整数规划习题
运筹学整数规划例题
练习4.9 连续投资问题某公司现有资金10万元,拟在今后五年考虑用于下列项目的投资:项目A:从第一年到第四年每年年初需要投资,并于次年收回本利115%,但要求第一年投资最低金额为4万元,第二.三.四年不限.项目B:第三年初需要投资,到第五年末能收回本利128%,但规定最低投资金额为3万元,最高金额为5万元.项目C:第二年初需要投资,到第五年末能收回本利140%,但规定其投资金额或为2万元,或为4万元,或为6万元,或为8万元.项目D:五年每年年初都可购买公债,于当年末归还,并获利6%,此项目投资金额不限. 试问该公司应图和确定这些项目的每年投资金额,使到第五年末拥有最大的资金收益.(1) x 为项目各年月初投入向量。
(2) ij x 为 i 种项目j 年的月初的投入。
(3) 向量c 中的元素ijc 为i 年末j 种项目收回本例的百分比。
(4) 矩阵A 中元素ija 为约束条件中每个变量ijx 的系数。
(5) Z 为第5年末能拥有的资金本利最大总额。
因此目标函数为4325max 1.15 1.28 1.40 1.06A B C D Z x x x x =+++束条件应是每年年初的投资额应等于该投资者年初所拥有的资金.第1年年初该投资者拥有10万元资金,故有11100000A D x x +=.第2年年初该投资者手中拥有资金只有()116%D x +,故有22211.06A C D D x x x x ++=.第3年年初该投资者拥有资金为从D 项目收回的本金: 21.06D x ,及从项目A 中第1年投资收回的本金: 11.15A x ,故有333121.15 1.06A B D A D x x x x x ++=+同理第4年、第5年有约束为44231.15 1.06A D A D x x x x +=+, 5341.15 1.06DA Dx x x =+max=1.15*x4a+1.28*x3b+1.4*x2c+1.06*x5d;x1a+x1d=100000;-1.06*x1d+x2a+x2c+x2d=0;-1.15*x1a-1.06*x2d+x3a+x3b+x3d=0;-1.15*x2a-1.06*x3d+x4a+x4d=0;-1.15*x3a-1.06*x4d+x5d=0;x2c=40000 ;x2c=60000;x2c=80000;x2c=20000;x3b>=30000;x3b<=50000;x1a>=0;x2a>=0;x3a>=0;x4a>=0;x5a>=0;x1b>=0;x2b>=0;x3b>=0;x4b>=0;x5b>=0;x1c>=0;x2c>=0;x3c>=0;x4c>=0;x5c>=0;x1d>=0;x2d>=0;x3d>=0;x4d>=0;x5d>=0;Variable Value Reduced CostX4A 22900.00 0.000000X3B 50000.00 0.000000X2C 40000.00 0.000000X5D 0.000000 0.000000X1A 62264.15 0.000000X1D 37735.85 0.000000X2A 0.000000 0.000000X2D 0.000000 0.3036000E-01 X3A 0.000000 0.000000X3D 21603.77 0.000000X4D 0.000000 0.2640000E-01 X5A 0.000000 0.000000X1B 0.000000 0.000000X2B 0.000000 0.000000X4B 0.000000 0.000000X5B 0.000000 0.000000X1C 0.000000 0.000000X3C 0.000000 0.000000X4C 0.000000 0.000000X5C 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 80000.00 1.0000002 0.000000 1.4018503 0.000000 1.3225004 0.000000 1.2190005 0.000000 1.1500006 0.000000 1.0600007 0.000000 -0.8388608E+188 -20000.00 -0.1280000E+109 -40000.00 -0.1280000E+1010 -20000.00 0.1280000E+1011 20000.00 0.00000012 0.000000 0.6100000E-0113 62264.15 0.00000014 0.000000 0.00000015 0.000000 0.00000016 22900.00 0.00000017 0.000000 0.00000018 0.000000 0.00000019 0.000000 0.00000020 50000.00 0.00000021 0.000000 0.00000022 0.000000 0.00000023 0.000000 0.00000024 40000.00 0.00000025 0.000000 0.00000026 0.000000 0.00000027 0.000000 0.00000028 37735.85 0.00000029 0.000000 0.00000030 21603.77 0.00000031 0.000000 0.00000032 0.000000 0.0000004.10某城市的消防总站将全市划分为11个防火区，现有4个消防站，图4-11给出的是该城市各防火区域和防火站的示意图，其中1,2,3,4，表示消防站1，2，…11表示防火区域，根据历史资料证实，各消防站可在事先规定允许的时间对所负责的区域的火灾予以扑灭，图中没有虚线连接的就表示不负责，现在总部提出：能否减少消防站的数目，仍能保证负责各地区的防火任务？如果可以的话，应该关闭哪个？练习4.10某城市的消防站总部将全市划分为11个防火区，现有四的。
