混合运算中的谈资论辈
初中数学中有哪些常见的论问题及解决方法
初中数学中有哪些常见的论问题及解决方法初中数学中有哪些常见的论证问题及解决方法在初中数学的学习中，我们会遇到各种各样的论证问题。
这些问题不仅考验着我们对数学知识的掌握程度，还锻炼着我们的逻辑思维和推理能力。
接下来，让我们一起探讨一下初中数学中常见的论证问题以及相应的解决方法。
一、代数中的论证问题1、等式的性质与证明在代数运算中，经常会涉及到等式的证明。
例如，证明“若a ＝b ，则 a ＋ c ＝ b ＋ c ”。
解决这类问题的关键是要理解等式的基本性质，即等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。
我们可以通过具体的数值代入来帮助理解和证明。
2、不等式的证明不等式的证明也是常见的论证问题。
比如，证明“若 a ＞ b ， c ＞ 0 ，则 ac ＞bc ”。
解决这类问题需要掌握不等式的基本性质，同时要善于运用作差法、作商法等方法进行比较和证明。
3、函数的性质论证对于函数，我们可能需要证明其单调性、奇偶性等性质。
以证明一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ＞ 0 ）的单调性为例，我们可以任取 x₁＜x₂，然后计算 f(x₂) f(x₁) ，通过判断其正负来证明函数的单调性。
二、几何中的论证问题1、三角形的相关证明（1）三角形全等的证明三角形全等是几何论证中的重要内容。
要证明两个三角形全等，需要根据已知条件选择合适的判定定理，如 SSS （三边对应相等）、SAS （两边及其夹角对应相等）、ASA （两角及其夹边对应相等）、AAS （两角及其中一角的对边对应相等）、RHS （直角三角形斜边和一条直角边对应相等）。
（2）三角形相似的证明证明三角形相似与证明三角形全等类似，也有相应的判定定理，如AA （两角对应相等）、SAS （两边对应成比例且夹角相等）、SSS （三边对应成比例）。
2、四边形的性质证明（1）平行四边形的证明要证明一个四边形是平行四边形，可以从对边平行、对边相等、对角线互相平分等方面入手。
集合论初步知识和集合运算规律
集合论初步知识和集合运算规律集合论是数学的一个基本分支，它研究了集合以及集合之间的关系和运算。
集合论的主要概念和运算规律如下：1.集合的基本概念：–集合：由明确的、相互区别的对象组成的整体，称为一个集合。
–元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素。
–集合的表示方法：用大括号{}括起来，里面列出集合的所有元素，如{1, 2, 3}表示包含元素1、2、3的集合。
2.集合的类型：–普通集合：包含任意类型的元素的集合。
–子集：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，那么这个集合称为另一个集合的子集。
–真子集：如果一个集合是另一个集合的子集，并且这两个集合不相等，那么这个集合称为另一个集合的真子集。
–空集：不包含任何元素的集合，用符号∅表示。
–无穷集合：包含无限多个元素的集合。
3.集合运算规律：–并集（∪）：两个集合的并集包含两个集合的所有元素，但不重复计算重复的元素。
–交集（∩）：两个集合的交集包含两个集合共有的元素。
–补集：对于一个给定的集合S和 universal set（全体集合），S的补集是全体集合中不属于S的元素组成的集合。
–相对补集：对于两个不相交的集合S和T，S在T中的补集是T中不属于S的元素组成的集合。
–幂集：集合S的所有子集组成的集合称为S的幂集。
4.集合运算的性质和定律：–交换律：对于集合运算，交换集合的位置不改变运算结果。
–结合律：对于集合运算，多个集合进行同一运算时，运算顺序不影响结果。
–分配律：集合运算中，一个集合与多个集合的并集进行运算，等于与每个集合分别进行运算的结果。
–吸收律：集合运算中，一个集合与它自己的并集等于它自己。
–同一律：集合运算中，一个集合与它自己的交集等于它自己。
以上是集合论初步知识和集合运算规律的概述，希望对你有所帮助。
习题及方法：1.习题：判断下列哪些是集合，哪些不是集合？a){1, 2, 3}b)所有质数c)高三一班的学生d)全体自然数解答：a)、b)、c)、d)都是集合。
2018中考数学知识点：分式混合运算法则
2018中考数学知识点：分式混合运算法则
新一轮中考复习备考周期正式开始，中考网为各位初三考生整理了各学科的复习攻略，主要包括中考必考点、中考常考知识点、各科复习方法、考试答题技巧等内容，帮助各位考生梳理知识脉络，理清做题思路，希望各位考生可以在考试中取得优异成绩！下面是《2018中考数学知识点：分式混合运算法则》，仅供参考！
分式混合运算法则：
分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变(乘);
乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算;
加减分母需同，分母化积关键;找出最简公分母，通分不是很难;
变号必须两处，结果要求最简.。
有理数混合运算法则小结
有理数混合运算法则小结LEKIBM standardization office【IBM5AB- LEKIBMK08- LEKIBM2C】有理数的加法法则（一）运算顺序：有理数的混合运算法则大体与整数混合运算相同：先算乘方或开方,再算乘法或除法,后算加法或减法,有括号时、先算小括号里面的运算、再算中括号、然后算大括号。
（二）运算律：①加法交换律：a＋b＝b＋a。
②加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。
③乘法交换律：ab＝ba。
④乘法结合律：（ab）c＝a（bc）。
⑤乘法对加法的分配律：a（b＋c）＝ab＋ac。
⑵有理数的加法法则：同号两数相加，和取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数与零相加仍得这个数；两个互为相反数相加和为零⑵有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数补充：去括号与添括号：去括号前面是时，去掉括号，括号内的不变。
