用于sin 3x±cos 3x 的化简问题之中．解：由sinx －cosx ＝12，得(sinx －cosx)2＝14，即1－2sinxcosx ＝14，∴sinxcosx＝38.∴sin 3x －cos 3x ＝(sinx －cosx)(sin 2x ＋sinxcosx ＋cos 2x)＝12(1＋38)＝1116.例 2已知cos 4A cos 2B ＋sin 4A sin 2B ＝1，求证：cos 4B cos 2A ＋sin 4Bsin 2A＝1.活动：此题可从多个角度进行探究，由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致，只是将A 、B 的位置互换了，因此应从所给的条件等式入手，而条件等式中含有A 、B 角的正、余弦，可利用平方关系来减少函数的种类．从结构上看，已知条件是a 2＋b 2＝1的形式，可利用三角代换．证法一：∵cos 4A cos 2B ＋sin 4A sin 2B ＝1，∴cos 4A·sin 2B ＋sin 4A·cos 2B ＝sin 2B·cos 2B.∴cos 4A(1－cos 2B)＋sin 4A·cos 2B ＝(1－cos 2B)cos 2B ，即cos 4A －cos 2B(cos 4A －sin 4A)＝cos 2B －cos 4B.∴cos 4A －2cos 2Acos 2B ＋cos 4B ＝0.∴(cos 2A －cos 2B)2＝0.∴cos 2A ＝cos 2B.∴sin 2A ＝sin 2B. ∴cos 4B cos 2A ＋sin 4B sin 2A＝cos 2B ＋sin 2B ＝1. 证法二：令cos 2A cosB ＝cos α，sin 2A sinB ＝sin α，则cos 2A ＝cosBcos α，sin 2A ＝sinBsin α.两式相加得1＝cosBcos α＋sinBsin α，即cos(B －α)＝1.∴B－α＝2k π(k∈Z )，即B ＝2k π＋α(k∈Z )．∴cos α＝cosB ，sin α＝sinB.∴cos 2A ＝cosBcos α＝cos 2B ，sin 2A ＝sinBsin α＝sin 2B. ∴cos 4B cos 2A ＋sin 4B sin 2A ＝cos 4B cos 2B ＋sin 4B sin 2B ＝cos 2B ＋sin 2B ＝1.例3 证明1＋sinx cosx ＝tan(π4＋x 2)．活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边．教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导．注意式子左边包含的角为x ，三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角x2，三角函数的种类为正切．证法一：从右边入手，切化弦，得tan(π4＋x 2)＝π4＋x 2π4＋x 2＝sin π4cos x 2＋cos π4sin x 2cos π4cos x 2－sin π4sin x 2＝cos x 2＋sinx 2cos x 2－sinx 2，由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos x 2＋sin x2，得x 2＋sin x 22x 2＋sin x 2x 2－sin x 2＝1＋sinxcosx. 证法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得 1＋sinxcosx＝x 2＋sin x 22x 2＋sin x 2x 2－sin x 2＝cos x 2＋sin x 2cos x 2－sin x 2.由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos x2，得1＋tan x 21－tan x 2＝tan π4＋tanx 21－tan π4tanx 2＝tan(π4＋x 2). 变式训练求证：1＋sin4θ－cos4θ2tan θ＝1＋sin4θ＋cos4θ1－tan 2θ. 分析：运用比例的基本性质，可以发现原式等价于1＋sin4θ－cos4θ1＋sin4θ＋cos4θ＝2tan θ1－tan 2θ，此式右边就是tan2θ. 证明：原等式等价于1＋sin4θ－cos4θ1＋sin4θ＋cos4θ＝tan2θ.而上式左边＝sin4θ＋－cos4θsin4θ＋＋cos4θ＝2sin2θcos2θ＋2sin 22θ2sin2θcos2θ＋2cos 22θ＝2sin2θθ＋sin2θ2cos2θθ＋cos2θ＝tan2θ＝右边．∴上式成立，即原等式得证.课堂小结1．先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系．积化和差与和差化积公式及其推导，三角恒等式与条件等式的证明．2．教师画龙点睛：本节学习的数学方法：公式的使用，换元法，方程思想，等价转化，三角恒等变形的基本手段．作业课本本节习题3—3A 组1～4，B 组1～4.设计感想 1．本节主要学习了怎样推导积化和差，和差化积公式，在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形．还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等．2．在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查．特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用．备课资料一、一道给值求角类问题错解点击． 解决给值求角这类问题时，要注意根据问题给出的三角函数值及角的范围，选择适当的三角函数，确定所求角的恰当范围，利用函数值在此范围内的单调性求出所求角．解答此类问题一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系，常见的错误为不根据已知条件确定角的范围而盲目求值，造成增解．例题：若sin α＝55，sin β＝1010，α、β均为锐角，求α＋β的值． 错解：∵α为锐角， ∴cos α＝1－sin 2α＝255.又β为锐角，∴cos β＝1－sin 2β＝31010.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝22. ∵α，β均为锐角， ∴0°<α＋β<180°. ∴α＋β＝45°或135°.点评：上述解法欠严密，仅由sin(α＋β)＝22，0°<α＋β<180°而得到α＋β＝45°或135°是正确的．但题设中sin α＝55<12，sin β＝1010<12，使得0°<α＋β<60°，故上述结论是错误的．事实上，由0°<α＋β<180°，应选择求cos(α＋β)＝22(∵余弦函数在此范围内是单调的)，易求得cos(α＋β)＝22，则α＋β＝45°，因此，解决给值求角这类问题一般分三步：第一步是确定角所在的范围；第二步是求角的某一个三角函数值(要尽量使所选择的三角函数在所确定的范围内单调)；第三步是得到结论，求得所求角的值．二、如何进行三角恒等变式的证明． 