角的概念的推广4
第1讲 正弦、余弦、正切、余切(讲义)
第1讲 正弦、余弦、正切、余切知识梳理1.角的概念的推广（1）正角，负角和零角.用旋转的观点定义角，并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.（2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角α终边相同的角（包含角α在内）的集合为{}Z k k ∈⋅+=,360 αββ.（4）角α在“0到 360”范围内，指 3600<≤α.2.弧度制：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做１弧度的角．用“弧度”作为单位来度量 角的单位制称为弧度制．弧度：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小(1) 角度制与弧度制换算关系：180π︒=弧度 ，rad 1801π= ，30.571801≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad3.扇形弧长与面积：记扇形的半径为r ，圆心角为α弧度，弧长为l ，面积为s ，则有 由定义，在弧度制中，半径为r ，弧度数为rad α的弧长r l α=.在角度制中，半径为r 、圆心角为n 的弧长r n r n l 1802360ππ=⋅=. 在弧度制中，半径为r ，弧度数为rad α的扇形面积r l r r S 2121222==⋅=αππα. 在角度制中，半径为r ，圆心角为n 的扇形面积22360360r n r n S ππ=⋅=4.单位圆：单位圆泛指半径为１个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以还要熟悉每个象限各个三角函数的符号.第Ⅰ象限：全正；第Ⅱ象限：仅αsin ，αcsc 为正，其余为负；第Ⅲ象限：仅αtan ，αcot 为正，其余为负；第Ⅳ象限：仅αcos ，αsec 为正，其余为负.一、 角概念的推广例题解析例1．（2020·上海市七宝中学高一期中）已知k ∈Z ，下列各组角中，终边相同的是（ ） A ．2k π与k π B ．2k ππ+与4k ππ±C ．6k ππ+与26k ππ±D ．2k π与2k ππ± 例2．（2020·上海市建平中学高一期中）已知α是第二象限角，则2α是（ ） A ．锐角 B ．第一象限角C ．第一、三象限角D ．第二、四象限角例3.（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）下列各组角中，两个角终边不相同的一组是（ ）A ．43-与677B ．900与1260-C ．120-与960D ．150与630例4．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）已知2020θ=︒，则θ的终边在第________象限例5．（2020·上海市莘庄中学高一月考）终边在y 轴负半轴上的角的集合为___________________例6.（2020·上海市金山中学高一期中）2019角是第_______象限角．例7（2020·上海浦东新区·高一期中）与4π角终边重合的角的集合是________ 巩固练习1．（2020·上海浦东新区·高一期中）若α是第一象限的角，则2α是第________象限的角．2．（2020·上海黄浦区·高一期末）大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是________.3．（2021·上海市行知中学高一期末）如果α是第三象限角，则3α的终边一定不在第_________象限.4．若3601575,k k Z α=⋅-∈，试判断角α所在象限。
角的概念的推广
1200
O
终始边 A
AOB=1200 BOA=-1200
射线OA绕端点O旋转900到射线OB,接 着再旋转-300到OC求角AOC.
B
C
-300 900
600
O
A
AOC = AOB + BOC = 900 + (-300) = 600
各角和的旋转量等于各角旋转量的和.
例 题 1:
射线OA绕端点O顺时针旋转800到OB位 置,接着逆时针旋转2500到OC位置,然后再顺 时针旋转2700到OD位置,求 AOD的大小.
练习1:
(1).把 14850化成k 3600 00 3600, k Z
的形式是
A. 43600 450 B. 43600 3150
C. 103600 3150 D. 53600 3150
(2).在直角坐标系中,判断下列各语句的真,假.
初中角的概念:
顶点
O
B
角的边
A
把公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
角还可以看成平面内一条射线
绕着端点从一个位置旋转到另一个 位置所成的图形．
一.正角、负角、零角：
正角：一条射线绕着它的端点按逆时 针方向旋转形成的角；
负角：按顺时针方向旋转形成的角。
零角：射线没有作任何旋转。
B
终始边
-1200
1200
【例２】
在 00～3600 间，找出与下列各角终边相同的 角，并判定它们是第几象限角．
（1）150 ；（2） 650 ；（3） 950 15' ．
【例3】写出与下列各角终边相同的角的集合S ，
并把 S 中适合不等式 360 720 的元素
角的概念和弧度制
1.角的概念的推广：(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向（逆时针或顺时针）旋转到另一位置OB形成角α。
其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，端点O叫角α的顶点。
(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。
正角：按逆时针方向旋转形成的角任意角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：射线不做旋转时形成的角(3)象限角：由角的终边所在位置确定。
第一象限角的集合；第二象限角的集合第三象限角的集合；第四象限角的集合(4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内，可以表示为可构成集合S={ β| β=α+k×3600, K∈ Z}(5)特殊角的集合：终边在轴上角的集合,轴线角终边在轴上角的集合,终边在坐标轴上角的集合2.弧度制：(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。
(2)角度与弧度的互化：角度、弧度的换算关系：≈0.01745（rad）, ≈57.30°=57°18ˊ；(2)两个公式：设扇形的弧长为,圆心角为,半径为，α为圆心角弧度数,则有:扇形弧长：扇形面积：1．将化为的形式是（ ）．A． B．C． D．2．若，则角的终边所在的象限为（ ）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．扇形的周长是，圆心角是弧度，则扇形面积是（ ）．A． B． C． D．4．若集合，，则集合为（ ）．A． B． C． D．5．若角与终边相同，则一定有（ ）．A． B．C． D．6．在到之间与终边相同的角是___________．7．如果是第三象限角，那么角的终边的位置如何？是哪个象限的角？8．已知扇形的周长为，当它的半径和圆心角各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值．。
角的概念的推广
第三象限角的集合：
第三象限角的集合：
{x | k 360 180 x k 360 270, k Z}
第三象限角的集合：
{x | k 360 180 x k 360 270, k Z}
第四象限角的集合：
第三象限角的集合：
{x | k 360 180 x k 360 270, k Z}
例1. 在 - 720到720之间，写 出与60角终边相同的角的集合M.
例1. 在 - 720到720之间，写 出与60角终边相同的角的集合M. 例2. 求终边为直线y x的角的集合.
例3. 已知 是第二象限角，
问：12 是第几象限角？ 2 是第几象限角？
2
3 是第几象限角？
3
课堂练习
1. A {小于90的角}，B {第一象限
的角}，则A B （ ）
A.{锐角}
B.{小于90的角}
C.{第一象限的角} D.以上都不对
2. 若90 135, 则 的范围是______, 的范围是_______ .
