等差数列及其前n项和专题训练
等差数列及其前n项和
1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，n S =n n 22-，则=5a ( )A.6 B ． 7 C ． 8 D ．92．S n 是数列{a n }的前n 项和，则“S n 是关于n 的二次函数”是“数列{a n }为等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若371112a a a ++=，则13S 等于（ ） A ．52 B ．54 C ．56 D ．584．等差数列｛a n ｝中，a 1=84，a 2=80，则使a n ≥0且a n+1＜0的n 为（ ） A.21 B.22 C.23 D.245．在等差数列{a n }中，若a 4+a 6=12, S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 9的值为（ ）. A ．48 B ．54 C ．60 D ．666．在数列{}n a 中，如果存在常数T ()T N +∈，使得n T n a a +=对于任意正整数n 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期. 已知数列{}n x 满足21||()n n n x x x n N *++=-∈，若121, (1,0)x x a a a ==≤≠，当数列{}n x 的周期为3时，则数列{}n x 的前2012项的和2012S 为 （ ）A. 1339 +aB. 1341+aC. 671 +aD. 672+a 7．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若45818,a a S +=则等于（ ） A ．18 B ．36C ．54D ．728．已知等差数列{}n a 中，2,164142==+a a a ，则11S 的值为（ ） A.15 B.33 C.55 D.999．等差数列}{n a 中,若1201210864=++++a a a a a ,则15S 的值为（ ） A ．180 B ．240 C ．360 D ．72010．在△ABC 中，若三个内角A ，B ，C 成等差数列且A<B<C ，则cos cos A C 的取值范围是（ ） A11．设函数f （x ）满足f （n+1）n ∈N *）且f （1）=2，则f （20）为 A ．95B ．97C ．105D ．19212．等差数列{an}中，已知a1a 2+a 5＝4，a n ＝33，则n 为( )A ．50B ．49C ．48D ．4713．已知等差数列{}n a 中，247,15a a ==，则前10项的和10S ＝ （ ） A ．100 B ．210 C ．380 D ．40014．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且10,242==S S ，则6S 等于（ ） （A ）12 （B ）18 （C ）24 （D ）4215．数列{}n a 的通项为n a =12-n ，*N n ∈，其前n 项和为n S ，则使n S >48成立的n的最小值为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．1016．等差数列{}n a 共有21n +项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则其中间项为 ．17．等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于___________．18．（14分）已知等差数列{an}中，a2=8，前10项和S10=185． （1）求通项an ；（2）若从数列{an}中依次取第2项、第4项、第8项…第2n 项……按原来的顺序组成一个新的数列{bn}，求数列{bn}的前n 项和Tn ． 19．已知{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-．（Ⅰ）求{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）求{}n a 前n 项和Sn 的最大值．20．已知数列{}n a 的首项1,2,。
巩固练习_提高_等差数列及其前n项和
【巩固练习】一、选择题1．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( )A ．5B ．4C ．3D ．22．已知等差数列{a n }的前三项依次为a －1，172a -,3，则该数列中第一次出现负值的项为( ) A ．第9项B ．第10项C ．第11项D ．第12项 3.已知{a n }是等差数列，a 3＋a 11＝40，则a 6－a 7＋a 8等于( ) A ．20B ．48C ．60D ．72 4. 等差数列{a n }中，a 1＝8，a 5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差是( ) A.34B ．34-C ．67-D ．－1 5.(2015 新课标Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8=4S 4，则a 10=（ ） A ． 172 B ．192C ．10D ．12 6. 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且7453n n A n B n +=+，则使得n n a b 为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题7．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________. 8．若x ≠y ，数列x ，a 1，a 2，y 和x ，b 1，b 2，b 3，y 各自成等差数列，则1212a ab b --＝________. 9.把20分成四个数成等差数列，使第一项与第四项的积同第二项与第三项的积的比为2∶3，则这四个数从小到大依次为____________.10.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k ＝________.11.（2016 南通模拟）等差数列{}n a 中，1583,115a a a =-=，则其前n 项和n S 的最小值为 。
(完整版)等差数列的前n项和练习含答案
课时作业8 等差数列的前n 项和时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．已知{a n }为等差数列，a 1＝35，d ＝－2，S n ＝0，则n 等于( ) A ．33 B ．34 C ．35 D ．36【答案】 D【解析】 本题考查等差数列的前n 项和公式．由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝35n ＋n (n －1)2×(－2)＝0，可以求出n ＝36.2．等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则数列前13项的和是( )A ．13B ．26C ．52D ．156 【答案】 B【解析】 3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24⇒6a 4＋6a 10＝24⇒a 4＋a 10＝4⇒S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2＝13×42＝26. 3．等差数列的前n 项和为S n ，S 10＝20，S 20＝50.则S 30＝________. 【答案】 90【解析】 等差数列的片断数列和依次成等差数列． ∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等差数列． ∴2(S 20－S 10)＝(S 30－S 20)＋S 10，解得S 30＝90.4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝84，S 20＝460，求S 28. 【分析】 (1)应用基本量法列出关于a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，进而求得S 28；(2)因为数列不是常数列，因此S n 是关于n 的一元二次函数且常数项为零．设S n ＝an 2＋bn ，代入条件S 12＝84，S 20＝460，可得a 、b ，则可求S 28；(3)由S n ＝d 2n 2＋n (a 1－d 2)得S n n ＝d 2n ＋(a 1－d2)，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是一个等差数列，又2×20＝12＋28，∴2×S 2020＝S 1212＋S 2828，可求得S 28.【解析】 方法一：设{a n }的公差为d ， 则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知条件得：⎩⎨⎧12a 1＋12×112d ＝84，20a 1＋20×192d ＝460，整理得⎩⎨⎧2a 1＋11d ＝14，2a 1＋19d ＝46，解得⎩⎨⎧a 1＝－15，d ＝4.所以S n ＝－15n ＋n (n －1)2×4＝2n 2－17n ， 所以S 28＝2×282－17×28＝1 092.方法二：设数列的前n 项和为S n ，则S n ＝an 2＋bn . 因为S 12＝84，S 20＝460，所以⎩⎨⎧122a ＋12b ＝84，202a ＋20b ＝460，整理得⎩⎨⎧12a ＋b ＝7，20a ＋b ＝23.解之得a ＝2，b ＝－17， 所以S n ＝2n 2－17n ，S 28＝1 092. 方法三：∵{a n }为等差数列， 所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，所以S n n ＝a 1－d 2＋d2n ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列．因为12,20,28成等差数列， 所以S 1212，S 2020，S 2828成等差数列， 所以2×S 2020＝S 1212＋S 2828，解得S 28＝1 092.【规律方法】 基本量法求出a 1和d 是解决此类问题的基本方法，应熟练掌握．根据等差数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化计算．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项的和S 10等于( )A ．100B ．210C ．380D ．400【答案】 B【解析】 d ＝a 4－a 24－2＝15－72＝4，则a 1＝3，所以S 10＝210.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，则a 10＝( ) A ．27 B ．24 C ．29 D ．48【答案】 C 【解析】由已知⎩⎨⎧2a 1＋5d ＝19，5a 1＋10d ＝40.解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝3.∴a 10＝2＋9×3＝29.3．数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则这个数列一定是( ) A ．等差数列 B ．非等差数列 C ．常数列 D ．等差数列或常数列 【答案】 B【解析】 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －1－[(n －1)2＋2(n －1)－1]＝2n ＋1，当n ＝1时a 1＝S 1＝2.∴a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，2n ＋1，n ≥2，这不是等差数列．4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )C ．8D ．9【答案】 A 【解析】⎩⎨⎧a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，∴⎩⎨⎧a 1＝－11，d ＝2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－11n ＋n 2－n ＝n 2－12n . ＝(n －6)2－36. 即n ＝6时，S n 最小．5．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )A ．22B ．21C ．19D ．18【答案】 D【解析】 ∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34， a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －4＝146， ∴5(a 1＋a n )＝180，a 1＋a n ＝36， S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ×362＝234. ∴n ＝13，S 13＝13a 7＝234.∴a 7＝18.6．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为( )A ．8B ．7【答案】 D【解析】 S 奇＝6a 1＋6×52×2d ＝30，a 1＋5d ＝5，S 偶＝5a 2＋5×42×2d ＝5(a 1＋5d )＝25，a 中＝S 奇－S 偶＝30－25＝5.7．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n＝7n n ＋3，则a 5b 5等于( ) A ．7 B.23 C.278 D.214【答案】 D【解析】 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝92(a 1＋a 9)92(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝214.8．已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于( )A ．445B ．765C ．1 080D ．1 305 【答案】 B【解析】 a n ＋1－a n ＝3，∴{a n }为等差数列． ∴a n ＝－60＋(n －1)×3，即a n ＝3n －63.∴a n ＝0时，n ＝21，a n >0时，n >21，a n <0时，n <21. S ′30＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－a 3－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝－2(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋S 30 ＝－2S 21＋S 30 ＝765.二、填空题(每小题10分，共20分)9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则数列的通项公式a n ＝________.【答案】 2n【解析】 设等差数列{a n }的公差d ，则⎩⎨⎧a 1＋5d ＝12a 1＋d ＝4，∴⎩⎨⎧a 1＝2d ＝2，∴a n ＝2n .10．等差数列共有2n ＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n 等于________．【答案】 10【解析】 ∵等差数列共有2n ＋1项，∴S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1.即132－120＝132＋1202n ＋1，求得n ＝10.【规律方法】 利用了等差数列前n 项和的性质，比较简捷． 三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8； (2)若a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .【分析】 在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a 1和d 是两个最基本量，利用通项公式和前n 项和公式，先求出a 1和d ，然后再求前n 项和或特别的项．【解析】 (1)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎨⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.解方程组，得a 1＝－5，d ＝3， ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16， S 8＝8(a 1＋a 8)2＝44. (2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－512＋1)2＝－1 022， 解得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ， 即－512＝1＋(4－1)d ， 解得d ＝－171.【规律方法】 一般地，等差数列的五个基本量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”．我们求解这类问题的通性通法，是先列方程组求出基本量a 1和d ，然后再用公式求出其他的量．12．已知等差数列{a n }，且满足a n ＝40－4n ，求前多少项的和最大，最大值为多少？【解析】 方法一：(二次函数法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36， ∴S n ＝(a 1＋a n )n 2＝36＋40－4n2·n ＝－2n 2＋38n ＝－2[n 2－19n ＋(192)2]＋1922＝－2(n －192)2＋1922.令n －192＝0，则n ＝192＝9.5，且n ∈N ＋， ∴当n ＝9或n ＝10时，S n 最大，∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2(10－192)2＋1922＝180. 方法二：(图象法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36， a 2＝40－4×2＝32，∴d ＝32－36＝－4，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝36n ＋n (n －1)2·(－4)＝－2n 2＋38n ， 点(n ，S n )在二次函数y ＝－2x 2＋38x 的图象上，S n 有最大值，其对称轴为x ＝－382×(－2)＝192＝9.5，∴当n ＝10或9时，S n 最大．∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2×102＋38×10＝180. 方法三：(通项法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36，a 2＝40－4×2＝32，∴d ＝32－36＝－4<0，数列{a n }为递减数列．令⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，有⎩⎨⎧40－4n ≥0，40－4(n ＋1)≤0，∴⎩⎨⎧n ≤10，n ≥9，即9≤n ≤10.当n ＝9或n ＝10时，S n 最大．∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝a 1＋a 102×10＝36＋02×10＝180. 【规律方法】 对于方法一，一定要强调n ∈N ＋，也就是说用函数式求最值，不能忽略定义域，另外，三种方法中都得出n ＝9或n ＝10，需注意a m ＝0时，S m －1＝S m 同为S n 的最值．。