三角恒等式证明的基本方法：(1)可从一边开始，证得它等于另一边，一般是由繁到简． (2)可用左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子． (3)可采用切割化弦，将其转化为所熟知的正、余弦． (4)可用分析法，即假定结论成立，经推理论证，找到一个显然成立的式子(或已知条件)． (5)可用拼凑法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异，简言之，即化异求同．(6)可采用比较法，即“左边右边＝1”或“左边－右边＝0”．证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，就是有目的地进行化简，因此，在证明时要注意将上述方法综合起来考虑，要灵活运用公式，消除差异，其思维模式可归纳为三点：(1)发现差异：观察角、函数、运算结构的差异；(2)寻求联系：运用相关公式，找出转化差异的联系； (3)合理转化：选择恰当的公式，实现差异的转化．二、备用习题1．已知tanx ＝－3，则sin2x ＝________，cos2x ＝________. 2．已知tan α＝2，则cos2α等于( ) A ．－13 B ．±13C ．－35D ．±353．下列各式化成和差的形式分别是： (1)sin(π3＋2x)cos(π3－2x)；(2)cos α＋β2sin α－β2.4．设α、β≠k π＋π2(k∈Z )，且cos2α＋sin 2β＝0.求证：tan 2α＝2tan 2β＋1.5．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A ＋C ＝2B ，且1cosA ＋1cosC ＝－2cosB ，试求cosA －C2的值．6．不查表求值： tan6°tan42°tan66°tan78°. 参考答案：1．－35 －452.C3．(1)34＋12sin4x ；(2)12(sin α－sin β). 4．证明：∵cos2α＋sin 2β＝0, ∴1－tan 2α1＋tan 2α＋sin 2βsin 2β＋cos 2β＝0， 即1－tan 2α1＋tan 2α＋tan 2β1＋tan 2β＝0. 化简得tan 2α＝2tan 2β＋1.5．由题设条件，知B ＝60°，A ＋C ＝120°，设A －C2＝α，则A ＝60°＋α，C ＝60°－α.代入1cosA ＋1cosC ＝－2cosB ，可得1＋α＋1－α＝－22，即2cos α－3sin α＋2cos α＋3sin α＝－2，可化为4cos 2α＋2cos α－3＝0， 解得cos α＝22或－324(舍去)．∴cos A －C 2＝22.6．原式＝tan54°tan6°tan66°tan42°tan78°tan54°＝－＋tan54°＝tan18°tan42°tan78°tan54°＝－＋tan54°＝tan54°tan54°＝1.。
高中数学《第三章三角恒等变换》总结与习题苏教版必修4(K12教育文档)
高中数学《第三章三角恒等变换》总结与习题苏教版必修4(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学《第三章三角恒等变换》总结与习题苏教版必修4(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学《第三章三角恒等变换》总结与习题苏教版必修4(word版可编辑修改)的全部内容。
三角恒等变形及应用一．课标要求：1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用； 2．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系；3．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆）。
二．命题走向从近几年的高考考察的方向来看，这部分的高考题以选择、解答题出现的机会较多,有时候也以填空题的形式出现,它们经常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考察，主要题型有三角函数求值，通过三角式的变换研究三角函数的性质。
本讲内容是高考复习的重点之一,三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明是三角变换的基本问题。
历年高考中，在考察三角公式的掌握和运用的同时，还注重考察思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和综合分析能力。
三．要点精讲1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。
【配套K12】[学习](全国通用版)2018-2019高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的
2018-2019高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的](https://img.taocdn.com/s3/m/4f02843a55270722192ef730.png)
第三章 3.2 第1课时 三角恒等变换A 级 基础巩固一、选择题1．y ＝sin x cos x ＋sin 2x 可化为( A ) A ．22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12 B ．2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－12C ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12D ．2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4＋1 [解析] y ＝12sin2x ＋1－cos2x2＝12sin2x －12cos2x ＋12 ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin2x －22cos2x ＋12 ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12．2．若f (tan x )＝sin2x ，则f (－1)＝( B ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．1[解析] f (－1)＝f [tan(－π4＋k π)]＝sin2(－π4＋k π)＝sin(－π2＋2k π)＝－1． 3．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin2θ＝378，则sin θ＝( D )A ．35 B ．45 C ．74D ．34[解析] 由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2可得2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，cos2θ＝－1－sin 22θ＝－18，sin θ＝1－cos2θ2＝34，答案应选D ． 