括号前面是时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号。
法则的依据实际是注: 要注意括号前面的符号,它是后括号内各项是否变号的依据.去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉.要注意,括号前面是"-"时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号.若括号前是数字时,应利用乘法分配律先将数与括号内的各项分别相乘再,以免发生错误.遇到多层一般由里到外,逐层去括号,也可由外到里.数"-"的个数.3.一定要注意，若括号前面是，不能直接去除除号.添括号法则1.如果括号前面是或乘号,加上括号后,括号里面的符号不变。
2.如果括号前面是减号或除号,加上括号后,括号里面的符号全部改为与其相反的符号。
3.添括号可以用去括号进行检验。
添括号时，如果括号前面是或乘号，括到括号里的各项都不变符号；如果.括号前面是减号或除号，括到括号里的各项都改变符号。
九章算术经典语录
九章算术经典语录1. “方自乘，以高乘之即积尺。
”就像我们盖房子，地面的边长乘一下，再乘以房子的高度，不就知道房子有多大空间啦！比如算一算一个房间的体积。
2. “今有术，以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。
”这不就跟分蛋糕一样嘛，按照比例来分，多公平呀！像分一堆糖果给小伙伴们。
3. “衰分术曰：各置列衰，副并为法，以所分乘未并者各自为实，实如法而一。
”哎呀，这就好像给大家分配任务，根据不同情况来安排，多合理呀！比如安排不同小组的工作。
4. “今有田广十五步，从十六步，问为田几何？”这多简单呀，就像知道了一块地的长和宽，那就能算出它的面积啦，像看看家里的院子有多大。
5. “约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。
”这不就是把东西尽量平均分开嘛，就像分苹果，能对半分就对半分，不能就慢慢调整，多形象呀！6. “今有乘传委输，空车日行七十里，重车日行五十里。
”这不就跟我们走路一样嘛，轻装上阵就走得快，背着重重的东西就走得慢呀！像货车拉货和空车跑的区别。
7. “以盈不足术求之，假令众车九十，不足五百，令之七十一，盈七十。
”这就好像我们找东西，有时候多了点，有时候又少了点，得想办法找到正好合适的呀！像调整做蛋糕的材料用量。
8. “勾股术曰：勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦。
”哇塞，这就像搭梯子，知道了两边的长度，就能算出斜边有多长啦！比如计算一个直角三角形架子的边长。
9. “方程术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方。
”这多有意思呀，就像摆东西一样，把不同的数量和数值摆在一起，然后去求解，像玩一个解谜游戏！10. “今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。
问人数、物价各几何？”这不就是大家一起买东西嘛，出的钱不一样，结果也不一样，得好好算算呀！像一起团购东西算每个人该出多少钱。
有理数混合运算的方法技巧
有理数混合运算的方法技巧一、有理数混合运算的原则有理数的混合运算的关键是运算的顺序，为此，必须进一步对加，减，乘，除，乘方运算法则和性质的理解与强化，熟练掌握，始终遵循四个方面：一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算，为了提高运算速度，要灵活运用运算律，还要能创造条件利用运算律，如拆数，移动小数点等，对于复杂的有理数运算，要善于观察，分析，类比与联想，从中找出规律，再运用运算律进行计算.二、理解运算顺序有理数混合运算的运算顺序：①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键例1：3＋50÷22×(51-)－1 解：原式=3＋50÷4×(51-)－1············(先算乘方) =15141503-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯+···············(化除为乘) =21125315141503-=--=-⨯⨯-···(先定符号，再算绝对值) ②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的.例2：计算：()[]232315.011--⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-- 解原式[]926111-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=[]926111-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=()()677617651-=-⨯=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 也可这样来算：解原式==()926111-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=()67761-=-⨯。
③从左向右：同级⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--388712787431运算，按照从左至右的顺序进行；例3：计算： 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3887241424212442原式==⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯3878247=33831-=--。
数学混合计算技巧
数学混合计算技巧
数学混合计算是指将不同的数学知识点和运算方法混合在一起进
行计算的一种方式。
以下是一些数学混合计算的技巧：
1. 先化简，再计算：将复杂的算式先进行化简，变成简单的形式，然后再计算。
