导学案平面向量基本定理
平面向量基本定理
平面向量基本定理
平面向量基本定理：
1、定义：平面向量基本定理是一种数学定理，它将向量的矢量乘积和其他数学定理结合在一起。
2、证明：平面向量基本定理可以由叉积定理和等价矢量乘积定理来证明：
A×B = C×A+B , 其中A和B是两个向量，C是其叉积。
同时有：A⋅(B×C) = B⋅(C×A) + C⋅(A×B)
将C×A替换成A×B，得到A⋅B×C= B⋅C×A + A⋅A×B，再将A⋅A×B 替换成C×A，即得到A⋅B×C = B⋅C×A + C⋅A×B。
故A×B=C×A+B，即平面向量基本定理得证。
3、应用：平面向量基本定理主要应用于平面向量运算。
它可以用于求解三角形和圆的关系，计算叉积和点面积，求解抛物线的中心，解决线性方程组的特殊解，以及证明连续多边形的属性等。
4、例题：
（1）已知AB、BC、CD是相互垂直的向量，若AB=2，BC=3，则
AC⋅CD的值为？
（2）A、B、C、D四点不共线，且AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，若AC=4，求CD的值？
解：（1）由题意可知，ABCD四点不共线，AB、BC、CD相互垂直，由矢量乘积的叉积定理可得，AB×BC=AC×CD，故
AC⋅CD=AB⋅BC=2×3=6。
（2）由题意可知，AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，且AC=4，因为AB、BC、CD相互垂直，所以有：AB×BC=AC×CD，由于有AB⋅BC=2，AC=4，故CD=2/4=1/2。
高中数学《平面向量基本定理》导学案
2．3.1平面向量基本定理1.平面向量基本定理2．向量的夹角1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面向量的一组基底e 1，e 2一定都是非零向量．( ) (2)在平面向量基本定理中，若a ＝0，则λ1＝λ2＝0.( ) (3)在平面向量基本定理中，若a ∥e 1，则λ2＝0；若a ∥e 2，则λ1＝0.( )(4)表示同一平面内所有向量的基底是唯一的．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× 2．做一做(1)设e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是( )A ．e 1，e 2B ．e 1＋e 2,3e 1＋3e 2C ．e 1,5e 2D ．e 1，e 1＋e 2答案 B解析 ∵3e 1＋3e 2＝3(e 1＋e 2)， ∴两个向量共线，不能作为基底．(2)(教材改编P 94向量夹角的定义)在锐角三角形ABC 中，关于向量夹角的说法正确的是( )A.AB →与BC →的夹角是锐角 B.AC →与AB →的夹角是锐角 C.AC →与BC →的夹角是钝角 D.AC →与CB →的夹角是锐角 答案 B解析 AB →与BC →的夹角是钝角，AC →与AB →的夹角是锐角，AC →与BC→的夹角是锐角，AC →与CB →的夹角是钝角．故选B.(3)若向量a ，b 的夹角为30°，则向量－a ，－b 的夹角为( ) A ．60° B ．30° C ．120° D ．150° 答案 B解析 将向量移至共同起点，则由对顶角相等可得向量－a ，－b 的夹角也是30°.(4)在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，则向量AB →，BC →的夹角为________．答案 135°解析 将向量移至共同起点，由向量的夹角的定义知AB →，BC →夹角为135°.探究1 正确理解基底的概念例1 设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④解析 ①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →，则DA →与BC →共线；③CA →与DC →不共线；④OD →＝－OB →，则OD →与OB →共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．答案 B 拓展提升能作为基底向量的条件考查两个向量能否作为基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．注意零向量不能作基底．【跟踪训练1】 设e 1，e 2是平面内一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 2＋e 1答案 B解析 ∵4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)， ∴两个向量共线，不能作为基底． 探究2 用基底表示向量例2 如图所示，在△ABC 中，点M 是AB 的中点，且AN →＝12NC →，BN 与CM 相交于点E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用基底a ，b 表示向量AE →.解 易得AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线知存在实数m ，满足AE →＝mAN →＋(1－m )AB →＝13m b ＋(1－m )a .由C ，E ，M 三点共线知存在实数n ，满足AE →＝nAM →＋(1－n )AC →＝12n a ＋(1－n )b ，所以13m b ＋(1－m )a ＝12n a ＋(1－n )b ，由于a ，b 为基底，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝12n ，13m ＝1－n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝45，所以AE →＝25a ＋15b .[条件探究] 若将例2中的“AN →＝12NC →”改为“AN →＝14NC →”，其他条件不变，试用a ，b 表示AE →.解 由已知得AN →＝15AC →＝15b ，AM →＝12AB →＝12a ， ∵N ，E ，B 三点共线，∴设AE →＝mAN →＋(1－m )AB →＝m5b ＋(1－m )a ， 又∵C ，E ，M 三点共线，∴设AE →＝nAM →＋(1－n )AC →＝n2a ＋(1－n )b ， ∴m 5b ＋(1－m )a ＝n2a ＋(1－n )b ，∵a ，b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m 5＝1－n ，1－m ＝n 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89，∴AE →＝49a ＋19b . 拓展提升用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对所求向量不断进行转化，直至能用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．【跟踪训练2】 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示DC →，BC →，MN →.解 如图所示，连接CN ，则四边形ANCD 是平行四边形．则DC →＝AN →＝12AB →＝12a ；BC →＝NC →－NB →＝AD →－12AB →＝b －12a ；MN →＝CN →－CM →＝－AD →－12CD → ＝－AD →－12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12AB →＝14a －b . 探究3 向量的夹角问题例3 已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，则a ＋b 与a 的夹角是多少？a －b 与a 的夹角又是多少？解 如图所示，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°.以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，则OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b .因为|a |＝|b |＝2，所以平行四边形OACB 是菱形，又∠AOB ＝60°，所以OC →与OA →的夹角为30°，BA →与OA →的夹角为60°.即a ＋b 与a 的夹角是30°，a －b 与a 的夹角是60°. 拓展提升两个向量夹角的实质及求解的关键(1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角且0°≤θ≤180°.(2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角．【跟踪训练3】 如图，已知△ABC 是等边三角形．(1)求向量AB →与向量BC →的夹角；(2)若E 为BC 的中点，求向量AE →与EC →的夹角． 解 (1)∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC ＝60°.如图，延长AB 至点D ，使AB ＝BD ，则AB →＝BD →， ∴∠DBC 为向量AB →与BC →的夹角． ∵∠DBC ＝120°，∴向量AB →与BC →的夹角为120°.(2)∵E 为BC 的中点，∴AE ⊥BC ， ∴AE →与EC →的夹角为90°.1.对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2.准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．3.(1)平面向量基本定理唯一性的应用设a ，b 是同一平面内的两个不共线向量，若x 1a ＋y 1b ＝x 2a ＋y 2b ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2.(2)重要结论设e 1，e 2是平面内一组基底，1．e 1，e 2是平面内一组基底，下面说法正确的是( ) A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内D ．对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对答案 A解析 由基底的定义可以知道，e 1和e 2是平面上不共线的两个向量，∴若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0，不是空间任一向量都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，而是平面α中的任一向量a ，可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式，此时实数λ1，λ2有且只有一对，而对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2一定在平面α内，所以A 正确．2．A ，B ，O 是平面内不共线的三个定点，且OA →＝a ，OB →＝b ，点P 关于点A 的对称点为Q ，点Q 关于点B 的对称点为R ，则PR →等于( )A ．a －bB ．2(b －a )C ．2(a －b )D ．b －a 答案 B解析 如图，a ＝12(OP →＋OQ →)，b ＝12(OQ →＋OR →)，相减得b －a ＝12(OR →－OP →)， ∴PR →＝2(b －a )．3．已知向量a 与b 的夹角为60°且|b |＝12|a |，则a －b 与a 的夹角是( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 答案 A解析 如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，∴∠BOA ＝60°，连接BA ，则BA →＝a －b .取OA 的中点D ，连接BD ， ∵|b |＝12|a |，∴OD ＝OB ＝BD ＝DA ， ∴∠BDO ＝60°＝2∠BAO ，∴∠BAO ＝30°.∴a －b 与a 的夹角为30°.4．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y ＝________.答案 3解析 由平面向量基本定理，得⎩⎨⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，∴⎩⎨⎧x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3.5．