2010届同心圆梦预测试题-数学

绝密★启用前 北京同心圆梦教育中心版权所有2010届同心圆梦预测试题数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：球的表面积公式：S ＝4πR 2，其中R 是球的半径.如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率：P n （k ）＝C kn p k (1-p )n-k （k ＝0，1，2，…，n ）.如果事件 A ．B 互斥，那么P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）. 如果事件 A ．B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）·P （B ）.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}6,5,4=P ，{}3,2,1=Q ，定义{}Q q P p q p x x Q P ∈∈-==⊕,,|，则集合Q P ⊕的所有真子集的个数为（ ）A ．32B ．31C ．30D ．以上都不对2．已知函数()cos 2f x x π=+（x R ∈），则下列叙述错误的是 （ ） A ．()f x 的最大值与最小值之和等于πB ．()f x 是偶函数C ．()f x 在[]4,7上是增函数D ．()f x 的图像关于点,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称 3．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点。

公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 （ ）A ．分层抽样法，系统抽样法B ．分层抽样法，简单随机抽样法C ．系统抽样法，分层抽样法D ．简单随机抽样法，分层抽样法4．在圆x y x 522=+内，过点)23,25(有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项1a ，最长弦长为n a ，若公差]31,61(∈d ，那么n 的取值集合为（ ）A ．}6,5,4{B ．}9,8,7,6{C ．}5,4,3{D ．}6,5,4,3{5．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线，m 、n ，有下列四个命题： ①若α⊥m n m ,//，则α⊥n ②若βαβα//,,则⊥⊥m m ； ③若βαβα⊥⊂⊥则,,//,n n m m ； ④若n m n m //,,,//则=βαα 其中不正确的命题的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．右图是一个空间几何体的三视图,根据图中尺寸（单位:cm ）,可知几何体的表面积是 （ ）A ．183+B ．1623+C ．1723+D ．1823+7．在ABC ∆中，c b a ,,分别为三个内角A 、B 、C 所对的边,设向量m (),,b c c a =-- n (),b c a =+，若向量m ⊥n ，则角A 的大小为（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．32π 8．定义{}⎩⎨⎧<≥=),(),(,max b a b b a a b a 设实数x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤,2,2y x 且{}y x y x z -+=3,4max ，则z 的取值范围为（ ） A ．]0,6[- B ．]10,7[- C ．]8,6[- D ．]8,7[-9．对任意x R ∈，2234x x a a -++≥-恒成立，则a 的取值范围是 （ ）A ．15a -≤≤ Ｂ．15a -<≤ C ．15a -≤< D ．15a -<<10．如右图所示的曲线是以锐角ABC ∆的顶点B 、C 为焦点，且经过点A 的双曲线，若ABC ∆的内角的对边分别为,,a b c ,且sin 34,6,2c A a b a ===，则此双曲线的离心率为（ ）A ．372+B ．372-C ．37-D ．37+ 11．在113)23(x x -的展开式中任取一项，则所取项为有理项的概率为α，则=⎰-11αx（ ）A ．61 B ．712 C ．98 D ．512 12．如图所示，为了测量该工件上面凹槽的圆弧半径R ，由于没有直接的测量工具，工人用三个半径均为r （r 相对R 较小）的圆柱棒123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒2O顶侧面的垂直深度h ，若10,4r mm h mm ==时，则R 的值为（ ）A ．25mmB ．5mmC ．50mmD ．15mm第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上。

13．若复数z ＝sin α－i （1－cos α）是纯虚数，则α= ；14．若函数f （x ）＝x 3－3bx ＋b 在区间（0，1）内有极小值，则b 应满足的条件是15．根据如图所示的算法流程图，可知输出的结果T 为 ；16．设面积为S 的平面四边形的第i 条边的边长记为(1,2,3,4)i a i =，P 是该四边形内任意一点， P 点到第i 条边的距离记为i a ，若31241234a a a a k ====，则412()i i S ih k ==∑．类比上述结论，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =，Q 是该三棱锥内的任意一点，Q 点到第i 个面的距离记为i H ，相应的正确命题是 ；三、解答题：共大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝2。

（Ⅰ）若cos B ＝36-，求sin C 的值； （Ⅱ）求角C 的取值范围．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，AB ＝3，BC ＝1，P A ＝2，E 为PD 的中点． （Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面P AB 内找一点N ，使NE ⊥面P AC ，并求出点N 到AB 和AP 的距离．19．（本小题满分12分）设两球队A ， B 进行友谊比赛，在每局比赛中A 队获胜的概率都是p （0≤p ≤1），（Ⅰ）若比赛6局，且p ＝23，求其中一队至多获胜4局的概率是多少？ （Ⅱ）若比赛6局，求A 队恰好获胜3局的概率的最大值是多少？（Ⅲ）若采用“五局三胜”制，求A 队获胜时的比赛局数ξ的分布列和数学期望．20．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝log a 1－mx x －1是奇函数（a >0，a ≠1）。

