概率论与数理统计强化讲义_数三_
概率论与数理统计课件 第三章1
0, 其他.
求 (1) 边缘概率密度 pX ( x), pY ( y);
(2) P{ X＋Y ２}
y
(1,1)
y 1 x
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O x 1 x e2 x
第三章 多维随机变量及其分布
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例3 设二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度
Ce(3x4 y) , x 0, y 0,
(x, y)
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第三章 多维随机变量及其分布
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3.说明
几何上, z p( x, y) 表示空间的一个曲面.
p( x, y)d x d y 1,
表示介于 p (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的 全部体积等于1.
P{( X ,Y )G} p( x, y) d x d y, G
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第三章 多维随机变量及其分布
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第三章 多维随机变量及其分布
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四、二维连续型随机变量
1.定义
对于二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数 F ( x, y), 如果存在非负的函数 p( x, y) 使对于任意 x, y 有
yx
F ( x, y)
p(u, v) d ud v ,
记 P{X xi , Y yj } pij , i, j 1, 2,
称此为二维离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布律, 或随机变量 X 和 Y 的联合分布律.
其中 pij 0,
pij 1.
i1 j1
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第三章 多维随机变量及其分布
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二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
1 ( arctan x)
概率论与数理统计(茆诗松)第三章讲义
Y X x1 x2 M xi M
y1 p11 p21 L pi1 L
y2
L
yj p1 j L pij L
L L L L L
p12 L p22 L L L pi 2 L L L
p2 j L
联合概率分布的基本性质： （1）非负性 pij ≥ 0； （2）正则性 3.1.4
∑∑ p
i j
ij
= 1．
联合密度函数
0 x y 0
1 xy ； dy = 2 2
1
1 x 0 2 dy = y ； 2 x 2 11 11 x 当 0 ≤ x < 2 , y ≥ 1 时， F ( x, y ) = ∫ dx ∫ dy = ；当 x ≥ 2 , y ≥ 1 时， F ( x, y ) = ∫ dx ∫ dy = 1 ． 0 0 0 0 2 2 2
⎧1 ⎪ , 0 < x < 2, 0 < y < 1; 设 (X, Y ) 的联合密度函数为 p ( x, y ) = ⎨ 2 求 (X, Y ) 的联合分布函数 F (x, y)． ⎪ ⎩0, 其他. y 解：当 x < 0 或 y < 0 时，F (x, y) = 0；
例 当 0 ≤ x < 2 , 0 ≤ y < 1 时， F ( x, y ) = ∫ dx ∫
n! n2 p1n1 p2 L prnr ． n1!n2 !L nr !
定义 若 r 维随机变量 (X1, X2, …, Xr) 的全部可能取值是每一个 Xi 的取值 ni 可以是 0, 1, 2, …, n 中某个数， 且 n1 + n2 + … + nr = n，概率分布为
P{ X 1 = n1 , X 2 = n2 , L , X r = nr } =
3、张宇考研数学概率论与数理统计讲义强化班(无水印文字版)-41页
张宇考研数学概率论与数理统计强化讲义
【注】
犉（狓）＝△ 犘｛犡 ≤狓｝＝ 犘｛－ ∞ ≤ 犡 ≤狓｝
狓
∫ ＝ 犳（狋）ｄ狋（连） －∞
４犡～犉（狓）＜狆犳犻（狓→）分→布概律率密度
＝ ∑狆犻．（离） 狓犻≤狓
烄① 单调不减；
（１）犉（狓）是某个狓 的分布函数 烅②犉（－ ∞）＝０，犉（＋ ∞）＝１；
③
烆犘（犃１犃２犃３）＝ 犘（犃１）犘（犃２）犘（犃３）．④
【注】若只满足 ①②③，称犃１，犃２，犃３ 两两独立．
【例】［取自《张宇概率论与数理统计９讲》Ｐ２３，例１．３３］
将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：犃１ ＝ ｛掷第一次出现正面｝，犃２ ＝ ｛掷第二次出
现正面｝，犃３ ＝ ｛正反面各出现一次｝，犃４ ＝ ｛正面出现两次｝，则事件（ ）．
【例２】［取自《张宇考研数学闭关修炼一百题·习题分册》Ｐ４２，８１］ 要验收一批乐器，共１００件，从中随机地取３件来测试（设３件乐器的测试是相互独立 的），如果３件中任意一件经测试被认为音色不纯，这批乐器就被拒绝接收．设一件音色不 纯的乐器经测试被查出的概率为０．９５，而 一 件 音 色 纯 的 乐 器 经 测 试 被 误 认 为 不 纯 的 概 率 为０．０１．如 果 已 知 这１００件 乐 器 中 有４件 是 音 色 不 纯 的 ，问 这 批 乐 器 被 接 收 的 概 率 是 多少？ 【分析】
④（犡，犢）的犉（狓，狔），犳（狓，狔）； ⑤犣 ＝犵（犡，犢）的犉犣（狕），犳犣（狕）；
⑥犘｛（犡，犢）∈犇｝＝ 犳（狓，狔）ｄσ． 犇
（３）求数字特征． （４）狀→ ∞ 时的若干重要概率规律． （５）估计与评价．
—１—
张宇考研数学概率论与数理统计强化讲义
概率论与数理统计第3讲52265共45页
6年总计 31394 16146 15248
频率(%) 男孩 女孩 51.31 48.69 51.22 48.78 52.73 47.27 50.56 49.44 51.56 48.44 51.47 48.53 51.48 48.52
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概率的古典定义(概率的古典概型) 有一类试验的特点是: 1,每次试验只有有限种可能的试验结果 2,每次试验中,各基本事件出现的可能性完全 相同. 具这两个特点的试验称为古典概型试验. 在古典概型的试验中, 如果总共有n个可能的 试验结果, 因此每个基本事件发生的概率为 1/n, 如果事件A包含有m个基本事件, 则事件A 发生的概率则为m/n.
