高中数学三角恒等变换习题及答案
三角恒等变换练习题及答案
角函数公式两角和公式sin(A+B)=sin(A-B)=cos(A+B)=cos(A-B)=tan(A+B)=tan(A-B)=倍角公式tan2α=cos2α=sin2α=半角公式sin^2( α/2)=cos^2( α/2)=tan^2( α/2)=和差化积2sinAcosB=2cosAsinB=2cosAcosB=-2sinAsinB=积化和差公式sinαsinβ=cosαcos=βsin αco=sβ万能公式sin(α)= (2tαn(α/2))/(1+t αn^2(α/2)) cos(α)= (1-t αn^2(α/2))/(1+t αn^2( α/2)) tαn(α)= (2tαn(α/2))/(1-t αn^2( α/2))角函数公式两角和公式sin(Α+B)=sin ΑcosB+cosΑsinB sin(Α-B)=sinΑcosB-sinBcosΑcos(Α+B)=cosΑcosB-sinΑsinB cos(Α-B)=cosΑcosB+sinΑsinBt αn(Α+B)=(tαnΑ+tαnB)/(1-t αnΑt αnB) tαn(Α-B)=(tαnΑ-t αnB)/(1+tαnΑt αnB) 倍角公式cos2 cos 2sin 2 2 c os 2 1 1 2 sin 2；。
sin 2 tan2 2sin2 tancos ；1 tan2半角公式sin^2( α/2)=(1-cos α)/2cos^2( α/2)=(1+cos α)/2tαn^2( α/2)=(1-cos α)/(1+cos α)和差化积2sinΑcosB=sin(Α+B)+sin( Α-B) 2cosΑsinB=sin(Α+B)-sin(Α-B) ) 2cosΑcosB=cos(Α+B)+cos(Α-B)-2sinΑsinB=cos(Α+B)-cos(Α-B)积化和差公式sin(α)sin(β)=—1/2*[cos( α+β)-cos(α-β)] cos(α)cos(β)=1/2*[cos( α+β)+cos(α-β)] sin(α)cos(β)=1/2*[sin( α+β)+sin(α-β)]1. 三角函数式的化简（1）降幂公式sin cos 1sin 22；sin1 cos22；cos1 cos2。
高中数学三角恒等变换习题及答案
第三章 三角恒等变换一、选择题1．函数y ＝sin α＋cos α⎪⎭⎫ ⎝⎛2π ＜ ＜ 0α的值域为( )．A ．(0，1)B ．(－1，1)C ．(1，2]D ．(－1，2)2．若0＜α＜β＜4π，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则( )． A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜1D ．ab ＞23．若θθtan ＋2tan 1－＝1，则θθ2sin ＋12cos 的值为( )．A ．3B ．－3C ．－2D ．－214．已知 α∈⎪⎭⎫⎝⎛2π3 ，π，并且sin α＝－2524，则tan 2α等于( )． A ．34 B ．43 C ．－43 D ．－345．已知tan (α＋β)＝3，tan (α－β)＝5，则tan 2α＝( )． A ．－47B ．47 C ．－74 D ．74 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＞sin A sin B ，则该三角形是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．锐角或直角三角形7．若0＜α＜2π＜β＜π，且cos β＝－31，sin (α＋β)＝97，则sin α 的值是( )．A ．271B ．275C ．31D ．2723 8．若cos (α＋β)·cos (α－β)＝31，则cos 2 α－sin 2 β 的值是( )．A ．－32B ．31C ．－31D ．32 9．锐角三角形的内角A ，B 满足tan A －A 2sin 1＝tan B ，则有( )． A ．sin 2A －cos B ＝0 B ．sin 2A ＋cos B ＝0 C ．sin 2A －sin B ＝0D ．sin 2A ＋sin B ＝010．函数f (x )＝sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛4π＋x －sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛4π－x 是( )．A ．周期为 π 的偶函数B ．周期为π 的奇函数C ．周期为2 π的偶函数D ．周期为2π的奇函数二、填空题 11．已知设α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2π,0，若sin α＝53，则2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα＝ ． 12．sin 50°(1＋3tan 10°)的值为 ． 13．已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＋sin α＝534，则sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6π7α的值是 ． 14．已知tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4π＝21，则ααα2cos ＋1cos －2sin 2的值为 ．15．已知tan α＝2，则cos ⎪⎭⎫⎝⎛2π3＋2α的值等于 ． 16．sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4πsin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α － 4π＝61，α∈⎪⎭⎫⎝⎛ π，2π，则sin 4α 的值为 ．三、解答题17．求cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°的值．18．求值：①(tan10°－3)︒︒50sin 10cos ； ②︒︒︒20cos 20sin －10cos 2．19．已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋ 4π＝53，127π＜x ＜47π，求x x x tan －1sin 2＋2sin 2的值．20．若sin α＝55，sin β＝1010，且α，β 均为钝角，求α＋β 的值.参考答案一、选择题 1．C解析：∵ sin α＋cos α＝2sin (α＋4π)，又 α∈(0，2π)，∴ 值域为(1，2]． 2．A解析：∵ a ＝2sin (α＋4π)，b ＝2sin (β＋4π)，又4π＜α＋4π＜β＋4π＜2π． 而y ＝sin x 在［0，2π］上单调递增，∴ sin (α＋4π)＜sin (β＋4π)．即a ＜b ．3．A 解析：由θθtan ＋2tan 1－＝1，解得tan θ＝－21，∴ θθ2sin ＋12cos ＝222sin ＋ cos sin － cos )(θθθθ＝θθθθsin ＋ cos sin － cos ＝θθ tan ＋ 1 tan － 1＝⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛21 － ＋ 121 － － 1＝3． 4．D解析：sin α＝－2524，α∈(π，2π3)，∴ cos α＝－257，可知tan α＝724． 又tan α＝2tan － 12tan22αα＝724． 即12 tan 22α＋7 tan 2α－12＝0． 又 2α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛4π ，2π，可解得 tan 2α＝－34． 5．C解析：tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝)－()＋(－)－()＋＋(βαβαβαβαtan tan 1tan tan ＝－74．6．C解析：由cos A cos B ＞sin A sin B ，得cos (A ＋B )＞0⇒cos C ＜0， ∴ △ABC 为钝角三角形． 7．C解析：由0＜α＜2π＜β＜π，知2π＜α＋β＜23 π 且cos β＝－31，sin (α＋β)＝97，得sin β＝322，cos (α＋β)＝－924． ∴ sin α＝sin [(α＋β)－β]＝sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β＝31．8．B解析：由cos (α＋β)·cos (α－β)＝31，得cos 2α cos 2 β－sin 2α sin 2 β＝31，即cos 2 α(1－sin 2 β)－(1－cos 2 α)sin 2 β＝31，∴ cos 2 α－sin 2 β＝31．9．A解析：由tan A －A 2sin 1＝tanB ，得A 2sin 1＝tan A －tan B ⇒A A cos sin 21＝BA B A cos cos －sin )(⇒cos B ＝2sin A sin (A －B )⇒cos [(A －B )－A ]＝2sin A sin (A －B ) ⇒cos (A －B )cos A －sin A sin (A －B )＝0，即cos (2A －B )＝0．∵ △ABC 是锐角三角形， ∴ －2π＜2A －B ＜π， ∴ 2A －B ＝2π⇒sin 2A ＝cos B ，即sin 2A －cos B ＝0． 10．B解析：由sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛4π－x ＝sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛x －4π＝cos 2⎪⎭⎫⎝⎛x ＋4π，得f (x )＝sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛4π＋x －cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋4π＝－cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛2π＋2x ＝sin 2x ．二、填空题 11．15． 解析：由α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2π,0，sin α＝53得cos α＝54，2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα＝cos α－sin α＝51． 12．1．解析：sin50°(1＋3tan10°) ＝sin50°·︒︒︒10cos 10sin 3＋10cos＝sin50°·︒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒10 cos 10sin 23＋10 cos 212＝sin50°·︒︒10cos 50cos 2＝︒︒10cos 100sin ＝︒︒10cos 10cos ＝1． 13．－45． 解析：cos ⎪⎭⎫⎝⎛-6πα＋sin α＝23cos α＋21sin α＋sin α ＝23( cos α＋3sin α)＝534， 所以cos α＋3sin α＝58． sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6π7α＝sin αcos6π7＋cos αsin 6π7 ＝－23sin α－21cos α＝－21(3sin α＋cos α)＝－54． 14．－65． 解析：由tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4π＝ααtan 4πtan －1tan ＋4πtan ＝ααtan －1tan ＋1＝21，解得tan α＝－31，∴ ααα2cos ＋1cos －2sin 2＝αααα22cos 2cos －cos sin 2 ＝αααcos 2cos －sin 2＝tan α－21 ＝－31－21＝－65． 15．45． 解析：tan α＝ααcos sin ＝2，sin α＝2cos α．又sin 2 α＋cos 2 α＝1， 所以sin 2 α＝54，又cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2π32α＝sin 2α＝2sin αcos α＝sin 2α＝54． 16．－924． 解析：∵ sin ⎪⎭⎫⎝⎛α － 4π＝sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4π － 2π＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4π，∴ sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4πsin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α － 4π＝61⇒sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4πcos ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4π＝61⇒sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α2 ＋ 2π＝31．∴ cos 2α＝31，又 α∈(2π，π)，∴ 2α∈(π，2π)．∵ sin 2α＝－α2cos －12＝－322， ∴ sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝－924． 三、解答题17．解：cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°＝cos 43°cos 77°－sin 43°sin 77° ＝cos (43°＋77°)＝cos 120°＝－21． 18．①解法1： 原式＝(tan 10°－tan 60°)︒︒50sin 10cos ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒︒︒cos60sin60 － cos10sin10︒︒50sin 10cos ＝︒︒︒60cos 10cos 50－sin )(·︒︒50sin 10cos＝－2． 解法2：原式＝⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒3 － cos10sin10︒︒50sin 10cos ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒︒cos10cos103－sin10︒︒50sin 10cos ＝︒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒50 sin 10 cos 23－10 sin 212 ＝︒︒︒50sin 60－10sin 2 )(＝－2． ②解：原式＝︒︒︒︒20cos 20sin －20－30cos 2 )(＝︒︒︒︒︒︒20cos 20sin －20sin 30sin 2＋20cos 30cos 2＝︒︒︒20cos 20cos 30cos 2＝3．19．解：∵127π＜x ＜47π，∴ 65π＜4π＋x ＜2π．又cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋ 4π＝53＞0，∴ 23π＜4π＋x ＜2π，∴ sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋ 4π＝－54，tan ⎪⎭⎫⎝⎛x ＋ 4π＝－34．又 sin 2x ＝－cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛x 2 ＋ 2π＝－cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋ 4π＝－2cos 2⎪⎭⎫⎝⎛x ＋ 4π＋1＝257，∴ 原式＝xx xx cos sin －1sin 2＋2sin 2＝x x x x x x sin －cos cos sin 2＋cos 2sin 2＝xx x x x sin －cos sin ＋cos 2sin )(＝xx x tan －1tan ＋12sin )(＝sin 2x ·tan (4π＋x ) ＝－7528．20．解：∵ α，β 均为钝角且sin α＝55，sin β＝1010， ∴ cos α＝－α2sin 1-＝－552，cos β＝－β2sin 1-＝－10103， ∴ cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-552×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1010355-×1010＝22．又 2π＜α＜π， 2π＜β＜π，∴ π＜α＋β＜2π，则α＋β＝4π7．。
