数列的通项公式(教师版)
求数列通项公式的十种方法(教师版)
专题----通项公式的求法总述：求数列通项的方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、一、累加法 适用于：1()n n a a f n +=+转换成1()n n a a f n +-=，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解；由1231nn n a a +=+⨯+得1231nn n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-练习1.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.答案：12+-n n 练习2.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.答案：裂项求和 n a n 12-=二、累乘法1.适用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列2．若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na a af f f n a a a +=== ，，， 两边分别相乘得，1111()nn k a a f k a +==⋅∏例3 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 。
(完整版)数列通项公式常用求法及构造法
数列通项公式的常用求法构造法求数列通项公式一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为(1)()f n f n +-=A （其中A 为常数）形式，根据等差数列的定义知)(n f 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。
例1 在数列{}n a 中，1a =12，133n n n a a a +=+（n N +∈），求数列{}n a 通项公式.解析：由313n n a n a a ++=得，a n+1 a n =3 a n+1-3 a n =0，两边同除以a n+1 a n 得，=-+n n a a 11131，设b n =n a 1，则b n+1- b n =31，根据等差数列的定义知， 数列｛b n ｝是首项b 1=2，公差d=31的等差数列，根据等差数列的通项公式得b n =2＋31（n-1）=31n ＋35∴数列通项公式为a n =53+n例2 在数列｛a n ｝中，S n 是其前n 项和，且S n ≠0，a 1=1，a n =1222-n n S S (n ≥2)，求S n 与a n 。
解析：当n ≥2时，a n =S n -S n-1 代入a n =1222-n n S S 得，S n -S n-1=1222-n n S S ，变形整理得S n -S n-1= S n S n-1两边除以S n S n-1得，n S 1-11-n S =2，∴｛n S 1｝是首相为1，公差为2的等差数列∴n S 1=1+2（n-1）=2n-1, ∴ S n =121-n (n ≥2),n=1也适合，∴S n =121-n (n ≥1) 当n ≥2时，a n =S n -S n-1=121-n -321-n =-38422+-n n ，n=1不满足此式， ∴a n ={21138422≥=+--n n n n二、构造等比数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f （n+1）=Af （n ）（其中A 为非零常数）形式，根据等比数列的定义知)(n f 是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。
数列通项公式
数列通向公式的求解1、公式法：2、累加法：3、累乘法：4、a n与S n的关系：5、构造法：（1）、待定系数法：（2）、同除+待定系数：（3）、取倒数+待定系数：（4）、取对数+待定系数：（5）、连续三项：6、无穷递推关系式：（减去前n-1项剩下最后一项）7、连续两项：8、不动点法：→不动点：方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点。
数列通项公式典例分析:1、已知数列{a n}满足_________________2、已知数列{a n}满足_________________3、已知数列{a n}满足___________;___________4、已知数列{a n}满足__________________5、已知数列{a n}满足_________________6、已知数列{a n}满足_____________7、已知数列{a n}满足________________8、已知数列{a n}满足______________9、已知数列{a n}满足_________________10、已知数列{a n}满足__________11、已知数列{a n}满足__________________12、已知数列{a n}满足_________________13、已知数列{a n}满足__________________14、已知数列{a n}满足__________________15、已知数列{a n}满足_____________________16、已知数列满足，，则=________17、设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则=________18、在数列中，，，．则=______________19、数列中，，（n≥2）,则=______________20、已知数列的首项，，则=__________________21、设数列｛an｝满足,则=_______________22、已知数列满足且,则=___________23、设数列满足,则=______________。
数列的递推公式与通项公式前n项和公式
二、数列的递推公式与通项公式、前n 项和公式一、知识点回顾：1、递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
2、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧--11s s s n n 12=≥n n 。
在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。
注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；若a 1 适合由a n 的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。
（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
3、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥。
一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。
⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。
⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。
求数列的通项公式的八种方法(强烈推荐)
怎样由递推关系式求通项公式一、基本型：（1）a n =pa n-1+q （其中pq ≠0 ，p ≠1，p 、q 为常数）型:——运用代数方法变形，转化为基本数列求解.利用待定系数法，可在两边同时加上同一个数x ，即a 1+n + x = pa n + q + x ⇒a 1+n + x = p(a n +p x q +)， 令x =px q + ∴x =1-p q时，有a 1+n + x = p(a n + x )，从而转化为等比数列 {a n +1-p q} 求解． 例1. 已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式.-1练1．已知数列{a n }中，a 1=1，a n =21a 1-n + 1，n ∈ N +，求通项a n ．a n = 2 －2n-1 ，n ∈N + 练2.已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式.21nn a ∴=- 二、可化为基本型的数列通项求法： （一）指数型：a n=ca n-1+f(n)型 1、a 1=2,a n =4a n-1+2n (n ≥2),求a n .2、a 1=-1,a n =2a n-1+4〃3n-1(n ≥2),求a n .3、已知数列{}n a 中，1a =92，113232+-+=n n n a a （n ≥2），求n a .∴ n a =13)21(2+--n n（二）指数（倒数）型 1、a 1=1,2a n -3a n-1=(n ≥2),求a n .2、a 1=,a n+1=a n +()n+1,求a n . （三）可取倒数型：将递推数列1nn n ca a a d+=+(0,0)c d ≠≠,1、（2008陕西卷理22）（本小题满分14分）已知数列{a n }的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n = ，，． （Ⅰ）求{a n }的通项公式； 332nn n a ∴=+2、已知数列{}n a *()n N ∈中, 11a =,121nn n a a a +=+,求数列{}n a 的通项公式.∴121n a n =-. 3、若数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1+n =22+n na a n ∈N +，求通项a n ． a n =4、 若数列{n a }中，1a =1，n S 是数列{n a }的前n 项之和，且nnn S S S 431+=+（n 1≥），求数列{n a }的通项公式是n a . 131-=n n S ⎪⎩⎪⎨⎧+⋅-⋅-=123833212n n n n a )2()1(≥=n n 三、叠加法：a n=a n-1+f(n)型：1.已知数列{a n }中, 11a =,1n-13n n a a -=+(2)n ≥。
求数列的通项公式(教师版)