3. 与- 457角终边相同的角的集合是：
A.{ | k 360 457, k Z} B.{ | k 360 97, k Z} C.{ | k 360 263, k Z} D.{ | k 360 263, k Z}
角的概念的推广
一、复习
1.初中是如何定义角的？
二、角的概念的推广：
二、角的概念的推广： 1.“旋转”形成角.
二、角的概念的推广： 1.“旋转”形成角.
B
O
A
二、角的概念的推广： 1.“旋转”形成角.
B
O
A
二、角的概念的推广： 1.“旋转”形成角.
B
三角函数基础知识
三角函数基础知识整理一．角的概念：1．角的概念的推广⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．⑵．“正角”与“负角”“0角”⑶意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了，角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．2．“象限角”角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）3．终边相同的角结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：{}Z k k S ∈⋅+==,360|οαββ即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.注意： (1)Z k ∈ (2)是任意角； (3)0360⋅k 与之间是“+”号，如：0360⋅k -30°，应看成0360⋅k +(-30°)；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．二． 弧度制：1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αradr rr1rad2rr2rad3rr 3radlrα rad2．弧长公式：α⋅=r l由公式：⇒=r l α α⋅=r l 比公式180r n l π=简单 即弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 3．扇形面积公式 lR S 21=其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径oR Sl三． 三角函数的定义：1. 设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则P 与原点的距离02222>+=+=y x yx r2. 比值ry叫做α的正弦 记作： r y =αsin比值r x叫做α的余弦 记作： rx =αcos比值xy叫做α的正切 记作： x y =αtan比值yx叫做α的余切 记作： y x =αcot比值x r叫做α的正割 记作： xr =αsec比值yr叫做α的余割 记作： y r =αcsc以上六种函数，统称为三角函数. 3. 突出探究的几个问题：①角是“任意角”，当=2k +(k Z)时，与的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用③三角函数是以“比值”为函数值的函数④0>r 而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定. ⑤定义域：r y=αsin 的定义域： R r x=αcos 的定义域：Rx y =αtan 的定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k ,2|ππαα注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合. (2)比值只与角的大小有关.ry)(x,αP4． 三角函数在各象限内的符号规律：正弦在第一、二象限为正；余弦在第一、四象限为正； 正切在第一、三象限为正.四． 诱导公式：1．必须熟记的两组诱导公式：诱导公式一（其中Z ∈k ）: 用弧度制可写成ααsin )360sin(=︒⋅+k απαsin )2sin(=+k ααcos )360cos(=︒⋅+k απαcos )2cos(=+k ααtan )360tan(=︒⋅+k απαtan )2tan(=+k诱导公式二：αα-sin sin(=-） ααcos cos(=-） ααtan tan(-=-）2. 诱导公式的变形规则：奇变偶不变，符号看象限.诱导公式三： 用弧度制可表示如下：ααsin 180sin(=-︒） ααπsin sin(=-） αα-cos 180cos(=-︒） ααπ-cos cos(=-） ααtan 180tan(-=-︒） ααπtan tan(-=-）诱导公式四： 用弧度制可表示如下：αα-sin 180sin(=+︒） ααπ-sin sin(=+） αα-cos 180cos(=+︒） ααπ-cos cos(=+） ααtan 180tan(=+︒） ααπtan tan(=+）诱导公式五： 用弧度制可表示如下：ααcos )90sin(=-︒ ααπcos )2sin(=-ααsin )90cos(=-︒ ααπsin )2cos(=-ααcot )90tan(=-︒ααπcot )2tan(=-诱导公式六： 用弧度制可表示如下：ααcos )90sin(-=+︒ ααπcos )2sin(-=+ααsin )90cos(-=+︒ ααπsin )2cos(-=+ααcot )90tan(=+︒ ααπcot )2tan(=+补充公式七： 用弧度制可表示如下：αα-sin 360sin(=-︒） ααπ-sin 2sin(=-） ααcos 360cos(=-︒） ααπcos 2cos(=-） ααtan 360tan(-=-︒） ααπtan 2tan(-=-）补充公式八： 用弧度制可表示如下：ααcos )270sin(-=-︒ ααπcos )23sin(-=- ααsin )270cos(-=-︒ ααπsin )23cos(-=-ααcot )270tan(=-︒ααπcot )23tan(=-补充公式九： 用弧度制可表示如下：ααcos )270sin(-=+︒ ααπcos )23sin(-=+ ααsin )270cos(=+︒ ααπsin )23cos(=+ααcot )270tan(-=+︒ ααπcot )23tan(-=+五．两角和与差的三角函数关系式：1．两角和与差的三角函数关系式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-2 推导公式：)cos sin (cos sin 222222ααααba b ba ab a b a ++++=+因为1)()(222222=+++ba b ba a .所以sin 2θ＋cos 2θ＝1(1)若令22ba a +＝sin θ，则22ba b +＝cos θ则asin α＋bcos α＝22b a +（sin θsin α＋cos θcos α）＝22b a +cos （θ－α） （或＝22b a +cos （α－θ））(2)若令22ba a +＝cos ϕ，则22ba b +＝sin ϕ.则a sin α＋b cos α＝22b a +（sin αcos ϕ＋cos αsin ϕ）＝22b a +sin （α＋ϕ）六．二倍角公式：1.二倍角公式:αααcos sin 22sin =；)(2αS ααα22sin cos 2cos -=；)(2αC ααα2tan 1tan 22tan -=；)(2αT1cos 22cos 2-=αααα2sin 212cos -=)(2αC ' 注意：（１）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题．（２）二倍角公式为仅限于α2是α的二倍的形式，尤其是“倍角”的意义是相对的（３）二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式．（4） 公式)(2αS ，)(2αC ，)(2αC '，)(2αT 成立的条件是: 公式)(2αT 成立的条件是Z k k k R ∈+≠+≠∈,4,2,ππαππαα．其他R ∈α（5） 熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）（6） 特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式今后常用七．万能公式：1．万能公式2tan 12tan2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan2sin 2222ααααααααα-=+-=+=证明：12tan 12tan22cos 2sin 2cos 2sin 21sin sin 222α+α=α+ααα=α=α22tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1cos cos 222222α+α-=α+αα-α=α=α32tan 12tan22sin 2cos 2cos 2sin2cos sin tan 222α-α=α-ααα=αα=α八． 三角函数的图象与性质：1．正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有MP r y ==αsin ，OM rx==αcos 注：有向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线．2．