等差数列及其前n项和练习题
第1讲 等差数列及其前n 项和一、填空题1．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.解析a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝2(a 3＋a 7)＝74. 答案742．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 39＝1，则公差为________． 解析依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，于是有4a 1＋6d 12－3a 1＋3d9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6. 答案63．在等差数列{a n }中，a 1＞0，S 4＝S 9，则S n 取最大值时，n ＝________.解析 因为a 1＞0，S 4＝S 9，所以a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0，所以a 7＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 6＞0，a 8＜0，从而当n ＝6或7时S n 取最大值． 答案 6或74．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则S 9＝________.解析 ∵a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，∴3a 4＝39,3a 6＝27，∴a 4＝13，a 6＝9.∴a 6－a 4＝2d ＝9－13＝－4，∴d ＝－2， ∴a 5＝a 4＋d ＝13－2＝11，∴S 9＝9a 1＋a 92＝9a 5＝99.答案 995．设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________.解析 由15＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2，得a 2＝5.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝10，a 1a 3＝16.又公差d ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a 3＝8.所以d ＝3.所以a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 1＋11d )＝3(2＋33)＝3×35＝105. 答案 1056．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2＋pn ，a 7＝11.若a k ＋a k ＋1＞12，则正整数k 的最小值为________．解析 因为a 7＝S 7－S 6＝2×72＋7p －2×62－6p ＝26＋p ＝11，所以p ＝－15，S n ＝2n 2－15n ，a n ＝S n －S n －1＝4n －17(n ≥2)，当n ＝1时也满足．于是由a k ＋a k ＋1＝8k －30＞12，得k ＞214＞5.又k ∈N *，所以k ≥6，即k min ＝6.答案 67．已知数列{a n }满足递推关系式a n ＋1＝2a n ＋2n－1(n ∈N *)，且⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列，则λ的值是________．解析 由a n ＋1＝2a n ＋2n－1，可得a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋12－12n ＋1，则a n ＋1＋λ2n ＋1－a n ＋λ2n ＝a n ＋12n ＋1－a n2n －λ2n ＋1＝12－12n ＋1－λ2n ＋1＝12－λ＋12n ＋1，当λ的值是－1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12n 是公差为12的等差数列． 答案 －18．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________.解析a 7－a 5＝2d ＝4，d ＝2，a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1，S k ＝k ＋k k －12×2＝k 2＝9.又k ∈N *，故k ＝3. 答案310．已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (x ·y )＝xf (y )＋yf (x )成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n )(n ∈N *)，且a 1＝2.则数列的通项公式a n ＝________. 解析 由a n ＋1＝f (2n ＋1)＝2f (2n)＋2nf (2)＝2a n ＋2n ＋1，得a n ＋12n ＋1＝a n2n ＋1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n2n ＝n ，a n ＝n ·2n .答案 n ·2n 二、解答题11．已知等差数列{a n }的前三项为a －1,4,2a ，记前n 项和为S n .(1)设S k ＝2 550，求a 和k 的值；(2)设b n ＝S nn ，求b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1的值．解(1)由已知得a 1＝a －1，a 2＝4，a 3＝2a ， 又a 1＋a 3＝2a 2，∴(a －1)＋2a ＝8，即a ＝3. ∴a 1＝2，公差d ＝a 2－a 1＝2. 由S k ＝ka 1＋k k －12d ，得2k ＋k k －12×2＝2 550，即k 2＋k －2 550＝0，解得k ＝50或k ＝－51(舍去)． ∴a ＝3，k ＝50.(2)由S n ＝na 1＋n n －12d 得S n ＝2n ＋n n －12×2＝n 2＋n .∴b n ＝S nn ＝n ＋1，∴{b n }是等差数列，则b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1＝(3＋1)＋(7＋1)＋(11＋1)＋…＋(4n －1＋1) ＝4＋4n n2.∴b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1＝2n 2＋2n .12．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n . 解a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32. 设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32.解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16.d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28. 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n －16＋12n －282＝6n 2－22n .13．在等差数列{a n }中，公差d ＞0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝S nn ＋c(n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设，知{a n }是等差数列，且公差d ＞0， 则由⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d a 1＋2d ＝45，a 1＋a 1＋4d ＝18.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)由b n ＝S nn ＋c＝n 1＋4n －32n ＋c＝2n ⎝⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c，∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n .∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)， ∴数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列．第2讲 等比数列及其前n 项和一、填空题1．设数列{a 2n }前n 项和为S n ，a 1＝t ，a 2＝t 2，S n ＋2－(t ＋1)S n ＋1＋tS n ＝0，则{a n }是________数列，通项a n ＝________.解析 由S n ＋2－(t ＋1)S n ＋1＋tS n ＝0，得S n ＋2－S n ＋1＝t (S n ＋1－S n )，所以a n ＋2＝ta n＋1，所以a n ＋2a n ＋1＝t ，又a 2a 1＝t ， 所以{a n }成等比数列，且a n ＝t ·t n －1＝t n . 答案 等比 t n2．等比数列{a n }的前n 项和为S n,8a 2＋a 5＝0，则S 6S 3＝________.解∵8a 2＋a 5＝8a 1q ＋a 1q 4＝a 1q (8＋q 3)＝0 ∴q ＝－2∴S 6S 3＝1－q 61－q 3＝1＋q 3＝－7. 答案－73．数列{a n }为正项等比数列，若a 2＝2，且a n ＋a n ＋1＝6a n －1(n ∈N ，n ≥2)，则此数列的前4项和S 4＝________.解析 由a 1q ＝2，a 1q n －1＋a 1q n ＝6a 1q n －2，得q n －1＋q n ＝6q n －2，所以q 2＋q ＝6.又q ＞0，所以q ＝2，a 1＝1.所以S 4＝a 11－q 41－q ＝1－241－2＝15.答案 154．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t ·5n －2－15，则实数t 的值为________． 解析 ∵a 1＝S 1＝15t －15，a 2＝S 2－S 1＝45t ，a 3＝S 3－S 2＝4t ，∴由{a n }是等比数列知⎝ ⎛⎭⎪⎫45t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15t －15×4t ，显然t ≠0，所以t ＝5. 答案 55．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n＋1·a n ＋2≥18的最大正整数n 的值为________．解析 由等比数列的性质，得4＝a 2·a 4＝a 23(a 3＞0)，所以a 3＝2，所以a 1＋a 2＝14－a 3＝12，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2，a 1()1＋q ＝12，解得⎩⎨⎧a 1＝8，q ＝12，所以a n ＝8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －4.于是由a n ·a n ＋1·a n ＋2＝a 3n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123(n －3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18n －3≥18，得n －3≤1，即n ≤4.答案 46．在等比数列{a n}中，a n>0，若a1·a2·…·a7·a8＝16，则a4＋a5的最小值为________．解析由已知a1a2·…·a7a8＝(a4a5)4＝16，所以a4a5＝2，又a4＋a5≥2a4a5＝22 (当且仅当a4＝a5＝2时取等号)．所以a4＋a5的最小值为2 2.答案2 27．已知递增的等比数列{a n}中，a2＋a8＝3，a3·a7＝2，则a13a10＝________. 解析∵{a n}是递增的等比数列，∴a3a7＝a2a8＝2，又∵a2＋a8＝3，∴a2，a8是方程x2－3x＋2＝0的两根，则a2＝1，a8＝2，∴q6＝a8a2＝2，∴q3＝2，∴a13a10＝q3＝ 2.答案 28．设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值为________．解析由题意知a3＝q，a5＝q2，a7＝q3且q≥1，a4＝a2＋1，a6＝a2＋2且a2≥1，那么有q2≥2且q3≥3.故q≥33，即q的最小值为33.答案33二、解答题11．在等差数列{a n}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{a n＋b n}是首项为1，公比为c的等比数列，求{b n}的前n项和S n.解(1)设等差数列{a n}的公差是d.依题意a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6，从而d＝－3.由a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得a1＝－1.所以数列{a n}的通项公式为a n＝－3n＋2.(2)由数列{a n＋b n}是首项为1，公比为c的等比数列，得a n＋b n＝－1，即－3n＋2＋b n＝－1，所以b n＝3n－2＋－1.所以S n＝[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]＋(1＋c＋c2＋…＋－1)＝n3n－12＋(1＋c＋c2＋…＋－1)．从而当c＝1时，S n＝n3n－12＋n＝3n2＋n2.当c≠1时，S n＝n3n－12＋1－1－c.12．设各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，S4＝1，S8＝17.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)是否存在最小的正整数m，使得n≥m时，a n>2 01115恒成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由．解(1)设{a n}的公比为q，由S4＝1，S8＝17知q≠1，所以得a1q4－1q－1＝1，a1q8－1q－1＝17.相除得q8－1q4－1＝17，解得q4＝16.所以q＝2或q＝－2(舍去)．由q＝2可得a1＝115，所以a n＝2n－115.(2)由a n＝2n－115>2 01115，得2n－1>2 011，而210<2 011<211，所以n－1≥11，即n≥12.因此，存在最小的正整数m ＝12，使得n ≥m 时，a n >2 01115恒成立． 13．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2·a 4＝65，a 1＋a 5＝18.(1)求数列{a n }的通项公式a n .(2)若1＜i ＜21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，求i 的值；(3)是否存在常数k ，使得数列{S n ＋kn }为等差数列？若存在，求出常数k ；若不存在，请说明理由．解 (1)因为a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18，又a 2·a 4＝65， 所以a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根． 又公差d ＞0，所以a 2＜a 4.所以a 2＝5，a 4＝13. 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，解得a 1＝1，d ＝4.所以a n ＝4n －3.(2)由1＜i ＜21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，所以a 1·a 21＝a 2i ，即1·81＝(4i －3)2，解得i ＝3. (3)由(1)知，S n ＝n ·1＋n n －12·4＝2n 2－n .