Chapter 2.5(1) 单纯形法
单纯形法新版
1 2
2 1
1 0
10，A 中的2阶可逆子阵有
1
B 1
0
10，其相应的基向量为P3
,
P 4
,
基变量为x
3
,
x
，X
4
B1
x 3 ; x 4
1
B 2
2
2 1
,
其相应的基向量为P 1
,
P 2
,
基变量为x
1
,
x
2
,
X
B2
x 1 。 x 2
问题：本例旳A中一共有几种基？ —— 6个。
一般地，m×n 阶矩阵A中基旳个数最多有多少个？ — —C m 个。 n
p 1
7
(0 0
0) 4
7;
3
360 90
3
4
[ ] 中表达进基列与出基行旳交叉元，下一张表将实 施以它为主元旳初等行变换（称高斯消去）。措施是： 先将主元消成1，再用此1将其所在列旳其他元消成0。
C X B b1
B
B
0
x 3
360
0
x 4
200
0
x 5
300
0
x 3
240
0
x 4
50
（1）先将模型化为原则型
Maxz 7 x1 12x2
9x 1 4x 2 x 3
5x 2 10 x
2
x 4
200
x 300 5
x
1, x
2, x , x , x
3
4
5
0
(2) 拟定初始基可行解、检验
1
B 0
1
,
B
b1
单纯形法——精选推荐
单纯形法单纯形法的基本思想（Simplex method ）简要地讲就是，每次从单纯形上的⼀个顶点⾛到⼀个更好的顶点直到找到最⼩（⼤）值。
线性规划是由两部分组成的：线性的⽬标函数和线性的限制条件。
限制条件由等式和不等式组成。
每⼀个线性的等式在⼏何上就限制了可⾏解必须在⼀个超平⾯上。
每⼀个线性的不等式在⼏何上就限制了可⾏解必须在⼀个超平⾯的⼀边。
于是这些限制条件就限制了可⾏解必须在某个单纯形上，所谓单纯形就是很多超平⾯围成的区域。
由于⽬标函数也是线性的，所以如果最优解存在，⼀定有⼀个最优解是单纯形上的⼀个顶点。
所以⽬标变成了找单纯形上最好的顶点。
最好的顶点怎么找？最直接的办法就是逐个找。
聪明⼀点的办法是，每次找到的新的顶点都⽐原来的好。
单纯形法就是这类⽅法。
问题描述min z =CXs.t.AX =b X ≥0单纯形法基本思路：从⼀个初始的基本可⾏解出发，选中⼀条达到最优基本可⾏解的最佳途径。
确定初始的基本可⾏解约束⽅程AX =b 表⽰为：AX =(B N )X B X N=BX B +NX N =b得：X B =B −1b −B −1NX N 若令所有⾮基变量X N =0，则基变量X B =B −1b由此可得初始的基本可⾏解X =B −1b 0判断现⾏的基本可⾏解是否最优假如已经求得⼀个基本可⾏解X =B −1b 0将其代⼊⽬标函数，可求得相应的⽬标函数值z =CX =C B C NB −1b 0=C B B −1b其中，C B 和C N 分别表⽰基变量和⾮基变量所对应的⽬标函数系数⼦向量.怎么判断C B B −1b 是否已经达到最⼩值？min z =C BB −1b+(C N −C BB −1N )XN s.t.X B =B −1b −B −1NX N X B ,X N ≥0定理1 （最优化准则）如果σN ≥0，则基可⾏解x =B −1b 0为原问题的最优解.其中，σN =C N −C B B −1N =(σm +1,σm +2,⋯,σn )称为⾮基变量X N 的检验向量，它的各个分量称为检验数.若σN 的每⼀个检验数均⼤于等于0，即σN ≥0，则⽬前的基本可⾏解就是最优解.()()()()()()基本可⾏解的改建— 基变换先从检验数为负的⾮基变量中确定⼀个换⼊变量，使它从⾮基变量变成基变量，再从原来的基变量中确定⼀个换出变量，试它从基变量变成⾮基变量，由此可得到⼀个新的基本可⾏解.换⼊变量的确定—最⼤减⼩原则选取最⼩负检验数所对应的⾮基变量为换⼊变量，即若min {σj |σj <0,m +1≤j ≤n }=σm +k则选取对应的x m +k 为换⼊变量.由于σm +k <0且为最⼩，因此当x m +k 由零增⾄正值时，可使⽬标函数值最⼤限度的减⼩.换出变量的确定—最⼩⽐值原则如果确定确定x m +k 为换⼊变量，设p m +k 为A 中与x m +k 对应的系数列向量.现在需要在X B 中确定⼀个基变量为换出变量. 当x m +k 由零慢慢增加到某个值时，为保持解的⾮负性，可以按最⼩⽐值原则确定换出变量：θ=min {(B −1b )i(B −1p m +k )i|(B−1p m +k )i >0,1≤i ≤m }=(B −1b )l(B −1p m +k )l则选取对应的基变量x l 为换出变量.