用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]、余弦函数y=cosx ，x ∈[0，2π]的图象（几何法）：把y=sinx ，x ∈[0，2π]和y=cosx ，x ∈[0，2π]的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 和y=cosx ，x ∈R 的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．-11y x-6π-5π6π5π-4π-3π-2π-π4π3π2ππf x () = sin x ()-11y x-6π-5π6π5π-4π-3π-2π-π4π3π2ππf x () = cos x ()3．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (,0) (23π,-1) (2,0)（1）y=cosx, x R 与函数y=sin(x+2π) x R 的图象相同（2）将y=sinx 的图象向左平移2π即得y=cosx 的图象 （3）也同样可用五点法作图：y=cosx x[0,2]的五个点关键是(0,1) (2π,0) (,-1) (23π,0) (2,1)4．定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ［或(－∞，＋∞)］， 分别记作： y ＝sin x ，x ∈R y ＝cos x ，x ∈R 5．值域正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］ 其中正弦函数y =sin x ,x ∈R①当且仅当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1 ②当且仅当x ＝－2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－16．周期性一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期注意：1 周期函数x 定义域M ，则必有x+T M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；2 “每一个值”只要有一个反例，则f (x )就不为周期函数（如f (x 0+t)f (x 0)）3 T 往往是多值的（如y=sinx 2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f (x )的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π 7．奇偶性y ＝sinx 为奇函数，y ＝cosx 为偶函数正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称8．单调性正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1九． 函数()()0,0sin >>+=ωψωA x A y 的图象与性质：1．振幅变换:y=Asinx ，x R(A>0且A 1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍得到的它的值域[-A, A] 最大值是A, 最小值是-A ．若A<0 可先作y=-Asinx 的图象 ，再以x 轴为对称轴翻折A 称为振幅 2．周期变换:函数y=sin ωx, x R (ω>0且ω1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω1倍（纵坐标不变）．若 ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图ω决定了函数的周期3 相位变换: 函数y ＝sin(x ＋ϕ)，x ∈R (其中ϕ≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时＝平行移动｜ϕ｜个单位长度而得到(用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)十． 正切函数的图象与性质：1. 正切线：正切函数R x xy ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”余切函数y ＝cotx ，x ∈(k π，k π+π)，k ∈Z 的图象（余切曲线）正切函数的性质：1．定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ， 2．值域：R 3．当z k k k x ∈⎪⎭⎫⎝⎛+∈2,πππ时0>y ， 当z k k k x ∈⎪⎭⎫⎝⎛-∈πππ,2时0<y 4．周期性：π=T5．奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数6．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增十一． 正、余弦定理：1 正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 2 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： （1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:①若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA asin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA②若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)(b a 锐角一解无解b a3. 余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=⇔bca cb A 2cos 222-+=B ca a c b cos 2222-+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔abc b a C 2cos 222-+=4．余弦定理可以解决的问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角5．三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力，要求大家掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化，逐步提高数学知识的应用能力。
北京高考三角函数知识要点
三角函数知识要点1. 角的概念的推广：正角、负角、零角. (角为任意实数)2. 终边相同的角的表示：注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等 （1）终边在y 轴上的角：,2k k Z παπ=+∈；（2）终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈； （3）终边在第一象限的角22,2k k k Z παπαπ⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭3. 弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，其中α为圆心角，1弧度(1rad)57.3≈ . 4. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是r =，那么sin ,cos y x r r αα==，()tan ,0yx x α=≠，cot x yα=(0)y ≠. 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关.5. 单位圆与三角函数线：正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT 可证明：当02πα<<时，sin tan ααα<<，（提示用三角函数线借助三角形扇形面积关系证明）反映在三角函数图象上：sin ,,tan y x y x y x ===在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上有且只有一个公共点. 6. 特殊角的三角函数值：要牢记30°,45°60°,0°,90°,180°.270°的各三角函数值,还要会求15°,75°的三角函数值.（sin15︒=，sin 75︒=.7. 同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=.8. 三角函数诱导公式的本质是2k πα±与α的三角函数值之间的关系：奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角） .如sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,απαsin 2cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+,()ααπcos cos -=-. 9. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=. sin 22sin cos ααα=. 