人教A版数学必修三教案:§1.3算法案例(辗转相除法与更相减损术)
人教A版高中数学必修三1-3-1 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法
用更相减损术求 294 和 84 的最大公约数时,第一步是 ________.
[答案] 用 2 约简 [解析] 由于 294 和 84 都是偶数,先用 2 约简.
2.秦九韶算法 (1)概念:求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 的值 时,常用秦九韶算法,这种算法的运算次数较少,是多项式 求值比较先进的算法,其实质是转化为求 n 个__一__次__多项式 的值,共进行_n_次乘法运算和_n_次加法运算.其过程是:
[答案] C
3.更相减损术的理论依据是( ) A.每次操作所得的两数和前两数具有相同的最小公倍 数 B.每次操作所得的两数和前两数具有相同的最大公约 数 C.每次操作所得的两数和前两数的最小公倍数不同 D.每次操作所得的两数和前两数的最大公约数不同
[答案] B
4.用秦九韶算法计算f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+
3.求满足1+
1 22
+
1 32
+…+
1 n2
>106的最小正整数n,要求
设计算法画出其程序框图,编写程序.
[答案]
由于事先不知道循环的次数,故可用WHILE语句编写程 序如下:
新课引入
秦朝末年,楚汉相争.一次,韩信率 1500 名将士与楚王 大将李锋交战.苦战一场,楚军不敌,败退回营,汉军也死 伤四五百人,于是韩信整顿兵马返回大本营.当行至一山坡, 忽有后军来报,说有楚军骑兵追来.只见远方尘土飞扬,杀 声震天.汉军本来已十分疲惫,这时队伍大哗.韩信骑马到 坡顶,见来敌不足五百骑,便急速点兵迎敌.
这样的问题,也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类 问题,也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和 解题方法被称为“中国剩余定理”,这是由中国人首先提出 的.
人教a版必修3数学教学课件第1章算法初步第3节算法案例
故应认真、细心,确保中间结果的准确性.若在多项式中有几项不
存在,可将这些项的系数看成0,即把这些项看成0·xn.
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题型一
题型二
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
题型三
【变式训练3】 用秦九韶算法求多项式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1
当x=2时的值.
v3=-24×(-2)+2=50.故f(-2)=50.
错因分析:所求f(-2)的值是正确的,但是错解中没有抓住秦九韶算
法原理的关键,正确改写多项式,并使每一次计算只含有x的一次项.
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【做一做2】 用秦九韶算法求f(x)=2x3+x-3当x=3时的值的过程
中,v2=
.
解析:f(x)=((2x+0)x+1)x-3,
v0=2;
减小数.
解:(1)用辗转相除法求840和1 785的最大公约数.
1 785=840×2+105,
840=105×8.
所以840和1 785的最大公约数是105.
人教版高中数学必修三课件:1.3 算法案例(共55张PPT)
解:用辗转相除法求最大公约数:612=468×1+144,468=144×3+36,144=36×4,即612
和468的最大公约数是36. 用更相减损术检验:612和468均为偶数,两次用2约简得153和117,153-117=36,11736=81,81-36=45,45-36=9,36-9=27,27-9=18,18-9=9,所以612和468的最大公约数为
转化为求n个一次多项式的值.
预习探究
知识点二 进位制
1.进位制:进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统,约定“满k进一”就 是 k进制 ,k进制的基数(大于1的整数)就是 k . 2.将k进制数化为十进制数的方法:先把k进制数写成各位上的数字与k的幂的乘积之和 的形式,再按照十进制数的运算规则计算出结果. 3.将十进制数化为k进制数的方法是 除k取余法 .即用k连续去除十进制数所得 的 商 ,直到商为零为止,然后把各步得到的余数 倒序 写出.所得到的就是相应的k 进制数. 4.k进制数之间的转化:首先转化为十进制数,再转化为 k进制数.