在△ABC 中，AD →＝13AB →，AE →＝14AC →，BE 与CD 交于点P ，且AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AP →.解 如图，取AE 的三等分点M ，使AM ＝13AE ，连接DM ，则DM ∥BE .设AM ＝t (t ＞0)，则ME ＝2t . 又AE ＝14AC ， ∴AC ＝12t ，EC ＝9t ，∴在△DMC 中，CE CM ＝CP CD ＝911，∴CP ＝911CD ，∴DP ＝211CD ，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋211DC →＝13AB →＋211(DA →＋AC →) ＝13AB →＋211⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13AB →＋AC →＝311AB →＋211AC →＝311a ＋211b .A 级：基础巩固练一、选择题1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝e 1，DC →＝e 2，则OC →＝( )A.12(e 1＋e 2) B.12(e 1－e 2) C.12(2e 2－e 1) D.12(e 2－e 1)答案 A解析 因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BC →＝e 1，DC →＝e 2，所以OC →＝12(BC →＋DC →)＝12(e 1＋e 2)．故选A.2．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，又AP →＝tAB →，则t 的值为( )A.13B.23C.12D.53 答案 A解析 C P →－CA →＝13(CB →－CA →)＝13AB →，即A P →＝13A B →. 又∵AP →＝tAB →，∴t ＝13.故选A.3．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝3P A →，则( )A ．x ＝23，y ＝13 B ．x ＝13，y ＝23 C ．x ＝14，y ＝34 D ．x ＝34，y ＝14答案 D解析 由已知BP →＝3P A →，得OP →－OB →＝3(OA →－OP →)，整理，得OP →＝34OA →＋14OB →，故x ＝34，y ＝14.4．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF FD ＝15，连接CF 并延长交AB 于E ，则AEEB 等于( )A.112B.13C.15D.110 答案 D解析 设AB →＝a ，AC →＝b ，AEEB ＝λ.∵AF FD ＝15，∴CF →＝CA →＋AF →＝CA →＋16AD →＝112(AB →＋AC →)－AC →＝112AB →－1112AC →＝112a －1112b .CE →＝CA →＋AE →＝CA →＋λ1＋λAB →＝λ1＋λAB →－AC →＝λ1＋λa －b .又CF →与CE →共线，可设CF →＝kCE →，则112a －1112b ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ1＋λa －b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 112＝λk 1＋λ，－1112＝－k ，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1112，λ＝110.故选D.5．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为( ) A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．△ABC 的重心D ．AB 边的中点 答案 B解析 ∵O 是△ABC 的重心，∴OA →＋OB →＋OC →＝0，∴OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12OC →＋2OC →＝12OC →，∴点P 是线段OC 的中点，即AB 边中线的三等分点(非重心)．故选B.二、填空题6．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝k 2e 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5k 2e 2与b ＝2e 1＋3e 2共线，则实数k ＝________.答案 －2或13解析 由题设，知k 22＝1－5k 23，∴3k 2＋5k －2＝0，解得k ＝－2或13.7．如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________.答案 23解析 在△ABH 中，BH ＝12AB ＝1， ∵BC ＝3，∴BH ＝13BC . ∴AH →＝AB →＋BH →＝AB →＋13BC →. ∵M 为AH 的中点，∴AM →＝12AH →＝12AB →＋16BC →. ∵AM →＝λAB →＋μBC →， ∴λ＋μ＝12＋16＝23.8．如图，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则在以a ，b 为基底时，AC →可表示为________，在以a ，c 为基底时，AC →可表示为________．答案 a ＋b 2a ＋c解析 以a ，c 为基底时，将BD →平移，使B 与A 重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．三、解答题9．用向量法证明三角形的三条中线交于一点．解 如图，设AC →＝a ，BC →＝b ，D ，E ，F 分别为三角形ABC 三边的中点，则AB →＝a －b ，AD →＝a －12b ，BE →＝－12a ＋b .设AD 与BE 交于点G 1，且AG 1＝λAD →，BG 1→＝μBE →， 则AG 1→＝λa －λ2b ，BG 1→＝－μ2a ＋μb . 因为AG 1→＝AB →＋BG 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫1－μ2a ＋(μ－1)b .所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1－μ2，－λ2＝μ－1，解得λ＝μ＝23，即AG 1→＝23AD →.再设AD 与CF 交于点G 2，同理可得AG 2→＝23AD →. 故点G 1，G 2重合，即AD ，BE ，CF 交于同一点， 故三角形的三条中线交于一点．10．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值． 解 (1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R ， 使a ＝λb ，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)． 由e 1，e 2不共线，得⎩⎨⎧λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)设c ＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎨⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎨⎧m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b .(3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2)＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.∴⎩⎨⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎨⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.B 级：能力提升练1．如图，△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，12 答案 C解析 ∵CF →＝23CD →，CD →＝12a －b .∴AF →＝AC →＋CF →＝b ＋23CD →＝b ＋23⎝⎛⎭⎪⎫12a －b ＝13a ＋13b ，故x ＝13，y ＝13.2．如图，△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BGGE 的值．解 设AG GD ＝λ，BGGE ＝μ.∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →. ∴AD →＝12(AB →＋AC →)． 又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)，∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ2(1＋λ)AB →＋λ2(1＋λ)AC →. 又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)，∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →. 又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ3(1＋μ)AC →. ∵AB →，AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ2(1＋λ)＝11＋μ，λ2(1＋λ)＝2μ3(1＋μ).解之，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32.。
平面向量基本定理教案(精选10篇)
平面向量基本定理教案(精选10篇)(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中数学必修四导学案：2.2.1平面向量基本定理
2.2.1平面向量基本定理
课型
合作课
学习目标
（一）知识与技能：
（1）了解平面向量基本定理及其意义，并利用其进行正交分解；
（2）理解平面内三点共线的充要条件及线段中点的向量表达式。
（二）过程与方法：
通过平面向量基本定理得出的过程，体会由特殊到一般的方法，培养学生“数”与“形”相互转化的思想方法。
（三）情感、态度与价值观：
通过ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ节课的教学，培养学生积极探索的良好学习品质．
学习重点
平面向量基本定理的应用
学习难点
平面向量在给定基向量上分解的唯一性
☆合作探究
探究一：如图（教材96页），设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，试用e1、e2表示向量 , , .
探究二：设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，请作出该平面内给定的向量a在e1、e2两个方向上分解得到的向量。
试用基底{ }表示 ， ， 和
☆基础练习
1.试在基底{ }下，分解下列向量：（图在教材98页，练习A第一题）
， ， ，
2.已知平行四边形ABCD的两条对角线交于点O，设 ， ，选择基底
，试写出下列向量在此基底下的分解式：
， ， ，
☆我的收获与困惑
师生反思：
思考（1）向量a是否可以用含有e1、e2的式子来表示呢？怎样表示？
思考（2）若向量a能够用e1、e2表示，这种表示是否唯一？
探究三：平面向量基本定理
说明：①e1、e2是两个不共线的向量
②a是平面内的任一向量
③实数 ， 唯一确定
探究四：什么叫做基底？什么叫分解式？
☆典例精析
例1．已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于M，设 ， ，
平面向量基本定理导学案
则 OA =________，︱ OA ︱=______， OB =_______，︱ OB ︱=_____。 7、已知向量| a | 4 ,的方向与 x 轴的正方向的夹角是 30°，则 a 的坐标为 ____________ 8.设 e1 , e2 是同一平面内两个不共线的向量，不能以下各组向量中作为基底的 是（ ）