这样可以避免犯错和出现混淆。
2. 从小到大依次计算：按照先乘除后加减的原则，从小到大依
次计算。
如有括号或指数优先计算其中的内容，然后再计算其他部分。
3. 分步骤计算：对于较复杂的计算，可以将其分成几个步骤进
行计算。
这样可以避免算错，并且更容易发现问题。
4. 利用近似值：有时候可以利用近似值来计算，比如取整数或
用相似三角形的比例等。
5. 利用代数方法：对于带有变量的式子，可以采用代数方法进
行求解，例如配方法、因式分解等。
最后，计算过程中要仔细，小心细节，避免粗心大意导致计算错误。
初二数学：2.8有理数的混合运算知识点解读有理数的混合运算
知识点解读：有理数的混合运算一般地, 有理数混合运算的法则是：先算乘方，再算乘除，最后算加减.如有括号，先进行括号里的运算.在进行有理数的混合运算时，要注意以下几点：一、注意符号自从有了负数，符号就与运算有了不解之缘，在运算时，首先要注意符号的确定.例1. 计算：-14＋56＋23-12. 分析：本题是一道有理数加减混合运算题，在交换加数的位置时，应带着该加数的符号一起交换. 解：原式=-14-12＋56＋23=-34＋96=34. 评注：每个数都包括它前面的符号，符号与数是一个有机的整体，在运算时，千万不要忽略了数的性质符号.例2. 计算：-41-16×[2-（-3）2]. 分析：在计算本题中的两个乘方运算时，要特别注意符号，-41=-1，而不是1，（-3）2=9，而不是-9.解：原式=-1-16×（2-9）=-1-16×（-7）=-1＋76=16. 评注：在进行乘方运算时，要特别注意(1)n -与1n -的不同.二、注意运算顺序与运算步骤有理数混合运算的顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减.如果有括号，就先算括号里面的.有理数的运算步骤是：对于每一个运算，都应先确定结果的符号，再计算结果的绝对值.即“符号先判断，绝对值后计算”.例3. 计算：-81÷94×49÷（-16）. 分析：这是一道有理数乘除混合运算的题目，由于乘除是同级运算，应按从左到右的顺序依次进行.解：原式=-81×49×49×（-116）=1. 评注：在计算本题时，如果你禁不住94×49=1的诱惑，来一个从中间开始算起，就违背了运算顺序的原则，必将导致失败！三、注意运算律的灵活应用有理数的运算律包括加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、乘法对加法的分配律.若能灵活、巧妙地运用它们，将使计算过程变得简捷.在具体运用时，主要有以下几种技巧：（1）相反数结合；（2）凑整结合；（3）正、负数分别结合；（4）分数、小数、整数分别结合；（5）带分数拆开后，整数、分数分别结合；（6）同分母或分母易通分的先结合；（7）易约分的先结合等.在有理数的混合运算中，往往是两种或两种以上的技巧的综合运用.例4. 计算：（＋335）＋（＋434）-（＋125）＋（-334）.分析：本题可应用结合律简化运算过程.解：原式=[（＋335）-（＋125）]＋[（＋434）＋（-334）]=215＋1=135.例5. 计算：157116×（-8）.分析：对于本题，如果先把157116化成假分数再计算，将十分繁琐.若把157116拆成（71＋1516），则可应用乘法的分配律求解.解：原式=（71＋1516）×（-8）=71×（-8）＋1516×（-8）=-568＋（-152）=-57512.七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，直线//b，下列各角中与相等的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据平行线的性质和对顶角的定义，即可解答.【详解】∵直线//b∴∠1=∠6（两直线平行，同位角相等）∴∠6=∠4（对顶角相等）故选：C.【点睛】此题考查平行线的性质，对顶角，解题关键在于掌握其性质定理.2．如果不等式3x﹣m≤0 的正整数解为1，2，3，则m 的取值范围为（）A．m≤9B．m＜12 C．m≥9D．9≤m＜12【答案】D【解析】解不等式得出x≤，由不等式的正整数解为1、2、3知3≤＜4，解之可得答案．【详解】解不等式3x-m≤0，得：x≤，∵不等式的正整数解为1，2，3，∴3≤＜4，解得：9≤m＜12，故选D．【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，根据正整数解的情况得出关于m的不等式组是解题的关键．3．某一超市在“五•一”期间开展有奖促销活动，每买100元商品可参加抽奖一次，中奖的概率为13．小张这期间在该超市买商品获得了三次抽奖机会，则小张( )A．能中奖一次B．能中奖两次C．至少能中奖一次D．中奖次数不能确定【答案】D【解析】由于中奖概率为13，说明此事件为随机事件，即可能发生，也可能不发生．【详解】解：根据随机事件的定义判定，中奖次数不能确定.故选D．【点睛】解答此题要明确概率和事件的关系：()P A0=①，为不可能事件；()P A1=②为必然事件；()0P A1<<③为随机事件．4．我国古代数学著作《算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（）A．5152x yx y=+⎧⎪⎨=-⎪⎩B．5152x yx y=+⎧⎪⎨-=⎪⎩C．525x yx y+=⎧⎨=-⎩D．5152x yx y=-⎧⎪⎨=+⎪⎩【答案】A【解析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x y、的二元一次方程组．【详解】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据题意得：515 2x yx y=+⎧⎪⎨=-⎪⎩，故选：A．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．5．如图，AC⊥BC,AD⊥CD, AB=a，CD=b，AC的取值范围是( )A．AC＞b B．AC＜a C．b＜AC＜a D．无法确定【答案】C【解析】根据垂线段最短即可得到AC的取值范围．【详解】∵AC⊥BC，AD⊥CD，AB=a，CD=b，∴CD＜AC＜AB，即b＜AC＜a．