22tan tan 21tan ααα=-， 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.10. 三角函数的化简、计算、恒等变形的基本思路是：一角二名三结构.αyTA xα B SO M P即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！ 第二看函数名称之间的关系，通常“切割化弦”；第三观察代数式的结构特点. 基本的技巧有:（1）巧变角（用已知角表示未知角）.如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等）（2）三角函数名互化(切割化弦，或正余弦化成正切):（3）公式变形使用（如tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=± .（4）三角函数次数的降升 降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-= 与升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=)（5）“1”的变换（221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=⋅tan 4π== 等（6）正余弦“三兄妹——sin cos sin cos x x x x ±、”的关系 “知一求二” 用公式2(sin cos )12sin cos 1sin 2ααααα±=±=±11. 形如sin()y A x ωϕ=+的函数：（1）)sin(ϕω+=x A y 图象做法: ①用五点法作图；②图象变换：平移、伸缩两个程序(1)sin()sin()sin sin()(2)sin()()y x y x y xy A x y x y six x ϕωϕωϕωωϕ=+→=+==+=→=+（2）A---振幅 2T πω=---周期 πω21==T f ----频率 相位--+ϕωx 初相--ϕ （3）研究函数sin()y A x ωϕ=+性质的方法：类比于研究sin y x =的性质，只需将sin()y A x ωϕ=+中的x ωϕ+看成sin y x =中的x ，但在求sin()y A x ωϕ=+的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化为正数.（4）注意()tan y A wx ϕ=+的最小正周期:T πω= （5）变形过程中可能用到的重点公式是： 降幂扩角公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=，sin 2sin cos 2ααα=辅助角公式：()sin cos a b θθθϕ+=+ (其中ϕ角由cos ,sin ϕϕ==确定)，该公式在求最值、化简时起着重要作用．12. 正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈、正切函数tan y x =的性质：（1） 内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.特别提醒：①,sin()sin ,sin cos 22A B CA B C A B C π++=-+==： ②锐角三角形⇒sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭⇒sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++； （2）正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===(R 为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：（边角的转化）()sin sin i a b A B :=:；()sin 2aii A R =；()2sin iii a R A =；（3）余弦定理：2222222cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc+-=+-=等，常用余弦定理判断三角形的形状.求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化.（4）面积公式：111sin ()222a S ah ab C r a bc ===++（其中r 为三角形内切圆半径）.（5） 大边对大角：当出现多个解时，常用于判断哪些是符合题意的解，哪些不是. 在三角形中，sin sin A B A B >⇔>，这是“正弦定理+大边对大角”的应用. 14.致命易错点提示（1） 特殊角三角函数值、诱导公式和三角变换公式使用错误 （2） 大题第一步化简错误（应在化简完后立刻检验）（3） 已知三角函数值求角、同角三角函数之间的互化、三角函数值域和最值的研究经常会忽略角的范围15．易错易混问题辨析（1）★★★等式两边约去一个式子时，注意要考查约去的式子是否为零．不等式两边同时乘以、除以一个式子时一定要考察它是大于零，还是小于零，还是等于零。
角的概念的推广
角的概念的推广引言角是几何学中重要的概念之一，它在实际生活和学术领域中有着广泛的应用。
本文将介绍角的定义、性质以及与其他几何概念的关系，从而推广角的概念。
角的定义在几何学中，角是由两条射线公共端点所围成的部分。
我们可以把射线看成是一根直线，并延长它们，当两条射线共线时，所围成的角度为零。
根据角的凸度，角可以分为锐角、直角和钝角。
•锐角：角度小于90度的角称为锐角；•直角：角度等于90度的角称为直角；•钝角：角度大于90度但小于180度的角称为钝角。
角的性质除了不同凸度的分类，角还有一些重要的性质，下面将介绍几个常见的性质。
直角的性质直角是一种特殊的角，它有一些独特的性质。
•直角可以被等分成两个相等的角，每个角的度数为45度。
•直角的两条边相互垂直。
锐角和钝角的性质锐角和钝角也有一些特殊的性质。
•锐角的度数总是小于90度，而钝角的度数总是大于90度。
•锐角和钝角的正弦、余弦和正切值的大小具有不同的关系。
角与其他几何概念的关系角与其他几何概念之间存在着紧密的联系，下面将介绍角与直线、多边形以及圆的关系。
角与直线的关系直线可以被看成无数个角的集合，两条直线之间的夹角就是这两条直线所围成的角。
夹角可以分为对顶角、同位角和内错角等。
•对顶角：两条相交的直线所围成的角，称为对顶角，对顶角的度数相等。
•同位角：两条平行直线被一条交错直线切割形成的相对应的内错角。
•内错角：平行直线被一条截线分成两段，则截线处的内错角相等。
角与多边形的关系多边形是有多个边和角组成的图形，角是多边形内角和外角的基本单位。
•多边形内角和为180度，每个内角的大小取决于多边形的边数。
•多边形外角和为360度，每个外角的大小与多边形内角之和相等。
•多边形的对角线可以划分内部成多个角。
角与圆的关系角与圆的关系是通过圆周角来描述的。
•圆周角：圆周角是以圆心为顶点的任意两条射线所围成的角，圆周角的度数等于对应的圆心角的度数。
•圆心角：圆心角是以圆心为顶点的两条射线所围成的角，圆心角的度数是对应的圆周角的一半。
角的概念
角的概念的推广➢ 教学重点：1．理解正角、负角、零角的定义，掌握终边相同角的表示法； 2．区别并理解角的大小与角的终边位置不同表示方法的含义；3．理解概念“0○到90○的角”、“第一象限角”、“锐角”和“小于90○的角”．➢ 教学难点：终边相同的角的表示．➢ 教学过程：角的概念的推广 第一课时一、三角函数背景介绍同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等．三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用．如本章章头图提到的问题，用三角学知识来解的话，会很简单，以后大家将会体会到．三角学起源于对三角形边角关系的定量考察，这始于古希腊一批天文学家对天文的测量．比如希腊人阿利斯塔克（公元前310～前230）提出“日心说”：太阳处于宇宙的中心，而地球绕太阳旋转，同时自转．这一观点早于哥白尼1700多年，因而被恩格斯称为“古代的哥白尼”．他的现存著作只有一篇短文《论日月的大小及距离》，其中记载了他侧得月亮上弦时日月之间的角距离为870．如图所示，设日地距离为a ，月地距离为b ，因月亮上弦时∠EMS=900，故∠S=30．阿利斯塔克用一种比较复杂的几何方法算得1813sin 201<=<οa b ，由此他断言日地距离介于月地距离的18倍与20倍之间．虽然这一结果与现代测量的数值（约389倍）相差甚远，但测不准的原因是由于目测误差引起的，他的方法正确简明，为后人继续使用．（上弦时日、月间的角距离为89051，，而不是870）因此在相当长一个时期里，三角学隶属于天文学，而在它的形成过程中里同了当时已经积累得相当丰富得算术、几何和天文知识．鉴于此种原因，作为独立得数学分支的三角学诞生之前，它的贡献者主要是一些天文学家，如梅内劳斯、托勒密等．这两个人在数学上的成就也很大，如果大家有看课外书的话，可能会知道以这两人命名的定理，这在初等几何中是非常有名的．有机会再向大家介绍．三角学作为一门数学分支是什么时候传入中国的呢？1631年，三角学输入中国．明朝学者徐光启所编译的《大测》一书就是介绍三角学的．徐光启的工作使中国开始接受欧洲科学知识，对我国的天文学和数学的发展有重大影响．至于有关本章具体内容介绍，我建议大家去看一下《精编》第一页的“学习导引”，可能会对大家很有帮助．二、复习0○～360○角的概念初中时，我们已学习了0○～360○角的概念，它是如何定义的呢？定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。
