新课标2017春高中数学第1章解三角形1.2应用举例第1课时距离问题课时作业新人教A版必修5
(新课标)高中数学 第1章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 第2课时 余弦定理课时作业 新人教
2课时余弦定理课时作业新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（新课标）2017春高中数学第1章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理第2课时余弦定理课时作业新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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余弦定理课时作业新人教A版必修5基础巩固一、选择题1．在△ABC中，∠ABC＝错误!，AB＝错误!，BC＝3，则sin∠BAC＝错误!（ C )A．错误!B．错误!C．错误!D．错误![解析]由余弦定理,得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC·cos错误!＝2＋9－2×错误!×3×错误!＝5.∴AC＝错误!.由正弦定理,得错误!＝错误!，∴sin A＝错误!＝错误!＝错误!.2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)·tan B＝错误!ac，则角B的值为错误!（ D ）A．错误!B．错误!C．π6或错误!D．错误!或错误!［解析]依题意得，错误!·tan B＝错误!，∴sin B＝错误!，∴B＝错误!或B＝错误!,选D．3．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为错误!( D ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析］设等腰三角形的底边边长为x,则两腰长为2x（如图），由余弦定理得cos A＝错误!＝错误!，故选D．4．在△ABC中，若a〈b<c,且c2〈a2＋b2,则△ABC为错误!( B ）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不存在[解析]∵c2〈a2＋b2，∴∠C为锐角．∵a〈b<c，∴∠C为最大角，∴△ABC为锐角三角形．5．(2016·山东文，8)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝错误!（ C )A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析］由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝2b2－2b2cos A，所以2b2(1－sin A）＝2b2（1－cos A），所以sin A＝cos A，即tan A＝1,又0<A<π，所以A＝错误!.6．在△ABC中，若AB＝错误!－1，BC＝错误!＋1，AC＝错误!，则B的度数为错误!（ C ) A．30°B．45°C．60°D．120°［解析]∵cos B＝错误!＝错误!＝错误!，∴B＝60°.二、填空题7．（2015·天津理，13)在△ABC中，内角A,B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为315 ，b－c＝2,cos A＝－错误!，则a的值为__8__。
高中数学 第一章 解三角形 1.2 解三角形的实际应用举例—距离问题同步测试(含解析)新人教A版必修
高中数学第一章解三角形1.2 解三角形的实际应用举例—距离问题同步测试（含解析）新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章解三角形1.2 解三角形的实际应用举例—距离问题同步测试（含解析）新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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《解三角形的实际应用举例—距离问题》同步测试一、课前练习：1、为测一河两岸相对两电线杆BA,间的距离，在距A点15米的C处(AC⊥AB）测得∠=50°，则BACBA,间的距离应为（）A．15︒tan米D．15︒50cot米5050cos米 C．15︒sin米 B．15︒502、已知有长为100米的斜坡AB，它的坡角是45°，现把它改成坡角是30°的斜坡AD，则DB的长是__________米。
3、如图，某船向东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30°，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离（结果不取近似值）二、课堂练习：1.一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是（）A．214海里 C．7海里D．14海里7海里B．22．我舰在敌岛A南50°西相距12nmile的B处，发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以10nmile/h的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰,则需要速度的大小为3. 隔河可看到两目标BC,两点，并测得A,，但不能到达，在岸边选取相距3km的D∠30ADC,︒=ADB，（D∠45=∠45=BCD，︒∠75︒ACB，︒=,,在BCA,同一平面内)，求两目标BA,之间的距离。
(新课标)高中数学第1章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课时作业新人教B版必修5
2017春高中数学 第1章 解三角形 1。
1 正弦定理和余弦定理 第1课时 正弦定理 课时作业 新人教B 版必修5基 础 巩 固一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝3，∠A ＝45°,∠C ＝75°,则BC 等于错误!（ A )A ．3－ 3B ． 2C ．2D ．3＋错误!［解析］ 由正弦定理，得错误!＝错误!，即错误!＝错误!，∴BC ＝错误!＝错误!＝3－错误!.2．已知△ABC 的三个内角之比为A ︰B ︰C ＝3︰2︰1,那么对应的三边之比a ︰b ︰c 等于错误!（ D )A ．3︰2︰1B ．错误!︰2︰1C ．错误!︰错误!︰1D ．2︰错误!︰1 ［解析］ ∵⎩⎨⎧ A ︰B ︰C ＝3︰2︰1A ＋B ＋C ＝180°，∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°.∴a ︰b ︰c ＝sin A ︰sin B ︰sin C ＝1︰错误!︰错误!＝2︰错误!︰1。
3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝错误!，则sin B ＝错误!( B ）A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．1 ［解析］ 由正弦定理，得a sin A ＝错误!，∴错误!＝错误!，即sin B ＝错误!，选B ．4．在△ABC 中,三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若错误!＝错误!，则角B 的大小为错误!( B )A ．错误!B ．错误!C．错误!D．错误!［解析]由错误!＝错误!及错误!＝错误!，可得sin B＝cos B，又0<B<π,∴B＝错误!。
5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m＝(3，－1）,n＝(cos A,sin A），若m⊥n,且a cos B＋b cos A＝c sin C，则角A、B的大小分别为错误!（ C ）A．错误!，错误!B．错误!，错误!C．π3，错误!D．错误!，错误![解析]∵m⊥n,∴错误!cos A－sin A＝0,∴tan A＝错误!,则A＝错误!。
高中数学第一章解三角形1.2应用举例第1课时距离问题练习(含解析)新人教A版必修5(最新整理)
高中数学第一章解三角形1.2 应用举例第1课时距离问题练习（含解析）新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章解三角形1.2 应用举例第1课时距离问题练习（含解析）新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第一章解三角形1。
2 应用举例第1课时距离问题A级基础巩固一、选择题1．有一长为1公里的斜坡,它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改成10°，则斜坡长为（）A．1 B．2sin 10°C．2cos 10°D．cos 20°解析：原来的斜坡、覆盖的地平线及新的斜坡构成等腰三角形，这个等腰三角形的底边长就是所求．答案：C2.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5错误! m，起吊的货物与岸的距离AD为( ）A．30 m B.错误!错误! mC．15 3 m D．45 m解析：在△ABC中，cos ∠ABC＝错误!＝错误!，∠ABC∈（0°，180°），所以sin∠ABC＝错误!＝错误!,所以在Rt△ABD中，AD＝AB·sin∠ABC＝519×错误!＝错误!错误! (m)．答案：B3．甲骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是( ）A．6 km B．3 3 km C．3 2 km D．3 km解析：由题意知，AB＝24×错误!＝6 （km），∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°。