例⼦min z =−5x 1−2x 2−3x 3+x 4−x 5s.t.x 1+2x 2+2x 3+x 4=83x 1+4x 2+x 3+x 5=7x 1,x 2,x 3,x 4,x 5≥0解：已知A =1221034101，b =87，C =(−5,−2,−3,1,−1)1. 确定初始基本可⾏解基变量x 4，x 5，B =P 4P 5=1001，X B =x 4x 5T ，X N =x 1x 2x 3T ，B =1001，N =122341，C B =1−1，X N =−5−2−3b =87T令X N =0，则X B =B −1b =87T ，X =00087Tz =C B B −1b =11. 检验X 是否最优检验向量σN =C N −C B B −1N =(−3,0,−4)因为σ1和σ3均⼩于0，所以X =00087T 不是最优解.1. 基本可⾏解的改进（1）选取换⼊变量{[][]()[]()()[][]()()()()()()因为min {−3,−4}=−4，选取x 3为换⼊变量（2）选取换出变量B −1b =87T ，B −1P 3=21T >0，因为min {82,71}=82，选取x 4为换出变量.1. 求解改进了的基本可⾏解— 旋转运算对约束⽅程组的增⼴矩阵A b 施以初等⾏变换，使换⼊变量x 3所对应的系数向量P 2变换成换出向量x 4所对应的单位向量P 4，保持x 5的系数向量P 5为单位向量不变.122108341017⇒121112045230−1213基变量x 3，x 5，B =P 3P 5=1001，X B =x 3x 5T ，X N =x 1x 2x 4T ，B =1001，N =12112523−12，C B =−3−1，X N =−5−2−1b =43T令X N =0，则X B =B −1b =43T ，X =00403Tz =C B B −1b =−151. 转2，检验X 是否最优检验向量σN =C N −C B B −1N =(−1,4,2)因为σ1⼩于0，所以X =00403T 不是最优解.1. 转3，基本可⾏解的改进（1）选取换⼊变量因为σ1=−1，选取x 1为换⼊变量（2）选取换出变量B −1b =43T ，B −1P 3=1252T>0，因为min {41/2,35/2}=35/2，选取x5为换出变量.1. 转4，求解改进了的基本可⾏解对约束⽅程组的增⼴矩阵施以初等⾏变换，使换⼊变量x 1所对应的系数向量P 1变换成换出向量x 5所对应的单位向量P 5，保持x 3的系数向量P 3为单位向量不变.()()[]()()()[]()()[][]()()()()()()()()121112045230−1213⇒25135−151751650−152565基变量x3，x1，B=P3P1=10 01，X B=x3x1T，X N=x2x4x5T，B=1001，N=2535−1565−1525，C B=−3−5，X N=−21−1b=17565T令X N=0，则X B=B−1b=17565T，X=65017500Tz=C B B−1b=−8151. 转2，检验X是否最优检验向量σN=C N−C B B−1N=(265,95,25)因为所有检验系数均⼩于0，所以X=65017500T是最优解.参考资料()() ()[]()()[][]()()()()()()Processing math: 100%。
第二章 单纯形法
此时基变量为： x3 , x2 , x1
非基变量为：x4 , x5 得到另一基本可行解为：
X 2 4,6,4,0,0
T
z1 42
迭代结果
2 1 x3 x4 x5 4 3 3 1 x4 6 x2 2 2 1 x4 x5 4 x1 3 3
最小比值规则
当确定进基变量后，以进基变量的系数列向量 中的正数为分母，以相应的方程右端常数为分子求 最小比值，所得到的最小比值的分母就是主元。主 元所在的方程中的基变量就是离基变量。即：
bi bl min ik 0 aik alk
令新的非基变量 x3 x4 0 ,得到新的 基本可行解: T
12 36 12 x2 m in , 2 4 2
2是主元，其所在方程为主方程，且
x4 为离基变量。
此时基变量为： x3 , x2 , x5
非基变量为： x1 , x4 得到另一基本可行解为：