求数列的通项公式(教师版)1、数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2、数列的递推公式若一个数列首项确定，其余各项用a n 与a n －1或a n +1的关系式表示(如a n ＝2a n －1＋1)，则这个关系式就称为数列的递推公式．3、由数列的递推公式求数列的通项公式的常见方法(1)待定系数法：①形如a n ＋1＝ka n ＋b 的数列求通项；②形如a n ＋1＝ka n ＋r ∙b n 的数列求通项；(2)倒数法：形如a n ＋1＝pa nqa n ＋r的数列求通项可用倒数法；(3)累加法：形如a n ＋1－a n ＝f (n )的数列求通项可用累加法；(4)累乘法：形如a n ＋1a n＝f (n )的数列求通项可用累乘法；(5) “S n ”法：数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.；S n 与a n 的混合关系式有两个思路：①消去S n ，转化为a n 的递推关系式，再求a n ；②消去a n ，转化为S n 的递推关系式，求出S n 后，再求a n .考向一 待定系数法例1—1 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求数列{a n }的通项公式。
解：设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )即a n ＋1＝2a n －t ⇒t ＝－3.故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n＋3)，令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以b 1＝4为首项，2为公比的等比数列，则b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－3.例1—2 在数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1＝2a n ＋4·3n ，数列{a n }的通项公式。
数列通项公式方法大全很
数列通项公式方法大全很1.等差数列通项公式：等差数列是指数列中每一项与它前一项的差固定的数列。
设等差数列为{an}，首项为a1，公差为d，第n项为an，则等差数列通项公式为：an = a1 + (n - 1)d。
2.等比数列通项公式：等比数列是指数列中每一项与它前一项的比值固定的数列。
设等比数列为{an}，首项为a1，公比为r，第n项为an，则等比数列通项公式为：an = a1 * r^(n - 1)。
3.斐波那契数列通项公式：斐波那契数列是指数列中每一项等于前两项之和的数列。
设斐波那契数列为{an}，首项为a1，第二项为a2，则斐波那契数列的通项公式为：an = a1 * f1 + a2 * f2，其中f1和f2分别为斐波那契数列中的两个常数，通常取f1 = (1 + sqrt(5)) / 2，f2 = (1 - sqrt(5)) / 24.等差中项公式：等差中项是指等差数列中任意两项之和的一半。
设等差数列为{an}，第k项为ak，第m项为am，则等差中项公式为：ak+m = ak + am = 2 *a(k + m)/25.等比中项公式：等比中项是指等比数列中任意两项之积的平方根。
设等比数列为{an}，第k项为ak，第m项为am，则等比中项公式为：ak * am = sqrt(ak * am) = sqrt(a(k + m)/2)。
6.递推关系求通项公式：有些数列没有明确的公差或公比，但可以通过递推关系来求出通项公式。
例如，Fibonacci数列的递推关系是an = an-1 + an-2，其中a1 = 1，a2 = 1，可以通过递推关系求出Fibonacci数列的通项公式。
以上是常见的数列通项公式方法的介绍。
根据数列中的特点和已知条件，选择适合的方法可以更快地求解出任意一项的值。
小学四年级数学 第六讲：数列(教师版)
小学四年级第六讲数列1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。
数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。
数列中共有的项的个数叫做项数。
2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。
3、常用公式等差数列的总和=（首项+末项）⨯项数÷2项数=（末项-首项）÷公差+1末项=首项+公差⨯（项数-1）首项=末项-公差⨯（项数-1）公差=（末项-首项）÷（项数-1）等差数列（奇数个数）的总和=中间项⨯项数1、重点是对数列常用公式的理解掌握2、难点是对题目的把握以及对公式的灵活运用例1、在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？答案：共有67个数，第201个数是603解析：（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式：项数=（末项-首项）÷公差+1,便可求出。
（2）根据公式：末项=首项+公差⨯（项数-1）解：项数=（201-3）÷3+1=67末项=3+3⨯（201-1）=603答：共有67个数，第201个数是603例2、全部三位数的和是多少？答案：全部三位数的和是494550解析：所有的三位数就是从100~999共900个数，观察100、101、102、……、998、999这一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。
要求和可以利用等差数列求和公式来解答。
解：（100+999）⨯900÷2=1099⨯900÷2=49455答：全部三位数的和是494550。
例3、求自然数中被10除余1的所有两位数的和。
答案：459解析：在两位数中，被10除余1最小的是11，最大的是91。
从题意可知，本题是求等差数列11、21、31、……、91的和。
它的项数是9，我们可以根据求和公式来计算。
解：11+21+31+……+91=（11+91）⨯9÷2=459例4、求下列方阵中所有各数的和：1、2、3、4、……49、50；2、3、4、5、……50、51；3、4、5、6、……51、52；……49、50、51、52、……97、98；50、51、52、53、……98、99。
((完整版))求数列的通项公式方法总结,推荐文档
an1
an1
an 等形式的递推数列可以用
倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。
【例 6】.已知数列an满足： a1 1, an an 1 ，求an的通项公式。
3an 1 1
解：原式两边取倒数得： 1 3an 1 1 3 1
an
an 1
an 1
设bn = 1 ,则bn- bn- 1=3, 且b1=1 bn是b1=1 为首项，公差d=2的等差数列
①、一般地对于 an =kan-1 +m(k、m 为常数）型，可化为的形式 an +λ=k(an-1 +λ).重
-1-
数列常见题型总结
新构造出一个以 k 为公比的等比数列，然后通过化简用待定系数法求 λ，然后再求 an 。
【例
3】设
b>0,数列 an 满足
a1=b， an
nban1 an1 2n 2
a4
·
a3
… an an1
= 1 2 3n 1 234 n
1 n
所以 an
1 n
3、构造法：当数列前一项和后一项即 an 和 an-1 的递推关系较为复杂时，我们往往对原
数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或
等差数列）。具体有以下几种常见方法。
（1）、待定系数法：
当 A=C 时，我们往往也会采取另一种方法，即左右两边同除以 Cn +1,重新构造数列，来求
an 。
【例 5】设 a0 为常数，且 an 3n1 2an1 （ n N * ），
证明：对任意
n≥1， an
1 [3n 5
(1) 2n ] (1)n
2n
a0
(完整版)数列通项公式及其求和公式
一、数列通项公式的求法（1）已知数列的前n 项和n S ,求通项n a ； （2）数学归纳法：先猜后证;（3）叠加法(迭加法)：112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+L ；叠乘法(迭乘法)：1223322111a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅=-----ΛΛ. 【叠加法主要应用于数列{}n a 满足1()n n a a f n +=+，其中()f n 是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成1()n n a a f n +-=，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出n a ，从而求出n s 】（4）构造法(待定系数法):形如1n n a ka b -=+、1nn n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列；【用构造法求数列的通项或前n 项和：所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的通项或前n 项和.】 （5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决.【根据递推公式求通项公式的常见类型】 ①1+1=,()n n a a a a f n =+型，其中()f n 是可以和数列，用累加法求通项公式，即1思路（叠加法）1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得111()n n i a a f n -=-=∑，即111()n n i a a f n -==+∑例题1：已知11a =，1n n a a n -=+，求n a解：∵1n n a a n -=+ ∴1n n a a n --=，依次类推有：122321122n n n n a a n a a n a a -----=--=--=、、…∴将各式叠加并整理得12n n i a a n =-=∑，121(1)2n nn i i n n a a n n ==+=+==∑∑ 思路（转化法）1(1)n n a pa f n -=+-，递推式两边同时除以np 得11(1)n n n n na a f n p p p ---=+，我们令n n n a b p =，那么问题就可以转化为类型一进行求解了.