第二章 整数规划+答案
故最优解为：X
0010
1 0
0 1
0 0
0 0
，最优值为 14。
0001
6103 0211 1030 5300
5、在今后三年内有五项工程考虑施工，每项工程的期望收入和年度费用（千元）如表所示。假定 每一项已批准的工程要在三年内完成，目标是要选出使总收入达到最大的那些工程。
工程
第1年
费用（千元） 第2年
2 3 14 s. t. 4 2 18
, 0 且为整数
B：X=（3.25,2.5）z=14.75
x2<=3
x2>=4
B1：X=（3,2.67）z=14.33
B2：X=（4,1）z=14
x2<=2
x2>=3
B11：X=（3,2）z=13
B12：X=（2.5,3）z=13.5
所以，最优解为：X=（4,1），最优值为 14。
人
A
B
C
D
E
甲
25
29
31
42
37
乙
39
38
26
20
33
丙
34
27
28
40
32
丁
24
42
36
23
45
解：（1）由于任务数多于人数，所以需要一名假想的人，设为戊。因为工作 E 必须完成，故设戊完
成 E 的时间为 M，其余的假象为 0，建立如下的效率矩阵。
任务
人
A
B
C
D
E
甲
25
29
31
42
37
乙
39
38
解：变换目标函数 max Z=16‐（2 3 5 6 ）
整数规划习题
第五章 整数规划习题5.1 考虑下列数学模型)()(m in 2211x f x f z += 且满足约束条件（1）或101≥x ，或102≥x ； （2）下列各不等式至少有一个成立：⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+≥+15215152212121x x x x x x（3）021=-x x 或5或10 （4）01≥x ，02≥x 其中)(11x f =⎩⎨⎧=>+0,00,520111x x x 如如 =)(22x f ⎩⎨⎧=>+0,00,612222x x x 如如将此问题归结为混合整数规划的模型。
解：2211612510m in x y x y z +++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧•••=≥≥=+++++-+-=-≤++-≥+-≥+-≥+•--≥•-≥•≤•≤），，＝（或，）（）（）（；）（11.110;00)4(111105503215215152)1(10101021111098711109872165462152142132312211i y x x y y y y y y y y y y x x y y y M y x x M y x x M y x x M y x M y x M y x M y x i5.2 试将下述非线性的0-1规划问题转换成线性的0-1规划问题333221max x x x x z -+=⎩⎨⎧==≤++-），（或3,2,110332321j x x x x j解：令=y ⎩⎨⎧==否则，当,01132x x故有y x x =32，又21x ，31x 分别与1x ，3x 等价，因此题中模型可转换为31m ax x y x z -+=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+≤+≤≤≤++-变量均为10,,,13323213232321y x x x y x x x y x y x x x5.3 某科学实验卫星拟从下列仪器装置中选若干件装上。
有关数据资料见表5-1要求：（1）装入卫星的仪器装置总体积不超过V ，总质量不超过W ；（2）A 1与A 3中最多安装一件；（3）A 2与A 4中至少安装一件；（4）A 5同A 6或者都安上，或者都不安。
运筹学答案_第_8_章__整数规划
x31+x32 +x33 +x34 =1， x41+x42 +x43 +x44 =1，
x11 +x21+x31+x41 =1， x12 +x22 +x32 +x42 =1， x13 +x23 +x33+x43 =1， x14 +x24 +x34 +x44 =1， xij 为 0-1 变量，i=1 2 3 4，j=1 2 3 4。
21 31 22
x +x +x +x +x =1，
32 33 34 35
2 3
2 4
2 5
Hale Waihona Puke x 41 +x42 +x43 +x44 +x45 =1， x 51 +x52 +x53 +x54 +x55 =1， x 11 + 21 +x31 +x 41 +x51 =1， x x 12 +x 22 +x 3 +x 4 +x52 =1， x +x +x +x +x =1，
即安排甲做 B 项工作，乙做 A 项工作，丙 C 项工作，丁 D 项工作，或者是 安排甲做 B 项工作，乙做 D 项工作，丙 C 项工作，丁 A 项工作，最少时间为 71 分钟。 b.为使总收益最大的目标函数的数学模型为： 将 a 中的目标函数改为求最大值即可。 目标函数最优解为 :