角的概念的推广
角的概念的推广角是几何学中的重要概念，它在日常生活中的应用广泛且重要。
角的概念使我们能够更好地理解和描述物体之间的关系，从而更好地解决实际问题。
本文将探讨角的概念以及它在不同领域的推广应用。
一、角的定义和性质角是由两条射线共同起源的部分平面，常用三个字母表示。
根据角的大小，可以将角分为锐角、直角和钝角。
锐角指小于90度的角，直角指等于90度的角，钝角指大于90度但小于180度的角。
角的大小可以通过角度来测量，角度是角所对应的弧长在单位圆上的长度比值。
除了大小外，角还具有其他一些重要性质。
首先，两个角互为补角当且仅当它们的和为90度。
其次，两个角互为余角当且仅当它们的和为180度。
此外，角的顶点、起始射线和终止射线确定一个平面。
这些性质为我们研究角的性质和应用提供了基础。
二、角的推广应用1. 几何学中的角在几何学中，角是研究平面和空间图形间相对位置关系的重要工具。
角的推广应用在多边形的研究中尤为重要。
例如，我们可以通过计算多边形的内角和来判断它们的类型，进而帮助解决诸如平行四边形的判定、多边形的内切圆问题等。
2. 物理学中的角角的概念在物理学中也有着广泛的应用。
例如，角度被广泛用于描述力的作用方向和大小。
在机械学中，角度还用于描述转动运动和力矩的计算。
此外，角速度和角加速度也是物理学中经常使用的概念，通过这些概念可以描述物体的旋转状态以及旋转的快慢程度。
3. 工程学中的角在工程学中，角的概念被广泛应用于测量和布局。
例如，利用角度可以确定建筑物的方向，帮助制定建筑物的布局方案。
此外，在电气工程中，角度也用于描述交流电的相位差，从而确定电路中电压和电流的相对位置。
4. 地理学中的角在地理学中，角被广泛应用于测量和描述地球表面上的地理位置和方向。
例如，利用经纬度可以确定地理位置的坐标，并且通过计算角度可以确定两个地点之间的方位角和航向角。
这些信息对于导航和地图制作非常关键。
5. 计算机图形学中的角在计算机图形学中，角的概念被广泛用于描述和渲染三维图形。
角的概念的推广思政要点
角的概念的推广思政要点
角的概念的推广涉及到数学、物理、地理、文化等多个方面，以下是思政要点:
1. 角的静态定义和动态定义：角的静态定义是指具有公共端的
两条射线组成的图形，而动态定义是指一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
角的大小与边的长短没有关系，而决定于角的两条边张开的程度。
2. 角的种类：角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0 角等 10 种。
3. 角的符号：角的符号是以角度为单位的，通常用符号“°”
表示，例如 90°表示一个直角。
4. 角的测量：角的测量通常使用角度计或量角器等工具，其中
角度计可以测量任意角度，而量角器只能测量固定角度。
5. 角在物理中的应用：角在物理学中有许多应用，例如在几何
学中，角可以用来描述平面几何中的角度和线段长度之间的关系;在
力学中，角可以用来描述物体的运动轨迹和受力情况。
6. 角在地理中的应用：角在地理学中也有许多应用，例如在地
图上，角可以用来描述两个地点之间的夹角，以及地图上各种线条的夹角。
7. 角的文化意义：角在中国传统文化中具有重要的象征意义，
例如在古代社会中，角被广泛用于装饰和祭祀活动中，代表着权力、荣誉和信仰等意义。
角的概念的推广涉及到多个学科领域，需要从多个角度进行思考和理解，有助于提高人们的综合素质和跨学科思维能力。
下学期 4.1 角的概念的推广
下学期 4.1 角的概念的推广引言角的概念是几何学中的重要内容之一，在数学教学中扮演着至关重要的角色。
本文旨在推广下学期 4.1 角的概念，通过对角的基本概念、角的分类以及角的性质等方面深入探讨，帮助读者更好地理解和应用角的相关知识。
一、角的基本概念角是由两条射线共享一个公共点而形成的图形。
其中，公共点称为角的顶点，两条共享的射线称为角的边。
角可以用大写字母表示，常用符号包括∠ABC、∠PQR 等。
角的顶点位于角所在的平面上。
二、角的分类根据角的大小，角可以分为三类：锐角、直角和钝角。
1.锐角：角的大小小于 90 度（即 90°）的角被称为锐角；2.直角：角的大小为 90 度（即 90°）的角被称为直角；3.钝角：角的大小大于 90 度（即 90°），但小于 180 度（即 180°）的角被称为钝角。
三、角的性质角的性质涉及到角的度数、角的相等以及角的补角和余角等方面。
1.角的度数：角的大小通常用度数来表示，一个完整的圆周共有 360 度（即360°）。
因此，一个直角是 90 度（即 90°），一个钝角是大于 90 度（即 90°）但小于 180 度（即 180°）。
2.角的相等：如果两个角的度数相等，则这两个角是相等的。
表示相等的符号为“=”。
例如，∠ABC = ∠DEF 表示角 ABC 和角 DEF 是相等的。
3.角的补角和余角：两个角的度数之和等于 90 度（即 90°）的角被称为互补角，互补角之间的度数比例为1:1。
两个角的度数之和等于 180 度（即 180°）的角被称为余角，余角之间的度数比例为1:1。
四、角的应用角的概念在几何学和物理学中有广泛的应用。
以下是角的一些应用：1.幾何形狀的描述：角可以用来描述和区分不同的几何形状，例如直角三角形、等边三角形等；2.方向指示：角可以用来表示方位和方向，例如在地图上表示风向；3.视角计算：在物理学中，角可以用来计算物体的可见度和视角；4.旋转和转动：在运动学中，角可以用来描述物体的旋转和转动状态。
三角函数基础知识
三角函数基础知识整理一． 角的概念：1．角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到另一位置OB ，就形成角α．旋转开始时的射线OA 叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O 叫做角α的顶点． ⑵．“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA 为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°，特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．记法：角α或α∠ 可以简记成α⑶意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了，角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．2．“象限角”角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）3．终边相同的角结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：{}Z k k S ∈⋅+==,360|αββ即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.注意： (1)Z k ∈ (2)是任意角；(3)0360⋅k 与之间是“+”号，如：0360⋅k -30°，应看成0360⋅k +(-30°)；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．二． 弧度制：1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad2．弧长公式：α⋅=r l由公式：⇒=r l α α⋅=r l 比公式180rn l π=简单 即弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 3．扇形面积公式 lR S 21=其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径三． 三角函数的定义：1. 设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则P 与原点的距离02222>+=+=y x yx r2. 比值r y叫做α的正弦 记作： r y =αsin 比值r x叫做α的余弦 记作： r x =αcos 比值xy叫做α的正切 记作： xy =αtan 比值yx叫做α的余切 记作： y x =αcot比值x r叫做α的正割 记作： x r =αsec 比值yr叫做α的余割 记作： y r =αcsc以上六种函数，统称为三角函数. 3. 突出探究的几个问题： ①角是“任意角”，当=2k+(k Z)时，与的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等 ②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用 ③三角函数是以“比值”为函数值的函数④0>r 而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定. ⑤定义域：r y=αsin 的定义域： R r x=αcos 的定义域：Rx y =αtan 的定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k ,2|ππαα注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合. (2)比值只与角的大小有关.4． 三角函数在各象限内的符号规律：正弦在第一、二象限为正；余弦在第一、四象限为正； 正切在第一、三象限为正.