X1 0,6,8,0,12
T
z1 30
迭代结果
8 x1 x3 1 6 x2 x4 2 3 x 2 x x 12 1 4 5
单纯形法的3种形式——
方程组形式（代数形式） 表格形式 矩阵形式
单纯形法的基本思路——
基于LP问题的标准形，先设法找到某个基本 可行解（称为初始基本可行解）； 开始实施从这个基本可行解向另一个基本可 行解的转换，要求这种转换不仅容易实现， 而且能改善（至少保持）目标函数值； 继续寻找更优的基本可行解，进一步改进目 标函数值。当某一个基本可行解不能再改善 时，该解就是最优解。（或者是出现无可行 解、无最优解、无穷多最优解的情况）
单纯形法
单纯形法(SM ，simplex method)首先在n 维欧氏空间n E 中构造一个包含1n +顶点的凸多面体，求出各顶点的函数值并确定其中的最大值，次大值和最小值。
然后通过反射、扩张、内缩、缩边等求出一个较好解，用之取代最差点，从而构成新的多面体。
如此迭代可求得一个极小点。
具体步骤如下：①、 确定初始点。
②、 反射操作：求出1n +个顶点的函数值，确定其中最大值G f ，次大值H f 和最小值L f 。
除去最大值点G X ，计算剩余n 个点的形心X ，然后求出G X 关于X的对称点(2)n X +，计算(2)()n f X +。
若(2)()n L f X f +<，则令(3)(2)()n n X X X X γ++=+-，其中1γ>，取2γ=，并计算(3)()n f X +，若(3)(2)()()n n f X f X++<则用(3)n X +取代G X 转步骤⑤，否则用(2)n X +取代G X 转步骤⑤。
③、 若(2)()n L H f f X f +≤≤，则用(2)n X +取代G X 步骤⑤。
④、 若(2)()n H f X f +≥，则需要内缩，(2)(')min{(),()}n H f X f X f X +=，令(4)(')n X X X X β+=+-，其中0.5β=，计算(4)()n f X +，若(4)()(')n f X f X +≤，则用(4)n X +取代G X ，并转步骤⑤。
若(4)()(')n f X f X +>则缩边，即()/2i i L X X X =+，(1,2,,1)i n =+ ，转步骤⑤。
⑤、 若120.511{[()()]}1n i i f X f X n ε+=-<+∑，则停止，否则转②。
SM 简单，计算量小，优化快速，不需要函数可导。
但对初始值依赖性强，容易陷入局部极小，而且优化效果随函数维数增加明显下降。
单纯形法图解法及原理
单纯形法中的回归分析和误差分析
回归分析
可以通过对单纯形法求解结果进行回归分析，来评 估分析模型的预测准确性和误差范围。
误差分析
对求解过程中出现的误差进行识别和纠正，可以提 高最终结果的精度和可靠性。
单纯形法中的灵敏度分析
1 定义
指在问题模型的基础上， 分析经济因素变动后，最 优解是否发生变化及变化 的情况。
单纯形法在金融中的应用
• 风险投资的有效分配和投资策略的优化 • 金融风险评估和监控，包括信用风险、市场风险和操作风险等 • 资产组合的优化选取和资产价格预测分析，对于促进金融市场的稳定
化和发展有着重要的作用。
单纯形法在工程中的应用
设计优化
单纯形法可以帮助设计和优化复杂的工程模型，包 括航空航天、交通工程、化工工程等多个领域。
设备管理
通过对设备状况的分析和优化，可以减少维护需求 和停机时间，提高工艺效率和生产率。
单纯形法在决策分析中的应用
1 多因素决策
提供一种有效的决策分析方法，可以支持并评估多因素决策，如投资策略、市场营销、 人力资源等。
2 风险评估
通过单纯形法进行风险评估，可以识别和监控潜在风险，促进企业决策者更加科学的做 出决策，并降低风险损失。
可靠性分析
用于识别和减少潜在风险，从而提高模型求解结果 的可靠性。可靠性分析方法可以借鉴于统计学中的 相关理论与方法。
单纯形法在物流中的应用
供应网络优化
单纯形法可以应用在供应网络优化中，包括货物流通路径分析，成本和生产率优化等模型的 构建和求解等。
运输路线规划
单纯形法可以辅助选择最佳的运输路线，并对路线进行规划和优化，从而提高物流效率和降 低成本。
单纯法的工作原理
单纯形法
4
所以约束方程
AX=b 就可以表示为
XB A X = (B N ) =BX B +NX N =b XN