春高中数学第1章解三角形1.2应用举例第1课时距离问题课时作业新人教B版必修5
2017春高中数学 第1章 解三角形 1.2 应用举例 第1课时 距离问题课时作业 新人教B 版必修5基 础 巩 固一、选择题1．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是导学号 27542109( D )A ．10 3 n mileB ．10 6 n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile[解析] 如图，由正弦定理，得 BCsin60°＝10sin45°，∴BC ＝5 6.2．某人向正东方向走x km 后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好 3 km ，那么x 的值为导学号 27542110( C )A ． 3B ．2 3C ．23或 3D ．3[解析] 由题意画出三角形如图．则∠ABC ＝30°，由余弦定理，得cos30°＝x 2＋9－36x，∴x ＝23或 3.3．两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为导学号 27542111( B )A ．a kmB ．3a kmC ．2a kmD ．2a km[解析] ∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝a ，由余弦定理可得AB ＝3a (km)．4．有一长为10 m 的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸导学号 27542112( C )A ．5 mB ．10 mC ．10 2 mD ．10 3 m[解析] 如图，在△ABC 中，由正弦定理，得x sin45°＝10sin30°，∴x ＝10 2 m.5．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距导学号 27542113( D )A ．10 3 mB ．100 3 mC ．20 3 mD ．30 m[解析] 设炮台顶部为A ，两条船分别为B 、C ，炮台底部为D ，可知∠BAD ＝45°，∠CAD ＝60°，∠BDC ＝30°，AD ＝30.分别在Rt △ADB 、Rt △ADC 中，求得BD ＝30，DC ＝30 3.在△DBC 中，由余弦定理，得BC 2＝DB 2＋DC 2－2DB ·DC cos30°，解得BC ＝30.6．海上的A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 岛与C 岛之间的距离是导学号 27542114( D )A ．10 3 n mileB ．1063n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile[解析] 在△ABC 中，C ＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理，得BCsin 60°＝10sin 45°，解得BC ＝5 6 n mile.二、填空题7．两船同时从A 港出发，甲船以每小时20 n mile 的速度向北偏东80°的方向航行，乙船以每小时12 n mile 的速度向北偏西40°方向航行，一小时后，两船相距28n mile. 导学号 27542115[解析] 如图，△ABC 中，AB ＝20，AC ＝12，∠CAB ＝40°＋80°＝120°，由余弦定理，得BC 2＝202＋122－2×20×12·cos120°＝784，∴BC ＝28(n mile)． 8．湖中有一小岛，沿湖有一条南北方向的公路，在这条公路上的一辆汽车上测得小岛在南偏西15°方向，汽车向南行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°方向，则小岛到公路的距离是36km.导学号 27542116 [解析] 如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°， ∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1 km.由正弦定理BCsin ∠CAB＝ABsin ∠ACB，得BC ＝sin15°sin60°＝6－223(km)．设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC sin75°＝6－223×6＋24＝36(km)． 三、解答题9．如图，甲船以每小时30 2 n mile 的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20 n mile.当甲船航行20 min 到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距10 2 n mile ，问乙船每小时航行多少n mile ？导学号 27542117[解析] 解法一：如图，连接A 1B 2，由已知，A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2，又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形， ∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2. 由已知，A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°， 由△A 1B 2B 1中，由余弦定理，得B 1B 22＝A 1B 22＋A 1B 21－2A 1B 1·A 1B 2·cos45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200. ∴B 1B 2＝10 2.∴乙船的速度的大小为10220×60＝302n mile/h.答：乙船每小时航行30 2 n mile. 解法二：如图，连接A 2B 1.由已知，A 1B 1＝20，A 1A 2＝302×2060＝102，∠B 1A 1A 2＝105°，cos105°＝cos(45°＋60°) ＝cos45°cos60°－sin45°sin60°＝2－34.sin105°＝sin(45°＋60°) ＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝2＋34.在△A 2A 1B 1中，由余弦定理，得A 2B 21＝A 1B 21＋A 1A 22－2A 1B 1·A 1A 2·cos105°＝(102)2＋202－2×102×20×2－34＝100(4＋23)． ∴A 2B 1＝10(1＋3)． 由正弦定理，得sin ∠A 1A 2B 1＝A 1B 1A 2B 1·sin∠B 1A 1A 2 ＝20101＋3×21＋34＝22， ∴∠A 1A 2B 1＝45°，即∠B 1A 2B 2＝60°－45°＝15°， cos15°＝sin105°＝21＋34.在△B 1A 2B 2中，由已知，A 2B 2＝102，由余弦定理，得B 1B 22＝A 2B 21＋A 2B 22－2A 2B 1·A 2B 2·cos15° ＝102(1＋3)2＋(102)2－2×10(1＋3)×102×21＋34＝200.∴B 1B 2＝102，∴乙船速度的大小为10220×60＝30 2 n mile/h ，答：乙船每小时航行30 2 n mile.能 力 提 升一、选择题1．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20 n mile ，随后货轮按北偏西30°的方向航行30 min 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为导学号 27542118( B )A ．20(2＋6) n mile/hB ．20(6－2) n mile/hC ．20(6＋3) n mile/hD ．20(6－3) n mile/h[解析] 由题意可知∠NMS ＝45°，∠MNS ＝105°， 则∠MSN ＝180°－105°－45°＝30°.而MS ＝20，在△MNS 中，由正弦定理，得MN sin30°＝MSsin105°，∴MN ＝20sin30°sin105°＝10＋＝10sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝106＋24＝10(6－2)． ∴货轮的速度为10(6－2)÷12＝20(6－2)n mile/h.2．如图，一艘海轮从A 处出发，以每小时40 n mile 的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30 min 后到达B 处．C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C 两点间的距离是导学号 27542119( A )A ．10 2 n mileB ．10 3 n mileC ．20 3 n mileD ．20 2 n mile[解析] 由题目条件，知AB ＝20 n mile ，∠CAB ＝30°，∠ABC ＝105°，所以∠ACB ＝45°.