例题： 已知12a =，1142n n n a a ++=+，求n a解：∵1142n n n a a ++=+ ∴142nn n a a -=+，则111442nn n nn a a --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∵令4n n na b =，则112nn n b b -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，依此类推有11212n n n b b ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭、22312n n n b b ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭、…、22112b b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴各式叠加得1212nnn i b b =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑，即122111*********n n n n n n n n i i i b b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ∴1441422n nnn n n n a b ⎡⎤⎛⎫=⋅=⋅-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦②1+1=,()n n a a a a f n =⋅型，其中()f n 是可以求积数列，用累乘法求通项公式，即1(2)(1)f f a思路（叠乘法）：1(1)n n a f n a -=-，依次类推有：12(2)n n a f n a --=-、23(3)n n a f n a --=-、…、21(1)af a =， 将各式叠乘并整理得1(1)(2)(3)na f f f a =⋅⋅⋅…(2)(1)f n f n ⋅-⋅-，即(1)(2)(3)n a f f f =⋅⋅⋅…1(2)(1)f n f n a ⋅-⋅-⋅例题：已知11a =，111n n n a a n --=+，求n a . 解：∵111n n n a a n --=+ ∴111n n a n a n --=+，依次类推有：122n n a n a n ---=、2331n n a n a n ---=-、…、3224a a =、2113a a = ∵11a =∴将各式叠乘并整理得112311n a n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+-…2143⋅⋅，即12311n n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+- (212)43(1)n n ⋅⋅=+ ③1+1=,n n a a a pa q =+型（其中p q 、是常数），可以采用待定系数法、换元法求通项公式，即1()11n n q q a p a p p +-=---，设1n n qba p=--，则1n n b pb +=.利用②的方法求出n b 进而求出n a 当1p =时，数列{}n a 是等差数列；当0,0p q ≠=时，数列{}n a 是等比数列； 当0p ≠且1,0p q ≠≠时，可以将递推关系转化为111n n q q a p a p p +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭,则数列1nq a p ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以11qa p +-为首项，p 为公比的等比数列.思路（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1qp μ=-，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1111n n q q a a p p p -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，即1111n nq qa a p p p -⎛⎫=++ ⎪--⎝⎭ 例题：已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式 解：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=∵11a =∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列∴113422n n n a -++=⋅=，即123n n a +=-④1+1=,n n n a a a pa q =+型,其中p q 、是常数且0,1q q ≠≠，111n n n n a a p q q q q ++=⋅+,设n n n a b q =，则11n np b b q q+=⋅+思路（构造法）：11n n n a pa rq --=+，设11n n n n a a q q μλμ--⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()11n n q p q rq λμλ-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，从而解得p q r p q λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩那么n na r qp q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以1a r q p q +-为首项，p q 为公比的等比数列 例题：已知11a =，112n n n a a --=-+，求n a 。
(完整版)递归法求数列通项
(完整版)递归法求数列通项1. 引言在数学中，数列是由一组按照特定顺序排列的数字所组成的序列。
数列通项是指数列中的任意一项，通过通项公式可以求解数列中的任意项。
本文将使用递归法来推导并求解数列通项。
2. 递归法的原理递归法是一种通过建立数学函数与数学函数自身之间的关系来解决问题的方法。
在计算机科学中，递归法通过调用自身来解决复杂的问题。
求解数列通项时，递归法可以通过数列前一项和前两项的关系来逐步推导并求解后续的数列项。
3. 数列通项的递归公式对于某个数列递推的递归公式，通常表示为 f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中 f(n) 表示第 n 项，f(n-1) 表示第 n-1 项，f(n-2) 表示第 n-2 项。
这个递归公式可以用来计算数列中的任意一项。
4. 递归法求解数列通项的步骤以下是使用递归法求解数列通项的步骤：1. 确定数列的前两项，即 f(0) 和 f(1)。
2. 建立数列前一项和前两项的关系，即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。
3. 编写递归函数，实现求解数列通项的逻辑。
4. 调用递归函数，传入需要求解的项数 n，得到数列中第 n 项的值。
5. 递归法求数列通项的示例代码def get_sequence(n):if n == 0:return 0elif n == 1:return 1else:return get_sequence(n-1) + get_sequence(n-2)6. 总结通过使用递归法可以方便地求解数列中的任意一项。
递归法的关键在于建立数列前一项和前两项的递推关系，并编写递归函数来实现求解数列通项的逻辑。
本文提供了一个简单的示例代码，读者可以根据具体的数列进行相应的修改和应用。
以上是关于递归法求数列通项的完整版文档。
通过使用递归法，可以在数学和计算机科学领域应用求解各种复杂的递推问题。
希望本文能对读者理解递归法的应用有所帮助。
小六数学第2讲：数列与数表(教师版)
第二讲数列与数表1.等差数列：若干个数排成一列,称为数列。
数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。
从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。
例如:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。
计算等差数列的相关公式:通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。
某些问题以转化为求若干个数的和解决这些问题时先要判断这些数是否成为等差数列，如果是等差数列才可以运用它的一些公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
2.斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34…这个以1，1分别为第1项、第2项，以后各项都等于前两项之和的无穷数列，就是斐波那契数列。
3.周期数列与周期：从某一项开始，重复出现同一段数的数列称为周期数列，其重复出现的这一段数的个数则称为此数列的周期。
例如： 8，1，2，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6……这是一个周期数列，周期为6。
4.寻找数列的规律，通常有以下几种办法：1寻找各项与项数间的关系。
2考虑此项与它前一项之间的关系。
3考虑此项与它前两项之间的关系。
4数列本身要与其他数列对比才能发现其规律，这类情形稍微复杂些。
5有时可以将数列的项恰当分组以寻求规律。
（“分组”是难点）6常常需要根据题中的已知条件求出数列的若干项之后，找到周期，探求规律。
1.逐步了解首项、末项、项数、公差与和之间的关系。
2.在解题中应用数列相关知识。
专题1数列的通项公式的求法-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
题型一 定义法
纠缠数列
纠缠数列是指，等差数列某些项成等比，或者等比数列某些项成等差
例 1.已知数列 an 为各项均不相等的等比数列，其前 n 项和为 Sn ，且3a2 ，2a3 ，a4 成等
S3 差数列，则 a4
例 2.已知正项等差数列 an 中，a1 a2 a3 15 ，若 a1 2 ，a2 5 ，a3 13 成等比数列，
例4 设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝Sn Sn＋1，则Sn＝________.