用可行基Ｂ的逆阵Ｂ-1左乘等式两端，再通过移项可推得： 用可行基Ｂ的逆阵Ｂ 左乘等式两端，再通过移项可推得：
X B =B b-B NX N
若令所有非基变量 X N =0 , 由此可得初始的基本可行解 则基变量
-1 -1
x m+1 =C B B b+(C N -C B B N)X N x m+2 C B B -1 b+ σ N X N = C B B -1 b+(σ m+1, σ m+1, σ n ) x n 称为非基变量Ｘ 其中 σ N =C N -CB B-1 N=(σ m+1 , σ m+1 ,σ n ) 称为非基变量ＸN
maxZ=CX, D= {X ∈ R n /AX=b,X ≥ 0}
x m+1 x m+2 -1 Z = C B B b+(σ m+1, σ m+1, σ n ) x n
定理2：无穷多最优解判别定理 定理2
B1b 是一个基本可行解，所对应的检验向量 是一个基本可行解， 若 X= 0
x m+1 x m+2 -1 由此可得一个新的基本可行解， 由此可得一个新的基本可行解，由 Z = C B B b+(σ m+1, σ m+1, σ n ) 可知，这样的变换一定能使目标函数值有所增加。 可知，这样的变换一定能使目标函数值有所增加。 x n
11
换入变量和换出变量的确定： 换入变量和换出变量的确定： 换入变量的确定— 换入变量的确定 最大增加原则 假设检验向量 σ N =C N -C B B N=(σ m+1 , σ m+2 ,σ n ) ， 若其中有两个以上的检验数为正， 若其中有两个以上的检验数为正，那么为了使目标函数值增加得快 通常要用“最大增加原则” 些，通常要用“最大增加原则”，即选取最大正检验数所对应的非基 变量为换入变量，即若 变量为换入变量，
单纯形法
目录第一章单纯形法的提出……………………………………………………………1.1 单纯形法提出背景……………………………………………………………第二章单纯形法的一般原理………………………………………………………2.1 单纯形法的基本思路…………………………………………………………2.2 确定初始基本可行解…………………………………………………………2.3 最优性检验……………………………………………………………………2.4 基变换…………………………………………………………………………2.5 解的判别定理…………………………………………………………………2.6 单纯形法求解线性规划问题的程序框图……………………………………第三章表格单纯形法………………………………………………………………3.1单纯型表求解…………………………………………………………………3.2 用单纯形法求解线性规划问题的举例………………………………………第四章人工变量及其处理方法……………………………………………………4.1大M法…………………………………………………………………………4.2两阶段法………………………………………………………………………4.3无最优解和无穷多最优解……………………………………………………4.4退化与循环……………………………………………………………………第五章单纯形法的矩阵表示………………………………………………………总结……………………………………………………………………………………参考文献………………………………………………………………………………第一章 单纯形法的提出1.1 单纯形法的提出背景单纯形法是1947年由George Bernard Dantzing(1914-2005)创建的，单纯形法的创建标志着线性规划问题的诞生。
线性规划问题是研究在线性约束条件下，求线性函数的极值问题。
然而，对这类极值问题，经典的极值理论是无能为力的，只有单纯形法才能有效解决这类极值问题的求解。
单纯形法
单纯形法可按现代电子计算机标准程序求解线性规划模型的一般方法。
分为代数形式的单纯形法和表格形式的单纯形法。
前者提供基本算法所依据的逻辑规则，适用于在电子计算机上进行求解运算；后者将变量和数据列成表格，适用于笔算。
两者在数学上是等价的。
单纯形法是由美国数学家G.B.丹齐克（1914～）于1947年提出来的，它与苏联数学家Л.Β.坎托罗维奇（1912～）于1938年提出的解乘数法相类似。
根据单纯形法的原理，在线性规划问题中，决策变量（控制变量）x1，x2， (x)的值称为一个解,满足所有的约束条件的解称为可行解。
使目标函数达到最大n值（或最小值）的可行解称为最优解。
