最新版精选2019高中数学单元测试《导数及其应用》专题完整题(含标准答案)

2019年高中数学单元测试卷导数及其应用学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．设P 为曲线2:23C y x x =++上的点,且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是[0,]4π,则点P 横坐标的取值范围是( )A.1[1,]2--B.[1,0]-C.[0,1]D.1[,1]2(2008辽宁理)2．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为,()f x ，且函数)(')1(x f x y -=的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f （B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f （C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f - （D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f3．设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12nx x x ⋅⋅⋅的值为（ ）A.1nB.11n +C. 1nn + D.1答案 B二、填空题4．已知三次函数3221()(41)(1527)23f x x m x m m x =--+--+在()x ∈-+，∞∞上是增函数，则m 的取值范围为．5．函数x x y cos 2+=在(0,)π上的单调递减区间为 ．6．已知2112{|lg 0},{|222,}x M x x N x x Z -+===<<∈,则MN = ．7． 点P 在曲线73+-=x x y 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 .8．若函数()2xf x e x k =--在R 上有两个零点，则实数k 的取值范围为_____________9．由曲线2613y x x =-+与直线3y x =+所围成的封闭区域的面积为 .10．函数f (x )=x 3–3bx +3b 在（0，1）内有极小值，则b 的取值范围是___________________0<b <1 三、解答题11．设函数21()(1)2x f x x e x =--,求函数()f x 的单调区间. 12．已知函数c bx x ax x f -+=44ln )((x>0)在x = 1处取得极值c --3，其中a,b,c 为常数。

(1）试确定a,b 的值；(2）讨论函数f(x)的单调区间；(3）若对任意x>0，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。

（重庆理） 关键字：已知极值；讨论单调性；不等式；恒成立问题；参变分离；求最值13．已知函数2()ln f x x a x =-和()g x x =-1x =处的切线平行．(Ⅰ）试求函数()f x 和()g x 的单调增区间；(Ⅱ）设13b <<，求证：ln 2b b +<．14．已知函数x bx x a y ++=2ln 在1=x 和2=x 处有极值，求a ，b 的值。

15．某旅游用品商店经销某种奥运会记念品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向税务部门上交a 元（36a ≤≤）的税收，预计当每件产品的售价为x 元（1116x ≤≤）时，一年的销售量为2(18)x -万件.（Ⅰ）求该商店一年的利润L(万元)与每件产品的售价x 的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，该商店一年的利润L 最大，并求出L 的最大值)(a Q . 分析：08是奥运年，以奥运为背景的应用题必将受到命题专家们的青睐.本题是函数（导数）在日常生活中的应用，解决一类最值问题.选择这道题的另一个意图就是求()L x '时，不应该将()L x 展开，而应直接利用复合函数的求导方法求出()L x '，这样有利于发现()0L x '=的根，体现运算方向在简化运算中的重要性.本题另一个难点是分类讨论，为何引起讨论，如何正确讨论是解决本题的核心.解答：（Ⅰ）商店一年的利润L(万元)与售价x 的函数关系式为：2(3)(18)L x a x =---，[11, 16]x ∈.（无定义域扣1分）（Ⅱ）2(3)(18)L x a x =---＝22(18)(3)(18)x x a x --+-2()(18)2(18)2(3)(18)L x x x x a x '=---++-＝(18)(2423)x a x -+-.令0='L 得283x a =+或18x =(不合题意，舍去). ∵36a ≤≤，∴2108123a ≤+≤.在283x a =+两侧)(x L '的值由正变负. 所以（1）当2108113a ≤+<，即293<≤a 时，m a x (11)49(8)49(8)L L a a ==-=-.（2）当2118123a ≤+≤即962a ≤≤时，23max 2221(8)(83)[18(8)]4(5)3333L L a a a a a =+=+---+=-，所以=)(a Q 3949(8),32194(5),632a a a a ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩.答：若293<≤a ，则当每件售价为11元时，商店一年的利润L 最大，最大值()49(8)Q a a =-(万元)；若962a ≤≤，则当每件售价为2(8)3a +元时，商店一年的利润L 最大，最大值31()4(5)3Q a a =-(万元).说明：本小题考查函数、导数及其应用、分类讨论等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力．它是根据07年福建高考题改编（四川省广安地区08届一模采用了高考原题），是苏州市零模考试应用题的原题.有一定的时代气息，考查导数方法解决函数问题，体现分类讨论、数形结合等常用思想方法.16．设函数()()()()221ln 1,.f x x m x h x x x a =+-+=++（1） 当0a =时，()()f x h x ≥在()0,+∞上恒成立，求实数的取值范围；（2） 当2m =时，若函数()()()k x f x h x =-在[]0,2上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围；（3） 是否存在常数m ，使函数()f x 和函数()h x 在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。