四． 诱导公式：1．必须熟记的两组诱导公式：诱导公式一（其中Z ∈k ）: 用弧度制可写成ααsin )360sin(=︒⋅+k απαsin )2sin(=+k ααcos )360cos(=︒⋅+k απαcos )2cos(=+k ααtan )360tan(=︒⋅+k απαtan )2tan(=+k诱导公式二：αα-sin sin(=-） ααcos cos(=-） ααtan tan(-=-）2. 诱导公式的变形规则：奇变偶不变，符号看象限.诱导公式三： 用弧度制可表示如下：ααsin 180sin(=-︒） ααπsin sin(=-） αα-cos 180cos(=-︒） ααπ-cos cos(=-） ααtan 180tan(-=-︒） ααπtan tan(-=-）诱导公式四： 用弧度制可表示如下：αα-sin 180sin(=+︒） ααπ-sin sin(=+） αα-cos 180cos(=+︒） ααπ-cos cos(=+） ααtan 180tan(=+︒） ααπtan tan(=+）诱导公式五： 用弧度制可表示如下：ααcos )90sin(=-︒ ααπcos )2sin(=-ααsin )90cos(=-︒ ααπsin )2cos(=-ααcot )90tan(=-︒ααπcot )2tan(=-诱导公式六： 用弧度制可表示如下：ααcos )90sin(-=+︒ ααπcos )2sin(-=+ααsin )90cos(-=+︒ ααπsin )2cos(-=+ααcot )90tan(=+︒ ααπcot )2tan(=+补充公式七： 用弧度制可表示如下：αα-sin 360sin(=-︒） ααπ-sin 2sin(=-） ααcos 360cos(=-︒） ααπcos 2cos(=-） ααtan 360tan(-=-︒） ααπtan 2tan(-=-）补充公式八： 用弧度制可表示如下：ααcos )270sin(-=-︒ ααπcos )23sin(-=- ααsin )270cos(-=-︒ ααπsin )23cos(-=-ααcot )270tan(=-︒ααπcot )23tan(=-补充公式九： 用弧度制可表示如下：ααcos )270sin(-=+︒ ααπcos )23sin(-=+ ααsin )270cos(=+︒ ααπsin )23cos(=+ααcot )270tan(-=+︒ ααπcot )23tan(-=+五．两角和与差的三角函数关系式：1．两角和与差的三角函数关系式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-2 推导公式：)cos sin (cos sin 222222ααααba b ba ab a b a ++++=+因为1)()(222222=+++ba b ba a .所以sin 2θ＋cos 2θ＝1(1)若令22ba a +＝sin θ，则22ba b +＝cos θ则asin α＋bcos α＝22b a +（sin θsin α＋cos θcos α）＝22b a +cos （θ－α） （或＝22b a +cos （α－θ））(2)若令22ba a +＝cos ϕ，则22ba b +＝sin ϕ.则a sin α＋b cos α＝22b a +（sin αcos ϕ＋cos αsin ϕ）＝22b a +sin （α＋ϕ）六．二倍角公式：1.二倍角公式:αααcos sin 22sin =；)(2αS ααα22sin cos 2cos -=；)(2αC ααα2tan 1tan 22tan -=；)(2αT1cos 22cos 2-=αααα2sin 212cos -=)(2αC ' 注意：（１）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题．（２）二倍角公式为仅限于α2是α的二倍的形式，尤其是“倍角”的意义是相对的（３）二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式．（4） 公式)(2αS ，)(2αC ，)(2αC '，)(2αT 成立的条件是: 公式)(2αT 成立的条件是Z k k k R ∈+≠+≠∈,4,2,ππαππαα．其他R ∈α（5） 熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次） （6） 特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式今后常用七．万能公式：1．万能公式2tan 12tan2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan2sin 2222ααααααααα-=+-=+=证明：12tan 12tan22cos 2sin 2cos 2sin 21sin sin 222α+α=α+ααα=α=α22tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1cos cos 222222α+α-=α+αα-α=α=α 32tan 12tan22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 222α-α=α-ααα=αα=α八． 三角函数的图象与性质：1．正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有MP r y ==αsin ，OM rx==αcos 注：有向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线．2．用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]、余弦函数y=cosx ，x ∈[0，2π]的图象（几何法）：把y=sinx ，x ∈[0，2π]和y=cosx ，x ∈[0，2π]的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 和y=cosx ，x ∈R 的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．3．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (,0) (23π,-1) (2,0)（1）y=cosx, x R 与函数y=sin(x+2π) x R 的图象相同（2）将y=sinx 的图象向左平移2π即得y=cosx 的图象 （3）也同样可用五点法作图：y=cosx x [0,2]的五个点关键是(0,1) (2π,0) (,-1) (23π,0) (2,1)4．定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ［或(－∞，＋∞)］， 分别记作： y ＝sin x ，x ∈R y ＝cos x ，x ∈R 5．值域正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］ 其中正弦函数y =sin x ,x ∈R①当且仅当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1 ②当且仅当x ＝－2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－16．周期性一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期注意：1 周期函数x 定义域M ，则必有x+T M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；2“每一个值”只要有一个反例，则f (x )就不为周期函数（如f (x 0+t) f (x 0)）3 T 往往是多值的（如y=sinx 2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f (x )的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π 7．奇偶性y ＝sinx 为奇函数，y ＝cosx 为偶函数正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称8．单调性正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1九． 函数()()0,0sin >>+=ωψωA x A y 的图象与性质：1．振幅变换:y=Asinx ，x R(A>0且A 1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍得到的它的值域[-A, A] 最大值是A, 最小值是-A ．若A<0 可先作y=-Asinx 的图象 ，再以x 轴为对称轴翻折A 称为振幅2．周期变换:函数y=sin ωx, x R (ω>0且ω1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω1倍（纵坐标不变）．若 ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图ω决定了函数的周期3 相位变换: 函数y ＝sin(x ＋ϕ)，x ∈R (其中ϕ≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时＝平行移动｜ϕ｜个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)十． 