这样，一个最优解能在整个由约束条件所确定的可行区域内使目标函数达到最大值（或最小值）。
求解线性规划问题的目的就是要找出最优解。
可能出现下列情况之一：①存在着一个最优解；②存在着无穷多个最优解；③不存在最优解，这只在两种情况下发生，即没有可行解或各项约束条件不阻止目标函数的值无限增大（或向负的方向无限增大）。
要缩小对最优解的搜索范围，就必须认识最优解的一般性质，最优解如果存在的话，则它必然处于可行区域的边界上。
任何一项约束条件的边界方程是用“＝”号来替换该约束条件中的“≤”或“≥”号而得到的。
每一个边界方程确定一个超平面。
因此，可行区域的边界是由那些满足一个或同时满足几个边界方程（即处在作为边界的一个或几个超平面上）的可行解所组成，而且最优解必在其中。
最优解不仅是在可行区域的边界上，而且也在这个区域的一个隅角上。
一个可行解，如果不处在由另两个可行解连接起来的任何线段上，它就是一个角点可行解。
如果连接两个角点可行解的线段处在可行区域的边界上，这两个角点可行解就称为相邻的角点可行解。
角点可行解具有下列三个重要性质：①如果存在着一个最优解，那么它必定是角点可行解。
如果存在有多个最优解，那么至少有两个最优解必定是相邻的角点可行解。
②只存在有限个数的角点可行解。
最优化方法第二讲单纯形法
最优化方法第二讲单纯形法在运筹学中，最优化问题是指在一组约束条件下，寻找使目标函数取得最大（或最小）值的决策变量值。
而最优化方法是解决这类问题的一种有效手段。
单纯形法是最优化方法中的一种重要算法，它是由乔治·丹齐格于1947年提出的，用于求解线性规划问题。
单纯形法的基本思想是通过逐步移动到目标函数最优解的方法来解空间。
它通过对线性规划问题进行逐步转换和简化，从而将复杂问题简化为简单问题的序列，从而找到最优解。
单纯形法的步骤如下：1.制定线性规划模型：确定决策变量、目标函数和约束条件。
2.将约束条件转化为标准形式：将所有约束条件都转化为等式形式。
3.初始化：选择一组基本可行解作为初始解，并计算初始目标函数值。
如果所有的目标函数系数都是非负的，则找到了初始基本可行解。
4.迭代过程：根据当前基本可行解，计算对应的单纯形表。
5.判断最优性：如果单纯形表没有负值，则当前基本可行解是最优解；否则，找到表中最小的负值所在的列，作为入基变量。
6.选出基变量：根据入基列，选出出基行。
7.更新单纯形表：通过行变换和列变换更新单纯形表。
8.重复迭代：如果目标函数在迭代过程中得到改善，则继续迭代；否则，停止迭代，当前基本可行解即为最优解。
9.输出最优解：输出最优解的决策变量值。
单纯形法作为最优化问题的常用方法，具有以下优点：1.简单易实现：单纯形法的算法步骤简单明了，可以利用计算机编程实现。
2.可靠性高：经过数十年的实践与应用，单纯形法已被广泛接受与使用，并且在许多实际问题中取得了良好的结果。
3.理论基础深厚：单纯形法是基于矩阵运算和线性代数理论的，具有坚实的理论基础。
然而，由于单纯形法存在着多个局限性，使得它在一些问题中的效率和实用性有所受限。
1.算法复杂度高：单纯形法的迭代过程需要进行大量的行变换和列变换，当问题规模较大时，计算量会非常庞大，运算时间会大大增加。
2.进入和离开基变量选择问题：单纯形法需要选择进入和离开基变量，而一次迭代只能选择一个基变量，这会导致算法的迭代次数较多。
单纯形法
min z=－6x1－4x2
x3 =100－2x1－3x2
+x4 =120－4x1－2x2
令 有 则有：
XN=(0,0)T XB=(100,120)T X（1）=（0，0，100，120）T为对应于基B1的基可行解。
问：
X（1）是否最优呢？——否
因为： x1和x2在目标函数中的系数为正，当x1↑，z ；x2↑，z 。
现假定a中存在一可行基b且b为单位阵这样axb可以描述成如下形式也就是用非基变量表示基变量12向量形式假如已求得一个基本可行解将这一基本可行解代入目标函数可求得相应的目标函数值其中分别表示基变量和非基变量所对应的价值系数子向量
单纯形法
单纯形法的一般原理 表格单纯形法 借助人工变量求初始的基本可行解
问： X（2）是否最优呢？——否 因为： x2在目标函数中的系数为正，当x2↑，z 。
6
（3）寻找可行基B3，使其对应的基可行解X（3）能使目标函数值增加。
选：
x2>0
min z=－180－x2＋（3/2）x4
则有：
X（3）=（x1，x2，x3，0）T