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排列和组合 在古典概型的概率的计算中困难的是计算一 事件包含的基本事件的数目, 因此需要排列和 组合的知识. 乘法法则: 如果一件事情可以分为两步做, 第 一步有n种选择, 在第一步中的每一种选择中, 第二步有m种选择, 则整件事情共有
mn种选择
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放回抽样
假设一副牌有52张, 将它们编号为1,2,…,52. 每次抽出一张观察后再放回去(这样下一次这 张牌仍有机会被抽到), 这叫放回抽样. 假设共 抽了5次, 共有多少种可能的抽法? 第一次有52种抽法, 在第一次的每一种抽法中, 第二次又有52种抽法, …, 因此抽5次共有
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概率的统计定义
概率的统计定义并非严格的数学上的定义, 而 只是大数定律的一个描述. 在n次重复试验中, 如果事件A发生了m次, 则 m/n称为事件A发生的频率. 同样若事件B发生 了k次, 则事件B发生的频率为k/n. 如果A是必 然事件, 有m=n, 即必然事件的频率是1, 当然 不可能事件的频率为0. 如果A与B互不相容, 则事件A+B的频率为(m+k)/n, 它恰好等于两个 事件的频率的和m/n+k/n, 这称之为频率的可 加性.
概率论与数理统计讲义稿
概率论与数理统计讲义稿Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】第一章随机事件与概率§随机事件随机试验与样本空间概率论约定为研究随机现象所作的随机试验应具备以下三个特征：（1）在相同条件下试验是可重复的；（2）试验的全部可能结果不只一个，且都是事先可以知道的；（3）每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事前无法预知。
为简单计，今后凡是随机试验皆简称试验，并记之以英文字母E。
称试验的每个可能结果为样本点，并称全体样本点的集合为试验的样本空间，分别用希腊字母ω和Ω表示样本点及样本空间。
必须指出的是这个样本空间并不完全由试验所决定，它部分地取决于实验的目的。
假设抛掷一枚硬币两次，出于某些目的，也许只需要考虑三种可能的结果就足够了，两次都是正面，两次都是反面，一次是正面一次是反面。
于是这三个结果就构成了样本空间Ω。
但是，如果要知道硬币出现正反面的精确次序，那么样本空间Ω就必须由四个可能的结果组成，正面-正面、反面-反面、正面-反面、反面-正面。
如果还考虑硬币降落的精确位置，它们在空中旋转的次数等事项，则可以获得其它可能的样本空间。
经常使用比绝对必要的样本空间较大的样本空间，因为它便于使用。
比如，在前面的例子中，由四个可能结果组成的样本空间便于问题的讨论，因为对于一个“均匀”的硬币这四个结果是“等可能”的。
尽管这在有3种结果的样本空间内是不对的。
E：从最简单的试验开始，这些试验只有两种结果。
在抛掷硬币这一试验中出例1现“正面”或“反面”；在检查零件质量时，可能是“合格”或“不合格”；当用来模拟电子产品旋转的方向时，结果是“左边”或者“右边”；在这些情况下样本空间Ω简化为：Ω={正面,反面}。
2E ：更复杂一些，有的随机试验会产生多种可能的结果，比如掷一颗骰子，观察出现的点数。
样本空间为：{1,2,3,4,5,6}Ω=。
(完整版)《概率论与数理统计》讲义
第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
例1．1：方程xx x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种 C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？③ 顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
概率论与数理统计总结之第三章
第三章 多维随机变量及其分布第一节二维随机变量的概念1.二维随机变量定义：设(X,Y)是二维随机变量，记为:(,){()()}=≤⋂≤F x y P X x Y y (,)=≤≤P X x Y y (,)-∞<<∞-∞<<∞x y称(,)F x y 为X 与Y 的分布函数，或称X 与Y 的联合分布函数}}(){{(,lim (,)→+∞=≤=≤≤+∞=X y F x P X x P X x Y F x y}}(){{,lim (,)→+∞=≤=≤+∞≤=Y x F y P Y y P X Y y F x y分布函数(,)F x y 性质:1）(,)F x y 是变量x 和变量y 的不减函数，(分别关于x 和y 有单调不减性) 2）0(,)1≤≤F x y ，任意一边趋于-∞＝０.F(∞，∞)=1（用来确定未知参数）.3）(,)(0,)(0,0)=+=++F x y F x y F x y ，即(,)F x y 分别关于x 右连续，关于y 也右连续,4）对于任意11221212(,),(,),,,<<x y x y x x y y 下述不等式成立(可用于判定二元函数(,)F x y 是不是某二维随机变量的分布函数):22211112(,)(,)(,)(,)0-+-≥F x y F x y F x y F x y 2.