由正弦定理，得20sin45°＝BC sin 30°，所以BC ＝10 2 n mile ，故选A ．二、填空题3．甲船在岛A 的正南B 处，以4 km/h 的速度向正北航行，AB ＝10 km ，同时乙船自岛A 出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为1507min.导学号 27542120[解析] 如图，当两船航行t h 时，甲船到D 处，乙船到C 处，则AD ＝10－4t ，AC ＝6t ，∠CAD ＝120°，若AD ′＝4t －10，AC ＝6t ，∠CAD ′＝60°，所以CD 2＝(6t )2＋(10－4t )2－2×6t ×(10－4t )×(－12)＝28t 2－20t ＋100，∴当t ＝514h 时，CD 2最小，即两船最近，t ＝514h ＝1507min. 4．一船以24 km/h 的速度向正北方向航行，在点A 处望见灯塔S 在船的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B 时与灯塔S 的距离是5.2 km.(精确到0.1 km)导学号 27542121[解析] 作出示意图如图．由题意知，则AB ＝24×1560＝6，∠ASB ＝35°，由正弦定理，得6sin35°＝BSsin30°，可得BS ≈5.2 km. 三、解答题5．碧波万顷的大海上，“蓝天号”渔轮在A 处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20 n mile 的B 处．现在“白云号”以每小时10 n mile 的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8n mile 的速度由A 处向南偏西60°方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近.导学号 27542122[解析] 如右图，设经过t h ，“蓝天号”渔轮行驶到C 处，“白云号”货轮行驶到D处，此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为CD ．则根据题意，知在△ACD 中，AC ＝8t ，AD ＝20－10t ，∠CAD ＝60°.由余弦定理，得CD 2＝AC 2＋AD 2－2×AC ×AD cos60°＝(8t )2＋(20－10t )2－2×8t ×(20－10t )×cos60° ＝244t 2－560t ＋400＝244(t －7061)2＋400－244×(7061)2，∴当t ＝7061时，CD 2取得最小值，即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．答：经过7061h 后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．6．已知海岛B 在海岛A 的北偏东45°方向上，A 、B 相距10 n mile ，小船甲从海岛B 以2海里/小时的速度沿直线向海岛A 移动，同时小船乙从海岛A 出发沿北偏西15°方向也以2 n mile/ h 的速度移动.导学号 27542123(1)经过1 h 后，甲、乙两小船相距多少海里？(2)在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由．[解析] (1)经过1 h 后，甲船到达M 点，乙船到达N 点，AM ＝10－2＝8，AN ＝2，∠MAN ＝60°，所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2AM ·AN cos60°＝64＋4－2×8×2×12＝52.所以MN ＝213.所以经过1 h 后，甲、乙两小船相距213 n mile.(2)设经过t (0<t <5)小时小船甲处于小船乙的正东方向，则甲船与A 距离为AE ＝(10－2t )n mile ，乙船与A 距离为AF ＝2t n mile ，∠EAF ＝60°，∠EFA ＝75°，则由正弦定理，得AF sin45°＝AEsin75°，即2t sin45°＝10－2tsin75°，则t ＝10sin45°2sin75°＋2sin45°＝103＋3＝－33<5. 答：经过－33小时小船甲处于小船乙的正东方向． 7.如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一从A 沿直线步行到C ，另一种是从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C 、假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？导学号 27542124[解析] (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )] ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B，得AB ＝ACsin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)． 所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t ) m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537 min 时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500 (m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550 m ，还需走710 m 才能到达C ．设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过 3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．。
高中数学第一章解三角形1.2应用举例第一课时正、余弦定理在实际中的应用课时作业新人教A版必修5
高中数学第一章解三角形1.2应用举例第一课时正、余弦定理在实际中的应用课时作业新人教A版必修5[选题明细表]知识点、方法题号测量距离问题1,2,3,5,6,10测量高度问题7,8测量角度问题4,9基础巩固1.一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为( A )(A) n mile/h (B)34 n mile/h(C) n mile/h (D)34 n mlie/h解析:如图所示,在△PMN中,=,所以MN==34,所以v== n mile/h.故选A.2.我舰在敌岛A处南偏西50°的B处,且A,B距离为12海里,发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行,若我舰要用2小时追上敌舰,则速度大小为( B ) (A)28海里/小时(B)14海里/小时(C)14海里/小时(D)20海里/小时解析:如图,设我舰在C处追上敌舰,速度为v,在△ABC中,AC=10×2=20(海里),AB=12海里,∠BAC=120°,所以BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 120°=784,所以BC=28海里,所以v=14海里/小时.故选B.3.(2019·郑州高二期末)一船以每小时15 km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°,行驶 4 h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔距离为km.解析:如图,由题意,∠BAC=30°,∠ACB=105°,所以B=45°,由正弦定理得=,所以BC=30 km.答案:304.(2019·济南高二期末)在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力的救生艇在洪水中漂行,此时,风向是北偏东30°,风速是20 km/h,水的流向是正东,流速是20 km/h,若不考虑其他因素,救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东,大小为km/h.解析:如图,∠AOB=60°,∠COY=30°+30°=60°.由余弦定理知OC2=202+202-800cos 120°=1 200,故OC=20.答案:60°205.如图,货轮在海上以50海里/时的速度沿方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为155°的方向航行.为了确定船的位置,在B点处观测到灯塔A的方位角为125°.半小时后,货轮到达C处,观测到灯塔A的方位角为80°.求此时货轮与灯塔之间的距离.(得数保留最简根号)解:∠ABC=155°-125°=30°,∠ACB=80°+(180°-155°)=105°.所以∠A=180°-30°-105°=45°,在△ABC中,由正弦定理可得=,所以=,解得AC=.所以此时货轮与灯塔之间的距离为海里.能力提升6.(2019·西安高二期末)如图,从气球A上测得其正前下方的河流两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度AD是60 m,则河流的宽度BC是( C )(A)240(-1)m (B)180(-1)m(C)120(-1)m (D)30(+1)m解析:由题意知,在Rt△ADC中,C=30°,AD=60 m,所以AC=120 m.