e1 + e2 和 e1 - e2
e1 +2 e2 和 2 e1 + e2
B. 3 e1 -2 e2 和 6 e1 -4 e2 D.
e1 + e2 和 e2
3. 已知 e1 , e2 不共线， a = 1 e1 + e2 ， b =4 e1 +2 e2 ，并且 a ， b 共线，则下 列各式正确的是（ A. 1 =1， ） B. 1 =2， C. 1 =3， D. 1 =4
平面向量的基本定理：如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于 这一平面内的任意向量 a ,有且只有一对实数 λ1、λ2,使 a =λ1 e1 +λ2 e2 . 定理解读：1 、 e1 、 e2 必须是 2、λ 1，λ 2 是被 a ， e1 ， e2 3、基底不唯一,关键是不共线; 4、由定理可将任一向量 a 在给出基底 e1 、 e2 的条件下进行分解; 5、基底给定时,分解形式唯一. 6、λ 1 =0 时 ；λ 2=0 时 探究（二） ：平面向量的坐标表示 ；λ 1=0、λ 2=0 时 的向量，叫做 的数量 。
（1） 、对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？ 1、正交分解：把向量分解为两个 的向量。 2、在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数 表示， 3、每一个向量可否也用一对实数来表示？ （2） 、向量的坐标表示的定义： 分别选取与 x 轴、 y 轴方向相同的 叫 其中 x 叫 ，记作 ，y叫 叫向量的坐标表示 。
导学案平面向量基本定理
§2.3.1平面向量基本定理学习目标1. 掌握平面向量基本定理;了解平面向量基本定理的意义.重点难点重点：平面向量基本及应用难点：两个向量的夹角问题（预习教材P93—P94） 复习1：向量b 、()0a a ≠ 是共线的两个向量，则a 、b 之间的关系可以表示为 .复习2：给定平面内任意两个向量1e 、2e ，请同学们作出向量1232e e + 、122e e - .预习案（预习教材P93—P94）问题1：复习2中，平面内的任一向量是否都可以用形如1122e e λλ+ 的向量表示呢？1. 平面向量的基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内的两个 的向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数,21,λλ使 。
其中，不共线的这两个向量,1e 2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
注意：(1) 我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底1e ，2e 的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量问题2：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？2.两向量的夹角与垂直：:我们规定：已知两个非零向量,a b ，作=OA ,a =OB b ，则 叫做向量a 与b 的夹角。
如果,θ=∠AOB 则θ的取值范围是 。
当 时，表示a 与b 同向； 当 时，表示a 与b 反向； 当 时，表示a 与b 垂直。
记作：a b ⊥ .探究案例1、已知梯形ABCD 中，//AB DC ，且2AB CD =，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD a = ，AB b = 。
试用,a b 为基底表示DC ,,BC EF .例2、已知a ＝b ＝１，3=+b a ，求a 与b 的夹角及b a -与b 的夹角.能力拓展 例３、如图所示，在ΔOAB 中,,,b OB a OA ==M,N 分别是边OA,OB 上的点，且OM =a 31, ON ,21b =设AN 与BM 交于点Ｐ，试以b a ,为基底表示OP .归纳反思1、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步应用向量解决实际问题；2、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示。
高中数学必修四2.3.1平面向量基本定理导学案
高中数学必修四2.3.1平面向量基本定理导学案2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理【学习目标】1.了解平面向量基本定理；2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3.能够在具体问题中适当选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【新知自学】知识回顾：1、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个，记作；规定：（1）|λ|=（2）λ>0时，λ与方向；λλ=0时，λ=2．运算定律：结合律：λ(μ)=；分配律：(λ+μ)=，λ(+)=3.向量共线定理：向量与非零向量共线，则有且只有一个非零实数λ，使=λ.新知梳理：1．给定平面内两个向量，，请你作出向量3+2，-2，2.由上，同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ1+λ2的向量表示？平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使不共线的向量，叫做这一平面内表示所有向量的一组基底。
思考感悟：(1)基底不惟一，关键是；不同基底下，一个向量可有不同形式表示；(2)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一确定的数.3.向量的夹角:平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？已知两个非零向量、，作，，则∠AOB＝，叫向量、的夹角。
当=，、同向；当=，、反向；统称为向量平行，记作如果=，与垂直，记作⊥。
对点练习：1.设、是同一平面内的两个向量，则有()A.、一定平行B.、的模相等C.同一平面内的任一向量都有＝λ+μ(λ、μ∈R)D.若、不共线，则同一平面内的任一向量都有=λ+u(λ、u∈R)2.已知向量＝-2，＝2+，其中、不共线，则+与＝6-2的关系（）A.不共线B.共线C.相等D.无法确定3.已知λ1＞0，λ2＞0，、是一组基底，且＝λ1+λ2，则与，与．(填共线或不共线).【合作探究】典例精析：例1：已知向量，求作向量 2.5+3变式1：已知向量、(如图),求作向量：（1）+2. （2）-+3例2:如图，，不共线，且，用，来表示变式2：已知G为△ABC的重心,设=,=,试用、表示向量.【课堂小结】知识、方法、思想【当堂达标】1.设是已知的平面向量且,关于向量的分解,其中所列述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,有如下四个命题：①给定向量,总存在向量,使;②给定向量和,总存在实数和,使;③给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使;④给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使;上述命题中的则真命题的个数是()（）A．1B．2C．3D2.如图，正六边形ABCDEF中，=A．B．C．D．3.在中，，，，为的中点，则____________.（用表示）【课时作业】1、若、不共线，且λ+μ=（λ、μ），则（）A．=,=B．=0,=0C．=0,=D．=,=02．在△ABC中，AD→＝14AB→，DE∥BC，且DE与AC相交于点E，M 是BC的中点，AM与DE相交于点N，若AN→＝xAB→＋yAC→(x，y∈R)，则x＋y等于()A．1B.12C.14D.183．在如图所示的平行四边形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN→＝________.(用a，b表示)．4.如图ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，，和5.设与是两个不共线向量,=3+4,=-2+5,若实数λ、μ满足λ+μ=5-,求λ、μ的值.6如图，在△ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，求实数m的值．7.如图所示，P是△ABC内一点，且满足条件AP→＋2BP→＋3CP→＝0，设Q为CP延长线与AB的交点，令CP→＝p，用p表示CQ→.【延伸探究】已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+++=4。
【新导学案】高中数学人教版必修四：231《平面向量的基本定理》.doc
2. 3. 1《平面向量的基本定理》导学案【学习目标】1、知道平面向量基木定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步应用向量解决实际问题；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示.【重占聊占】1.教車重兀平面向量基本定理2.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用【学法指导】：通过回顾复习向量的线性运算,提出新的疑惑.为新授内容做好铺梨.【知识链接】（一）复习回顾1.实数与向量的积：实数入与向量刁的积是一个向量，记作：x a（1）| _________ 5 |= ；____________________________ （2）入＞0时入方与方方向 ___ ；入＜0时入力与力方向；入=0时入2.运算定律结合律：入（卩方）= ______ ；分配律：（入+p）N= _____ , ^（a+b）= _________ .3•向量共线定理向量方与非零向量万共线的充要条件是：有且只有一个非零实数入, 使 .（二）阅读教材，提出疑惑：如何通过向量的线性运算来表示出平面内的任意向量？【学习过程】（一）定理探究：平面向量基本定理：____________________________________________________________________ 探究：⑴ 我们把不共线向量6、°叫做一表示这一平面内所有向量的______________________ ；（2）_______________________ 基底不惟一，关键是；（3）由定理可将任一向量a在给出基底e】、£.2的条件下进行分解；⑷ 基底给定时，分解形式_________ .即X,入2是被石唯一确定的数量（二）例•题讲解■ • - » •例1己知向量引，e2求作向量2.5勺+3e2 .例2、如图占B0的两条对角线交于点M,且AB=a. AD=b ,用万，方表示胚4, MB ,D C例3己知AB£p的两条对角线AC与BD交于E, O是任意一点，求证:OA + OB-^OC + OD=4OE例4 （1）如图，OA, 0B 不共线，AP=xAB（t 04,方表示0?.（2）设刃、西不共线，.点P在O、A、B所在的平面内，且OP = （l-t）OA + tOB（te R）.求证：A、B、P三点共线.例5已知a=2e r3e2f b= 2ei+3e2,其中引，血不共线,向量c=2e l-9e2f问是否存在这样的实数2、"，使2 =航+加与c共线.【学习反思】【拓展提升】1.设°、02是同一平面内的两个向量，则有（）A.®、02—定平行B©、02的模相等C.同一平面内的任一向量a都有。
平面向量基本定理导学案
§2.3.1平面向量基本定理高一（ ）班 姓名： 上课时间：【目标与导入】1、学习平面向量基本定理及其应用；2、学会在具体问题中适当选取基底，使其他向量能够用基底来表达。
【预习与检测】1、点C 在线段AB 上，且35AC AB --→--→= ，AC BC λ--→--→=,则λ等于（ ）A 、23B 、32C 、-23D 、-322、设两非零向量12,e e →→不共线，且12k e e →→+与12e k e →→+共线，则k 的值为（ ）。
.1.1.1.0A B C D -± 3、已知向量12,e e →→，作出向量1223OA e e →→=+与122(3)OB e e →→=+-。
两个向量相加与物理学中的两个力合成相似，如果与力的分解类比，上述所作的OA 分解成两个向量：在1e →方向上的____与在2e →方向上的______，OB 则分解成_____与_____。
4、阅读课本P93—94，了解平面向量基本定理：如果12,e e →→是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的______向量a →，有且只有一对实数12,λλ，使_____________，其中不共线的向量12,e e →→叫做表示这一平面内所有向量的一组__________。
5、已知两个非零向量,a b →→，作,O A a O B b →→→→==，则()0180A O B θθ∠=︒≤≤︒叫做向量a →与b →的__________，若0θ=︒,则a →与b →_______；若180θ=︒,则a →与b →__________；若90θ=︒,则a →与b →_______，记作______。
【精讲与点拨】如图所示，在平等四边形ABCD 中，AH=HD ，MC=14BC ，设,AB a AD b →→→→==，以,a b →→为基底表示,,AM MH MD →→。
C2e →1e →A B【检测与纠错】1、设12,e e →→是同一平面内的两个向量，则有（ ）12.,A e e →→一定平行 12.,B e e →→的模相等.C 同一平面内的任一向量a →都有()12,a e e R λμλμ→→→=+∈.D 若12,e e →→不共线，则同一平面内的任一向量a →都有()12,a e e R λμλμ→→→=+∈2.在ABCD 中，23BP BC →→=，若,AB a BC b →→→→==, PD →=( )A 、13a b →→+ B 、13a b →→-+ C 、13a b →→- D 、13a b →→--【作业与预习】A 组：如图所示，梯形ABCD 中，AB//CD ，且AB=2CD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，设1AB e →→=，2AD e →→=，以1e →，2e →为基底表示,,,EF BC CD AC →→→→。
导学案026平面向量基本定理及其坐标表示
