高中数学：专题3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式疱工巧解牛知识•巧学 一、倍角公式1.公式的推导：倍角公式是和角公式的特例，只要在和角公式中令α=β，就可得出相应的倍角公式.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ−−→−=βα令sin2α=2sinαcosα；cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ−−→−=βα令cos2α=cos 2α-sin 2α.由于sin 2α+cos 2α=1，显然，把sin 2α=1-cos 2α代入cos2α=cos 2α -sin 2α，得cos2α=cos 2α-sin 2α=cos 2α-(1-cos 2α)=2cos 2α-1. 同理，消去cos 2α，得cos2α=1-2sin 2α. tan(α+β)=αααβαβαβα2tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan -=−−→−•-+=令. 综上，我们把公式叫做二倍角公式.2.二倍角公式中角α的范围由任意角的三角函数的定义可知S 2α、C 2α中的角α是任意的，但公式T 2α即tan2α=αα2tan 1tan 2-中的角是有条件限制的. 要使tan2α有意义，需满足1-tan 2α≠0且tanα有意义.当tanα有意义时，α≠2π+kπ(k∈Z )；当1-tan 2α≠0，即tanα≠±1时，α≠±4π+kπ(k∈Z ).综上,可知要使T 2α有意义，需α≠±4π+kπ且α≠2π+kπ(k∈Z ).特别地，当α=2π+kπ(k∈Z )时，虽然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值，可用诱导公式进行，即tan2(2π+kπ)=tan(π+2kπ)=tanπ=0. 学法一得 二倍角的切函数是用单角的切函数表示出来的，它的角α除了使解析式有意义外，还应使函数自身也有意义. 3.倍角公式中的倍角是相对的二倍角公式不仅仅可用于将2α作为α的2倍的情况，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如8α是4α的二倍角，4α是2α的二倍角，3α是23α的二倍角，2α是4α的二倍角，3α是6α的二倍角等. 在运用倍角公式对半角的三角函数进行变换时，无论正用还是逆用，都可直接使用这一公式.例6cos6sin23sinααα=，6cos 26sin 6cos 3cos222αααα=-=-1=1-2sin26α；sin3α·cos3α=21 (2sin3αcos3α)=21sin6α；cos 22α-sin 22α=cos4α；ααα3sin 4123cos 23sin 21=；︒-︒35tan 135tan 22=tan70°等. 4.倍角公式的几种变形形式(sinα±cosα)2=1±sin2α；1+cos2α=2cos 2α；1-cos2α=2sin 2α；cos 2α=22cos 1α+；sin 2α=22cos 1α-. 学法一得 我们常把1+co sα=2cos 22α，1-cosα=2sin 22α称为升幂换半角公式，利用该公式消去常数项，便于提取公因式化简三角函数式；把cos 2α=22cos 1α+，sin 2α=22cos 1α-称为降幂换倍角公式，利用该公式能使之降次，便于合并同类项化简三角函数式.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.对于该公式不仅要会正用，还应会逆用和变用.5.倍角公式与和角公式的内在联系只有理清公式的来龙去脉及公式的变形形式，才能及时捕捉到有价值的信息，完成问题的解答. 典题•热题知识点一 直接应用倍角公式求值 例1 求下列各式的值：(1)2sin15°sin105°；(2)︒-15sin 731432；(3)︒-︒5.22tan 15.22tan 2；(4)12cos24cos 24sin πππ. 解：(1)原式=2sin15°·sin(90°+15°)=2sin15°cos15°=sin30°=21.(2)原式=143(1-2sin 215°)=143cos30°=283323143=⨯. (3)原式=.2112145tan 215.22tan 15.22tan 2212=⨯=︒=︒-︒•. (4)原式=8121416sin 4112cos 12sin 21=⨯==πππ.方法归纳 倍角公式中的角是相对的，对它应该有广义上的理解，即112cos 2sin22++=n n nααα(n∈N *)，12sin 2cos 2cos212+-=+n n nααα(n∈N *)，1212tan 12tan 22tan++-=n n nααα (n∈N *).知识点二 利用倍角公式给值求值例2 已知x∈(2π-，0)，cosx=54，则tan2x 等于( ) A.247 B.247- C.724 D.724- 思路分析：运用三角函数值在各个象限的符号及倍角公式求解. 解法一：∵x∈(2π-，0)，cosx=54， ∴sinx=53)54(1cos 122-=--=--x . 由倍角公式sin2x=2sinxcosx=2524-，cos2x=2cos 2x-1=2×(54)2-1=257. 得tan2x=7242cos 2sin -=x x .解法二：∵x∈(2π-，0)，cosx=54，∴sinx=53)54(1cos 122-=--=--x .∴tanx=43cos sin -=x x . ∴tan2x=724)43(1)43(2tan 1tan 222-=---⨯=-xx . 答案：D方法归纳 ①解好选择题的关键在于能否针对题目的特点，选择合理而适当的解法，最忌对任何题目都按部就班地演算求解，小题大做，应力求做到“小题小做”“小题巧做”. ②像这种从题目的条件出发，通过正确地运算推理，得出结论，再与选择肢对照确定选项的方法叫做定量计算法；像这样通过对题干和选择肢的关系进行观察、分析，再运用所学知识，通过逻辑推理作出正确选择的方法叫做定性分析法. 例3 已知sin(4π+α)sin(4π-α)=161，α∈(2π，π)，求sin4α的值.思路分析：要求sin4α的值，根据倍角公式可知只需求出sin2α、cos2α的值或sinα、cosα的值即可.由于(4π+α)+(4π-α)=2π，可运用二倍角公式求出cos2α的值. 解：由题设条件得sin(4π+α)sin(4π-α)=sin(4π+α)cos［2π-(4π-α)］ =sin(4π+α)cos(4π+α)=21sin(2π+2α)=21cos2α=61，∴cos2α=31.∵α∈(2π，π)，∴2α∈(π，2π).又∵cos2α=31>0，∴2α∈(23π，2π).∴sin2α=322)31(12cos 122-=--=--α. ∴sin4α=2sin2α·cos2α=2×92431)322(-=⨯-. 例4 已知cos(4π+x)=53，47127ππ<<x ，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值.思路分析：由于结论中同时含有切、弦函数，所以可先对结论切化弦，化简后不难发现，只需求出sin2x 和tan(4π+x)的值即可，注意到2(4π+x)=2π+2x ，这样通过诱导公式就容易找到sin2x 同cos(4π+x)的关系了. 解：∵47127ππ<<x ，∴πππ2465<+<x .又∵cos(4π+x)=53>0，∴23π＜4π+x ＜2π.∴sin(4π+x)=54)53(1)4(cos 122-=--=+--x π，345354)4cos()4sin()4tan(-=-=++=+x x x πππ.∵sin2x=-cos2(4π+x)=1-2cos 2(4π+x)=25725181=-， ∴原式=x x x x x x x x x x x xx x x sin cos )sin (cos 2sin sin cos cos sin 2cos 2sin cos sin 1sin 22sin 22-+=-•+•=-+7528)34(257)4tan(2sin tan 1tan 12sin -=-⨯=+•=-+•=x x x x x π.例5 在△ABC 中，已知AB=AC=2BC(如图3-1-10)，求角A 的正弦值.图3-1-10思路分析：由于所给三角形是等腰三角形，所以可通过底角的三角函数值或顶角一半的三角函数值来求解.解：作AD⊥BC 于点D ，设∠BAD=θ，那么A=2θ.∵BD=21BC=41AB ，∴sinθ=41=AB BD . ∵0＜2θ＜π，∴0＜θ＜2π.于是cosθ=415)41(1sin 122=-=-θ. 故sinA=sin2θ=2sinθcosθ=815415412=⨯⨯. 巧解提示:作AD⊥BC 于点D ，∵BD=21BC=41AB,又∵AB=AC， ∴∠B=∠C.∴cosB=cosC=41=AB BD . ∵0＜B ＜2π，∴sinB=415.又∵A+B+C=π，∴A=π-(B+C)=π-2B. ∴sinA=sin(π-2B)=sin2B=2sinBcosB=815414152=⨯⨯. 方法归纳 在△ABC 中，由于A+B+C=π，所以A=π-(B+C)，222CB A +-=π.由诱导公式可知：sinA=sin(B+C)；cosA=-cos(B+C)；tanA=-tan(B+C)；2cot2tan ;2sin 2cos ;2cos 2sinC B A C B A C B A +=+=+=. 任意变换A 、B 、C 的位置，以上关系式仍然成立. 例6 已知sin 22α+sin2αcosα-cos2α=1，α∈(0，2π)，求sinα、tanα的值. 思路分析：已知是二倍角，所求的结论是单角；已知复杂，结论简单，因此可从化简已知入手，推出求证的结论.解：把倍角公式sin2α=2sinαcosα，cos2α=2cos 2α-1代入已知得 4sin 2αcos 2α+2sinαcos 2α-2cos 2α=0， 即2cos 2α(2sin 2α+sinα-1)=0， 即2cos 2α(2sinα-1)(sinα+1)=0.∵α∈(0，2π)，∴sinα+1≠0，cos 2α≠0. ∴2sinα-1=0，即sinα=21.又∵α∈(0,2π),∴α=6π.∴tanα=33.知识点三 利用倍角公式化简三角函数式例7 利用三角公式化简sin50°(1+3tan10°).思路分析：本题给我们的感觉是无从下手，很难看出有什么公式可直接利用.从角的角度去分析，10°、50°除了它们的和60°是特殊角外，别无特点；从函数名称的角度去分析，由于该式子有弦，有切，我们可从化切为弦入手去尝试解决，转化成弦函数.通分后出现asinθ+bcosθ的形式，由于3是一特殊角的三角函数值，可把它拼凑成两角和(差)的正、余弦展开式的形式逆用公式求值.若把50°转化成(60°-10°)从同一角入手，也可以求值. 