第一章 算法初步
1.3 算法案例 第2课时 秦九韶算法与进位制
预习探究
知识点一 秦九韶算法
1.秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出的一 个用于计算多项式值的方法. 2.秦九韶算法的方法: 把一个n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 改写成下列的形式: f(x)=(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)x+a0= ((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =…=
数学人教A版必修3课件:第一章 1.3 第1课时 辗转相除法与更相减损术
求三个正整数的最大公约数
典例 用辗转相除法和更相减损术两种方法,求三个数72,120,168的最大公 约数.
素养评析 (1)求多个正整数的最大公约数,先求两个数的最大公约数,再 求这个最大公约数与另一个数的最大公约数,依次类推. (2)求最大公约数,首先要设计运算方案,选择运算方法,求得运算结果, 所以说,这类题目是培养学生数学核心素养的重要内容.
3 达标检测
PART THREE
1.1 337与382的最大公约数是
A.3
√C.191
B.382 D.201
解析 1 337=382×3+191,382=191×2,所以1 337与382的最大公约数是191.
12345
2.下列各组关于最大公约数的说法中不正确的是 A.16和12的最大公约数是4 B.102和84的最大公约数是6
√C.85和357的最大公约数是34
D.105和315的最大公约数是105 解析 85和357的最大公约数是17.
12345
3.用更相减损术求36与134的最大公约数,第一步应为_先__除__以__2_,__得__到__1_8_与__6_7__. 解析 ∵36与134都是偶数, ∴第一步应为先除以2,得到18与67. 4.已知a=333,b=24,则使得a=bq+r(q,r均为自然数,且0≤r<b)成立的q 和r的值分别为__1_3_,2_1___. 解析 用333除以24,商即为q,余数就是r.333÷24=13……21.
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数.( √ ) 2.求最大公约数的方法除辗转相除法之外,没有其他方法.( × ) 3.编写辗转相除法的程序时,要用到循环语句.( √ )
算法案例第1课时辗转相除法与更相减损术学案课件 新人教A版必修3
1.辗转相除法 (1)辗转相除的原理: 设m, n是两个整数 (不妨设m>n),用m除以n,若商为 q1 ,余数为 r1(0≤r1<n) ,则 m = n· q1 + r1 ,显然若 x 是 m 和 n 的 公约数,即x能整除m和n,则x也必然能整除r1,这样x也是 n 和 r1 的公约数,故求 m 和 n 的公约数就是求 n 和 r1 的公约数; 同理,用n除以r1,得n=r1· q2+r2(0≤r2<r1),故求m和n的公 约 数 就 是 求 r2 和 r1 的 公 约 数 , … , 依 次 下 去 , 由 于 m>n>r1>r2>… ,所以到某一步必然有 ri = ri + 1· qi + 2 ,即 ri 恰 能被ri+1整除,这时ri+1是ri和ri+1的最大公约数,它也必然 是ri-1和ri、ri-2和ri-1、…、r1与r2、n和r2、m和n的最大公 约数.
此编写的算法,也称作“欧几里得算法”.
3.对于正整数m与n(m>n),总能找到整数q和r(0≤r<n)
使得m=nq+r成立,这个除法称为带余除法.通常记r= mMODn.
重点:算法案例的原理、算法设计及算法思想的体 会. 难点:理解算法案例的内容及具体算法设计的关键步
骤.
一、弄清算法原理,掌握算法程序,经历算法设计过 程,体会算法设计的关键环节,领悟算法思想.
(1)更相减损术求两数最大公约数的过程与算法设计. 对于给定的两个数,用较大的数减去较小的数,接着 把得到的差与较小的数比较,用这时两个数中较大的数减 去较小的数,继续这样的操作 ( 大数减小数 ) ,直到所得的
数相等为止,那么这个数 ( 相等数 ) 就是所求的最大公约
数.