平面向量的基本定理及其坐标表示考纲要求1.了解平面向量基本定理及其意义，会用平面向量基本定 理解决简单问题．2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 考情分析1.平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条件的应用是重点．2.向量的坐标运算可能单独命题，更多的是与其他知识点交汇，其中以与三角和解析几何知识结合为常见．3.常以选择题、填空题的形式出现，难度为中、低档. 教学过程基础梳理一、平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理：如果e 21与e 是同一平面内的两个（ ）向量，那么对于这一平面内的任意向量a ， 一对实数λ1，λ2，使a ＝ .其中，不共线的向量e 21与e 叫做表示这一平面内所有向量的一组 ．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解． 3．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使a ＝xi ＋yj ，把有序数对 （ ） 叫做向量a 的坐标，记作a ＝ （ ） ，其中 叫做a 在x 轴上的坐标， 叫做a 在y 轴上的坐标．(2)设向量OA ＝xi ＋yj ，则向量OA 的坐标(x ，y)就是 的坐标，即向量OA ＝(x ，y)，则A 点坐标为 ( ) ，反之亦成立．(O 是坐标原点)二、平面向量坐标运算1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ＋b ＝ ( ， ) a －b ＝( ， ) λa ＝ ( ， )．2．向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量AB ＝（ ）| AB |＝ .三、平面向量共线的坐标表示设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，其中b ≠0.若a ∥b ⇔双基自测1．下列各组向量：①e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)；②e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)；③e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是 （ ） A ．① B ．①③ C ．②③ D ．①②③2．已知向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,3)，c ＝(x ，－2)且b ∥c ，则x 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－23．(教材习题改编)已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则与AB 同向的单位向量是 ( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－354．在平行四边形ABCD 中，若AB ＝(1,3)，AC ＝(2,5)，则AD ＝________，BD ＝________.5．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别是CD ，AB 的中点，设AB ＝a ，AD ＝b .若MN ＝ma ＋nb ，则nm＝________.典例分析考点一 平面向量基本定理[例1] (2012·南京模拟)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC ＝λAE ＋μAF ，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.变式1．(2012·舟山模拟)如图，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包含边界)．设OP ＝m OP1＋n op2，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数m ，n 满足( )A ．m >0，n >0B ．m >0，n <0C ．m <0，n >0D ．m <0，n <0用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.考点二、平面向量的坐标运算[例2] (2012·绍兴模拟)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则BD ＝ ( )A ．(2,4)B ．(3,5)C ．(－3，－5)D ．(－2，－4)变式2．(2012·淮安模拟)已知向量a ＝(6,4)，b ＝(0,2)，OC ＝a ＋λb ，O 为坐标原点，若点C 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x 的图象上，则实 数λ的值为________．1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而使几何问题可转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用． 提醒：向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，其起点和终点的坐标都变了，但向量的坐标不变.考点三、平面向量共线的坐标表示[例3] (2011·广东高考)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c 则λ＝ ( )A.14 B.12 C ．1D ．2变式3．(2011·北京西城区期末)已知点A (－1,1)，点B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB ∥a ，则实数y 的值为 ( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8向量平行(共线)的充要条件的两种表达形式是：a ∥b(b ≠0)⇔a ＝λb ，或x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定．利用两个向量共线的条件列方程(组)，还可求未知数的值．一个区别向量坐标与点的坐标的区别：在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA →＝(x ，y )．当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变，即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化． 两个防范(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.本节检测1．设平面向量a ＝(－1,0)，b ＝(0,2)，则2a －3b ＝( )A ．(6,3)B ．(－2，－6)C ．(2,1)D ．(7,2)2．(2012·黔西南州模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x)，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．23．(2012·宁德模拟)已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32bB.12－32C ．－32a －12bD ．－32＋12b4．(2012·嘉兴模拟)已知a ，b是不共线的向量，A B＝λa ＋b ，A C＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝15．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F.若A C ＝a ，B D ＝b ，则AF＝( )A.14a ＋12b B.23＋13C.12a ＋14bD.13＋236．(2011·湖南高考)设向量a ，b 满足|a|＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a的坐标为________．7．设e1、e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a、b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.自我反思。
导学案025平面向量基本定理及其坐标表示
平面向量的基本定理及其坐标表示考纲要求1.了解平面向量基本定理及其意义，会用平面向量基本定 理解决简单问题．2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 考情分析1.平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条件的应用是重点．2.向量的坐标运算可能单独命题，更多的是与其他知识点交汇，其中以与三角和解析几何知识结合为常见．3.常以选择题、填空题的形式出现，难度为中、低档. 教学过程基础梳理一、平面向量基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理：如果e 21与e 是同一平面内的两个（ ）向量，那么对于这一平面内的任意向量a ， 一对实数λ1，λ2，使a ＝ .其中，不共线的向量e21与e 叫做表示这一平面内所有向量的一组 ．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解． 3．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使a ＝xi ＋yj ，把有序数对 （ ） 叫做向量a 的坐标，记作a ＝ （ ） ，其中 叫做a 在x 轴上的坐标， 叫做a 在y 轴上的坐标．(2)设向量OA ＝xi ＋yj ，则向量OA 的坐标(x ，y)就是 的坐标，即向量OA ＝(x ，y)，则A 点坐标为 ( ) ，反之亦成立．(O 是坐标原点)二、平面向量坐标运算1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ＋b ＝ ( ， ) a －b ＝( ， ) λa ＝ ( ， )．2．向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量AB ＝( ， )， | AB |＝ .三、平面向量共线的坐标表示设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，其中b ≠0.若a ∥b ⇔双基自测1．下列各组向量：①e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)；②e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)；③e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是 （ ） A ．① B ．①③ C ．②③ D ．①②③2．已知向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,3)，c ＝(x ，－2)且b ∥c ，则x 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－23．(教材习题改编)已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则与AB 同向的单位向量是( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫－35，45 C.⎝⎛⎭⎫－45，35 D.⎝⎛⎭⎫45，－35 4．在平行四边形ABCD 中，若AB ＝(1,3)，AC ＝(2,5)，则AD ＝________，BD ＝________.5．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别是CD ，AB 的中点，设AB ＝a ，AD ＝b .若MN ＝ma ＋nb ，则nm＝________.1．平面向量基本定理的理解(1)平面内任意两个不共线的向量都可以作为这个平面的基底．单位正交基底是进行向量运算最简单的一组基底．(2)平面内任一向量都可以表示为给定基底的线性组合，并且表示方法是唯一的．但不同的基底表示形式是不同的．(3)用基底表示向量的实质是向量的线性运算． 2．共线向量充要条件的应用技巧两个向量共线的充要条件在解题中应用非常广泛：已知坐标，判定平行；已知平行，可求参数．但要注意与共线向量定理结合应用，如果求与一个已知向量共线的向量时，用后者更简单．典例分析考点一 平面向量基本定理[例1] (2012·南京模拟)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC ＝λAE ＋μAF ，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！) 1．(2012·舟山模拟)如图，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包含边界)．设OP ＝m OP1＋n op2，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数m ，n 满足( )A ．m >0，n >0B ．m >0，n <0C ．m <0，n >0D ．m <0，n <0[冲关锦囊]用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.考点二、平面向量的坐标运算 [例2] (2012·绍兴模拟)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则BD ＝( ) A ．(2,4)B ．(3,5)C ．(－3，－5)D ．(－2，－4)[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)2．(2012·淮安模拟)已知向量a ＝(6,4)，b ＝(0,2)，OC ＝a ＋λb ，O 为坐标原点，若点C 在函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π12x 的图象上，则实 数λ的值为________．[冲关锦囊]1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而使几何问题可转化为数量运算． 2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．提醒：向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，其起点和终点的坐标都变了，但向量的坐标不变.考点三、平面向量共线的坐标表示 [例3] (2011·广东高考)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c 则λ＝ ( )A.14B.12 C ．1D ．2[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！) 4．(2011·北京西城区期末)已知点A (－1,1)，点B (2，y )，向量 a ＝(1,2)，若AB ∥a ，则实数y 的值为 ( )A ．5B ．6C ．7D ．8[冲关锦囊]向量平行(共线)的充要条件的两种表达形式是：a ∥b(b ≠0)⇔a ＝λb ，或x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定．利用两个向量共线的条件列方程(组)，还可求未知数的值．一、选择题1．设平面向量a ＝(－1,0)，b ＝(0,2)，则2a －3b ＝( ) A ．(6,3) B ．