解析： 由an＋1＝Sn Sn＋1得：Sn＋1 — Sn＝Sn Sn＋1
方法小结
∵又SS11n＝≠0－，1∴，∴S1n－ S1Snn1＋是1＝首1项，为即－S1n1，＋1公－差S1n为＝－－11的. 等差数列．角角an度度 一二SSn1,：：nS换换n11, nSa≥nn 2, n N*
∴ 1 ＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－1
Sn
n
an Sn Sn1(n 2)
题型三 知和求项—— an 与Sn
练 2 已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，且满足：an 0 ，an2 2an 4Sn 3 ，求an .
前 n 项积求通项
类比前
n
项和，前
n
项积满足： an
a2 a1
a3 a2
an1 an2
an an1
2n则1 1an
2(an3an1) n(an11
ann2
)
n 2(an21
a1
)
a1
f
12
(n 1) f
n2
(n 2)
f
n 1
(1)
a1
(n
≥
2)
专题07 求数列的通项公式(解析版)
专题07 求数列的通项公式【考点1】已知前你n 项和，求通项公式的步骤(1) 、当n ＝1时，a 1＝S 1；(2) 、当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1；(3)对n ＝1时的情况进行检验，若适合n ≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式． 【考点2】已知数列的前几项，求通项公式如果符号正负相间，则符号可用(－1)n 或 (－1)n＋1来调节.分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系来解决. 对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决.此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决. 【考点3】已知数列的递推关系，求通项公式当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列； 当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列； 当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．三、解法解密 二、考点再现一、核心先导若数列{}n a 满足1n n a a an b ++=+，则数列{}{}221,n n a a -都是公差为a 的等差数列，若数列{}n a 满足()10,0,1n t n n a a a b a b b ++⋅=⋅≠≠≠，则数列{}{}221,n n a a -都是公比为b 的等比数列.题型一:公式法例1、（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））记n S 为各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和，378S =，312a =，则5a =（ ）A ．14B ．18C ．1D ．2【变式训练1-1】、（2022·广西·模拟预测（理））在等比数列{}n a 中，若253,6a a ==，则11a =___________. 例2、（2022·浙江台州·模拟预测）已知公差为2的等差数列{}n a 中，3a ，4a ，7a 成等比数列. (1)求n a ；(2)设2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】(1)25n a n =-【变式训练2-1】、（2022·上海松江·二模）在等差数列{}n a 中，已知1210a a +=，34530a a a ++=． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n n a b +是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n S ．题型二:累加法与累乘法(一) 、用累加法求数列的通项公式例3、（2022·上海市控江中学高二期末）己知数列{}n a 满足111,2(,1)n n a a a n n n +==+∈≥N ，则其通项公式n a =________．【答案】2n n 1-+ 【解析】 【分析】利用累加法即可求出数列{}n a 的通项公式. 【详解】因为12n n a a n +=+，所以12n n a a n +-=，所以212a a -=，324a a -=，436a a -=，…，()121n n a a n --=-，把以上1n -个式子相加，得()()()()()213243124621n n a a a a a a a a n -++++++++---=--……， 即()()122212n n a n a +---=，所以2211nn n a an n =-+=-+.故答案为：2n n 1-+.【变式训练3-1】、在数列{}n a 中,112a =,12141n n a a n +-=-,则该数列的通项公式n a = ． 【分析】题目已知条件是1()(2n n a a f n n --=≥,且n *∈N ）形式,用叠加原理求解.【解析】因为121111()4122121n n a a n n n +-==---+,所以运用累加法即可得到：1122111111111()()()[(1)()()](1)23352321221n n n n a a a a a a n n n ----+-++-=-+-++-=----,所以11143(1)22142n n a a n n -=+-=--,故应填4342n n --． 【点评】当1()(2n n a a f n n --=≥,且n *∈N ）满足一定条件时,可用1()n n n a a a -=-+12()n n a a ---+…211()a a a -+来求通项n a ,这种方法通常叫累加法. 本题用到裂项相消求和,相消时应注意消去的项规律,及消去哪些项,保留哪些项,于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和.还有不少同学会出现的错误,认为21d n n =-或21d n n =+是常数,实际上21d n n =-或21d n n=+是个变量,n 变化d 随之改变.【变式训练3-2】、（2022·浙江柯桥·高二期末）已知等差数列{}n a 中，16a =，前5项的和为590S =，数列{}n b 满足11b =，()*12N n n n b b n +-=∈．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)记n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】(1)()6N*n a n n =∈，()*21N n n b n =-∈；(2)()()211234224234665n n n n n n T n n n ++⎧+-+≤⎪=⎨--+≥⎪⎩. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列求和公式可得6d =，进而可得()6N*n a n n =∈，再利用累加法可求n b ，即得； （2）由题可得()()62142615n n n n n n n c a b n n ⎧-+≤⎪=-=⎨--≥⎪⎩，然后利用分组求和法即得.(1)设公差为d ，由题设可得5456902d ⨯⨯+=， 解得6d =，所以()6N*n a n n =∈； 当2n ≥时，2123221111222222n n n n n b b b b b b b b ----=⎫⎪-=⎪⇒-=++⋅⋅⋅+⎬⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-=⎭，∴122112nn n b -==--，当1n =时，11b =（满足上述的n b ），所以()*21N n n b n =-∈．(2)∵()()62142615n n n n n n n c a b n n ⎧-+≤⎪=-=⎨--≥⎪⎩．当4n ≤时，()()21271361222nn n T c c c n =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦ ()()212761212nn n -++=-- 213422n n n +=+-+．当5n ≥时，()()561234222313761nn n T c c c n ⎡⎤=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+⎣⎦()()()54212463234122n n n ---+=+--1223466n n n +=--+．综上所述：()()211234224234665n n n n n n T n n n ++⎧+-+≤⎪=⎨--+≥⎪⎩． (二) 、用累乘法求数列的通项公式例4、（2022·安徽黄山·一模）已知数列{}n a 满足12a =，()1221n n n a a n ++=+，则20211232020a a a a a =+++⋅⋅⋅+___________.【答案】10111010【解析】 【分析】利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式，利用错位相减法可求得122020+++a a a ，即可求得所求代数式的值. 【详解】因为数列{}n a 满足12a =，()1221n n n a a n ++=+，则()1221n n n a a n ++=+，所以，当2n ≥时，()()132112121232421223n n n n n a a a a a n a a a n--+⨯⨯=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=+⋅， 12a =也满足()112n n a n -=+⋅，所以，对任意的N n *∈，()112n n a n -=+⋅.