迅达2014高中数学必修5新教学案：3.3.2简单的线性规划问题(1)

【迅达教育 助你成才】简单的线性规划问题讲义（第1课时）【知识要点】1．目标函数、约束条件、线性规划、可行域、可行解、最优解等概念；2．在约束条件下，求c by ax z ++=的最值；3．线性规划的简单应用．【学习要求】知道线性规划的意义；1． 能正确利用图解法解决线性规划问题； 2． 能用线性规划问题解决简单的实际问题． 【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第87页～第89页）1．在教材第87页引例中，约束条件是 ，为什么又叫线性约束条件？目标函数是 ，为什么又叫线性目标函数？２． 称为线性规划问题； ３． 叫做可行解； 叫做可行域； 叫做最优解． 【基础练习】1．给定下列命题：在线性规划问题中，①最优解指的是目标函数的最大值或最小值；②最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量y x 或；③最优解指的是目标函数取得最大值或最小值的可行域；④最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．其中真命题的序号是 ．２．在教材第87页引例中，当直线332,32zx y y x z +-=+=即经过可行域时，直线越向 （上，下）z 越大，直线越向 （上，下）z 越小，为什么？z 的几何意义是．３.解下列线性规划问题：（１）求y x z +=2的最大值，使y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y（２）求y x z 523+=的最大值和最小值，使y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x【典型例题】例1 已知y x ,满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0025023002y x y x y x ，试求y x z 900300+=的最大值时点的坐标，及相应的z 的最大值王新敞变式训练：已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,2502,3003y x y x y x 求目标函数y x z 300600+=的最大值，并求整点最优解．例 2 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供kg 0750．的碳水化合物，kg 060．的蛋白质，kg 060．的脂肪，kg 1食物A 含有kg 1050．碳水化合物，kg 070．蛋白质，kg 140．脂肪，花费28元；而kg 1食物B 含有kg 1050．碳水化合物，kg 140．蛋白质，kg070．脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 多少kg变式训练：某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲产品1吨，需要煤9吨，需电4瓦，工作日3个（一个2人劳动一天等于一个工作日），生产乙种产品1吨，需要用煤4吨，需电5瓦，工作日12个，又知甲产品每吨售价7万元，乙产品每吨售价12万元，且每天供煤最多360吨，供电最多200瓦，全员劳动人数最多300人，问每天安排生产两种产品各多少吨；才能使日产值最大，最大产值是多少？1．已知x y ，满足约束条件5003x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥，≥，≤．则24z x y =+的最大值为（ ）．（Ａ）5（Ｂ）38-（Ｃ）10（Ｄ）38２．若222x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≤，≤，≥，则目标函数2z x y =+的取值范围是（ ）．（Ａ）[26]，（Ｂ）[25]，（Ｃ）[36]，（Ｄ）[35]， ３．给出平面区域如图所示，若使目标函数z ax y =+(0)a >取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为（ ）．（Ａ）14（Ｂ）35（Ｃ）4（Ｄ）53４．满足||||2x y +≤的整点（横、纵坐标为整数）的个数是（ ）（Ａ）11 （Ｂ）12（Ｃ）13（Ｄ）14５．给出下面的线性规划问题：求35z x y =+的最大值和最小值，使x ，y 满足约束条件5315153x y y x x y +⎧⎪+⎨⎪-⎩≤，≤，≤．要使题目中目标函数只有最小值而无最大值，请你改造约束条件中一个不等式，那么新的约束条件是 ．６．ABC △中，三个顶点的坐标分别为(24)A ，，(12)B -，，(10)C ，，点()P x y ，在ABC △内部及边界运动，则z x y =-的最大值及最小值分别是 和 ．７.已知y x ,满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+≥+0,01222y x y x y x ,求y x z +=3的最小值王新敞８.某工厂家具车间造B A ,型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张B A ,型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张B A ,型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张B A ,型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产B A ,型桌子各多少张，才能获得利润最大？王新敞１.设,x y 满足241,22x y x y z x y x y +≥⎧⎪-≥-=+⎨⎪-≤⎩则（ ）．（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值 （C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值２．若实数,x y 满足2045x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩则s y x =-的最小值为 ．简单的线性规划问题（讲义）（第1课时）【教学目标】1．知识与技能：使学生了解线性规划的意义及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力． 【重点】用图解法解决简单的线性规划问题． 【难点】准确求得线性规划问题的最优解．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第87页～第89页）1．在教材第87页引例中，约束条件是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≤+.0,0,124,164,82y x y x y x 为什么又叫线性约束条件？（约束条件都是关于y x ,的一次不等式）目标函数是y x z 32+=，为什么又叫线性目标函数？（目标函数是关于y x ,的一次解析式）２．