x11*=0,x12 *=0,x13*=0,x14*=1,x21*=0,x22*=1,x23*=0,x24*=0,x31*=1,x32*=0,x33*=0, x34*=0,x41*=0,x42*=0,x43*=1,x44*=0,z*=102 即安排甲做 D 项工作，乙做 C 项工作，丙 A 项工作，丁 B 项工作，最大收 益为 102。 c.由于工作多人少，我们假设有一个工人戊，他做各项工作的所需的时间均 为 0，该问题就变为安排 5 个人去做 5 项不同的工作的问题了，其目标函数的数 学模型为：
整数规划典型问题实例
2. 所用原料钢管总根数最少
决策 变量 xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7) 目标1（总余量） Min Z 1 3 x 1 x 2 3 x 3 3 x 4 x 5 x 6 3 x 7
模 式 1 2 3 4 5 6 7 需 求 4米 根数 4 3 2 1 1 0 0 50 6米 根数 0 1 0 2 1 3 0 20 8米 根数 0 0 1 0 1 0 2 15 余 料 3 1 3 3 1 1 3
m in f 0 .1 x1 0 .3 x 2 0 .9 x 3 0 x 4 1 .1 x 5 0 .2 x 6 0 .8 x 7 0 .4 x 8
x8
2 x1 x 2 x 3 x 4 1 0 0 2 x 2 3 x3 3 x5 2 x6 x7 1 0 0 s .t . x1 x 3 3 x 4 2 x 6 3 x 7 4 x 8 1 0 0 x 0, i 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, x 取 整 i i
8米1根
8米1根
合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸
钢管下料问题1
模式 1 2 3 4 5 6 7 4米钢管根数 4 3 2 1 1 0 0
合理切割模式
6米钢管根数 0 1 0 2 1 3 0 8米钢管根数 0 0 1 0 1 0 2 余料(米) 3 1 3 3 1 1 3
为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式 切割多少根原料钢管，最为节省？ 两种 标准 1. 原料钢管剩余总余量最小
建立模型：
m ax
f
cx
i i 1
7
i
7 bi x i b i 1 x1 x 2 x 3 2 s .t . x 4 x 5 1 x x 1 7 6 x i 0 或 1, i 1, 2， . . . , 7
第四章整数规划与分配问题习题
1
0
X1 32/7 1 0 0 1/7 -1/7 0
X3 11/7 0 0 1 1/7 -22/7 0
S1 -4/7 0 0 0 [-1/7] -6/7 1
Cj—Zj
0 0 0 -1
-8
0
X2 3
0
00
1
0
X1 4 1 0 0 0
-1 1
X3 1 0 0 1 0
-4 1
X4 4 Cj—Zj
0001 0000
解：
（1）
LP（1）
1 x1 = 39
7 x2 = 29
5 Z1 = 329
z = 32 5 9
z = 28
x1≤3 LP（4） x1 = 3 x2 = 2 z4 = 28
剪去
x2≤2
x2≥3
LP（2） 1
x1 = 32 x2 = 2
z2 = 31
LP（3） 2
x1 = 25
x2 = 3 4
z3= 315
x3* = (1,2)T , z * = 3 由于表 3(b)中一非基变量x5的检验数为 0，故让x5进量，用单纯形法迭代一次，得另一最优解
（见表 4）：
x3* = (2,1)T , z * = 3
8、 用完全枚举法求解 0—1 规划问题.
max z = 3x1 − 2x2 + 5x3 s.t. x1 + 2x2 − x3 ≤ 2
变换效益矩阵：
⎛0 1 2 3⎞⎛0 ⎞ ⎛0 1 2 3⎞ ⎛ⓞ Ø 2 3 ⎞
Ci'j
=
⎜ ⎜ ⎜
7 8
6 9
5 9
4 8
⎟ ⎟ ⎟
⎜ ⎜ ⎜
−4 −8
试题--整数规划
第3章 整数规划一、选择题 （在下列各题中，从备选答案中选出1个或多个正确答案） 1. 且为整数0,,5.45.0,1432,23max 21212121≥≤+≤++=x x x x x x x x Z ，对应线性规划的最优解是（3.25，2.5），它的整数规划的最优解是( )A.(4，1)B.(4，3)C.(3，2)D.(2，4)2. 下列说法正确的是 ( )A. 整数规划问题最优值优于其相应的线性规划问题的最优值B. 用分枝定界法求解一个极大化的整数规划时，当得到多于一个可行解时，通常可任取其中一个作为下界，再进行比较剪枝C. 分枝定界法在处理整数规划问题时，借用线性规划单纯形法的基本思想，在求相应的线性模型解的同时，逐步加入对各变量的整数要求限制，从而把原整数规划问题通过分枝迭代求出最优解。
D. 以上说法都不对3. 分枝定界法中( )A. 最大值问题的目标值是各分枝的下界B . 最大值问题的目标值是各分枝的上界C. 最小值问题的目标值是各分枝的上界D. 以上结论都不对4. 10,,42,734,3m a x21212121或=≤+≤++=x x x x x x x x Z ，最优解是( ) A.(0,0） B.(0,1） C.(1,0） D.(1,1)二、填空题1．12121225418530x x x x x x +≥-≤+≤，，至少一个满足，用0－1变量表示的一般线性约束条件是（ ）2．求解纯整数规划的两种方法是（）3. 已知基变量x1=3.25，x1要求取整数，则添加分枝约束（）和（）。