高一数学三角恒等变换试题答案及解析
高一数学三角恒等变换试题答案及解析1.(12分)（１）求的值．（２）若，,，求的值．【答案】（1）1（2）【解析】(1)原式……6分（2），①②①-②得，. ……12分【考点】本小题主要考查利用和差角公式、同角三角函数基本关系式等求三角函数值，考查学生的运算求解能力.点评：解决给值求值问题时，要尽量用已知角来表示未知角.2.设－3π<α<－，则化简的结果是()A．sin B．cosC．－cos D．－sin【答案】C【解析】∵－3π<α<－π，∴－π<<－π，∴cos<0，∴原式＝＝|cos|＝－cos.3.已知cos2α－cos2β＝a，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于()A．－B．C．－a D．a【答案】C【解析】法一：sin(α＋β)sin(α－β)＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)＝sin2αcos2β－cos2αsin2β＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)＝cos2β－cos2α＝－a，故选C.法二：原式＝－(cos2α－cos2β)＝－(2cos2α－1－2cos2β＋1)＝cos2β－cos2α＝－a.4.若cos2α＝m(m≠0)，则tan＝________.【答案】【解析】∵cos2α＝m，∴sin2α＝±，∴tan＝＝＝.5.求sin42°－cos12°＋sin54°的值．【答案】【解析】sin42°－cos12°＋sin54°＝sin42°－sin78°＋sin54°＝－2cos60°sin18°＋sin54°＝sin54°－sin18°＝2cos36°sin18°＝＝＝＝＝.6.给出下列三个等式f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(x＋y)＝，下列函数中不满足其中任何一个等式的是()A．f(x)＝3x B．f(x)＝sin xC．f(x)＝logx D．f(x)＝tan x2【答案】B【解析】对选项A，满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，对选项C，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，对选项D，满足f(x＋y)＝，故选B.7.的值为()A．2＋B．C．2－D．【答案】C【解析】sin6°＝sin(15°－9°)＝sin15°cos9°－cos15°sin9°，cos6°＝cos(15°－9°)＝cos15°cos9°＋sin15°sin9°，∴原式＝tan15°＝tan(45°－30°)＝＝2－，故选C.8.已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ的值为()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵α是锐角，cosα＝，故sinα＝，tanα＝∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝.9.已知sinα＝，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tanβ的值是() A．－7B．7C．－D．【答案】B【解析】由sinα＝，α为第二象限角，得cosα＝－，则tanα＝－.∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝7.10.若a＝tan20°，b＝tan60°，c＝tan100°，则＋＋＝()A．－1B．1C．－D．【答案】B【解析】∵tan(20°＋100°)＝，∴tan20°＋tan100°＝－tan60°(1－tan20°tan100°)，即tan20°＋tan60°＋tan100°＝tan20°·tan60°·tan100°，∴＝1，∴＋＋＝1，选B.11.如果tan＝2010，那么＋tan2α＝______.【答案】2010【解析】∵tan＝2010，∴＋tan2α＝＋＝＝＝＝tan＝2010.12.若π<α<，化简＋.【答案】－cos【解析】∵π<α<，∴<<，∴cos<0，sin>0.∴原式＝＋＝＋＝－＋＝－cos.13. cos75°cos15°－sin255°sin15°的值是()A．0B．C．D．－【答案】B【解析】原式＝cos75°·cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝.14.已知0<α<<β<π，cosα＝，sin(α＋β)＝－，则cosβ的值为() A．－1B．－1或－C．－D．±【答案】C【解析】∵0<α<， <β<π，∴<α＋β<π，∴sinα＝，cos(α＋β)＝－，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝×＋×＝－，故选C.15. cos＋sin的值为()A．－B．C．D．【答案】B【解析】∵cos＋sin＝2＝2＝2cos＝2cos＝.16.＝________.【答案】【解析】＝cos cos－sin sin＝cos cos＋sin sin＝cos＝cos＝.17.已知α、β为锐角，且tanα＝，tanβ＝，则sin(α＋β)＝________.【答案】【解析】∵α为锐角，tanα＝，∴sinα＝，cosα＝，同理可由tanβ＝得，sinβ＝，cosβ＝.∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝.18.函数y＝cos x＋cos的最大值是________．【答案】【解析】法一：y＝cos＋cos＝cos·cos＋sin sin＋cos＝cos＋sin＝＝cos＝cos≤.法二：y＝cos x＋cos x cos－sin x sin＝cos x－sin x＝＝cos，当cos＝1时，y＝.max19.已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值．【答案】－.【解析】∵<β<α<，∴π<α＋β<，0<α－β<.∴sin(α－β)＝＝＝.∴cos(α＋β)＝－＝－＝－.则sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－.20.在△ABC中，若sin A＝，cos B＝，求cos C.【答案】【解析】∵0<cos B＝<，且0<B<π.∴<B<，且sin B＝.又∵0<sin A<<，且0<A<π，∴0<A<或π<A<π.若π<A<π，则有π<A＋B<π，与已知条件矛盾，∴0<A<，且cos A＝.∴cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sin A sin B－cos A cos B＝×－×＝.[点评]本题易忽视对角范围的讨论，直接由sin A＝得出cos A＝±，导致错误结论cos C＝或.。
三角恒等变换(测试题及答案)
三角恒等变换(测试题及答案)三角恒等变换测试题第I卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.求cos24cos36-cos66cos54的值。
A。
0.B。
1/2.C。
1/4.D。
1/82.已知tan(α+β)=3，tan(α-β)=5，则tan(2α)的值为：A。
1/2.B。
2/3.C。
3/4.D。
4/53.函数y=sin(x)+cos(x)的最小正周期为：A。
π。
B。
2π。
C。
4π。
D。
π/24.已知等腰三角形顶角的余弦值等于4/5，则这个三角形底角的正弦值为：A。
3/5.B。
4/5.C。
5/6.D。
5/45.α,β都是锐角，且sin(α)=1/3，cos(α+β)=-1/2，则sin(β)的值是：A。
-2/3.B。
-1/3.C。
1/3.D。
2/36.已知-x<π/3且cos(-x)=-√3/2，则cos(2x)的值是：A。
-7/24.B。
-1/8.C。
1/8.D。
7/247.函数y=sin(x)+cos(x)的值域是：A。
[0,1]。
B。
[-1,1]。
C。
[-1/2,1/2]。
D。
[1/2,√2]8.将y=2sin(2x)的图像向左平移π/4个单位，得到y=3sin(2x)-cos(2x)的图像，只需将y=2sin(2x)的图像：A。
向右平移π/4个单位。
B。
向左平移π/4个单位C。
向右平移π/2个单位。
D。
向左平移π/2个单位9.已知等腰三角形顶角的正弦值等于4/5，则这个三角形底角的余弦值为：A。
3/5.B。
4/5.C。
5/6.D。
5/410.函数y=sin(x)+3cos(2x)的图像的一条对称轴方程是：A。
x=π/4.B。
x=π/6.C。
x=π/2.D。
x=π/3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上）11.已知α,β为锐角，cosα=1/10，cosβ=1/5，则α+β的值为__ π/6 __。
12.在△ABC中，已知tanA,tanB是方程3x^2-7x+2=0的两个实根，则tanC=__ 1/2 __。
三角恒等变换含答案
三角恒等变换一、单选题1．已知α是第二象限角，tan()74πα-=-，则sin()3πα+=（ ）A B C D 2．已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ）A ．19-B C ．19D ． 3．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形。
如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于（ ）A ．45B ．725C ．725-D ．354．已知锐角α满足3cos()65πα+=，则sin(2)3πα+=（ ） A ．1225B ．1225±C ．2425D ．2425±5．sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A B C D6．已知22ππαβ--＜＜，sin 2cos 1αβ-=，2cos sin αβ+=则3s i n πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （ ）A ．3B ．3C ．3±D ．3±7．若,αβ都是锐角，且cos 5α=，3sin()5αβ+=，则cos β= （ ）A B C D 8．已知方程x 2+3ax +3a +1=0（a ＞1）的两根分别为tanα，tanβ，且22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，，则α+β=（ ）. A ．34π或34π-B ．4π-或4πC ．4π D ．34π-9．已知角,αβ均为锐角，且cos αβ==αβ-的值为（ ） A ．3πB ．4π C ．4π-D ．4π或4π-10．已知 πsin()4α+=，则 3πsin()4α-的值为 ( )．A ．B ．2C ．－12D ．1211．已知函数()212cos 2f x x x =+-，若其图象是由sin 2y x =图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位得到，则ϕ的最小值为（ ） A ．6πB ．56π C ．12πD ．512π 12．已知函数()sin sin 3f x x x =-，[0,2]x πÎ，则()f x 的所有零点之和等于（ ） A ．5πB ．6πC ．7πD ．8π13．若函数()sin cos f x a x b x =+在3x π=处取得最大值4，则ab=（ ）A ．1B C ．2D ．314．已知函数()sin f x a x x =-图象的一条对称轴为6x π=-，若()()124f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为（ ）A ．3π B ．πC ．23π D ．43π二、填空题15．计算：tan 20tan 40tan120tan 20tan 40++=_______________.16．cos102cos20cos10-⋅=____________． 17．已知()2sin 3αβ+=，()2sin 5αβ-=，则tan tan αβ的值为__________；18．已知αβ，均为锐角，1sin())663ππαβ-=+=，cos()αβ+=________. 19．函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________. 20．若奇函数()f x 在其定义域R 上是单调减函数，且对任意的R x ∈，不等式()()cos2sin sin 0f x x f x a ++-≤恒成立，则a 的最大值是_____．21．已知等腰三角形顶角的余弦值为725-，则这个三角形底角的正切值．．．为______ 22．o o oosin58+cos60sin2cos2=____________.23．已知π1sin cos 63αα⎛⎫--=⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．24．设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则sin 2θ=______．25．若函数2()4sin sin cos 2(0)42x f x x x πωωωω⎛⎫=⋅++>⎪⎝⎭在2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ω的取值范围是____________.26．