正切函数的图象与性质：1. 正切线：正切函数R x xy ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”余切函数y ＝cotx ，x ∈(k π，k π+π)，k ∈Z 的图象（余切曲线）正切函数的性质：1．定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ， 2．值域：R 3．当z k k k x ∈⎪⎭⎫⎝⎛+∈2,πππ时0>y ， 当z k k k x ∈⎪⎭⎫⎝⎛-∈πππ,2时0<y 4．周期性：π=T5．奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数 6．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增十一． 正、余弦定理：1 正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 2 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： （1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:①若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA asin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a②若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a3. 余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=⇔bc a c b A 2cos 222-+= B ca a c b cos 2222-+=⇔ca b a c B 2cos 222-+= C ab b a c cos 2222-+=⇔ab c b a C 2cos 222-+= 4．余弦定理可以解决的问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角5． 三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力，要求大家掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化，逐步提高数学知识的应用能力。
角的记法和读法正角与负角角的概念
一、角的概念的推广
（1）平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
（2）正角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角；
（3）负角：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角；
（4）零角：当一条射线没有作任何旋转时叫做零角，射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
（5）角的记法：角α或∠α，也可以简记为α。
二、角的说明：
（1）在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记为α．（2）角的这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”。
在日常生活中，在生产和科学实验中，还要经常遇到大于360度的角，以及按照不同方向旋转而成的角。
（3）零角的始边和终边重合。
（4）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
（5）以终边位置的异同作为分类标准.。
角的概念的推广知识点
角的概念的推广知识点摘要：本文旨在探讨数学中角的概念及其在不同数学分支中的推广和应用。
文章首先回顾了角在平面几何中的基本定义和性质，随后介绍了角在立体几何、三角学、解析几何以及更高级数学领域中的推广形式，包括复数平面上的角、线性代数中的向量角以及微积分中的角概念。
1. 平面几何中的角角是最基本和直观的几何概念之一。
在平面几何中，角是由两条射线（或线段）的公共端点（顶点）所定义的图形。
根据这两条射线的相对位置，角可以分为：- 邻角：两条射线共享一个公共端点，并且射线在一个方向上相邻。
- 对角：两条射线共享一个公共端点，但射线在两个相反的方向上。
- 直角：两条射线垂直相交，形成一个90度的角。
- 钝角：大于直角但小于180度的角。
- 平角：两条射线在端点处重合，形成一个180度的角。
- 周角：两条射线重合，形成一个完整的360度的圆周。
2. 立体几何中的角在立体几何中，角的概念扩展到了三维空间。
立体角是由三个平面在一点相交形成的图形，其大小由这三个平面所围成的球面区域的大小决定。
立体角的度量单位是球面度，与平面角的度量单位（度）不同。
3. 三角学中的角三角学是研究三角形的边和角之间关系的数学分支。
在三角学中，角的概念与平面几何中的类似，但更加关注角度的测量和三角函数的关系。
例如，直角三角形中的一个关键概念是余弦、正弦和正切函数，它们将角度与三角形的边长联系起来。
4. 解析几何中的角在解析几何中，角可以通过向量来表示和计算。
两个向量之间的夹角可以通过它们的点积和模长来确定。
向量夹角的余弦值定义为两个向量点积与它们模长乘积的比值。
这种方法使得角的计算可以应用于物理学中的力的合成和分解等问题。
5. 线性代数中的角在线性代数中，角的概念进一步推广到了n维空间。
在这种情况下，两个向量之间的夹角可以通过它们的内积来确定。
此外，线性代数中的旋转矩阵可以用来描述和计算任意维度空间中的旋转和角。
6. 微积分中的角在微积分中，角的概念与曲线的切线方向有关。
角的概念的推广
角的概念的推广1. 引言角是几何学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
了解和掌握角的相关知识，对于学习几何学、物理学以及工程学等学科都具有重要意义。
本文将通过推广角的概念，介绍角的定义、分类以及角的应用。
2. 角的定义角可以理解为两条射线的相交部分，通常用符号α、β、γ 等表示。
在几何学中，角的大小通常用弧度（radian）或度（degree）来表示。
通过测量角的顶点和射线之间的夹角，可以确定角的大小。
3. 角的分类根据角的大小，可以将角分为以下几类：3.1 零角（Zero Degree Angle）零角是指两条重合的射线所形成的角。
零角的度数为0度或0弧度。
3.2 直角（Right Angle）直角是指两条相互垂直的射线所形成的角。
直角的度数为90度或π/2弧度。
3.3 锐角（Acute Angle）锐角是指小于90度的角。
锐角的度数小于90度，弧度小于π/2。
3.4 钝角（Obtuse Angle）钝角是指大于90度、小于180度的角。
钝角的度数大于90度，弧度大于π/2。
3.5 正角（Oblique Angle）正角是指大于0度、小于180度的角，不包括直角。
正角的度数大于0度，小于180度，弧度大于0，小于π。
4. 角的应用角的概念在各个领域都有重要的应用，下面我们将介绍几个常见的应用：4.1 几何学在几何学中，角的概念经常被用于计算和描述图形的属性。
例如，在三角形中，角的大小和性质决定了三角形的类型（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）以及边长比例关系。
角的概念还被广泛应用于圆的测量和刻画。
4.2 物理学在物理学中，角的概念被广泛运用于描述物体的运动和力学性质。
例如，角速度和角加速度是衡量旋转运动的重要物理量，角度在电路中也是电流和电压之间的重要参数。
4.3 工程学角的概念在工程学中也具有重要意义。
例如，在建筑工程中，工程师需要通过计算角度来确定墙壁的垂直度和水平度。
在电子工程中，角的概念被应用于天线的定向和辐射角度的测量。
2020高中数学 第1章 基本初等函数(Ⅱ)1.1.1 角的概念的推广教案(含解析)4
1。
1。
1 角的概念的推广学习目标核心素养1．了解角的概念的推广，能正确区分正角、负角和零角．（一般) 2．理解象限角的概念．（重点）3．掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置．（难点)1．通过角的概念的学习，体现了数学抽象核心素养．2．借助终边相同角的求解、象限角的判断等,培养学生的直观想象核心素养。