在△ABC中,∠BAC=75°-30°=45°,∠ABC=180°-45°-30°=105°,由正弦定理,得BC===120(-1)(m).故选C.7.如图所示,要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度,在塔的同一侧选择C,D两个观测点,且在C,D两点测得塔顶的仰角分别为45°, 30°,在水平面上测得∠BCD=120°,C,D两地相距500 m,则电视塔AB的高度是( D )(A)100 m (B)400 m(C)200 m (D)500 m解析:设AB=x,在Rt△ABC中,∠ACB=45°,所以BC=AB=x.在Rt△ABD中,∠ADB=30°,所以BD=x.在△BCD中,∠BCD=120°,CD=500 m,由余弦定理得(x)2=x2+5002-2×500xcos 120°,解得x=500 m.故选D.8. (2019·海南海口中学月考)如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C和D.现测得∠BCD=α,∠BDC =β,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB为.解析:在△BCD中,∠CBD=π-(α+β).由正弦定理=,得BC==.在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=.答案:9.如图,某军舰艇位于岛屿A的正西方C处,且与岛屿A相距120海里.经过侦察发现,国际海盗船以100海里/小时的速度从岛屿A出发沿东偏北60°方向逃窜,同时,该军舰艇从C处出发沿东偏北α的方向匀速追赶国际海盗船,恰好用2小时追上.(1)求该军舰艇的速度;(2)求sin α的值.解:(1)依题意知,∠CAB=120°,AB=100×2=200,AC=120,∠ACB=α,在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠CAB=2002 +1202-2×200×120cos 120°=78 400,解得BC=280.所以该军舰艇的速度为=140海里/小时.(2)在△ABC中,由正弦定理,得=,即sin α===.探究创新10.甲船在岛A的正南B处,以每小时4千米的速度向正北航行,AB=10千米,同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间为( A )(A)分钟(B)分钟(C)21.5分钟(D)2.15小时解析:如图,设t小时后甲行驶到D处,则AD=10-4t,乙行驶到C处,则AC=6t.又∠BAC=120°,所以DC2=AD2+AC2-2AD·AC·cos 120°=(10-4t)2+(6t)2-2×(10-4t)×6t×cos120°=28t2-20t+100= 28(t-)2+.当t=时,DC2最小,即DC最小,此时它们所航行的时间为×60=分钟.故选A.。
春高中数学第1章解三角形1.2应用举例第1课时距离问题课时作业新人教A版必修5
2017春高中数学 第1章 解三角形 1.2 应用举例 第1课时 距离问题课时作业 新人教A 版必修5基 础 巩 固一、选择题1．两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为导学号 54742113( D )A ．a kmB ．2a kmC ．2a kmD ．3a km[解析] 由图可知∠ACB ＝120°，则AB 2＝a 2＋a 2－2a 2cos120°＝3a 2，∴AB ＝3a km.故选D ．2．已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°，则A 、C 两地的距离为导学号 54742114( D )A ．10kmB ．3kmC ．105kmD ．107km[解析] 在△ABC 中，AB ＝10，BC ＝20，∠ABC ＝120°，则由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝100＋400－2×10×20cos120°＝100＋400－2×10×20×(－12)＝700，∴AC ＝107，即A 、C 两地的距离为107km.3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mlie 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时导学号 54742115( C )A ．5n mlieB ．53n mlieC ．10n mlieD ．103n mlie[解析] 如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，∴∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10， 在Rt △ABC 中，求得AB ＝5，∴这艘船的速度是50.5＝10(n mlie/h)．4．某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300m 和500m ，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30°，灯塔B 在观察站C 正西方向，则两灯塔A 、B 间的距离为导学号 54742116( C )A ．500mB ．600mC ．700mD ．800m[解析] 根据题意画出图形如图．在△ABC 中，BC ＝500，AC ＝300，∠ACB ＝120°， 由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120° ＝3002＋5002－2×300×500×(－12)＝490 000，∴AB ＝700(m)．5．要直接测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A 、B 两点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，且AB ＝120m 由此可得河宽为(精确到1m)导学号 54742117( C )A ．170mB ．98mC ．95mD ．86m[解析] 在△ABC 中，AB ＝120，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，则∠ACB ＝60°，由正弦定理，得BC ＝120sin45°sin60°＝40 6.设△ABC 中，AB 边上的高为h ，则h 即为河宽， ∴h ＝BC ·sin∠CBA ＝406×sin75°≈95(m)6．甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3km ，甲船以8km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船从B 岛出发，以12km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15min 时，两船的距离是导学号 54742118( B )A ．7kmB ．13kmC ．19kmD ．10－33km[解析] 由题意知AM ＝8×1560＝2，BN ＝12×1560＝3，MB ＝AB －AM ＝3－2＝1，所以由余弦定理得MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB ·BN cos120°＝1＋9－2×1×3×(－12)＝13，所以MN ＝13km.二、填空题7．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°方向航行30n mile 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为导学号 54742119[解析] 如图所示，B 是灯塔，A 是船的初始位置，C 是船航行后的位置，则BC ⊥AD ，∠DAB ＝30°，∠DAC ＝60°，则在Rt △ACD 中，DC ＝AC sin ∠DAC ＝30sin60°＝153n mile ，AD ＝AC cos ∠DAC ＝30cos60°＝15 n mile ，则在Rt △ADB 中，DB ＝AD tan ∠DAB ＝15tan30°＝53n mile ，则BC ＝DC －DB ＝153－53＝103n mile.8．一船以24 km/h 的速度向正北方向航行，在点A 处望见灯塔S 在船的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B 时与灯塔S 的距离是5.2 km.(精确到0.1 km)导学号 54742120[解析] 作出示意图如图．由题意知，则AB ＝24×1560＝6，∠ASB ＝35°，由正弦定理6sin35°＝BSsin30°，可得BS ≈5.2(km)．三、解答题9.如图，我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知CD ＝6 000 m ．∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面B 处时测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°.求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)导学号 54742121[分析] 由于∠ADC ＝75°，∠BDC ＝15°，∴∠ADB 为直角．题中有多个三角形而抓住△ABD 为Rt △作为突破口可简化计算．