令122020S a a a =+++，则012201922324220212S =⨯+⨯+⨯++⨯，可得1220192020222322020220212S =⨯+⨯++⨯+⨯，上述两个等式作差得()20191220192020202020202122222202122202122020212S --=++++-⨯=+-⨯=-⨯-，所以，202012202020202a a a S +++==⨯，因此，2020202120201232020202221011=202021010a a a a a ⨯=+++⋅⋅⋅+⨯. 故答案为：10111010. 例5、（2021·河北·沧州市一中高三阶段练习）已知数列{}n a 中，112a =，且满足1(1)n n na n a +=+. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设112n n n b a λ+⎛⎫=-⎪⎝⎭，若对任意的*N n ∈，数列{}n b 是单调递减数列，求实数λ的取值范围. 【答案】(1)2n na = (2)1,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用累乘法求得n a . （2）由10n nb b 分离常数λ，结合函数的性质求得λ的取值范围.(1)依题意0n a ≠，故11n n a n a n ++=，从而11n n a n a n -=-，2n ≥， 故3212112n n n a a a a na a a a -⋅==，2n n a =， 当1n =时，上式也符合，所以2n n a =. (2)由（1）知，112221n n n n b a n λλ+⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 若对任意的*N n ∈，数列{}n b 是单调递减数列，则1422021n n n b b n n λ+⎛⎫-=--<⎪++⎝⎭对任意的*N n ∈恒成立， 即4221maxn n λ⎛⎫>- ⎪++⎝⎭， 又()()4222221123n n n n n n n-==++++++， 因为函数()20y x x x=+>在区间()0,2上单调递减， 在()2,+∞上单调递增，所以由对勾函数的性质可知，当1n =或2n =时，23n n++取得最小值6， 即4221n n -++取得最大值13，故实数λ的取值范围为1,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【变式训练5-1】、数列{}n a 中，前n 项和为n S ， 2nn na S = (1)求数列{}n a 的通项公式；学=科网 (2)令2112n n n n n S S b S S ++++=+，证明： 12223n n b b b n <+++<+.【解析】(1) 2nn na S =， ()()11122n n n a S n ---=≥，两式相减得： ()1122n n n n a na a --=-， 整理得： ()()121n n n a n a --=-， （叠乘法）因为()1132n n a n n a n --=≥-，所以3221a a =， 4332a a =，…， 112n n a n a n --=-， 相乘得21na n a =-，且当n =1、2时，满足此式， 所以()21n a n a =-.(2) ()()()()()()22222112212122n n n a n na b n na n n a +++=++++ 22n nn n +=++， 因为n b 2>，所以122n b b b n +++>；222211211222n n nb n n n n n n +=++=++-+⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭ 12111112213242nb b b n n n +++⎛⎫=+-+-+⋯+- ⎪+⎝⎭ 11122123212n n n n ⎛⎫=++--<+ ⎪++⎝⎭.【变式训练5-2】、（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且32n n a S n =+. (1)求数列{}n a 的通项公式： (2)证明：12123nn S S S ++⋅⋅⋅+<. 【答案】(1)()12n n n a +=(2)证明见解析 【分析】（1）利用n a 与n S 关系可推导得到111n n a n a n -+=-，利用累乘法即可求得n a ；题型三:已知前n 项和，求通项公式例6、（2022·湖南·安仁县第一中学模拟预测）已知数列{}n a 中，前n 项的和为n S ，且34n n S a =- (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)如果123123n n a a a a ++++<92-823n⎛⎫⨯⎪⎝⎭恒成立，求n 最小值. nna ++，解不等式即可， nna ++12()23n n -++⨯32)312n -++⨯212()32()]3n -+++n⎫⎪⎭，【变式训练6-1】、（2022·四川资阳·一模（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足3232S a =+，且12n n a S a =+．(1)求{}n a 的通项公式； (2)数列{}n b 满足11231232n nna b b b b +++++=-，求{}n b 的前n 项和n T ． 2q为公比的等比数列，2得13a a +122n -=⋅=n nna b ++=3131n n b b --+++=，2n ≥12，符合b 1212222n nn b ++=+++121231222n n n 012111112222n n n T T --==++++-题型四:构造法例7、（2022·安徽·合肥市第十一中学高二期末）已知数列{}n a 满足13a =，()*121N n n a a n +=+∈.(1)求证：数列{}1n a +是等比数列； (2)求数列{}n a 的通项公式及前n 项的和n S . 【答案】(1)证明见解析； (2)121n n a +=-，224n n S n +=--. 【解析】 【分析】 （1）证明出1121n n a a ++=+，即可证得结论成立； （2）由（1）的结论并确定数列{}1n a +的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法可求得n S . (1)证明：因为数列{}n a 满足13a =，()*121N n n a a n +=+∈，则()1121n n a a ++=+，且114a +=，则218a +=，3116a +=，，以此类推可知，对任意的N n *∈，10n a +>，所以，1121n n a a ++=+，故数列{}1n a +为等比数列. (2)解：由（1）可知，数列{}1n a +是首项为4，公比为2的等比数列，则111422n n n a -++=⨯=，所以，121n n a +=-，因此，()()()()()23412341212121212222n n n S n ++=-+-+-++-=++++-()222122412n n n n +-=-=---.【变式训练7-1】、（2022·江苏镇江·高二期末）已知数列{}n a 满足111,21,.n n a a a n N *+==+∈(1)证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)令(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和.n T【答案】(1)证明见解析，21nn a =-(2)1(1)2 2.n n T n +=-⋅+ 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，进而求解得答案； （2）根据错位相减法求和即可. (1)解：数列{}n a 满足111,21,.n n a a a n N *+==+∈112(1)n n a a ++=+，∴数列{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列， 11222n n n a -∴+=⋅=，即21n n a =-；∴21nn a =-(2) 解：(1)2n n n b n a n =+=⋅，231222322n n T n ∴=⋅+⋅+⋅++⋅，23412122232(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅，2311112(21)22222222221n nn n n n n T n n n ++++-∴-=++++-⋅=-⋅=--⋅-，1(1)2 2.n n T n +∴=-⋅+A 组 基础巩固1．（2022·广西北海·一模（理））在等差数列{}n a 中，38a =，712a =，则12a =（ ） A ．19 B ．18C ．17D ．20【答案】C【分析】利用已知条件列方程组求出1,a d ，从而可求出12a . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由题意可得1128612a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得161a d =⎧⎨=⎩， 所以1211161117a a d =+=+=， 故选：C.2．（2022·全国·模拟预测（文））在数列{}n a 中，()()()111,11N n n a n n a a n *+=+-=∈，则2022a =（ ）A ．40432022B ．20212022C ．40402021D ．20202021()21111111111212a a a n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭3．