（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）求f ′（x ）和函数f （x ）的单调区间；（Ⅲ）若当x ∈（1，a －2）时，f （x ）的值域为（1，＋∞），求实数a 的值。

21．（本小题满分12分）已知M 是以点C 为圆心的圆22(1)8x y ++=上的动点，定点(1,0)D ．点P 在DM 上，点N 在CM 上，且满足2,0DM DP NP DM =⋅=．动点N 的轨迹为曲线E 。

（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）线段AB 是曲线E 的长为2的动弦，O 为坐标原点，求AOB ∆面积S 的取值范围。

22．（本小题满分14分）已知数列{a n }中，a 1＝12，点（n ，2a n ＋1－a n ）（n ∈N *）在直线y ＝x 上，（Ⅰ）计算a 2，a 3，a 4的值；（Ⅱ）令b n ＝a n ＋1－a n －1，求证：数列{b n }是等比数列；（Ⅲ）设S n 、T n 分别为数列{a n }、{b n }的前n 项和，是否存在实数λ，使得数列{S n ＋λT n n}为等差数列？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由． 参考答案1．【答案】B 【解析】由所定义的运算可知{}5,4,3,2,1=⊕Q P ，Q P ⊕∴的所有真子集的个数为31125=-．故选B 。

2．【答案】C 【解析】由题意得()cos cos 22f x x x ππ=+=+，因此结合各选项知()f x 在[]4,7上是增函数是错误的，选C 。

3．【答案】B 【解析】①因为抽取销售点与地区有关，因此要采用分层抽样法；②从20个特大型销售点中抽取7个调查，总体和样本都比较少，适合采用简单随机抽样法。

4．【答案】A 【解析】由题意得4])023()2525[()25(22221=-+--=a ，5225=⨯=n a ，1111-=--=∴n n a a d n ，3161≤<d ，311161≤-<∴n ，613<-≤∴n ，74<≤∴n ，*N ∈n ，6,5,4=∴n ．故选A 。

5．【答案】Ｂ【解析】真命题有①，②，③．假命题是④，这可以举出反例。

6．【答案】D 【解析】由三视图可得,该几何是一个底面边长为2高为3的正三棱柱,其表面积22332322182 3 4S cm =⨯⨯+⨯⨯=+。

7．【答案】B 【解析】0()()()0m n m n b c b c a c a ⊥=⋅=⇒-+-+=2221cos 2b c a bc A ⇒+-=⇒=3A π⇒=。

8．【答案】B 【解析】y x y x y x 2)3()4(+=--+ ，⎩⎨⎧-+=∴y x y x z 34 ).02(),02(<+≥+y x y x 直线02=+y x 将约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤22y x 所确定的平面区域分为两部分．如图，令y x z +=41，点),(y x 在四边形ABCD 上及其内部，求得1071≤≤-z ；令y x z -=32，点),(y x 在四边形ABEF 上及其内部（除AB 边），求得872≤≤-z ．综上可知，z 的取值范围为]10,7[-．故选B ． 【评析】表面上看约束条件和目标函数都是静态的，实际上二者都是动态变化的，目标函数是y x z +=4还是y x z -=3并没有明确确定下来，直线02=+y x 又将原可行域分为两部分．本题看似风平浪静，实际暗藏玄机，化动为静，在静态状态下，从容破解问题9．【答案】A 【解析】因为235x x -++≥，要2234x x a a -++≥-恒成立，即：254a a ≥-，解得：15a -≤≤。

10．【答案】D 【解析】sin 33sin 2sin sin 232c A a c c C a A C=⇒==⇒=,因为C 为锐角，所以C=3π，由余弦定理知2222cos c a b ab C =+- =2214624628,272c +-⨯⨯⨯==，437627a ebc ===+-- 【评析】离心率是圆锥曲线的一个重要特征量，是高考“经久不衰”的重点和热点内容，必须高度重视．本题以椭圆为载体，巧妙地将光的反射融于其中，对平面几何及解析几何的考查均非常深刻，对计算能力要求较高，极富思考性和挑战性，具有较好的区分和选拔功能11．【答案】A 【解析】因为展开后展开式一共12项，其通项公式为r r r r x x C T )2()3(311111-⋅⋅=-+6331111)2(3r r r r x C --⋅-⋅⋅=，,11,,1,0 =r 其中只有第4项和第10项是有理项，故所求概率为61122=． 12．【答案】C 【解析】如图所示，在H O O 21∆中，2021=O O ，4)(2=-+=r h r H O 。