[解析] 在△ACD 中，∠CAD ＝60°，AD ＝CD ·sin45°sin60°＝63CD ．在△BCD 中，∠CBD ＝135°，BD ＝CD ·sin30°sin135°＝22CD ， ∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝426CD ＝1 00042(m)．10．一艘船以32.2n mile/h 的速度向正北航行．在A 处看灯塔S 在船的北偏东20°的方向，30min 后航行到B 处，在B 处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？导学号 54742122[解析] 在△ASB 中，∠SBA ＝115°，∠S ＝45°.由正弦定理，得SB ＝AB sin20°sin45°＝16.1sin20°sin45°≈7.787(n mile)．设点S 到直线AB 的距离为h ，则h ＝SB sin65°≈7.06(nmile)．∵h >6.5n mile ，∴此船可以继续沿正北方向航行．能 力 提 升一、选择题11．已知船A 在灯塔C 北偏东85°且到C 的距离为2km ，船B 在灯塔C 西偏北25°且到C 的距离为3km ，则A 、B 两船的距离为导学号 54742123( D )A ．23kmB ．32kmC ．15kmD ．13km[解析] 如图可知∠ACB ＝85°＋(90°－25°)＝150°，AC ＝2，BC ＝3，∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos150°＝13， ∴AB ＝13.12．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为导学号 54742124( A )A ．1762n mile/hB ．346n mile/hC ．1722n mile/hD ．342n mile/h[解析] 如图所示，在△PMN 中，PM s in45°＝MNsin120°，∴MN ＝68×3222＝346，∴v ＝MN 4＝1762(n mile/h)．13．如图，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行．为了确定船的位置，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行12 h 到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是导学号 54742125( B )A ．10kmB ．102kmC ．15kmD ．152km[解析] 在△ABC 中，BC ＝40×12＝20(km)，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，则A ＝180°－(30°＋105°)＝45°. 由正弦定理，得AC ＝BC ·sin∠ABC sin A ＝20·sin30°sin45°＝102(km)．二、填空题14．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90n mile.此时海盗船距观测站107n mile,20min 后测得海盗船距观测站20n mlie ，再过403min ，海盗船到达商船.导学号 54742126[解析] 如下图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A 、B 、C 处，20min 后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理，得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC ＝60°，在△ABD 中，由已知得∠ABD ＝30°， ∠BAD ＝60°－30°＝30°， ∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(min)．15.如图，一艘船上午8︰00在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8︰30到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距42n mile ，则此船的航行速度是16 n mile/h.导学号54742127[解析] 在△ABS 中，∠A ＝30°，∠ABS ＝105°， ∴∠ASB ＝45°， ∵BS ＝42，BS sin A ＝ABsin ∠ASB， ∴AB ＝BS ·sin∠ASBsin A ＝42×2212＝8，∵上午8︰00在A 地，8︰30在B 地， ∴航行0.5小时的路程为8n mile ， ∴此船的航速为16n mile/h. 三、解答题16．海上某货轮在A 处看灯塔B ，在货轮北偏东75°，距离为126n mile ；在A 处看灯塔C ，在货轮的北偏西30°，距离为83n mile ；货轮向正北由A 处航行到D 处时看灯塔B 的方位角为120°.求：导学号 54742128(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处之间的距离．[解析] 由题意，画出示意图，如图所示．(1)在△ABD 中，由已知∠ADB ＝60°，则B ＝45°. 由正弦定理，得AD ＝AB sin45°sin60°＝24(n mile)(2)在△ADC 中，由余弦定理，得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ×AC cos30°＝242＋(83)2－2×24×83×32＝(83)2， ∴CD ＝83(n mile)答：A 处与D 处之间距离为24n mile ，灯塔C 与D 处之间的距离为83n mile. 17．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量，已知AB ＝50m ，BC ＝120m ，于A 处测得水深AD ＝80m ，于B 处测得水深BE ＝200m ，于C 处测得水深CF ＝110m ，求∠DEF 的余弦值.导学号 54742129[解析] 由题意可得DE 2＝502＋1202＝1302，DF 2＝1702＋302＝29800， EF 2＝1202＋902＝1502，由余弦定理，得cos ∠DEF ＝1665.。
高中数学第一章解三角形1.2应用举例第1课时距离问题优化练习新人教A版必修0
第1课时 距离问题[课时作业][A 组 基础巩固]1．两灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离都等于a (km)，灯塔A 在C 北偏东30°，B 在C 南偏东60°，则A ，B 之间距离为( ) A.2a km B.3a km C ．a km D ．2a km解析：△ABC 中，AC ＝BC ＝a ，∠ACB ＝90°，AB ＝2a .答案：A2.如图，一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处．C 处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东60°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里解析：由题目条件，知AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ABC ＝105°，所以∠ACB ＝45°.由正弦定理，得20sin 45°＝BC sin 30°，所以BC ＝102海里，故选A. 答案：A3．有一长为10 m 的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )A ．5B ．10C ．10 2D ．10 3解析：如图，设将坡底加长到B ′时，倾斜角为30°，在△ABB ′中，利用正弦定理可求得BB ′的长度．在△ABB ′中，∠B ′＝30°，∠BAB ′＝75°－30°＝45°，AB ＝10 m ，由正弦定理，得BB ′＝AB sin 45°sin 30°＝10×2212＝102(m)． ∴坡底延伸10 2 m 时，斜坡的倾斜角将变为30°.答案：C4．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( ) A.1762海里/小时 B ．346海里/小时 C.1722海里/小时 D ．342海里/小时解析：如图所示，在△PMN 中，PMsin 45°＝MNsin 120°，∵MN ＝68×32＝346， ∴v ＝MN 4＝1762(海里/小时)． 答案：A5.如图，某炮兵阵地位于A 点，两观察所分别位于C ，D 两点．已知△ACD为正三角形，且DC ＝ 3 km ，当目标出现在B 点时，测得∠CDB ＝45°，∠BCD ＝75°，则炮兵阵地与目标的距离是( )A ．1.1 kmB ．2.2 kmC ．2.9 kmD ．3.5 km解析：∠CBD ＝180°－∠BCD －∠CDB ＝60°.在△BCD 中，由正弦定理，得BD ＝CD sin 75°sin 60°＝6＋22. 在△ABD 中，∠ADB ＝45°＋60°＝105°，由余弦定理，得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos 105°＝3＋6＋224＋2×3×6＋22×6－24＝5＋2 3. ∴AB ＝5＋23≈2.9(km)．∴炮兵阵地与目标的距离约是2.9 km.答案：C6．在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离为________千米． 