解：原式=sin(60°-10°)(1+3tan10°)=(23cos10°-21sin10°)(1+3tan10°) =23cos10°+23cos10°tan10°-21sin10°-23sin10°tan10° =23cos10°+sin10°-23sin10°·tan10°=23(cos10°-︒︒10cos 10sin 2)+sin10° =︒︒︒+︒•=︒+︒︒•10cos 10cos 10sin 33220cos 2310sin 10cos 20cos 23 ︒︒+︒••=︒︒+︒•=10cos 20sin 2120cos 233322310cos 20sin 3320cos 23180sin 80sin 10cos 80sin 10cos 20sin 60cos 20cos 60sin =︒︒=︒︒=︒︒︒+︒︒=.巧解提示:原式=︒︒+︒•︒=︒︒+︒10cos )10sin 2310cos 21(250sin )10cos 10sin 31(50sin ︒︒︒+︒︒︒=10cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2110cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin 40cos 2=︒︒=︒︒=︒︒︒=.方法归纳 对于三角整式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对二次根式，要设法使被开方数升次，通过开方进行化简.另外，还可用切割化弦、变量代换、角度归一等方法.对于形如1±sinα、1±cosα的形式，我们可采取升幂换半角的形式，消去常数项1，通过提取公因式化简有理式或通过开方化简无理式. 例8 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值. 解：由于cos60°=21，所以原式=21cos20°cos40°cos80° ︒︒︒︒︒•=20sin 80cos 40cos 20cos 20sin 21 ︒︒︒•=︒︒︒︒•=20sin 80cos 80sin 8120sin 80cos 40cos 40sin 41 16120sin 160sin 161=︒︒•=. 方法归纳 对于可化为cosαcos2αcos4α…cos2n-1α(n∈N 且n>1)的三角函数式，由于它们的角是以2为公比的等比数列，可将分子、分母同乘以最小角的正弦，运用二倍角公式进行化简.巧解提示:此外，本题也可构造一对偶式求解. 设M=cos20°·cos40°·cos60°·cos80°， N=sin20°·sin40°·sin60°·sin80°， 则MN=161sin40°·sin80°·sin120°·sin160° =161sin20°·sin40°·sin60°·sin80° =161N ，∴M=161,即cos20°·cos40°·cos60°·cos80°=161. 知识点四 利用倍角公式证明三角恒等式例9 求证：θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 1-++=-+. 证明：原式等价于1+sin4θ-cos4θ=αθ2tan 1tan 2-(1+sin4θ+cos4θ)， 即1+sin4θ-cos4θ=tan2θ(1+sin4θ+cos4θ). ① 而①式右边=tan 2θ(1+cos4θ+sin4θ)=θθ2cos 2sin(2cos 22θ+2sin2θcos2θ)=2sin2θcos2θ+2sin 22θ =sin4θ+1-cos4θ=左边.所以①式成立，原式得证. 例10 求证：︒=︒-︒10sin 3240cos 140sin 322. 思路分析：由于分母是三角函数值平方的形式，通分后转化成3cos 240°-sin 240°，按平方差公式展开得(3cos40°+sin40°)(3cos40°-sin40°)，恰好是两个辅助角公式的形式，可运用三角函数的和差公式求值；此外，也可对它的分母降幂换倍角进行化简. 证明：左边=︒•︒︒-︒︒+︒=︒︒︒-︒40cos 40sin )40sin 40cos 3)(40sin 40cos 3(40cos 40sin 40sin 40cos 32222222)40cos 40sin 2()40sin 2140cos 23(2)40sin 2140cos 23(24︒︒︒-︒⨯︒+︒⨯=︒︒︒-︒︒︒︒+︒︒=80sin )40sin 60cos 40cos 60)(sin 40sin 60cos 40cos 60(sin 162︒︒-︒︒+︒=80sin )4060sin()4060sin(162 ︒=︒︒︒⨯=︒︒=︒︒︒=10sin 3210cos 10cos 10sin 21680sin 20sin 1680sin 20sin 100sin 162=右边， 所以原式成立.方法归纳 对于三角函数式的化简、求值和证明，可从角的角度、运算的角度或函数名称的角度去考虑，其中通过通分，提取公因式、约分、合并同类项等运算的手法去化简是非常必要的.例11 已知3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：cos(α+2β)=0.思路分析：从求证的结论看，cos(α+2β)的展开式中含有cosα、cos2β、sinα、sin2β这样的函数值.由已知条件结合倍角公式的特点，恰好能转化出cos2β、sin2β这样的函数值.证明：由3sin 2α+2sin 2β=1，得1-2sin 2β=3sin 2α，∴cos2β=3sin 2α. 又∵sin2β=23sin2α， ∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=cosα·3sin 2α-sinα·23sin2α=23sinαsin 2α-23sinαsin2α=0.方法归纳 首先观察条件与结论的差异，从解决某一差异入手.确定从结论开始，通过变换将已知条件代入得出结论；或通过变换已知条件得出结论；或同时将条件与结论变形，直到找到它们间的联系.如果上述方法都难奏效的话，可采用分析法；如果已知条件含有参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法，等等. 问题•探究 材料信息探究问题 倍角和半角公式：sinα=2tan12tan22αα+，cosα=2tan12tan 122αα+-，tanα=2tan12tan 22αα-，这组公式称为“万能公式”，那么“万能公式”是怎样来的？它真的是“万能”的吗？探究过程:万能公式是一组用tan2α来表示sinα、cosα和tanα的关系式. 这组公式可以利用二倍角公式推导，其中正切tanα=2tan 12tan22αα-，可以由倍角公式直接获得；正弦、余弦只要在倍角公式中添加分母，再分子、分母同除以cos 22α可得： 2tan 12tan22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 2sin 222ααααααααα+=+==， 2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 2sin 2cos cos 22222222ααααααααα+-=+-=-=. 这组“万能公式”为一类三角函数的求值提供了一座方便可行的桥梁，如要计算cosα或sin(α+β)的值，可以先设法求得tan2α或2tan βα+的值.由于公式中涉及角的正切，所以使用时要注意限制条件，即要保证式子有意义.探究结论:所谓的“万能”，是说不论角α的哪一种三角函数，都可以表示成tan 2α的有理式，这样就可以把问题转化为以tan 2α为变量的“一元有理函数”，即如果令tan 2α=t ，则sinα、cosα和tanα均可表达为关于t 的分式函数，这就实现了三角问题向代数问题的转化，为三角问题用代数方法求解提供了一条途径.如tan15°+cot15°=tan15°+=︒+︒=︒15tan 115tan 15tan 12430sin 2115tan 15tan 222=︒=+︒︒，就较方便的解决了问题.再如求函数2sin cos +=x x y 的值域.令t x =2tan ，则t∈R ，利用万能公式有sinx=212t t +,cosx=2211t t +-，所以=+++-=21211222tt t t y 222221t t t ++-，由此可以建立关于t 的一次或二次函数(2y+1)t 2+2yt+2y-1=0，进一步分类讨论可得函数的值域.。
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
5 119 cos4α = 1- 2sin 2α = 1- 2 = 13 169
2
2
120 sin4α 120 169 tan4α = = =119 cos4α 119 169
教材习题答案
α 24 α 7 α 24 α α = , cos = , tan = .注意 是 的2 倍， 4 25 4 25 4 7 4 8 α 3π 由8π < α < 12π可得π < < . 8 2 7 2、 25 1、sin
跟踪训练
1．(1)已知
求sin 2α，cos 2α，tan 2α之值．
π (2)已知 tan x＋ ＝2，则 tan x tan 2x 4 ________．
3 12 cos α＝－ ，α∈ π，2π ， 13
的值为
跟踪训练
π π 3π 2 2．已知 cos x－4 ＝ ，x∈ 2， 4 . 10 (1)求 sin x 的值； π (2)求 sin 2x＋3 的值．
k ,且 2 4
k ， k Z
2
对于 C 2 能否有其它表示形式？
cos 2 2 cos 2 1
cos 2 1 2 sin
2
公式中的角是否为任意角？
引申：公式变形：
1 sin2 (sin cos )
1 cos2 2 cos
二倍角公式的简单应用 α 已知 tan ＝2，求： 2
π 6sin α＋cos α (1)tan α＋4 的值； (2) 的值． 3sin α－2cos α
ห้องสมุดไป่ตู้
分析：本题考查二倍角公式以及弦化切方 法的简单应用．
【数学】3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式1
超级记忆法--身 体法
1. 头--神经系统 2. 眼睛--循环系统 3. 鼻子--呼吸系统 4. 嘴巴--内分泌系统 5. 手--运动系统 6. 胸口--消化系统 7. 肚子--泌尿系统 8. 腿--生殖系统
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：在使用身体记忆法时，可以与前面提到过的五感法结合起来，比如产生 一 些听觉、视觉、触觉、嗅觉、味觉，记忆印象会更加深刻； TIP2：采用一些怪诞夸张的方法，比如上面例子中腿上面生长出了很多植物， 正 常在我们常识中不可能发生的事情，会让我们印象更深。
TIP2：越夸张越搞笑，越有助于刺激我们的大脑，帮助我们记忆，所以不妨在 编 故事时，让自己脑洞大开，尝试夸张怪诞些~
故事记忆法小妙招
费曼学习法
费曼学习法-简介
理查德·菲利普斯·费曼 （Richard Phillips Feynman）
费曼学习法出自著名物理学家费曼，他曾获的 1965年诺贝尔 物理学奖，费曼不仅是一名杰出的 物理学家，并且是一位伟 大的教育家，他能用很 简单的语言解释很复杂的概念，让其 他人能够快 速理解，实际上，他在学习新东西的时候，也会 不断的研究思考，直到研究的概念能被自己直观 轻松的理解， 这也是这个学习法命名的由来！
例9 (1) 若cos 1,则sin
3
2
若 （3 ，2），则sin
2
2
3 3
,
cos
2
3 3
,
cos
2
6 3 6 3
. .