二维离散型随机变量:定义:如果二维随机变量(X,Y)只取有限对或可列无穷多对，则称(X,Y)是二维离散型随机变量其概率{,},,1,2,====i i ij P X x Y y p i j …为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X 和Y 是联合分布律 性质:1.0,(i,j 1.2.....)≥=ij P2.1≤≤=∑∑i i ijx x y yp满足以上两条，即为二维离散型随机变量的分布律. 注；步骤:定取值,求概率,验证1.离散型随机变量X 和Y 的联合分布函数为(,)≤≤=∑∑i i ijx x y yF x y p，其中和式是对一切满足,≤≤i i x x y y 的i,j 来求和的边缘分布定义:对于离散型随机变量(X,Y)，分量X 和Y 的分布律(), 1.2...(), 1.2..的边缘分布律：的边缘分布律：••========∑∑i i ij jJ i ij iX p P X x p i Y p P Y y p i ，0,0(, 1.2....)1•••≥≥===∑∑i j jiip p i j pi p联合确定边缘，但一般情况，边缘不能确定的联合，除非相互独立. 比如；有放回的摸球，就是X ，Y 相互独立. 不放回地摸球，是条件分布.3.二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度. 对比一维的: 概率密度:()()1∞-∞==⎰f x f x dx ，分布律:{}(),≤≤=⎰b aP a x b f x dx 分布函数:()()-∞=⎰xF x f t dt二维:定义:设二维随机变量(X,Y)的分布函数为(,)F x y ，若存在非负可积函数(,)f x y ，使得对于任意实数x,y 有(,)(,)-∞-∞=⎰⎰xyF x y f u v dudv ，则称(X,Y)为二维连续型随机变量，(,)f x y 称为(X,Y)的概率密度，或联合概率密度.概率密度的性质: 1.(,)F x y ≥0 2.(,)1∞∞-∞-∞=⎰⎰f x y dxdy只要具有以下两条性质，必可作为某二维随机变量的概率密度.3.已知(X,Y)的概率密度(,)f x y ，则(X,Y)在平面区域D 内取值的概率为:{(,)}(,)∈=⎰⎰DP X Y D f x y dxdy (作二重积分)(随机点(X,Y)落在平面区域D 上的概率等于以平面区域D 为底，以曲面(,)=z f x y 顶的典顶的体积) 4.若(,)F x y 在点(x,y)连续，则有2(,)(,)∂=∂∂F x y f x y x y(连续就能根据分布律求概率密度)1） 当求()=P X Y 时，它只是一条线，所以：()0＝=P X Y2） 一个方程有无实根：20++=ax bx c ，即求：22240,40,40,一个实根无实根两个实根+=+<+>b ac b ac b ac均匀分布：定义:设D 为平面上的有界区域，其面积为S ，且0>S ,如果二维随机变量(X,Y)的概率密度为1,(x,y)(,)0,其它⎧∈⎪=⎨⎪⎩Df x y S，则称(X,Y)服从区域D 上的均匀分布(或叫(X,Y)在D 上服从均匀分布，记作（X,Y ）D U . 两种特殊情形:1） D 为矩形，,c )≤≤≤≤a x b y d 时，1,()()(,),c )0,其它⎧⎪--=≤≤≤≤⎨⎪⎩b a dc f x y a x b y d2） D 为圆形，如(X,Y)在以原点为圆心，R 为半径的圆域上服从均匀分布，则(X,Y)的概率密度为:22221,(,))0,其它π⎧⎪=+≤⎨⎪⎩f x y x y R R定义:对连续型随机变量(X,Y),分量X,Y 的概率密度称为(X,Y)关于X 或Y 的边缘概率密度,记作(),X f x ().Y f y X 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰xX F x F x f u v dv du （让Ｙ趋于正无穷） Y 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰yY F y F y f u v du dv （让Ｘ趋于正无穷） X 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰X f x f x y dy xY 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰Y f y f x y dx y（二维的边缘概率密度是直接以联合概率密度在负无穷到正无穷对对应元素积分，其间需要对划分区间的作分别积分）(X,Y)的概率密度:(,)(,)[(,)]-∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰x yx yf x y f u v dudv f u v dv du二维正态分布： 二维正态221212(,)(,,,,)σσρX Y N u u 分布函数的性质:1.211()(,)σX N u ,222()(,)σY N u 边缘服从一维正态分布2.0,ρ=⇔xy X Y 独立（相关系数为Ｏ，则两个随机变量独立）3.212()()σ++k X k Y N u (线性组合按一维正态处理)4. 