解析：∠C ＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理2sin 45°＝AC sin 60°， ∴AC ＝ 6. 答案： 67．某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地距离为________km.解析：如图所示，由题意可知AB ＝33，BC ＝2，∠ABC ＝150°，由余弦定理，得 AC 2＝27＋4－2×33×2×cos 150°＝49，AC ＝7.则A ，C 两地距离为7 km.答案：78．一艘船以每小时15 km 的速度向东行驶，船在A 处看到一灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________km. 解析：如图所示，AC ＝15×4＝60，∠BAC ＝30°，∠B ＝45°， 在△ABC 中由正弦定理得60sin 45°＝BC sin 30°， ∴BC ＝30 2.答案：30 29.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，AB ＝120米，求河的宽度．解析：在△ABC 中，∵∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，∴∠ACB ＝60°.由正弦定理，可得AC ＝AB ·sin∠CBA sin ∠ACB ＝120sin 75°sin 60°＝20(32＋6)，设C 到AB 的距离为CD ，则CD ＝AC sin ∠CAB ＝22AC ＝20 (3＋3)． ∴河的宽度为20(3＋3)米．10．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解析：如图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C 、D 两点到考点的距离为1千米．在△ABC 中，AB ＝3≈1.732，AC ＝1，∠ABC ＝30°，由正弦定理sin ∠ACB ＝sin 30°AC ·AB ＝32，∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1，在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°，∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1，∴BC12×60＝5，∴在BC 上需5分钟，CD 上需5分钟． 答：最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．[B 组 能力提升]1．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是________．解析：设行驶x 小时后甲到点C ，乙到点D ，两船相距y km ，则∠DBC ＝180°－60°＝120°.∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120°＝28x 2－20x ＋100＝28(x 2－57x )＋100＝28⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5142－257＋100 ∴当x ＝514(小时)＝1507(分钟)时，y 2有最小值．∴y 最小． 答案：1507分钟 2．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°方向航行30 n mile 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为________ n mile.解析：如图所示，B 是灯塔，A 是船的初始位置，C 是船航行后的位置，则BC ⊥AD ，∠DAB ＝30°，∠DAC ＝60°，则在Rt △ACD 中， DC ＝AC sin ∠DAC ＝30sin 60°＝15 3 n mile ，AD ＝AC cos ∠DAC ＝30cos 60°＝15 n mile ，则在Rt △ADB 中，DB ＝AD tan ∠DAB ＝15tan 30°＝5 3 n mile ，则BC ＝DC －DB ＝153－53＝10 3 n mile.答案：10 33．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回到它的出发点，那么x ＝________.解析：如图所示，设蜘蛛原来在O 点，先爬行到A 点，再爬行到B 点，易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，∠ABO ＝45°，则∠AOB ＝60°，由正弦定理知：x ＝AB ·sin∠ABO sin ∠AOB＝10×sin 45°sin 60°＝1063(cm)． 即x 的值为1063cm. 答案：10634．某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)．解析：由题意在三角形ABC 中，AB ＝30，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝135°，∴∠ACB ＝15°，由正弦定理BC ＝AB sin ∠ACB ·sin∠BAC ＝30sin 15°·sin 30°＝156－24＝15(6＋2)． 在Rt△BDC 中，CD ＝22BC ＝15(3＋1)＞38. 答案：无5.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，求起吊的货物与岸的距离AD .解析：在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝152＋102－1922×15×10＝－12. ∴∠ACB ＝120°.∴∠ACD ＝180°－120°＝60°.∴AD ＝AC ·sin 60°＝1532(m)． 即起吊的货物与岸的距离为1532m. 6.如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：∠ACD ＝90°，∠ADC ＝60°，∠ACB ＝15°，∠BCE＝105°，∠CEB ＝45°，DC ＝CE ＝1百米．求A ，B 之间的距离．解析：由题干图，连接AB (图略)，依题意知，在Rt △ACD 中，AC ＝DC ·tan∠ADC ＝1×tan 60°＝ 3.在△BCE 中，∠CBE ＝180°－∠BCE －∠CEB＝180°－105°－45°＝30°，由正弦定理BC sin ∠CEB ＝CE sin ∠CBE ， 得BC ＝CEsin ∠CBE·sin∠CEB＝1sin 30°×sin 45°＝ 2. cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°·cos 45°＋sin 60°sin 45°＝12×22＋32×22＝6＋24， 在△ABC 中，由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠ACB ， 可得AB 2＝(3)2＋(2)2－23×2×6＋24＝2－3，∴AB ＝ 2－3百米．即A ，B 之间的距离为2－3百米．。
高中数学第1章解三角形1.2应用举例第1课时距离和高度问题学案新人教B版必修
第1课时距离和高度问题实际测量中的有关名词、术语1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( ) A．α>βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°B[由图知α＝β.]2．如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为( )A．a km B．3a kmC ．2a kmD ．2a kmB [在△ABC 中，因为AC ＝BC ＝a ， ∠ACB ＝180°－20°－40°＝120°，由余弦定理可得AB 2＝a 2＋a 2－2a ×a ×cos 120°＝3a 2，所以AB ＝3a ，故选B ．] 3．甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从 甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________m 、________m.20 34033 [甲楼的高为20tan 60°＝20×3＝203(m)； 乙楼的高为：203－20tan 30°＝203－20×33＝4033(m)．]ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A ，B 之间的距离．[思路探究] 将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角形． [解] 如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3 km. 在△BCD 中，∠BCD ＝45°， ∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB ＝5(km)，∴A ，B 之间的距离为 5 km.测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，运用正弦定理解决．1．如图所示，设B 、C 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在C 的同侧，在所在的河岸边选定一点A ，测出A 、C 的距离是100 m ，∠BAC ＝45°，∠BCA ＝60°，求B 、C 两点间的距离．