假设存在常数k ，使数列{S n ＋kn }为等差数列， 由等差数列通项公式，可设S n ＋kn ＝an ＋b ，得2n 2＋(k －1)n ＝an 2＋2abn ＋b 恒成立，可得a ＝2，b ＝0，k ＝1.所以存在k ＝1使得{S n ＋kn }为等差数列．第3讲 等差数列、等比数列与数列求和一、填空题1．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n项和S n ＝________.解析由题意设等差数列公差为d ，则a 1＝2，a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d .又∵a 1，a 3，a 6成等比数列，∴a 23＝a 1a 6，即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得2d 2－d ＝0.∵d ≠0，∴d ＝12，∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝n 24＋74n .答案n 24＋74n2．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为________．解析∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.答案1203．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为________．解析 ∵a 5＝5，S 5＝15，∴5a 1＋a 52＝15，即a 1＝1. ∴d ＝a 5－a 15－1＝1，∴a n ＝n .∴1a n a n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1.设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n .∴T 100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1100－1101＝1－1101＝100101.答案 1001014．已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝5，b 1＝7，且a 20＋b 20＝60.则{a n ＋b n }的前20项的和为________．解析 由题意知{a n ＋b n }也为等差数列，所以{a n ＋b n }的前20项和为：S 20＝20a 1＋b 1＋a 20＋b 202＝20×5＋7＋602＝720.答案 7205．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1，又∵a 1＝1适合上式．∴a n ＝2n －1，∴a 2n ＝4n －1. ∴数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，以4为公比的等比数列．∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1·1－4n 1－4＝13(4n－1)． 答案 13(4n－1)6．定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若数列{a n }满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 122 1＝1且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3a n a n ＋1＝12(n ∈N *)，则a 3＝________，数列{a n }的通项公式为a n ＝________. 解析由题意得a 1－1＝1,3a n ＋1－3a n ＝12即a 1＝2，a n ＋1－a n ＝4. ∴{a n }是以2为首项，4为公差的等差数列， ∴a n ＝2＋4(n －1)＝4n －2，a 3＝4×3－2＝10. 答案10 4n －27．在等比数列{a n }中，a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.解析 ∵a 4a 1＝q 3＝－8，∴q ＝－2.∴a n ＝12·(－2)n －1，∴|a n |＝2n －2，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝121－2n 1－2＝2n －1－12. 答案 －2 2n －1－128．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 11＝35＋S 6，则S 17的值为________．解析因S11＝35＋S6，得11a1＋11×102d＝35＋6a1＋6×52d，即a1＋8d＝7，所以S17＝17a1＋17×162d＝17(a1＋8d)＝17×7＝119.答案1199．等差数列{a n}的公差不为零，a4＝7，a1，a2，a5成等比数列，数列{T n}满足条件Tn＝a2＋a4＋a8＋…＋a2n，则T n＝________.解析设{a n}的公差为d≠0，由a1，a2，a5成等比数列，得a22＝a1a5，即(7－2d)2＝(7－3d)(7＋d)所以d＝2或d＝0(舍去)．所以a n＝7＋(n－4)×2＝2n－1.又a2n＝2·2n－1＝2n＋1－1，故T n＝(22－1)＋(23－1)＋(24－1)＋…＋(2n＋1－1)＝(22＋23＋…＋2n＋1)－n＝2n＋2－n－4.答案2n＋2－n－410．数列{a n}的通项公式a n＝2n－1，如果b n＝2na n ＋a n＋1，那么{b n}的前n项和为________．解析b n＝2nan＋a n＋1＝2n2n－1＋2n＋1－1＝2n＋1－1－2n－1，所以b1＋b2＋…＋b n＝22－1－2－1＋23－1－22－1＋…＋2n＋1－1－2n－1＝2n＋1－1－1.答案2n＋1－1－1二、解答题11．已知{a n}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.(1)求{a n}的通项公式；(2)若等比数列{b n}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{b n}的前n项和公式．解(1)设等差数列{a n}的公差为d.因为a 3＝－6，a 6＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0.解得a 1＝－10，d ＝2.所以a n ＝－10＋(n －1)·2＝2n －12. (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8， 所以－8q ＝－24，即q ＝3.所以{b n }的前n 项和公式为S n ＝b 11－q n1－q＝4(1－3n )．13．记公差d ≠0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2＋2，S 3＝12＋3 2.(1)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n .(2)已知等比数列{b nk }，b n ＋2＝a n ，n 1＝1，n 2＝3，求n k .(3)问数列{a n }中是否存在互不相同的三项构成等比数列，说明理由． 解(1)因为a 1＝2＋2，S 3＝3a 1＋3d ＝12＋32， 所以d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋2，S n ＝n a 1＋a n2＝n 2＋(2＋1)n .(2)因为b n ＝a n －2＝2n ， 所以bn k ＝2n k .又因为数列{bn k }的首项bn 1＝b 1＝2，公比q ＝b 3b 1＝3，所以bn k ＝2·3k －1.所以2n k ＝2·3k －1，则n k ＝3k －1.(3)假设存在三项a r ，a s ，a t 成等比数列，则a 2s ＝a r ·a t ， 即有(2s ＋2)2＝(2r ＋2)(2t ＋2)，整理得(rt－s2)2＝2s－r－t.若rt－s2≠0，则2＝2s－r－t rt－s2，因为r，s，t∈N*，所以2s－r－trt－s2是有理数，这与2为无理数矛盾；若rt－s2＝0，则2s－r－t＝0，从而可得r＝s＝t，这与r<s<t矛盾．综上可知，不存在满足题意的三项a r，a s，a t.。
等差数列及前n项和练习题
等差数列练习2一．选择题1． 1.在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于 ( )A.40B.42C.43D.452．设n s 是等差数列｛n a ｝的前n 项和，已知1a =3，5a =11，则7s 等于 （ ）A ．13 B. 35 C. 49 D. 633．已知{}n a 为等差数列，135246105,99a a a a a a ++=++=，则20a 等于（ ） A. -1 B. 1C. 3D.7 4．已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等（ ）A ．165-B ．33-C ．30-D ．21- 5．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138 B ．135 C ．95 D ．236.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 ( )A.5B.4C. 3D. 27.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735,S =则4a = ( )（Ａ）8 （Ｂ）7 （Ｃ）6 （Ｄ）5 8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若361,3S S =则612S S = ( ) （A ）310 （B ）13 （C ）18 （D ）199、已知等差数列的首项为31,若此数列从第16项开始小于1，则此数列的公差d 的取值范围是（ ） A ．(－∞,－2) B ．[－715, －2] C ．(－2, +∞) D ．(—715 ,－2) 10、一群羊中,每只羊的重量数均为整数公斤数,其总重量为65公斤,已知最轻的一只羊重7公斤,除去一只10公斤的羊外,其余各只羊的公斤数恰好能组成一个等差数列,则这群羊共有（ ）A ． 6只B ．5只C ．8 只D ．7 只11.数列{a n }的通项a n =2n +1，则由b n =n a a a n +++ 21(n ∈N *)，所确定的数列{b n }的前n 项和是( ) A.n (n +1) B.2)1(+n n C.2)5(+n n D.2)7(+n n 12、等差数列{a n }中,当m ≠2001时,有a 2001 =m , a m = 2001,若p ∈N*且p>a m ,则a m+p 与0的大小关系是（ ）A ．a m+p >0B ．a m+p = 0C ．a m+p <0D ．无法确定二．填空题（4分一题共16分）13.在等差数列}{n a 中,6,7253+==a a a ,则____________6=a . 14.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++=15．设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ,若6312a s ==,则数列的通项公式n a = .16.两个等差数列，它们的前ｎ项的和之比为1235-+n n ,则该数列的第9项之比为_____ . 三．计算题17．已知等差数列{a n }的前三项为a －1,4,2a ，记前n 项和为S n .(1)设S k ＝2 550，求a 和k 的值； (2)设b n ＝S n n，求b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1的值． 18．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4.(1)求证{a n }为等差数列； (2)求{a n }的通项公式．19．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若7324a a a =, 832S =,求n n S a 及。
等差数列前N项和测试训练题(含答案)
等差数列前N项和测试题一、单选题（共11题；共22分）1.（2020高一下·太和期末）一个等差数列共有2n+1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项的值为（）A. 30B. 31C. 32D. 332.（2020高一下·太和期末）等差数列的前n项和为，且，则（）A. 8B. 9C. 10D. 113.（2020高一下·温州期末）等差数列中，，，是数列的前n项和，则（）A. B. C. D.4.数列中，已知且则（）A. 19B. 21C. 99D. 1015.（2020高一下·七台河期末）等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则的前6项的和为（）A. -24B. 3C. 8D. 116.（2020高一下·七台河期末）已知是公差为1的等差数列，为的前n项和.若，则（）A. 10B. 12C.D.7.（2020高一下·鹤岗期末）设为等差数列的前n项和，若，，则（）A. -12B. -10C. 10D. 128.（2020高一下·鹤岗期末）已知是等差数列的前n项和，，设为数列的前n项和，则（）A. 2014B. -2014C. 2015D. -20159.（2020高一下·哈尔滨期末）若一个等差数列的前3项和为24，最后3项的和为126，所有项的和为275，则这个数列共有（）A. 13项B. 12项C. 11项D. 10项10.（2020高一下·台州期末）已知等差数列的前n项和为，若，，，则（）A. B. C. D.11.（2020高一下·广东月考）等差数列中，若，且，为前n项和，则中最大的是（）A. B. C. D.二、填空题（共8题；共10分）12.（2020高一下·湖州期末）设公差为d的等差数列的前n项和为，若，，则________，取最小值时，n=________．13.（2020高一下·上海期末）已知等差数列满足：，，数列的前n项和为，则的取值范围是________．14.（2020高一下·上海期末）等差数列的前项和为，，则________.15.（2020高一下·上海期末）已知为等差数列, , 前n项和取得最大值时n的值为________.16.（2020高一下·南宁期末）已知为等差数列的前n项和，且，，则________.17.（2020高一下·黑龙江期末）已知为等差数列，其公差为2，且是与的等比中项，为前n项和，则的值为________.18.（2020高一下·金华月考）已知数列满足：，其前n项和为，则________，当取得最小值时，n的值为________.19.（2020高一下·尚义期中）设等差数列的前n项和为．若，，则正整数________．三、解答题（共6题；共55分）20.（2020高一下·六安期末）记为等差数列的前n项和，已知．（1）若，求的通项公式；（2）若，求使得的n的取值范围．21.（2020高一下·徐汇期末）设等差数列的前n项和为，若，，. （1）求常数k的值；（2）求的前n项和.22.在公差为d的等差数列中，已知，且成等比数列，为数列的前n 项和.（1）求；（2）若，求的最大值.23.（2020高一下·台州期末）已知等差数列中，为其前n项和，，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，，求数列的前n项和.24.（2020高一下·尚义期中）已知等差数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．25.（2020高一下·崇礼期中）已知等差数列的前项和为，，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】中间项为.因为，，所以.故答案为：C.【分析】利用等差数列前n项和公式，对奇数项的和、偶数项的和列式.通过等差数列的性质，都转化为的形式，然后两式相减，可得到的值.2.【答案】B【解析】【解答】∵等差数列的前n项和为，且，解得故答案为：B．【分析】利用已知条件结合等差数列通项公式和前n项和公式，建立关于等差数列首项和公差的方程组，从而求出首项和公差，进而用等差数列通项公式求出等差数列第八项的值。
等差数列的前n项和练习-含答案
