数学第八讲：集合的运算

第八讲：集合的运算
通过前两讲，集合在我们心中已经扎根，不可否认，集合在高考中也占有很大一部分比重，但是学习最忌半途而废，上一将我说集合已经讲完了，其实，不好意思，骗了大家一下下，嘿嘿，其实也差不多完了，这一讲的知识点很少，却很重要，话休繁絮，下面开始。

大家都知道，两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加减乘除运算，类似于实数的加法运算，两个集合是否也可以相加呢？看下面这个图：
假如集合A={1，2，3},与集合B={3,4,5},那么我们不难想象，A和B相互重叠的那一部分就是它们的公共部分{3}，上一讲我们说过，集合A和B的两种关系是：相等或者包含。

那么对于刚才说的这种既不相等又不包含的情况，应该怎么处理呢？假如我们想用一个集合C来囊括A和B所有的元素，那么不难想象C={1,2,3,4,5}，而且明眼人很快就可以看出，A里面的元素加上B里面的元素刚好等于C里面的元素，没错就是这样，一般来说，由所有由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union），并是合并意思，也就是说把A和B合并起来就是C了，当然根据集合的互异性，需要把A和B重复的元素去掉，比如A和B里面各有一个元素3，但我们只取一个。

我们把集合A与B的并集记作：A∪B，读作：“A并B”，即： A∪B={x|x∈A，或x∈B} 上面这个图就是它的 Venn图。

所以两个集合求并集的结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（刚才说过，重复元素只看成一个元素），与两个实数相加有相同，也有不同的地方。

如果并集相当于两个集合“相加”的话，那么什么集又相当于两个集合“相减”呢？其实除了A与B的并集外，我们在很多情况下对它们的公共部分也很关心，比如下面两个集合：
仍然假如集合A={1，2，3},与集合B={3,4,5},假如我们把A和B相互重叠的那一部分，也就是它们的公共部分用C表示，那么很容易看出C={3}，这个C既属于A又属于B。

一般来说，由属于集合A并且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作：A∩B ，读作：“A交B”即： A∩B={x|x∈A，且x∈B}，再不厌其烦地说一下，两个集合求交集，结果还是一个集合，这个集合是由集合A与B的公共元素组成。

通过并集和交集的定义，我们不难想象，如果集合A和B没有公共部分，那么它们的交集仍然是A和B里面所有的元素，它们的并集却是空集，如下图，要注意的是，如果两个集合的交集是空集，并不能说这两个集合没有交集。

毋庸置疑，在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的范围，比如对于不等式：-1<x<5，我们要列举出x的具体值，如果没有指明x的范围，这个问题其实是没有意义的，因为我们不知道x到底是实数，有理数还是分数，整数等，而且我们都知道，在任何定律法则中，研究范围是非常重要的，尤其是物理学，比如在经典物理学中，牛顿三定律是成立的，但在量子力学中，牛顿定律毫无意义。

对于集合的研究也一样，我们往往需要确定一个范围，然后才能展开研究，一般来说，我们把集合的研究范围称作全集，全集中，含有我们研究的问题中所涉及的全部元素，外国人喜欢夸大，用宇宙的英语单词Universe来表示全集，我们通常把全集记作U。

数学中的许多概念往往是对立的，比如有加就有减，有乘就有除，有并集就有交集，同样，如果全集U有一个子集A，那么A外面的元素组成的集合就叫做A相对于全集U的补集，简称为A的补集。

记作：CUA，即：CUA={x|x ∈U且，补集的Venn图如下：
另外需要注意的是，补集的概念必须要有全集的限制，例如CUA与CIA不一定相等，因为全集不一样。

求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”。

对于集合基本运算的一些结论，我们这些结论可通过Venn图来理解。

对于下面这些集合基本运算的一些结论，大家用Venn图比划比划：
然后，我们总结一下集合的知识结构：
到此为止，集合全部结束！再简单总结归纳一下今天所学的知识，我们学习了集合的交集，并集，补习还有全集这四个概念，这几个集合也很好理解，但是下面我们做一些题来巩固一下今天所学，在做提前，我先声明一点，从这一讲开始，以后的习题可能会越来越“难”，我之所以给难字加一个引号，只是因为这些题并不是真的难，而是许多知识点的综合，从上一讲的习题就可以看出，集合本身并不难，但是如果混合了以前所学的一元二次方程，一元二次不等式，再简单的知识点都会变“难”，这也进一步说明了数学本身就是一个整体，一个系统。

这就要求我们必须牢牢掌握基础知识，掌握了基础知识，再“难”得数学题都不怕。

那么，大家对以前所学的知识究竟有没有掌握呢？做几道题试试：
今日作业：。