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，ABC ∆外的地方种草，ABC ∆的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花，若BC a =，ABC θ∠=，设ABC ∆的面积为1S ，正方形PQRS 的面积为2S ，当a 固定，θ变化时，则12S S 的最小值是__________．27．已知函数()()()cos sin sin cos f x a x b x =-没有零点，则22a b +的取值范围是_______三、解答题 28．（1cos103sin10-；（2）求值tan 70tan 503tan 70tan 50+-= 29．已知()222x x x f x sincos sin a ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭ （1）求实数a 的值；（2）若443f f ππαα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2141tan παα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+的值． 30．（1）已知51sin π123α⎛⎫+=⎪⎝⎭，求πsin 12α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． （2）已知角α的终边过点()43P ,-，β为第三象限角，且4tan 3β=，求()c o s αβ-的值.31．（1）求值: sin 7cos15sin8cos7sin15sin8︒+︒︒︒-︒︒；（2）已知10sin cos ,25x x x π-<<+=，，求sin cos x x -的值. 32．已知1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，且,(0,)αβπ∈，求2αβ-的值 33．已知32ππα<<，32ππβ<<，sin α=，cos β=αβ-的值. 34．已知α，β为锐角，且17cos α=，()1114cos αβ+=-．求sinβ的值． 35．计算（1）已知2sin cos 0αα-=，求sin cos sin cos sin cos sin cos αααααααα-+++-的值； （2）求()214cos 102sin10︒+︒-︒的值. 36．已知2sin cos 3αα+=，且2παπ<<，求下列各式的值（1）sin cos αα-（2）cos()24sin()4πααπα+++37．已知sin(2)7αβ-=11cos(2)14αβ-=-， 042ππβα<<<<，(1)求tan(2)αβ-的值； (2)求cos()αβ+以及αβ+的值38．计算（1）23sin12(4cos 122)--； （240sin 50(13tan10).701cos 40+++39．已知函数2()2cos cos cos .22x xf x x x =+ (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.40．已知函数2()sinsin 1(02f x x x x πωωωω⎫⎛⎫=+⋅+-> ⎪⎪⎝⎭⎭的相邻两条对称轴之间的距离为2π． （1）求ω的值；（2）当,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 41．如图，OPQ 是半径为2，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的一动点，记COP θ∠=，四边形OPCQ 的面积为S ．（1）找出S 与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S 最大，并求出这个最大值．42．已知函数2()sin cos (0)f x x x x =>ωωωω的最小正周期为2π， （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若函数()()g x =f x +m 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上有两个零点，求实数m 的取值范围. 43．为迎接2020年奥运会，某商家计划设计一圆形图标，内部有一“杠铃形图案”（如图阴影部分），圆的半径为1米，AC ，BD 是圆的直径，E ，F 在弦AB 上，H ，G 在弦CD 上，圆心O 是矩形EFGH 的中心，若23EF =米，2AOB θ∠=，5412ππθ≤≤.（1）当3πθ=时，求“杠铃形图案”的面积；（2）求“杠铃形图案”的面积的最小值.参考答案1．C 【解析】 由tan 74πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得171tan tan αα-=-+，解得34tan α=-. 又α是第二象限角，可得34sin ,cos 55αα==-.则314sin 333525sin cos cos sin πππααα⎛⎫+=+=⨯-= ⎪⎝⎭. 故选C. 2．D 【解析】分析：由二倍角公式得cos 3πθ⎛⎫+⎪⎝⎭，再由5cos ?cos sin 6323ππππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结合同角三角函数关系可得解.详解：由2sin 263θπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，得28112sin 12699θπ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭，即1cos 39πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由θ为锐角，且1cos 039πθ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，所以3πθ+因为锐角，所以sin 03πθ⎛⎫+> ⎪⎝⎭.5cos cos sin 6323ππππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选D.点睛：解决三角变换中的给值求值问题时，一定要注意先化简再求值，同时要注意所给条件在解题中的整体作用． 3．B 【解析】 【分析】根据两个正方形的面积求出两个正方形的边长,进而用三角函数表示边长求出三角函数值,再利用二倍角公式求解即可. 【详解】由大正方形面积为25,小正方形面积为1.易得大正方形边长为5,小正方形边长为1.由图有15cos 5sin 1cos sin 5θθθθ-=⇒-=,故221cos sin 5cos sin 1θθθθ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩ ,因为较小的锐角为θ,故4cos 53sin 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故2247cos 22cos 121525θθ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭ 故选：B 【点睛】本题主要考查了由图像求解三角函数值的问题,需要根据图像到三角函数的关系式再求解,属于中等题型. 4．C 【解析】 【分析】利用诱导公式，求得sin()6πα+的值，再利用倍角公式，即可求解.【详解】因为锐角α满足3cos()65πα+=，所以6πα+也是锐角，由三角函数的基本关系式可得4sin()65πα+==， 则24sin(2)2sin()cos()36625πππααα+=++=，故选C. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5．B 【解析】 【分析】根据sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭和0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得到sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭和cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，将所求的cos α转化为cos 33ππα⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角和的余弦公式，得到答案.【详解】因为sin 33πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以sin 33πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 33πα⎛⎫-==⎪⎝⎭， 所以cos cos 33ππαα⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 3333ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12⎛=- ⎝⎭36+=. 故选：B. 【点睛】本题考查同角三角函数关系，两角和的余弦公式，属于简单题. 6．B 【解析】 【分析】两式平方相加利用两角和与差的公式可化为()54sin 3αβ--=，再根据22ππαβ-<-<得出6παβ=+，代入2cos sin αβ+=.【详解】将两个等式两边平方可得2222sin 4sin cos 4cos 1cos 4cos sin 4sin 2ααββααββ⎧-⋅+=⎨+⋅+=⎩， 两式相加可得()54sin 3αβ--=，所以()1sin 2αβ-=， 22ππαβ-<-<，6παβ∴-=，即6παβ=+，代入2cos sin αβ+=3sin 2ββ+=，所以sin 63πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，需熟记两角和与差的公式以及常见的三角函数值，属于中档题. 7．A 【解析】 【分析】先计算出()cos αβ+，再利用余弦的和与差公式，即可. 【详解】因为,αβ都是锐角，且1cos 2α=<，所以,32ππα<<又()31sin 52αβ+=>，所以2παβπ<+<，所以()4cos 5αβ+==-sin α==，cos β=()()()cos cos cos sin sin αβααβααβα+-=+++ 25=，故选A.【点睛】本道题考查了同名三角函数关系和余弦的和与差公式，难度较大。
三角恒等变换(含答案)
2
4
4
4
从而 sin
−
4
=
−
4 5
，因此
tan
−
4
=
−
4 3
．故填
−
4 3
．
评注：此处的角还可由 cos
−
4
=
3 5
缩小至 2k +
2
−
4
2k
+
7 4
(k
Z)
，但没必要．
另外，还可利用
tan
−
π 4
tan
+
π 4
=
−1 来进行处理，或者直接进行推演，即由题意
cos
+
4
4
5
（A） 7 25
（B） 1 5
（C） − 1 5
（D） − 7 25
【解析】因为
cos
π 4
−
=
3 5
，
2 (cos + sin ) = 3，所以 cos + sin = 3
2
5
5
2 ，两边平方得，
1+sin 2 = 18 sin 2 = 7 ．故选 D．
25
25
2
解法二：
cos 2
4
= − 1 ．选 A 2
2
1+
cos
2
22
2
2
2
4．【2010 新课标文 10】若 sin = − 4 ， 是第三象限的角，则 sin( + ) = （ ）
5
4
（A） − 7 2 10
（B） 7 2 10
（C） − 2 10
新高考数学计算题型精练 三角恒等变换(解析版)
新高考数学计算题型精练三角恒等变换1．cos70cos20sin70sin160︒︒-︒︒=（）A．0B．12C D．1【答案】A【详解】cos20cos70sin160sin70︒︒-︒︒()cos20cos70sin18020sin70=︒︒-︒-︒︒cos20cos70sin20sin70=︒︒-︒︒()cos2070cos900=︒+︒=︒=．故选：A．2．sin40°cos10°+cos140°sin10°＝（）A B C．﹣12D．12【答案】D【详解】sin40°cos10°+cos140°sin10°，=sin40°cos10°-cos40°sin10°，=sin（40°-10°），=sin30°＝12.故选：D3．sin20cos40cos20sin140︒︒︒︒+=A．B．2C．12-D．12【答案】B【详解】sin20cos40cos20sin140sin20cos40cos20sin40sin(2040)sin60︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒故选B4．已知π1cos63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πsin26α⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A．79-B．79C．3-D．3【答案】A【详解】因为π1 cos63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，故2πππππ27sin 2sin 2()cos 2()2cos ()116626699αααα⎛⎫⎡⎤+=-+=-=--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：A 5．若cos tan 3sin ααα=-，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．23B ．13C ．89D ．79【答案】D【详解】因为cos tan 3sin ααα=-，所以sin cos cos 3sin αααα=-，即223sin sin cos ααα-=，所以223sin sin cos 1ααα=+=，即1sin 3α=，所以27sin 2cos212sin 2π9ααα⎛⎫+==-= ⎪⎝⎭，故选：D ．6．sin 20cos 40sin 70sin 40︒︒+︒︒=（）AB ．12C．2D ．1【答案】A【详解】已知可化为：()sin 20cos 40cos 20sin 40sin 20402︒︒︒+︒=︒+︒=.故选：A7．若πtan 28α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】D【详解】由2π2tan()π448tan 2π41431tan ()8ααα-⎛⎫-===- ⎪-⎝⎭--.故选：D8．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π2sin 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A ．34-B ．34C ．1-D ．1【答案】B【详解】π2sin(4αα=+Q，)22(sin cos )2cos sin αααα=+-Q,1(cos sin )(cos sin )02αααα∴+--=，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0αα>>，即cos sin 0αα+>所以1cos sin 2αα-=，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2(0,π)α∈，sin 20α>.