故选C．【点睛】本题考查了垂线段最短的性质，准确识图是解题的关键．6．下列实数中是无理数的是（）．A．πB．2 C．13D．3.14【答案】A【解析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【详解】解：2，13，3.14是有理数，π是无理数，故选：A．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，60.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．7．一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大40°，若设∠1=x°、∠2=y°，则可得到方程组为（ ）A ．4090x y x y =+⎧⎨+=⎩B ．4090x y x y =-⎧⎨+=⎩C ．40180x y x y =-⎧⎨+=⎩D ．40180x y x y =+⎧⎨+=⎩【答案】A 【解析】分析：分别根据∠1的度数比∠2的度数大40°和∠1与∠2互余各列一个方程，组成方程组求解即可.详解：由题意得，4090x y x y =+⎧⎨+=⎩. 故选A.点睛：本题考查了二元一次方程组的几何应用，找出题目中的等量关系是解答本题的关键.8．如图，已知a ∥b ，∠1=55°，则∠2的度数是( )．A ．35°B ．45°C ．55°D ．125°【答案】C 【解析】根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠1=55°，再根据对顶角相等即可求得答案.【详解】∵a//b ，∴∠3=∠1=55°，∴∠2=∠3=55°．故选C ．9．下列调查中，适合采用全面调查方式的是（ ）A ．调查国产航母的所有零部件质量B ．调查我县的空气污染情况C ．调查一批新型节能灯的使用寿命D ．调查我县七年级学生的身高情况【答案】A【解析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【详解】A 、调查国产航母的所有零部件质量适合全面调查，故A 符合题意；B 、调查我县的空气污染情况无法普查，故B 不符合题意；C 、调查一批新型节能灯的使用寿命调查具有破坏性适合抽样调查，故C 不符合题意；D 、调查我县七年级学生的身高情况，调查范围广适合抽样调查，故D 不符合题意；故选A ．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．10．4的平方根是（ ）A ．2B ．16C ．±2D ．± 【答案】C【解析】根据平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a,即2x a = ，那么这个数x 叫做a 的平方根，即可得出答案．【详解】2(2)4±= ，∴4的平方根是2± ，故选：C ．【点睛】本题主要考查平方根的概念，掌握平方根的概念是解题的关键．二、填空题题11．如图，AD 是△ABC 的中线，G 是AD 上的一点，且AG=2GD ， 连结BG ，若12ABC S ∆=，则ABG S ∆为_______．【答案】1【解析】根据三角形的中线的性质进行解答即可．【详解】∵12ABC S ∆=，∴S △ABD ＝6，∵AG ＝2GD ，∴AG=23AD ∴S △ABG ＝23S △ABD =1， 故答案为：1．【点睛】本题考查三角形的面积问题．其中根据三角形的中线的性质进行解答是解决本题的关键．12．某试卷共有50道选择愿，每道题选对得4分，选错了或者不选扣2分，至少要选对_____道题，其得分才能不少于120分．【答案】1【解析】根据选对的题的数目乘以每道题选对的得分可求得其选对题的总分数，同理求出选错或不选的总分数，根据题意可列不等式求解．【详解】设应选对x 道题，则选错或不选的题数有50-x ，根据其得分不少于120分得：4x-2（50-x ）≥120， 解得：x ≥3623在本题中x 应为正整数，故至少应选对1道题． 故答案为：1．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用．用不等式解应用问题时，要注意未知数的限制条件，在本题中应是正整数．13．．在平面直角坐标系中，若点M （1，3）与点N （x ，3）之间的距离是5，则x 的值是____________．【答案】－4或1【解析】分析：点M 、N 的纵坐标相等，则直线MN 在平行于x 轴的直线上，根据两点间的距离，可列出等式|x-1|=5，从而解得x 的值．解答：解：∵点M （1，3）与点N （x ，3）之间的距离是5，∴|x-1|=5，解得x=-4或1．故答案为-4或1．14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为__________．【答案】60°或120°【解析】分别从△ABC是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．【详解】解：如图（1），∵AB=AC，BD⊥AC，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=30°，∴∠A=60°；如图（2），∵AB=AC，BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∵∠ABD=30°，∴∠BAD=60°，∴∠BAC=120°；综上所述，它的顶角度数为：60°或120°．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．15．“若两条直线不相交，则这两条直线平行”是_____命题．（填“真”或“假”）【答案】假【解析】若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行，也有可能异面．【详解】解：若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行，也有可能异面，故是假命题．故答案为：假．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查学生的推理能力，属于基础题．