1．角的概念(1)角的形成:角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．（2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：①正角：按照逆时针方向旋转而成的角;②负角：按照顺时针方向旋转而成的角；③零角：当射线没有旋转时,我们也把它看成一个角，叫做零角．2．角的加减法运算(1）射线OA绕端点O旋转到OB位置所成的角，记作∠AOB,其中OA叫做∠AOB的始边，OB叫做∠AOB的终边．（2）引入正角、负角的概念以后,角的减法运算可以转化为角的加法运算,即α－β可以化为α＋（－β)．这就是说,各角和的旋转量等于各角旋转量的和．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝错误!，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．4．象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么，角的终边（除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限的角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．思考：终边和始边重合的角一定是零角吗?［提示] 不一定．零角是终边和始边重合的角,但终边和始边重合的角不一定是零角，如－360°,360°，720°等角的终边和始边也重合．1．钟表的分针在一个半小时内转了( ）A．180°B．－180°C．540° D．－540°D［钟表的分针是顺时针转动，每转一周，转过－360°,当分针转过一个半小时时，它转了－540°.]2．下列各角中，与330°角的终边相同的角是( ）A．510° B．150°C．－150°D．－390°D[与330°终边相同的角的集合为S＝{β|β＝330°＋k·360°，k∈Z｝,当k＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，故选D。
(三角函数)常用结论归纳
三角函数常用结论总结1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。
射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
3. 终边相同的角的表示：（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
（答：25-；536π-）（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上)⇔()k k αθπ=+∈Z .（3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z .（6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈.如α的终边与6π的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。
（答：Z k k ∈+,32ππ）4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则2α是第_____象限角（答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
（答：22cm ）6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec rxα=()0x ≠，()csc 0ry yα=≠。
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2
10 (rad ) 0.01745(rad )
180
1(rad ) (180)0 57.300 57018'
一些特殊角的弧度
00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600
0
2
6 43 2 3
3 5 3
5
5
(3)填空7350
49
_1_2___
弧度,
7
__2_1_0_ 度
6
1.任意角的三角函数
y
P(x, y)是角终边上一点, r x2 y2
P(x ,y)
ry
比值 y 叫做角的正弦,记作sin y o x
xrr来自比值 x 叫做角的余弦,记作cos x
r
r
比值 y 叫做角的正切,记作 tan y
,227k00)
k
360
0
)
第四象 限角:
或(2(7320 02kk ,23(k6010), ()k
1)
3600
)
轴线角: k (k Z )
2
(1).终边在x轴上的角: k (k z)
(2).终边在y轴上的角: k (k z)
2
与角终边相同的角, 都可以
表示为角与整数个周期的和.
比值
x
x
叫做角的余切, 记作 cot
x
x
y
y
比值 r 叫做角的正割,记作sec r
x
x
比值 r 叫做角的余割,记作csc r
y
y
2.定义域:
y sin x(x R) y cos x(x R) y tan x(x k , k z)
2
y cot x(x k , k z)
3.正弦,余弦,正切函数在各个象限的符号
1. 角的概念的推广 2. 弧度制 3. 任意角的三角函数
1.正角,负角角的,概零念角的.象的限推角广,:轴线
第角一. 象
限角:
第二象 限角:
或((k2k3,62002,9k0)0 k 3600 )
或(900(2k2k36,0(02,k1801)0) k 3600 )
第三象 限角:
或(180((02kk1)3,63020
cos( k 3600 ) cos;
或 cos( 2k ) cos (k z)
tan( k 3600 ) tan;
或 tan( 2k ) tan (k z)
二.弧度制
长度等于半径长的弧所对 的圆心角叫做1弧度的角.
周角 3600 2 (rad )
平角 1800 (rad )
y sin x, (,,,)
y tan x(,,)
y cos x(,,,)
4.有向线段,单位圆与三角函数线
带有方向的线段叫做有向线段.
圆心在原点O,半径为1的圆称为单位圆
如图: sin y y y MP
cos
x
x
r
x
1
OM
y
T
P
r1
tan y MP AT AT
x o MA
x OM OA
950012' 129048' 3 3600
思考二: 360 0
3
91500800120 它' 是第二象限角.
950012' (10800 ) 129048'
950012' 129048' 3 3600
终边相同的角的同一三角函数值相等
sin( k 3600 ) sin;
或sin( 2k ) sin (k z)
46
2
2
弧长公式 弧长等于弧所对的圆心角(弧
度数)的绝对值与半径的积.
l
n
l | | r l n 2r nr
r
o
360 180
扇形的面 积公式:
S
n r2
360
或S l 1 r 2 1 lr
r 2
2
例:如图，已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形 的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
2k 2 2k .(k z)
k k .
2
∴为第一或第三象限角
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用你的责任和细心，谱写安全的永恒 旋律。 。20.9.1220.9.12Satur day, September 12, 2020
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品质改善,我们需要全员参与。09:46:2309:46:2309:469/12/2020 9:46:23 AM
解: 设扇形的半径为r，弧长为l则有
l
2rl r1l 6
r 2 l 2
A
B
o
∴ 扇形的面积 S 1 rl 2(cm)2 2
练习 (1)把67030'化为弧度.
解: 6730' rad 67 1 3 rad
180
28
(2)把 3 rad化成度
5
解: 3 rad 3 180 108
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爱惜物料，重视品质，合理规划，标 识清晰 。20.9.1209:46:2309:46Sep-2012-Sep-20
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落实拜访，本周破零，活动管理，行 销真谛 。09:46:2309:46:2309:46Satur day, September 12, 2020
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车轮一转想责任，油门紧连行人命。20.9.1220.9.1209:46:2309:46:23September 12, 2020
S { | k 3600, k z}
或S { | 2k , k z}
例: 在[00 ,3600 )求与 950012'终边相同
的角并说明它是第几象限角.
思考一: 950012' 2 3600 230012' 00
950012' 3 3600 129048' [00 ,3600 )
例:利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角
(1) sin 1 ;
2
(2) tan 3 .
3
解:利用单位圆得
y
y
P2
1
5 2
6o
P1
6x
210 o
T
30 Ax
(1)30≤≤150 (2)300 900或2100 2700
练习
(1)已知是第三象限角且 cos 0,则 第几象限角?
有向线段MP,OM,AT,分别称作角的 正弦线,余弦线,正切线.
求证 : sin x x tan x.
y
T
SPOA S扇形POA STOA
P
x
x
o MA
S POA
1 2
OA
MP
1 2
sin
x.
S扇形POA
1
1 2
(弧PA) 1 1
1 2
x,
STOA 2 OA AT 2 tan x.
2
2
解: (2k 1) (2k 1) , k z.
k
k
3
2
, k z.
22
4
故 是第二或第四象限角.
2
又cos 0 是第二或第三象限角.
2
2
是第二象限角.
2
(2)已知
1 sin 2
1,则是第几象限角?
2
解:
1 sin 2 1
2
y 1
sin 2 0
o
x
y ax