[解] 在△ABC 中，AC ＝100，∠BAC ＝45°，∠BCA ＝60°， 则∠B ＝180°－(∠BAC ＋∠BCA )＝75°，由正弦定理，得BC ＝AC ×sin ∠BAC sin B ＝100sin 45°sin 75°＝100(3－1)．即B ，C 两点间的距离为100(3－1)m.BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值．[解] 由AB ＝H tan α，BD ＝htan β，AD ＝H tan β及AB ＋BD ＝AD ，得Htan α＋htan β＝Htan β，解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124.因此，算出的电视塔的高度H 是124 m.解决测量高度问题的一般步骤： (1)画图：根据已知条件画出示意图． (2)分析三角形：分析与问题有关的三角形．(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．2．如图所示，从山顶望地面上C ，D 两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100 m ，点C 位于BD 上，则山高AB 等于( )A ．100 mB ．50 3 mC ．50 2 mD ．50(3＋1) mD [设山高为h ，则由题意知CB ＝h ，DB ＝3h ，所以3h －h ＝100，即h ＝50(3＋1)．]1．已知A ，B 是海平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足．试画出符合题意的示意图．[提示] 用线段CD 表示山，用△DAB 表示海平面．结合题中相应的距离及角度，画出立体图形，如图所示：2．在探究1中若要求山高CD 怎样求解？[提示] 由探究1知CD ⊥平面ABD ，首先在△ABD 中利用正弦定理求出AD 的长，然后在Rt △ACD 中求出CD ．【例3】 如图，在测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，现测得∠BCD ＝α，∠BDC ＝β，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．[解] 在△BCD 中，∠CBD ＝π－α－β， 由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD ，所以BC ＝CD sin ∠BDC sin ∠CBD ＝s ·sin βsin (α＋β)，在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s tan θsin βsin (α＋β).测量高度问题的两个关注点：(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．3．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是( ) A．100 2 m B．400 mC．200 3 m D．500 mD[由题意画出示意图，设塔高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知得BC＝h m，在Rt△ABD 中，由已知得BD＝3h m，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m)．]1．利用正弦定理、余弦定理可以解决一个可以到达的点与另一个不可以到达的点之间的距离问题(一般利用正弦定理，解一个三角形即可)，还可以解决两个不可到达的点之间的距离问题．解决此类问题，先利用测量工具测出所构造的三角形的有关的边和角，再通过解三角形求相应距离．2．利用正弦定理、余弦定理可以解决底(顶)部不能到达的物体的高度问题．解决此类问题的策略是先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解一个直角三角形和一个斜三角形或两个直角三角形使问题得解．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一般来说，在测量过程中基线越长，测量精确度越低．( )(2)已知三角形的三个角，能够求其三条边．( )(3)两个不可到达的点之间的距离无法求得．( )(4)坡面与水平面的夹角称之为坡角．( )(5)坡面的水平宽度与坡面的铅直高度之比称为坡比．( )[解析] (1)×.因为在测量过程中基线越长，测量的精确度越高．(2)×.因为要解三角形，至少要知道这个三角形的一条边．(3)×.两个不可到达的点之间的距离我们可以借助余弦定理求得． (4)√.由坡角的定义可知．(5)×.因为坡比是指坡面的铅直高度与坡面的水平宽度的比． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×2. 如图所示，在河岸AC 上测量河的宽度BC ，测量下列四组数据，较适宜的是( )A ．a ，c ，αB ．b ，c ，αC ．c ，a ，βD ．b ，α，γD [由α，γ可求出β，由α，β，b ，可利用正弦定理求出BC ．故选D ．] 3．如图所示，某人向东走了x 千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好为13千米，那么x 的值是________．4 [由余弦定理：x 2＋9－3x ＝13， 整理得：x 2－3x －4＝0，解得x ＝4.]4．在相距2千米的A ，B 两点处测量目标C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，求A ，C 两点之间的距离．[解] 如图所示，∵∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，∴∠ACB ＝180°－75°－60°＝45°，又AB ＝2，∴由正弦定理AB sin ∠ACB ＝AC sin ∠CBA ，得222＝AC32，解得AC ＝6，即A ，C 两点之间的距离为6千米．。
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2017春高中数学 第1章 解三角形 1.2 应用举例 第1课时 距离问题课时作业 新人教A 版必修5基 础 巩 固一、选择题1．两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为导学号 54742113( D )A ．a kmB ．2a kmC ．2a kmD ．3a km[解析] 由图可知∠ACB ＝120°，则AB 2＝a 2＋a 2－2a 2cos120°＝3a 2，∴AB ＝3a km.故选D ．2．已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°，则A 、C 两地的距离为导学号 54742114( D )A ．10kmB ．3kmC ．105kmD ．107km[解析] 在△ABC 中，AB ＝10，BC ＝20，∠ABC ＝120°，则由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝100＋400－2×10×20cos120°＝100＋400－2×10×20×(－12)＝700，∴AC ＝107，即A 、C 两地的距离为107km.3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mlie 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时导学号 54742115( C )A ．5n mlieB ．53n mlieC ．10n mlieD ．103n mlie[解析] 如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，∴∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10， 在Rt △ABC 中，求得AB ＝5，∴这艘船的速度是50.5＝10(n mlie/h)．4．某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300m 和500m ，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30°，灯塔B 在观察站C 正西方向，则两灯塔A 、B 间的距离为导学号 54742116( C )A ．500mB ．600mC ．700mD ．800m[解析] 根据题意画出图形如图．在△ABC 中，BC ＝500，AC ＝300，∠ACB ＝120°， 由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120° ＝3002＋5002－2×300×500×(－12)＝490 000，∴AB ＝700(m)．5．要直接测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A 、B 两点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，且AB ＝120m 由此可得河宽为(精确到1m)导学号 54742117( C )A ．170mB ．98mC ．95mD ．