三、判断题1. 整数规划的最优解是先求相应的线性规划的最优解然后取整得到；2. 部分变量要求是整数的规划问题称为纯整数规划；3. 求最大值问题的目标函数值是各分枝函数值的上界；4. 求最小值问题的目标函数值是各分枝函数值的下界；5. 变量取0或1的规划是整数规划；6. 整数规划的可行解集合是离散型集合；7. 将指派问题的效率矩阵每行分别加上一个数后最优解不变；8. 匈牙利法求解指派问题的条件是效率矩阵的元素非负；9. 匈牙利法可直接求解极大化的指派问题；参考答案：一、选择题 1. A ， 2. D ， 3. B ， 4 . D二、填空题 1.2. （分枝定界法和割平面法）3.（x1≤3），（x1≥4）三、判断题 1.×取整后不一定是原问题的最优解 2.×称为混和整数规划3.√4.√5.√6.√7.√8.√9.×是求解极小化的指派问题。
典型的整数线性规划问题
模型求解 整数规划(Integer Programming,简记IP)
Max z 2x1 3x2 4x3
s. t. 1.5x1 3x2 5x3 600 280 x1 250 x2 400 x3 60000
x1, x2 , x3为非负整数
IP 结果输出
IP可用LINDO直接求解
max 2x1+3x2+4x3 st 1.5x1+3x2+5x3<600 280x1+250x2+400x3<60000 end gin 3
(LP)
模型 求解
结果为小数， 怎么办？
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 632.2581
VARIABLE VALUE
REDUCED COST
X1 64.516129
0.000000
X2 167.741928
0.000000
X3 0.000000
0.946237
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
约束 条件
每人最多入选泳姿之一
4
xij 1, i 1,5
j 1
每种泳姿有且只有1人
5
xij 1, j 1,4
i 1
模型求解 输入LINDO求解
MIN 66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14 +… … +67.4x51+71 x52+83.8x53+62.4x54
SUBJECT TO x11+x12+x13+x14 <=1 …… x41+x42+x43+x44 <=1 x11+x21+x31+x41+x51 =1 …… x14+x24+x34+x44+x54 =1
整数规划与目标规划习题
整数规划习题4-1某厂拟在A 、B 、C 、D 、E 五个城市中建立若干个配送中心，各处设配送中心都需要资金、人力、设备等，而这样的需求量及能提供的利润各处不同，有些点可能亏本，但却能得到贷款和人力等资源。
设数据已知，由下表所示。
厂方应作出4-2用分支定界法求解下列整数规划问题⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤+⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤+-+=+=且为整数且为整数）（）（0,5427230,5021010m 2min 12121212121212121x x x x x x x x x x x x x x z ax x x z4-3用割平面法求解下列整数规划问题⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=+=且为整数且为整数）（）（0,102920,1029232m 232min 12121212121212121x x x x x x x x x x x x x x z ax x x z 4-4用隐枚举法求解下列0-1规划问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤+≤+≤++≤-++-=1,0,,162444233max 3212232321321321x x x x x x x x x x x x x x x x z4-5安排4个人做4项不同的工作，每个人完成工作所需要的时间如下表所示，（1）应如何指派，可使总的时间最少？（2）如果表中的数据为创造的效益，应如何指派，使总效益最大？（3）如果在表中增加一个人（一行），完成A、B、C、D工作的时间分别为16、17、20、21天，这时应如何指派，使总时间最少？4-6对每题结论进行判断，如果结论错误请改正。
（1）整数规划的最优解是先求相应的线性规划的最优解然后取整得到。
（2）求最大值整数规划问题的目标函数值是各分支函数值的上界。
（3）求最小值整数规划问题的目标函数值是各分支函数值的上界。
（4）整数规划的可行解集合是离散型集合。
（5）0一1规划的变量有n个，则有2n个可行解。
（6）割平面约束是将可行域中一部分非整数解切割掉。
第五章整数规划练习题
第五章整数规划练习题
一. 判断下列说法是否正确
1.用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时，任何一个可行整数解的目标函数值是该问题目标函数值的下界。
( )
2.用割平面法求解整数规划时，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。
( )
3.用割平面法求解纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量必须取整数值。