（2022·广西·模拟预测（文））在等比数列{}n a 中，124a a +=，若1a 、22a +、3a 成等差数列，则{}n a 的公比为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B4．（2010·山西临汾·模拟预测（文））已知等差数列{}n a 的公差是2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于（ ） A ．6- B ．4- C ．8- D ．10-【答案】A【分析】利用等比中项，结合等差数列通项公式列方程求解即可. 【详解】解：因为等差数列{}n a 的公差为2，且1a ，3a ，4a 成等比数列， 所以2314a a a =，即()()()2222224a a a +=-+， 解得26a =- ， 故选：A5．（2022·山西大附中三模（理））已知等差数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足652317a S a a ==，，则12a =（ ）A ．28B ．30C ．32D ．35【答案】D【分析】根据等差数列基本量的计算可得公差和首项的值,进而代入即可求解.【详解】设公差为d 且0d >，由652317a S a a ==，，得()()111115172510230a d a a d a d a d d d +=⎧=⎧⎪+=++⇒⎨⎨=⎩⎪>⎩， 故1211123335a a d =+=+=， 故选：D6．（2022·广东·肇庆市外国语学校模拟预测）若数列{}n a 满足121n n a a +=-，则称{}n a 为“对奇数列”．已知正项数列{}1n b +为“对奇数列”，且12b =，则n b =（ ）A ．123n -⨯B ．12n -C ．12n +D ．2n【答案】D【分析】根据题意可得()11211n n b b ++=+-，进而可得{}n b 为等比数列，再求得通项公式即可.【详解】由题意得()11211n n b b ++=+-，所以12n n b b +=，又12b =，所以{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，所以1222n nn b -=⨯=．故选：D ．7．（2022·四川·成都七中模拟预测（文））设数列{}n a 满足11,1n n n a a a ++=-且112a =，则2022a =（ ）A ．2-B ．13-C ．12D ．38．（2020·云南·昆明一中模拟预测（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和为()*3n n S a n =+∈N ，则实数a 的值是（ ） A ．3- B ．3 C ．1- D ．1【答案】C【分析】先求出1a 23,a a ，由2213a a a 解得即可；【详解】等比数列{}n a 的前n 项和为()*3n n S a n =+∈N ，当1n =时，可得1113a a S +==，可得13a a =+，当2n ≥时，113n n S a --=+，则()1113323n n n n n n a S S a a ---==-=⋅-++所以213123236,2318a a --=⋅==⋅=因为{}n a 为等比数列， 所以2213a a a ，即()66183a ⨯=+解得1a =-，经检验符合题意. 故选：C ．9．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））等差数列{}n a 中，1239a a a ++=，4516a a +=，则6a =（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12【答案】C【分析】根据条件求出1,a d 即可.【详解】因为1231339a a a a d ++=+=，4512716+=+=a a a d ， 所以可解得1a 1,d 2，所以61511011a a d =+=+=， 故选：C10．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）已知数列{}n a 满足：①先单调递减后单调递增：②当3n =时取得最小值．写出一个满足条件的数列{}n a 的通项公式n a =_________．【答案】()()2*3N n n a n =-∈【分析】利用数列单调性的定义进行判断，从而得到数列的最值.【详解】设()()2*3N n a n n =-∈，则()212n a n +=-，()()2122325n n a a n n n +-=---=-，当120152,n n n n a a +-=-≤<≤，数列单调递减，当1503,2n n n a a n +-=->≥，数列单调递增，即1234a a a a >><<⋅⋅⋅， 可得当3n =时数列取得最小值，故答案为：()()2*3N n n a n =-∈11．（2022·河南开封·模拟预测（理））在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若33a =，39S =，则{}n a 的公比为______．12．（2022·陕西西安·模拟预测（文））已知等差数列{}n a 的公差1d =，且3a ，5a ，6a 成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和为n S ．13．（2022·河南·模拟预测（理））若数列{}n a 满足11a =，12n n a a n +-=． (1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121112na a a +++<． ()2112(1)2(2)21a a a n n ++-+=-+-+++222(1)2n n -+⋅-=12=<； 111=-， 2311111111111112231n n a a a a n n ⎛⎫++=++++<+-+-++- ⎪-⎝⎭12n=-<12na ++<； 21n n -+.B 组 能力提升14．（2023·江西景德镇·模拟预测（理））已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列且公比2q .数列{}n a 和数列{}n b 的前n 和分别为n S 和n T ，且满足222n n T S +=，则等差数列{}n a 的通项公式为_____________. 【答案】42n a n =-【分析】分别令1,2,3n =，得到224468222T S T S T S+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，设{}n a 的公差为d ，化简得到114275634740a d a d -=⎧⎨-=⎩，解方程组可得答案.【详解】由已知得，令1,2,3n =得，222244446868222222T S T S T S T S T S T S ⎧+==-⎧⎪⎪+=⇒=-⎨⎨⎪⎪+==-⎩⎩，根据等比数列求和公式，得到2141613,15,63T b T b T b ===，故12141832152632b S b S b S =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩428225(2)221(2)S S S S -=-⎧⇒⎨-=-⎩，设{}n a 的公差为d ，则1111462105108282422142a d a d a d a d +-=+-⎧⎨+-=+-⎩，化简得111427562347404a d a a d d ⎧-==⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，42n a n =-故答案为：42n a n =-15．（2022·广西·模拟预测（文））已知等比数列{}n a 满足31352,4a a a a +=+=，则79a a +=___________. 16．（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知数列{}n a 为等比数列，1272a a +=，2336a a +=，则4a =______. 【答案】6【分析】设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，由题意可得到11(1)72(1)36a q a q q +=⎧⎨+=⎩，能求出1a 和q ，即可求出答案【详解】解：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，由题意可得1211223117236a a a a q a a a q a q +=+=⎧⎨+=+=⎩即11(1)72(1)36a q a q q +=⎧⎨+=⎩， 易得10q +≠，所以两式相除，解得12q =， 将12q =代入1(1)72a q +=可得148a =，所以3416a a q ==， 故答案为：617．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））若数列{}n a 满足12a =，()*121N n n n a a a n ++++=∈，则其前2020项和为___________. 【答案】675【分析】利用分组求和法求得正确答案. 【详解】12a =，121n n n a a a ++++=()()()2020123456720182019202016731675S a a a a a a a a a a a ∴=+++++++⋯⋯+++=+⨯=故答案为：67518．（2022·安徽·全椒县第八中学模拟预测（理））雪花曲线是由瑞典人科赫（Koch ）于1904年提出的一种分形曲线，其形态似雪花，故称雪花曲线，又称科赫雪花．雪花曲线是由等边三角形开始，把三角形的每条边三等分，并在每条边三等分后的中段向外作新的等边三角形，但要去掉与原三角形叠合的边．接着对所得新图形的每条边继续上述过程，即在每条边三分后的中段，向外画新的“尖形”．不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线．