由1cos sin 2αα-=平方可得11sin 24α-=，即3sin 24α=，符合题意.综上，3sin 24α=.故选：B.9．已知5π4sin 125θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 23θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【答案】C【详解】5ππππ4sin sin cos 12212125θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以22πππ47cos 2cos 22cos 1216612525θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得ππππ7sin 2sin 2cos 2326625θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C.10．已知tan 2α=，则213cos sin2αα-=（）A ．12B ．14C ．2D ．4【答案】A【详解】因为tan 2α=，所以222213cos sin 2cos tan 221sin22sin cos 2tan 42αααααααα---====，故选：A.11．化简：()22sin πsin 22cos 2ααα-+=（）A ．sin αB ．sin 2αC ．2sin αD ．sin2α【答案】C【详解】根据题意可知，利用诱导公式可得()222sin πsin 22sin sin 22cos 2cos 22αααααα-++=再由二倍角的正弦和余弦公式可得()()222sin 1cos 2sin 1cos 2sin sin 22sin 1cos 2cos2cos22αααααααααα+++===+，即()22sin πsin 22sin 2cos2αααα-+=.故选：C12．cos78cos18sin 78sin18︒︒+︒︒的值为（）A ．12B ．13CD【答案】A【详解】依题意由两角差的余弦公式可知，()1cos78cos18sin 78sin18cos 7818cos602︒︒+︒︒=︒-︒==.故选：A13．若tan 2θ=-，则()()()πsin 1sin22sin πcos πθθθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-++____________【答案】35-/-0.6【详解】()()()()22πsin 1sin2cos sin cos 2cos sin cos sin πcos πsin cos θθθθθθθθθθθθ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭==--++-22222tan 1213cos sin 1tan 1(2)5cossin cos θθθθθθ-=---===-+++-，故答案为：35-14．已知ππ2θ<<，且4cos 5θ=-，则tan 2θ=______．【答案】247-【详解】4cos 5θ=-，3sin 5θ==±，ππ2θ<< ，3sin 5θ∴=.sin 3tan cos 4θθθ∴==-,232tan 242tan 291tan 7116θθθ-===---.故答案为：247-.15．已知cos 24π7sin 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则sin 2α的值是______．【答案】4149【详解】22cos 2442cos sin π777sin 422αααα=⇒⇒-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭228841cos 2sin cos sin 1sin 2sin 2494949αααααα⇒-+=⇒-=⇒=，故答案为：414916．已知()0,απ∈，若sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________.【答案】3±【详解】因为sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,απ∈，所以cos 6πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以sin 2=2sin cos =6663πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫---±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以cos 2cos 2cos 2sin 2=6326263ππππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=--± ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.故答案为：17．若3,0,sin 25⎛⎫∈-=- ⎪⎝⎭x x π，则tan 2x =________.【答案】247-【详解】343,0,sin cos ,tan 2554x x x x π⎛⎫∈-=-∴==-⎪⎝⎭Q 232tan 242tan 291tan 7116x x x -∴===---故答案为：247-18．已知(),2αππ∈，cos 3sin 1αα-=，则cos 2α=_______________________．【答案】【详解】因为(),2αππ∈，所以,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由cos 3sin 1αα-=可得212sin 6sin cos 1222ααα--=，整理可得sin 3cos 22αα=-，22sin 3cos 22sin cos 12222ααααπαπ⎧=-⎪⎪⎪+=⇒⎨⎪⎪<<⎪⎩cos 2α=故答案为：19．若πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则α=__________.【答案】6π/16π【详解】依题意，πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，所以2222tan 1,2tan 1tan 1tan tan ααααα==--，21tan 3α=，而α为锐角，所以πtan 6αα=.故答案为：π620．已知tan 3α=，则sin 2α=______．【答案】35【详解】22222sin cos 2tan 233sin 2sin cos tan 1315ααααααα⨯====+++.故答案为：3521．已知α是第二象限的角，1cos24α=，则tan α=________．【答案】5/【详解】因为21cos 212sin 4αα=-=，又α是第二象限的角，所以6sin 4α=，cos 4α=，所以5tan α=-.故答案为：5-22．已知22cos 5sin 10αα-+=，则cos 2=α______．【答案】12/0.5【详解】解：已知()2222cos 5sin 121sin 5sin 12sin 5sin 30αααααα-+=--+=--+=，即()()22sin 5sin 32sin 1sin 30αααα+-=-+=，解得1sin 2α=或sin 3α=-（舍），211cos 212sin 1242αα∴=-=-⨯=，故答案为：12.23．若tan 2θ=，则sin cos 2cos sin θθθθ=-_________.【答案】65/1.2/115【详解】()()22sin cos sin sin cos 2sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθ-==+--222222sin cos sin tan tan 246sin cos sin sin cos tan 155θθθθθθθθθθθ+++=+====++.故答案为：65.24．函数()sin 2sin 1cos x xf x x=+的值域__________．【答案】14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦【详解】因为()()222221cos cos sin 2sin 2sin cos 11=2cos 2cos 2cos 1cos 1cos 1cos 22x x x x x x f x x x x x x x -⎛⎫===-+=--+ ⎪+++⎝⎭，因为1cos 1x -≤≤，当1cos 2x =时，()f x 取得最大值12，当cos 1x =-时，()f x 取得最小值4-，又因为1cos 0x +≠，所以()f x 的值域为14,2⎛⎤- ⎝⎦．故答案为：14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦.25．已知sin 2cos αα=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan α=________．【详解】sin 2cos 2sin cos αααα==，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 0α≠，1sin 2α=，π6α=，故tan α=26．（1）计算：cos157sin 97sin 60cos 97︒+︒︒︒；（2）已知tan 1α=-，求2cos 2sin cos 1ααα--的值．【答案】（1）12；（2）12【详解】（1）cos157sin 97sin 60cos97︒+︒︒︒()cos 9760sin 97sin 60cos 97︒+︒+︒︒=︒cos 97cos 60sin 97sin 60sin 97sin 60cos 97︒︒-︒︒+︒︒=︒cos 60=︒12=．（2）2cos 2sin cos 1ααα--222cos 2sin cos 1cos sin ααααα-=-+212tan 11tan αα-=-+()()2121111-⨯-=-+-12=．。
高中数学四练习：第三章三角恒等变换二倍角的正弦、余弦、正切公式
第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3。
1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式A级基础巩固一、选择题1．sin 15°sin 75°的值为（)A。
错误! B.错误!C。
错误!D。
错误!解析：原式＝sin 15°cos 15°＝错误!（2sin 15°cos 15°)＝错误!sin 30°＝错误!。
答案：C2．已知sin α＝错误!，则cos （π－2α）＝（）A．－错误!B．－错误! C.错误!D。
错误!解析：因为sin α＝错误!，所以cos （π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin2α）＝－1＋2×错误!错误!＝－19。
答案：B3.错误!等于（）A。
错误!cos 12°B．2cos 12°C．cos 12°－sin 12°D．sin 12°－cos 12°解析:错误!＝错误!＝（sin 12°－cos 12°）2＝|sin 12°－cos 12°|＝cos 12°－sin 12°。
答案：C4．已知cos错误!＝错误!，则sin 2α的值为（)A.错误!B．－错误!C。
错误!D．－错误!解析:因为cos错误!＝错误!，所以sin 2α＝－cos错误!＝－cos错误!＝1－2cos2错误!＝1－错误!×2＝错误!.答案：A5．若α∈错误!，且sin2α＋cos 2α＝错误!，则tan α的值等于（) A。
错误!B。
错误! C.错误! D.错误!解析:因为sin2α＋cos 2α＝错误!，所以sin2α＋cos2α－sin2α＝cos2α＝错误!所以cos α＝±错误!。
又α∈错误!，所以cos α＝错误!，sin α＝错误!.所以tan α＝错误!.答案：D二、填空题6．已知tan α＝－错误!，则错误!＝________．解析:错误!＝错误!＝错误!＝tan α－错误!＝－错误!。
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.．【答案】【解析】故答案为：．【考点】两角和与差的三角公式．2.若函数在区间上单调递增，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意，，令，在区间上，，单调递增，，所以；【考点】1．导数与单调性；2．化归的思想；3.函数在内是（）A．增函数B．减函数C．有增有减D．不能确定【答案】A【解析】函数，可得，所以函数在内是增函数．故选：A．【考点】利用导数研究函数的单调性．4.（12分）．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且tan A＋tan B＝．（1）求角B的大小；（2）若，求sinA·sinC的值．【答案】（1）；（2）【解析】（Ⅰ）已知等式左边利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后根据sinC不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数；（Ⅱ）已知等式去分母整理后得到关系式，利用余弦定理列出关系式，把得出关系式及cosB的值代入，并利用正弦定理化简，即可求出sinAsinC的值试题解析：（Ⅰ）已知等式变形得：sinAcosA+sinBcosB=2sinCcosA，去分母得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosB，即sin（A+B）=2sinCcosB=sinC，∵sinC≠0，∴cosB=12，则B=60°；（Ⅱ）由，整理得：，∵cosB=12，∴，由正弦定理得：sin2B=2sinA·sinC=，则sinA·sinC=【考点】1．同角间三角函数关系；2．正弦定理5.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为．故选D．【考点】三角函数图像变换：周期变换、左右平移．6.已知在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且,则tanC等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】1．余弦定理解三角形；2．同角间三角函数关系7.已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且tan A＋tan B＝．（1）求角B的大小；（2）若＋＝3，求sin Asin C的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意切化弦，同分可得，整理可得，即可求得；（2）根据已知式子同分可得，由余弦定理得到，再结合正弦定理即可得到试题解析：（1）由题意可得：因为，所以，又因为，所以（2）有题意可得：即由余弦定理可得：，得到有正弦定理：【考点】1．正余弦定理；2．化简求值8.（本题满分11分）若的内角所对的边分别为，且满足（1）求；（2）当时，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为正弦定理，所以化为，因为三角形内角有，所以即，所以；（2）由余弦定理，得，而，，得，即，因为三角形的边，所以，则．