另解：由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2及sin2θ＝378可得sin θ＋cos θ＝1＋sin2θ＝1＋378＝16＋6716＝9＋67＋716＝74＋34，而当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时sin θ>cos θ， 结合选项即可得sin θ＝34，cos θ＝174.答案应选D ．4．若cos α＝23，且α∈(0，π)，则cos α2＋sin α2的值为( B )A ．56 B ．30＋66 C ．65D ．30＋65[解析] ∵cos α＝23，且α∈(0，π)，∴α2∈(0，π2)．∴cos α2＝1＋cos α2＝1＋232＝56＝306． sin α2＝1－cos α2＝1－232＝66∴cos α2＋sin α2＝306＋66＝30＋66．5.2sin 2αsin2α·2cos 2αcos2α等于( B ) A ．tan α B ．tan2α C ．1D ．12[解析] 原式＝αcos α2sin2αcos2α＝sin 22αsin2αcos2α＝sin2αcos2α＝tan2α． 二、填空题6．已知cos2α＝12，且π2<α<π，则tan α＝ －3 ．[解析] ∵π2<α<π，∴tan α＝－1－cos2α1＋cos2α＝－33．7．求证：2sin x cos xx ＋cos x －x －cos x ＋＝1＋cos xsin x．[证明] 左边＝2sin x cos xx2cos x2－2sin 2x 2x2cos x2＋2sin2x2＝2sin x cos x4sin2x22x2－sin2x2＝sin x 2sin 2x 2＝cos x 2sin x 2＝2cos 2x22sin x 2cos x 2＝1＋cos xsin x ＝右边．∴原等式成立．B 级 素养提升一、选择题1．设0<θ<π2，且sin θ2＝x －12x，则tan θ等于( D ) A ．xB ．x ＋1x －1C ．x 2－1xD ．x 2－1[解析] ∵0<θ<π2，sin θ2＝x －12x， ∴cos θ2＝1－x －12x ＝x ＋12x． ∴tan θ2＝sinθ2cosθ2＝x －1x ＋1，tan θ＝2tan θ21－tan 2θ2＝2x －1x ＋11－x －1x ＋1＝x －1x ＋1·(x ＋1)＝x 2－1．2．已知θ是第三象限的角，若sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin2θ等于( A )A ．223B ．－223C ．43D ．－23[解析] sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝59，∴sin 22θ＝89，∵2k π＋π<θ<2k π＋3π2(k ∈Z )，∴4k π＋2π<2θ<4k π＋3π(k ∈Z )，∴sin2θ>0，∴sin2θ＝223．3．已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R ，若f (x )≥1，则x 的取值范围为( B ) A ．{x |k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z }B ．{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }C ．{x |k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z }D ．{x |2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z }[解析] 由已知得f (x )＝2sin(x －π6)，∵f (x )≥1，即sin(x －π6)≥12，可得π6＋2k π≤x －π6≤56π＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z ．4．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则下列等式中一定成立的是( A )A ．A ＝B B ．A ＝C C ．B ＝CD ．A ＝B ＝C[解析] ∵sin A sin B ＝cos 2C 2＝1＋cos C 2＝12－12cos(A ＋B )＝12－12(cos A cos B －sin A sin B )∴12cos A cos B ＋12sin A sin B ＝12． ∴cos(A －B )＝1，∵0<A <π，0<B <π，∴－π<A －B <π， ∴A －B ＝0，∴A ＝B ． 二、填空题5．已知tan α2＝13，则cos α＝ 45 ．[解析] ∵tan α2＝±1－cos α1＋cos α，∴tan 2α2＝1－cos α1＋cos α．∴1－cos α1＋cos α＝19，解得cos α＝45．6．设π<α<3π，cos α＝m ，cos α2＝n ，cos α4＝p ，则下列各式中正确的是__①__．①n ＝－1＋m2；②n ＝1＋m2；③p ＝1＋n2；④p ＝－1＋n2． [解析] ∵π<α<3π，∴π2<α2<3π2，∴cos α2＝－1＋cos α2，即n ＝－1＋m 2，而π4<α4<3π4，∴cos α4的符号不能确定．三、解答题7．已知cos(π－α)＝232，α∈(－π，0)．(1)求sin α；(2)求cos 2(π4－α2)＋sin(3π＋α2)·sin(32π－α2)的值．[解析] (1)∵cos(π－α)＝－cos α＝232，∴cos α＝－232，又∵α∈(－π，0)，∴sin α＝－1－cos 2α＝－13．(2)cos 2(π4－α2)＋sin(3π＋α2)·sin(3π2－α2)＝12[1＋cos(π2－α)]＋(－sin α2)·(－cos α2) ＝12＋12sin α＋sin α2·cos α2 ＝12＋12sin α＋12sin α ＝12＋sin α ＝12＋(－13)＝16．。
【配套K12】[学习](全国通用版)2018-2019高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和
2018-2019高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和](https://img.taocdn.com/s3/m/e11b70ff76eeaeaad0f33017.png)