( )
4.指派问题数学模型的形式与运输问题十分相似，故也可以用表上作业法求解。
( )
二. 设有五项工作要分派给五个工人，每人的作业产值如下表所示，为了使总产值最大，问
应如何分配这五项工作，并求得最大产值。
三. 对整数规划
12
121212MaxZ 8x 5x 2x 3x 12
x x 6
x ,x 0,=++≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩整数
解得其松弛问题最优表如下：。
整数规划习题
1. 用分枝定界法求解整数规划模型：
且为整数
0,3/1+2-14
/51)14/9(+..+=max 2121212
1≥≤≤x x x x x x t s x x Z
2. 某水电开发公司计划在某一流域的干、支流上投资建设若干座水电站。
共有7个技术可行的站点可供选择，其中干流的两个站点A 1，A 2中至少选择1个，支流1的3个站点A 3，A 4，A 5中至多选择两个，支流2的两个站点A 6，A 7中至少选择1个。
站点A i 的投资c i 及年利润b i 如表1所示，在投资总额不超过1亿元的情况下，应选择哪几个电站投资建设才能使得公司的年利润最大？
3. 有4人（A 1，A 2，A 3，A 4）被指派完成4项任务（B 1，B 2，B 3，B 4），各人完成任务所需时间如表所示。
如何指派才能使得完成任务的总时间最小？列出数学模型并求解。
4. 用割平面法求解：
为整数
212212121,0≥,25+46≤+2+=max x x x x x x x x x Z 1x 0≤
5. 某地区有5个考虑的投资项目，其期望收益与需投资额见表3。
由于各工程项目之间有一定联系，Ⅰ、Ⅲ和Ⅴ 之间必须选择一种更，而且也仅需要选择一项；同样Ⅱ和Ⅵ 之间也只能选择一项，并且必须选择一项；Ⅲ和Ⅳ 两个项目是密切相连的，项目Ⅲ的实施必须以项目Ⅳ的实施为前提条件。
该地区共筹集到资金15万元，究竟应该选择哪些项目，其期望纯收益才能最大呢？
表3 各工程项目的收益及投资。
动态规划例1-求解下列整数规划的最优解
例1 求解下列整数规划得最优解:()123123max 45634510..01,2,3,j j Z x x x x x x s t x j x =++++⎧⎪⎨=⎪⎩≤≥为整数.解 （1）建立动态规划模型:阶段变量: 将给每一个变量 赋值瞧成一个阶段, 划分为3个阶段, 且阶段变量k=1,2,3. 设状态变量 表示从第 阶段到第3阶段约束右端最大值, 则 设决策变量k x 表示第k 阶段赋给变量k x 得值(1,2,3)k =、 状态转移方程: 阶段指标: 基本方程；()(){}()3113,2,1044()max ,()0.s k k k k k k k k k k x a f s u s x f s f s ++⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎧=+⎪⎨⎪=⎩≤≤ 其中1233,4, 5.a a a === 用逆序法求解: 当3k =时，()(){}{}33333443330055max 6max 6,ssx x f s x f s x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+=≤≤≤而 表示不超过 得最大整数。
因此, 当 时, ；当 时, 可取0或1；当 时, 可取0, 1, 2,由此确定 现将有关数据列入表4.1中当 时, 有()(){}(){}22222332322220044max 5max 54,ssx x f s xf s xf s x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+=+-≤≤≤≤而 。
所以当 时, ；当 时, ；当 时 。
由此确定 。
现将有关数据列入表4.2中、当时,有()(){}(){}11111221211110033max 4max 43,ssx x f s x f s x f s x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+=+-≤≤≤≤例5 用动态规划方法解下列非线性规划问题⎩⎨⎧=≥≤++⋅⋅=3,2,1 0 max 3213221i x c x x x x x x z i 解: 解决这一类静态规划问题, 需要人为地赋予时间概念, 从而将该问题转化为多阶段决策过程。
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第五章整数规划习题5.1考虑以下数学模型min z = fi(Xi) + f2 (x2)且满意约束条件(1) 或 ,或X2 河0：(2) 以下各不等式至少有一个成立：2x〔+ x2 *5+ X2 >15x〔+2x2 215(3) Xi -X2 =0或 5 或10(4) 为No , X2 2 0其中20 + 5xi,如>0fi(xO= 10 ，如=°12 + 6x2,如>0f2(X2)= .0 ，如=0将此问题归结为混合整数规划的模型；minz = 1°y〔* 5xi 十12y2 -6x2（0）xi V yi ,M; x2 y2• M（1）% >10- y3 <MX2 己10 —（1 — y3）• M（2）X1 +xA5- y4M2Xi +X2 2 15- y5MX1 + 2x2 2 15 - yeM第 +y5 + y6 < 2（3）x1 _X2 =0y7 -5y8+5y9 -10y