86m[解析] 在△ABC 中，AB ＝120，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，则∠ACB ＝60°，由正弦定理，得BC ＝120sin45°sin60°＝40 6.设△ABC 中，AB 边上的高为h ，则h 即为河宽， ∴h ＝BC ·sin∠CBA ＝406×sin75°≈95(m)6．甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3km ，甲船以8km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船从B 岛出发，以12km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15min 时，两船的距离是导学号 54742118( B )A ．7kmB ．13kmC ．19kmD ．10－33km[解析] 由题意知AM ＝8×1560＝2，BN ＝12×1560＝3，MB ＝AB －AM ＝3－2＝1，所以由余弦定理得MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB ·BN cos120°＝1＋9－2×1×3×(－12)＝13，所以MN ＝13km.二、填空题7．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°方向航行30n mile 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为导学号 54742119[解析] 如图所示，B 是灯塔，A 是船的初始位置，C 是船航行后的位置，则BC ⊥AD ，∠DAB ＝30°，∠DAC ＝60°，则在Rt △ACD 中，DC ＝AC sin ∠DAC ＝30sin60°＝153n mile ，AD ＝AC cos ∠DAC ＝30cos60°＝15 n mile ，则在Rt △ADB 中，DB ＝AD tan ∠DAB ＝15tan30°＝53n mile ，则BC ＝DC －DB ＝153－53＝103n mile.8．一船以24 km/h 的速度向正北方向航行，在点A 处望见灯塔S 在船的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B 时与灯塔S 的距离是5.2 km.(精确到0.1 km)导学号 54742120[解析] 作出示意图如图．由题意知，则AB ＝24×1560＝6，∠ASB ＝35°，由正弦定理6sin35°＝BSsin30°，可得BS ≈5.2(km)．三、解答题9.如图，我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知CD ＝6 000 m ．∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面B 处时测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°.求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)导学号 54742121[分析] 由于∠ADC ＝75°，∠BDC ＝15°，∴∠ADB 为直角．题中有多个三角形而抓住△ABD 为Rt △作为突破口可简化计算．[解析] 在△ACD 中，∠CAD ＝60°，AD ＝CD ·sin45°sin60°＝63CD ．在△BCD 中，∠CBD ＝135°，BD ＝CD ·sin30°sin135°＝22CD ， ∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝426CD ＝1 00042(m)．10．一艘船以32.2n mile/h 的速度向正北航行．在A 处看灯塔S 在船的北偏东20°的方向，30min 后航行到B 处，在B 处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？导学号 54742122[解析] 在△ASB 中，∠SBA ＝115°，∠S ＝45°.由正弦定理，得SB ＝AB sin20°sin45°＝16.1sin20°sin45°≈7.787(n mile)．设点S 到直线AB 的距离为h ，则h ＝SB sin65°≈7.06(nmile)．∵h >6.5n mile ，∴此船可以继续沿正北方向航行．能 力 提 升一、选择题11．已知船A 在灯塔C 北偏东85°且到C 的距离为2km ，船B 在灯塔C 西偏北25°且到C 的距离为3km ，则A 、B 两船的距离为导学号 54742123( D )A ．23kmB ．32kmC ．15kmD ．13km[解析] 如图可知∠ACB ＝85°＋(90°－25°)＝150°，AC ＝2，BC ＝3，∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos150°＝13， ∴AB ＝13.12．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为导学号 54742124( A )A ．1762n mile/hB ．346n mile/hC ．1722n mile/hD ．342n mile/h[解析] 如图所示，在△PMN 中，PM s in45°＝MNsin120°，∴MN ＝68×3222＝346，∴v ＝MN 4＝1762(n mile/h)．13．如图，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行．为了确定船的位置，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行12 h 到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是导学号 54742125( B )A ．10kmB ．102kmC ．15kmD ．152km[解析] 在△ABC 中，BC ＝40×12＝20(km)，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，则A ＝180°－(30°＋105°)＝45°. 由正弦定理，得AC ＝BC ·sin∠ABC sin A ＝20·sin30°sin45°＝102(km)．二、填空题14．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90n mile.此时海盗船距观测站107n mile,20min 后测得海盗船距观测站20n mlie ，再过403min ，海盗船到达商船.导学号 54742126[解析] 如下图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A 、B 、C 处，20min 后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理，得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC ＝60°，在△ABD 中，由已知得∠ABD ＝30°， ∠BAD ＝60°－30°＝30°， ∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(min)．15.如图，一艘船上午8︰00在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8︰30到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距42n mile ，则此船的航行速度是16 n mile/h.导学号54742127[解析] 在△ABS 中，∠A ＝30°，∠ABS ＝105°， ∴∠ASB ＝45°， ∵BS ＝42，BS sin A ＝ABsin ∠ASB， ∴AB ＝BS ·sin∠ASBsin A ＝42×2212＝8，∵上午8︰00在A 地，8︰30在B 地， ∴航行0.5小时的路程为8n mile ， ∴此船的航速为16n mile/h. 三、解答题16．海上某货轮在A 处看灯塔B ，在货轮北偏东75°，距离为126n mile ；在A 处看灯塔C ，在货轮的北偏西30°，距离为83n mile ；货轮向正北由A 处航行到D 处时看灯塔B 的方位角为120°.求：导学号 54742128(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处之间的距离．[解析] 由题意，画出示意图，如图所示．(1)在△ABD 中，由已知∠ADB ＝60°，则B ＝45°. 由正弦定理，得AD ＝AB sin45°sin60°＝24(n mile)(2)在△ADC 中，由余弦定理，得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ×AC cos30°＝242＋(83)2－2×24×83×32＝(83)2， ∴CD ＝83(n mile)答：A 处与D 处之间距离为24n mile ，灯塔C 与D 处之间的距离为83n mile. 17．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量，已知AB ＝50m ，BC ＝120m ，于A 处测得水深AD ＝80m ，于B 处测得水深BE ＝200m ，于C 处测得水深CF ＝110m ，求∠DEF 的余弦值.导学号 54742129[解析] 由题意可得DE 2＝502＋1202＝1302，DF 2＝1702＋302＝29800， EF 2＝1202＋902＝1502，由余弦定理，得cos ∠DEF ＝1665.。