课时作业8 等差数列的前n 项和时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．已知{a n }为等差数列，a 1＝35，d ＝－2，S n ＝0，则n 等于( ) A ．33 B ．34 C ．35 D ．36【答案】 D【解析】 本题考查等差数列的前n 项和公式．由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝35n ＋n (n －1)2×(－2)＝0，可以求出n ＝36.2．等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则数列前13项的和是( )A ．13B ．26C ．52D ．156【答案】 B【解析】 3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24⇒6a 4＋6a 10＝24⇒a 4＋a 10＝4⇒S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2＝13×42＝26.3．等差数列的前n 项和为S n ，S 10＝20，S 20＝50.则S 30＝________. 【答案】 90【解析】 等差数列的片断数列和依次成等差数列． ∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等差数列． ∴2(S 20－S 10)＝(S 30－S 20)＋S 10，解得S 30＝90.4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝84，S 20＝460，求S 28. 【分析】 (1)应用基本量法列出关于a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，进而求得S 28；(2)因为数列不是常数列，因此S n 是关于n 的一元二次函数且常数项为零．设S n ＝an 2＋bn ，代入条件S 12＝84，S 20＝460，可得a 、b ，则可求S 28；(3)由S n ＝d 2n 2＋n (a 1－d 2)得S n n ＝d 2n ＋(a 1－d2)，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是一个等差数列，又2×20＝12＋28，∴2×S 2020＝S 1212＋S 2828，可求得S 28.【解析】 方法一：设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知条件得：⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋12×112d ＝84，20a 1＋20×192d ＝460，整理得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d ＝14，2a 1＋19d ＝46，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－15，d ＝4.所以S n ＝－15n ＋n (n －1)2×4＝2n 2－17n ，所以S 28＝2×282－17×28＝1 092.方法二：设数列的前n 项和为S n ，则S n ＝an 2＋bn . 因为S 12＝84，S 20＝460，所以⎩⎪⎨⎪⎧122a ＋12b ＝84，202a ＋20b ＝460，整理得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝7，20a ＋b ＝23.解之得a ＝2，b ＝－17，所以S n ＝2n 2－17n ，S 28＝1 092. 方法三：∵{a n }为等差数列，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，所以S n n ＝a 1－d 2＋d2n ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列．因为12,20,28成等差数列， 所以S 1212，S 2020，S 2828成等差数列， 所以2×S 2020＝S 1212＋S 2828，解得S 28＝1 092.【规律方法】 基本量法求出a 1和d 是解决此类问题的基本方法，应熟练掌握．根据等差数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化计算．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项的和S 10等于( )A ．100B ．210C ．380D ．400【答案】 B 【解析】 d ＝a 4－a 24－2＝15－72＝4，则a 1＝3，所以S 10＝210.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，则a 10＝( ) A ．27 B ．24 C ．29 D ．48【答案】 C【解析】 由已知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋5d ＝19，5a 1＋10d ＝40.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝3.∴a 10＝2＋9×3＝29.3．数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则这个数列一定是( )A ．等差数列B ．非等差数列C ．常数列D ．等差数列或常数列 【答案】 B【解析】 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －1－[(n －1)2＋2(n －1)－1]＝2n ＋1，当n ＝1时a 1＝S 1＝2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n ＋1，n ≥2，这不是等差数列．4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】 A【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－11，d ＝2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－11n ＋n 2－n ＝n 2－12n .＝(n －6)2－36. 即n ＝6时，S n 最小．5．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )A ．22B ．21C ．19D ．18【答案】 D【解析】 ∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －4＝146，∴5(a 1＋a n )＝180，a 1＋a n ＝36，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ×362＝234.∴n ＝13，S 13＝13a 7＝234.∴a 7＝18.6．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为( )A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】 D 【解析】 S 奇＝6a 1＋6×52×2d ＝30，a 1＋5d ＝5，S 偶＝5a 2＋5×42×2d ＝5(a 1＋5d )＝25，a 中＝S 奇－S 偶＝30－25＝5.7．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S nT n＝7n n ＋3，则a 5b 5等于( ) A ．7 B.23 C.278 D.214【答案】 D【解析】 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝92(a 1＋a 9)92(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝214.8．已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于( )A ．445B ．765C ．1 080D ．1 305【答案】 B【解析】 a n ＋1－a n ＝3，∴{a n }为等差数列． ∴a n ＝－60＋(n －1)×3，即a n ＝3n －63.∴a n ＝0时，n ＝21，a n >0时，n >21，a n <0时，n <21.S ′30＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－a 3－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝－2(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋S 30 ＝－2S 21＋S 30 ＝765.二、填空题(每小题10分，共20分)9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则数列的通项公式a n ＝________.【答案】 2n【解析】 设等差数列{a n }的公差d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12a 1＋d ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2d ＝2，∴a n ＝2n .10．等差数列共有2n ＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n 等于________．【答案】 10【解析】 ∵等差数列共有2n ＋1项，∴S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1.即132－120＝132＋1202n ＋1，求得n ＝10.【规律方法】 利用了等差数列前n 项和的性质，比较简捷． 三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8； (2)若a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .【分析】 在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a 1和d 是两个最基本量，利用通项公式和前n 项和公式，先求出a 1和d ，然后再求前n 项和或特别的项．【解析】 (1)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.解方程组，得a 1＝－5，d ＝3， ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16， S 8＝8(a 1＋a 8)2＝44.(2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－512＋1)2＝－1 022，解得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ， 即－512＝1＋(4－1)d ， 解得d ＝－171.【规律方法】 一般地，等差数列的五个基本量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”．我们求解这类问题的通性通法，是先列方程组求出基本量a 1和d ，然后再用公式求出其他的量．12．已知等差数列{a n }，且满足a n ＝40－4n ，求前多少项的和最大，最大值为多少？【解析】 方法一：(二次函数法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36，∴S n ＝(a 1＋a n )n 2＝36＋40－4n 2·n ＝－2n 2＋38n＝－2[n 2－19n ＋(192)2]＋1922＝－2(n －192)2＋1922.令n －192＝0，则n ＝192＝9.5，且n ∈N ＋，∴当n ＝9或n ＝10时，S n 最大，∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2(10－192)2＋1922＝180.方法二：(图象法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36，a 2＝40－4×2＝32，∴d ＝32－36＝－4，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝36n ＋n (n －1)2·(－4)＝－2n 2＋38n ，点(n ，S n )在二次函数y ＝－2x 2＋38x 的图象上，S n 有最大值，其对称轴为x ＝－382×(－2)＝192＝9.5，∴当n ＝10或9时，S n 最大．∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2×102＋38×10＝180.方法三：(通项法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36，a 2＝40－4×2＝32，∴d ＝32－36＝－4<0，数列{a n }为递减数列．令⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0，有⎩⎪⎨⎪⎧40－4n ≥0，40－4(n ＋1)≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ≤10，n ≥9，即9≤n ≤10.当n ＝9或n ＝10时，S n 最大． ∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝a 1＋a 102×10＝36＋02×10＝180.【规律方法】 对于方法一，一定要强调n ∈N ＋，也就是说用函数式求最值，不能忽略定义域，另外，三种方法中都得出n ＝9或n ＝10，需注意a m ＝0时，S m －1＝S m 同为S n 的最值．欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。
等差数列前n项和公式基础训练题(含详解)
④ ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
11．
【解析】
【分析】
根据 得到 ， ，计算得到答案.
【详解】
； ，解得
故答案为：
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式和前 项和，意在考查学生对于等差数列公式的灵活运用.
12．
【解析】
【分析】
利用 来求 的通项.
A．18B．36C．45D．60
7．设 为等差数列， ， 为其前n项和，若 ，则公差 （）
A． B． C．1D．2
8．等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则当 取最大值时 的值是（）
A．5B．6C．7D．8
9．已知 是数列 的前 项和，且 ，则 （）．
A．72B．88C．92D．98
10．设 为等差数列 的前 项的和 ， ，则数列 的前2017项和为（ ）
所以 ，所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查等差数列公差的计算，难度较易.已知等差数列中的两个等量关系，可通过构造方程组求解等差数列的公差，还可以通过等差数列的下标和性质求解公差.
20．已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+3n+5，则an=______．
参考答案
1．A
【解析】
设 ,根据 是一个首项为a,公差为a的等差数列，各项分别为a,2a,3a,4a. .
2．B
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质，求出 ，再由前n项和公式，即可求解.
【详解】
∵ ，
∴ ，∴
∴由 得 ，∴ .
故选:B.
【点睛】
本题考查等差数列性质的灵活应用，以及等差数列的前n项和公式，属于中档题.
等差数列及其前n项和 练习题
等差数列及其前n项和练习题1.已知公差不为0的等差数列{a n}中，a2＋a4＝a6，a9＝a26，则a10＝()A.52B.5C.10D.40答案A解析设公差为d，由已知得1＋d＋a1＋3d＝a1＋5d，1＋8d＝（a1＋5d）2，由于d≠0，故a1＝d＝14，所以a10＝14＋14×9＝52.2.(多选)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是()A.a2＋a3＝0B.a n＝2n－5C.S n＝n(n－4)D.d＝－2答案ABC解析S4＝4×（a1＋a4）2＝0，∴a1＋a4＝a2＋a3＝0，A正确；a5＝a1＋4d＝5，①a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0，②联立①②＝2，1＝－3，∴a n＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，B正确，D错误；S n＝－3n＋n（n－1）2×2＝n2－4n，C正确，故选ABC.3.已知数列{a n}满足5a n＋1＝25·5a n，且a2＋a4＋a6＝9，则log13(a5＋a7＋a9)＝()A.－3B.3C.－13D.1 3答案A解析数列{a n}满足5a n＋1＝25·5a n，∴a n＋1＝a n＋2，即a n＋1－a n＝2，∴数列{a n }是等差数列，公差为2.∵a 2＋a 4＋a 6＝9，∴3a 4＝9，a 4＝3.∴a 1＋3×2＝3，解得a 1＝－3.∴a 5＋a 7＋a 9＝3a 7＝3×(－3＋6×2)＝27，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1333＝－3.故选A.4.(2021·深圳一模)在数列{a n }中，a 1＝3，a m ＋n ＝a m ＋a n (m ，n ∈N *)，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝135，则k ＝()A.10B.9C.8D.7答案B 解析令m ＝1，由a m ＋n ＝a m ＋a n 可得a n ＋1＝a 1＋a n ，所以a n ＋1－a n ＝3，所以{a n }是首项为a 1＝3，公差为3的等差数列，a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝k （a 1＋a k ）2＝k （3＋3k ）2＝135.整理可得k 2＋k －90＝0，解得k ＝9或k ＝－10(舍).5.(多选)(2022·衡阳联考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n S 4n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”，则下列数列{b n }为“吉祥数列”的是()A.b n ＝nB.b n ＝(－1)n (n ＋1)C.b n ＝4n －2D.b n ＝2n 答案BC 解析若{b n }是等差数列，则根据等差数列求和公式知需b 1＋b n ＝kn ，k ∈R ，则{b n }为“吉祥数列”，检验A ，C 可知C 符合题意；{b n }是摆动数列，由并项求和法知S 2n ＝n ，S 4n ＝2n ，S 2n S 4n ＝n 2n ＝12，故B 符合题意；根据等比数列求和公式知D 不符合题意.故选BC.6.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 6＝1，S 12＝4，则S 18＝________.答案9解析在等差数列中，S 6，S 12－S 6，S 18－S 12成等差数列，∵S 6＝1，S 12＝4，∴1，3，S 18－4成公差为2的等差数列，即S 18－4＝5，∴S 18＝9.7.