16．若两个方程19+x=2x，21+x=2x+1的解都是关于x的不等式组212x mx m->⎧⎨-≤⎩的解，则m的取值范围是______．【答案】18≤m＜1．【解析】解不等式组得出12m+＜x≤m+2，再解一元一次方程得出方程的解，根据不等式组解的确定可得答案．【详解】解；212x mx m-⎧⎨-≤⎩＞①②解不等式①，得：x12m+＞，解不等式②，得：x≤m+2，所以不等式组的解集为12m+＜x≤m+2．方程19+x=2x的解为x=19，方程21+x=2x+1的解为x=20，所以m的取值范围是18≤m＜1．故答案为：18≤m＜1．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和一元一次方程，解题的关键是解一元一次不等式、一元一次方程的能力. 17．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，若△ABC的面积等于36，则△BEF 的面积为______．【答案】1【解析】根据线段的中点得出BD=CD、AE=DE、CF=EF，依次求出△ABD、△ACD、△BDE、△CD的面积，求出△BEC的面积，即可求出答案．【详解】解：∵点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，∴AE=DE=12AD，EF=CF=12CE，BD=DC=12BC，∵△ABC的面积等于36，∴1182ABD ACD ABC S S S ===，S △ABE =S △BED =12ABD S =1，S △AEC =S △CDE =12S △ACD =1， ∴S △BEC =S △BDE +S △CDE =1+1=18，∴S △BEF =S △BCF =12S △BEC =1182⨯=1， 故答案为：1．【点睛】本题考查了三角形的面积，能求出各个三角形的面积是解此题的关键．三、解答题18．小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟.请问小华家离学校多远？【答案】小华家离学校1米．【解析】设出平路和坡路的路程，由题意从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟，列方程即可得出答案.【详解】设平路有x 米，坡路有y 米，根据题意列方程得， 106080{156040x y x y +=+=， 解这个方程组，得300{400x y ==， 所以x+y ＝1．所以小华家离学校1米．【点睛】本题考查二元一次方程的应用，此题主要利用时间、速度、路程三者之间的关系进行解答，注意来回坡路的变化是解题的关键.19．将两个全等的直角三角形ABC ∆和DBE ∆按图1方式摆放，其中 90ACB DEB ∠=∠=︒，30A D ∠=∠=︒,点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .(1)求CFE ∠的度数;(2)求证: CF EF =;(3)若将图1中DBE ∆绕点B 按顺时针方向旋转至如图2，其他条件不变，请你写出如图2中,AF EF 与DE之间的关系，并加以证明.【答案】（1）∠CFE=120°；（2）见解析；（3）AF=DE+EF 【解析】（1）由直角三角形的性质即可得出结果；（2）连接BF，由SAS证明△BCF≌△BEF即可；（3）由全等三角形的性质即可得出结论．【详解】(1)∵∠ACB=∠DEB=90°,∠A=30°，∴∠AEF=90°,∠AFE=90°−30°=60°，∴∠CFE=180°−∠AFE=120°.(2)证明：连接BF，如图1所示：∵△DBE≌△ABC，∴BE=BC，DE=AC.在Rt△BCF和Rt△BEF中,BF BFBC BE==⎧⎨⎩，∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL)∴CF=EF；（3）DE+EF=AF，理由如下：∵CF=EF，AC=DE，∴DE+EF=AC+CF=AF.【点睛】此题考查直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线20．如图①是大众汽车的图标，图②是该图标抽象的几何图形，且AC∥BD，∠A＝∠B，试猜想AE与BF的位置关系，并说明理由．【答案】AE∥BF，理由见解析.【解析】根据两直线平行同位角相等，可判断∠B＝∠DOE，再根据∠A＝∠B，即可得到∠DOE＝∠A，进而得出AC∥BD．【详解】AC∥BD，理由：∵AE∥BF，∴∠B＝∠DOE．∵∠A＝∠B，∴∠DOE＝∠A，∴AC∥BD．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解答本题的关键是掌握：两直线平行同位角相等；同位角相等两直线平行．21．解不等式组431)125233x xx xx≤+⎧⎪⎨--->⎪⎩（①②，并将其解集在数轴上表示出来。
(完整版)混合运算和运算定律
混合运算和运算定律甘肃甘南合作市藏族小学徐忠一、四则运算四则运算：四则是指加法、减法、乘法、除法的计算法则，四则运算就是指加、减、乘、除运算。
1.整数加减：数位对齐相加减，从最低位算起。
2.整数乘法：数位对齐从个位乘起，错位相加。
3.整数除法：被除数大于除数，看除数位数，从高位除起，试商定商；被除数小于除数，整数部分补0占位，点上小数点再除。
4.分数加减：分数单位相同，分母不变，分子相加减；分数单位不同，通分后再加减。
5.分数乘法：分子乘分子，分母乘分母。
6.分数除法：被除数乘以除数的倒数。
二、混合运算四则混合运算：在一个算式中，含有加、减、乘、除四种运算中的两种或两种以上的运算，便称四则混合运算。
四则混合运算的顺序1.四则运算分为两级：加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算。
2.（1）在没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先做第二级运算，在做第一级运算。
（2）在有括号的算式里，要先算小括号里面的，后算中括号里面的，再算大括号里面的，最后算括号外面的。
（3）如果有乘方开方，要先算乘方开方，乘方开方是三级运算。