试题解析：（1）因为由正弦定理，得，又，从而，由于所以（2）解法一：由余弦定理，得，而，，得，即因为，所以，故面积为．解法二：由正弦定理，得从而又由知，所以故，所以面积为．【考点】1．正弦定理与余弦定理；2．三角形的面积公式．9.在中，已知，,则的长为____________________．【答案】【解析】由正弦定理可得【考点】正弦定理解三角形10.（本小题满分10分）在△ABC中，是方程的一个根，（1）求；（2）当时，求△ABC周长的最小值．【答案】（1）（2）【解析】（1）解一元二次方程得到方程的根，结合三角函数有界性得到的值，从而求得大小；（2）由三角形余弦定理结合，可将转化为的表达式，从而求得其最小值，得到周长的最小值试题解析：（1）又是方程的一个根（2）由余弦定理可得：则：当时，c最小且，此时△ABC周长的最小值为．【考点】1．余弦定理解三角形；2．一元二次方程的根11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（b－c）cosA＝acosC，则cosA＝_____【答案】【解析】由正弦定理可将已知条件转化为【考点】正弦定理与三角函数基本公式12.在△ABC中，cosA＝，sinB＝，则cosC的值为．【答案】【解析】由cosA＝，sinB＝得【考点】三角函数基本公式13.在△ABC中，如果，且为锐角，试判断此三角形的形状．【答案】等腰直角三角形．【解析】判定三角形的形状由三角形的三边长或三个角来确定．由可确定．根据正弦定理，可确定角，从而确定三角形的形状．试题解析：因为，所以,又为锐角，所以．，．由正弦定理得：，即展开得：，即，则，所以△ABC是等腰直角三角形．【考点】1．三角形形状；2．正弦定理；14.在△中，分别为角所对的边，若，则此三角形一定是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形【答案】C【解析】,三角形为等腰三角形【考点】1．正弦定理解三角形；2．三角函数基本公式15.在中，、、分别是三内角A、B、C的对应的三边，已知（1）求角C的大小；（2）满足的是否存在？若存在，求角A的大小．【答案】（1）；（2）不存在【解析】（1）由正弦定理将变形可得到关于角C的关系式，进而求得角C的大小；（2）结合角C的大小将变形求解A角，若A角存在则三角形存在试题解析：（1）由正弦定理，得因为由则（2）由（1）知，于是=这样的三角形不存在。
高三数学三角恒等变换试题答案及解析
高三数学三角恒等变换试题答案及解析1.已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将两边平方得，，可得，故选B.【考点】同角基本关系以及二倍角公式.2.已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值是()A．－B．C．－D．【答案】C【解析】cos(α－)＋sinα＝⇒sinα＋cosα＝⇒sin(α＋)＝，所以sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－．3.已知函数f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx－(ω>0)的最小正周期为π．(1)求ω值及f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a＝1，b＝，f()＝，求角C 的大小．【答案】（1）增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)（2）当B＝时，C＝π－－＝；当B＝时，C＝π－－＝．【解析】解：(1)f(x)＝＋sin2ωx－＝sin(2ωx＋)．∵T＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝sin(2x＋)，增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．(2)∵f()＝sin(A＋)＝，角A为△ABC的内角且a<b，∴A＝．又a＝1，b＝，∴由正弦定理得＝，也就是sinB＝＝×＝．∵b>a，∴B＝或B＝，当B＝时，C＝π－－＝；当B＝时，C＝π－－＝．4.已知α，β∈(0，)，满足tan(α＋β)＝4tanβ，则tanα的最大值是()A．B．C．D．【答案】B【解析】tanα＝tan[(α＋β)－β]＝＝≤＝，当且仅当tanβ＝时等号成立．5.在中，若分别为的对边，且，则有（）A．a、c、b成等比数列B．a、c、b成等差数列C．a、b、c成等差数列D．a、b、c成等比数列【答案】D【解析】由已知得，，故，又，而，故，所以，故，从而a、b、c成等比数列．【考点】1、两角和与差的余弦公式；2、二倍角公式；3、正弦定理.6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，b sin＝a+c sin，则C= .【答案】【解析】由已知得，所以，由，应用正弦定理，得，.整理得，即，由于，从而，又，故.【考点】1正弦定理；2正弦两角和差公式。
数学课程三角恒等变换练习题及答案
数学课程三角恒等变换练习题及答案1. 练习题1.1 简单练习题1. 计算下列三角函数值，并化简为有理数：(1) sin 30°(2) cos 45°(3) tan 60°2. 利用三角恒等变换证明以下等式：(1) sin^2 x + cos^2 x = 1(2) 1 + tan^2 x = sec^2 x3. 使用三角恒等变换求解以下方程：(1) sin 2x = 0.5(2) cos 2x - sin 2x = 01.2 提高练习题1. 利用三角恒等变换化简下列表达式：(1) cos x + sin x + 1 - cos x(2) cot^2 x + 1 - csc^2 x2. 解下列方程：(1) 2 sin^2 x - 3 cos x - 1 = 0(2) tan^2 x + sec x = 22. 答案2.1 简单练习题答案1.(1) sin 30° = 1/2(2) cos 45° = 1/√2(3) tan 60° = √32. 证明以下等式：(1) 三角恒等变换：sin^2 x + cos^2 x = 1证明：根据三角恒等变换公式 sin^2 x + cos^2 x = 1代入 sin x = cos (90° - x)，可得：cos^2 (90° - x) + cos^2 x = 1sin^2 x + cos^2 x = 1(2) 三角恒等变换：1 + tan^2 x = sec^2 x证明：根据三角恒等变换公式 1 + tan^2 x = sec^2 x代入 tan x = sin x / cos x，可得：1 + (sin x / cos x)^2 = (1 / cos x)^21 + sin^2 x / cos^2 x = 1 / cos^2 x(cos^2 x + sin^2 x) / cos^2 x = 1 / cos^2 x1 / cos^2 x = 1 / cos^2 x2.2 提高练习题答案1. 化简以下表达式：(1) cos x + sin x + 1 - cos x= sin x + 1(2) cot^2 x + 1 - csc^2 x= (cos^2 x / sin^2 x) + 1 - (1 / sin^2 x)= (cos^2 x + sin^2 x) / sin^2 x= 1 / sin^2 x2. 解以下方程：(1) 2 sin^2 x - 3 cos x - 1 = 0首先，利用三角恒等变换将方程中的 cos x 表示为 sin x：2 (1 - cos^2 x) - 3 cos x - 1 = 02 - 2 cos^2 x -3 cos x - 1 = 0-2 cos^2 x - 3 cos x + 1 = 0然后，令 t = cos x，将方程转化为关于 t 的二次方程：-2 t^2 - 3 t + 1 = 0解这个二次方程可得 t = -1 或 t = 1/2。
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.在中，已知，且，则的轨迹方程（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由正弦定理得：所以点轨迹是以为焦点，实轴长为4,的双曲线的左支；故选B2.（9分）.求证：△ABC是等边三角形的充要条件是，这里是的三条边。
【答案】略【解析】略3.已知函数,则要得到其导函数的图象,只需将函数的图象( ) A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】 C【解析】略4.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】C【解析】由图可知则，又，结合可知，即，为了得到的图象，只需把的图象上所有点向右平移个单位长度．【考点】函数图象、图象的平移．5.化为弧度是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】．故选B．【考点】角度制化弧度制．6.在中，若，，的面积为，则= ．【答案】【解析】，，，．【考点】余弦定理．7.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为．故选D．【考点】三角函数图像变换：周期变换、左右平移．8.在△ABC中，若lg sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，则△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】,，，．是等腰三角形．故A正确．【考点】1正余弦定理；2两角和差公式．9.．三角形ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b是方程x2－2x＋2＝0的两根，且2cos（A＋B）＝1．（1）求角C的度数；（2）求c；（3）求△ABC的面积．【答案】（1）120°；（2）；（3）【解析】（1）已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简求出A+B的值，进而确定出C的值；（2）由a、b是方程x2－2x＋2＝0的两根，利用韦达定理表示出a+b与ab，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形后，将a+b与ab的值代入计算即可求出c的值；（3）由ab及sinC的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积试题解析：（1）∵2cos（A＋B）＝1，∴cosC＝－．∴角C的度数为120°（2）∵a、b是方程x2－2x＋2＝0的两根，∴a＋b＝2，ab＝2，c2＝a2＋b2－2abcosC＝（a＋b）2－2ab（cosC＋1）＝12－2＝10．∴c＝（3）S＝absinC＝【考点】1．余弦定理；2．两角和与差的余弦函数；3．正弦定理10.（本大题满分10分）在锐角△ABC中，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）当时，求面积的最大值．【答案】（Ⅰ）60°；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由利用两角和与差的三角函数展开可求sin A，进而可求A（Ⅱ）由题 a=2，结合余弦定理，利用基本不等式可求bc的范围，进而可求三角形面积的最大值试题解析：（Ⅰ）因为cosB＋cos（A－C）＝sin C，所以－cos （A＋C）＋cos （A－C）＝sin C，得2sin A sin C＝sinC，故sin A＝．因为△ABC为锐角三角形，所以A=60°．（Ⅱ）解：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由题意知 a＝2，由余弦定理得4＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc≥bc，所以△ABC面积＝bcsin60°≤，且当△ABC为等边三角形时取等号，所以△ABC面积的最大值为．【考点】1．两角和与差的余弦函数；2．余弦定理11.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度__________m．【答案】【解析】设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h．设此山高h（m），则，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．根据正弦定理得【考点】解三角形的实际应用12.在中,内角对边的边长分别是．已知．（Ⅰ）若的面积等于,求;（Ⅱ）若,求的面积．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，又因为的面积等于，得，联立方程组，即可求出结果；（Ⅱ）由题意得，即，分和两种情况讨论，即可求解．试题解析:（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，又因为的面积等于，所以，得．联立方程组解得，．（Ⅱ）由题意得，即，当时，，，，，当时，得，由正弦定理得，联立方程组解得，．所以的面积．【考点】1．余弦定理；2．正弦定理．13.数列{a}为等差数列，若a＋a＝，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】为等差数列，所以，所以，故正确选项为D．【考点】1、等差数列性质的运用；2、角的正切值．14.在△中，如果，，，那么△的面积等于．【答案】或【解析】由得或，所以或，所以三角形面积为或【考点】1．正弦定理解三角形；2．三角形面积公式15.在△中，分别为角所对的边，若，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】1．正弦定理解三角形；2．三角函数基本公式16.设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2bsinA．（1）求B的大小；（2）若a＝3，c＝5，求b．【答案】（1）（2）【解析】（1）由于锐角△ABC中，a=2bsinA，利用正弦定理将等式两边的边化成相应角的正弦即可；（2）由（1）得B=30°，又，c=5，利用余弦定理可求得b，试题解析：（1）由a＝2bsinA，得sinA＝2sinBsinA，所以sinB＝．由△ABC为锐角三角形，得B＝．（2）根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2acosB＝27＋25－45＝7，所以b＝．---6分【考点】正余弦定理解三角形17.已知点 D 为ΔABC 的边 BC 上一点．且 BD =2DC，∠ACD=30°，AD =．求：（I）求CD的长；（II）求ΔABC的面积．【答案】（I）2；（II）．【解析】（I）直接根据正弦定理求解即可；（II）利用两角和的正弦公式求得的值，利用面积公式求得的值，再由求得结果．试题解析：解：（I）因为,所以．在中,,根据正弦定理有所以．（II）由，可得．又在中,,．所以,所以．【考点】1、正弦定理；2、两角和的正弦公式；3、三角形的面积公式．18.（2011•韶关一模）已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A等于（）A．135° B．45° C．135°或45° D．