等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于________.答案3727解析a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.8.(2021·长春一模)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 6＋a 7＝1，则S 12＝________，若a 7＜0，则使得不等式S n ＜0成立的最小整数n ＝________.答案613解析根据{a n }为等差数列，且a 6＋a 7＝1，得S 12＝（a 1＋a 12）×122＝6(a 6＋a 7)＝6；若a 7＜0，则S 13＝（a 1＋a 13）×132＝13a 7＜0，又S 12＞0，所以使不等式S n ＜0成立的最小整数n ＝13.9.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1＝32，a 2＝2，2(S n ＋2＋S n )＝4S n ＋1＋1，则数列{a n }的前16项和S 16＝________.答案84解析将2(S n ＋2＋S n )＝4S n ＋1＋1变形为(S n ＋2－S n ＋1)－(S n ＋1－S n )＝12，即a n ＋2－a n ＋1＝12，又a 1＝32，a 2＝2，∴a 2－a 1＝12符合上式，∴{a n }是首项a 1＝32，公差d ＝12的等差数列，∴S 16＝16×32＋16×152×12＝84.10.已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110.(1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项公式b n ＝S n n，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .(1)解设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k＝ka1＋k（k－1）2·d＝2k＋k（k－1）2×2＝k2＋k，由S k＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.(2)证明由(1)得S n＝n（2＋2n）2＝n(n＋1)，则b n＝S nn＝n＋1，故b n＋1－b n＝(n＋2)－(n＋1)＝1，即数列{b n}是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n＝n（2＋n＋1）2＝n（n＋3）2.11.已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2a4＝65，a1＋a5＝18.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)是否存在常数k，使得数列{S n＋kn}为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由.解(1)设公差为d.∵{a n}为等差数列，∴a1＋a5＝a2＋a4＝18，又a2a4＝65，∴a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个根，又公差d＞0，∴a2＜a4，∴a2＝5，a4＝13.1＋d＝5，1＋3d＝13，1＝1，＝4，∴a n＝4n－3.(2)由(1)知，S n＝n＋n（n－1）2×4＝2n2－n，假设存在常数k，使数列{S n＋kn}为等差数列.由S1＋k＋S3＋3k＝2S2＋2k，得1＋k＋15＋3k＝26＋2k，解得k＝1.∴S n＋kn＝2n2＝2n，当n≥2时，2n－2(n－1)＝2，为常数，∴数列{S n＋kn}为等差数列.故存在常数k＝1，使得数列{S n＋kn}为等差数列.12.(多选)(2021·南通海门一中期末)在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中一朵绚丽的奇葩.《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元5世纪.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”.其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”.已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中第n天所织布的尺数为a n，b n＝2a n，对于数列{a n}、{b n}，下列选项中正确的为()A.b10＝8b5B.{b n}是等比数列C.a1b30＝105D.a3＋a5＋a7a2＋a4＋a6＝209193答案BD解析由题意可知，数列{a n}为等差数列，设数列{a n}的公差为d，由题意可得a1＝5，30a1＋30×29d2＝390，解得d＝1629，∴a n＝a1＋(n－1)d＝16n＋12929.∵b n＝2a n，∴b n＋1b n＝2a n＋12a n＝2a n＋1－a n＝2d(非零常数)，则数列{b n}是等比数列，B正确；∵5d＝5×1629＝8029≠3，b10b5＝(2d)5＝25d≠23，∴b10≠8b5，A错误；a30＝a1＋29d＝5＋16＝21，∴a1b30＝5×221＞105，C错误；a4＝a1＋3d＝5＋3×1629＝19329，a5＝a1＋4d＝5＋4×1629＝20929，所以a3＋a5＋a7a2＋a4＋a6＝3a53a4＝a5a4＝209193，D正确.故选BD.13.(2022·衡水模拟)已知在数列{a n}中，a6＝11，且na n－(n－1)a n＋1＝1，则a n＝________；a2n＋143n的最小值为________.答案2n－144解析na n－(n－1)a n＋1＝1，∴(n＋1)a n＋1－na n＋2＝1，两式相减得na n－2na n＋1＋na n＋2＝0，∴a n＋a n＋2＝2a n＋1，∴数列{a n}为等差数列.当n＝1时，由na n－(n－1)a n＋1＝1得a1＝1，由a6＝11，得公差d＝2，∴a n＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴a2n＋143n＝（2n－1）2＋143n＝4n＋144n－4≥24n·144n－4＝44，当且仅当4n＝144n，即n＝6时等号成立.14.等差数列{a n}中，公差d＜0，a2＋a6＝－8，a3a5＝7.(1)求{a n}的通项公式；(2)记T n为数列{b n}前n项的和，其中b n＝|a n|，n∈N*，若T n≥1464，求n的最小值.解(1)∵等差数列{a n}中，公差d＜0，a2＋a6＝－8，∴a2＋a6＝a3＋a5＝－8，又∵a3a5＝7，∴a3，a5是一元二次方程x2＋8x＋7＝0的两个根，且a3＞a5，解方程x2＋8x＋7＝0，得a3＝－1，a5＝－7，1＋2d＝－1，1＋4d＝－7，解得a1＝5，d＝－3.∴a n＝5＋(n－1)×(－3)＝－3n＋8.(2)由(1)知{a n}的前n项和S n＝5n＋n（n－1）2×(－3)＝－32n2＋132n.∵b n＝|a n|，∴b1＝5，b2＝2，b3＝|－1|＝1，b4＝|－4|＝4，当n≥3时，b n＝|a n|＝3n－8.当n＜3时，T1＝5，T2＝7；当n≥3时，T n＝－S n＋2S2＝3n22－13n2＋14.∵T n≥1464，∴T n＝3n22－13n2＋14≥1464，即(3n－100)(n＋29)≥0，解得n≥100 3，∴n的最小值为34.。
第02讲 等差数列及其前n项和 (练)(含答案解析)
第02讲等差数列及其前n 项和(练）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第02讲等差数列及其前n 项和(精练）A 夯实基础一、单选题（2022·四川省南充市白塔中学高一阶段练习（文））1．在等差数列{}n a 中，已知3412a a +=，则数列{}n a 的前6项之和为（）A ．12B ．32C ．36D ．37（2022·天津天津·高二期末）2．某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们第1天只得到10元，之后采取了积极措施，从第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（）A ．13B ．14C ．15D ．16（2022·北京市第十二中学高二阶段练习）3．设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}1n a a 为递减数列，则（）A ．0d <B ．0d >C ．10a d >D ．10a d <（2022·黑龙江双鸭山·高二期末）4．等差数列{}n a 中，已知70a >，2100a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（）A ．5S B ．6S C ．7S D ．8S （2022·山东师范大学附中模拟预测）5．如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n 项和为n S ，则22S =（）（2022·湖北·安陆第一高中高二阶段练习）6．已知数列{}n a 的前n 项和225n S n n =-，若1015k a <<，则k =（）A ．5B ．6C ．7D ．8（2022·全国·模拟预测）7．设等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .若对于任意的正整数n 都有2131n n S n T n +=-，则89a b =（）A ．3552B ．3150C ．3148D ．3546（2022·全国·高二专题练习）8．等差数列{}n a 的首项为正数，其前n 项和为n S .现有下列命题，其中是假命题的有（）A ．若n S 有最大值，则数列{}n a 的公差小于0B ．若6130a a +=，则使0n S >的最大的n 为18C ．若90a >，9100a a +<，则{}n S 中9S 最大D ．若90a >，9100a a +<，则数列{}n a 中的最小项是第9项二、多选题（2022·黑龙江·鹤岗一中高二期中）9．已知等差数列{an }的公差为d ，前n 项和为Sn ，且91011S S S =<，则（）A ．d ＜0B ．a 10＝0C ．S 18＜0D ．S 8＜S 9（2022·浙江温州·高二期末）10．某“最强大脑”大赛吸引了全球10000人参加，赞助商提供了2009枚智慧币作为比赛奖金．比赛结束后根据名次（没有并列名次的选手）进行奖励，要求第k 名比第1k +名多2枚智慧币，每人得到的智慧币必须是正整数，且所有智慧币必须都分给参赛者，按此规则主办方可能给第一名分配（）智慧币．A ．300B ．293C ．93D ．89三、填空题（2022·全国·高二课时练习）11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20202019120202019S S -=，则数列{}n a 的公差为_______.（2022·江苏·高二）12．首项为正数的等差数列，前n 项和为n S ，且38S S =，当n =________时，n S 取到最大值.四、解答题（2022·山东·高二阶段练习）13．在等差数列{}n a 中，2745,6a a a ==+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设n S 为{}n a 的前n 项和，若99m S =，求m 的值.（2022·全国·高三专题练习（文））14．已知数列{}n a 的前n 项和为2230n S n n =-.（1）求出{}n a 的通项公式；（2）求数列n S n ⎧⎫⎨⎩⎭前n 项和最小时n 的取值B 能力提升一、单选题（2022·四川省绵阳南山中学高一期中）15．设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，且513S S =，6140a a +<，则使得0n S <的正整数n 的最小值为（）A ．18B ．19C ．20D ．21（2022·全国·高三专题练习）16．已知公差非零的等差数列{}n a 满足38a a =，则下列结论正确的是（）A ．110S =B ．*11()110N n n S S n n -=≤≤∈,C ．当110S >时，5n S S ≥D ．当110S <时，5n S S ≥（2022·全国·高三专题练习）17．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n n S +的最小值为______．（2022·辽宁辽阳·二模）18．“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题，已知问题中，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则在不超过4200的正整数中，所有满足条件的数的和为______.（2022·山西吕梁·二模（理））19．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，151416>>S S S ，则满足10n n S S +⋅<的正整数n 是________．（2022·湖南衡阳·三模）20．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*12n n n a a S n N+=∈，则24666a a a a +++⋅⋅⋅+=__________．C 综合素养（2022·山东济南·三模）21．如图1，洛书是一种关于天地空间变化脉络的图案，2014年正式入选国家级非物质文化遗产名录，其数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，形成图2中的九宫格，将自然数1，2，3，…，2n 放置在n 行n 列()3n ≥的正方形图表中，使其每行、每列、每条对角线上的数字之和（简称“幻和”）均相等，具有这种性质的图表称为“n 阶幻方”．洛书就是一个3阶幻方，其“幻和”为15．则7阶幻方的“幻和”为（）图1图2A ．91B ．169C ．175D ．180（2022·新疆克拉玛依·三模（文））22．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23，则该数列的第31项为（）A ．636B ．601C ．483D ．467（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）23．“中国剩余定理”是关于整除的问题.现有这样一个问题“将1~2030这2030个自然数中，能被3整除余1且能被4整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则该数列共有（）A ．170项B ．171项C ．168项D ．169项（2022·浙江·模拟预测）24．毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为1,5,12,22, ，总结规律并以此类推下去，第8个图形对应的点数为________，若这些数构成一个数列，记为数列{}n a ，则322112321a a aa ++++= ________．（2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测）25．“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题.已知问题中，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则在不超过2022的正整数中，所有满足条件的数的和为___________.参考答案：1．C【分析】直接按照等差数列项数的性质求解即可.【详解】数列{}n a 的前6项之和为()12345634336a a a a a a a a +++++=+=.故选：C.2．C【分析】由题意可得募捐构成了一个以10元为首项，以10元为公差的等差数列，设共募捐了n 天，然后建立关于n 的方程，求出n 即可．【详解】由题意可得，第一天募捐10元，第二天募捐20元，募捐构成了一个以10元为首项，以10元为公差的等差数列，根据题意，设共募捐了n 天，则(1)120010102n n n -=+⨯，解得15n =或16-（舍去），所以15n =，故选：C ．3．D【分析】根据数列{}1n a a 为递减数列列不等式，化简后判断出正确选项.【详解】依题意，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，数列{}1n a a 为递减数列，所以111n n a a a a +>，()11n n a a a a d >+，1111,0n n a a a a a d a d >+<.故选：D 4．B【分析】由等差数列的性质将2100a a +<转化为60a <，而70a >，可知数列是递增数，从而可求得结果【详解】∵等差数列{}n a 中，2100a a +<，∴210620a a a +=<，即60a <．又70a >，∴{}n a 的前n 项和n S 的最小值为6S ．故选：B 5．B【分析】将数列的前22项写出来，再进行求和即可.【详解】根据杨辉三角的特征可以将数列继续写出到第22项：1，3，3，4，6，5，10，6，15，7，21，8，28，9，36，10，45，11，55，12，66，13，所以()()221361015212836455566345678910111213S =+++++++++++++++++++++()313112863742+⨯=+=故选：B 6．A【分析】由n a 与n S 的关系先求出n a ，再结合已知条件可求出答案.【详解】由()()22125215147(1)n n n a S S n n n n n n -⎡⎤=-=-----=->⎣⎦，得47,1n a n n =-=也适合，又由104715k <-<得171142k <<，又k *∈N ，∴5k =，故选:A ．7．B【分析】先设()21n S n nt =+，()31n T n nt =-，由887a S S =-，998b T T =-直接计算89a b 即可.