三、运算定律1.加法的运算定律（1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，用字母表示：a+b=b+a。
（2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变，用字母表示是：（a+b）+c=a+(b+c)。
2.乘法的运算定律（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。
用字母表示是：a×b=b×a。
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再与第三个数相乘，或者先把后两个数相乘，再与第一个数相乘，它们的积不变。
用字母表示是：(a×b)×c=a×(b×c)。
（3）乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘，再把所得的积相加。
混合计算的运算法则
混合计算的运算法则
混合计算中有两种不同的运算法则，分别是加减法和乘除法。
在混合计算中，必须遵循一定的运算法则才能正确地进行计算。
加减法的运算法则：
1. 先进行括号内的计算。
2. 先处理乘除法，后处理加减法。
3. 从左到右进行计算。
例如，计算以下式子：3 + 5 × 2 - 4 ÷ 2
先进行括号内的计算，结果为3 + 10 - 2 = 11。
再从左到右进行计算，结果为11。
乘除法的运算法则：
1. 先进行括号内的计算。
2. 先处理乘除法，后处理加减法。
3. 从左到右进行计算。
例如，计算以下式子：6 ÷ 2 × 3 + 4
先进行括号内的计算，结果为6 ÷ 2 × 3 + 4 = 3 × 3 + 4。
再进行乘除法，结果为9 + 4 = 13。
综合运算法则：
在混合计算中，既有加减法又有乘除法，因此需要综合运用加减法和乘除法的运算法则，按照以下顺序进行计算：
1. 先进行括号内的计算。
2. 先处理乘除法，后处理加减法。
3. 从左到右进行计算。
例如，计算以下式子：3 + 5 × (2 - 4) ÷ 2
先进行括号内的计算，结果为3 + 5 × (-2) ÷ 2。
再进行乘除法，结果为3 - 5 = -2。
以上就是混合计算的运算法则。
在进行混合计算时，要根据括号、乘除法和加减法的运算法则，按照一定的顺序进行计算，才能得到正确的答案。
组合数学中的论问题分析
组合数学中的论问题分析组合数学是数学的一个重要分支，它研究的是集合论、图论、数论和代数等数学分支之间的组合关系。
在组合数学中，论问题是一个具有重要理论意义和广泛应用价值的研究领域。
本文将对组合数学中的论问题进行分析与讨论。
一、问题的提出与背景论问题是指在一定条件下，研究一个集合具有某种性质的问题。
论问题由于其对应用领域的重要性，成为组合数学中的一个重要分支。
论问题的研究有助于深入理解数学的结构和规律，并能应用于通信、计算机科学、优化问题等领域。
二、经典论问题1. 托波利茨矩阵的论问题托波利茨矩阵是一种具有特殊结构的矩阵，它的每一条对角线上的元素都相等。
论问题涉及到托波利茨矩阵的性质与应用，研究如何刻画托波利茨矩阵的一些重要参数，比如最大特征值和最小特征值等。
2. 图的论问题图论是组合数学中的一个重要分支，其研究的对象是用顶点和边构成的图。
论问题中的图可以是有向图或无向图，研究的问题包括图的连通性、路径问题、最短路径问题等。
经典的论问题有哈密顿回路问题、旅行商问题等。
3. 组合问题组合问题是论问题的一个重要分支，研究的是集合的排列组合。
常见的组合问题包括组合数的计算、排列问题、选择问题等。
论问题在组合问题的研究中起到了重要的作用，能够给出组合问题的理论刻画和应用推广。
三、论问题的应用论问题不仅仅是数学中的一个理论问题，它在实际应用中也具有重要的作用。
1. 信息理论信息理论中的熵是论问题的一个重要概念。
熵用来表示信息的不确定性，它是对信息分布的度量。
通过对论问题的研究，可以对信息传输、编码等问题进行分析与优化。
2. 优化问题论问题与优化问题密切相关，通过论问题的研究可以对优化问题进行分析与求解。
例如，在调度问题中，可以利用论问题的方法对任务的分配进行优化，以提高效率和资源利用率。
3. 密码学密码学中的编码问题与论问题有着密切的联系。
通过对论问题的研究，可以设计出高效、安全的编码算法，保护信息的安全性和隐私性。
混合思维求除法-解释说明
混合思维求除法-概述说明以及解释1.引言概述：混合思维是一种综合运用逻辑思维和创造性思维的方式，通过将不同的思维模式相结合，以找到更有效的解决问题的方法。
在日常生活中，我们常常面临着各种复杂的问题，而混合思维能够帮助我们更好地理解问题，并找到创新的解决方案。
本文将重点探讨混合思维如何应用于除法问题的解决，并探讨混合思维在日常生活中的实际应用。
1.1 概述部分的内容1.2 文章结构文章结构部分:本文将分为引言、正文和结论三个部分。
在引言中，将对混合思维和除法问题进行概述，并阐明文章的结构和目的。
正文部分将首先介绍混合思维的概念，然后探讨如何利用混合思维解决除法问题，最后探讨混合思维在日常生活中的应用。
在结论部分，将总结混合思维的重要性，探讨混合思维对解决问题的影响，并展望混合思维的未来发展。
整篇文章将围绕混合思维与除法问题展开，以期为读者提供全面深入的了解和思考。
1.3 目的本文的目的在于探讨混合思维在解决除法问题中的应用，以及混合思维在日常生活中的实际应用场景。
通过深入分析混合思维的概念和原理，我们旨在帮助读者更好地理解并应用混合思维，提高解决问题的能力和效率。
同时，我们也希望通过本文对混合思维的研究，能够进一步拓展混合思维在未来发展中的潜力，为未来的创新和发展提供启示和思路。
通过本文的阐述，我们希望能够让读者对混合思维有一个全面的了解，并能够在实际生活中更加灵活、高效地运用混合思维来解决问题。
2.正文2.1 混合思维的概念混合思维是指结合了不同类型的思维方式，通过多角度和多元化的方式解决问题的一种思维方式。
它包括了逻辑思维、创造性思维、系统性思维、情感思维等多种思维方式的综合运用。
在混合思维中，人们不再局限于单一的思维方式，而是能够灵活运用不同的思维方式来解决问题，从而能够更全面地思考、分析和解决复杂的问题。
混合思维的特点包括了多元化、开放性和综合性。