1212()，±±k X k Y c X c Y 服从二维正态（如：(,)+-X Y X Y ） 条件分布:设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j ，若{}0=>j P Y y ，则称{=i P X x ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij j j jP X x Y y p Y y i P Y y p …为在=j Y y 条件下随机变量X 的条件分布律同样地，若{}0,=>i P X x 则称{=j P Y y ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij i i i P X x Y y p X x j P X x p …为=i X x 条件下随机变量Y 的条件分布律 变形，即得求联合分布律的方法.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),(X,Y)关于Y 的边缘概率密度为()Y f y .若对于固定的y,()0,>Y f y 则称(,)()Y f x y f y 为在Y=y 的条件下X 的条件概率密度称|(,)(|)()-∞-∞=⎰⎰xxX Y Y f x y f x y dx dx f y 为在Y=y 的条件下，X 的条件分布函数，记为P{X ≤x|Y=y}或|(|)X Y F x y ，即|(,)(|){|}()-∞=≤==⎰x X Y Y f x y F x y P X x Y y dx f y 设F(x,y)及(),()X Y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数，若对于所有x,y 有P{X ≤x,Y ≤y}=P{X ≤x}P{Y ≤y},即(,)()()=X Y F x y F x F y ，则称随机变量X 和Y 是相互独立的设(X,Y)是连续型随机变量，(,),(),()X Y f x y f x f y 分别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度，则X 和Y 相互独立的条件等价于(,)()()=X Y f x y f x f y 在平面上几乎处处成立(除去面积为0的集合以外，处处成立)第二节随机变量的独立性1. 两个随机变量的独立性 定义:设(,),().()X Y F x y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数和两个边缘分布函数，若对任意实数,x y 有(,)().()=X Y F x y F x F y ，则称X 与Y 相互独立.可用于判断独立性(随机变量独立,对任意实数x,y,事件X ,Y ≤≤x y 相互独立) 以上公式等价于:(X ,Y )(X ).()≤≤=≤≤X Y P x y P x P Y y 可类推至多个函数的情况.1)如果X,Y 随机变量独立，().()连续f x g y ，(通过函数作用)则().()f x g y 也独立.(可类推至多个随机变量的情况)例:X,Y 独立，则22,x y 独立.2)如果1212,...,...，ＹＹＹm m X X X 相互独立，12m 121()()...()()()....()和，f x f x f x g y g y g y 也相互独立。
概率论与数理统计讲义
概率论与数理统计讲义一、概率论1.1 引言概率论是研究随机现象的理论，广泛应用于自然科学、社会科学以及工程技术等领域。
它通过量化随机事件发生的可能性，帮助我们理解事件之间的关系和规律。
1.2 随机变量与概率分布随机变量是描述随机事件的事物，可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
概率分布则是描述随机变量取值的概率情况，包括离散型随机变量的概率质量函数和连续型随机变量的概率密度函数。
1.3 期望与方差期望是随机变量取值的平均值，用来描述随机变量的集中程度。
方差则是随机变量与其期望之间的差异程度，用来描述随机变量的离散程度。
1.4 概率分布函数的性质概率分布函数有许多重要的性质，包括非负性、归一性、单调性、可加性等。
这些性质能够帮助我们更好地理解随机事件的规律和特征。
二、数理统计2.1 统计学概述统计学是研究数据收集、分析和解释的学科，通过对样本数据的研究，推断出总体的一些特征和规律。
统计学广泛应用于社会调查、市场研究以及科学实验等领域。
2.2 描述统计学描述统计学是对数据进行总结和描述的统计学方法。
它包括数据的集中趋势度量、离散程度度量以及数据分布特征等内容。
2.3 参数估计参数估计是根据样本数据推断总体参数的一种统计学方法。
点估计通过寻找最优参数估计量来描述总体参数的真实值，区间估计则给出了参数估计的置信区间。
2.4 假设检验假设检验是用来判断总体参数是否满足某种假设的统计学方法。
它将原假设和备择假设相比较，通过计算统计量的值来判断是否拒绝原假设。
2.5 方差分析与回归分析方差分析和回归分析是用来研究多个变量之间关系的统计学方法。
方差分析用于比较多个总体均值是否相等，而回归分析则用于建立变量之间的数学模型。
三、应用案例3.1 金融风险管理概率论与数理统计在金融风险管理中发挥着重要作用。