w+ 11yn工y8 + y9 + Yw + y” = 1（4）xi >0，x2 - 0; yi = 0或5.2试将下述非线性的0-1规划问题转换成线性的0-1规划问题_ 2 + 3max z - % x2 x3 - x3一 2xi + 3x2 + X3 <3Xj = 0或 1,= 1,2,3)，当=Xs = 1X 22 3又X 〔，Xi 分别与X 、X3等价，因此题中模型可转换为max z = % + y - X3—2xi + 3x2 X3 — 3 y WX2"X3X2 * X3 V y F一Xi ，X2，X3，y 均为 一1 变5.3某科学试验卫星拟从以下仪器装置中选如干件装上；有关数据资料见表5-1表5-1要求：(1)装入卫星的仪器装置总体积不超过 V,总质量不超过 W (2) A 与A 中最多安装一件；(3)氏与4中至少安装一件；(4) As 同玲或者都安上，或者都 担心；总的目的是装上取的仪器装置使该科学卫星发挥最大的试验价值； 试建立 这个问题的数学模型； 解： 6max z = Z CjXj j ='6三 VjXj -V jT解：令y = 故有 x 2x3 =y,I 6£ Wj Xj - w jTXi + x3 -1 X2十X4 Z 1X5 = X61 ，安装Aj仪器X・=< J 0，否就5.4 某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油，使总的钻探 费用最小；如10个井位的代号为Si , S2, S10,相应的钻探费用为C1 , C2, ,C 10, 并且井位选择上要满意以下限制条件：(1) 或选择S1和S7,或选择钻探S8；(2) 选择了 S3或S4就不能选择S5,或反过来也一样；(3) 在S5,S6,S7,S8,中最多只能选两个；试建立这个问题的整数规划模型； 解： 10min z = £ CjXj j=3'10E Xj = 5 jmX1 + X8 = 1 X3 + Xs < 1 X7 〜彘=1 X4 + X5 三 1 X5 + X6 + X7 + X8 M 2，选择钻探第Sj 井‘0 ,否就5.5用割平面法求解以下整数规划问题(a) maxz = 7x 〔 一 9x 2 —q 3x2 — 6 7Xi +x 2 V 35 x 1s x 2, - 0且为整(b) minz =数4对 5x2% +2X2 V Xi -4x2 - 5 3xi + X2 -2 XlJ x 2 20且为整、 I ' £4xi — 4X 2 J 5 -Xi 〜6X2 — 5一 Xi + X2 + X3 -5*,X2，X3,20 且为整 (d) max z = "Xi +4x2(c)max z 一 4xi 6x 2 + 2x3-x〔+2x2 £14 5x1+ 2X2 <16 2xi - X2 三 4KM*。
第5章 整数线性规划-习题附1
1 max Z = (1.92x1 +1.90x2 +1.88x3 +1.86x4 +1.85x5 +1.83x6 +1.80x7 +1.78x8) m z in 5 x1 +x2 +x3 +x4 +x5 +x6 +x7 +x8 =5 x1 +x2 =1 st.x6 +x7 +x8 ≥1 x +x +x ≤2 1 4 6 x2 +x8 ≤1
最优解为:
1 1 , Z = 1350 X = 1 1 1
最优投资方案:地点1投资建设计算机超市 ,地点2投资建设服装超市,地点3投资建设 食品超市,地点4投资建设电器超市. 年利润总额预测值为1350万元.
�
地点 商品 电器 服装 食品 家具 计算机 1 120 80 150 90 220 2 300 350 160 200 260 3 360 420 380 — 270 4 400 260 300 180 —Fra bibliotek参考答案
地点 商品 电器 服装 食品 家具 计算机 1 300 340 270 330 200 2 120 70 260 220 160 3 60 0 40 420 150 4 20 160 120 240 420 5 0 0 0 0 0
0 0.3 1.2 1.3 0.3 1.4 0 0 0.1 1.4 0.2 1.0 1.1 0 1.2 1.4 0.15 1.3 1.2 0 0.1 0 0.4 1.1 0 1 0 = 0 0 0 0 0 0 1 0
X
*
0 0 0 0 1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
运筹学_第4章__整数规划习题
运筹学_第4章__整数规划习题第四章整数规划4.1 某⼯⼚⽣产甲、⼄两种设备，已知⽣产这两种设备需要消耗材料A 、材料B ，有关数据如下，问这两种设备各⽣产多少使⼯⼚利润最⼤？（只建模不求解）解：设⽣产甲、⼄这两种设备的数量分别为x 1、x 2，由于是设备台数，则其变量都要求为整数，建⽴模型如下：2123max x x z +=≥≤+≤+为整数21212121,0,5.45.01432x x x x x x x x4.2 2197max x x z +=≥≤+≤+-且为整数0,35763.212121x x x x x x t s割平⾯法求解。
（下表为最优表）线性规划的最优解为：63max ,0,2/7,2/94321=====z x x x x由最终表中得：27221227432=++x x x ④将系数和常数项分解成整数和⾮负真分式之和，上式化为；2132********+=++x x x移项后得：①②③④①②③即：21221227212212274343-≤--→≥+x x x x只要把增加的约束条件加到B 问题的最优单纯形表中。