显然,上述过程中大数减去小数是一个重复执行的过
高中数学 1.3.1 辗转相除法与更相减损术教案 新人教A版必修3
过程与方法体会算法的基本思想,提高逻辑思教学难点:体会算法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考与数学表达能力我们将通过辗转相除法与更相减损术来进一步体会算法的思想)怎样用短除法求最大公约数?样用更相减损术求最大公约数?,3(x0)的值共需要1精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠,读出了它坦荡豪放的胸怀;读太阳,读出了它普照万物的无私;读春雨,读出了它润物无声的柔情。
读大海,读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰,读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝,意恐迟迟归”的牵挂;幸福是“春种一粒粟,秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下,悠然见南山”的闲适;幸福是“奇闻共欣赏,疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜,润物细无声”的奉献;幸福是“夜来风雨声,花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘,只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉,笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧,后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死,留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩:从秋叶的飘零中,我们读出了季节的变换;从归雁的行列中,我读出了集体的力量;从冰雪的消融中,我们读出了春天的脚步;从穿石的滴水中,我们读出了坚持的可贵;从蜂蜜的浓香中,我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子,如果害怕埋没,那它永远不能发芽。
鲜花,如果害怕凋谢,那它永远不能开放。
矿石,如果害怕焚烧(熔炉),那它永远不能成钢(炼成金子)。
蜡烛,如果害怕熄灭(燃烧),那它永远不能发光。
航船,如果害怕风浪,那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花,当你孤芳自赏时,天地便小了。
井底的蛙,当你自我欢唱时,视野便窄了。
笼中的鸟,当你安于供养时,自由便没了。
山中的石!当你背靠群峰时,意志就坚了。
水中的萍!当你随波逐流后,根基就没了。
空中的鸟!当你展翅蓝天中,宇宙就大了。
空中的雁!当你离开队伍时,危险就大了。
地下的煤!你燃烧自己后,贡献就大了6、朋友是什么?朋友是快乐日子里的一把吉它,尽情地为你弹奏生活的愉悦;朋友是忧伤日子里的一股春风,轻轻地为你拂去心中的愁云。
高中数学人教A版必修3课件:1.3 算法案例
1.3 算法案例
题型1 辗转相除法与更相减损术
4.分别用辗转相除法和更相减损术求36和80的最大公约数.
解
辗转相除法:
80=36×2+8,36=8×4+4,8=4×2.
故36和80的最大公约数是4.
更相减损术:
80-36=44,44-36=8,36-8=28,28-8=20,
20-8=12,12-8=4,8-4=4.
解析
111÷2=55……1,55÷2=27……1,27÷2=13……1,13÷2=6……1, 6÷2=3……0,3÷2=1……1,1÷2=0……1, 故111(10)=1101111(2).故选C.
1.3 算法案例
题型3 进位制
11.把十进制数189化为四进制数,则末位数字是( B )
A.0
B.1
1.3 算法案例
刷基础
题型3 进位制
13.十六进制数与十进制数的对应如下表:
十 六 进 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C D E F 制 数 十 进 制 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数
例如:A+B=11+12=16+7=F+7=17(16),所以A+B的值用十六进制表示就等于17(16).
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的具体函数值,运用常规方法计算出结果最多需要n次加法和
n(n 2
1)
次乘法,而运用秦九韶算法由内而外逐层计算一次多项式的值的算法至多需要n次加法和n次乘法.对于计
算机来说,做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多,所以此算法极大地缩短了CPU运算的
A.2
B.3
C.4
D.5
1.3算法案例(辗转相除法、更相减损术与秦九韶算法)课件(人教A版必修3)
• 解析: f(x)=(((((x-5)x+6)x-3)x+1.8)x+ 0.35)x + 2 , v0 = 1 , v1 = v0x - 5 =- 6 , v2 = v1x+6=-6×(-1)+6=12,v3=v2x-3= -15. • 答案:-15
• 类型三 算法思想的应用 • [ 例 4] 运用秦九韶算法求 7 次多项式 f(x) = a7x7 + a6x6 + a5x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 当 x = x0 时 的 值 , x0 , a1 ~ a7 都由键盘输入,画出算法的程 序框图. • [解] 程序框图如图1所示: • [点评] 用秦九韶算法对一个n次多项 式变形,可以得到下面的表达式:
计算 方法
v3=v2x+an-3,
… vn=
vn-1x+a0 ,
这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求
n个一次多项式 的值
自我检测
• 1 .用辗转相除法求 294 和 84 的最大公 约数时,需要做除法的次数是( ) • A .1 B.2 • C.3 D.4
• 解析:294=84×3+42,84=42×2+0. • 答案:B
更相减损术
①都是求最大公约数的方法. 联 ②二者的实质都是递归的过程 系 . ③二者都要用循环结构来实现.
