弹性力学 第七章

2 xy
x y z
x
Leabharlann Baidu
2 yz
y
2 zx
z
2 xy
2 yz zx xy
0
（7－6）即为求主应力公式
（7-6）
设 1, 2 , 3 是方程（7-6）的三个根，则：
1 2 3 0
3 1 2 3 2 23 31 12 123 0
与（7-6）式比较，则：
1 2 3 x y z
l xy m y n zy 0
l xy m yz n z 0
所以， l, m, n 不全为零
x xy xz
yx y
yz
zx zy 0 z
§7－3 主应力最大与最小应力
3 x y z 2
y z
z x
x
y
2 yz
2 zx
（7-2）
斜面上的正应力和切应力
n lpx mpy npz n l 2 x m2 y n2 z
2mn yz 2nl zx 2lm xy
（7-3）
p2
2 n
2 n
px2
p
2 y
pz2
2 n
px2
p
2 y
pz2
2 n
（7-4）
§7－2 物体内一点的应力状态
如果ABC是边界面， px, py , 成pz为面力分量 fx, fy, fz
§7－1 平衡微分方程
由受力平衡
Fx 0，Fy 0，Fz 0
图7－1
平衡微分方程
x
x
yx
y
zx
z
Fbx
0
xy
x
y
y
zy
z
Fby
0
xz
x
yz
y
z
z
Fbz
0
§7－1 平衡微分方程
由力矩平衡
M 0
切应力互等
二维
x
x
yx
y
fx
0
xy
x
y
y
fy
0
三维
x
x
yx
y
zx
z
Fbx
（7－7）
2
2 3
31
1 2
y z
z x
x y
2 yz
2 zx
2 xy
3
1 2 3
x y z
x
2 yz
y
2 zx
z
2 xy
2 yz zx xy
上式为应力状态的三个不变量
§7－3 主应力最大与最小应力
当求得主应力以后，利用下式求主方向
l( x ) m yx n zx 0 l xy m( y ) n zy 0
ρ
弹性体的形状一般为是圆柱或半空间。
轴对称问题
在轴对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标ρ 、Z的函数， 与φ无关 。
u u , z ， uz uz , z ， u 0 ，
, , z , z，
z z 0，
, , z , z ，
z 0
§7－1 平衡微分方程
球对称问题
在球对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标 的函数。 R ， ， R ， ， ij ij 0 ，
uR R 0 ，
u u 0
概述
二、轴对称问题
如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称
与某一轴（过该轴的任一平面都是对称面），这时应力、
位移等都对称于这一轴，称为轴对称问题，轴对称问题的
设主应力与全应力分量的关系：
z
c
n
y
oa
xy P zy yz
yx z
zx xz
x
b
y
x
px l , py m , pz n
代入（7-2）式：
l x m yx n zx l l xy m y n zy m l xy m yz n z n
整理 l x m yx n zx 0 由于 l 2 m2 n2 1
( y
1)
n1 l1
zy
0
§7－3 主应力最大与最小应力
( x
1)
m1 l1
yx
n1 l1
zx
0
xy
m1 l1
( y
1)
n1 l1
zy
0
可以求得 m1 , n1 的比值，再利用 l 2 m2 n2 1 求出：
l1 l1
l1
1
2
2
1
m1 l1
n1 l1
同样也可以求出其他主应力的方向余弦。
弹性力学基本方程的求解一般是在 一定条件下，对问题进行简化，化简方 程再进行求解，简化后一般可分为平面 问题，轴对称问题、球对称问题。
概述
空间问题的解析解一般只能在特殊边界条件下才可以得到。可分为空间球对 称问题和空间轴对称问题。
一、球对称问题
当弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称 于某一点（过这一点的任一平面都是对称面），这时应 力、位移等都对称于这一点，称为球对称问题，球对称 问题的弹性体的形状只能是圆球或空心球。
§7-4 几何方程及物理方程
§7－4 几何方程及物理方程
空间问题的几何方程
x
u ， x
y
v ， y
z
w z
（7－8）
yz
1
2
w y
v z
,
zx
1 2
u z
w x
,
xy
1 2
v x
u y
或写称这种形式
（c）
l xy m yz n( z ) 0
为了求 1 相应的方向余弦， l1, m1, n1 利用上式的任意二式
l1( x 1) m1 yx n1 zx 0 l1 xy m1( y 1) n1 zy 0
将二式除以 l1
( x
1)
m1 l1
yx
n1 l1
zx
0
xy
m1 l1
空间问题的应力边界条件
cos(n，x) l 方向余弦： cos(n，y) m
cos(n，z) n
l x m yx n zx
s
fx
l xy m y n zy s f y
l xz m yz n z
s
fz
（在 s 上）
（7-5）
§7-3 主应力，最大与最小应力
§7－3 主应力最大与最小应力
第七章 空间问题的基本理论
第七章 空间问题的基本理论
概述 §7-1 平衡微分方程 §7-2 物体内一点的应力状态 §7-3 主应力 最大与最小主应力 §7-4 几何方程与物理方程 §7-5 轴对称问题的基本方程
概述
弹性力学基本方程建立了弹性力学 问题的数学模型，为求解弹性力学奠定 了基础。虽然这些方程的直接求解十分 困难，只有小部分可以得到分析解，这 些解已经有了广泛的应用，更为重要的 是这些方程的建立为有限元、边界元等 数值计算提供了基础。
0
xy
x
y
y
zy
z
Fby
0
xz
x
yz
y
z
z
Fbz
0
§7-2 物体内一点的应力状态
§7－2 物体内一点的应力状态
受力平衡，得到全应力分量
cos(n，x) l 方向余弦： cos(n，y) m
cos(n，z) n
l x m yx n zx px l xy m y n zy py l xy m yz n z pz