(－2，－6) C ．(2,1)D ．(7,2)2．(2012·黔西南州模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( ) A ．－2 B ．0 C ．1D ．23．(2012·宁德模拟)已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( ) A ．－12a ＋32bB.12a －32b C ．－32a －12bD ．－32a ＋12b4．(2012·嘉兴模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝15．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC＝a ，BD ＝b ，则AF＝( )A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14bD.13a ＋23b二、填空题6．(2011·湖南高考)设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．7．设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a 、b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .三、解答题8．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC ＝13AB ，DA ＝－13BA，求点C ，D 的坐标和CD 的坐标．9．已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )． (1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式；(2)若AC ＝2AB，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB ∥AC.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．10．(2012·东营模拟)已知P 为△ABC 内一点，且3AP ＋4BP ＋5CP ＝0.延长AP 交BC 于点D ，若AB ＝a ，AC ＝b ，用a 、b 表示向量AP 、AD .解：∵BP ＝AP －AB ＝AP －a ，CP ＝AP －AC ＝AP－b ，又3AP ＋4BP＋5CP ＝0，∴3AP ＋4(AP －a )＋5(AP－b )＝0，化简，得AP ＝13a ＋512b .设AD ＝t AP(t ∈R)， 则AD ＝13ta ＋512tb .①又设BD＝k BC (k ∈R)， 由BC ＝AC －AB＝b －a ，得 BD ＝k (b －a )．而AD ＝AB ＋BD ＝a ＋BD ， ∴AD＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋kb .②由①②，得⎩⎨⎧13t ＝1－k ，512t ＝k .解得t ＝43.代入①，有AD ＝49a ＋59b .。
高中数学必修四导学案-平面向量基本定理
2. 3.1 平面向量基本定理教学目标：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量 解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.教学过程：一、 复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .二、讲解新课： 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e .探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量三、讲解范例：例1 已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e .例2 如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且=a，=b ，用a ，b 表示，，和例3已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：+++=4例4（1）如图，，不共线，=t (t ∈R)用，表示. （2）设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且(1)()OP t OA tOB t R =-+∈.求证：A 、B 、P 三点共线.例5 已知 a =2e 1-3e 2，b = 2e 1+3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实数,d a b λμλμ=+、使与c 共线.四、课堂练习：见教材五、小结（略）六、课后作业（略）：七、板书设计（略）八、教学反思2.3.1平面向量的基本定理课前预习学案一、预习目标:通过回顾复习向量的线性运算,提出新的疑惑.为新授内容做好铺垫.二、预习内容（一）复习回顾1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |= ；（2）λ>0时λa 与a 方向 ；λ<0时λa 与a 方向 ；λ=0时λa =2．运算定律 结合律：λ(μa )= ；分配律：(λ+μ)a = ， λ(a +b )= .3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 .(二)阅读教材,提出疑惑:如何通过向量的线性运算来表示出平面内的任意向量?课内探究学案一、学习目标 1、知道平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步应用向量解决实际问题；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示. 学习重难点：1. 教学重点：平面向量基本定理2. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用二、学习过程（一）定理探究：平面向量基本定理： 探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的 ;(2) 基底不惟一，关键是 ；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式 . 即λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 （二）例题讲解 例1 已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e . 例2、如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且AB =a ，AD =b ，用a ，b 表示MA ，MB 例3已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：OA +OB +OC +OD =4OE例4（1）如图，OA ，OB 不共线，AP =t AB (t ∈R)用OA ，OB 表示OP .（2）设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且(1)()OP t OA tOB t R =-+∈.求证：A 、B 、P 三点共线.例5 已知 a =2e 1-3e 2，b = 2e 1+3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实数,d a b λμλμ=+、使与c 共线.（三）反思总结课后练习与提高1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( )A.e 1、e 2一定平行B .e 1、e 2的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R )2.已知向量a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( )A.3 B .-3 C.0 D.24.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .5.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).。
高中数学 2.3.1平面向量基本定理课上导学案新人教版必修4
第二章§2.3.1 平面向量基本定理编号038【学习目标】1、知道平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步应用向量解决实际问题；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示.【学习重点】1. 教学重点：平面向量基本定理2. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用课上导学案【例题讲解】例1. 已知向量错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
求作向量 2.5错误！未找到引用源。
+3错误！未找到引用源。
.例2.已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
=4错误！未找到引用源。
例3.（1）如图，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
不共线，错误！未找到引用源。
=t错误！未找到引用源。
(t R)用错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
表示错误！未找到引用源。
.（2）设错误！未找到引用源。
不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且错误！未找到引用源。
.求证：A、B、P三点共线.例4. 已知 a =2e 1-3e 2，b = 2e 1+3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实数错误！未找到引用源。
与c 共线.【达标检测】1．设点O 是ABCD 两对角线的交点，下列向量组：①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB ，可作为该平面其他向量基底的是( )A ．①② B．①③C ．①④ D．③④2．已知向量a 与b 的夹角是45°，则向量2a 与－b 的夹角是__________．3.已知向量a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定4.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( )A.3 B .-3 C.0 D.25.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .6.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).自主小测答案：1．D 解析：根据基底的定义，只要两向量不共线便可作为基底，易知选D ．2．B 解析：由平面向量基本定理可知λ＝μ＝0，选B ．3．23 －13 解析：由方程组1212+2,=⎧⎨=-+⎩，a e e b e e 解得1212,3311.33⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩e a b e a b所以e 1＋e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －23b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋13b ＝23a －13b ． 当堂检测答案1．B 解析：易知AD 与AB 不共线，CA 与DC 不共线，故选B ． 2．135°。
13.高一数学导学案平面向量的基本定理(解析版)
6.3.1平面向量的基本定理导学案【学习目标】1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．【自主学习】知识点1 平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．知识点2 两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个非零向量a 和b ，如图，作OA →＝a ，OB →＝b ， 则∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]．②当θ＝0°时，a 与b 同向．③当θ＝180°时，a 与b 反向．(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.【合作探究】探究一 基底的概念【例1】下面说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a 和一组基底e 1，e 2，使a ＝λe 1＋μe 2成立的实数对一定是唯一的．A ．②④B ．②③④C ．①③D ．①③④ [答案] B[解析] 因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故②③正确，①不正确；由平面向量基本定理知④正确．综上可得②③④正确．归纳总结：根据平面向量基底的定义知，判断能否作为基底问题可转化为判断两个向量是否共线的问题，若不共线，则它们可以作为一组基底；若共线，则它们不能作为一组基底.【练习1】设{e 1，e 2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D ．e 1和e 1＋e 2[答案] B解析：在B 中，因为6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)，所以(3e 1－4e 2)∥(6e 1－8e 2)．所以3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为基底，其他三个选项中的两组向量都不平行，故都可以作为一组基底．探究二 用基底表示向量【例2】如图所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M 、N 分别是边OA 、OB 上的点，且OM→＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →交于点P ，用向量a 、b 表示OP →.[答案]OP →＝15a ＋25b .[分析] 利用“表示方法的唯一性”确定参数，进而确定λ1，λ2. [解] ∵OP →＝OM →＋MP →，OP →＝ON →＋NP →， 设MP →＝mMB →，NP →＝nNA →，则OP →＝OM →＋mMB →＝13a ＋m (b －13a )＝13(1－m )a ＋m b ，OP →＝ON →＋nNA →＝12(1－n )b ＋n a .∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧13(1－m )＝n ，12(1－n )＝m ，∴⎩⎨⎧m ＝25，n ＝15.