• 注意:应用更相减损术时,相减之前 先判断两个数是否为偶数,若都是偶 数则要反复除 2 ,直至至少出现一个 奇数为止.最后的公约数也是相减之 后的数乘以约简数. • 2.秦九韶算法的特点 • 秦九韶算法的特点在于把求一个 n 次 多项式的值转化为求 n 个一次多项式 的 值 , 即 把 求 f(x) = anxn + an - 1xn - 1 +…+a1x+a0的值转化为求递推公式:
算法案例 辗转相除法与更相减损术秦九韶算法与进位制第一课时课件-数学高一必修3第一章算法初步1.3人教A版
【问题导思】 1.如何求18与54的最大公约数? 【提示】 短除法.
2.要求6 750与3 492的最大公约数,上述法还好用吗?
【提示】
数值太大,短除法不方便用.
(1)更相减损之术(等值算法)
用两个数中较大的数减去较小的数,再用 差数 较小的数 大 数 到产生 减 和
构成新的一对数,对这一对数再用 小数 ,以同样的操作一直做下去,直 ,这个数就是最大公约数.
v0=an 则递推公式为 其中 vk= vk-1x+an-k
k=1,2,„,n.
(2)计算P(x0)的方法 先计算 最内层括号 ,然后 由内向外 常数项 直到 最外层括号 ,然后加上 逐层计算, .
知识3
进位制
进位制是一种记数方式,用有限的数字在不同的位置表示
不同的数值.使用数字符号的个数称为基数,基数为 n,即称为
1.用更相减损之术可求得78与36的最大公约数是( A.24 【解析】 B.18 C.12 D. 6
)
78-36=42,42-36=6,36-6=30,30-
6=24,24-6=18,18-6=12,12-6=6,∴6为78与36的
最大公约数.
【答案】 D
2.用秦九韶算法计算f(x)=6x5-4x4+x3-2x2+x3-2x2 -9x,需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为( A.5,4 【解析】 B.5,5 C.4,4 )
【解析】 (1)101 111 011(2)=1×28+0×27+1×26+1×25
+1×24+1×23+0×22+1×21+1×20=379(10).
(2)1231(5)=1×53+2×52+3×5+1=191(10),
∴1231(5)=362(7).