通过多元化的思维方式，可以从不同的角度来看待同一个问题，找到更多的解决途径；开放性则让人们不局限于传统的思维模式，而是可以接受新的想法和观点；综合性则能够将各种思维方式有机地结合在一起，形成更综合、全面的解决方案。
如何在日常生活中运用有理数混合运算技巧
如何在日常生活中运用有理数混合运算技巧在我们的日常生活中，有理数混合运算技巧看似是数学课本中的知识，实际上却有着广泛而实用的应用。
掌握这些技巧，不仅能帮助我们更高效地解决数学问题，还能在处理日常事务时提供清晰的思维逻辑和准确的判断。
首先，让我们来回顾一下有理数混合运算的基本规则。
有理数包括正整数、负整数、零以及正分数和负分数。
在进行混合运算时，我们需要先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先算括号里面的。
那么，这些规则在日常生活中究竟如何应用呢？比如说购物。
当我们在商场看到打折促销的活动时，就需要运用有理数混合运算来计算实际的花费。
假设一件商品原价为 100 元，现在打 8 折出售，同时商场还有满 200 减 50 的优惠活动。
那么我们要购买两件这样的商品，首先计算出两件商品的原价总和为 200 元，打 8 折后的价格为 200×08 ＝160 元。
由于满足满 200 减 50 的优惠条件，所以最终需要支付 160 50 ＝ 110 元。
在这个过程中，我们就运用了乘法、减法的混合运算来得出最优惠的价格。
再比如家庭理财。
假设一个家庭每月的收入为 8000 元，其中固定支出如房租 2000 元，水电费 300 元，交通费 500 元，食品开销 1500 元。
那么首先计算出固定支出的总和为 2000 ＋ 300 ＋ 500 ＋ 1500 ＝4300 元。
然后用总收入 8000 元减去固定支出 4300 元，就能得出每月可自由支配的金额为 8000 4300 ＝ 3700 元。
通过这样的运算，我们可以清晰地了解家庭的财务状况，合理规划资金的使用。
在旅行规划中，有理数混合运算也能发挥作用。
比如预订机票和酒店，如果提前预订机票可以享受 7 折优惠，原价 1000 元的机票打折后为 1000×07 ＝ 700 元。
酒店每晚的价格为 300 元，预订 5 晚，那么总费用为 300×5 ＝ 1500 元。
分数混合运算(二)_数学_自然科学_专业资料共20页文档
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
分数混合运算(二)_数学_自 然科学_专业资料
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
(完整word版)有理数的混合运算的方法技巧(七年级备课)——孙权君
有理数的混合运算的方法技巧【教学目标】掌握有理数混合运顺序并培养综合运用有理数运算解决实际问题【教学重点】有理数混合运算顺序。
【教学重点】有理数混合运算规律一、归类运算进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷．如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等．例1 计算：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721)．二、凑整求和将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率．例2 计算：36.54228263.46+-+。
三、变换顺序在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运算量，在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算． 例3 计算：[4125＋(－71)]＋[(－72)＋6127]．四、逆用运算律 在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快．例4 计算：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88．五、巧拆项将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。
例5 计算：111125434236-+-+。
例6 计算：20082009200920092009200820082008⨯-⨯。
六、对消将相加得零的数结合计算。
例3 计算：()()()5464332+-++++-+-。
七、分组搭配观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算．例7 计算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．八、倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化． 例8 计算21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059)．①有理数的混合运算练习题训练一111 ( 1.5)4 2.75(5)42-+++-、 124112 ()()()23523+-++-+-、()1157233 48126824⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭、 114 1382⎛⎫⎛⎫-÷--÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、4 (81)( 2.25)()169-÷-⨯-÷5、 666 (5)(3)3(7)123777-⨯-+⨯--⨯6、31118 38318382427⎛⎫⨯-÷⨯ ⎪⎝⎭7、 1111 45566778+++⨯⨯⨯⨯8、训练二（1）23322(3)()6293--⨯-÷- （2）（3）3223731(25)(1)()()(0.1)940.1-⨯--⨯---÷-（4）23733553(1)(10.6)()()20(1)4423⎧⎫⎡⎤÷-+-⨯-÷--⨯-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎭⎩22299993(3)(2)2(98)98---⨯------（5）34111(0.25)(2)7()5(8)4(0.125)168⎡⎤⎡⎤---⨯-÷⨯-+÷-+⨯-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（6）1111 (14477109194)++++⨯⨯⨯⨯拓展提升：已知322111124==⨯⨯;33221129234+==⨯⨯; (10分) 33322112336344++==⨯⨯;33332211234100454+++==⨯⨯... （1） 猜想填空：333331123...(1)4n n ++++-+=⨯( )2( )2 （2） 计算①33333123...99100+++++②33333246...98100+++++。