通过对金融市场的随机波动性进行建模和分析，可以帮助投资者制定更合理的投资策略，降低风险。
3.2 医学研究数理统计在医学研究中具有广泛的应用。
考研数学三必背知识点：概率论与数理统计
概率论与数理统计必考知识点一、随机事件和概率1、随机事件与其概率2、概率的定义与其计算二、随机变量与其分布1、分布函数性质bP=≤)FX(b)()P-aX≤b<=)F(()bF(a2、离散型随机变量3..连续型随机变量三、多维随机变量与其分布1、离散型二维随机变量边缘分布 ∑∑======⋅jjijjii i py Y x X P x X P p ),()(∑∑======⋅iiijjij j py Y x X P y Y P p ),()(2、离散型二维随机变量条件分布2,1,)(),()(=========⋅i P p y Y P y Y x X P y Y x X P p jij j j i j i j i2,1,)(),()(=========⋅j P p x X P y Y x X P x X y Y P p i ij i j i i j i j3、连续型二维随机变量( X ,Y )的分布函数⎰⎰∞-∞-=x ydvdu v u f y x F ),(),(4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：⎰⎰∞-+∞∞-=xX dvdu v u f x F ),()( 密度函数：⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()(⎰⎰∞-+∞∞-=y Y dudv v u f y F ),()(⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(5、二维随机变量的条件分布 +∞<<-∞=y x f y x f x y f X X Y ,)(),()(+∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)(),()(四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：∑+∞==1)(k k k p x X E 连续型随机变量：⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(2、数学期望的性质(1)为常数C ,)(C C E =)()]([X E X E E =)()(X CE CX E =(2))()()(Y E X E Y X E ±=±b X aE b aX E ±=±)()()()()(1111n n n n X E C X E C X C X C E +=+ (3)若XY 相互独立则：)()()(Y E X E XY E = (4))()()]([222Y E X E XY E ≤ 3、方差：)()()(22X E X E X D -= 4、方差的性质(1)0)(=C D 0)]([=X D D )()(2X D a b aX D =±2)()(C X E X D -<(2)),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 若XY 相互独立则：)()()(Y D X D Y X D +=± 5、协方差：)()(),(),(Y E X E Y X E Y X Cov -= 若XY 相互独立则：0),(=Y X Cov6、相关系数：)()(),(),(Y D X D Y X Cov Y X XY ==ρρ 若XY 相互独立则：0=XY ρ即XY 不相关7、协方差和相关系数的性质(1))(),(X D X X Cov =),(),(X Y Cov Y X Cov =(2)),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+),(),(Y X abCov d bY c aX Cov =++8五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ξ有2)(})({ξξX D X E X P ≤≥-或2)(1})({ξξX D X E X P -≥<-2、大数定律：若n X X 1相互独立且∞→n 时，∑∑==−→−ni iDni i X E nX n11)(11(1)若n X X 1相互独立，2)(,)(i i i i X D X E σμ==且M i ≤2σ则：∑∑==∞→−→−ni iPni i n X E nX n11)(),(11(2)若n X X 1相互独立同分布，且i i X E μ=)(则当∞→n 时：μ−→−∑=Pn i i X n 11 3、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为μ，方差为02>σ的独立同分布时，当n 充分大时有：)1,0(~1N n n XY nk kn −→−-=∑=σμ(2)拉普拉斯定理：随机变量),(~)2,1(p n B n n =η则对任意x 有： ⎰∞--+∞→Φ==≤--xt n x x dtex p np np P )(21})1({lim 22πη(3)近似计算：)()()()(11σμσμσμσμσμn n a n n b n n b n n Xn n a P b Xa P nk knk