一阶电路(状态转换分析)

iL(0+)不能跃变原因：
iL
+
uL
-
t = 0+时刻：
iL (t)
1 L
t
u( )d
L
iL
(0
)
iL
iL (0
(0 )
)
1 L
1
t
u( )d
L 0
0
0
u( )d
0
磁链
当u()为有限值时： iL (0+) = iL (0－)
守恒
=L iL
L (0＋)= L (0－)
结论：
换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持目不录 变上页。 下页 返回 退出
电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都 需要一定的时间来完成。
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例：C充电过程
(t = 0)
i
R+
Us
K
uC
–
K未动作前，电路处于稳定状态:
i = 0 , uC = 0
C K接通电源后很长时间，电容充电 完毕，电路达到新的稳定状态:
(t →)
i
i = 0 , uC= Us
步骤一：换路前 t=0- ，求 uc(0-) 或 iL(0-) ;
i1(t) RR11=4KΩS(t=0)
+
US=12UV_S
+ ic(t) uc(t)_ C
i2(t)
RR22=2KΩ
uC (0 ) uC (0 ) 12V
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步骤二：换路后 t=0+ ，画出等效图;
等效图原则： C电压源: U0=uc(0+)
Us
R+
uC
C
U S uc
US
–
R?
i
前一个稳定状态 0
过渡状态
t1 新的稳定状态 t
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二、动态电路的经典法 △
求解步骤： (1)分析电路情况，求得待求电量的初始值； (2)根据KVL、KCL和VCR建立微分方程； (3)求解一阶常系数微分方程，得出待求量。
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uC (0 ) R1
12 12 4
0
iC (0 ) i1 (0 ) i2 (0 ) 6(mA) 目录 上页 下页 返回 退出
例2 求 t = 0时闭合开关 K , 求 uL(0+) 。
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(3)求解一阶常系数微分方程。
xh (t) KeA t
则非齐次通解：x(t) x()) KeAt t t0 : x(t0 ) X 0 x() KeAAt0
求得K，从而 求得通解。
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三、初始值及换路定则
—— 换路前旧稳态终了瞬间 设：t=0 时换路
第七章 一阶电路
First order circuit
7.1 动态电路的方程及其初始条件
一、几个概念
1. 动态元件： L、C、M
支路接入或断开
2. 换路：当电路结构或参数发生变化。
换路时：t=t0 换路前瞬间 ：t=t0换路后瞬间 ：t=t0+
电路参数变化
例
(t换０路= 后0)
i
换路前 后
i
Us
R+
K uC
C Us
R
+
uC
0V C
–
– 50V
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一、几个概念
3. 过渡过程：当动态电路状态发生改变时（换路）需要 经历一个变化过程才能从旧的稳态达到新的稳态，这 个过程称为过渡过程。此时u、i 都处于暂时的不稳定 状态，所以又称为电路的暂态过程。
4. 过渡过程产生的原因：电路内部含有储能元件L、C，
1 L电压源: I0=il(0+)；
2 开关处在换路后位置。
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步骤二：换路后 t=0+ ，画出等效图;
i1(0+) RR11=4KΩ
i2(0+)
+
US=12UV_S
+ uc(0+)_
ic(0+)
12V C
RR22=2KΩ
i2
(0
)
uC (0 R2
)
12 2
6(mA)
i1 (0 ) U S
初始值的确定：
假设换路时刻是 t = 0
步骤一：t 0 ，求 uC (0) 、iL (0) ； 步骤二： t 0 ，画出等效图；
uC (0 ) uC (0 ) C替代成U0=uc(0-)的电压源； iL (0 ) iL (0 ) L替代成I0=iL(0-)的电流源。
步骤三：求出 t 0 的其余各初始值。
(3)求解一阶常系数微分方程。
① 一阶微分方程解的结构分析
dx Ax Bw dt
其解为 ： x(t) x p (t) xh (t)
xp (t) 非齐次方程的特解; xh (t) 对应齐次方程的通解。
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(3)求解一阶常系数微分方程。
② 非齐次方程特解 xp (t) 的求取
特解形式与输入函数是一致的。
t =＋∞：求出特解 xp(t)=x(+∞)。
新的稳态
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(3)求解一阶常系数微分方程。
③ 齐次方程通解 xh (t) 的求取
dx Ax 0 dt
设 xh (t) Ke p t
pKe pt AKe pt 0
则 pA0
pA
xh (t) KeA t
t
i( )d
uc- C
uC
(0
)
1 C
t
i( )d
0 0
t
=
0+时刻：uC
(0
)
uC
(0
)
1 C
0
i( )d
0
当i()为有限值时： uC (0+) = uC (0－)
q =C uC
q (0+) = q (0－)
电荷 守恒
换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 结论：
则电容电压（电荷）换路前后保持目不录 变上页。 下页 返回 退出
(2)根据KVL、KCL和VCR建立微分方程。
例K
R
i
结论：
+ _US
C +– uC
Ri uC
RC duC dt
uC
US
(1)描述动态电路的电路 方程为微分方程； (2)动态电路方程的阶数 等于电路中动态元件的 个数；
一阶电路: 只含有一个动态元件的电路，描述电路的方程 是一阶线性微分方程。
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例1
已知：US=12V，R1=4KΩ，R2=2KΩ；
求：uc(0+)、ic(0+)、i1(0+)、i2(0+)。
i1(t) R1 S(t=0)
+
+ ic(t)
US _
uc(t)_ C
i2(t) R2
分析：在开关动作前的旧稳态，电容 C 在直 流电路中相当于开路。
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——换路后暂态起始瞬间
初始值——初始条件为 t = 0＋时u ，i 及其各阶
导数的值。
换路定则——在换路瞬间，电容上的电压、电 感中的电流不能突变。
则：
uC (0 ) uC (0 )
iL (0 ) iL (0 )
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Uc(0+)不能跃变原因：
i+
1
uC (t) C