最新人教版普通高中课程标准实验教科书必修3《算法案例——辗转相除法和更相减损术》说课稿
课题:算法案例——辗转相除法和更相减损术教材:人教版普通高中课程标准实验教科书必修3第一章第1.3节1、教材分析与传统教学内容相比,《算法初步》为新增内容,算法是计算机科学的重要基础,算法思想已经渗透到社会的方方面面,算法思想也逐渐成为每个现代人应具有的数学素养。
算法思想即体现了时代的特点,也是中国古代数学灿烂的历史和巨大的贡献在新层次上的复兴。
本节内容是探究古代算法案例――辗转相除法和更相减损术,经历设计算法解决问题的全过程,体会算法在解决问题中的重要作用,体会算法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理的思考和数学表达能力,巩固算法三种描述性语言(自然语言、图形语言和程序语言),提高学生分析和解决问题的能力。
2、教学目标分析:(1)知识目标:①理解辗转相除法和更相减损术求两个正数的最大公约数的原理;②能用写算法步骤、画流程图和编程序表达辗转相除法;说明:在这里,理解案例中的新的知识是理解算法的必要的前提,但重要的是理解案例中的算法核心思想,而不是强调对案例中新知识的记忆和灵活运用。
(2)能力目标:①培养学生把具体问题抽象转化为算法语言的能力;②培养学生自主探索和合作学习的能力。
(3)情感目标:①使学生进一步了解从具体到一般思想方法。
②体会中国古代数学对世界数学的巨大贡献,培养爱国思想和学习数学的积极性。
3、教学重点与难点分析:(1)教学重点:能用写算法步骤、画流程图和编程序表达辗转相除法及更相减损术。
(体会算法解决问题的全过程)(2)教学难点:用不同逻辑结构的程序框图表达算法;4、教学方法与手段(1)、教法:阅读指导,以问题为载体,有引导的对话,让学生经历知识的形成过程和发展过程,有利于学生活动的充分展开。
(2)、学法:以观察、讨论、思考、分析、动手操作、自主探索、合作学习多种形式相结合,引导学生多角度、多层面认识事物,突破教学难点。
5、教学过程设计分析:辅助工具:ppt课件知识准备:带余除法6、评价分析:(1)、指导思想:①新知识与旧知识相结合的原则;②掌握知识与发展智力、能力相统一的原则;③教师的主导作用与学生的主体作用相结合的原则。
人教版数学必修三教案:算法案例(辗转相除法与更相减损术)
§1.3 算法案例一、教材分析在学生学习了算法的初步知识,理解了表示算法的算法步骤、程序框图和程序三种不同方式以后,再结合典型算法案例,让学生经历设计算法解决问题的全过程,体验算法在解决问题中的重要作用,体会算法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考与数学表达能力.二、教学目标1、知识与技能(1)理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理,并能根据这些原理进行算法分析。
(2)基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。
(3)了解秦九韶算法的计算过程,并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。
(4)掌握数据排序的原理能使用直接排序法与冒泡排序法给一组数据排序,进而能设计冒泡排序法的程序框图及程序,理解数学算法与计算机算法的区别,理解计算机对数学的辅助作用。
(5)了解各种进位制与十进制之间转换的规律,会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。
2、过程与方法(1)在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法,比较它们在算法上的区别,并从程序的学习中体会数学的严谨,领会数学算法计算机处理的结合方式,初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
(2)模仿秦九韶计算方法,体会古人计算构思的巧妙。
能根据排序法中的直接插入排序法与冒泡排序法的步骤,了解数学计算转换为计算机计算的途径,从而探究计算机算法与数学算法的区别,体会计算机对数学学习的辅助作用。
(3)学习各种进位制转换成十进制的计算方法,研究十进制转换为各种进位制的除k 去余法,并理解其中的数学规律。
3、情态与价值观(1)通过阅读中国古代数学中的算法案例,体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
(2)在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力,在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。
(3)通过对秦九韶算法的学习,了解中国古代数学家对数学的贡献,充分认识到我国文化历史的悠久。
1.3算法案例 课件-高一数学人教A版必修3
用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值。
解:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下 形式:
f (x) ((((4x 2)x 3.5)x 2.6)x 1.7)x 0.8
按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当 x=5时的值:
WHILE d<>n
IF d>n THEN m=d
ELSE m=n
n=d
END IF d=m-n WEND d=2^k*d
PRINT d
END
问题2:怎样求多项式 f (x) x5 x4 x3 x2 x 1当x=5 的值呢?