表4－3表4－4由x 1⾏得：7327171541=-+x x x 将系数和常数项分解成整数和⾮负真分数之和：74476715541+=+-+x x x x得到新的约束条件： 74767154-≤--x x747671654-=+--x x x 在的最优单纯形表中加上此约束，⽤对偶单纯形法求解：则最优解为3,421==x x ，最优⽬标函数值为z =55。
4.3 max z ＝4x 1＋3x 2＋2x 3=≥+≥++≤+-10,,13344352.32132321321或x x x x x x x x x x x t s隐枚举法解：（1）先⽤试探的⽅法找出⼀个初始可⾏解，如x 1＝x 2＝0，x 3＝1。
满⾜约束条件，选其作为初始可⾏解，⽬标函数z 0＝2。
（2）附加过滤条件以⽬标函数0z z ≥作为过滤约束：2234321≥++x x x原模型变为：max z ＝4x 1＋3x 2＋2x 3=≥++≥+≥++≤+-10,,22341334435232132132321321或x x x x x x x x x x x x x x 求解过程如表所⽰。
精选整数规划试题
整数规划试题
精选整数规划试题
一、选择题（在下列各题中，从备选答案中选出1个或多个正确答案）1. maxZ?3x1?2x2,2x1?3x2?14,x1?0.5x2?4.5,x1,x2?0且为整数，对应线性规划的最优解是（3.25，2.5），它的整数规划的最优解是( )
A.(4，1)
B.(4，3)
C.(3，2)
D.(2，4)
2. 下列说法正确的是 ( )
A.整数规划问题最优值优于其相应的线性规划问题的最优值
B.用分枝定界法求解一个极大化的'整数规划时，当得到多于一个可行解时，通常可任取其中一个作为下界，再进行比较剪枝
C.分枝定界法在处理整数规划问题时，借用线性规划单纯形法的基本思想，在求相应的线性模型解的同时，逐步加入对各变量的整数要求限制，从而把原整数规划问题通过分枝迭代求出最优解。
D.以上说法都不对
3. 分枝定界法中( )
A. 最大值问题的目标值是各分枝的下界
B. 最大值问题的目标值是各分枝的上界
C. 最小值问题的目标值是各分枝的上界
D. 以上结论都不对
二、填空题
1．求解纯整数规划的两种方法是（）
2. 已知基变量x1=
3.25，x1要求取整数，则添加分枝约束（）和（）。
三、判断题
1. 整数规划的最优解是先求相应的线性规划的最优解然后取整得到；
2. 部分变量要求是整数的规划问题称为纯整数规划；
3. 求最大值问题的目标函数值是各分枝函数值的上界；
4. 求最小值问题的目标函数值是各分枝函数值的下界；
5. 变量取0或1的规划是整数规划；
6. 整数规划的可行解集合是离散型集合；。
整数规划例题
〈运筹学〉补充例题例题 1.1 某工厂可以生产产品A和产品B两种产品。
生产单位产品A和B所需要的机时、人工工时的数量以及可利用资源总量由下表给出。
这两种产品在市场上是畅销产品。
该工厂经理要制订季度的生产计划，其目标是使工厂的销售额最大。
产品A 产品B 资源总量机器（时） 6 8 120人工（时） 10 5 100产品售价（元） 800 300MAX 800X1 +300X2ST6X1 +8X2 <= 12010X1 +5X2 <= 100X1, X2 >=0例题 1.2该工厂根据产品A和产品B的销售和竞争对手的策略，调整了两种产品的售价。
产品A和B的价格调整为600元和400元。
假设其它条件不变，请你帮助该工厂经理制订季度的生产计划，其目标仍然是使工厂的销售额最大。
X 600X1 +400X2ST6X1 +8X2 <= 12010X1 +5X2 <= 100X1, X2 >=0例题 1.3由于某些原因，该工厂面临产品原料供应的问题。
因此，工厂要全面考虑各种产品所需要的机时、人工工时、原材料的资源数量及可用资源的总量、产品的售价等因素。
有关信息在下表中给出。
产品A 产品B 资源总量机器（时） 6 8 120人工（时） 10 5 100原材料(公斤) 11 8 130产品售价（元） 600 400MAX 600X1 +400X2ST6X1 +8X2 <= 12010X1 +5X2 <= 10011X1 +8X2 <= 130X1, X2 >=0例题 1.４随着企业改革的不断深化，该企业的经理的管理思想产生了变化，由原来的追求销售额变为注重销售利润，因此，要考虑资源的成本。
工厂的各种产品所需要的机时、人工工时、原材料的资源数量及可用资源的总量、产品的售价和各种资源的价格等因素。
有关信息在下表中给出。
产品A 产品B 资源总量资源价格（元／单位）机器（时） 6 8 120 ５人工（时） 10 5 100 20原材料(公斤) 11 8 130 1产品售价（元） 600 400设： J为所用机器资源数量（小时）；R为所用人力资源数量（小时）；L为所用原材料数量（公斤）MAX 600X1 +400X2 -CST6X1 +8X2 - J = 010X1 +5X2 - R = 011X1 +8X2 - L = 0J <= 120R <= 100L <= 1305J +20R +1L - C = 0x1, x2, J,R,L>=0例题 1.5 学习了管理课程后，该企业的经理明白了产品的成本包括变动成本和固定成本。
6.1整数规划问题
二、整数规划解的理论
对整数规划问题： max z = CX AX = b s （IP）.t X ≥ 0 x 为整数 j
max z = CX AX = b s.t X ≥0