60°【答案】B【解析】结合已知条件a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，可求出sinA，结合大边对大角可求得A解：a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，a＜b A＜B=60°A=45°故选B【考点】正弦定理．19.在中，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】余弦定理解三角形20.ΔABC中，角的对边分别是，a=1，b=，∠A=30°，则∠B等于A．60°B．60°或120°C．120°D．无解【答案】B【解析】由正弦定理得【考点】正弦定理解三角形21.（2015秋•福建期末）已知函数f（x）=（sin2x﹣cos2x+）﹣sin2（x﹣），x∈R．（1）求函数f（x）的弹道递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1，b=2，求△ABC的面积的最大值．【答案】（1）函数f（x）的单调递增区间[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）△ABC的面积的最大值为．【解析】（1）f（x）解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的单调性确定出f（x）的递增区间即可；（2）f（B）=1，求出B的度数，利用余弦定理列出关系式，把b，cosB的值代入，并利用基本不等式求出ac的最大值，即可确定出三角形面积的最大值．解：（1）f（x）=（﹣cos2x）﹣[1﹣cos（2x﹣）]=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，得到kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则函数f（x）的单调递增区间[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）由f（B）=1，得到sin（2B﹣）=1，∴2B﹣=，即B=，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即4=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac，即ac≤4，∴S=acsinB=ac≤，△ABC则△ABC的面积的最大值为．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．22.某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是（）A．15km B．30km C．15 km D．15km【答案】A【解析】如图所示，设灯塔位于A处，船开始的位置为B，航行45海里后处C处，根据题意算出∠BAC和∠BAC的大小，在△ABC中利用正弦定理计算出AC长，可得该时刻船与灯塔的距离．解：设灯塔位于A处，船开始的位置为B，航行45km后处C处，如图所示∠DBC=60°，∠ABD=30°，BC=45∴∠ABC=60°﹣30°=30°，∠BAC=180°﹣60°=120°．△ABC中，由正弦定理，可得AC===15（km）．即船与灯塔的距离是15（km）．故选：A【考点】正弦定理的应用；余弦定理．23.已知，则（）A．B．C．2D．【答案】B【解析】由于得所以故选B.【考点】同角三角函数基本关系式与诱导公式.24.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝（）A．B．C．－D．－【答案】A【解析】由正弦定理得，又，所以，所以．故选A．【考点】正弦定理，同角间的三角函数关系．25.在中，，则边上的高所在直线方程为________．【答案】【解析】由题意得，直线的斜率为，所以边上的高所在直线的斜率为，由直线的点斜式方程可知边上的高所在直线方程为，整理得．【考点】两直线的位置关系及直线方程的求解．26.设a＞0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），那么sinα+2cosα的值等于．【答案】﹣【解析】试题分析:利用任意角三角函数定义求解．解：∵a＞0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），∴x=﹣3a，y=4a，r==5a，∴sinα+2cosα==﹣．故答案为：﹣．【考点】任意角的三角函数的定义．27.在中，若，那么一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．形状不确定【答案】B【解析】由，则，所以角都为锐角，又，得，即，又，所以，所以角为钝角，所以三角形为钝角三角形，故选B.【考点】三角函数的基本关系式及三角函数的恒等变换.28.已知函数 .（1）求的最大值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用辅助角公式，化简，即可求解的最大值；（2）由，得，平方即可求解的值.试题解析：（1）的最大值为.（2），即，，【考点】三角函数的性质及三角函数的化简求值.29.化简（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，故选A．【考点】三角函数的基本关系式．30.已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B＋bsin A＝c.（1）求角A的大小；（2）若a＝1，＝3，求b＋c的值．【答案】（1）（2）2＋.【解析】（1）先由正弦定理将变化为角：sin Acos B＋sin Bsin A＝sinC，再利用诱导公式得sin Acos B＋sin Bsin A＝sin (A＋B)，由两角和正弦公式得sin BsinA＝cos Asin B，所以tan A＝，故A＝.（2）先由向量数量积得bccos＝3，即bc＝2，再由余弦定理得：1＝b2＋c2－2bccos，两者结合得b＋c＝2＋.试题解析：解（1）由acos B＋bsin A＝c，得sin Acos B＋sin Bsin A＝sin (A＋B)，即sin BsinA＝cos Asin B，所以tan A＝，故A＝.（2）由＝3，得bccos＝3，即bc＝2，①又a＝1，∴1＝b2＋c2－2bccos，②由①②可得(b＋c)2＝7＋4，所以b＋c＝2＋.【考点】正余弦定理，诱导公式31.中，已知,的平分线把三角形分成面积为的两部分，则等于 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为的平分线把三角形分成面积为的两部分，，即，又，所以，由正弦定理得，所以,故选A.【考点】1.三角形内角平分线性质定理；2.正弦定理；3.二倍角公式.32.的三边分别是，，，则的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】C【解析】由题意得，设边长分别为，由余弦定理，得，所以为钝角，所以为钝角三角形，故选C．【考点】余弦定理的应用．33.已知函数，其中，若对x∈R恒成立，且，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】若对x∈R恒成立,所以，即，又，所以或，当时，，不任命题意，当时，，符合题意，所以，故选C．【考点】三角函数和图象与性质．34.将函数的图像向右平移单位得到函数的图像，则A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，若时，，故选D.【考点】三角函数图像平移.35.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sin（ωx）的图象，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称【答案】A【解析】由条件利用正弦函数的周期性，以及正弦函数的图象的对称性，得出结论．解：由函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，可得=π，求得ω=2，f（x）=sin（2x+φ）．其图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sin（2x）的图象，故有sin[2（x﹣）+φ]=sin2x，故可取φ=，f（x）=sin（2x+）．令2x+=kπ+，k∈Z，求得x=+，故函数f（x）的图象的对称轴方程为x=+，k∈Z．令2x+=kπ，k∈Z，求得x=﹣，故函数f（x）的图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故选：A．36.若，则= .【答案】【解析】令,因,故,所以,故应填.【考点】函数的概念和二倍角公式.37.已知函数（，）的最大值为，且最小正周期为．（Ⅰ）求函数的解析式及其对称轴方程；（Ⅱ）若，求的值．【答案】（Ⅰ）,对称轴为（）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）运用等价转化的方法将问题进行转化与化归；（Ⅱ）借助题设条件将复合命题分类转化进行求解.试题解析:（Ⅰ），由题意的周期为，所以，得最大值为，故，又，令，解得的对称轴为（）．（Ⅱ）由知，即，【考点】三角函数的图像和性质及三角变换公式的运用．【易错点晴】本题以函数的最大值和最小正周期为背景,考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质.解答时先从题设中的条件入手,先运用倍角公式将其化简为的形式,再运用所学知识求出其中的参数的值,最后再解决题设中提出的问题即可.需要强调是对称轴的方程是是取得最值的的值,即,学生在求解时很容易错写成从而致错.38.如图，为测得河对岸塔的高，先在河岸上选一点，使在塔底的正东方向上，测得点的仰角为，再由点沿北偏东，方向走10米到位置，测得，则塔的高度为（）A．10米B．米C．米D．米【答案】D【解析】由题设可知,故,运用正弦定理可得,则,所以应选D.【考点】正弦定理及运用．39.函数f（x）=cos2x的周期是．【答案】π【解析】解：f（x）=cos2x，∵ω=2，∴T==π．故答案为：π．【点评】本题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键，是基础题．40.在DABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边.若=2，，则=( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由正弦定理可得，，又，由余弦定理可得，，又，所以.【考点】1.正弦定理；2.余弦定理.41.已知函数．（1）求及的单调递增区间；（2）求在闭区间的最值．【答案】（1）,；（2）最大值为，最小值为．【解析】（1）将原函数由倍角公式和辅助角公式,可得化为,看成整体,利用正弦函数的单调递区间求得此函数的单调增区间；（2）先求出对应的的范围,再进一步得出对应的正弦值的取值,可得函数值的取值范围,可得函数最值.试题解析：（1），则，，单调递增区间，（2）由，则，所以最大值为1，最小值为．【考点】1.三角恒等变换；2.三角函数性质.【知识点睛】本题主要考查辅助角公式及三角函数的性质.对于函数的单调区间的确定,基本思路是把视做一个整体,由解出的范围所得区间即为增区间,由解出的范围,所得区间即为减区间.若函数中,可用诱导公式先将函数变为,则的增区间为原函数的减区间,减区间为原函数的增区间.42.如图，测量河对岸的塔高时，选与塔底在同一水平面内的两个测点与，测得，米，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高．【答案】【解析】在中，由正弦定理，得，在中，．【考点】三角形的实际应用．【方法点晴】本题主要考查了三角形的实际应用问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、直角三角形的性质、三角函数的定义等知识的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题，本题的解答中正确的理解题意，恰当选择三角形，利用正、余弦定理求解是解答的关键．43.已知,,分别为三个内角,,的对边，.（1）求；（2）若,的面积为，求,.【答案】（1）（2）【解析】（1）由正弦定理有，可以求出A；（2）由三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c试题解析：（1）由及正弦定理得由于，所以，又，故.（2）的面积,故，而故，解得.【考点】正余弦定理解三角形44.已知函数．（1）求的单调增区间；（2）若为的一个零点，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）先利用二倍角公式、两角和差的正弦公式将函数表达式转化为的形式，再利用三角函数的性质进行求解；（2）先利用同角三角函数基本关系式求出的余弦值，再利用和两角和的余弦公式进行求解．试题解析：（Ⅰ），所以的最小正周期为，因为函数的单调递增区间是；（Ⅱ），，，．【考点】1．三角恒等变换；2．三角函数的图象与性质．45.在△中，若，则△的形状是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【答案】B【解析】由可得,即,故或,即或,所以是等腰或直角三角形,故应选B.【考点】同角三角函数的关系与正弦定理的综合运用.【易错点晴】本题以三角形的变角之间的关系为背景考查的是三角形形状的判别的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用先将题设条件化为,再运用正弦定理和二倍角公式将其化为,最后得到或,即或,所以是等腰或直角三角形.46.在中，面积，则A．B．7C．55D．49【答案】C【解析】由面积公式得【考点】三角形面积47.已知△ABC中,三内角A.B.C成等差数列,边A.B.C依次成等比数列,则△ABC是（）A.直角三角形B.等边三角形C.锐角三角形D.钝角三角形【答案】B【解析】：∵△ABC中，三内角A.B.C的度数成等差数列，∴A+C=2B，又A+B+C=180°，∴B=60°．又边A.B.c依次成等比数列，∴b2=ac，在△ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB= a2+c2-2accos60°，∴a2+c2-2accos60°=ac，∴（a-c）2=0，∴a=c，∴A=C，又B=60°，∴△ABC为等边三角形【考点】三角形的形状判断48.如图，在凸四边形中，为定点，,为动点，满足.（1）写出与的关系式；（2）设△BCD和△ABD的面积分别为和，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】（Ⅰ）在三角形BCD和三角形BCD中，利用余弦定理表示出BD2，两者相等表示即可得到cosC与cosA的关系式；（Ⅱ）利用三角形面积公式变形出S与T，进而表示出，将第一问表示出的cosA代入得到关于cosC的二次函数，利用二次函数性质即可求出的最大值试题解析：（Ⅰ）连接BD，∵CD=，AB=BC=DA=1，∴在△BCD中，利用余弦定理得：BD2=BC2+CD2-2BC•CDcosC=4-2cosC；在△ABD中，BD2=2-2cosA，∴4-2cosC=2-2cosA，则cosA=cosC-1（II）…由题意易知，,所以当时，有最大值.