【详解】设()21n S n nt =+，()31n T n nt =-，0t ≠.则88713610531a S S t t t =-=-=，99823418450b T T t t t =-=-=，所以893150a b =.故选：B.8．B【分析】由n S 有最大值可判断A ；由6139100a a a a +=+=，可得90a >，100a <，利用91018182+=⨯a a S 可判断BC ；90a >，9100a a +<得90a >，991010a a a a =<-=，可判断D.【详解】对于选项A ，∵n S 有最大值，∴等差数列{}n a 一定有负数项，∴等差数列{}n a 为递减数列，故公差小于0，故选项A 正确；对于选项B ，∵6139100a a a a +=+=，且10a >，∴90a >，100a <，∴179=170S a >，910181802a a S +=⨯=，则使0n S >的最大的n 为17，故选项B 错误；对于选项C ，∵90a >，9100a a +<，∴90a >，100a <，故{}n S 中9S 最大，故选项C 正确；对于选项D ，∵90a >，9100a a +<，∴90a >，991010a a a a =<-=，故数列{}n a 中的最小项是第9项，故选项D 正确.故选：B.9．BC【分析】由91011S S S =<，得100,0d a >=，判断出A,B 选项，再结合90a <，11818118910918()9()9()92a a S a a a a a +==+=+=判断C 选项，再根据等式性质判断D 选项【详解】910S S = ，101090a S S ∴=-=，所以B 正确又1011S S <,111110100a S S a d ∴=-=+>,0d ∴>,所以A 错误1090,0,0a d a =>∴< 11818118910918()9()9()902a a S a a a a a +==+=+=<，故C 正确9989890,,a S S a S S <=+∴> ,故D 错误故选：BC 10．BD【分析】设第一名分配m 个智慧币，且总共有x 名参赛选手获奖，根据等差数列知识可得20091m x x=+-，分类讨论可得结果.【详解】设第一名分配m 个智慧币，且总共有x 名参赛选手获奖，则智慧币分配如下：()()()2122212009m m m m x +-⨯+-⨯++--=⎡⎤⎣⎦ ，即()21212009xm x -+++-=⎡⎤⎣⎦ ，又()()()211112122x x x x x +--⎡⎤-⎣⎦+++-==，∴22009xm x x +-=，即20091m x x=+-，∵x ，m 都为正整数，且20097741=⨯⨯，∴7x =，2009712937m =+-=，41x =，20094118941m =+-=，49x =，20094918949m =+-=，287x =，20092871293287m =+-=，∴第一名分配89或293个智慧币．故选：BD 11．2【分析】由题意列出关于公差d 的方程，解方程即可．【详解】设数列{}n a 的公差为d ，则由20202019120202019S S -=可得：1120202019201920182020201922120202019a d a d ⨯⨯++-=，化简可得()112019100912a d a d +-+=，解得2d =，故答案为：2．12．5或6##6或5【分析】结合已知条件和等差数列的性质，求出数列{}n a 是单调递减数列，进而求解.【详解】由题意，设等差数列为{}n a 且10a >，公差为d ，因为38S S =，所以8345678650S S a a a a a a -=++++==，即60a =，因为10a >，所以61150a a d a -==-<，即0d <，所以{}n a 为单调递减的等差数列，即125670a a a a a >>>>=> 故当5n =或6时，n S 最大.故答案为：5或6.13．(1)21n a n =+(2)9m =【分析】（1）根据题意得到1115636a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，再解方程组即可.（2）根据前n 项和公式求解即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得1115636a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩.故()1121n a a n d n =+-=+.（2）由等差数列的前n 项和公式可得()1222n n a a nS n n +==+.因为99m S =，所以2299m m +=，即()()9110m m -+=，解得9m =（11m =-舍去）.14．（1）432n a n =-；（2）当14n =或15n =时，数列n S n ⎧⎫⎨⎩⎭前n 项和取得最小值.【分析】（1）根据2230n S n n =-，分别讨论1n =，2n ≥两种情况，根据n S 与n a 的关系即可求出结果；（2）根据等差数列前n 项和的函数特征，即可得出结果.【详解】（1）因为2230n S n n =-，所以当1n =时，2112130128a S ==⨯-⨯=-；当2n ≥时，221=230)2(1)30(1)432n n n a S S n n n n n -⎡⎤=------=-⎣⎦（；显然1n =是，也满足432n a n =-，所以432n a n =-；(2)因为2230230n S n n n n n-==-，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，其前n 项和()()2228230298412929224n n n T n n n n n -+-⎛⎫==-=-=-- ⎪⎝⎭又*n ∈N ，所以当14n =或15n =时，n T 取得最小值.15．B【分析】由513S S =可得9100a a +=，由6140a a +<可得100a <，结合求和公式可得180S >，190S <，结合选项即可求解.【详解】由513S S =可得6712130a a a a ++++=L ，又613712811910a a a a a a a a +=+=+=+，可得9100a a +=，由6141020a a a +=<，可得100a <，则90,0a d ><，()()()11818118910189902a a S a a a a +==+=+>，()1191910191902a a S a +==<，故使得0n S <的正整数n 的最小值为19.故选：B.16．C【分析】根据给定条件，推理可得380a a +=，再结合等差数列性质逐项分析各个选项，判断作答.【详解】因公差非零的等差数列{an }满足38a a =，则有380a a +=，有35680a a a a +=+=，56,a a 异号且均不为0，对于A ，11111611()1102a a S a +=≠=，A 不正确；对于B ，110561010()5()=02a a a S a +=+=，而110S a =≠，此时，11n n S S -≠，B 不正确；对于C ，由选项A 知，116110S a =>，即60a >，则50a <，于是得10,0a d <>，数列{}n a 是递增数列，即()5min n S S =，5n S S ≥，C 正确；对于D ，由110S <得60a <，则50a >，于是得10,0a d ><，数列{}n a 是递减数列，即()5max n S S =，5n S S ≤，D 不正确.故选：C17．4-【分析】由条件得到1323a d =-⎧⎪⎨=⎪⎩，再由求和公式得()21103n S n n -=，从而得21749324n n S n ⎡⎤⎛⎫+=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦可求解.【详解】由()112n n n d S na -=+，100S =，1525S =得11104501510525a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：1323a d =-⎧⎪⎨=⎪⎩，则()()2121310233n n n S n n n -=-+⋅-=．故()221174973324n n S n n n ⎡⎤⎛⎫+=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．由于N n *∈，故当3n =或4时，()min 4n n S +=-.故答案为：4-18．82820【分析】找出满足条件的最小整数值为23，可知满足条件的数形成以23为首项，以105为公差的等差数列，确定该数列的项数，利用等差数列的求和公式可求得结果.【详解】由题可知满足被3除余2，被5除余3.被7除余2的最小的数为23，满足该条件的数从小到大构成以23为首项，357⨯⨯为公差的等差数列，其通项公式为10582n a n =-，令4200n a ≤，解得8240105n ≤，则所有满足条件的数的和为40392340105828202⨯⨯+⨯=.故答案为：82820.19．29【分析】推导出150a >，160a <，16150+<a a ，利用等差数列的求和公式可得出290S >，300S <，即可得解.【详解】由15140->S S ，得150a >，由16150-<S S ，得160a <，由16140-<S S ，得16150+<a a ，所以()129152929292022+⨯==>a a a S ，()()1301516303030022++==<a a a a S ，所以满足10n n S S +⋅<的正整数n 是29．故答案为：29.20．1122【分析】根据题意可知0n a >，当1n =时，由1122S a a =可求出22a =；当2n ≥时，可证出{}2n a 为一个以2为首项，2为公差的等差数列，最后利用等差数列的前n 项和，即可求出结果.【详解】由于数列{}n a 的各项均为正数，即0n a >，当1n =时，1122S a a =，即1122a a a =，∴22a =，当2n ≥时，由12n n n S a a +=，可得112n n n S a a --=，两式相减得()112n n n n a a a a +-=-，又∵0n a ≠，∴112n n a a +--=，∴{}2n a 为一个以2为首项，2为公差的等差数列，∴()()246212212n n n a a a a n n n -⨯++++=+=+L .故2466633341122a a a a +++⋅⋅⋅+=⨯=故答案为：112221．C【分析】根据“幻和”的定义，将自然数1至2n 累加除以n 即可得结果.【详解】由题意，7阶幻方各行列和，即“幻和”为12 (491757)+++=.故选：C22．D【分析】根据题意，设该数列为{}n a ，分析可得{}n a 满足12a =，11(2)n n a a n n --=- ，利用累加法计算可得．【详解】解：根据题意，设该数列为{}n a ，数列的前7项为2，3，5，8，12，17，23，则{}n a 满足12a =，11(2)n n a a n n --=- ，则3131303029211(301)30()()()30291224672a a a a a a a a +⨯=-+-++-+=++++=+= ，故选：D ．23．A 【分析】由题意可得{}n a 为能被12整除余1的数，进而求得数列{}n a 的通项公式再分析1~2030中满足条件的数即可【详解】能被3整除余1且能被4整除余1的数即被12整除余1的数，故121,n n a n N =+∈，由题意，1212030n n a =+≤，故116912n ≤，故当0,1,2...169n =时成立，共170项.故选：A24．92336【分析】记第n 个图形的点数为n a ，由图形，归纳推理可得113(1)n n a a n --=+-，再根据累加得可得(31)2n n a n =-，进而求出8a ．由于(31)2n n a n =-可得312n a n n -=，根据等差数列的前n 项和即可求出322112321a a a a ++++ 的结果.【详解】记第n 个图形的点数为n a ，由题意知11a =，214131a a -==+⨯，32132a a -=+⨯，43133a a -=+⨯，…，113(1)n n a a n --=+-，累加得147[13(1)](31)2n n a a n n -=++++-=- ，即(31)2n n a n =-，所以892a =．又312n a n n -=，所以3221111262(25862)213362321222a a a a +++++=++++=⨯⨯= ．25．20410【分析】找出满足条件的最小整数值为23，可知满足条件的数形成以23为首项，以105为公差的等差数列，确定该数列的项数，利用等差数列的求和公式可求得结果.【详解】由题意可知，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则这个正整数的最小值为23，因为3、5、7的最小公倍数为105，由题意可知，满足条件的数形成以23为首项，以105为公差的等差数列，设该数列为{}n a ，则()23105110582n a n n =+-=-，由105822022n a n =-≤，可得2104105n ≤，所以，n 的最大值为20，所以，满足条件的这些整数之和为20191052023204102⨯⨯⨯+=.故答案为：20410.。
等差数列及前n项和练习题
等差数列及其前n 项和练习题1．.在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于 ( )A.40B.42C.43D.452.【2010•全国卷2理数】如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）353．设n s 是等差数列｛n a ｝的前n 项和，已知1a =3，5a =11，则7s 等于 （ ）A ．13 B. 35 C. 49 D. 634．已知{}n a 为等差数列，135246105,99a a a a a a ++=++=，则20a 等于（ ） A. -1 B. 1 C. 3D.7 5. (2010•安徽文数】设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（ ）（A ） 15 (B) 16 (C) 49 （D ）646．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ）A ．138B ．135C ．95D ．237.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 ( )A.5B.4C. 3D. 28.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735,S =则4a = ( )（Ａ）8 （Ｂ）7 （Ｃ）6 （Ｄ）59.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若361,3S S =则612S S = ( ) （A ）310（B ）13 （C ）18 （D ）19 10已知等差数列的首项为31,若此数列从第16项开始小于1，则此数列的公差d 的取值范围是（ ）A ．(－∞,－2)B ．[－715, －2]C ．(－2, +∞)D ．(—715 ,－2) 11.数列{a n }的通项a n =2n +1，则由b n =na a a n +++ 21(n ∈N *)，所确定的数列{b n }的前n 项和是( )A.n (n +1)B.2)1(+n n C.2)5(+n n D.2)7(+n n 12.在等差数列}{n a 中,6,7253+==a a a ,则____________6=a . 13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++=14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ,若6312a s ==,则数列的通项公式n a = .15.两个等差数列，它们的前ｎ项的和之比为1235-+n n ,则该数列的第9项之比为_ 16、在数列{}n a 中，11a =，且对于任意自然数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝17.等差数列{}n a 中，已知33,4,31521==+=n a a a a ，试求n 的值 18.【2010•北京文数】已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =。
2021高考数学复习专题 等差数列及其前n项和(文 精练)