k-Φ--Φ≈-≤-≤-=≤≤∑∑==六、数理统计1、总体和样本总体X 的分布函数)(x F 样本),(21n X X X 的联合分布为)(),(121k nk n x F x x x F =∏=2、统计量(1)样本平均值：∑==ni i X nX 11(2)样本方差：∑∑==--=--=ni i ni i X n X n X X n S 122122)(11)(11(3)样本标准差：∑=--=ni i X X n S 12)(11(4)样本k 阶原点距： 2,1,11==∑=kXn A ni ki k(5)样本k 阶中心距：∑==-==ni k ik k k X XnM B 13,2,)(1(6)次序统计量：设样本),(21n X X X 的观察值),(21n x x x ，将n x x x 21,按照由小到大的次序重新排列，得到)()2()1(n x x x ≤≤≤ ，记取值为)(i x 的样本分量为)(i X ，则称)()2()1(n X X X ≤≤≤ 为样本),(21n X X X 的次序统计量。
考研数学三概率论与数理统计知识点
2017考研数学三之概率论与数理统计知识点
来源：文都图书
在数学三的三门科目中，概率论与数理统计不仅是考研数学中的难点，而且考生得分率普遍较低。
与微积分和线性代数不同的是，概率论与数理统计并不强调解题方法，也很少涉及解题技巧，而非常强调对基本概念、定理、公式的深入理解。
其主要知识点有以下几点：
1.随机事件和概率：包括样本空间与随机事件;概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式);条件概率与概率的乘法公式;事件之间的关系与运算(含事件的独立性);全概公式与贝叶斯公式;伯努利概型。
2.随机变量及其概率分布：包括随机变量的概念及分类;离散型随机变量概率分布及其性质;连续型随机变量概率密度及其性质;随机变量分布函数及其性质;常见分布;随机变量函数的分布。
3.二维随机变量及其概率分布：包括多维随机变量的概念及分类;二维离散型随机变量联合概率分布及其性质;二维连续型随机变量联合概率密度及其性质;二维随机变量联合分布函数及其性质;二维随机变量的边缘分布和条件分布;随机变量的独立性;两个随机变量的简单函数的分布。
4.随机变量的数字特征：随机变量的数字期望的概念与性质;随机变量的方差的概念与性质;常见分布的数字期望与方差;随机变量矩、协方差和相关系数。
了解了主要知识点后，我们再通过汤家凤老师的2017《考研数学接力题典1800》（数学三）来适量做题，巩固我们对知识点的认识和掌握。
概率论与数理统计第三章章节总结
概率论与数理统计第三章章节总结
概率论与数理统计的第三章主要介绍了随机变量及其分布、随机变量的离散概率和连续概率、期望和方差的计算、贝叶斯统计学等内容。
以下是本章的总结:
1. 随机变量及其分布
第三章第一小节介绍了随机变量的定义和性质,并介绍了离散型和连续型随机变量的区别。
然后,章节第二小节介绍了随机变量的分布,其中包括概率分布、密度函数、期望和方差的计算方法。
这些内容对于理解随机变量的分布非常重要。
2. 随机变量的离散概率和连续概率
第三章第三小节介绍了随机变量的离散概率和连续概率。
离散概率讨论的是离散型随机变量在某一范围内的取值概率,而连续概率讨论的是连续型随机变量在某一区间内的概率。
这些概念对于理解随机变量的性质和分布非常重要。
3. 期望和方差的计算
第三章第四小节介绍了期望和方差的计算方法。
期望是指一个随机变量的平均值,可以通过计算各个取值的概率和总和来实现。
方差是指一个随机变量在各个取值之间的差异,可以通过计算各个取值的差值和总和来实现。
这些内容对于计算随机变量的期望和方差非常重要。
4. 贝叶斯统计学
第三章第五小节介绍了贝叶斯统计学的原理和应用。
贝叶斯统计
学可以用来预测未来事件的概率,也可以用于概率模型的建模和优化。
这些内容对于实际应用非常有帮助。
综上所述,概率论与数理统计的第三章主要介绍了随机变量的分布、离散概率和连续概率、期望和方差的计算、贝叶斯统计学等内容,是学习概率论和统计学的重要基础。
《概率论与数理统计》三
y (x,y)
y y2
y1
O
x
O x1
x2
x
P{x1 X x2, y1 Y y2} F(x2, y2 ) F(x1, y2 ) F(x2, y1) F(x1, y1)
➢ 分布函数F(x,y)的性质
设(X,Y)的所有可能取值:(xi, yj), i,j=1,2…,
P{X xi ,Y y j } ˆ pij ,( i, j 1,2,)
性
1 0 pij 1,
质
2
pij 1.
j1 i1
分
布
函 F ( x, y) pij
数
xi x yjy
Y X
x1 x2 xi
y1
p1 1 p21
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
22,
)
四、多维随机变量
(1)设E是一随机试验， 是其样本空间，X1,X2,...Xn 是定义在上的n个随机变量，则称n维向量(X1,X2,...Xn ) 为定义在 上的n维随机向量或n维随机变量．
(2)对n个任意实数，令
F(x1, x2 ,, xn ) P{X1 x1, X2 x2 ,Xn xn}
标 (X,Y)表示, 也就是 中每一元素都可用一对数来
表示, 把X, Y看成变量, X 与Y 都是随机变量, (X,Y) 共同刻化试验的结果, 这就是二维随机变量.