方法1:把5代入多项式,计算各项的值,然后把它们加 起来。这时共做了1+2+3+4=10次乘法运算,5 次加法运算。
例1:用更相减损术求98与63的最大公约数。
解:由于63不是偶数,把98和63以大数减小数, 并辗转相减得,如图所示:
98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21 21-7=14 14-7=7
所以,98和63的最大公约数等于7。
思考:把更相减损术与辗转相除法比较,你有什么
发现?你能根据更相减损术设计程序,求两个正数的 最大公约数吗?
v1 an x an1
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v2 v1 x an2 ,
v3 v2 x an3 ,
vn vn1 x a0 ,
这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项 式的值。
上述方法称为秦九韶算法。直到今天, 这种算法仍是 多项式求值比较先进的算法。
例2、已知一个5次多项式为
⑤十进制化k进制
2014年人教A版必修三课件 1.3 算法案例
输入正数m,n
m>n? 是 m=m-n 否 m=n? 是 输出m 结束
否 n=n-m
案例2 秦九韶算法 问题2. 下面是求多项式 f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1 的 值的两种算法, 你认为哪种算法要快一些? 为什么? 算法 1: 直接将 x 的值代入多项式计算; 算法 2: 将多项式变形成 f(x)=((((x+1)x+1)x+1)x+1)x+1. 算法 1 要做 10 次乘法和 5 次加法. 算法 2 只做 4 次乘法和 5 次加法. 计算机做一次乘法用的时间比做一次加法所用 的时间长得多. 对于 n 次多项式的求值运算, 我国南宋时期的 秦九韶有如下的算法:
5. 什么是秦九韶算法? 它的特点是什么? 6. 你能写出秦九韶算法的程序吗?
Hale Waihona Puke 案例1 辗转相除法与更相减损术 问题1. 你能求两个数的最大公约数吗? 看下面 一列等式, 请问: 37 是 2146 与 1813 的公约数吗? 2146 1813 余 333, 2146 = 1813 1 +333, 有37的约数, 1813 333 余 148, 1813 = 333 5 +148, 有37的约数, 333 148 余 37, 333 = 148 2 +37, 有37的约数, 148 37 余 0. 有37的约数, 148 = 37 4. 求两个数的最大公约数的算法步骤: (1) 大数除以小数取余数; (2) 较小的数与余数又进行大数除以小数取余数; 如此重复进行, 直到余数为 0. 余数为 0 时的除数就是最大公约数. 这叫辗转相除法, 又叫欧几里得算法.
否则, 返回第二步进入循环.
高中数学人教版必修3算法案例教学设计
学生思考算理,表述自己的发现;师生共同概括方法.
(6)小结
总结辗转相除法与更相减损术的联系与区别及算法程序,使学生们对知识有一个系统的认识,抓住关键,培养概括能力,实现知识的升华.
学生思考,小组讨论,推举代表叙述,其他同学补充
教师根据学生回答情况进行评价补充.
自我测评
(1)必做题:用辗转相除法求下列两数的最大公约数,并用更相减损术检验你的结果:①228,48;②185,98.
交流研讨
生成问题
(1)辗转相除法的算理问题
(2)对程序框图的理解问题
(3)一题多解多题一解方面
通过交流研讨利于发挥学生的独立思考和创造精神,可使每个学生认知结构完善,展示自己的思想.
全体学生共同分享自学成果、共同解决疑难问题
老师参与研讨,要把这些新生成的问题自然地不漏痕迹地融合在精讲之中.
精讲
(1)辗转相除法的算理问题,关键步骤:带余除法
带余除法是理解算法的必要前提,但教学的重点在于对算法的学习,不强调对这些知识的记忆和灵活应用.
教师通过归纳得出带余除法.
学生思考动手实验,表述自己的发现;师生共同概括方法.
(2)构造循环体
明确构造循环结构的方法是确定循环体,初始化变量和设定循环控制条件.
教师投影循环结构的确定方法.
学生思考构造循环结构,表述自己的发现;师生共同概括方法.
高中数学人教版必修3算法案例教学设计
辗转相除法与更相减损术教学设计
环节
问题
设计意图
师生活动
自主学习
(1)引入课题,求9与24的最大公约数,并用线段度量的方法体会公约数.