x1 = 30－（1/2）x2－（1/4）x4 x3 = 40－ 2 x2 +（1/2）x4
– 解：化为标准型 min z=－6x1－4x2+0x3+0x4 2x1 + 3x2 + x3 =100 4x1 + 2x2 +x4 =120 x1、x2，x3，x4 ≥0
C
CBT
CNT
CB XB b X1 X2 ··· Xm X m+1 Xm+2 ··· Xn θ
C1 X1 b1
C2 X2 b2
单纯形法——精选推荐
单纯形法第⼆章单纯形法2.1 单纯形法原理（⼤M法）例3 min z＝4x1＋3x2＋8x3x1＋x3≥2x2＋2x3≥5x j≥0（j=1，2，3）⼀、构造初始可⾏基（m×m单位阵）每个约束都有⼀个系数为+1的独有变量（基变量）1．引⼊附加变量，化为标准型（⾸先变为b≥0）x1＋x3－x4＝2x2＋2x3－x5＝5x j≥0（j=1，2，...,5）（x4、x5为附加变量）min z＝4x1＋3x2＋8x3＋0x4＋0x5假设化为标准型后,仍⽆初始可⾏基2. 若约束中附加变量系数为-1或原约束为等式，必须引⼊⼈⼯变量x1＋x3－x4＋x6＝2 ① (基变量为x6)x2＋2x3－x5＋x7＝5 ② (基变量为x7)x j≥0（j=1，2，...,7）（x6、x7为⼈⼯变量）⼈⼯变量>0时，约束被篡改3. ⽬标函数中附加变量系数为0，⽽⼈⼯变量系数为Mmin z＝4x1＋3x2＋8x3＋0x4＋0x5＋M x6＋M x7③M——罚因⼦（很⼤正数）⼤M法——罚函数法⼆、求出⼀个基本可⾏解1. ⽤⾮基变量表⽰基变量和⽬标函数由①：x6＝2－x1－x3＋x4④由②：x7＝5－x2－2x3＋x5⑤将④、⑤代⼊③：z＝(4-M)x1＋(3-M)x2＋(8-3M)x3＋M x4＋M x5＋7M ⑥检验数σj= ⑥式中各⾮基变量x j的系数，z＝z0＋∑σ∈Jj jj x（J为⾮基变量下标的集合）基变量的检验数＝02、求出⼀个基本可⾏解及相应z值令各⾮基变量为0，x1＝x2＝x3＝x4＝x5＝0由④、⑤、⑥得x6＝2，x7＝5，z＝7M三、最优性检验（求min）1．最优性检验的依据——检验数σｊ2．最优解判别定理：若在极⼩化问题中，对于某个基本可⾏解，所有检验数σｊ≥0，且⼈⼯变量为0，则这个基本可⾏解是最优解。
例3中，σ１＜0，σ２＜0，σ３＜0，需继续迭代3．⽆穷多组最优解判别定理：若在极⼩化问题中，对于某个基本可⾏解，所有检验数σｊ≥0，⼜有某个⾮基变量检验数为0，且⼈⼯变量为0，则线性规划问题有⽆穷多组最优解。
单纯形法求解过程
单纯形法求解过程单纯形法是一种用于求解线性规划问题的数学方法。
它通过不断迭代优化目标函数的值，找到最优解。
下面将详细介绍单纯形法的求解过程。
我们需要明确线性规划问题的目标函数和约束条件。
目标函数是我们要优化的指标，约束条件是问题的限制条件。
假设我们有n个决策变量x1，x2，...，xn，目标函数为f(x)，约束条件为g(x)≤b。
接下来，我们需要将约束条件转化为标准形式，即将不等式约束转化为等式约束。
假设我们有m个约束条件，将其转化为等式约束后，我们得到形式如下的线性规划问题：maximize f(x)subject to Ax = bx ≥ 0其中A是一个m×n的矩阵，x是一个n维向量，b是一个m维向量。
然后，我们需要引入松弛变量，将等式约束转化为不等式约束。
假设第i个等式约束为ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn = bi，我们引入松弛变量xi+1，使得等式变为ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn + xi+1 = bi。
这样，我们就得到了形式如下的线性规划问题：maximize f(x)subject to Ax + x0 = bx, x0 ≥ 0其中x0是一个m维向量，表示松弛变量。
接下来，我们需要找到初始可行解。
初始可行解是指满足约束条件的解，可以通过人工选取或者使用其他方法求得。
然后，我们需要确定初始基本可行解。
基本可行解是指初始可行解中的基变量取值非零，非基变量取值为零。
基变量是指约束条件中与松弛变量对应的变量，非基变量是指约束条件中与决策变量对应的变量。
我们可以通过高斯消元法或者其他方法求得初始基本可行解。
接下来，我们需要计算当前基本可行解的目标函数值。