例2 考察某地一天的天气情况, 即同时考虑最高气温、 最低气温、气压、风力、降雨量，这就需要5个变量 来表示可能的试验结果，这就是五维随机变量.
概率论与数理统计第三__课后习题答案
习题一：写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{Λ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22Λ=Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{Λ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i π (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ωπ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207ππx x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8φφ；(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
海南省考研数学(三)复习资料概率论与数理统计重点整理
海南省考研数学（三）复习资料概率论与数理统计重点整理概率论与数理统计是海南省考研数学（三）课程中的重要内容，对于考生来说是必须要掌握的知识点。
为了帮助考生更好地复习和准备这一部分内容，本文将对概率论与数理统计的重点进行整理，并提供相应的复习资料。
一、概率论概率论是研究不确定性情况下事件发生可能性的数学理论。
在海南省考研数学（三）中，概率论的复习重点主要包括以下几个方面：1. 随机变量与概率分布随机变量是指能够随机地取某个值的变量，概率分布描述了随机变量所取各个取值的概率。
在复习此部分内容时，可以重点关注离散型和连续型随机变量的概率分布，如二项分布、泊松分布、正态分布等。
2. 大数定律与中心极限定理大数定律描述了在独立重复试验的条件下，随着试验次数的增加，频率会趋近于概率的稳定值。
中心极限定理则指出，对于独立同分布的随机变量和，其和的标准化形式近似服从标准正态分布。
复习时需掌握大数定律和中心极限定理的表述和应用。
3. 随机过程随机过程可以看作是随机变量在时间上的演化，其中最重要的是马尔可夫过程和泊松过程。
对于海南省考研数学（三）而言，掌握其定义、特性和应用是重点内容。
二、数理统计数理统计是利用统计方法对数据进行收集、整理、分析和解释的学科。
在海南省考研数学（三）中，数理统计的复习重点主要包括以下几个方面：1. 参数估计参数估计是根据样本数据来估计总体参数值的方法，其中最常用的是点估计和区间估计。
复习时要熟悉常用的参数估计方法，如最大似然估计、矩估计等，并了解其性质和应用。
2. 假设检验假设检验是根据样本数据来对总体参数的假设进行检验的方法。
重点复习假设检验的基本思想、步骤和常见检验方法，如正态总体均值的检验、两样本均值的检验等。
3. 方差分析与回归分析方差分析用于比较两个或多个总体均值是否存在显著差异，回归分析则是用于研究自变量与因变量之间的关系。
在复习这两个部分时，需熟悉其基本原理和应用方法，并能够理解和解释相应的统计结果。
数三概率论
数三概率论数三概率论是概率论中的一种重要方法，它在实际应用中具有广泛的应用。
本文将从概率论的角度介绍数三概率论的基本概念、原理和应用。
我们来了解一下数三概率论的基本概念。
数三概率论是一种基于概率的统计方法，它是以数学为基础，通过对事件发生的可能性进行定量分析，并给出相应的概率值。
数三概率论的核心思想是通过对事件进行数学建模，从而进行概率分析和预测。
在数三概率论中，我们首先需要确定一个事件空间，即所有可能发生的事件的集合。
然后，我们需要确定事件发生的概率分布，即每个事件发生的可能性大小。
概率分布可以通过实验、统计数据或者理论推导来确定。
数三概率论中的一个重要概念是概率。
概率是一个介于0和1之间的实数，表示一个事件发生的可能性大小。
概率越接近1，表示事件发生的可能性越大；概率越接近0，表示事件发生的可能性越小。
数三概率论中还有一个重要的概念是条件概率。
条件概率是指在给定其他事件已经发生的条件下，某个事件发生的概率。
条件概率可以用来描述事件之间的依赖关系，从而对事件进行更精确的概率分析。
数三概率论的原理主要包括加法原理和乘法原理。
加法原理指的是两个事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之和减去它们同时发生的概率。
乘法原理指的是两个事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。
数三概率论在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在金融领域，数三概率论可以用来对股票、期货等金融产品的价格进行预测和风险评估。
在医学领域，数三概率论可以用来对疾病的发生和传播进行概率分析和预测。
在工程领域，数三概率论可以用来对工程结构的可靠性和安全性进行评估。
数三概率论还可以用来解决一些实际生活中的问题。
例如，我们可以利用数三概率论来计算在某个城市中发生交通事故的概率，从而采取相应的交通安全措施。
我们还可以利用数三概率论来评估某个广告活动的成功概率，从而指导广告策划工作。
总结起来，数三概率论是一种重要的概率论方法，通过对事件发生的可能性进行定量分析，可以在实际应用中起到重要的作用。
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概率论与数理统计 强化讲义 （数三）
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I 0.94 II Cn2 0.94 0.06 III 1 0.94
B 发生 A 不发生的概率相等，求 A 发生的概率.