专题6.2 等差数列及其前n 项和1．(2020·吉林长春市质量监测)等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，a 2＋a 3＝10，S 6＝54，则该数列的公差d 为( )A ．2B ．3C ．4D ．62．(2020·重庆市七校联考)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝55，S 3＝3，则a 5等于( )A ．5B ．6C ．7D ．93．(2020·吉林省白山一中模拟)已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( )A ．21B ．22C ．23D ．244．(2020·辽宁丹东质检)我国明代伟大数学家程大位在《算法统宗》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”意思是：九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为( )A ．0.9升B ．1升C ．1.1升D ．2.1升5．(2020·安徽省芜湖一中模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且对于任意n ＞1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，则( )A ．a 9＝17B ．a 10＝18C ．S 9＝81D ．S 10＝906．(2020·湖北武汉调研)设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，已知S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝5，则数列{a n }的通项公式为 ．7．(2020·福建龙岩模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ＋1(n ∈N *)，则a 20的值为 ，S 21的值为 ．8．(2020·广东揭阳模拟)已知数列{a n }满足a 1＝－19，a n ＋1＝a n 8a n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝ ，数列{a n }中最大项的值为 ．9．(2020·安徽省淮南模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n S 2n为常数，则称数列{a n }为“精致数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“精致数列”，则数列{b n }的通项公式为 ．10．(2020·广东省珠海一中模拟)已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110.(1)求a 及k 的值；(2)已知数列{b n }满足b n ＝S n n，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n . 11．(2020·广西省北海一中模拟)已知数列{a n }满足：a 3＝－13，a n ＝a n －1＋4(n ＞1，n ∈N *)．(1)求a 1，a 2及通项公式a n ；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列S 1，S 2，S 3，…中哪一项最小？12．(2020·广东广州天河二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＜2，a n ＞0，6S n ＝a 2n ＋3a n ＋2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若∀n ∈N *，b n ＝(－1)n a 2n ，求数列{b n }的前2n 项的和T 2n. 专题6.2 等差数列及其前n 项和1．(2020·吉林长春市质量监测)等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，a 2＋a 3＝10，S 6＝54，则该数列的公差d 为( )A ．2B ．3C ．4D ．6 【答案】C【解析】由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＋a 1＋2d ＝10，6a 1＋6×52d ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝4，故选C. 2．(2020·重庆市七校联考)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝55，S 3＝3，则a 5等于( )A ．5B ．6C ．7D ．9【答案】C【解析】设数列{a n }的公差为d ，因为数列{a n }是等差数列，所以a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝5a 7＝55，所以a 7＝11，又S 3＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝a 1＋6d ＝11，S 3＝3a 1＋3d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2，所以a 5＝7.故选C. 3．(2020·吉林省白山一中模拟)已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( )A ．21B ．22C ．23D ．24【答案】C 【解析】3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1＝a n －23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23n .因为a k ·a k ＋1<0，所以⎝⎛⎭⎫473－23k ⎝⎛⎭⎫453－23k <0，所以452<k <472，所以k ＝23. 4．(2020·辽宁丹东质检)我国明代伟大数学家程大位在《算法统宗》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”意思是：九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为( )A ．0.9升B ．1升C ．1.1升D ．2.1升【答案】B【解析】设竹筒从下到上的盛米量分别为a 1，a 2，…，a 9，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝3.9，a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝3，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1.3，a 7＋a 8＝1.5，即a 2＋5d ＋a 2＋6d ＝2a 2＋11d ＝2.6＋11d ＝1.5，解得d ＝－0.1，故a 5＝a 2＋3d ＝1.3－0.3＝1升．故选B.5．(2020·安徽省芜湖一中模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且对于任意n ＞1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，则( )A ．a 9＝17B ．a 10＝18C ．S 9＝81D ．S 10＝90【答案】B【解析】因为对于任意n ＞1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，所以S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2，所以a n ＋1－a n ＝2.所以数列{a n }在n ≥2时是等差数列，公差为2.又a 1＝1，a 2＝2，则a 9＝2＋7×2＝16，a 10＝2＋8×2＝18，S 9＝1＋8×2＋8×72×2＝73，S 10＝1＋9×2＋9×82×2＝91.故选B. 6．(2020·湖北武汉调研)设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，已知S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝5，则数列{a n }的通项公式为 ．【解析】设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，因为{a n }是等差数列，S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(a 1＋a 2)2＝a 1(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)，因为a 3＝5，所以(5－2d ＋5－d )2＝(5－2d )(5－2d ＋15)，解得d ＝2或d ＝0(舍去)，所以5＝a 1＋(3－1)×2，即a 1＝1，所以a n ＝2n －1.【答案】a n ＝2n －17．(2020·福建龙岩模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ＋1(n ∈N *)，则a 20的值为 ，S 21的值为 ．【解析】将n ＝1代入a n ＋a n ＋1＝2n ＋1中得a 2＝3－1＝2.由a n ＋a n ＋1＝2n ＋1①，得a n ＋1＋a n ＋2＝2n ＋3②.②－①，得a n ＋2－a n ＝2，所以数列{a n }的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列， 则a 21＝1＋10×2＝21，a 20＝2＋9×2＝20，所以S 21＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 21)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20)＝（1＋21）×112＋（2＋20）×102＝231. 【答案】20 2318．(2020·广东揭阳模拟)已知数列{a n }满足a 1＝－19，a n ＋1＝a n 8a n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝ ，数列{a n }中最大项的值为 ．【解析】由题意知a n ≠0，由a n ＋1＝a n 8a n ＋1得1a n ＋1＝8a n ＋1a n ＝1a n ＋8，整理得1a n ＋1－1a n＝8，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公差为8的等差数列，故1a n ＝1a 1＋(n －1)×8＝8n －17，所以a n ＝18n －17.当n ＝1，2时，a n ＜0；当n ≥3时，a n ＞0，则数列{a n }在n ≥3时是递减数列，故{a n }中最大项的值为a 3＝17. 【答案】18n －17 179．(2020·安徽省淮南模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n S 2n为常数，则称数列{a n }为“精致数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“精致数列”，则数列{b n }的通项公式为 ．【解析】设等差数列{b n }的公差为d ，由S n S 2n 为常数，设S n S 2n ＝k 且b 1＝1，得n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n （2n －1）d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.因为对任意正整数n ，上式恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧d （4k －1）＝0，（2k －1）（2－d ）＝0，解得d ＝2，k ＝14，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1(n ∈N *)．【答案】b n ＝2n －1(n ∈N *)10．(2020·广东省珠海一中模拟)已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110.(1)求a 及k 的值；(2)已知数列{b n }满足b n ＝S n n，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .【解析】(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ， 由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k （k －1）2·d ＝2k ＋k （k －1）2×2＝k 2＋k . 由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.(2)由(1)得S n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)， 则b n ＝S n n＝n ＋1， 故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n （2＋n ＋1）2＝n （n ＋3）2. 11．(2020·广西省北海一中模拟)已知数列{a n }满足：a 3＝－13，a n ＝a n －1＋4(n ＞1，n ∈N *)．(1)求a 1，a 2及通项公式a n ；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列S 1，S 2，S 3，…中哪一项最小？【解析】(1)因为数列{a n }满足a 3＝－13，a n ＝a n －1＋4， 所以a n －a n －1＝4，即数列{a n }为等差数列且公差d ＝4，所以a 2＝a 3－d ＝－13－4＝－17，a 1＝a 2－d ＝－17－4＝－21，所以通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－21＋4(n －1)＝4n －25.(2)令a n ＝4n －25≥0可解得n ≥254， 所以数列{a n }的前6项为负值，从第7项开始为正数， 所以数列S 1，S 2，S 3，…中S 6最小．12．(2020·广东广州天河二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＜2，a n ＞0，6S n ＝a 2n ＋3a n ＋2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若∀n ∈N *，b n ＝(－1)n a 2n ，求数列{b n }的前2n 项的和T 2n.【解析】(1)当n ＝1时，6a 1＝a 21＋3a 1＋2，且a 1＜2，解得a 1＝1.当n ≥2时，6a n ＝6S n －6S n －1＝a 2n ＋3a n ＋2－(a 2n －1＋3a n －1＋2)．化简得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0， 因为a n ＞0，所以a n －a n －1＝3， 所以数列{a n }是首项为1，公差为3的等差数列， 所以a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)b n ＝(－1)n a 2n ＝(－1)n (3n －2)2.所以b 2n －1＋b 2n ＝－(6n －5)2＋(6n －2)2＝36n －21. 所以数列{b n }的前2n 项的和T 2n ＝36(1＋2＋…＋n )－21n ＝36×n （n ＋1）2－21n ＝18n 2－3n .。
高二等差数列的前n项和训练题
1.假设一个等差数列首项为0，公差为2，那么这个等差数列的前20项之和为( )A.360B.370C.380D.390答案：C2.a1=1，a8=6，那么S8等于( )A.25B.26C.27D.28答案：D3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，假设a6=S3=12，那么{an}的通项an=________.解析：由a1+5d=123a1+3d=12a1=2，d=2.故an=2n.答案：2n4.在等差数列{an}中，a5=14，a7=20，求S5.解：d=a7-a57-5=20-142=3，a1=a5-4d=14-12=2，所以S5=5a1+a52=52+142=40.一、选择题1.(2021年杭州质检)等差数列{an}的前n项和为Sn，假设a2=1，a3=3，那么S4=( )A.12B.10C.8D.6解析：选C.d=a3-a2=2，a1=-1，S4=4a1+4×32×2=8.2.在等差数列{an}中，a2+a5=19，S5=40，那么a10=( )A.24B.27C.29D.48解析：选C.由2a1+5d=19，5a1+10d=40.解得a1=2，d=3.∴a10=2+9×3=29. X k b 1 . c o m3.在等差数列{an}中，S10=120，那么a2+a9=( )A.12B.24C.36D.48解析：选B.S10=10a1+a102=5(a2+a9)=120.∴a2+a9=24.4.等差数列{an}的公差为1，且a1+a2+…+a98+a99=99，那么a3+a6+a9+…+a96+a99=( )A.99B.66C.33D.0解析：选B.由a1+a2+…+a98+a99=99，得99a1+99×982=99.∴a1=-48，∴a3=a1+2d=-46.又∵{a3n}是以a3为首项，以3为公差的等差数列.∴a3+a6+a9+…+a99=33a3+33×322×3=33(48-46)=66.5.假设一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，那么这个数列有( )A.13项B.12项C.11项D.10项解析：选A.∵a1+a2+a3=34，①an+an-1+an-2=146，②又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2，∴①+②得3(a1+an)=180，∴a1+an=60.③Sn=a1+ann2=390.④将③代入④中得n=13.6.在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，那么n等于( )A.9B.10C.11D.12解析：选B.由等差数列前n项和的性质知S偶S奇=nn+1，即150165=nn+1，∴n=10.。
专练29 等差数列及其前n项和