∴OP →＝15a ＋25b .归纳总结：将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断转化，直至用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.【练习2】如图所示，已知在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以{a ，b }为基底表示DE →、BF →.[答案]DE →=a －12b; BF →＝b －12a解：∵四边形ABCD 是平行四边形， E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点， ∴AD →＝BC →＝2BE →，CD →＝BA →＝2CF →， ∴BE →＝12AD →＝12b ，CF →＝12CD →＝12BA →＝－12AB →＝－12a .∴DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE →＝－b ＋a ＋12b ＝a －12b .BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →＝b －12a .探究三 平面向量基本定理的应用【例3】如图所示，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，M 为AD 的中点，若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ的值为( )A.53B.－12C.12D.23[答案] D[解析] ∵在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，∴在△ABD 中，BD ＝12AB ＝1.又BC ＝3，∴BD ＝13BC ，∴AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →.∵M 为AD 的中点， ∴AM →＝12AD →＝12AB →＋16BC →.∵AM →＝λAB →＋μBC →， ∴λ＝12，μ＝16，∴λ＋μ＝23.归纳总结：应用平面向量基本定理解题时，关键在于选取合适的基底，要注意与已知条件的联系.【练习3】如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP : PM 与BP : PN 的值．[答案] AP :PM ＝4:1，BP :PN ＝3:2解：设BM →＝e 1，CN →＝e 2，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1，BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2. 因为点A ，P ，M 和点B ，P ，N 分别共线，所以存在实数λ，μ使得AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2，BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2. 故BA →＝BP →＋P A →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 又BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35，所以AP →＝45AM →，BP →＝35BN →，所以AP :PM ＝4:1，BP :PN ＝3:2.课后作业A 组 基础题一、选择题1．等边△ABC 中，AB →与BC →的夹角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 答案 D2．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A ．e 1－e 2，e 2－e 1 B ．2e 1＋e 2，e 1＋12e 2C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1－e 2 答案 D3．下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③ 答案 B4．若a 、b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ∈R )，则( ) A ．a ＝0，b ＝0 B ．λ＝μ＝0 C ．λ＝0，b ＝0 D ．a ＝0，μ＝0 答案 B5.如图所示，平面内的两条直线OP 1和OP 2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅰ部分，则实数a ，b 满足( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0 答案 C解析 当点P 落在第Ⅰ部分时，OP →按向量OP 1→与OP 2→分解时，一个与OP 1→反向，一个与OP 2→同向，故a <0，b >0.6．下列说法中，正确说法的个数是( )①在△ABC 中，{AB →，AC →}可以作为基底； ②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的； ③零向量不能作为基底． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] C解析：①③正确，②错误．7．如图，设O 是▱ABCD 两对角线的交点，有下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内所有向量基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④ [答案] B解析：AD →与AB →不共线，DA →∥BC →，CA →与DC →不共线，OD →∥OB →，则∥∥可以作为该平面内所有向量的基底．8．M 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为三边BC ，AB ，AC 的中点，则MA →＋MB →＋MC →等于( )A ．6ME →B ．－6MF →C ．0D ．6MD → 答案 C解析 MA →＋MB →＋MC →＝MA →＋2MD →＝MA →＋AM →＝0. 二、填空题9.设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号) 答案 ①②④解析 对于③4e 2－2e 1＝－2e 1＋4e 2＝－2(e 1－2e 2)，∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，不能作为基底．10.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.答案 14a ＋34b解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b . 11．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________. 答案 －74m ＋138n解析 设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3－3x －2y ＝2⇒⎩⎨⎧x ＝－74，y ＝138.12．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________.(用b 、c 表示)答案 23b ＋13c解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝23b ＋13c .13．已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y ＝3. [答案] 3解析：∵e 1、e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3.14.如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．答案 6解析 如图，以OA 、OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，则OC →＝OD →＋OE →.在Rt △OCD 中，∵|OC →|＝23，∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°， ∴|OD →|＝4，|CD →|＝2，故OD →＝4OA →， OE →＝2OB →，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.15．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 答案 12解析 易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →.所以λ1＋λ2＝12.三、解答题16.如图所示，在△ABC 中，点M 为AB 的中点，且AN ＝12NC ，BN 与CM 相交于点E ，设AB→＝a ，AC →＝b ，试以a ，b 为基底表示AE →.解 ∵AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线知存在实数λ满足AE →＝λAN →＋(1－λ)AB →＝13λb ＋(1－λ)a .由C ，E ，M 三点共线知存在实数μ满足 AE →＝μAM →＋(1－μ)AC →＝μ2a ＋(1－μ)b .∴⎩⎨⎧1－λ＝μ2，1－μ＝λ3，解得⎩⎨⎧λ＝35，μ＝45.∴AE →＝25a ＋15b .17.如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1. 证明 设AB →＝b ，AC →＝c ， 则AM →＝12b ＋12c ，AN →＝23AC →，BN →＝BA →＋AN →＝23c －b .∵AP →∥AM →，BP →∥BN →，∴存在λ，μ∈R ，使得AP →＝λAM →，BP →＝μBN →， 又∵AP →＋PB →＝AB →，∴λAM →－μBN →＝AB →， ∴由λ⎝⎛⎭⎫12b ＋12c －μ⎝⎛⎭⎫23c －b ＝b 得⎝⎛⎭⎫12λ＋μb ＋⎝⎛⎭⎫12λ－23μc ＝b .又∵b 与c 不共线．∴⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，12λ－23μ＝0.解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.故AP →＝45AM →，即AP ∶PM ＝4∶1.18．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，(1)如图1，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ，b 分别表示BF →，DE →. (2)如图2，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ，b 表示AG →. 解 (1)BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋12CD →＝AD →－12AB →＝－12a ＋b .DE →＝DC →＋CE →＝AB →－12AD →＝a －12b .(2)BD →＝AD →－AB →＝b －a ，∵O 是BD 的中点，G 是DO 的中点， ∴BG →＝34BD →＝34(b －a )，∴AG →＝AB →＋BG →＝a ＋34(b －a )＝14a ＋34b .B组能力提升一、选择题1.如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E是BC的中点，F是AE上一点，AF=2FE，则BF=（）A．1123AB AD-B．1132AB AD-C．1123AB AD-+D．1132AB AD-+【答案】C【解析】由梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E是BC的中点，F是AE上一点，AF=2FE，则221(332) BF BA AF AB AE AB AB AC =+=-+=-+⨯+1(3)AB AB AD DC=-+++11(32)AB AB AD AB=-+++1123AB AD=-+；故选：C2.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC a=，BD b=，则AF=（）A．1142a b+B．2133a b+C．1124a b+D．1233a b+【答案】B【解析】如图，可知222()333AF AC CF AC CD AC AB AC AO OB =+=+=-=-+=2112112132232233AC AC BD a a b a b ⎛⎫⎛⎫--=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选B. 3.ABC 中，M 、N 分别是BC 、AC 上的点，且2BM MC =，2AN NC =，AM 与BN 交于点P ，则下列式子正确的是（ ）A ．3142AP AB AC =+ B ．1324AP AB AC =+ C ．1124AP AB AC =+ D ．1142AP AB AC =+ 【答案】D【解析】如下图所示：连接MN ，则12NC MC AN BM ==，//MN AB ∴，PMN PAB △∽△，13PM MN AP BC ∴==， 因此，()333231444342AP AM AB BM AB BC AB BC ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭()31114242AB AC AB AB AC =+-=+.故选：D. 4.如图，在直角梯形ABCD 中，AB =2AD =2DC ，E 为BC 边上一点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3 EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 为AE 的中点，则BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ．−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ．−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D ．23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗【答案】B【解析】由图可知：BF →=12BA →+12BE →，BE →=23BC →，BC →=AC →﹣AB →，AC →=AD →+DC →，DC →=12AB →，∴BF →=﹣12AB →+13（AD →+12AB →﹣AB →）=﹣23AB →+13AD →，故选B ．5.如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+=（ ）A ．43B ．53C ．158D ．2【答案】B【解析】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，由此，()()11,1,1,,1,12AC AM BD ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，故11,12λμλμ=-=+， 解得415,,333λμλμ==+=.故选B. 6.如图四边形ABCD 为平行四边形，11,22AE AB DF FC ==，若AF AC DE λμ=+，则λμ-的值为（ ）A ．12B ．23C ．13D ．1【答案】D【解析】选取,AB AD 为基底，则13AF AD DF AB AD =+=+， 又()()122AF AC DE AB AD AB AD AB AD μλμλμλλμ⎛⎫⎛⎫=+=+++-=++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将以上两式比较系数可得1λμ-=．故选D ．7.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若34AF xAB AD =+，则x =( )A ．34B ．23C ．12D ．14【答案】C【解析】因为F 为DE 的中点，所以()12AF AD AE =+， 而1122AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+， 即有11132224AF AD AB AD AB AD ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，又34AF xAB AD =+，所以12x =． 故选：C ．二、填空题8.如图，在ABC 中，13B BCD →→=，点E 在线段AD 上移动（不含端点），若AE AB AC λμ→→→=+，则12λμ+的取值范围是_____．【答案】(10,3)+∞【解析】由题可知，13B BCD →→=，设()01AE mAD m =<<，则13AE m AB BC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()13m AB BA AC ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，所以2133AE m AB m AC →→→=+， 而AE AB AC λμ→→→=+，可得：21,33m m λμ==，所以1323m m λμ+=+()01m <<，设()33m f x m=+()01m <<， 由双钩函数性质可知，()f x 在()0,1上单调递减，则()()1101333f x f >=+=， 所以12λμ+的取值范围是(10,3)+∞.故答案为：(10,3)+∞.9.在ABC 中，D 为线段AB 上一点，且3BD AD =，若CD CA CB λμ→→→=+，则λμ= . 【答案】3 【解析】3BD AD =3331()4444CD CB BD CB BA CB CA CB CA CB →→→→→→→→→→∴=+=+=+-=+，又CD CA CB λμ→→→=+，31,44λμ∴==，3λμ∴=，故选：310.在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是 . 【答案】12【解析】由题意可知：3AP mAB nAC mAB nAE =+=+，,,A B E 三点共线，则：31m n +=，据此有：()3131936612n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当11,26m n ==时等号成立. 综上可得：31m n+的最小值是12.三、解答题11.如图，△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BG GE的值．解 设AG GD ＝λ，BG GE＝μ. ∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →，∴AD →＝12(AB →＋AC →)． 又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)，∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ2(1＋λ)AB →＋λ2(1＋λ)AC →. 又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)，∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →. 又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ3(1＋μ)AC →.∵AB →，AC →不共线， ∴⎩⎨⎧λ2(1＋λ)＝11＋μ，λ2(1＋λ)＝2μ3(1＋μ).解之，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝4，μ＝32. ∴AG GD ＝4，BG GE ＝32.。
[精品]新人教版必修四高中数学2.3.1《平面向量的基本定理》导学案
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231《平面向量的基本定理》导案【习目标】 1、知道平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量表示，初步应用向量解决实际问题；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底表示 【重点难点】1 教重点：平面向量基本定理 []2 教难点：平面向量基本定理的理解与应用【法指导】通过回顾复习向量的线性运算提出新的疑惑为新授内容做好铺垫【知识链接】 （一）复习回顾1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa[] （1）|λa|= ；（2）λ>0时λa与a方向 ；λ<0时λa与a方向 ；λ=0时λa= 2．运算定律结合律：λ(μa )= ；分配律：(λ+μ)a = ， λ(a +b)=3 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 (二)阅读教材提出疑惑如何通过向量的线性运算表示出平面内的任意向量?【习过程】 （一）定理探究：平面向量基本定理：探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的 ;(2) 基底不惟一，关键是 ；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式 即λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量（二）例题讲解例1 已知向量1e ，2e 求作向量 251e +32e例2、如图 ABD 的两条对角线交于点M ，且=a ，=b ，用a ，b表示，MB，MC和MD例3已知ABD的两条对角线A与BD交于E，O是任意一点，求证：+++=4例4（1）如图，，不共线，=t (t∈R)用，表示（2）设OA、OB不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且=-+∈求证：A、B、P三点共线(1)()OP t OA tOB t R例5 已知a=2e1-3e2，b= 2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数,d a bλμλμ、使与c共线=+【习反思】[]【拓展提升】1设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( )A e1、e2一定平行B e1、e2的模相等同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)D若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+u e2(λ、u∈R)2已知向量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系A不共线B共线相等 D无法确定3已知向量e1、e2不共线，实数、y满足(3-4y)e1+(2-3y)e2=6e1+3e2，则-y的值等于( )A3 B-3 0 D24已知a、b不共线，且c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1= 5已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a =λ1e1+λ2e2，则a与e1_____，a与e2_________(填共线或不共线)。
高一数学平面向量基本定理导学案
山西省原平市第一中学2012-2013学年高一数学平面向量基本定理导学案| § 4-05平面向量基本定坯“—、学习目标卩(1)使学生了解平面问量的基本定理及其意义；心(2)使学生会用平而向量的基本宦理处理向量共线问题。
文本研读问题一：请阅读P93到P94•思考前的内容，回答下列问题。
1 •平而向量基本左理是：2.一个平而内可以有多组“基底”吗？3.两个非零向量的兆角指什么？4.向量垂直的概念是什么？5 •指出下列两个向量的夹角:(1)非零向量2、B同向(2)非零向Ma x B反向6.若不共线的向Me1? e2是某一平而内的所有向量的一组基底，且me,+ne2 =xej+|.ie2 ,则m, n,九,卩之间存在什么关系？问题二：谙阅读下而•的例题。
例题:如下面左图,|BA|=6,|BF|=2»|BC| = 4>/3 , ZFBC=150°,ZFBA=60°>若BA = a,BF = b, 用向Ma . B表示向量反解：如上面右图，过C作BF的平行线与BA交于点D,作BA的平行线与BF的反向延长线交于点E,则由向量加法的平行四边形法则反二BD + BE由ZFBC=150S ZFBA=60°可知ZEBC=30°, ZBCE二90。
于是BD二CE二BCtan30。
二 4 x — =4, BE二-BC = -二&3cos 30°y]3TX|BA|=6,|BF|=2,由向量数乘的泄义，BD =|BA,BE =-4BF.^BC = |BA-4BF = |a--4b课堂检测1•设丘表示“向北偏西15。
走10km J 6表示“向南偏东75。
走5knT,〔蓋示“向南偏西45。
泄15km”，写出下列「向量的夹角:(1)7 与B(2)(a+b)与E2.在上题中，用向Ma > 6表示向量c交流.点评四、实战演练1.已知a = h b = 2,且a-b与a垂直，则a与B的夹角是2•设e H e2是不共线的两个向OA F x1e1+y1e2, OB=x:e,+yoe2> AP=瓦那么可等于⑷[(1 一氐+ X』)y,+ 咒]e2(B) [Xi+(i— )x』e]+[ y】+(l_ )yj 52(0 [(1+ )xi+ xje ]+[(i+ )y,+ yJ ®(D) [X1+(1+ )x』Q]+[ y,+(l+ )y：l523.设R且A,B,C三点不共线，则AB+ BC+ CA=0r J^立的充要条件是(A) | | = | | = | | (B) 二二(C) + + 二0 (D)二二二04.已知疋为A氏与AD的和向感且AC = a, BD=/J,则AR •可用乳5表示为_______________5.设e lt e2是不共线的两个向虽:，若a=2e,-e2t方二3§-262・试判断W,丘能否作为基底？五.能力提升(A) 60°(B) 30°(0 135°(D) 45°】.如图，在AAOB中伍专贰貳冷西,AD与BC相交于M点，设云“，西二⑴试用二B表示向MOM： (2J在线段AC上取一点E,线段BD上取一点F,使EF过M点，设0E= OA, OF= 面•求证：+3 =7六.小结与反馈。
导学案1：2.2.1 平面向量基本定理
必修四第二章 平面向量2．2.1 平面向量基本定理教学目标1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。
2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣教学重点与难点1、重点：平面向量基本定理2、难点：平面向量基本定理[知识要点]．平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.说明：(1)我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一；(5)一个平面向量用一组基底e 1、e 2表示成a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式，我们称它为向量的分解。
当e 1、e 2互相垂直时，就称为向量的正交分解[预习自测]1.下面向量a 、b 共线的有（ ）(1)a =2e 1,b =-2e 2(2)a =e 1-e 2,b =-2e 1+2e 2 (3)a =4e 1-52e 2,b =e 1-101e 2 (4)a =e 1+e 2,b =2e 1-2e 2 (e 1、e 2不共线) A. (2)(3) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D. (1)(2)(3)(4)2.设一直线上三点A 、B 、P 满足AP =λPB (λ≠±1),O 是空间一点,则OP 用OA 、OB 表示式为（ ） A. OP =OA +λOBB. OP =λOA +(1-λ) OBC. OP =λλ++1OB OAD.OB OA OP λλ-+=111 3.若a 、b 是不共线的两向量,且AB =λ1a +b , AC =a +λ2b (λ1、λ2∈R ),则A 、B 、C 三点共线的充要条件为（ ）A.λ1=λ2=-1B.λ1=λ2=1C.λ1λ2+1=0D.λ1λ2-1=04.设OA 、OB 不共线,点P 在O 、A 、B 所在的平面内,且OP =(1-t) OA +t OB (t ∈R ),求证A 、B 、P 三点共线.5.当不为零的两个向量a 、b 不平行时,求使p a +q b =0成立的充要条件.[归纳反思]能力提升6.已知向量a =2e 1-3e 2,b =2e 1+3e 2,其中e 1、e 2不共线,向量c =2e 1-9e 2,问是否存在这样的实数λ、μ,使d =λa +μb 与c 共线?7.如下图，平行四边形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，H 、M 是AD 、DC 之中点，F 使BF ＝31BC ，以a 、b 为基底分解向量AM 与HF . 分析：以a ，b 为基底分解AB 与HF ，实为用a 与b 表示向量AM 与HF .答案预习自测:1. A2. C3. D5. p =q =06. 存在,λ=-2μ能使d 与c 共线7.解：由H 、M 、F 所在位置有：AM =AD +DM =AD +21DC =AD +21AB =b ＋21a ， HF ＝AF －AH ＝AB ＋BF －AH ＝AB ＋AD BC 2131 ＝AB ＋31AD －21AD ＝a －61b。
人教A版数学必修四导学案：2.3.1平面向量基本定理
2、 ABC中，若 D, E, F 依次是 AB 的四等分点，则以 CB e1,CA e2 为基底时， CF __________