在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题称为线性规划问题； ３．满足线性约束条件的解),(y x 叫做可行解；由所有可行解组成的集合叫做可行域；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解．【基础练习】1．给定下列命题：在线性规划问题中，①最优解指的是目标函数的最大值或最小值；②最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量y x 或；③最优解指的是目标函数取得最大值或最小值的可行域；④最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．其中真命题的序号是 ④ ．２．在教材第87页引例中，当直线332,32zx y y x z +-=+=即经过可行域时，直线越向 上 （上，下）z 越大，直线越向 下 （上，下）z 越小，为什么？（由z 的几何意义决定的）z 的几何意义是3z是直线在y 轴上的截距． ３.解下列线性规划问题：（１）求y x z +=2的最大值，使y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y（２）求y x z 523+=的最大值和最小值，使y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x答案：（１）3max =z ． （２）11,17min max -==z z ． 【典型例题】例1 已知y x ,满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0025023002y x y x y x ，试求y x z 900300+=的最大值时点的坐标，及相应的z 的最大值王新敞【审题要津】先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使y x z 900300+=取最大值时的点并求最大值王新敞解：如图所示平面区域A O B C ，点A (0,12，点B(150,0)，点C 的坐标由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+3200335025023002y x y x y x 得C （3200,3350）， 由y x z 900300+=， 得y =-90031zx +, 欲求y x z 900300+=的最大值，即转化为求截距900z的最大值，从而可求z 的最大值，因直线y =-90031zx +与直线y =-31x 平行，故作与y =-31x 的平行线，当过点A （0，125）时，对应直线的截距最大，所以此时整点A 使z 取最大值，max z =300×0+900×125=112500 ．【方法总结】１.在线性约束条件下，求c by ax z ++=的最值时，作图需准确，要区别目标函数所对应直线的斜率与可行域的边界直线的斜率的大小关系，分清目标函数所对应直线在y 轴上的截距与z 的关系．２.用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”．变式训练：已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,2502,3003y x y x y x 求目标函数y x z 300600+=的最大值，并求整点最优解．解：可行域如图所示：四边形AOBC 易求点A （0，126），B （100，0）由方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+5191536925223003y x y x y x 得点C 的坐标为（6953,9151) 因题设条件要求整点),(y x 使y x z 300600+=取最大值，将点（69，91），（70，90）代入y x z 300600+=，可知当⎩⎨⎧==9070y x 时，z 取最大值为max z =600×70+300×900=69000，最优解为)90,70(．例 2 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供kg 0750．的碳水化合物，kg 060．的蛋白质，kg 060．的脂肪，kg 1食物A 含有kg 1050．碳水化合物，kg 070．蛋白质，kg 140．脂肪，花费28元；而kg 1食物B 含有kg 1050．碳水化合物，kg 140．蛋白质，kg070．脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 多少kg ？【审题要津】先将已知数据列成下表，使题意直观化．解：设每天食用x 千克食物A ，y 千克食物B ，总成本为z ．那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+．，　，．．．，．．．，．．．00060070140060140070075010501050y x y x y x y x ① 目标函数为 y x z 2128+=．二元一次不等式组①等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+．，　，，，0067146147577y x y x y x y x ② 作出二元一次不等式组②所表示的平面区域，即可行域．考虑y x z 2128+=，将它变形为，这是斜率为34,2134-+-=z x y 随z 变化的一族平行直线．21z是直线在y 轴上的截距，当21z取最小值时，z的值最小．当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数y x z 2128+=取得最小值．由图可见，当直线y x z 2128+=经过可行域上的点M 时，截距21z最小，即z 最小．解方程组 ⎩⎨⎧=+=+,6714,577y x y x得M 点的坐标为 ．，　7471==y x 所以162128min =+=y x z ．答：每天食用食物A 约g 143，食物B 约g 571，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为１６元．【方法总结】线性规划解决实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数．然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解，最后，要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解．变式训练：某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲产品1吨，需要煤9吨，需电4瓦，工作日3个（一个2人劳动一天等于一个工作日），生产乙种产品1吨，需要用煤4吨，需电5瓦，工作日12个，又知甲产品每吨售价7万元，乙产品每吨售价12万元，且每天供煤最多360吨，供电最多200瓦，全员劳动人数最多300人，问每天安排生产两种产品各多少吨；才能使日产值最大，最大产值是多少？解：设每天生产甲种产品x 吨，乙种产品y 吨，日产值为z 万元。