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考研帮课堂配套电子讲义—概率论与数理统计
【答案】
2 3
1 1 1 , P B A , P A B ,则 P A B ___ 4 3 2
例 8. P ( A ) 【答案】
1 3
题型二 三大概型
方法点拨： 三大概型是指古典概型、几何概型、伯努利概型。古典概型就是常说的排列组合 问题，考的少，几何概型注意体积、面积的计算，伯努利概型，需要注意一下“至 多”和“至少”的问题。 例 1.在区间 -1,1 之间任取两个数 X，Y 则二次方程 t 2 Xt Y 0 有两个正根的 概率为 ___ 【答案】
P max X , Y 0 =___
3 4 , P X 0 P Y 0 , 则 7 7
【答案】
5 7
设 A,B,C 是 随 机 事 件 ， 且
1 1 , P AC P BC , P AB 0, 求 都 不 发 生 的 概 4 6
把青春托付给值得信任的平台！ 祝：复习愉快，天天高效，考研成功！
PS:讲义中的不足之处，欢迎各位研研批评指正，我们将竭尽所能追求更好！
考研帮课堂配套电子讲义—概率论与数理统计
目录 第一章 随机事件与概率..............................................................................................1 题型一 概率的基本计算......................................................................................1 题型二 三大概型................................................................................................3 题型三 条件概率与独立性................................................................................3 题型四 全概率公式与贝叶斯公式......................................................................5 第二章 随机变量及其分布..........................................................................................7 题型一 分布函数的性质与计算..........................................................................7 题型二 常见随机变量..........................................................................................9 题型三 随机变量函数的分布............................................................................ 11 第三章 多维随机变量及其分布................................................................................12 题型一 联合分布函数的概率............................................................................12 题型二 二维离散型随机变量............................................................................12 题型三 二维连续型随机变量............................................................................13 题型四 二维正态分布........................................................................................15 题型五 随机变量函数的分布............................................................................16 第四章 随机变量的数字特征..................................................................................20 题型一 期望与方差的计算................................................................................20 题型二 协方差与相关系数................................................................................21 题型三 不相关与独立性....................................................................................23 第五章 大数定律和中心极限定理............................................................................25 题型一 切比雪夫不等式....................................................................................25 题型二 大数定律................................................................................................25 题型三 中心极限定理........................................................................................26 第六章 数理统计的基本概念....................................................................................27 题型一 统计量数字特征....................................................................................28 题型二 统计量的抽样分布................................................................................29 第七章 参数估计与假设检验....................................................................................32 题型一 点估计....................................................................................................32
服务项目 名师高清视频课 习题+月考+模考 真题视频解析 复习规划指导 24 小时内答疑 服务内容 零距离跟名师学习，精讲考点，突出重点，拿下难点，掌握方法 精选配套习题，灵活自测，查缺补漏，时时提升 精选整理了近十几年的真题+答案，视频详解近五年真题 名师零距离直播/录播指导全程考研复习规划 24 小时内详尽解答您复习中的疑点难点，确保学习无阻碍
例
5.
P A P B P C
率. 【答案】
7 12
例 6. P ( A) 0.3, P B 0.4, P AB 0.5 ，则 P B A B ___ . 【答案】
.设相互独立的事件 A，B 都不发生的概率是 ，且 A 发生 B 不发生的概率与 9
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第一章 随机事件与概率
题型一 概率的基本计算
方法点拨 1： 随机事件间的关系与运算中，有两条比较重要：一是对偶律,二是在事件运算中， 先积后和可以变为先和后积。
A B A B, A B A B
例 1. A B C _____ （A） A B C
1 和 P A B 1 则有 _____ 2
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（A） P AB 0 （B） P AB P A P B （C） P A 1 P B （D） P A B 1 【答案】选项 D 方法点拨 4： 要分析事件的关系，用简单事件运算去表示复杂事件，而后应用概率性质计算概 率．由于 A {max( X , Y ) 0} { X , Y 至少有一个大于等于0}={ X 0} {Y 0} 例 4. 设 2 个 随 机 变 量 ， 且 P X 0, Y 0