【考点】余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数间的基本关系49.在中，，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于，根据正弦定理可知，故．又，则的范围为.故本题正确答案为C.【考点】三角形中正余弦定理的运用.50.在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－．（1）求角B的大小；（2）若b＝，a＋c＝4，求的面积．【答案】(1);(2).【解析】(1)借助题设条件运用余弦定理求解；(2)借助题设运用余弦定理和三角形面积公式探求. 试题解析(1)由余弦定理知：cos B＝，cos C＝.将上式代入＝－得：·＝－，整理得：a2＋c2－b2＝－ac.∴cos B＝＝＝－.∵B为三角形的内角，∴B＝.(2)将b＝，a＋c＝4，B＝代入b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B，∴13＝16－2ac，∴ac＝3.∴S＝acsin B＝.△ABC【考点】正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．51.在中,,,，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得【考点】解三角形52.已知的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为________【答案】【解析】设三边为，所以【考点】余弦定理解三角形53.在某海滨城市附近海面有一台风，据测，当前台风中心位于城市（如图）的东偏南方向的海面处，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为，并以的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？【答案】，.【解析】先用参数时间表示出的长度,在从中使用余弦定理求出值,进而得到时间差. 试题解析：解：设经过小时台风中心移动到点时，台风边沿恰经过城，由题意可得：，，因为，，所以，由余弦定理得：即，即，解得：，，答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭，受到台风的侵袭的时间有12小时.【考点】解三角形的应用.54.在中，点在边上，，，,，则的长为 .【答案】【解析】如图所示，延长，过作，垂足为，因为，所以，因为，所以，解得，在中，，由得，在中，，则.【考点】三角形中的几何运算.【方法点晴】本题主要考查了三角形的几何运算，其中解答中涉及到直角三角形的勾股定理、平行线的性质等知识点的综合考查，注重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中正确作出辅助线，合理利用直角三角形的勾股定理是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.55.在中，若．（1）求角的大小；（2）如果，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知可得，解得的值，结合的范围，即可得解的值；（2）由已知及余弦定理化简可得，利用三角形面积公式即可得解．试题解析：（1）∵，∴，∴原式可化为，∴，∴，解得，∴（2）由余弦定理，∴∴【考点】解三角形.56.已知分别为的三个内角的对边，.（1）求；（2）若，的面积为，求.【答案】(1)；(2).【解析】(1)借助题设条件运用正弦定理三角变换公式求解；(2)借助题设运用余弦定理及三角形面积公式建立方程组探求.试题解析：（1）由正弦定理得，，，，，，.（2），所以，，则，所以.【考点】正弦定理、余弦定理、三角变换公式及三角形面积公式等有关知识的综合运用.57.在中，，则角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【解析】由正弦定理得，，且，则，故选A.【考点】正弦定理.58.在中，角A，B，C的对边分别是，其中为最大边，若，则角B的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】原式等价于，所以，所以,又因为角是最大角，所以,所以,故选D.【考点】正余弦定理59.在直角△中，两条直角边分别为、，斜边和斜边上的高分别为、，则的取值范围是．【答案】【解析】∵直角△中，两条直角边分别为，∴斜边，斜边上的高，因此，，∵，∴（等号取不到），即，又，设，则，，可得，∵在区间）上，∴在区间上是增函数，可得当时，的最大值为．综上所述，的取值范围是.所以答案应填：．【考点】1、正弦定理；2、基本不等式．【思路点睛】根据勾股定理和三角形面积公式，将化为关于的表达式，利用基本不等式可得．再设，则可将表示成关于的函数，研究的单调性得到在区间上是增函数，从而得到的最大值是．由此即可得到的取值范围．本题在直角三角形中，求斜边与斜边上高之和与两条直角边之和的比值范围．着重考查了勾股定理、基本不等式求最值和函数的单调性等知识，属于中档题．60.在三角形中若．则满足条件的三角形的个数有（）A．3B．2C．1D．0【答案】B【解析】由正弦定理得，由于所以有两种可能，故选B.【考点】解三角形.61.将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则__________.【答案】【解析】由题意，得，所以＝．【考点】三角函数图象的平移变换．62.在中，分别为所对的边，若函数有极值点，则的范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知可得有两个不等实根.【考点】1、余弦定理；2、函数的极值.【方法点晴】本题考查余弦定理，函数的极值，涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用转化化归思想将原命题转化为有两个不等实根，从而可得.63.在中,角、、所对的边分别为、、.已知，且.（1）求的值；（2）若,求周长的范围.【答案】(1);(2).【解析】（1）利用三角形内角和定理化简已知条件得到，利用正弦定理求得；（2）利用正弦定理，将三角形的三条边转化为角的形式，然后利用辅助角公式化简，最后根据三角函数值域的求法求得周长的取值范围.试题解析：（1）：由得到得到：，由于，故由正弦定理得到;(2)由正弦定理得到,故得到，于是64.已知、、分别是的三个内角、、的对边.（1）若面积求、的值；（2）若，且，试判断的形状．【答案】（1）,,（2）等腰直角三角形.【解析】（1）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化.首先根据面积公式解出b边，得，再由由余弦定理得：，所以，（2）判断三角形形状，利用边的关系比较直观. 因为，所以由余弦定理得：，所以，在中，，所以，所以是等腰直角三角形.解：（1）， 2分，得 3分由余弦定理得：， 5分所以 6分（2）由余弦定理得：，所以 9分在中，，所以 11分所以是等腰直角三角形； 12分【考点】正余弦定理65.已知的终边过点，且，则__________．【答案】-4【解析】，解得，则，解得.66.已知均为锐角，则__________【答案】【解析】由于都是锐角，所以，所以，，所以．点睛：在三角函数恒等变换中，灵活应用三角公式是解题的关键，要注意公式中“单角”与得“复角”是相对的，例如以下角的变换经常用到：，，．67.求证：.【答案】详见解析.【解析】左边根据商的关系可将正切化为正弦、余弦，通分、配方后再根据正弦、余弦的二倍角公式可得结果.试题解析：左边=右边.68. (1)已知f(x)＝，求f(－)的值(2)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cos x＝－.①求sin x－cos x的值；②求的值.【答案】（1）－1.（2）①－.②－.【解析】（1）解析式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间基本关系变形，将代入计算即可求出值；（2）①利用，将和平方，即可求出结果，注意与的大小关系；②利用二倍角公式和同角三角函数的基本关系，代入相应的值即可求出结果..试题解析：(1)f(x)＝＝－tan2x，f(－)＝－tan2(－)＝－tan2π＝－1.解①由已知，得sin x＋cos x＝， sin2x＋2sin x cos x＋cos2x＝，整理得2sin x cos x＝－.∵(sin x－cos x)2＝1－2sin x cos x＝.由－π<x<0，知sin x<0，又sin x＋cos x>0，∴cos x>0，sin x－cos x<0，故sin x－cos x＝－.②＝＝＝＝－.69.已知，且.（I）将表示为的函数，若记此函数为，求的单调递增区间；（Ⅱ）已知分别为的三个内角对应的边长，若，且，求的面积.【答案】（1）,递增区间为（2）【解析】（1）先根据向量数量积得函数,再根据二倍角公式及配角公式将函数化为基本三角函数，最后根据正弦函数性质求单调增区间，（2）先求角A，再根据余弦定理求，最后根据面积公式求面积试题解析：（I）由得，所以由得，即函数的单调递增区间为（Ⅱ），即，，又，,由余弦定理得，即，，又，，.70.要得到函数y＝sin x的图象，只需将函数y＝cos(x－)的图象向右平移___个单位长度．【答案】【解析】，所以将的图象向右平移个单位长度即可得到的图象，故答案为.71.已知（1）求tanα；求cos(－a)·cos(－p＋a)的值．【答案】（1）5（2）【解析】（1）对已知等式化简可得，故而可得的值；（2）利用诱导公式将所求式子化为，将其化为正切的形式，根据（1）可得结果.试题解析：（1）因为，化简得sinα＝5cosα．当cosα＝0时不符合题意，所以cosα≠0，所以tanα＝5．（2）cos(－α)·cos(－π＋α)＝－sinαcosα＝72.函数的最小正周期为_____________．【答案】2【解析】函数.最小正周期为2.73.已知函数f(x)＝sin(ωx＋)－1(ω＞0)的最小正周期为，则f(x)图象的一条对称轴方程是()A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝【答案】A【解析】是的一条对称轴.74.已知（1）求sin（α-β）的值（2）求tan（α+β）的值．【答案】(1)；(2).【解析】(1)由题意结合两角和差正余弦公式即可求得的值为；(2)首先求得，然后利用两角和的正切公式可得的值为.试题解析：（1）∵∴cosα=-=-，sinβ=-=-，∴sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ==-（2）∵tan=-，tan=，∴tan（α+β）==75.函数的部分图象是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】解答：。
三角恒等变换复习题答案
（1）求 （2）求
值．
的值；
【分析】（1）由已知利用诱导公式可求cosα+sinα＝﹣ ，两边平方可得2cosαsinα＝ ﹣ ，进而利用同角三角函数基本关系式化简所求即可得解． （2）由（1）可得cosα+sinα＝﹣ ，结合角的范围利用同角三角函数基本关系式可
求cosα，sinα的值，即可计算得解．
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求得0＜ω≤ ，或 ≤ω≤ ，
故选：D．
【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，函数y＝Asin（ωx+φ）的变换规律，属于 中档题． 二．填空题（共4小题）
13．已知tanα＝2，则
＝ ﹣ ．
【分析】由已知利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简 所求即可计算得解．
【解答】解：（1）∵α∈（0，π），且
，
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∴可得：﹣cosα﹣sinα＝ ，即cosα+sinα＝﹣ ，两边平方可得：1+2cosαsinα＝
，可得2cosαsinα＝﹣ ，
∴α为钝角，cosα＜0， ∴
＝cosα
+sinα
＝
﹣（1+sinα）+1+cosα＝cosα﹣sinα＝﹣
16．不等式sin2x﹣cos2x≥0的解集为 [kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z ．
【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简可得cos2x≤0，进而根据余弦函数的图象和性 质即可求解． 【解答】解：∵sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x≥0，
∴cos2x≤0，可得2kπ+ ≤2x≤2kπ+ ，k∈Z，解得kπ+ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，
高中数学三角恒等变换精选题目(附答案)
高中数学三角恒等变换精选题目（附答案）一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sinsin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+⇒()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-二、二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin 22sin cos ααα=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒221cos 2cos1cos 2sin 22αααα+=-=，⇒2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-．三、辅助角公式：()sin cos α+=+a x b x x ，cos sin ϕϕϕ==其中由决定四、三角变换方法： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍；②2304560304515oooooo=-=-=；③()ααββ=+-；④()424πππαα+=--； ⑤2()()()()44ππααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
简单的三角恒等变换专题及答案
简单的三角恒等变换专题及答案简单的三角恒等变换专题一、选择题1.已知sinα＝5115，则cos(π－2α)＝()。
答案：B。
通过sinα和cos(π－2α)的关系，可以得到cos(π－2α)＝－sinα＝－(1/5115)。
2.sin70°/(2cos10°－sin20°)的值是()。
答案：C。
通过三角函数的恒等变换，可以将sin70°/(2cos10°－sin20°)化简为sin70°/cos80°，再使用tan的定义式，得到tan70°=sin70°/cos70°=sin70°/sin10°cos80°=sin70°/sin10°sin10°=1/sin10°=3.3.若sin76°＝m，用含m的式子表示cos7°为()。
答案：B。