第三章 3.1 3.1.1 第1课时 两角和与差的正弦、余弦A 级 基础巩固一、选择题1．若△ABC 中，C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则sin(A －B )的值是( D ) A ．35 B ．45 C ．2425D ．725[解析] 由条件可知cos A ＝35，sin A ＝45，sin B ＝35，cos B ＝45，∴sin(A －B )＝sin A ·cos B－cos A ·sin B ＝45×45－35×35＝725．2．设α∈(0，π2)，若sin α＝35，则2cos(α＋π4)等于( B )A ．75 B ．15 C ．－75D ．－15[解析]2cos(α＋π4)＝2(cos α·22－sin α·22)＝45－35＝15．3．cos 5π12的值等于( C )A ．6＋22 B ．22 C ．6－24D ．3＋24[解析] cos 5π12＝－cos 7π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3cos π4－sin π3·sin π4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－32·22＝6－24．4.3cos π12－sin π12的值是( B )A ．0B ． 2C ．－ 2D ．2[解析] 3cosπ12－sin π12＝2(32cos π12－12sin π12)＝2(sin π3cos π12－cos π3sin π12)＝2sin(π3－π12)＝2sin π4＝2．5．cos(x ＋2y )＋2sin(x ＋y )sin y 可化简为( A ) A ．cos x B ．sin x C ．cos(x ＋y )D ．cos(x －y )[解析] 原式＝cos[(x ＋y )＋y ]＋2sin(x ＋y )sin y ＝cos(x ＋y )cos y －sin(x ＋y )· sin y ＋2sin(x ＋y )sin y ＝cos(x ＋y )cos y ＋sin(x ＋y )sin y ＝cos x ．6．已知cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，α、β都是锐角，则cos β＝( C )A ．－6365B ．－3365C ．3365D ．6365[解析] ∵α、 β是锐角，∴0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－513<0，∴π2<α＋β<π，∴sin(α＋β)＝1213，sin α＝45.又cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－513×35＋1213×45＝3365．二、填空题7．sin15°＋sin75°的值是2． [解析] sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin45°·cos30°＝62． 8．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝m ，且β为第三象限角，则cos β＝[解析] 由sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝m ，得 sin(－β)＝m ，即sin β＝－m ，又β为第三象限角， cos β＝－1－sin 2β＝－1－－m 2＝－1－m 2．三、解答题 9．化简求值：(1)cos44°sin14°－sin44°cos14°；(2)sin(54°－x )cos(36°＋x )＋cos(54°－x )sin(36°＋x )[解析] (1)原式＝sin(14°－44°) ＝sin(－30°)＝－12．(2)原式＝sin[(54°－x )＋(36°＋x )]＝sin90°＝1． 10．已知cos θ＝－1213，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值． [解析] cos θ＝－1213，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2， ∴sin θ＝－513，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos θ·cos π4－sin θ·sin π4 ＝－1213×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×22＝－7226．B 级 素养提升一、选择题1．在△ABC 中，已知sin(A －B )·cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( C ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．等腰非直角三角形[解析] 由题设知sin[(A －B )＋B ]≥1， ∴sin A ≥1而sin A ≤1，∴sin A ＝1，A ＝π2，∴△ABC 是直角三角形．2．若α、β均为锐角，sin α＝255，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( B )A ．255B ．2525C ．255或2525D ．－2525[解析] ∵α与β均为锐角，且sin α＝255>sin(α＋β)＝35，∴α＋β为钝角，又由sin(α＋β)＝35得，cos(α＋β)＝－45，由sin α＝255得，cos α＝55，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525，故选B ．3．已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cos αcos β的值为( A )A ．0B ．45C ．0或45D ．0或±45[解析] 由条件得，cos αcos β－sin αsin β＝45，cos αcos β＋sin αsin β＝－45，左右两边分别相加可得cos α·cos β＝0． 4.sin47°－sin17°cos30°cos17°( C )A ．－32B ．－12C ．12D ．32[解析] sin47°－sin17°cos30°cos17°＝＋－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12．二、填空题5．若cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45，且450°<β<540°，则sin(60°－β)＝ －10．[解析] 由已知得cos[(α＋β)－α]＝cos β＝－45，∵450°<β<540°，∴sin β＝35，∴sin(60°－β)＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－12×35＝－3＋4310．6．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tan α·tan β＝ 12．[解析] 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝15，α－β＝35.即⎩⎪⎨⎪⎧cos αcos β－sin αsin β＝15，cos αcos β＋sin αsin β＝35.解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α·cos β＝25，sin α·sin β＝15.