(2) 化简 1 cos 4等于 2
（A ）
（A)cos(2 - ) (B) cos2 (C) sin(2 - ) (D) sin2
【学习力-学习方法】
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
1 cos2 2 cos2 1 cos 2 2 si n2
(2)原式 = Nhomakorabea sin 20 cos 20
0
0 2
sin 200 cos 200 sin 200 cos 200 ,
0 (3)原式= 2cos2 100 2 cos10 2 cos100
cos 2 2 cos 2 1 1 2 sin 2
1 sin 2 (sin cos ) 2 2 升幂公式： 1 ＋ cos 2 2 cos 1 cos 2 2sin 2 sin 2 sin cos 2 1＋cos 2 2 降幂公式： cos ＝ 2 1－cos 2 2 sin ＝ 2
2 tan tan 2 2 1 tan
( S 2 ) (C 2 ) (T2 )
思考：公式的适用范围是什么？ 注：公式S 2 与C2中 取任意值都成立; k 公式T2中 k 和 , k Z 时才
2 2 4 成立.
二倍角的余弦公式的补充
4 2 2
12 5 cos 2 1 sin 2 1 13 13
2 2
13
5 12 120 sin 4 sin 2 2 2sin 2 cos 2 2 13 13 169 ;
(4)原式 = 2 sin 10
2
0
2 sin100
2 sin100
sin 300 1 (6)原式=1+cos =1+ 2 (5)原式= = 2 4 2 4
总结 1、二倍角正弦、余弦、正切公式的推导 sin 2 2 sin cos R cos 2 cos 2 sin 2 R 2 tan k ,且 k ， tan 2 k Z 2 1 tan 2 2 4 2、注意正 用 、逆用、变形用
3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式
2 tan tan 2 1 tan2
不仅“2α”是“α”，而且“α”是 的二 倍角， “4α”是“2α”的二倍角， 2 “3α”是 3 的二倍角。
2
2.二倍角的余弦公式的变形
cos2 cos sin
2 2
cos2 1 sin 2
(1 sin ) sin
含着换元的思想.
2.二倍角公式及其变形各有不同的特点和作用，解 题时要注意公式的灵活运用，在求值问题中，要注 意寻找已知与未知的联结点. 3.二倍角公式有许多变形，不要求都记忆，需要时 可直接推导.
谢谢
sin 4 sin(2 2 ) 2 sin 2 cos2 2 5 ( 12 ) 120
13 13 169
12 2 ( , ), cos 2 1 sin 2 2 13
2
5 2 119 cos 4 1 2 sin 2 1 2 ( ) 13 169 sin 4 120 169 120 tan 4 ( ) cos 4 169 119 119
3、注意:当 k (k Z )时，tan 不存在，但是 tan 22 tan(2k ) 0
ห้องสมุดไป่ตู้ 证明
sin 3 3 sin 4 sin
3
cos3 4 cos 3 cos
3
小结
1.角的倍半关系是相对而言的,
2α 是α 的两倍,
4α 是2α 的两倍, 6α 是3 α 的两倍等等，这里蕴
2
3.倍半角的转换
1 sin 2 (sin cos )
2
1 cos 2 2 cos 2 1 cos 2 2 sin
3.1.3二倍角的正弦,余弦,正切公式
2
k ,
2
k
注意：二倍角公式不仅限于 2α 是 α 的二倍的形式,其它如 4α 是
a a
a a
2α 的二倍, 是 的二倍, 是 的二倍等。
2 4
3 6
五．课堂小结
1.我们是如何得出倍角公式的。
2. cos的三种形式及其如何用 cos表示 sin2, .
cos 2 cos 2 sin 2 cos 2 (1 cos 2 ) 2 cos 2 1
（3） tan 2 tan
tan tan
2 tan
．
1 tan tan
1 tan 2
（二）例题讲解
α－β)；
sin(α＋β)＝______________________(S
sinαcosβ＋cosαsinβ
α＋β)；
sinαcosβ－cosαsinβ
sin(α－β)＝_____________________(S
α－β)；
tanα＋tanβ
1－tanαtanβ α＋β)；
tan(α＋β)＝________________(T
tanα－tanβ
1＋tanαtanβ
tan(α－β)＝________________(T
)．
α－β
你能根据两角和的正弦、余弦
、正切公式推出二倍角的正弦
、余弦、正切公式吗？
（二）公式推导
•
（三）得出结论
二倍角的三角函数
cos 2 cos sin 1 sin sin 1 2sin
2
2
2
2
2
3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式
π 12 5 又－2＜β＜0 且 sin β ＝－13，∴cos β＝13， ∴cos 2α＝cos[(2α－β)＋β] ＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β 4 5 3 12 56 ＝5×13－5×－13＝65. 9 又 cos 2α＝1－2sin α，∴sin α＝130.
升、降幂公式
1、升幂公式： 2 2 1 sin 2 sin cos 2 sin cos
2 =（sin cos ）
1 cos 2 2 cos 2 1 cos 2 2 sin 2
升幂缩角
2、降幂公式：
1 cos 2 cos 2 1 cos 2 2 sin 2
3.1.3 二倍角的正弦、 余弦、正切公式
平罗中学 石占军
复习两角和（差）的三角公式
C(α β)
cos cos cos sin sin
S(αβ)
sin sin cos cos sin
tan tan tan 1 tan tan
2
降幂扩角
例4.化简
(1) 1 sin 40 ; (2) 1 sin 40 ; (3) 1 cos 20 ; (4) 1 cos 20
变式：如何化简 2 sin 2 cos4呢？
2
变式2.化简 1 sin 1 sin， （0，）.
当 （0， ）时，原式=2sin 2 2 当 （ ，）时，原式=2cos 2 2
2
π 3 12 2．已知 sin(2α－β)＝5，sin β＝－13，且 α∈2，π，β∈ π － ，0，求 sin α 的值． 2 π 解：∵2＜α＜π，∴π＜2α＜2π.
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式(2)
D.
7 9
求 sin 4x 的值． 的最小值,
3.求函数 并求其单调区间.
7π π f ( x ) = 5 3 cos 2 x + 3 sin 2 x − 4sin x cos x ≤ x ≤ 24 4
倍角公式的逆向变换及有关变形:
1.完全平方公式:
1 ± sin 2α = ( sin α ± cos α )2
1 − cos 2α = 2sin 2 α 2 1 + cos 2α = 2 cos α
2.升幂公式:
sin α cos α = 1 s i n 2 α
3.降幂公式:
2
sin 2 α = 1 (1 − cos 2α )
π y = 2 cos 2 x − − 1 4
(2008广东文 5.已知函数 f ( x) = (1 + cos 2 x) sin 2 x, x ∈ R, 广东文) 广东文 已知函数 则 f ( x ) 是( ) A.最小正周期为 π 的奇函数 最小正周期为 π B.最小正周期为 2 的奇函数 最小正周期为 C.最小正周期为 π 的偶函数 最小正周期为 π D.最小正周期为 2 的偶函数 最小正周期为 解析】 【解析】f ( x) = (1 + cos 2 x) sin 2 x = 2 cos 2 x sin 2 x = 1 sin 2 2 x = 1 (1 − cos 4 x ) , 4 2 选D.
2
cos α =
2
1 (1 + cos 2α ) 2
例 填空:
co s150 4 = ______; (1) tan150 + 0 sin15
3,1,3二倍角的正弦,余弦,正切公式
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式[知识探究]二倍角公式S(α+β)S2αC(α+β)C2α利用sin2α+cos2α=1T(α+β)T2α题型一化简求值【例1】求下列各式的值:(1)cosπ12cos5π12;(2)2cos2π12-1;(3)22tan1501tan150-.解:(1)原式=cosπ12sinπ12=12×2cosπ12sinπ12=12sinπ6=14.(2)原式=cos(2×π12)=cosπ6.(3)原式=tan 300°=tan(360°-60°)=-tan 60°题后反思 (1)同角三角函数关系式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等都可应用于三角函数式的化简.在应用时,应找到化简思路后再动手化简.(2)注意观察式子的特点及角之间的特殊关系,灵活运用二倍角公式解题,通过观察角度的关系,发现其特征(二倍角形式),创造条件正用或者逆用二倍角公式,使得问题得以解决.跟踪训练11:(2014公安一中、宜昌一中、沙市一中期末)在直角坐标系xOy 中,若角α的始边为x 轴的非负半轴,终边为射线l:y=2x(x≤0). (1)求tan 2α的值;(2)求22cos 2sin(π)127π)4ααα----的值.解:(1)在终边l 上取一点P(-1,-2),则tan α=21--=2, ∴tan 2α=22tan 1tan αα-=22212⨯-=-43.(2)22cos 2sin(π)127π)4ααα----=cos 2sin π)4ααα++ =cos 2sin cos sin αααα+-=12tan 1tan αα+-=51-=-5. 题型二 条件求值【例2】 (1)设α为锐角,若cos （α+π6）=45,则sin （2α+π12）的值为 .(2)已知sin （π4-x ）=513,0<x<π4,则cos 2πcos()4xx +的值为 . 解析:(1)∵α为锐角, ∴α+π6∈（π6,2π3）.又∵cos（α+π6）=45,∴sin（α+π6）=35,∴sin（2α+π3）=2sin（α+π6）cos（α+π6）=2425,cos（2α+π3）=2cos2（α+π6）-1=725∴α∈（0,π2）,∴sin（2α+π12）=sin[（2α+π3）-π4]=sin（2α+π3）cos π4-cos（2α+π3）sin π4=2425-725.(2)∵0<x<π4,∴0<π4-x<π4.又∵sin（π4-x）=513,∴cos（π4-x）=1213.∵cos 2x=sin（π2-2x）=2sin（π4-x）cos（π4-x）=2cos[π2-（π4-x）]cos（π4-x）=2cos（π4+x）cos（π4-x）,∴cos2πcos()4xx=2cos（π4-x）=2413.答案:(1)(2)2413题后反思 (1)解决给值求值问题的关键是找到已知角与未知角之间的关系并选择恰当的公式求解.(2)遇到角π4±x时可借助诱导公式进行转化求解.如①cos 2x=sin（π2-2x）=2sin（π4-x）cos（π4-x）;②cos 2x=sin （π2+2x ）=2sin （π4+x ）cos （π4+x ）; ③sin 2x=cos （π2-2x ）=2cos 2（π4-x ）-1; ④cos （π4-x ）=sin[π2-（π4-x ）]=sin （π4+x ）;⑤sin （π4-x ）=cos[π2-（π4-x ）]=cos （π4+x ）等. 跟踪训练21:(2014石家庄第一中学期末)已知tan （α+π4）=12,且-π2<α<0,则22sin sin 2πcos()4ααα+-= . 解析:tan （α+π4）=tan 11tan αα+-=12解得tan α=-13, ∵-π2<α<0,∴sin α=∴22sin sin 2πcos()4ααα+-2sin sin cos ααα+.答案 题型三 给值求角【例3】 已知tan(α-β)=12,tan β=-17,且α,β∈(0,π),求2α-β. 解:∵tan α=tan[(α-β)+β] =tan()tan 1tan()tan αββαββ-+--=112711127-⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=13>0,且α∈(0,π),且tan 2α=22tan 1tan αα-=2123113⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭=34. ∵tan β=-17<0,且β∈(0,π), ∴β∈（π2,π）,∴-π<α-β<0.∵tan(α-β)=12>0, ∴-π<α-β<-π2, ∴2α-β=α+(α-β)∈(-π,0). ∵tan(2α-β)=tan 2tan 1tan 2tan αβαβ-+=314731147⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭=1,∴2α-β=-3π4. 题后反思 解决给值求角问题的关键:根据角的取值范围及题目条件中函数名称选择求解一个适当的三角函数值.跟踪训练31:已知A 、B 均为钝角,且sin A=55,sin B=1010求A+B 的值. 解:∵A 、B 均为钝角且sin A=, ∴, , ∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B ×（）, ① 又∵π2<A<π,π2<B<π, ∴π<A+B<2π, ② 由①②得,A+B=7π4. 【自主练习】1. 已知sin 22α+sin 2αcos α-cos 2α=1,α∈（0,π2）.求sin α,tan α的值.解:由倍角公式,得sin 2α=2sin αcos α,cos2α=2cos2α-1,由原式得4sin 2αcos 2α+2sin αcos 2α-2cos2α=0,即2cos 2α(2sin 2α+sin α-1)=0⇔2cos 2α(2sin α-1)(sin α+1)=0.因为α∈（0,π2）,所以sin α+1≠0,cos 2α≠0.所以2sin α-1=0,即sin α=12.所以α=π6.所以2.已知α,β为锐角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin 2α-2sin 2β=0.求证α+2β=π2 .证明:由已知得3sin2α=cos 2β,①3sin 2α=2sin 2β.②①②,得tan α=cos2sin2ββ=πsin22πcos22ββ⎛⎫-⎪⎝⎭⎛⎫-⎪⎝⎭=tan（π2-2β）因为α,β为锐角,所以0<β<π2,则0<2β<π,则-π<-2β<0,所以-π2<π2-2β<π2,所以α=π2-2β,即α+2β=π2.3∈(0,π)).解:原式=︱sin2θ+cos2θ︱-︱sin2θ-cos2θ︱.∵θ∈(0,π),∴2θ∈（0,π2）. (1)当2θ∈（0,π4]时,cos 2θ≥sin 2θ>0,此时原式=sin2θ+cos2θ-cos2θ+sin2θ=2sin2θ.(2)当2θ∈（π4,π2）时,cos 2θ<sin 2θ, 此时原式=sin2θ+cos2θ-sin2θ+cos2θ=2cos2θ.4.已知sin α-∈(0,π),则sin 2α等于( A )(A)-1 (D) 1解析:∵sin α-∴(sin α-cos α)2=2, ∴sin 2α=-1,故选A.5.若cos （π4-θ）cos （π4+θ）（0<θ<π2）,则 sin 2θ的值为( B )(A)解析:cos （π4-θ）cos[π2-（π4-θ）]=,即cos （π4-θ）sin （π4-θ）,即12sin （π2-2θ）,∴cos 2θ=3. 又∵0<θ<π2, ∴0<2θ<π,∴sin 2θ. 故选B. 6.已知sin x=14,则cos 2x= . 解析:cos 2x=1-2sin 2x=1-2×（14）2=78. 答案:78课堂小结1.二倍角公式是两角和公式的特例.公式中的“倍角”是相对的.如“α是2的2倍,2α是α的2倍”. 2.二倍角的余弦公式有三个cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α,要注意根据条件选取合适的公式.。
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
正正
cos( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β ⇒ cos(α + α ) = cos α cos α − sin α sin α 2 2 ⇒cos 2α = cos α − sin α sin( α + β )= sin α cos β + cos α sin β ⇒ sin( α + α ) = sin α cos α + cos α sin α
，4 < α < 2 的值. 求 sin 4α， 4α， tan 4α 的值. cos 例1 已知
4 ABC中 例2 在△ABC中, cos A = , tan B = 2. 5
5 sin 2α = 13
π
π
求 tan(2A+2B) 的值 的值.
变式：把例2中求tan(2A+2B)的值改为求tan2C 的值.
总 结 归 纳
sin2α = 2sinα cosα 2 2 cos 2α = cos α − sin α
= 2 cos α − 1
2 2
= 1 − 2 sin α 2tanα tan 2α = 1− 1 − tan2 α
1、二倍角公式是和角公式的特例，体现将一般化归为特 殊的基本数学思想方法。 2、二倍角公式与和角、差角公式一样，反映的都是如何 用单角的三角函数值表示复角（和、差、倍）的三角函 数值，结合前面学习到的同角三角函数关系式和诱导公 式可以解决三角函数中有关的求值、化简和证明问题。
= 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α 2tanα kπ π α ≠ kπ + π (k ∈Z) ， α ≠ + ,且 tan 2α = 2 2 2 4 1 − tan α
高中数学：第三章 3.1 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 Word版含答案
两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式预习课本P132～134，思考并完成以下问题(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式是什么？公式如何推导？(2)S2α，C2α，T2α中角α的取值范围分别是什么？[新知初探]二倍角公式[点睛](1)二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如4α是2α的二倍，α是α2的二倍等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想．(2)对于S 2α和C 2α，α∈R ，但是在使用T 2α时，要保证分母1－tan 2α≠0且tan α有意义，即α≠k π＋π4且α≠k π－π4且α≠k π＋π2(k ∈Z)．当α＝k π＋π4及α＝k π－π4(k ∈Z)时，tan 2α的值不存在；当α＝k π＋π2(k ∈Z)时，tan α的值不存在，故不能用二倍角公式求tan 2α，此时可以利用诱导公式直接求tan 2α.(3)倍角公式的逆用更能开拓思路，我们要熟悉这组公式的逆用，如sin 3αcos 3α＝12sin6α.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( ) (3)对任意角α，总有tan 2α＝2tan α1－tan 2α.( )★答案★：(1)× (2)√ (3)×2．已知sin α＝35，cos α＝45，则sin 2α等于( )A.75 B.125 C.1225 D.2425★答案★：D3．计算cos 215°－sin 215°结果等于( ) A.12 B.22 C.33D.32 ★答案★：D 4．已知cos α＝－1213，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin 2α＝________，cos 2α＝________，tan 2α＝________.★答案★：120169 119169 120119[典例](1)sin π12cosπ12；(2)1－2sin2750°；(3)2tan 150°1－tan2150°；(4)cos 20°cos 40°cos 80°.[解](1)原式＝2sinπ12cosπ122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝1 2.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3.(4)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝1 8.此类题型(1)(2)(3)小题直接利用公式或逆用公式较为简单．而(4)小题通过观察角度的关系，发现其特征(二倍角形式)，逆用正弦二倍角公式，使得问题中可连用正弦二倍角公式，所以在解题过程中要注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活运用公式及其变形，从而使问题迎刃而解．[活学活用]求下列各式的值．(1)sin π8sin3π8；(2)cos215°－cos275°；(3)2cos25π12－1；(4)tan 30°1－tan230°.解：(1)∵sin 3π8＝sin⎝⎛⎭⎫π2－π8＝cosπ8，∴sin π8sin3π8＝sinπ8cosπ8＝12·2sinπ8cosπ8＝12sinπ4＝24.(2)∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°，∴cos215°－cos275°＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝3 2.(3)2cos25π12－1＝cos5π6＝－32.(4)tan 30°1－tan 230°＝12×2tan 30°1－tan 230°＝12tan 60°＝32.[典例] 化简：(1)11－tan θ－11＋tan θ；(2)2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α.[解] (1)原式＝(1＋tan θ)－(1－tan θ)(1－tan θ)(1＋tan θ)＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ.(2)原式＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π2－π4－α＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫2×π4－2α＝cos 2αcos 2α＝1.(1)化简三角函数式的常用方法：①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高次降低次． (2)化简三角函数式的常用技巧： ①特殊角的三角函数与特殊值的互化；②对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分；③对于二次根式，注意倍角公式的逆用； ④利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等；⑤利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin 2α＋cos 2α＝1等． [活学活用]化简：(1)1＋sin 20°＋1－sin 20°； (2)1＋sin 4α＋cos 4α1＋sin 4α－cos 4α. 解：(1)原式＝sin 210°＋cos 210°＋2sin 10°cos 10°＋ sin 210°＋cos 210°－2sin 10°cos 10° ＝(sin 10°＋cos 10°)2＋(sin 10°－cos 10°)2 ＝|sin 10°＋cos 10°|＋|sin 10°－cos 10°| ＝sin 10°＋cos 10°＋cos 10°－sin 10° ＝2cos 10°.(2)原式＝1＋2sin 2αcos 2α＋2cos 22α－11＋2sin 2αcos 2α＋2sin 22α－1＝2cos 22α＋2cos 2αsin 2α2sin 22α＋2sin 2αcos 2α＝2cos 2α(cos 2α＋sin 2α)2sin 2α(sin 2α＋cos 2α)＝1tan 2α.[典例] 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值． [解] ∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4.∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，∴3π2<α＋π4<7π4. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. ∴cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35＝－2425， sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725.∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝⎛⎭⎫－2425－725 ＝－31250.[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，求cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值．解：原式＝cos 2α－sin 2αsin π4cos α＋cos π4sin α＝2(cos α－sin α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝65. 2．[变条件，变设问]若本例条件变为：若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝35，求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的值．解：由sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝35， 得sin x cos π6－cos x sin π6＝35，两边平方，得12sin 2x ＋14－34sin 2x ＝925， ∴12·1－cos 2x 2＋14－34sin 2x ＝925， 即sin 2x ·32＋cos 2x ·12＝725，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝725.解决给值求值问题的方法给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．层级一 学业水平达标1．若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C.13D.23解析：选C 因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2 α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝13.2．化简tan 14°1－tan 214°·cos 28°的结果为( )A.sin 28°2B ．sin 28°C ．2sin 28°D ．sin 14°cos 28° 解析：选A tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12×2tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12tan 28°·cos 28°＝sin 28°2，故选A.3．已知α为第三象限角，且cos α＝－55，则tan 2α的值为( ) A ．－43B.43 C ．－34D ．－2解析：选A 由题意可得，sin α＝－1－cos 2 α＝－255，∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43，故选A.4．已知cos x ＝－14，x 为第二象限角，那么sin 2x ＝( )A ．－154B ．±158C ．－158D.158解析：选C 因为cos x ＝－14，x 为第二象限角，所以sin x ＝154，所以sin 2x ＝2sin x cosx ＝2×154×⎝⎛⎭⎫－14＝－158，故选C. 5．设sin α＝13，2π<α<3π，则sin α2＋cos α2＝( )A ．－233B.233C.43D ．－33解析：选A ∵sin α＝13，∴⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＝1＋sin α＝43. 又2π<α<3π，∴π<α2<3π2，∴sin α2＋cos α2＝－233.6．已知tan x ＝2，则tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝________. 解析：∵tan x ＝2， ∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x＝－43. tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x ＝34.★答案★：347．已知sin α－2cos α＝0，则sin 2α＝________. 解析：由sin α－2cos α＝0，得tan α＝sin αcos α＝2，则sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45.★答案★：458．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3，则sin 2θ－2cos 2θ＝________. 解析：由已知，得1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12.所以sin 2θ－2cos 2θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝2×12－2⎝⎛⎭⎫122＋1＝－45.★答案★：－459．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos α－23，－1，n ＝(sin α，1)，m 与n 为共线向量，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0. (1)求sin α＋cos α的值． (2)求sin 2αsin α－cos α的值．解：(1)因为m 与n 为共线向量， 所以⎝⎛⎭⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0， 即sin α＋cos α＝23. (2)因为1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2＝29，所以sin 2α＝－79，因为(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2， 所以(sin α－cos α)2＝2－⎝⎛⎭⎫232＝169. 又因为α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0， 所以sin α－cos α<0，sin α－cos α＝－43.因此，sin 2αsin α－cos α＝712.10．已知α，β均为锐角，且tan α＝7，cos β＝255，求α＋2β的值． 解：∵β为锐角，且cos β＝255，∴sin β＝55. ∴tan β＝12，tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43. ∴0<2β<π2，0<α＋2β<π，又tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝7＋431－7×43＝－1，∴α＋2β＝3π4. 层级二 应试能力达标1．已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α等于( ) A ．30°或60° B ．45° C ．60°D ．30°解析：选D 因为cos 2α＝1－2sin 2α，故由题意，知2sin 2α＋sin α－1＝0，即(sin α＋1)(2sin α－1)＝0.因为α为锐角，所以sin α＝12，所以α＝30°.2．若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，则cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α的值为( ) A.78 B ．－78C ．－47D.47解析：选A 因为cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，所以cos 2α－sin 2α22sin α＋22cos α＝12，所以cos α－sin α＝24， 平方得1－2cos αsin α＝18，所以sin 2α＝78，所以cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin 2α＝78.3．已知函数f (x )＝cos 2x －1cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2⎝⎛⎭⎫0<x ≤π3，则( )A ．函数f (x )的最大值为3，无最小值B ．函数f (x )的最小值为－3，最大值为0C ．函数f (x )的最大值为33，无最小值 D ．函数f (x )的最小值为－3，无最大值解析：选D 因为f (x )＝cos 2x －1cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos 2x －1sin 2x ＝－2sin 2x 2sin x cos x ＝－tan x,0<x ≤π3，所以函数f (x )的最小值为－3，无最大值，故选D. 4．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α的值是( ) A.79 B.13 C ．－13D ．－79解析：选D ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝79， ∴cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－79. 5．等腰三角形一个底角的余弦为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．解析：设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝23，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫232＝53.所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. ★答案★：4596．已知角α，β为锐角，且1－cos 2α＝sin αcos α，tan(β－α)＝13，则β＝________.解析：由1－cos 2α＝sin αcos α，得1－(1－2sin 2α)＝sin αcos α，即2sin 2α＝sin αcos α. ∵α为锐角，∴sin α≠0，∴2sin α＝cos α，即tan α＝12.法一：由tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan β tan α＝tan β－121＋12tan β＝13， 得tan β＝1.∵β为锐角，∴β＝π4.法二：tan β＝tan(β－α＋α)＝tan (β－α)＋tan α1－tan (β－α)tan α＝13＋121－13×12＝1.∵β为锐角，∴β＝π4.★答案★：π47．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R. (1)求f (π)的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求f (2α)的值． 解：(1)f (π)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－2cos π6＝－2×32＝－ 3. (2)因为f ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－2sin α＝65，所以sin α＝－35. 又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，故cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝45， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35×45＝－2425， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725. 所以f (2α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝2cos 2αcos π6＋2sin 2αsin π6＝2×725×32＋2×⎝⎛⎭⎫－2425×12＝73－2425.8．已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值； (2)求cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x )的值．解：(1)由sin x 2－2cos x2＝0，知cos x2≠0，∴tan x2＝2，∴tan x ＝2tanx 21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43. (2)由(1)，知tan x ＝－43，∴cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x )＝cos 2x－cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x (－sin x )＝cos 2x －sin 2x ⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x sin x＝(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )22(cos x －sin x )sin x＝2×cos x ＋sin xsin x＝2×1＋tan xtan x＝24.。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式互动课堂疏导引导1.二倍角公式(1)二倍角公式的正弦、余弦、正切公式sin2α=2sin αcos α,(S 2α)cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α,(C 2α)tan2α=αα2tan 1tan 2-,(T 2α) 这组公式要记准、记熟、用活.下面给出这组公式的推导:∵sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,当α=β时,有sin2α=2sin αcos α.∵cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,当α=β时,有cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1(sin 2α=1-cos 2α)=1-2sin 2α(cos 2α=1-sin 2α).∵tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+, 当α=β时,有tan2α=αα2tan 1tan 2-. 公式S 2α、C 2α中,α∈R ,公式T 2α中的α≠21k π+4π且α≠k π+2π (k∈Z ). 从上面的公式推导中可以看到二倍角公式是和角公式的特殊情况.(2)关于倍角公式应注意的几个问题:①推导思路:在正弦、余弦、正切的和角公式中,令两角相等,就得相应倍角公式.由此,倍角公式是和角公式的特例.②公式的适用范围:公式S 2α、C 2α中,角α可以为任意角,但公式T 2α只有当α≠2π+k π及α≠4π+2πk (k∈Z )时才成立,否则不成立.当α=2π+k π,k∈Z ,虽然tan α的值不存在,但tan2α的值是存在的,这时求tan2α的值可利用诱导公式.③对于“二倍角”要有广义理解,如4α是2α的2倍;α作为2α的2倍;2α作为4α的2倍;3α作为23α的2倍;3α作为6α的2倍等. 2.二倍角公式的变形(1)公式逆用2sin αcos α=sin2α,sin αcos α=21sin2α,cos α=ααsin 22sin 2,cos 2α-sin 2α=cos2α,αα2tan 1tan 2-=tan2α. (2)公式的逆向变换及有关变形1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2,1+cos2α=2cos 2α,1-cos2α=2sin 2α,cos 2α=22cos 1α+,sin 2α=22cos 1α-. 活学巧用1.已知sin α+cos α=31,且0＜α＜π,求sin2α、cos2α、tan2α的值. 解析:方法一:∵sin α+cos α=31,∴sin 2α+cos 2α+2sin αcos α=91.∴sin2α=98-且sin αcos α=94-＜0. ∵0＜α＜π,sin α＞0,∴cos α＜0.∴sin α-cos α＞0.∴sin α-cos α=3172sin 1)cos (sin 2=-=-ααα. ∴cos2α=cos 2α-sin 2α=(sin α+cos α)(cos α-sin α)=31×(-317)=917-. tan2α=171782cos 2sin =αα. 方法二:∵sin α+cos α=31,平方得sin αcos α=94-, ∴sin α、cos α可看成方程x 2-31x 94-=0的两根, 解方程x 2-31x 94-=0,得x 1=6171+,x 2=6171-.∵α∈(0,π),∴sin α＞0.∴sin α=6171+, cos α=6171-.∴sin2α=2sin αcos α=98-,cos2α=cos 2α-sin 2α=917-,tan2α=171782cos 2sin =αα. 答案:sin2α=98-,cos2α=917-,tan2α=17178. 2.已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若x∈［0, 2π］,求f(x)的最大值、最小值. 解析:f(x)=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x =cos2x-sin2x=2cos(2x+4π). (1)T=22π=π. (2)0≤x≤2π,0≤2x≤π,4π≤2x+4π≤45π,-1≤cos(2x+4π)≤22,∴-2≤2cos(2x+4π)≤1.∴f(x)max =1,f(x)min =-2.答案:(1)π;(2)f(x)max =1,f(x)min =-2.3.已知函数y=21cos 2x+23sinxcosx+1,x∈R .当函数y 取得最大值时,求自变量x 的集合. 解析:y=21cos 2x+23sinxcosx+1=41(2cos 2x-1)+41+43(2sinxcosx)+1 =21(cos2xsin 6π+sin2xcos 6π)+45=21sin(2x+6π)+45.y 取得最大值必须且只需2x+6π=2π+2k π,k∈Z ,即x=6π+k π,k∈Z .所以量x 的集合为{x|x=6π+k π,k∈Z }.。
课件11：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
所以原式成立．
归纳升华 三角函数式的化简与证明 1．化简三角函数式的要求：(1)能求出值的尽量求出； (2)使三角函数的种类与项数尽量少；(3)次数尽量低．
2．证明三角恒等式的方法：(2)从复杂的一边入手，证明一边 等于另一边；(2)比较法，左边—右边＝0，左 右边 边＝1；(3)分析 法，即从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．
(1)【解析】cos4 α2－sin4 α2＝
cos2
α2－sin2
α2cos2
α2＋sin2
α2＝cos α.
【答案】cos α
(2)解：原式＝cos 20°cos 40°cos 80°＝
2sin
20°cos 20°cos 40°cos 2sin 20°
80°＝
2sin
40°cos 4sin
40°cos 20°
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标 1.能由两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正 弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系(重点)． 2.灵活运用二倍角公式及其不同变形，能正用、逆用公 式，进一步体会化归思想的应用(重点、难点)．
知识提炼·梳理
三角函数
公式
简记
二倍角的正弦 sin 2α＝2sin αcos α S2α cos 2α＝cos2 α－sin2α＝
类型 3 化简与证明 典例 3 求证：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2A·cos 2B； (2)cos2θ(1－tan2θ)＝cos 2θ.
证明：(1)左边＝1＋cos（22A＋2B）＝1－cos（22A－2B）＝
cos（2A＋2B）＋2 cos（2A－2B）＝
1 2(cos°80°＝
3.1.3_二倍角的正弦、余弦、正切公式
基础梳理
一、二倍角的正弦、余弦、正切公式 在公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β 中，令 β＝α， 得到 sin 2α＝________，这就是二倍角的正弦公式； 在公式 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β 中，令 β＝α， 得到 cos 2α＝________，这就是二倍角的余弦公式， 其变形形式有：cos 2α＝________＝________；
利用二倍角公式化简与证明
2 2 已知tan2β ＝tan2α＋
cos 2α－2cos 2β＝1.
1 ： cos 2α－2c 已知 tan β＝tan α＋ 2 求证 .求证： cos α
分析：本题考查利用二倍角公式证明．首先要降 幂，然后才可以寻找到二倍角的形式，进而寻找到它 们的关系．
1 解析：∵1＋tan β＝1＋tan α＋ 2 ， cos α 1 2 ∴ 2 ＝ 2 ，∴cos2α＝2cos2β， cos β cos α 1＋cos 2α ∴ ＝1＋cos 2β， 2 ∴1＋cos 2α＝2＋2cos 2β， 即得 cos 2α－2cos 2β＝1.
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
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预 习 导 学
典 例 精 析
课 堂 导 练
课 堂 小 结
1．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公 式及其推导过程．
2．灵活运用二倍角公式及其不同变形，能正 用、逆用公式，进一步树立化归思想方法．
二、二倍角公式中应注意的问题 (1)对“二倍角”公式应该有广泛的理解． α α α 如 8α 是 4α 的二倍角，α 是 的二倍角， 是 的 2 3 6 α α α α 二倍角等等．又如 α＝2× ， ＝2× ，„， n 2 2 4 2 α ＝2× n＋1等等． 2 π (2)当 α＝kπ＋ ，(k∈Z)时，tan α 的值不存在， 2 这时求 tan 2α 的值可用诱导公式求得． π π (3)一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如 sin ≠2sin . 3 6
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
3.13 二倍角的正弦、余弦、正切公式知识点一 二倍角公式的推导sin2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；cos2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos 2α－sin 2α；tan2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α(α≠π2＋k π，2α≠π2＋k π，k ∈Z )． cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－(1－cos 2α)＝2cos 2α－1；cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(1－sin 2α)－sin 2α＝1－2sin 2α.知识点二 二倍角公式的变形1．公式的逆用2sin αcos α＝sin2α， sin αcos α＝12sin2α， cos 2α－sin 2α＝cos_2α， 2tan α1－tan 2α＝tan2α. 2．二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式升幂公式 1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α，1＋cos α＝2cos 2α2,1－cos α＝2sin 2α2.降幂公式 cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2.类型一 给角求值对于给角求值问题，一般有两类(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．1.cos 2π12－sin 2π12；2.1－tan 275°tan75°；3. 12－cos 2π84. sin15°sin75°5. cos20°cos40°cos80° 6．cos π7cos 3π7cos 5π77．sin 4π12－cos 4π12 8.3tan π81－tan 2π8类型二 给值求值(1)条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．(2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.1.已知cos x ＝34，则cos2x 等于( )2、若sin α－cos α＝13，则sin2α＝________.若改为sin α＋cos α＝13，求sin2α.3、若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α等于4、若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为( )5、已知α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6＝________.类型三 利用二倍角公式化简证明三角函数式化简、证明的常用技巧(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化．(2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分．(3)对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．(4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等．(5)利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin 2α＋cos 2α＝1等．1α为第三象限角，则1＋cos2αcos α－1－cos2αsin α＝________.2、1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ.3、4sin αcos α1＋cos2α·cos 2αcos 2α－sin 2α＝tan2α.。
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式【知识导航】1.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.灵活应用二倍角的正弦、余弦、正切公式解决有关的求值、化简、证明等问题.【知识梳理】【做一做1】已知sin α=3,cos α=4,则sin 2α等于 ()A.7B.12C.12D.24解析:sin2α=2sinαcosα=2425.答案:D【做一做2】已知cos α=13,则cos 2α等于()A.13B.23C.−79D.79解析:cos2α=2cos2α-1=2−1=−7.答案:C【做一做3】已知tan α=3,则tan 2α等于()A.6B.−34C.−38D.98解析:tan2α=2tanα1-tanα=2×31-32=−3.答案:B二倍角公式的变形公式剖析:(1)公式的逆用:2sinαcosα=sin2α;sinαcosα=1sin2α; cosα=sin2α;cos2α-sin2α=cos2α;2tanα1-tan2α=tan2α.(2)公式的有关变形:1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2;1+cos2α=2cos2α;1-cos2α=2sin2α.(3)升幂和降幂公式:升幂公式:1+sinα=sinα2+cosα22;1-sinα=sinα2-cosα22;1+cosα=2cos2α2;1−cosα=2sin2α2.降幂公式:cos2α=1+cos2α2;sin2α=1-cos2α2.【典例分析】题型一利用二倍角公式求值【例1】求下列各式的值:(1)co sπcos2π;(2)12−cos2π8;(3)ta nπ−1tanπ12.分析:第(1)题可根据2π5是π5的2倍构造二倍角的公式求值;第(2)(3)题需将所求的式子变形,逆用二倍角公式化简求值.解:(1)原式=2sinπ5cosπ5cos2π52sinπ5=sin2π5cos2π52sinπ5=sin4π54sinπ=sinπ54sinπ=14.(2)原式=1-2cos2π8=−2cos2π8-1=−12cosπ4=−24.(3)原式=tan2π12-1tanπ12=−2×1-tan2π122tanπ12=-2×1tanπ6=33=-2 3.【变式训练1】求下列各式的值:(1)si nπ12cos π12; (2)1-2sin 2750°; (3)1sin10°− 3cos10°. 解:(1)原式=2sin π12cos π122=sin π62=14.(2)原式=cos(2×750°)=cos1500° =cos(4×360°+60°)=cos60°=1.(3)原式=cos10°- 3sin10°=2 12cos10°- 32sin10°=4(sin30°cos10°-cos30°sin10°)=4sin20°=4.题型二知值求值【例2】已知si n π4-x =513,0<x <π4,求cos2xcos π4+x的值. 分析:注意角的关系 π4+x + π4-x =π2,注意诱导公式的应用cos2x=si n π2+2x ,利用倍角公式解题.解:原式=sin π2+2x cos π4+x=2sin π4+x cos π4+xcos π4+x=2si n π+x .∵si n π-x =cos π+x =5,且0<x <π,∴π+x ∈ π,π,sin π+x = 1-cos 2 π+x =12,∴原式=2×12=24.反思已知某角的三角函数值求值,要认真观察已知角与所求的和或差是特殊角或二倍角等,用诱导公式变形后,利用有关公式求值.【变式训练2】(1)已知si n α-π6 =35,且α是锐角,则sin 2α-π3 =__________,cos 2α-π3 =__________,tan 2α-π=__________;(2)若si n π+θ =30<θ<π,则cos 2θ=__________. 解析:(1)由题意知co s α-π6 =45,∴si n 2α-π3 =2sin α-π6 cos α-π6 =2425,cos 2α-π3 =725,tan 2α-π3 =247. (2)∵si n π4+θ =35,0<θ<π4,∴co s π4+θ =45.∴cos2θ=si n π+2θ =sin2 π+θ=2si n π+θ cos π+θ =2×3×4=24. 答案:(1)24724(2)24题型三化简与证明【例3】化简:(1 3tan10cos70° 1+cos40°(2)2cos 2α-12tan π4-α sin π4+α. 分析:先把切化弦,再结合三角函数公式求解。
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式知识梳理1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 【问题导思】在公式C (α＋β)，S (α＋β)，T (α＋β)中，若α＝β公式还成立吗？二倍角的正弦、余弦、正切公式2.正弦、余弦的二倍角公式的变形 (1)余弦的二倍角公式的变形(2)正弦的二倍角公式的变形sin αcos α＝ ， (sin α±cos α)2＝ ．知识点一 利用二倍角公式给角求值 例1 求下列各式的值：(1)cos π5cos 2π5；(2)2tan 150°1－tan 2150°变式 求下列各式的值．(1)cos 72°cos 36°； (2)1sin 50°＋3cos 50°.知识点二 利用二倍角公式给值求值 例2 已知sin(π4－x )＝513，0<x <π4，求cos 2cos 4xx π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．变式 在例题条件不变的情况下，求sin 2cos 4xx π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．知识点三 二倍角公式的综合应用 例3(1)化简：1＋cos 2θ－sin 2θ1－cos 2θ－sin 2θ；(2)化简：1＋sin 10°－1－sin 10°变式 化简下列各式．(1)π4＜α＜π2，则1－sin 2α＝________. (2)α为第三象限角，则1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝________.巩固练习1．12sin 15°cos 15°的值等于( ) A.14 B.18 C.116 D.12 2．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°－cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°－1D ．cos 215°＋sin 215°3．已知tan α＝12，则tan 2α＝__________.4．若tan(α＋π4)＝3＋22，求1－cos 2αsin 2α的值．知能检测一、选择题1．2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α＝( ) A ．tan 2α B ．tan α C ．1 D.122．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( )A ．－1B ．－12 C.12 D ．13．设sin(π4＋θ)＝13，则sin 2θ＝( )A ．－79B ．－19 C.19 D.794．设sin α＝35(π2＜α＜π)，tan(π－β)＝12，则tan(α－2β)＝( )A ．－247B ．－724 C.247 D.7245.2－2cos 8＋21－sin 8的化简结果是( )A ．2cos 4－4sin 4B ．2sin 4C ．2sin 4－4cos 4D ．－2sin 4二、填空题6．已知sin(π4－x )＝35，则sin 2x 的值等于________．7．在△ABC 中，已知cos 2C ＝－14，则sin C 的值为________．8．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22·sin 2x 的最小正周期是________．三、解答题9．求函数f (x )＝cos(x ＋23π)＋2cos 2x2，x ∈R 的值域；10．已知tan α＝3，α∈(π4，π2)，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．11．已知sin(π4＋α)sin(π4－α)＝16，且α∈(π2，π)，求sin 4α的值．答案例1 (1)原式＝2sin π5cos π5cos 2π52sin π5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝sin 4π54sin π5＝sinπ54sinπ5＝14.(2) 原式＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.变式 (1)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14.(2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2 12cos 50°＋32sin 50° 12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.例2∵0<x <π4，∴π4－x ∈(0，π4)．又∵sin(π4－x )＝513，∴cos(π4－x )＝1213.又cos 2x ＝sin(π2－2x )＝2sin(π4－x )cos(π4－x )＝2×513×1213＝120169，cos(π4＋x )＝sin[π2－(π4＋x )]＝sin(π4－x )＝513，∴原式＝120169513＝2413.变式 ∵x ∈(0，π4)，∴π4－x ∈(0，π4)．又∵sin(π4－x )＝513，∴cos(π4－x )＝1213.又sin 2x ＝cos(π2－2x )＝cos 2(π4－x )＝2cos 2(π4－x )－1＝119169．∴原式＝1191691213＝119156.例3(1) 1＋cos 2θ－sin 2θ1－cos 2θ－sin 2θ＝2cos 2θ－2sin θcos θ2sin 2θ－2sin θcos θ＝＝－1tan θ，∴原式＝－1tan θ. (2)1＋sin 10°－1－sin 10°＝1＋2sin 5°cos 5°－1－2sin 5°cos 5° ＝(cos 5°＋sin 5°)－(cos 5°－sin 5°)＝2sin 5°．∴原式＝2sin 5°.变式 (1)∵α∈(π4，π2)，∴sin α＞cos α，∴1－sin 2α＝1－2sin αcos α＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝ sin α－cos α 2＝sin α－cos α. (2)∵α为第三象限角，∴cos α＜0，sin α＜0， ∴1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝2cos 2αcos α－2sin 2αsin α＝－2cos αcos α－－2sin αsin α＝0.巩固练习1．B 2．B 3．434．由tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝3＋22，∴tan α＝22，∴1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝tan α＝22.知能检测一、选择题ABADA二、填空题6．725 7．104 8．π三、解答题9．f (x )＝cos x cos 23π－sin x sin 23π＋cos x ＋1＝－12cos x －32sin x ＋cos x ＋1＝12cos x －32sin x ＋1＝sin(x ＋5π6)＋1，因此f (x )的值域为[0,2]． 10．∵α∈(π4，π2)，tan α＝3，∴sin α＝31010，cos α＝1010.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×31010×1010＝35，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×110－1＝－45，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.11．因为(π4＋α)＋(π4－α)＝π2.所以sin(π4－α)＝cos(π4＋α)因为sin(π4＋α)sin(π4－α)＝16，所以2sin(π4＋α)·cos(π4＋α)＝13，即sin(π2＋2α)＝13.所以cos 2α＝13.又因为α∈(π2，π)，所以2α∈(π，2π)，所以sin 2α＝－1－cos 2 2α＝－223.所以sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝－429.。
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 4 2sin 2 cos 2 5 12 120 2 ( ) ; 13 13 169
cos 4 1 2sin 2 2 5 2 119 1 2 ( ) ; 13 169
tan 4 sin 4 120 169 120 ( ) . cos 4 169 119 119
2 4 , 5
8 D. 25
8 : 5得， cos
7 cos 2 cos 1 . 2 25
2.已知 cos
4 ,8 12, 求 sin , cos , tan 的值. 8 5 4 4 4 3 4 3 解：由 ， cos , 得sin = ， 8 2 8 5 8 5 3 4 24 sin =2sin cos =2 ）（ ） （ = , 4 8 8 5 5 25
2.公式的逆用 例3.求下列各式的值：
(1)sin15 cos15 ;(2) cos
2
8
sin
2
8
;
tan 22.5° (3) ;(4)2 cos 2 22.5° 1. 1 tan 2 22.5°
1 1 1 解：(1)sin15°cos15°= 2sin15°cos15°= sin 30° ; 2 2 4 2 (2) cos 2 sin 2 = cos(2 ) cos ; 8 8 8 4 2 1 2 tan 22.5° tan 22.5° 1 1 2 (3) tan 45° ; 1 tan 2 22.5° 1 tan 2 22.5° 2 2
tan B 2, 2 tan B 2 2 4 tan 2B . 2 2 1 tan B 1 2 3 tan 2A tan 2B tan(2A 2B) 1 tan 2A tan 2B 24 4 44 7 3 . 24 4 还可以把 2A 2B 1 ( ) 117 7 3
课件8：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
θ 2>0.
∴原式＝sin
θ2＋cos
θ2－cos
θ2－sin
2θ＝2sin
θ 2.
归纳点评 (1)三角函数中常用的解题技巧——“变次”．
本题用到了二倍角正弦和余弦的两个重要的变形：
1±sin α＝(sin
α 2±cos
α2)2，
1＋cos α＝2cos2α2，1－cos α＝2sin2α2.
(2)含有根号的式子化简，脱掉根号时要注意符号问题．
－cos π6＝－ 23.故选 C.
3．设 sin 2α＝－sin α，α∈2π，π，则 tan 2α 的值是_____． 【解析】∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，α∈2π，π， ∴cos α＝－12，sin α＝ 23.∴tan α＝－ 3，则 tan 2α＝ 12－tatannα2α＝ 3. 【答案】 3
17－15sin 2β≤4 2. 又当 β＝－π4时，等号成立，所以|b＋c|的最大值为 4 2.
(3)证明：由 tan αtan β＝16，得4scionsβα＝4scionsαβ， 所以 a∥b.
归纳点评 对向量的垂直，平等，模概念要清楚，记 忆防止混乱而出错．对三角函数的基本关系式应熟悉 掌握．
4．已知 sin π4＋xsin π4－x＝61，x∈π2，π，求 sin 4x， cos 4x，tan 4x 的值． 解：sin π4－x＝sin[π2－π4＋x]＝cos π4＋x， ∴2sin π4＋xcos π4＋x＝13， 即 sin 2π4＋x＝31，sin π2＋2x＝13，
∴cos 2x＝13.又 x∈π2，π，∴2x∈(π，2π)，
2α，sin2α＝1－c2os
2α .
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【情景激趣我爱读】 （1）查阅资料明确二倍角是两角和与差的三角函数的特殊情况。
（2）通过教材题目明确二倍角公式的应用。
【学习目标我预览】学习目标 实现地点1. 以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；.“基础知识我填充”→1、2、4；“基础题型我先练”→1,2；“典型例题我剖析”→典例2；“变式思维我迁移”→2；“方法技巧我感悟”→4；“易错问题我纠错”→1；“课后巩固我做主”→2、4、5、6、7、10、12、13、16、17.2二倍角的正弦、余弦、正切公式的变形，二倍角公式的简单应用；“基础知识我填充”→3、5；“基础题型我先练”→3、4；“典型例题我剖析”→典例1；“变式思维我迁移”→1；“方法技巧我感悟”→1、2、3；“课后巩固我做主”→1、3、5、8、9、11、14、15.【基础知识我填充】 1. 2sin_αcos _α.2 cos 2α－sin 2α; 2cos 2α－1; 1－2sin 2α. 3. 2tan α1－tan 2α 4. 12sin2α 5. 1－cos2α2，1＋cos2α2，2cos 2α2，2sin 2α2(sin α±cos α)2.【基础题型我先练】【典型例题我剖析】 典例1：我的基本思路：注意到2)4()4(παπαπ=-++，则)4cos()4sin(απαπ+=-，逆用二倍角的正弦公式可将已知条件化简，进而求出α2tan 的值，再由倍角公式求α4tan 的值。
【变式思维我迁移】1.我的基本思路：本题考查倍角公式及其应用．(1)利用平方差公式之后，再逆用倍角公式；(2)提取系数－12后产生倍角公式的形式；(3)需提取系数我的解题过程：)4cos()]4(2sin[)4sin(απαππαπ+=+-=-，则已知条件可化为61)4cos()4sin(=++απαπ，即61)4(2sin 21=+απ，则31)22sin(=+απ，即312cos =α，因为),2(ππα∈，所以)2,(2ππα∈，从而3222cos 12sin 2-=--=αα， 则724)22(1242tan 12tan 24tan 22-=---=-=ααα.我的感悟点评：本题也可以用两角和与差的正弦公式将等式左边展开，得61)sin 4(cos )sin 4(sin22=-απαπ，即61)sin (cos 2122=-αα，从而得312cos =α. 典例2：我的基本思路：已知一个角(π4－x)的三角函数值，求三角函数值的问题．可以将所求式子化简，使其出现(π4－x)这个角的三角函数．我的解题过程：sin 2x －2sin 2x 1＋tan x ＝2sin x cos x －sin xcos xcos x ＋sin x＝sin 2x cos x －sin xcos x ＋sin x＝sin 2x 1－tan x 1＋tan x ＝sin 2xtan(π4－x)＝cos(π2－2x)tan(π4－x) ＝[2cos 2(π4－x)－1]tan(π4－x)，∵5π4＜x ＜7π4，∴－3π2＜π4－x ＜－π.又∵cos(π4－x)＝－45，∴sin(π4－x)＝35，tan(π4－x)＝－34. ∴原式＝(2×1625－1)×(－34)＝－21100.23.我的解题过程：(1)(cos π12－sinπ12)(cos π12＋sin π12)＝cos 2π12－sin2π12＝cos π6＝32. (2)12－cos 2π8＝－12(2cos 2π8－1)＝－12cos π4＝－24. (3)－23＋43cos 215°＝23(2cos 215°－1)＝23cos 30°＝33. 我的感悟点评：根据三角函数式的特征，经过适当变形，进而利用公式，获得三角函数式的值，在变形中一定要整体考虑式子的特征．2.我的基本思路：解本题关键在于使被开方式变为完全平方式，以便脱掉根号，由于原式为算术根，因而去根号时，要注意符号的选取． 我的解题过程：原式＝sin 2θ2＋cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2－sin2θ2＋cos 2θ2－2sin θ2cos θ2 ＝sin θ2＋cos θ22－sin θ2－cosθ22＝|sin θ2＋cos θ2|－|sin θ2－cos θ2|.(1)当θ∈(0，π2]时，θ2∈(0，π4]，cos θ2≥sin θ2，此时原式＝sinθ2＋cos θ2－cos θ2＋sin θ2＝2sinθ2. (2)当θ∈(π2，π)时，θ2∈(π4，π2)，cos θ2＜sin θ2，此时原式＝sin θ2＋cos θ2－sin θ2＋cos θ2＝2cos θ2.我的感悟点评：化简三角函数式要根据函数式的结构特点来确定方法，一般情况下，无理式应化为有理式，分式应化为整式，能求出具体值时，一定要求出数值来，本题就是依据θ的范围进行分类讨论来去掉绝对值符号的．由βαβα,,3371tan ,3331tan <=<=均为锐角， 得60πα<<∴，60πβ<<∴，.220πβα<+<∴又43tan 1tan 22tan 2=-=ααα.1tan 2tan 1tan 2tan )2tan(=⋅-+=+βαβαβα所以，2βα+＝.4π)(2Z k k ∈+=ππα时，显然αtan 的值不存在，但α2tan 的值是存在的，这时求α2tan 的值可直接利用诱导公式，即)2(2tan 2tan ππα+=k .0tan )2tan(==+=πππk2. （１）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题．这两个公式叫做万能公式，不要求记忆，但记住S 2α、C 2α与tan α之间的关系，会使解题过程更加简捷．【课后巩固我做主】 A 级1. ★答案★：B∵2sin 3α=，∴21cos(2)cos 2(12sin )9πααα-=-=--=-2.★答案★：A解析：∵cos α＋sin α＝－13＜0，∴α∈(34π，π)，又(s in α＋cos α)2＝1＋2sinαcos α＝19，∴2sin αcos α＝－89，B 级8★答案★：C 解析：∵sin α2＞0，cos α2＜0，∴α2是第二象限角，∴2kπ＋π2＜α2＜2kπ＋π，k∈Z，∴4kπ＋π＜α＜4kπ＋2π，k∈Z， 又∵cos α＝cos2α2－sin 2α2＝925－1625＝－725＜0， ∴α在第三象限．故选C. 9.★答案★：B 解析：cos 2α＝2cos 2α－1＝－725，故选B.∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝173，∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝179，故选A.3.★答案★：A 解析：∵θ∈(0，π)，且sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425＜0，∴θ∈(π2，π)，∴cos θ－sin θ<0.∴cos θ－sin θ＝－cos θ－sin θ2＝－1－2cos θsin θ＝－75.故选A.4.★答案★：C 解析：先化简θθ44cos sin +为（.cos sin 2)cos sin 22222θθθθ-+即为.)cos (sin 212θθ-然后用倍角公式：.22sin cos sin θθθ=⋅用532cos =θ可得2516)2(sin 2=θ ∴原7.解：(1)cos36°cos72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14.(2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°10.★答案★：B 解析：由题意得2tan θ1－tan 2θ＝－22， 解得tan θ＝－22或tan θ＝ 2. 又π＜2θ＜2π，则π2＜θ＜π，所以有tan θ＝－22.故选B.11.★答案★：D 解析：因为y ＝(sin x ＋cos x)2－1＝2sinxcos x ＝sin 2x ，所以是最小正周期为π的奇函数．故选D.12.★答案★：B 解析：因为y ＝2cos 2x ＝1＋cos 2x ，所以函数在(π2，π)上单调递增．故选B.13.★答案★：B 解析：f(x)＝cos 2(π4＋x)－cos 2(π4－x)＝cos 2(π4＋x)－sin 2(π4＋x)＝cos 2(π4＋x)＝cos(π2＋2x)＝－sin 2x ，则f(π12)＝－sin π6＝－12，故选B.14.★答案★：A 解析：y ＝(sin x ＋cos x)(cos x －sin x)＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x ，又图象向左平移π4个单位得到y＝g(x)＝cos 2(x ＋π4)＝－sin 2x ，∴y＝g(x)的图象关于原点对称．故选A.15.★答案★：－3.解析：原式＝log 2(sin 7π8sin 3π8)＝log2(cos 3π8sin 3π8)＝log2(12sin 3π4)＝log 224＝log 2(2)－3＝－3.16.解：原式＝sinπ2＋2x cos π4＋x＝＝212cos 50°＋32sin 50°12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.2sinπ4＋x cosπ4＋xcosπ4＋x＝2sin(π4＋x)．∵sin(π4－x)＝cos(π4＋x)＝513，且0＜x＜π4，∴π4＋x∈(π4，π2)，∴sin(π4＋x)＝1－cos2π4＋x＝1213，∴原式＝2×1213＝2413.17. 解：f(x)＝53cos2x＋3sin2x－2sin 2x＝53×1＋cos 2x2＋3×1－cos 2x2－2sin 2x＝33－2sin 2x＋23cos 2x＝33－4sin(2x－π3)，∵π4≤x≤7π24，∴π6≤2x－π3≤π4.∴sin(2x－π3)∈[12，22]．∴当2x－π3＝π4，即x＝7π24时，f(x)的最小值为33－2 2.∵y＝sin(2x－π3)在[π4，7π24]上是单调递增的，∴f(x)在[π4，7π24]上单调递减．。