17．已知a R ∈，函数()()()2,x f x x ax e x R e =-+∈为自然数的底数， （1） 当2a =时，求函数()f x 的单调区间；（2） 若函数()f x 在()1,1-上单调递增，求a 的取值范围；（3） 函数()f x 是否为R 上的单调函数？若是，求出a 的取值范围，若不是，请说明理由。

18．设2()(1)xf x e ax x =++，且曲线y ＝f （x ）在x ＝1处的切线与x 轴平行。

（I ） 求a 的值，并讨论f （x ）的单调性； （II ）证明：当[0,]f(cos )f(sin )22πθθθ∈-<时， （2009辽宁卷文）（本小题满分12分）19．设函数2()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠．证明：当0ab >时，函数()f x 没有极值点；当0ab <时，函数()f x 有且只有一个极值点，并求出极值．证明：因为2()ln 0f x ax b x ab =+≠，，所以()f x 的定义域为(0)+∞，．()f x '222b ax bax x x+=+=． 当0ab >时，如果00()0()a b f x f x '>>>，，，在(0)+∞，上单调递增；如果00()0()a b f x f x '<<<，，，在(0)+∞，上单调递减． 所以当0ab >，函数()f x 没有极值点．当0ab <时，2()a x x f x x⎛+ ⎝⎭⎝⎭'=令()0f x '=，得1(0)x =+∞，（舍去），2)x =+∞，，当00a b ><，时，()()f x f x '，随x 的变化情况如下表：从上表可看出，函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b f a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．当00a b <>，时，()()f x f x '，随x 的变化情况如下表：从上表可看出，函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b f a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．综上所述，当0ab >时，函数()f x 没有极值点； 当0ab <时，若00a b ><，时，函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1l n 22b b a ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．若00a b <>，时，函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1l n 22b b a ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．20．已知函数2()|ln 1|f x x a x =+-,()||22ln 2,0g x x x a a =-+->． （Ⅰ）当1a =时,求函数()f x 在区间[1,]e 上的最大值； （Ⅱ）若3(),[1,)2f x a x ≥∈+∞恒成立,求a 的取值范围；（Ⅲ）对任意1[1,)x ∈+∞,总存在惟一的．．．2[2,)x ∈+∞,使得12()()f x g x =成立,求a 的取值范围．21．已知关于的方程两根为，试求的极值。

22．已知函数()()2ln ,f x x a x x a R =+-∈ (1)若1,a =-求证()f x 有且仅有一个零点；(2）若对于[]1,2x ∈函数()f x 图像上任意一点处的切线的倾斜角都不大于4π，求实数a 的取值范围；(3）若()f x 存在单调递减区间，求实数a 的取值范围。

23．已知函数()2ln pf x px x x=--．⑴若2p =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；⑵若函数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围； ⑶设函数2()eg x x=，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x >成立，求实数p 的取值范围．（2010北京石景山模拟）关键字：对数；求一点处的切线方程；求切线方程；已知单调性；求参数的取值范围；不等式的有解问题；存在性问题24．已知函数()ln f x x x =． （I ）求函数()f x 的单调递减区间；（II ）若2()6f x x ax ≥-+-在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （III ）过点2(,0)A e --作函数()y f x =图像的切线，求切线方程．25．如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线1l 排，在路南侧沿直线2l 排，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将1l 与2l 接通．已知AB =60m ，BC =80m ，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成的小于90︒的角为α．（Ⅰ）求矩形区域ABCD 内的排管费用W 关于α的函数关系式； （Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角α．（本小题满分16分）l 2l 126．已知函数3221(313f x x mx m x =+-+）(0)m >. （1）若1m =，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）若函数)(x f 在区间(21,1)m m -+上单调递增，求实数m 的取值范围．27．如图，在三棱锥S —ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC ＝90°，O 为BC 中点．(1)证明：SO ⊥平面ABC ；(2)求二面角A —SC —B 的余弦值．（理）28． 已知二次函数)(x g y =的导函数的图像与直线2y x =平行,且)(x g y =在x =－1处取得最小值m －1(m 0≠).设函数xx g x f )()(=(1)若曲线)(x f y =上的点P 到点Q (0,2)的距离的最小值为,求m 的值(2) )(R k k ∈如何取值时,函数kx x f y -=)(存在零点,并求出零点.29．已知函数()ln f x x x a x =--.(1)若a =1，求函数()f x 在区间[1,]e 的最大值; (2)求函数()f x 的单调区间；(3)若()0f x >恒成立，求a 的取值范围．30．设函数()3233f x x bx cx =++在两个极值点12x x 、，且12[10],[1,2].x x ∈-∈，（I ）求b c 、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点(),b c 的区域；(II)证明：()21102f x -≤≤-分析（I ）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。