所以tan α·tan β＝sin αsin βcos αcos β＝12．三、解答题7．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255．(1)求cos(α－β)的值；(2)若－π2<β<0<α<π2，且sin β＝－513，求sin α的值．[解析] (1)∵|a －b |＝255，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝45，又a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴a 2＝b 2＝1，a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)， ∴cos(α－β)＝35．(2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π，由(1)得cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45，又sin β＝－513，∴cos β＝1213，∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×1213＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝3365． 8．已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α、 β∈(0，π2)．求： (1)cos(2α－β)的值； (2)β的值．[解析] (1)因为α、 β∈(0，π2)，所以α－β∈(－π2，π2)，又sin(α－β)＝1010>0，∴0<α－β<π2，所以sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α－β)＝1－sin2α－β＝31010，cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210． (2)cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×31010＋255×1010＝22， 又因为β∈(0，π2)，所以β＝π4．C 级 能力拔高已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π.求cos2α，cos2β及角β的值．[思路分析] 讨论角的范围时，α－β一般看作α＋(－β)，先求出－β的范围，再求α＋(－β)的范围．[解析] 由α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513．由α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213．得sin(α＋β)＝－513．∴cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β) ＝－1213×1213－⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×513＝－119169．cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝－1213×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×513＝－1．又∵α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2π， α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⇒β－α∈(－π，－π2)⇒2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2． ∴2β＝π，则β＝π2．。
2018学年高一数学人教A版必修四课件：第三章 三角恒等变换3.1.1 精品
谢谢观看！
＝cos π4＋θ－θ＝cos π4＝ 22.
给值（式）求值问题 多维探究型 (1)已知 α∈π2，π，β 是第三象限角，sin α＝45，cos β＝－153.求 cos (α－β)的值； (2)已知 cos α＝45，cos(α＋β)＝35，且 α，β 均为锐角，求 cos β 的值．
[边听边记] (1)∵α∈π2，π，sin α＝45，
cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝1123×－1123＋－153×153＝－1. 又∵α－β∈π2，π，α＋β∈32π，2π， ∴2β∈π2，32π，∴2β＝π，则 β＝π2.
练案·学业达标
点击进入WORD链接
解析： 答Байду номын сангаас：
原式＝cos(α－35°－25°－α)＝cos(－60°)＝12. 1 2
教案·课堂探究
给角求值问题 自主练透型
求下列各式的值．
(1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°；
(2)sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°；
1 (3)2cos
15°＋
3．已知 cos(α－β)＝－1123，cos(α＋β)＝1123，且 α－β∈π2，π，α＋β∈32π，2π， 求角 β 的值．
解析： 由 α－β∈π2，π， 且 cos(α－β)＝－1123，得 sin(α－β)＝153. 由 α＋β∈32π，2π，且 cos(α＋β)＝1123， 得 sin(α＋β)＝－153，
∴cos α＝－ 1－sin2α＝－ 1－452＝－35.
∵β 是第三象限角，cos β＝－153，
2018秋新版高中数学北师大版必修4：第三章三角恒等变形 3.1.1
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
【做一做1】 下列各项中可能成立的一项是( )
A.sin
α=
1 2
,
且
cos
������
=
1 2
B.sin α=0,且 cos α=-1
C.tan α=1,且 cos α=-1
D.当
α
为第二象限角时,tan
α=−
sin������ cos������
答案:B
【做一做 2】
=
9 10
,
整理,得 9tan2α+30tan α-11=0,即(3tan α-1)(3tan α+11)=0,解得
tan
α=
1 3
或tan
α=−
11 3
.
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
12345
1
若
sin
α=−
5 13
,
且������为第四象限角,
则
tan
������的值等于(
)
A.
12 5
B.
1-������2
若 θ 的终边在第三象限,则 cos θ=− 1-������2,tan θ=− ������ ;
1-������2
若 θ 的终边在第四象限,则 cos θ= 1-������2 ,tan ������ = ������ .