下图分别是0、1、2、3级的雪花曲线，若第0级的等边三角形边长等于1，则第4级的雪花曲线周长等于______．19．（2020·全国·模拟预测（文））记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，12n n a S +=（n 为正整数），则数列{}n a 的通项公式为________．故答案为：21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩. 20．（2022·浙江宁波·一模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法•商功》中，杨辉将堆垜与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n 层放n a 个物体堆成的堆垛，则1210111a a a +++=__________． 【答案】2011【分析】由累加法即可求得n a ，再利用裂项相消法即可求解. 【详解】由题可知：1231,3,6a a a ===，即有()12n n a a n n --=≥， 所以121321()()()n n n a a a a a a a a -=+---+++(1)12342n n n +=+++++=，当n=1成立 所以1222(1)1n a n n n n ==-++，所以121011122222222223341011a a a +++=-+-+-++- 22021111=-=. 故答案为：201121．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和31n S n =-，数列{}n b 满足11b =-，()121n n b b n +=+-. (1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式. (2)若n nn a b c n⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】(1)2,13,2n n a n =⎧=⎨≥⎩，22n b n n =-(23)n ++-符合上式，∴n b =2,36,n n -=⎧=⎨-⎩C 组 真题实战练22．（2019·全国·高考真题（理））已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C【解析】利用方程思想列出关于1,a q 的方程组，求出1,a q ，再利用通项公式即可求得3a 的值．【详解】设正数的等比数列{an }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键．23．（2021·全国·高考真题（文））记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】A【分析】根据题目条件可得2S ，42S S -，64S S -成等比数列，从而求出641S S -=，进一步求出答案. 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和， ∴2S ，42S S -，64S S -成等比数列 ∴24S =，42642S S -=-= ∴641S S -=， ∴641167S S =+=+=. 故选：A.24．（2012·全国·高考真题（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为 A ．100101B ．99101C ．99100D ．101100【答案】A【详解】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d. ∵a 5＝5，S 5＝15，∴1145{545152a d a d +=⨯+=⇒111a d =⎧⎨=⎩⇒a n ＝n. ∴11n n a a +⋅＝()11+n n ＝111n n -+，S 100＝112⎛⎫- ⎪⎝⎭＋1123⎛⎫- ⎪⎝⎭＋…＋11100101⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1－1101＝100101. 25．（2014·全国·高考真题（理））等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{}lg n a 的前8项和等于 A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C【详解】试题分析：利用等比数列的性质可得a 1a 8=a 2a 7=a 3a 6=a 4a 5=10．再利用对数的运算性质即可得出． 解：∵数列{a n }是等比数列，a 4=2，a 5=5， ∴a 1a 8=a 2a 7=a 3a 6=a 4a 5=10． ∴lga 1+lga 2+…+lga 8 =lg （a 1a 2…×a 8） ==4lg10 =4． 故选C ．考点：等比数列的前n 项和．26．（2014·天津·高考真题（文））设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2 B ．-2C ．12D ．12-【答案】D 【分析】把已知2214S S S 用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S ，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题． 27．（2010·湖北·高考真题（文））已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a +=+ A ．12+ B ．12- C ．322+ D ．322-【答案】C【详解】试题分析：由已知3122a a a =+，所以21112a q a a q =+，因为数列{}n a 的各项均为正，所以21q =+，222910787878322a a a q a q q a a a a ++===+++．故选C ．考点：等差数列与等比数列的性质．28．（2015·浙江·高考真题（理））已知{}n a 是公差d 不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若348,,a a a 成等比数列，则 A ．140,0a d dS >> B ．140,0a d dS << C ．140,0a d dS >< D ．140,0a d dS <>【答案】B【详解】∵等差数列，，，成等比数列，∴，∴，∴，，故选B.考点：1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念29．（2019·全国·高考真题（理））记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 【答案】4.【分析】根据已知求出1a 和d 的关系，再结合等差数列前n 项和公式求得结果. 【详解】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．30．（2019·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.31．（2008·四川·高考真题（文））设数列{}n a 中，112,1+==++n n a a a n ，则通项n a = ___________． 21⎤++++⎦)1+ 故应填【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；抓住1n n a a +=32．（2014·广东·高考真题（文））等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++=_____.【答案】5.【详解】试题分析：由题意知21534a a a ==，且数列{}n a 的各项均为正数，所以32a =，()()()223512345152433352a a a a a a a a a a a a a ∴=⋅⋅=⋅==，()521222324252123452log log log log log log log 25a a a a a a a a a a ∴++++===．考点：1．考查等比数列的基本性质；2．对数的基本运算．33．（2015·安徽·高考真题（理））已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 . 2q ，项和1n a S =等比数列的性质；2.等比数列的前34．（2014·江苏·高考真题）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是_______. 【答案】4【详解】试题分析：设等比数列{}n a 的公比为100q a >>，．∵8642a a a =+，∴7511123=+a q a q a q ，化为4220q q --=，解得22q =．∴261254124a a q a q ===⨯=．故答案为4．考点：等比数列的通项公式.35．（2015·全国·高考真题（理））n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，22n n a a +=43n S +.（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=,求数列{n b }的前n 项和. 1n （Ⅱ））根据数列的递推关系，利用作差法即可求11n a +，利用裂项法即可求数列121n +++本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．36．（2021·全国·高考真题）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求使n n S a >成立的n 的最小值．37．（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <． 