有理数混合运算中的分类讨论思想
有理数混合运算中的分类讨论思想江苏 谢明辉人们清点钞票时通常先将钞票分类，把相同面值的钞票放在一起；商场里的商品也总是分类摆放；同学们交作业时也是分学科上交……当我们所要研究问题的结果有多种情形，而不能归结到同一种模式下的时候，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出问题在各种情况下相应的结论，最后将各种结论进行汇总，这种处理问题的方法就是分类讨论思想.分类是研究问题的常用方法，通过分类，可以使复杂的问题变得简单明了，易于解决.例如：一张桌子有四只角，砍掉一只角后，还剩几只角？实际上，砍去一只角后可能出现多种情况，我们需分类讨论，列出种种情况，再决定取舍.（1）切割线不经过桌面（矩形）的顶点，如图1，那么还剩下角的个数 4-1+2=5；（2）切割线经过桌面的一个顶点，如图24-1+1=4；（34-1=3只角（如图3所示）.选择分类的标准，进行合理分类. 树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论，然后逐一解决，从而达到最终解决整个问题的目的.”分类思想在有理数的混合运算中也有所体现.例1： (1) 计算)16()18()14()26(-+++-++解：原式=[][])16()14()18()26(-+-++++=14)30(44=-+点拨：此题是根据各个加数的特点，分成正数和负数，把正数和正数相加，把负数和负数相加，使计算更简便.（2）计算)21()41()25.0()432(75.0++-+++-+解：原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-++)21()41()432()25.075.0(=211)212(1-=-+点拨：在计算时不但可将正、负数分别相加以达到简便的目的，还可以根据观察、分析题中数字的特点分类，使运算简便.例2：|a|＝5，|b|=3,求a+b 的值分析：由绝对值的意义得知，a=5或-5，b=3或-3，因此a+b 的值对应由四种情况.（1）当a=5，b=3时，a+b=8； （2）当a=-5，b=3时，a+b=-2；（3）当a=5，b=-3时，a+b=2； （4）当a=-5，b=-3时，a+b=-8；所以a+b 的值为8，-8，2或-2.点拨：当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，就要按可能出现的所有情况分别进行讨论，得出相应的结论，特别注意讨论所分的各种情况要不重不漏，不互相矛盾.。
逻辑代数公式范文
逻辑代数公式范文逻辑代数是研究命题、命题变量和它们之间的关系的数学分支。
它在计算机科学、电子工程等领域有着广泛的应用。
下面我将介绍一些逻辑代数的常用公式。
1.双否定律:¬(¬p)=p双重否定除去了两次否定的影响，一个命题的否定即为它本身。
2.同一律:p ∧ True = p命题与真值为真。
3.吸收律:p∨(p∧q)=p一个命题与它与另一个命题的合取再与第一个命题的析取等价。
4.排中律:p ∨ ¬p = True一个命题与它的否定的析取为真。
5.德·摩根定律:¬(p∧q)=¬p∨¬q¬(p∨q)=¬p∧¬q对合取和析取进行取反是等价的。
6.分配律:p∨(q∧r)=(p∨q)∧(p∨r)p∧(q∨r)=(p∧q)∨(p∧r)合取和析取对于另一个运算符是分配的。
7.交换律:p∧q=q∧pp∨q=q∨p合取和析取运算可以交换操作数的位置。
8.结合律:(p∧q)∧r=p∧(q∧r)(p∨q)∨r=p∨(q∨r)合取和析取运算可以在多个操作数之间进行结合。
9.否定的否定律:¬(¬p)=p一个命题的双重否定等价于它本身。
10.对偶原理:p≡q，当且仅当¬p≡¬q如果命题p和q具有相同的真值，那么它们的否定也具有相同的真值。
这些是逻辑代数中的一些常用公式。
它们为我们在分析命题和命题之间的关系时提供了便利，并帮助我们理解和运用逻辑代数的概念和原则。
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混合运算中的谈资论辈
混合运算是小学数学中的一个很重要的内容，运算顺序是从实际的解决问题中去发现和总结出来的。
看似简单，脱离了解决问题的情境，以综合算式的形式出现，让学生计算时，达到熟练掌握却并不容易。
数学三年级下册（苏教版）刚开始接触混合运算，遇到类似于“小军买3本笔记本（每个5元）和一个书包（每个20元），一共用去多少元”，通过分析理解先算三本笔记本的钱，再加上一个书包的钱，情境引导列出综合算式“3×5+20”。
而课后的计算练习中出现的：28+2×10，学生先入为主的用老师教会的凑整思想先算加法，加之算式中加法在乘法前面，更增强了他们先算加法的想法。
此时学生利用以往的经验，误入了计算怪圈，深信不疑，怎么办？依靠题海战术或是不厌其烦的说教都是没有效果的。
于是，我想到了“谈资论辈”的故事。
把乘法、除法看成叔叔或阿姨都是长辈，加法、减法看成小朋友自己或哥哥姐姐、弟弟妹妹都是晚辈。
父母从小就教导遇到长辈要问好，做到礼让三分，所以不管谁在前谁在后，遇到乘除法要先算，加减法后算。
如果遇到小括号“（）”，两边稍稍弯曲像极了两个拐杖，只要有小括号，说明是残疾人，出于人道主义，更应礼让帮助其先行。
自然引出小括号比长辈级别更高，优先计算。
这样的故事虽然有点牵强，但能生动地用文明礼貌的小故事，打动他们，帮助他们记住运算顺序。