根据初始基本可行解，我们可以计算出目标函数的值。
然后，我们需要判断当前基本可行解是否是最优解。
如果当前基本可行解的目标函数值已经达到最大值或最小值，那么它就是最优解。
如果不是最优解，我们需要进行迭代优化。
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（最优解无界）
例 max Z = 2x1+3x2+4x3 x1－2x2+3x3≤3
s.t
2x1+5x2－3x3≤6
-2x1+x2+x3≤7 x1,x2,x3≥ 0
引入非负的松弛变量x4,x5,x6,将该 LP化为 标准型
max Z = 2x1+3x2+4x3+0x4+0x5+0x6 x1 －2x2+ 3x3 + x4 s.t =3
将x3的另外两个 0 系数化为0， 0 用第一行乘以3和 1 第二行求和 0 用第一行乘以-1和 第三行求和 0 1
基变量的系数（检验数）全部非正时，当前的 基可行解就是最优解! 为什么？
——分析用非基变量表示目标函数的表达式， 如果让负检验数所对应的变量进基，目标函数 值将下降！Z=14-1.5x3-0.125x4
三、表格单纯形法
1、 初始单纯形表的建立
(1)表格结构： Cj b 3 9 2 3 3 0 0 x1 x2 x 3 x4 x5 1 1 1 4 1 7 1 0 0 1 j
取出系数写成增广矩阵的形式：
-Z X1 X2 … Xn Xn+1 Xn+2 … Xn+m b
0 a11 a12 0 a 21 a 22 0 a m1 a m 2 1 c c2 1
a1n a2n a mn cn
1 0 0
0 1 0
i
1
c2
x2
…
cj z j
b2
0
0 0
0 a2,m1 …
… … 0
cm1 ci ai,m1
i 1 m
2
…
cm
… …
…
amn
cn ci ai ,n
i 1 m
…
m
xm bm
1 am,m1 …
表格单纯形法求解步骤
第一步：将LP化为标准型，并加以整理。
引入适当的松驰变量、剩余变量和人工变量 ，使约束条件化为等式，并且约束方程组的系数 阵中有一个单位阵。
3 1 2 3 1 0 0 6 2 5 3 0 1 0 7 2 1 1 0 0 1
1 1 / 3 2 / 3 1 1 / 3 0 6 2 5 3 0 1 7 2 1 1 0 0
将主元素3化为1, 第一行同时除以3
1 1 / 3 2 / 3 1 1 / 3 0 9 3 3 0 1 1 6 7 / 3 5 / 3 0 1 / 3 0
x4 3 x1 x2 x3 x5 9 x1 4 x2 7 x3 (0) T 初始基可行解 X (0,0,0,3,9)
②用非基变量表示目标函数的表 达式
Z 2x1 3x2 3x3
当前的目标函数值 Z
请解释结果的经济含义 ——
( 0)
0
i
1 7
j
2
3
(4)
0
0
下面以x3为换入变量，x4为换出变量列出新的 单纯形表。新的单纯形表是在初始单纯形表的 基础上进行的。首先，初始单纯形表的第一行 不变。下面部分的第二列变成新的基变量 x3,x5,x6。因此第一列的系数变为[4,0,0]，由于 x3从非基变量变成基变量，故将x3的系数列向 量要化成与换出变量x4的相同的[1 0 0]T。即将 主元素化为1，其它列向量化为0。具体运算过 程
max Z 2 x1 3x2 3x3 x1 x2 x3 3 s.t. x1 4 x2 7 x3 9 x , x , x 0 1 2 3 (劳动力约束) （原材料约束）
第一步：引入非负的松弛变量x4,x5, 将该 LP化为标准型
max Z 2 x1 3x 2 3x3 0 x 4 0 x5 x1 x 2 x3 x 4 3 s.t. x1 4 x 2 7 x3 x5 9 x , x , x , x , x 0 1 2 3 4 5 (劳动力约束) （原材料约束）
2.5 单纯形法
图解法的局限性？ 1947年G.B.Dantzig(丹捷格) 提出的单纯形法提供了方便、有 效的通用算法求解线性规划。
一、单纯形法的基本思想 1、顶点的逐步转移
基可行 解
LP可行域
转移条件：使目标函数值得到改善
停止准则：目标函数达到最优值
顶点转移的依据？
根据线性规划问题的可行域是凸集 （凸多边形或凸多面体），若LP有最优解， 就一定可以在可行域的顶点上找到。
其中 c cni aij j j i 1 j=1，2，…，n ；
z 0 cn i bi
i 1