113n n --+++121111333-⎫+++⎪⎭n ，230121*********323333n n n -⎫⎛⎫++++-++++=⎪ ⎪⎭⎝⎭0101233--+++113---n n 2111111212233-----+++n n ， ⑧ 311212233---+++nn ． ⑨211133-⎫++-⎪⎭n 123--⨯n n ． 03<⨯nn．113n n --+++3213n n -+++2111133333n n n n =++++-1)323n nn-⋅，3(134n n --1n b c ++=：导函数法 23+++=nx x x )()(1'1n x x ⎡⎤⎤-⎣⎦1-++=n nx1-n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭' 13113311(1)4334423n nnn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二． 【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n n S T ,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，使1+=-n n n b c c ，求得n T 的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. 38．（2014·全国·高考真题（理））已知数列{}n a 满足111,31n n a a a +==+. (1)证明12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)证明：121113 (2)n a a a +++<. 【答案】（1）证明见解析，113322n n a -+=；（2）证明见解析. 【详解】试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出1na ，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式. 试题解析：（1）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，所以112312n n a a ++=+，所以12n a ⎧+⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，首项为11322a +=，公比为3，所以12n a +=1332n -⋅，解得n a =312n-. （2）由（1）知：n a =312n -，所以1231n n a =-， 因为当1n ≥时，13123n n --≥⋅，所以1113123n n -≤-⋅，于是11a +21a +1na =31(1)23n -32<，+1n a 32<. 【易错点】对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路考点：本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识，考查同学们的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力。
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数列通项公式的求法
一、定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，
2
5
5a S =．求数列{}n a 的通项公式.（n n a n 5
3
53)1(53=⨯-+=） 二、公式法（n S 构造法）：已知n S 求n a ，用作差法：{
11,(1)
,(2)
n n n S n a S S n -==
-≥。
例2、数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122-+=n n S n ，求{}n a 的通项公式。
例3、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足25+=n n a S ．求数列{}n a 的通项公式。
三、累加法：形如)(1n f a a n n =-+
例3、已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
（2n a n =）。
例4、已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
（3 1.n n a n =+-）
四、累乘法：形如
)(1
n f a a n
n =+ 例5、已知数列{}n a 满足n n n a a ∙=+31，求数列{}n a 的通项公式。
例6、已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通
项公式。
解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥
①
所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=+++
+-+
②
用②式－①式得1.n n n a a na +-=则1(1)(2)n n a n a n +=+≥
故
1
1(2)n n
a n n a +=+≥ 所以1
3
22212
2
!
[(1)43].2
n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=
⋅⋅⋅
⋅=-⋅⋅⨯=
③
由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知
11a =，则21a =，代入③得!13452
n n a n =⋅⋅⋅⋅
⋅=。
所以{}n a 的通项公式为!.2
n n a =
五、λ构造法：形如q pa a n n +=+1
例7、已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .（321-=+n n a .）
六、除指法：形如n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。
（或
1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数）
例8、已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
（3
1()222
n
n a n =-。
） 七、取倒法. 形如1
1n n n a a ka b
--=+或11n n n n a ba ka a ---=的递推数列都可以用此法求通项。
例9、1),2(1
3111=≥+⋅=
--a n a a a n n n ，求数列{}n a 的通项公式 。
（231
-=n a n ） 八、对数变换法：形如r
n n a p a ⋅=+1
例10、已知3
,22
1
1n n a a a ==+，求其通项公式。
解：由3
,221
1n n a a a ==+知0>n a 且3≠n a ，将等式两边取对数得3lg lg 2lg 1-=+n n a a ， 即)3lg (lg 23lg lg 1-=-+n n a a ，∴{}3lg lg -n a 为等比数列，其首项为3
2
lg 3lg lg 1=-a ，公比为2∴32lg 2
3lg lg 1
⋅=--n n a ，∴3lg 3
2
lg 2lg 1+⋅=-n n a 。
通项公式为1
2)3
2(3-⋅=n n a
试一试：已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足855--=n n a n S ，求数列{}n a 的通项公式
【模拟试题】
1. 已知}{n a 中，31=a ，n
n n a a 21+=+，求n a 。
2. 已知}{n a 中，11=a ，231+=-n n a a （2≥n ）求n a 。
3. 已知}{n a 中，11=a ，n
n n a a 221+=-（2≥n ）求n a 。
4. 已知}{n a 中，11=a ，其前n 项和n S 与n a 满足
1222
-=
n n
n S S a （2≥n ） （1）求证：}1
{
n S 为等差数列 （2）求}{n a 的通项公式
5. 已知在正整数数列}{n a 中，前n 项和n S 满足
2)2(81
+=
n n a S
（1）求证：}{n a 是等差数列 （2）若n
b 3021
-=
n a ，求}{n b 的前n 项和的最小值
【试题答案】
1、 12221+=+-=n
n
n a a 2、13213
)1(11
1-⋅=-⋅+=--n n n a a
3、1
22--⋅=n n n n a
4、解：
（1）
1222
1
-=
--n n n n S S S S ∴ 112--=-n n n n S S S S
2111
=--n n S S ∴ }1{n S 是首项为1，公差为2的等差数列 ∴ 121
-=n S n
（2）121-=
n S n ∴ )
2(384211212)
121(
222
≥+--=--⋅-=n n n n n a n
又 ∵ 11=a ∴
⎪⎩⎪⎨⎧≥+--==)
2(3842
11
2n n n n a n
5、解：
（1）2
111)2(81
+==a S a ∴ 21=a
2≥n 时，2
121)2(81
)2(81+-+=-=--n n n n n a a S S a
整理得：0)4)((11=--+--n n n n a a a a
∵ }{n a 是正整数数列 ∴ 01≠+-n n a a ∴ 41=--n n a a ∴ }{n a 是首项为2，公差为4的等差数列 ∴ 24-=n a n （2）由（1）可知
31230)24(21
-=--=
n n b n
∴ }{n b 为等差数列 ∴
n n S n 302-= ∴ 当15=n 时，n S 的最小值为2251530152
-=⨯-。