1-������2
综上可知,当 θ 的终边在第一、四象限时,
π 2
,π
, cos x<0,
则可排除 A,B,D 选项.
另解:由
tan2x+1=
1 cos2 ������
高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3课后习题新人教A版必修4(202
2018-2019学年高中数学第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3课后习题新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3课后习题新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年高中数学第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3课后习题新人教A版必修4的全部内容。
3。
1。
3二倍角的正弦、余弦、正切公式课后篇巩固探究A组基础巩固1。
=(）A。
-B。
-C。
D。
解析原式=cos2—sin2=cos，故选D.答案D2。
若tan α=3,则的值等于(）A.2 B。
3 C。
4 D.6解析=2tan α=2×3=6.答案D3.已知sin，则cos的值为（)A。
B. C. D.解析cos=cos=1-2sin2=1—2×.答案D4.若α为锐角,3sin α=tan α=tan β，则tan 2β等于()A。
B. C.-D。
-解析因为α为锐角，3sin α=tan α,所以cos α=,则tan α=2,即tan β=2，所以tan 2β==—.答案D5。
若,则tan 2α=（)A。
— B. C.—D。
解析等式左边分子、分母同时除以cos α(显然cos α≠0),得,解得tan α=—3，∴tan 2α=。
答案B6。
已知α∈，sin α=,则tan 2α=.解析由α∈，sin α=，得cos α=—,tan α==—,tan 2α==-。
【高中】高中数学第三章三角恒等变形3
【关键字】高中§3二倍角的三角函数1．掌握倍角公式与半角公式及公式的推导方法．(重点)2．能利用倍角公式与半角公式进行三角函数的求值、化简、证明．(重点)3．能利用倍角公式与半角公式解决一些简单的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理二倍角公式与半角公式阅读教材P124～P127练习2以上部分，完成下列问题．1．二倍角公式2．半角公式(1)sin＝±；(2)cos＝±；(3)tan＝±＝＝.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意α∈R，总有sin 2α＝2sin α.( )(2)对任意α∈R，总有cos 2α＝1－2cos2α.( )(3)对任意α∈R，总有tan 2α＝.( )(4)sin 22°30′cos 22°30′＝.( )【解析】(1)sin 2α＝2sin αcos α，所以(1)错．(2)cos 2α＝2cos2α－1，所以(2)错．(3)α≠＋(k∈Z)时，有tan 2α＝，所以(3)错．(4)sin 22°30′cos 22°30′＝×2sin 22°30′cos 22°30′＝sin 45°＝，所以(4)对．【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________疑问2：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________疑问3：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________[小组合作型]倍角及半角公式的直接应用已知【精彩点拨】 根据条件求出sin α，然后求出cos α，利用半角公式求tan. 【自主解答】 ∵α为第四象限的角，cos α＝， ∴sin α＝－＝－. ∴tan α＝＝－. ∵α为第四象限角， ∴是第二或第四象限的角， ∴tan <0.由tan α＝，得tan ＝.在求半角的正切tan 时，用tan ＝±来处理，要由α所在的象限确定所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用tan ＝或tan ＝来处理，可以避免这些问题，尤其是tan ＝，分母是单项式，容易计算．因此常用tan ＝求半角的正切值．[再练一题]1．已知sin α＋cos α＝，且0<α<π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值.【导学号：】【解】 ∵sin α＋cos α＝13，∴sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝19，∴sin 2α＝19－1＝－89，且sin αcos α＝－49<0.又0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0，∴sin α－cos α＝1－sin 2α＝1＋89＝173， ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α) ＝－173×13＝－179， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－89－179＝81717. 利用倍角公式、半角公式化简化简：(1)cos 10°·1＋3tan 10°cos 70°·1＋cos 40°；(2)1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α，其中π<α<3π2.【精彩点拨】 (1)先把切化弦，再用二倍角公式化简． (2)用半角公式脱去根号，根据角的取值范围化简．【自主解答】 (1)原式＝cos 10°⎝⎛⎭⎪⎫1＋3sin 10°cos 10 °sin 20°·2cos 20°＝cos 10°＋3sin 10°22sin 40°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°22sin 40°＝22sin 40°sin 40°＝2 2.(2)∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴1＋cos α＝2|cos α2|＝－2cos α2，1－cos α＝2|sin α2|＝2sin α2， ∴1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α＝1＋sin α－2⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2＋1－sin α2⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α22－2⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2＝－2cos α2.已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为： (1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．[再练一题] 2．设α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，化简：12＋1212＋12cos 2α. 【解】 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴cos α>0，cos α2<0.故原式＝12＋12cos 2α ＝12＋12cos α ＝cos 2α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2.