增广矩阵的最后一行就是用非基变量表 示目标函数的表达式, j (j=1,2,…,n)就是非 基变量的检验数。 （2）检验数的两种计算方法： ①利用矩阵的行变换，把目标函数表达式中 基变量前面的系数变为0； ②使用计算公式——
0 0 1
c n 1 c n 2 c n m
b1 b2 bm 0
-Z，x1，…，xm所对应的系数 列向量构成一个基
用矩阵的初等行变换将该基变成单位阵,这时
c1 , c2 ,, cm
变成0，相应的增广矩阵变成如下形式：
0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 a1,m 1 a2,m 1 am,m 1
3 x1 1 9 x1 1
3 9 x1 min , 3 1 1
当x1 的值从0增加到3时, x4 首先变为0, 此时x5=6>0 因此选x4为出基变量（换出变量） 。 这种用来确定出基变量的规则称为 “最 小比值原则”（或θ原则）。 如果P1≤0，会出现什麽问题？ 最小比值原则会失效！
不生产任何产品，资源全部节余（x4=3， x5=9），三种产品的总利润为0！
第四步：分析两个基本表达式，看看目标函 数是否可以改善？
① 分析用非基变量表示目标函数的表达式
Z 2 x1 3x2 3x3
非基变量前面的系数均为正数，所以任何一 个非基变量进基都能使Z值增加 通常把非基变量前面的系数叫“检验数”；
于是，若LP只有唯一最优解，这个最 优解所对应的点一定是可行域的一个顶点； 若LP有多个最优解，那么肯定在可行域的 顶点中可以找到至少一个最优解。
转移条件？
转移结果？
使目标函数值得到改善
得到LP最优解，目标函数达到最优值 (单纯形法由来？) 2．需要解决的问题： (1)为了使目标函数逐步变优，怎么转移？ (2)目标函数何时达到最优—— 判断标准是什么？
CB XB 0 0 X4 X5
-Z
0
2
3
3
0
0
（2）表格设计依据： 将-Z看作不参与基变换 的基变量，把目标函数表达式改写成方程的 形式，和原有的m个约束方程组成一个具有 n+1个变量、m+1个方程的方程组：
x1 a1,m1 xm1 a1n xn b1 x a x a x b 2, m 1 m 1 2n n 2 2 x a x a x b m m , m 1 m 1 mn n m Z c1 x1 c2 x2 cm xm cm1 xm1 cn xn 0
写出用非基变量表示基变量的表达式：
由
x 4 3 x1 x 2 x3 → x1 3 x2 x3 x4 x5 9 x1 4 x 2 7 x3 x5 6 3 x 2 6 x3 x 4
得新的基可行解 X(1)=(3，0，0，0，6)T
第二步：寻求初始可行基，确定基变量
1 1 1 1 0 A 1 4 7 0 1 1 0 B P4 , P5 0 1
对应的基变量是
x4，x5；
第三步：写出初始基可行解和相应的 目标函数值
两个关键的基本表达式： ①用非基变量表示基变量的表达式
确定进基变量、出基变量。
第四步 换基迭代（旋转运算、枢运算)
利用矩阵初等行变换把主元列变成单位向量,
主元素变为1，进基变量对应的检验数变成0,
从而得到一张新的单纯形表，返回第二步。
完成一次迭代，得到新的基可行解和 相应的目标函数值
停止迭代的标志
该迭代过程直至下列情况之一发生时停止
检验数行全部变为非正值；
二、单纯形法原理（用代数方法求解 LP）
例 某公司在计划期内要安排生产3种产品，已知
生产单位产品所需的劳动力及原材料的消耗如表
所示，问应该如何安排计划使该工厂获利最多？
劳动力
A 1
B 1
C 3
资源总量 3
原材料
利润
1
2
4
3
7
3
9
通过讨论我们引入了x1、x2、 x33个决策变 量建立了如下线性规划模型：
2x1+5x2－3x3 +x5
-2x1 + x2 + x3 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
=6
+x6 =7
cj CB XB 0 0 0 X4 X5 X6 b 3 6 7
2 x1 1 2 -2
3 x2 -2 5 1
4 x3 3 -3 1
0 x4 1 0 0
0 x5 0 1 0
0 x6 0 0 1
确定初始可行基，写出初始基可行解
第二步：最优性检验
计算检验数，检查：
所有检验数是否≤ 0？
是——结束，写出最优解和目标函数最优值；
还有正检验数——检查相应系数列≤ 0？