3、若 OA e1 e2 ,OB 3e1 e2 ， OC me1 5e2 ，且 A, B,C 三点共线，
则实数 m _________________。
D M
A
C B
例 2、如图，质量为 m 的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为 ， 求斜面对物体的摩擦力 f 。
p f
f
W
例 3、设 e1, e2 是平面内的一组基底，若 AB 3e1 2e2, BC 4e1 e2, CD 8e1 9e2 求证： A, B, D 三点共线。
（1）求点 B,C 的坐标； （2）若 D 是 BC 的中点， OD 与 AC 相交于点 E ，求 OE 的坐标。
y
C
D
B
E
O
A
x
课题: 2.3.1 平面向量基本定理
班级：
姓名：
学号：
第 学习小组
【学习目标】
1、了解平面向量基本定理； 2、掌握平面向量基本定理及其应用。
【课前预习】
1、共线向量基本定理
一般地，对于两个向量 a a 0 ,b ，
如果有一个实数 ，使___________（ ），那么 b 与 a 是共线向量；反之，如果
四边形是____________
5、如图，ABCD是一个梯形，AB// CD 且 AB 2CD ，M 、N 分别是 DC 和 AB 中
D
MC
A
N
B
点，已知， AB a, AD b, 试用 a,b 表示 BC 和 MN 。
学案6：6.3.1 平面向量基本定理
6.3.1 平面向量基本定理[素养目标·定方向]知识点1 平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的________向量a ，_________实数λ1，λ2，使a ＝_________. 知识点2 基底若e 1，e 2________，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内_________向量的一个基底. [知识解读] 对平面向量基本定理的理解(1)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的.(2)基底给定时，分解形式唯一.λ1，λ2是被a ，e 1，e 2唯一确定的数值.(3)e 1，e 2是同一平面内所有向量的一组基底，则当a 与e 1共线时，λ2＝0；当a 与e 2共线时，λ1＝0；当a ＝0时，λ1＝λ2＝0．(4)由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量.[关键能力·攻重难]题型探究题型一 对基底概念的理解典例1 (多选)如果e 1、e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确．．．的是( ) A ．a ＝λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个C ．若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则λ1λ2＝μ1μ2D ．若实数λ、μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0[归纳提升] (1)对于平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的和的形式.(2)向量的基底是指平面内不共线的两个向量，事实上若e 1，e 2是基底，则必有e 1≠0，e 2≠0且e 1与e 2不共线，如0与e 1，e 1与2e 1，e 1＋e 2与2(e 1＋e 2)等，均不能构成基底. 【对点练习1】 (1)如果e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，那么( ) A ．若实数m 、n 使得m e 1＋n e 2＝0，则m ＝n ＝0B ．空间任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2为实数C ．对于实数m 、n ，m e 1＋n e 2不一定在此平面上D ．对于平面内的某一向量a ，存在两对以上的实数m ，n ，使a ＝m e 1＋n e 2(2)设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2．其中不．能作为平面内所有向量的一组基底的是______.(写出所有满足条件的序号) 题型二 用基底表示向量典例2 (1)D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列结论：①AD →＝－12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④EF →＝12a .其中正确的结论的序号为________.(2)如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用a ，b 表示DC →，EF →，FC →.[归纳提升] 用基底表示向量的三个依据和两个“模型” (1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则； ②向量减法的几何意义； ③数乘向量的几何意义. (2)模型：【对点练习2】 如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14题型三 平面向量基本定理的应用典例3 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ︰PM 与BP ︰PN 的值.[归纳提升] (1)平面向量基本定理唯一性的应用设a ，b 是同一平面内的两个不共线向量，若x 1a ＋y 1b ＝x 2a ＋y 2b ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2.(2)重要结论：设e 1，e 2是平面内一组基底，当λ1e 1＋λ2e 2＝0时恒有λ1＝λ2＝0 若a ＝λ1e 1＋λ2e 2当λ2＝0时，a 与e 1共线当λ1＝0时，a 与e 2共线 λ1＝λ2＝0时，a ＝0【对点练习3】 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.(2)如图，点A ，B ，C 是圆O 上三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点P .若OC →＝mOA →＋2mOB →，AP →＝λAB →，则λ＝________.参考答案[必备知识·探新知]知识点1 平面向量的基本定理不共线 任一 有且只有一对 λ1e 1＋λ2e 2 知识点2 基底 不共线 所有[关键能力·攻重难]题型探究题型一 对基底概念的理解 典例1 【答案】BC【解析】由平面向量基本定理可知，A 、D 是正确的.对于B ，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于C ，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0．故选BC ． 【对点练习1】 【答案】(1) A (2)③【解析】(1)选项B 中应为“平面内任一向量”，C 中m e 1＋n e 2一定在此平面上，选项D 中，m ，n 应是唯一的，只有A 正确.(2)①设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝0，无解，∴e 1＋e 2与e 1不共线，即e 1与e 1＋e 2可作为一组基底；②设e 1－2e 2＝λ(e 2－2e 1)，则(1＋2λ)e 1－(2＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2λ＝0，2＋λ＝0，无解，∴e 1－2e 2与e 2－2e 1不共线，即e 1－2e 2与e 2－2e 1可作为一组基底；③∵e 1－2e 2＝－12(4e 2－2e 1)，∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，即e 1－2e 2与4e 2－2e 1不可作为一组基底；④设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则(1－λ)e 1＋(1＋λ)e 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝0，1＋λ＝0，无解， ∴e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即e 1＋e 2与e 1－e 2可作为一组基底. 题型二 用基底表示向量 典例2 (1)【答案】①②③【解析】如图，AD →＝AC →＋CD →＝－b ＋12CB →＝－b －12a ，①正确；BE →＝BC →＋CE →＝a ＋12b ，②正确；AB →＝AC →＋CB →＝－b －a ，CF →＝CA →＋12AB →＝b ＋12(－b －a )＝12b －12a ，③正确；④EF →＝12CB →＝－12a ，④不正确. (2)解：因为DC ∥AB ，AB ＝2DC ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点， 所以FC →＝AD →＝a ，DC →＝AF →＝12AB →＝12b .EF →＝ED →＋DA →＋AF →＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－12×12b －a ＋12b ＝14b －a .【对点练习2】 【答案】A【解析】OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB →＝OA →＋13(OB →－OA →)＝23OA →＋13OB .∴x ＝23，y ＝13.题型三 平面向量基本定理的应用典例3 解：设BM →＝e 1，CN →＝e 2，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1， BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2．∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线， ∴存在实数λ，μ使得AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2，BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2．故BA →＝BP →＋P A →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2． 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.∴AP →＝45AM →，BP →＝35BN →，∴AP ︰PM ＝4，BP ︰PN ＝32.【对点练习3】 【答案】(1) 43 (2)23【解析】(1)设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.(2)∵OP →与OC →共线，∴存在实数μ，使OP →＝μOC →＝mμOA →＋2mμOB →. ∵AP →＝OP →－OA →，∴AP →＝mμOA →＋2mμOB →－OA →＝(mμ－1)OA →＋2mμOB →＝λAB →＝λ(OB →－OA →)＝－λOA →＋λOB →. ∵OA →与OB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧mμ－1＝－λ，2mμ＝λ，解得λ＝23.。
【新教材精创】6.3.1 平面向量基本定理 导学案(1)-人教A版高中数学必修第二册
6.3.1 平面向量基本定理1.理解平面向量基本定理及其意义;2.会用基底表示平面内某一向量;3.通过学习平面向量基本定理,让学生体验数学的转化思想,培养学生发现问题的能力。
1.教学重点:平面向量基本定理及其意义;2.教学难点:平面向量基本定理的探究。
1.平面向量基本定理如果e 1,e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a , 实数λ1,λ2,使a ＝ ．2．基底:不共线的向量e 1,e 2,我们把 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．一、探索新知探究:如图6.3-2（ 1）,设21e e ，是同一平面内两个不共线的向量,a 是这一平面内与21e e ，都不共线的向量,如图 6.3-2（ 2）,在平面内任取一点O,作,,,21a OC e OB e OA ===将a 按21e e ，的方向分解,你有什么发现?思考1.若向量a 与21e e 或共线,a 还能用2211e e a λλ+=表示吗?思考2.当a 是零向量时,a 还能用2211e e a λλ+=表示吗?思考3.设21e e ，是同一平面内两个不共线的向量,在2211e e a λλ+=中,21λλ，是否唯一?平面向量基本定理如果e 1,e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a , 实数λ1,λ2,使a ＝ ． 。
例1.如图,OB OA ,不共线,且)(R t AB t AP ∈=,用OB OA ,表示OP 。
思考:观察OB t OA t OP +-=)1(你有什么发现?例 2.如图,CD 是ABC ∆的中线,AB CD 21=,用向量方法证明ABC ∆是直角三角形。
2.平面向量基本定理及其补充说明:如果21e e ，是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数21λλ，,使 。
我们把}{21e e ，叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。
说明:(1).基底的选择是不唯一的;(2).同一向量在选定基底后,21λλ，是唯一存在的。
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平面向量基本定理（探究案）
【学习目标】
1.以力的合成与分解为背景，体会平面向量基本定理及其意义.
2会合理的选择基底表示相关向量，并会解答简单问题.
探究点 平面向量基本定理的应用
【例1】已知ΔABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，
设→AB =→a ，→AC =→b ，试用→a 、→b 表示→AD ,→
AE .
【拓展1】如图：平行四边形 OADB 中 ，,OA a OB b == 且, 11,33
BM BC CN CD == , 选择基底{,}a b , 求,,OM ON MN .
【例2】已知A,B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点，求证：对直线l 上任一点P ,存在实数t ,使OP 关于基底{,}OA OB 的分解式为: (1)OP t OA tOB =-+ .
【拓展2】如图，在三角形ABC 中，D,F 分别为BC ，AC 的中点，已知
2AD,AB a,3AE AC b ===
，
（1）用,a b 表示,,,AE AF BE BF . （2）求证：B ，E ，F 三点共线.
【我的收获】
B。