[探究共研型]三角恒等变形的综合应用探究1 【提示】 由任意角的三角函数的定义可知，S 2α，C 2α中的角α是任意的，但要使T 2α有意义，需要α≠π4＋k π2(k ∈Z )．探究2 半角公式适用条件是什么？【提示】 cos α2＝±1＋cos α2，sin α2＝ ±1－cos α2，α∈R . tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α中，α≠2k π＋π，k ∈Z ，tan α2＝1－cos αsin α中，α≠k π，k ∈Z .探究3 在什么条件下，sin 2α＝2sin α成立？【提示】 一般情况下，sin 2α≠2sin α，只有当α＝2k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sinα才成立．探究4 怎样把a sin x ＋b cos x 化成A sin(ωx ＋φ)形式？ 【提示】 a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin (x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝ba 2＋b2，cos φ＝aa 2＋b 2. 已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值及相应的x 值．【精彩点拨】 把f (x )化成A sin(ωx ＋φ)的形式，再研究其性质． 【自主解答】 f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (1)令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，可得π6≤2x ＋π6≤7π6.所以，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取最大值，最大值为2.首先利用倍角公式及两角和的正弦公式，将f (x )转化为只含一个角的三角函数的形式，即利用化归的思想转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再研究f (x )的有关性质，注意使用整体代换的思想将ωx ＋φ看成一个整体去讨论最值及单调性问题．[再练一题] 3．设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 【解】 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.又ω>0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，因此－1≤f (x )≤32. 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.1．tan 15°等于( ) A ．2＋ 3 B ．2－ 3 C.3＋1D ．3－1【解析】 由tan α2＝sin α1＋cos α，得tan 15°＝sin 30°1＋cos 30°＝2－ 3.【答案】 B2．若sin α2＝33，则cos α＝( )【导学号：】A ．－13B ．－23C.13D ．23【解析】 cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×⎝⎛⎭⎪⎫332＝13. 【答案】 C3．已知cos α＝23，270°<α<360°，则cos α2的值为________．【解析】 因为270°<α<360°，所以135°<α2<180°，所以cos α2<0.又cos α＝2cos2α2－1，所以cos α2＝－1＋cos α2＝－306. 【答案】 －3064.已知cos 2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ＝________.【解析】 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1118.【答案】11185．求证：sin 2θ＋sin θ2cos 2θ＋cos θ＝tan θ. 【证明】 左边＝2sin θcos θ＋sin θ2cos 2θ＋cos θ＝sin θ2cos θ＋1cos θ2cos θ＋1 ＝sin θcos θ＝tan θ＝右边．原式得证．我还有这些不足：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
【配套K12】[学习](全国通用版)2018-2019高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2.2 半
2018-2019高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2.2 半](https://img.taocdn.com/s3/m/8a57a9c0102de2bd9605888a.png)
3.2.2 半角的正弦、余弦和正切课时过关·能力提升1.若sin θ=<θ<π,则sin的值等于()A.B.-C.D.-sin θ=<θ<π可得cos θ=-.又,所以sin.2.tan 15°+cot 15°等于()A.2B.2C.4D.+cot 15°==4.3.设α∈(π,2π),则等于()A.sinB.cosC.-sinD.-cosα∈(π,2π)知,所以==sin.4.若,则sin α+cos α的值是()A. B. C.1 D.,结合sin2α+cos2α=1可得sin α= (sin α=0舍去),于是cos α=,从而sin α+cos α=.5.若θ∈,sin 2θ=,则sin θ等于()A.B.C.D.θ∈,得2θ∈.又sin 2θ=,故cos 2θ=-.故sin θ=.6.化简等于()A.tan 2θB.cot 4θC.tan 4θD.cot 2θ=tan 4θ.7.已知α为三角形的内角,sin α=,则tan=.cos α=±,且,于是tan=3或.或★8.若<α<2π,且cos α=,则的值是..9.已知0°<α<β<90°,sin α与sin β是方程x2-(cos 40°)x+cos240°-=0的两根,则cos(2α-β)=.,得Δ=2cos240°-4cos240°+2=2sin240°,∴x=cos 40°±sin 40°.∴x1=sin 45°cos 40°+cos 45°sin 40°=sin 85°,x2=sin 45°cos 40°-cos 45°sin 40°=sin 5°.又由0°<α<β<90°,知β=85°,α=5°,∴cos(2α-β)=cos(-75°)=cos 75°=cos(45°+30°)=.10.已知sin sin,α∈,求2sin2α+tan α--1的值.sin sin,∴2sin cos,即sin.∴cos 4α=.而2sin2α+tan α--1=-cos 2α+=-.∵α∈,∴2α∈.∴cos 2α=-=-,∴tan 2α=-=-.∴-=-,即2sin2α+tan α--1的值为.★11.已知向量a=(sin x,-cos x),b=(cos x,cos x),函数f(x)=a·b+.(1)求f(x)的最小正周期;(2)当0≤x≤时,求函数f(x)的值域.f(x)=sin x cos x-cos2x+=sin 2x-(cos 2x+1)+=sin 2x-cos 2x=sin.故f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x≤,∴-≤2x-,∴-≤sin≤1,即f(x)的值域为.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.2 简单的三角恒等变换
