抛体运动和圆周运动二轮专题复习：2.抛体运动问题含解析

2.拋体运动问题
一、基础知识 1．平抛运动的规律
(1)沿水平方向做匀速直线运动：v x ＝v 0，x ＝v 0t . (2)沿竖直方向做自由落体运动：v y ＝gt ，y ＝12gt 2
.
2．类平抛运动与平抛运动处理方法相似
分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直初速度方向的初速度为零的匀加速直线运动．
3．平抛(类平抛)运动的两个推论
(1)如图甲所示，物体任意时刻速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点．
(2)如图乙所示，在任意时刻任意位置处，速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为α，则有tan θ＝2tan α.
二、平抛(类平抛)运动的求解方法 1．基本求法
把平抛(类平抛)运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向的初速度为零的匀加速直线运动，通过研究分运动达到研究合运动的目的．
2．特殊求法
(1)对于有些问题，过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度、初速度沿坐标轴分解，分别在x 、y 轴方向上列方程求解．
(2)涉及斜面和圆弧面的平抛运动的求解方法是建立平抛运动的两个分速度和分位移以及它们之间的几何关系，是解决问题的突破口．
三、典型例题
考向1 平抛运动基本规律的应用
[例1] 如图所示，在倾角为37°的斜坡上有一人，前方有一动物沿斜坡匀速向下奔跑，速度v ＝15 m/s ，在二者相距l ＝30 m 时，此人以速度v 0水平抛出一石块，打击动物，人和动物都可看成质点．(已知sin 37°＝0.6，g ＝10 m/s 2
)
(1)若动物在斜坡上被石块击中，求v 0的大小；
(2)若动物在斜坡末端时，动物离人的高度h ＝80 m ，此人以速度v 1水平抛出一石块打击动物，同时动物开始沿水平面运动，动物速度v ＝15 m/s ，动物在水平面上被石块击中的情况下，求速度v 1的大小．
解析 (1)设过程中石块运动所需时间为t 对于动物：运动的位移：x ＝vt
对于石块：竖直方向：(l ＋x )sin 37°＝12gt 2
水平方向：(l ＋x )cos 37°＝v 0t 代入数据，由以上三式可得：v 0＝20 m/s (2)对动物，动物做匀速直线运动：x 1＝vt 对于石块：竖直方向：h ＝12
gt 2
t ＝
2h g
＝
2×80
10
s ＝4 s 水平方向：h
tan θ
＋x 1＝v 1t
代入数据，由以上三式可得：v 1＝41.7 m/s 答案 (1)20 m/s (2)41.7 m/s 考向2 被空间约束的平抛运动
[例2] (多选)如图所示，BOD 是半圆的水平直径，OC 为竖直半径，半圆半径为R .现有质量相同的a 、b 两个小球分别从A 、B 两点以一定的初速度水平抛出，分别击中半圆轨道上的D 点和C 点，已知b 球击中C 点时动能为E k ，不计空气阻力，则( )
A ．a 球击中D 点时动能为1.6E k
B ．a 球击中D 点时动能为1.25E k
C ．a 、b 两球初速度之比为1∶1
D ．a 、b 小球与轨道碰撞瞬间，重力的瞬时功率之比为1∶1
解析 两个小球都做平抛运动，下落的高度相同都是R ，根据R ＝12gt 2
可知，运动的时间
为：t ＝
2R
g
，根据图可知，a 球运动的水平位移为2R ，则a 球的初速度为：v A ＝2R
t
＝2gR ，
b 球的水平位移为R ，则b 球的初速度为：v B ＝R
t ＝
1
2
gR ，则a 、b 两球初速度之比为2∶1，选项C 错误；a 球从A 到D 的过程中，根据动能定理得：E k D ＝mgR ＋12
mv 2
A ＝2mgR ①
b 球从B 到C 的过程中，根据动能定理得：E k ＝mgR ＋1
2mv 2B ＝54
mgR ②
由①②得：E k D ＝1.6E k ，选项A 正确，B 错误；a 、b 小球与轨道碰撞前瞬间，竖直方向速度v y ＝gt ，相等，则重力的瞬时功率也相同，即重力的瞬时功率之比为1∶1，选项D 正确；故选A 、D.
答案 AD 四、针对训练
1．如图所示，将篮球从同一位置斜向上抛出，其中有两次篮球垂直撞在竖直墙上，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
A ．从抛出到撞墙，第二次球在空中运动的时间较短
B ．篮球两次撞墙的速度可能相等
C ．篮球两次抛出时速度的竖直分量可能相等
D ．抛出时的动能，第一次一定比第二次大
解析：选A.将篮球的运动反向处理，即为平抛运动，第二次下落的高度较小，所以运动时间较短，故A 正确．水平射程相等，由x ＝v 0t 得知第二次水平分速度较大，即篮球第二次撞墙的速度较大，故B 错误，由v y ＝gt ，可知，第二次抛出时速度的竖直分量较小，故C 错误，根据速度的合成可知，不能确定抛出时的速度大小，动能大小不能确定，故D 错误，故选A.
2．如图，可视为质点的小球，位于半径为 3 m 半圆柱体左端点A 的正上方某处，以一定的初速度水平抛出小球，其运动轨迹恰好能与半圆柱体相切于B 点．过B 点的半圆柱体半径与水平方向的夹角为60°，则初速度为(不计空气阻力，重力加速度为g ＝10 m/s 2
)( )
A.
55
3
m/s B ．4 m/s
C ．3 5 m/s D.
15
2
m/s 解析：选C.飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B 点，知速度与水平方向的夹角为30°，设位移与水平方向的夹角为θ，则有：tan θ＝tan 30°2＝3
6
因为tan θ＝y x ＝y
3
2R
则竖直位移为：y ＝34R ，v 2y ＝2gy ＝32
gR ， 所以tan 30°＝v y v 0
联立以上各式解得：v 0＝
33
2
gR ＝3 5 m/s ，故选项C 正确． 3．如图所示，滑板运动员从倾角为53°的斜坡顶端滑下，滑下的过程中他突然发现在斜面底端有一个高h ＝1.4 m 、宽L ＝1.2 m 的长方体障碍物，为了不触及这个障碍物，他必须在距水平地面高度H ＝3.2 m 的A 点沿水平方向跳起离开斜面．已知运动员的滑板与斜面间的动摩擦因数μ＝0.1，忽略空气阻力，重力加速度g 取10 m/s 2
.(已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)，求：
(1)运动员在斜面上滑行的加速度的大小；
(2)若运动员不触及障碍物，他从A 点起跳后落至水平面的过程所经历的时间． (3)运动员为了不触及障碍物，他从A 点沿水平方向起跳的最小速度．
解析：(1)设运动员连同滑板的质量为m ，运动员在斜面滑行的过程中，由牛顿第二定律得
mg sin 53°－μmg cos 53°＝ma
解得a ＝g sin 53°－μg cos 53°＝7.4 m/s 2
.
(2)运动员从斜面上起跳后沿竖直方向做自由落体运动，根据自由落体公式H ＝12gt 2
解得：t ＝
2H
g
＝0.8 s.
(3)为了不触及障碍物，运动员以速度v 沿水平方向起跳后竖直下落高度为H －h 时，他
沿水平方向运动的距离为
H
tan 53°
＋L
设他在这段时间内运动的时间为t ′ 则：H －h ＝12gt ′2
H
tan 53°
＋L ＝vt ′
解得v ＝6.0 m/s.
答案：(1)7.4 m/s 2
(2)0.8 s (3)6.0 m/s。