专练29 等差数列及其前n 项和命题范围：等差数列的概念和性质、等差数列的通项公式及前n 项和公式[基础强化]一、选择题1．[2020·广东测试]记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若S 5＝2S 4，a 2＋a 4＝8，则a 5＝( )A ．6B ．7C ．8D ．102．等差数列{a n }的前n 项和S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝( )A ．8B ．10C ．12D ．143．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．124．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．85．[2020·唐山摸底]等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 11＝4，则S 13＝( )A ．13B ．26C ．39D ．526．[2020·皖南八校联考]已知等差数列{a n }中，a 2＝1，前5项和S 5＝－15，则数列{a n }的公差为( )A ．－3B ．－52C ．－2D ．－47．[2020·江西师大附中高三测试]已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )且a 2＝3，a 6＝11，则S 7＝( )A ．13B ．49C．35 D．638．[2020·银川一中高三测试]若等差数列{a n}的前n项和S n满足S4≤4，S6≥12，则a4的最小值为()A．2 B.72C．3 D.529．若a，b，c，d∈R，则“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题10．[2020·全国卷Ⅱ]记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________.11．[2019·全国卷Ⅲ]记S n为等差数列{a n}的前n项和. 若a3＝5，a7＝13，则S10＝________.12．设{a n}为等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{a n}的通项公式为________．[能力提升]13．[2020·山东泰安测试]我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(guǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二个节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为________尺．14．已知数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列，且满足a2016＋a2017＝π，b20b21＝4，则tan a1＋a40322＋b19b22＝()A.33 B. 3C．1 D．－115．若等差数列{a n}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝________时，{a n}的前n项和最大．16．在等差数列{a n}中，a1＝7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n＝8时S n取最大值，则d的取值范围是________．。
(完整word版)高中数学等差数列及其前n项和(习题)
第二讲等差数列及其前n 项和考点i 等差数列1•在等差数列｛a n ｝中,a i +a 5= io,a 4= 7,则数列｛a n ｝的公差为 （ ）A.1B.2C.3D.42•设等差数列｛a n ｝满足a 2=7,a 4=3,S n 是数列｛a n ｝的前n 项和,则使得S n >0成立的最大的自然 数n 是（ ）A.9B.10C.11D.12 3.［2017张掖市高三一诊］等差数列｛a n ｝中,???是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为（）1 1 1A. ｛1｝B. ｛1,2｝C.运｝D. ｛0,2,1｝ 考点2等差数列的前n 项和4.［2018贵阳市高三摸底考试］设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n 若a 6=2a 3,则転二（ ）］已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,若 a 4+a 12-a 8=8,（ ）6. ［2017河南省郑州市高三一测］［数学文化题］《张丘建算经》卷上第 22题为：今有女善织， 日益功疾•初日织五尺，今一月日织九匹三丈•”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天 比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布,现在一个月（按30天计）共织390尺布.则该女 最后一天织多少尺布？ （ ）A.18B.20C.21D.25考点3等差数列的性质 7.在等差数列｛a n ｝中，首项a 1 = 0,公差0若a k =a 1+a 2+a 3+…+a 7,则k= （）A.22B.23C.24D.258. ________________________________________________________ 已知数列｛a n ｝为等差数列，a 什a 2+a 3= 3,a 5+a 6+a 7= 9贝U a 4= _________________________ 9. 一个等差数列的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为 32 : 27,则该数列的公差d= _________511 22B .刃C・1K D.?5.[2018长郡中学高三实验班选拔考试 a 1o -a 6=4，贝V S 23= A.23B.96C.224D.27611答案1.B T a1+a5= 2a3= 10,二a3=5,则公差d=a4-a3=2,故选B.192-162又 S 偶-S 奇= 6d,所以 d=—-— 56 ・24 3-7 由题意可得｛a n ｝的公差d=4-2=-2,a i = 9，所以a n =- 2n+11,故｛a n ｝是递减数，且a 5> 0>a 6,a 5+a 6= 0,于是2?z 53=甘11<0,故选 A.3.B 因为数列｛a n ｝是等差数列，所以设数列｛ a n ｝的通项公式为a n =a 1+ (n-1)d,则a 2n =a 1 + (2n- 1)d,所以暮??++需=??籍?因为評一个与n 无关的常数，所以a 1-d= 0或d=0若??? 1 ??? 1a 1=d 丰0则？2??=2若玄住圈=0,贝V????=1.所以该常数的可能值的集合为 ｛1,2｝.故选B.4.D 11??1_0??+??11)_11??5_22 ?5= 2(??+??5)=药=€.故选 D5.D 设等差数列｛a n ｝的公差为d,依题意得a 4+a 12-a 8=2a 8-a 8=a 8=8,a 10-a 6=4d=4,解得d= 1,所 23 X 22以 a 8=a 什 7d=a 什 7=8，解得 a 1 = 1,所以 S 23= 23X 1 + — X1 = 276,6.C 依题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列 ，设为｛a n ｝,其中a 1=5,前30(5+??30)30项和为390,于是有 严 = 390,解得a 30=21,即该织女最后一天织 21尺布，选C.7. A 因为 a k =a 1+(k-1)d=(k-1)d,a 1+a 2+a 3+…+a 7= 7a 4= 7a 1+21d= 21d,所以 k-1 = 21,得 k=22.故 选A. 8.2 解法一因为数列｛ a n ｝为等差数列且 a 1+a 2+a 3=3,a 5+a 6+a 7=9,所以(a 1+a 7)+(a 2+a 6)+ (a 3+a 5)= 12,即卩 6a 4= 12,彳得 a 4= 2.解法二 设数列｛a n ｝的公差为 d,因为 a 1+a 2+a 3= 3,a 5+a 6+a 7= 9,所以(a 5-a 1)+ (a 6-a 2)+ (a 7-a 3)= 6, a 4=2.9.5 设等差数列的前12项中奇数项的和为 S 奇,偶数项的和为 S 偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得?偶：?奇=32 ：27,解得｛?偶=192,?奇 = 162.。
等差数列及前n项和(含答案)
高2011级数学定时训练之等差数列1.（2008·全国Ⅰ理，5）已知等差数列{an }满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10等于（） A.138 B.135 C.95 D.23答案 C2.设{an }是等差数列，a1>0,a2 007+a2 008>0,a2 007·a2 008<0,则使Sn>0成立的最大自然数n是（） A.4 013 B.4 014C.4 015D.4 016答案 B3.数列a,b,m,n和x,n,y,m均成等差数列，则2b+y-2a+x的值为（）A.正实数B.负实数C.零D.不确定答案 C4.在等差数列{an }中，已知1a=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于（）A.40B.42C.43D.45 答案B5.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）A.5B.4C.3D.2答案C6.已知等差数列{an}的前三项分别为a-1,2a+1,a+7,则这个数列的通项公式为（）A.a n=4n-3B. a n=2n-1C.a n=4n-2D.a n=2n-3 答案A7.（2008·大连模拟）在等差数列{an }中，若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9-31a11的值为（）A.14B.15C.16D.17答案 C8.等差数列{an }的前n项和满足S20=S40，下列结论中正确的是（）A.S30是Sn中的最大值 B.S30是Sn中的最小值C.S30=0 D.S60=0答案 D 二、填空题9.（2008·重庆理，14）设Sn 是等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16= .答案 -7210.已知数列{a n }、{b n }都是公差为1的等差数列，其首项分别为a 1、b 1,且a 1+b 1=5，a 1、b 1∈N *.设c n =n b a (n ∈N *),则数列{c n }的前10项和等于 . 答案 8511．在等差数列{a n }中，（1）已知a 15=33,a 45=153,求a 61; (2)已知a 6=10,S 5=5，求a 8和S 8；（3）已知前3项和为12，前3项积为48，且d ＞0,求a 1. 解 （1）方法一 设首项为a 1,公差为d ,依条件得⎩⎨⎧+=+=da d a 44153143311,解方程组得⎩⎨⎧=-=.4231d ，a∴a 61=-23+(61-1)×4=217. 方法二 由d =mn a a m n --,得d =15451545--a a =3033153-=4,由a n =a m +(n -m )d ,得a 61=a 45+16d =153+16×4=217. （2）∵a 6=10,S 5=5,∴⎩⎨⎧=+=+510510511d a d a .解方程组得a 1=-5,d =3, ∴a 8=a 6+2d =10+2×3=16,S 8=8×2)(81a a +=44.(3)设数列的前三项分别为a -d ,a ,a +d ,依题意有：⎩⎨⎧=+⋅⋅-=+++-48)()(12)()(d a a d a d a a d a , ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=48)(422d a a a ,∴⎩⎨⎧±==24d a . ∵d ＞0,∴d =2,a -d =2.∴首项为2.∴a 1=2. 12.已知数列{a n }中，a 1=53，a n =2-11-n a (n ≥2,n ∈N *),数列{b n }满足b n =11-n a (n ∈N *).(1)求证：数列{b n }是等差数列；（2）求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由. （1）证明 因为a n =2-11-n a (n ≥2,n ∈N *),b n =11-n a . 所以当n ≥2时，b n -b n -1=11-n a -111--n a =11211-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--n a -111--n a =111---n n a a -111--n a =1. 又b 1=111-a =-25.所以，数列{b n }是以-25为首项，以1为公差的等差数列.（2）解 由（1）知，b n =n -27,则a n =1+nb 1=1+722-n . 设函数f (x )=1+722-x ,易知f (x )在区间(-∞,27)和(27,+∞)内为减函数.所以，当n =3时，a n 取得最小值-1； 当n =4时，a n 取得最大值3.。
等差数列前N项和(基础训练)
等差数列前N 项和〔根底训练〕1．在等差数列}{n a 中，836a a a +=，那么=9S 〔 〕 〔A 〕0 〔B 〕1 〔C 〕1- 〔D 〕以上都不对 答案：A解析：66583a a a a a =+=+，05=a ，599a S =。
2．设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和。
)6(144,324,3666>===-n S S S n n 。
那么n等于 〔 〕 〔A 〕16 〔B 〕 17 〔C 〕 18 〔D 〕19 答案： B解析：216)144324(36)(6)(166=-+=+=-+-n n n a a S S S ， 361=+n a a ， 3242)(1=+=n n a a n S3、〔全国，8〕方程〔x2－2x+m 〕〔x2－2x+n 〕=0的四个根组成一个首项为41的等差数列，那么|m －n|等于〔 〕A.1B.43C.21D.83 答案：C解析：设4个根分别为x1、x2、x3、x4，那么x1+x2=2，x3+x4=2，由等差数列的性质，当m+n=p+q 时，a x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为41，43，45，47，∴m=167，n=1615.∴|m－n|=21.4、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设71310a a +=，那么19S 的值是〔 〕.A 55 .B 95 .C 100 .D 无法确定答案:B解析：()()119713191919191095222a a a a S ++⨯====5、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，假设735S =，那么4a =〔 〕A ．8B ．7C ．6D ．5答案：D.解析：n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，假设74735,S a == ∴ 4a =5。
6、｛an ｝是递增数列，且对任意n∈N*都有an=n2+λn 恒成立，那么实数λ的取值范围是〔 〕A.(－27,+∞) B.(0,+∞) C.(－2,+∞) D.(－3,+∞)答案：D解析：由｛an ｝为递增数列得an+1－an=2n+1+λ＞0恒成立,即λ＞－2n －1在n≥1时恒成立，只需λ＞(－2n －1)max=－3。
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等差数列及其前n 项和专题训练
A 组 考点能力演练
1．已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．(2016·宝鸡质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 9＝18，a n －4＝30(n >9)，若S n ＝336，则n 的值为
A ．18
B ．19
C ．20
D ．21
3．(2015·武昌联考)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 是( )
A ．18
B ．19
C ．20
D ．21
4．在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝40，则3a 1＋a 11＝( )
A ．20
B ．30
C ．40
D ．60
5．已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，S n ，T n 分别是它们的前n 项和，并且S n T n ＝7n ＋1n ＋3，则a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16
＝( )
A.345B ．5C.314 D.315
6．(2015·广州一模)若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 3＝20，则S 11＝________.
B 组 高考题型专练
1．(2015·高考重庆卷)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．6
2．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( )
A.172
B.192C ．10 D ．12
3．(2015·高考北京卷)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( )
A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0
B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0
C ．若0<a 1<a 2，则a 2>a 1a 3
D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0
4．(2015·高考安徽卷)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12
(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________． 5．(2015·高考重庆卷)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92
. (1)求{a n }的通项公式；
(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .。