【数学】江苏省横山桥高中2012-2013学年高一下学期期中

横山桥高中2012-2013学年度第二学期期中考试试卷
高一 数学
一．填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）
1. 函数()f x =的定义域是 ．
2. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b = ．
3. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33S =，624S =，则9a = ．
4. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠= .
5. 已知数列{}n a 的前n 项和为25n S n kn =+（其中*
n N ∈），且218a =，则k = ．
6. 边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ．
7. 在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 ．
8. 若实数x 、y 满足2x y +=，则33x y z =+的最小值是 ．
9. 在等腰△ABC 中，已知sin :sin 1:2A B =，底边10BC =，则△ABC 的周长是 .
10. 数列}{n a 中，n
n a n ++=11（其中*n N ∈），若其前n 项和9=n S ，则n = .
11. 函数2()lg(4)f x ax ax =-+的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 .
12. 函数2
()f x =的最小值是 .
13. 把一根长为l cm 的木条锯成两段，分别作为钝角三角形ABC 的两边AB 和BC ，且0120ABC ∠=，则边AC 的最小值是 .
14. 已知等差数列12lg ,lg ,,lg n x x x 的第r 项为s ，第s 项为r （0r s <<），则12n x x x +++= ．
二．解答题（本大题共6小题，共58分）
15. （本小题共8分）
设数列{}n a （其中*n N ∈）是公差不为0的等差数列，n S 为其前n 项和，数列{}n b 为等比数列且112a b ==，225S b =，4325S b =.求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式n a 及n b .
16. （本小题共8分）
已知2{|230}A x x x =--<，2{|560}B x x x =-+>，求（1）A B ；（2）若不等式20x ax b ++<的解集是A B ，求20ax x b +-<的解集.
17. （本小题共10分）
如图，为了计算某湖岸边两景点B 与C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上A 和D 两个测量点，现测得AD ⊥CD ，AD=10km ，AB=14km ，∠BDA=60°，∠BCD=135°，求两景点B 与C 之间的距离（假设A 、B 、C 、D 在同一平面内，测量结
果精确到0.1km ，参考数据：
2.236===）
18. （本小题共10分）
数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+（其中*
n N ∈）．
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设332n n n b a -=⋅，求数列{}n b 的前n 项的和.
19. （本小题共10分）
在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos 3cos cos b C a B c B ⋅=⋅-⋅.
（1）求cos B 的值；（2）若△ABC 的面积是b =a 与边c 的值.
20. （本小题共12分）
已知等差数列{}n a 的首项a 1＝1，公差d ＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列{}n c 的第二项、第三项、第四项．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设1(3)n n b n a =+，12n n S b b b =+++，求n S ；
（3）对于（2）中的n S 是否存在实数t ，使得对任意的*n N ∈均有：8(17)n n S t a ≤+成
立？若存在，求出t 的范围，若不存在，请说明理由．
2012-2013学年度第二学期期中考试答案与评分标准
高一 数学
一．填空题(本大题共14小题，每小题3分，共42分)
1. {|22}x x -≤≤
2. 3.15 4.0120 5. 3
6. 0120
7. 216
8. 6
9. 50 10. 99 11.016a ≤<
12.5
13.2l 14.101(1)910r s n +- 二．解答题（本大题共6小题，共58分）
15.（本小题共8分）
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q
由2243525S b S b =⎧⎨=⎩，得：24104325d q d q
+=⋅⎧⎨+=⋅⎩…………………………………2分 消d ，得：2253080q q -+=，解之得：2455q q =
=或…………………………2分 因为d 0≠，得：4,45
q d ==……………………………………2分 所以，42n a n =-，142()5
n n b -=⋅………………………………2分 16.（本小题共8分）
解：（1）由题意得：{|13}A x x =-<<，{|23}B x x x =<>或………………………2分 得：{|12}A B x x =-<<…………………………2分
（2）由题意得：-1，2是方程20x ax b ++=的两根
所以1212a b -+=-⎧⎨-⋅=⎩
，解之得12a b =-⎧⎨=-⎩……………………………2分 所以220x x -++<，其解集为{|12}x x x <->或……………………2分
17.（本小题共10分）
解：设BD x =，在△ABD 中 由余弦定理得：2222cos BA BD AD BD AD BDA =+-⋅∠
整理得：2
10960x x --=，解得：16x =………………………………5分 由正弦定理，得：
sin sin BC BD CDB BCD
=∠∠
，得：11.3BC =≈ 答：两景点B 与C 之间的距离约为11.3km . ………………………………5分 18.（本小题共10分）
解：（1）①当1n =时，13a =
②当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+
综上：21n a n =+……………………………………4分
（2）由题意得：33(21)2n n b n -=+⋅，
经计算，得其前n 项的和(145)8549
n n n T +⋅-=…………………………………6分 19.（本小题共10分）
解：（1）由题意得：sin cos 3sin cos sin cos B C A B C B ⋅=⋅-⋅…………………………2分
所以sin 3sin cos A A B =⋅（sin 0A ≠），得：1cos 3
B =.………………………2分
（2）由1cos 3B =，得：sin 3
B = 由面积公式及余弦定理，得：22612
ac a c =⎧⎨+=⎩………………………4分
解之得：a c ==2分
20.（本小题共12分）
解：（1）由题意得：1,14,113d d d +++成等比数列，所以2
(14)(1)(113)d d d +=+⋅+
解之得：2d =，则21n a n =-……………………………3分 （2）11(1)21
n S n =
-+……………………………3分 （3）由题意得：任意的*n N ∈，14(1)(216)1t n n -≤++恒成立 即：2(1)(8)
n t n n ≥++恒成立……………………1分 可求得：当3n =时，2(1)(8)
n n n ++取得最大值322，则322t ≥.……………………5分。