通过三角函数的恒等变换，可以得到cos(π/2－76°)＝sin76°＝m，即cos14°＝m，再通过三角函数的恒等变换，可以得到cos7°＝2cos2(7°)－1＝2cos2(14°)cos(π/2－14°)－1＝2(1－sin2(14°))－1＝1－2sin2(14°)＝1－2(cos14°)2＝1－2m2.4.若cos2α＝－2，则sinα＋cosα的值为sin(7π/4)()。
答案：B。
通过cos2α的值可以得到sin2α＝1－cos2α＝3，再通过三角函数的恒等变换，可以得到sinα＋cosα＝√2sin(π/4＋α)＝√2sin(π/4＋α－2π)＝√2sin(7π/4－α)。
5.已知f(x)＝2tanx－2/(x＋π/12)，则f(π/6)的值为()。
答案：D。
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第三章 三角恒等变换一、选择题1．函数y ＝sin ?＋cos ?⎪⎭⎫ ⎝⎛2π ＜ ＜ 0α的值域为( )．A ．(0，1)B ．(－1，1)C ．(1，2]D ．(－1，2)2．若0＜?＜?＜4π，sin ?＋cos ?＝a ，sin ?＋cos ?＝b ，则( )． A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜1D ．ab ＞23．若θθtan ＋2tan 1－＝1，则θθ2sin ＋12cos 的值为( )．A ．3B ．－3C ．－2D ．－214．已知 ?∈⎪⎭⎫⎝⎛2π3 ，π，并且sin ?＝－2524，则tan 2α等于( )． A ．34 B ．43 C ．－43 D ．－345．已知tan(?＋?)＝3，tan(?－?)＝5，则tan 2?＝( )． A ．－47B ．47 C ．－74 D ．74 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＞sin A sin B ，则该三角形是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．锐角或直角三角形7．若0＜?＜2π＜?＜?，且cos ?＝－31，sin(?＋?)＝97，则sin ??的值是( )． A ．271B ．275C ．31D ．2723 8．若cos(?＋?)·cos(?－?)＝31，则cos 2 ?－sin 2 ??的值是( )．A ．－32B ．31C ．－31D ．32 9．锐角三角形的内角A ，B 满足tan A －A 2sin 1＝tan B ，则有( )． A ．sin 2A －cos B ＝0 B ．sin 2A ＋cos B ＝0 C ．sin 2A －sin B ＝0D ．sin 2A ＋sin B ＝010．函数f (x )＝sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛4π＋x －sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛4π－x 是( )．A ．周期为 ??的偶函数B ．周期为??的奇函数C ．周期为2??的偶函数D ．周期为2?的奇函数二、填空题 11．已知设?∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2π,0，若sin ?＝53，则2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα＝ ． 12．sin 50°(1＋3tan 10°)的值为 ． 13．已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＋sin ?＝534，则sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6π7α的值是 ． 14．已知tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4π＝21，则ααα2cos ＋1cos －2sin 2的值为 ．15．已知tan ?＝2，则cos ⎪⎭⎫⎝⎛2π3＋2α的值等于 ． 16．sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4πsin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α － 4π＝61，?∈⎪⎭⎫⎝⎛ π，2π，则sin 4??的值为 ．三、解答题17．求cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°的值．18．求值：①(tan10°－3)︒︒50sin 10cos ； ②︒︒︒20cos 20sin －10cos 2．19．已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋ 4π＝53，127π＜x ＜47π，求x x x tan －1sin 2＋2sin 2的值．20．若sin ?＝55，sin ?＝1010，且?，??均为钝角，求?＋??的值.参考答案一、选择题 1．C解析：∵ sin ?＋cos ?＝2sin(?＋4π)，又 ?∈(0，2π)，∴ 值域为(1，2]． 2．A解析：∵ a ＝2sin(?＋4π)，b ＝2sin(?＋4π)，又4π＜?＋4π＜?＋4π＜2π． 而y ＝sin x 在［0，2π］上单调递增，∴ sin(?＋4π)＜sin(?＋4π)．即a ＜b ．3．A 解析：由θθtan ＋2tan 1－＝1，解得tan θ＝－21，∴ θθ2sin ＋12cos ＝222sin ＋ cos sin － cos )(θθθθ＝θθθθsin ＋ cos sin － cos ＝θθ tan ＋ 1 tan － 1＝⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛21 － ＋ 121 － － 1＝3． 4．D解析：sin ?＝－2524，?∈(π，2π3)，∴ cos ?＝－257，可知tan ?＝724． 又tan ?＝2tan － 12tan22αα＝724． 即12 tan 22α＋7 tan 2α－12＝0． 又 2α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛4π ，2π，可解得 tan 2α＝－34． 5．C解析：tan 2?＝tan[(?＋?)＋(?－?)]＝)－()＋(－)－()＋＋(βαβαβαβαtan tan 1tan tan ＝－74．6．C解析：由cos A cos B ＞sin A sin B ，得cos(A ＋B )＞0⇒cos C ＜0， ∴ △ABC 为钝角三角形． 7．C解析：由0＜?＜2π＜?＜?，知2π＜?＋?＜23???且cos ?＝－31，sin(?＋?)＝97， 得sin ?＝322，cos(?＋?)＝－924． ∴ sin ?＝sin[(?＋?)－?]＝sin(?＋?)cos ?－cos(?＋?)sin ?＝31．8．B解析：由cos(?＋?)·cos(?－?)＝31，得cos 2??cos 2 ?－sin 2??sin 2 ?＝31，即cos 2 ?(1－sin 2 ?)－(1－cos 2 ?)sin 2 ?＝31，∴ cos 2 ?－sin 2 ?＝31．9．A解析：由tan A －A 2sin 1＝tanB ，得A 2sin 1＝tan A －tan B ⇒A A cos sin 21＝BA B A cos cos －sin )( ⇒cos B ＝2sin A sin(A －B )⇒cos[(A －B )－A ]＝2sin A sin(A －B ) ⇒cos(A －B )cos A －sin A sin(A －B )＝0，即cos(2A －B )＝0．∵ △ABC 是锐角三角形， ∴ －2π＜2A －B ＜π， ∴ 2A －B ＝2π⇒sin 2A ＝cos B ，即sin 2A －cos B ＝0． 10．B解析：由sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛4π－x ＝sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛x －4π＝cos 2⎪⎭⎫⎝⎛x ＋4π，得f (x )＝sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛4π＋x －cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋4π＝－cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛2π＋2x ＝sin 2x ．二、填空题 11．15． 解析：由?∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2π,0，sin ?＝53得cos ?＝54，2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα＝cos ?－sin ?＝51． 12．1．解析：sin50°(1＋3tan10°) ＝sin50°·︒︒︒10cos 10sin 3＋10cos＝sin50°·︒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒10 cos 10sin 23＋10 cos 212＝sin50°·︒︒10cos 50cos 2＝︒︒10cos 100sin ＝︒︒10cos 10cos ＝1． 13．－45． 解析：cos ⎪⎭⎫⎝⎛-6πα＋sin ?＝23cos ?＋21sin ?＋sin ? ＝23( cos ?＋3sin ?)＝534，所以cos ?＋3sin ?＝58． sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6π7α＝sin ?cos6π7＋cos ?sin 6π7 ＝－23sin ?－21cos ?＝－21(3sin ?＋cos ?)＝－54． 14．－65． 解析：由tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4π＝ααtan 4πtan －1tan ＋4πtan ＝ααtan －1tan ＋1＝21，解得tan ?＝－31，∴ ααα2cos ＋1cos －2sin 2＝αααα22cos 2cos －cos sin 2 ＝αααcos 2cos －sin 2＝tan ?－21 ＝－31－21＝－65． 15．45． 解析：tan ?＝ααcos sin ＝2，sin ?＝2cos ?．又sin 2 ?＋cos 2 ?＝1， 所以sin 2 ?＝54，又cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2π32α＝sin 2?＝2sin ?cos ?＝sin 2 ?＝54．16．－924． 解析：∵ sin ⎪⎭⎫⎝⎛α － 4π＝sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4π － 2π＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4π，∴ sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4πsin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α － 4π＝61⇒sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4πcos ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4π＝61⇒sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α2 ＋ 2π＝31．∴ cos 2?＝31，又 ?∈(2π，π)，∴ 2?∈(π，2π)．∵ sin 2?＝－α2cos －12＝－322， ∴ sin 4?＝2sin 2?cos 2?＝－924． 三、解答题17．解：cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°＝cos 43°cos 77°－sin 43°sin 77° ＝cos(43°＋77°)＝cos 120°＝－21． 18．①解法1： 原式＝(tan 10°－tan 60°)︒︒50sin 10cos ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒︒︒cos60sin60 － cos10sin10︒︒50sin 10cos ＝︒︒︒60cos 10cos 50－sin )(·︒︒50sin 10cos＝－2． 解法2：原式＝⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒3 － cos10sin10︒︒50sin 10cos ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒︒cos10cos103－sin10︒︒50sin 10cos ＝︒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒50 sin 10 cos 23－10 sin 212＝︒︒︒50sin 60－10sin 2 )(＝－2． ②解：原式＝︒︒︒︒20cos 20sin －20－30cos 2 )(＝︒︒︒︒︒︒20cos 20sin －20sin 30sin 2＋20cos 30cos 2＝︒︒︒20cos 20cos 30cos 2＝3．19．解：∵127π＜x ＜47π，∴ 65π＜4π＋x ＜2?．又cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋ 4π＝53＞0，∴23π＜4π＋x ＜2?， ∴ sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋ 4π＝－54，tan ⎪⎭⎫⎝⎛x ＋ 4π＝－34．又 sin 2x ＝－cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛x 2 ＋ 2π＝－cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋ 4π＝－2cos 2⎪⎭⎫⎝⎛x ＋ 4π＋1＝257，∴ 原式＝xx xx cos sin －1sin 2＋2sin 2＝x x x x x x sin －cos cos sin 2＋cos 2sin 2＝xx x x x sin －cos sin ＋cos 2sin )(＝xx x tan －1tan ＋12sin )(＝sin 2x ·tan(4π＋x ) ＝－7528．20．解：∵ ?，???均为钝角且sin ?＝55，sin ?＝1010，∴ cos ?＝－α2sin 1-＝－552，cos ?＝－β2sin 1-＝－10103， ∴ cos(?＋?)＝cos ?cos ?－sin ?sin ?＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-552×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1010355-×1010＝22．又2π＜?＜π， 2π＜?＜π，∴ π＜?＋?＜2π，则?＋?＝4π7．。