（IP）问题的松弛问题
对（ IP ）问题： max z = CX AX = b s .t X ≥ 0 x j 为整数
（ ）若松弛问题的最优解 X * 为整数解 4 则 X * 也是 IP 的最优解
其松弛问题为： max z = CX AX = b s .t X ≥ 0
（） IP 的可行解域 1
（2 IP 的最优值 ）
≤
松弛问题的可行解域
松弛问题的最优值
若松弛问题无可行解，则IP 无可行解
松弛问题的最优值是原整数规划 的目标函数值的上界
(3)若松弛问题可以找到一 个整数解 X，
则X 的目标函数值是 IP 最优值的下界
1 解： 设 x i = 0
带第 i 件物品 不带第 i 件物品
m
数学模型：
Z表示所带物品的总价值
m Z = ∑ci xi ax
m b x ≤b s.t ∑ i i i= 1 xi = 0,1 ， i = 1 2,Lm ,
i =1
m
Z =
∑c
带第 i 件
i
=∑c xi =来自 i m i =1x1 , x 2 L , x n ≥ 0 x1 , x2 L, xn = 0,1
例
max z = 30 x 1 + 20 x 2 2 x 1 + 3 x 2 ≤ 14 × 2x + x ≤ 9 1 2 s .t x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0 x 1 , x 2 为整数
整数规划作业
整数规划作业
1、某企业在A1地已经有一个工厂，其产品生产能力为30千箱，为了扩大生产，打算在A
2、 A
3、 A
4、 A5地中再选几个地方建厂。
已知在A2地建厂的固定成本175千元，在A3地建厂的固定成本300千元，在A4地建厂的固定成本375千元，在A5地建厂的固定成本500千元，另外， A1的产量，A2 、 A3、 A4、 A5建成厂的产量，那时销地的销量以及产地到销地的单位运价（每千箱运费）如表。
（1）问在哪建厂，在满足销量的前提下，使得总的固定成本和总的运费之和最小；
（2）如果由于政策要求必须在A2、 A3两地建一个厂，应在哪几个地方建？
2、某公司在今后5年内考虑给以下项目投资，已知：
项目A ：从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年回收本利115%，但要求第一年投资最低金额为4万元，第二、三、四年不限；
项目B ：从第三年初需要投资，到第五年末能回收本利128%，但规定最低投资额为3万元，最高为5万元；
项目C ：第二年年初需要投资，到第五年末能回收本利140%，但规定其投资额或为2万元或为4万元，或为6万元或为8万元。
项目D ：五年内每年初可购买公债，于当年归还，并加利息6%，此项投资额不限。
该部门现有资金10万元，问：应如何确定给这些项目的每年投资额，使到第五年拥有的资金本利总额最大？
20
20
30
销量（千箱）
40
2 4 10 A5
30 5 7 9 A4 20 4 3 4 A3 10 3 2 5 A2 30 3 4 8 A1 产量（千箱） B3 B2 B1。
第六章 运筹学 整数规划案例
第六章整数规划6.1 用图形将一下列线性规划问题的可行域转换为纯整数问题的可行域(在图上用“×”标出)。
1、 max z=3x1+2x2S.T. 2x1+3x2≤122x1+x2≤9x1、x2≥0解：2、 min f=10x1+9x2S.T. 5x1+3x2≥45x1≥8x2≤10x1、x2≥06.2 求解下列整数规划问题1、 min f=4x1+3x2+2x3S.T. 2x1-5x2+3x3≤44x1+x2+3x3≥3x2+x3≥1x1、x2、x3=0或1解：最优解（0，0，1），最优值：22、 min f=2x1+5x2+3x3+4x3S.T. -4x1+x2+x3+x4≥2-2x1+4x2+2x2+4x2≥4x1+x2-x2+x2≥3x1、x2、x3、x3=0或1解：此模型没有可行解。
3、max Z=2x1+3x2+5x3+6x4S.T. 5x1+3x2+3x3+x4≤302x1+5x2-x2+3x2≤20-x1+3x2+5x2+3x2≤403x1-x2+3x2+5x2≤25x1、x2、x3、x3=正整数解：最优解（0，3，4，3），最优值：474、min z =8x1 +4 x2+3 x3+5 x4+2 x5＋3 x6＋4 x7＋3 x8+4 x9+9 x10+7 x11+5 x12 +10 x13+4 x14+2 x15+175 x16+300 x17+375 x18 +500 x19约束条件x1 + x2+x3≤30x4+ x5＋x6-10 x16≤0x7+ x8＋x9-20 x17≤0x10+ x11＋x12-30 x18≤0x13+ x14＋x15-40 x19≤0x1 + x4+ x7+x10+ x13＝30x2 + x5+ x8+x11+ x14＝20x3 + x6+ x9+x12+ x15＝20x i为非负数（i=1,2…..8）x i为非负整数（i=9,10…..15）x i为为0－1变量（i=16,17…..19）解：最优解（30，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，20，20，0，0，0，1），最优值：8606.3 一餐饮企业准备在全市范围内扩展业务，将从已拟定的14个点中确定8个点建立分店，由于地理位置、环境条件不同，建每个分店所用的费用将有所不同，现拟定的14个店的费用情况如下表：公司办公会决定选择原则如下：（1）B5、B3和B7只能选择一个。