[A 级 基础巩固]
一、选择题
1．函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )
A.π2
B.2π3
C ．π
D ．2π 解析：因为y ＝3sin 2x ＋cos 2x
＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以最小正周期为T ＝2πω＝2π2
＝π. 答案：C
2．若函数f (x )＝－sin 2 x ＋12
(x ∈R)，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π2
的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数
C ．最小正周期为2π的偶函数
D ．最小正周期为π的偶函数
解析：f (x )＝－1－cos 2x 2＋12＝12
cos 2x . 答案：D
3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3的值是( ) A ．－233 B ．±233
C ．－1
D ．±1 解析：cos x ＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－1. 答案：C
4．若sin(α＋ β )cos β－cos(α＋ β )sin β＝0，则sin(α＋2 β )＋sin(α
－2 β )等于( )
A ．1
B ．－1
C ．0
D ．±1
解析：因为sin(α＋ β )cos β－cos(α＋ β )sin β＝sin(α＋ β－ β )＝sin α＝0，
所以sin(α＋2 β )＋sin (α－2 β )＝2sin αcos 2 β＝0.
答案：C
5．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，0≤x ＜π2
，则f (x )的最大值是( ) A ．1 B ．2 C.3＋1 D.3＋2
解析：f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝
⎝
⎛⎭⎪⎫1＋ 3 sin x cos x cos x ＝3sin x ＋cos x ＝ 2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6. 因为0≤x ＜π2，所以π6≤x ＋π6＜23
π， 所以当x ＋π6＝π2
时，f (x )取到最大值2. 答案：B
二、填空题
6．已知α为第二象限角，sin α＝35
，则tan 2α＝________． 解析：由sin α＝35，且α为第二象限角得，cos α＝－1－sin 2α＝－45
， 所以tan α＝sin αcos α＝－34，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247
. 答案：－247
7．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________． 解析：因为3sin x －3cos x ＝23⎝
⎛⎭
⎪⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－π6
. 答案：－π6
8.1sin π18－3cos π18＝________．
解析：原式＝cos π18－3sin π18sin π18cos π18
＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos π18－32sin π1812sin π9＝4sin π9sin π9
＝4. 答案：4
三、解答题
9．已知cos θ＝－725，θ∈(π，2π)，求sin θ2＋cos θ2
的值． 解：因为θ∈(π，2π)， 所以θ2∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π， 所以sin θ2
＝ 1－cos θ2＝45， cos θ2＝－1＋cos θ2＝－35， 所以sin θ2＋cos θ2＝15
. 10．已知2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α＝sin θ＋cos θ，2sin2β＝sin 2θ，求证：sin 2α＋12cos 2β＝0.
证明：由2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α＝sin θ＋cos θ， 得2cos α＋2sin α＝sin θ＋cos θ，
两边平方得，2(1＋sin 2α)＝1＋sin 2θ，①
又sin2β＝sin 2θ，②
由①②两式消去sin 2θ，得2(1＋sin 2α)＝1＋2sin2β，
即2sin 2α＋cos 2β＝0，所以sin 2α＋12
cos 2β＝0. B 级 能力提升
1．(2016·山东卷)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )
A.π2 B ．π
C.3π2 D ．2π
解析：法一：因为f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )
＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32cos x －12sin x ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 所以T ＝2π2
＝π. 法二：因为f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )
＝3sin x cos x ＋3cos2x －3sin2x －sin x cos x
＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 所以T ＝2π2
＝π. 答案：B
2．在△ABC 中，若cos A ＝13，则sin 2B ＋C 2
＋cos 2A 等于________． 解析：在△ABC 中，
B ＋
C 2＝π2－A 2， 所以sin 2B ＋C
2＋cos 2A ＝sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－A 2＋cos 2A ＝ cos 2 A 2＋cos 2A ＝1＋cos A 2＋2cos 2 A －1＝－19
. 答案：－19
3．(2015·安徽卷)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2
＋cos 2x .
(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2
x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2
＝π. (2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.
当x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4， 由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4
，5π4上的图象知， 当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8
时，f (x )取得最大值2＋1； 当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2
时，f (x )取得最小值0. 综上，f (x )在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.。