(2)知识准备:24=9×2+6,说明9与24的最大公约数为什么等于6与9的最大公约数.
高一数学人教A版必修3教案:1.3第一、二课时 辗转相除法与更相减损术
第一章算法初步一、课标要求:1、本章的课标要求包括算法的含义、程序框图、基本算法语句,通过阅读中国古代教学中的算法案例,体会中国古代数学世界数学发展的贡献。
2、算法就是解决问题的步骤,算法也是数学及其应用的重要组成部分,是计算机科学的基础,利用计算机解决问需要算法,在日常生活中做任何事情也都有算法,当然我们更关心的是计算机的算法,计算机可以解决多类信息处理问题,但人们必须事先用计算机熟悉的语言,也就是计算能够理解的语言(即程序设计语言)来详细描述解决问题的步骤,即首先设计程序,对稍复杂一些的问题,直接写出解决该问题的程序是困难的,因此,我们要首先研究解决问题的算法,再把算法转化为程序,所以算法设计是使用计算机解决具体问题的一个极为重要的环节。
3、通过对解决具体问题的过程与步骤的分析(如二元一次方程组的求解等问题),体会算法的思想,了解算法的含义。
理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。
理解并掌握几种基本的算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。
进一步体会算法的基本思想。
4、本章的重点是体会算法的思想,了解算法的含义,通过模仿、操作、探索,经过通过设计程序框图解决问题的过程。
点是在具体问题的解决过程中,理解三种基本逻辑结构,经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程,理解几种基本的算法语句。
二、编写意图与特色:算法是数学及其应用的重要组成部分,是计算科学的重要基础。
随着现代信息技术飞速发展,算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用,并日益融入社会生活的许多方面,算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。
需要特别指出的是,中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。
在本模块中,学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上,结合对具体数学实例的分析,体验程序框图在解决问题中的作用;通过模仿、操作、探索,学习设计程序框图表达解决问题的过程;体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性,发展有条理的思考与表达的能力,提高逻辑思维能力。
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§1.3 算法案例一、教材分析在学生学习了算法的初步知识,理解了表示算法的算法步骤、程序框图和程序三种不同方式以后,再结合典型算法案例,让学生经历设计算法解决问题的全过程,体验算法在解决问题中的重要作用,体会算法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考与数学表达能力.二、教学目标1、知识与技能(1)理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理,并能根据这些原理进行算法分析。
(2)基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。
(3)了解秦九韶算法的计算过程,并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。
(4)掌握数据排序的原理能使用直接排序法与冒泡排序法给一组数据排序,进而能设计冒泡排序法的程序框图及程序,理解数学算法与计算机算法的区别,理解计算机对数学的辅助作用。
(5)了解各种进位制与十进制之间转换的规律,会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。
2、过程与方法(1)在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法,比较它们在算法上的区别,并从程序的学习中体会数学的严谨,领会数学算法计算机处理的结合方式,初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
(2)模仿秦九韶计算方法,体会古人计算构思的巧妙。
能根据排序法中的直接插入排序法与冒泡排序法的步骤,了解数学计算转换为计算机计算的途径,从而探究计算机算法与数学算法的区别,体会计算机对数学学习的辅助作用。
(3)学习各种进位制转换成十进制的计算方法,研究十进制转换为各种进位制的除k 去余法,并理解其中的数学规律。
3、情态与价值观(1)通过阅读中国古代数学中的算法案例,体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
(2)在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力,在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。
(3)通过对秦九韶算法的学习,了解中国古代数学家对数学的贡献,充分认识到我国文化历史的悠久。
通过对排序法的学习,领会数学计算与计算机计算的区别,充分认识信息技术对数学的促进。
(4)领悟十进制,二进制的特点,了解计算机的电路与二进制的联系,进一步认识到计算机与数学的联系。
三、重点难点教学重点:(1)引导学生得出自己设计的算法步骤、程序框图和算法程序.(2)秦九韶算法的特点(3)两种排序法的排序步骤及计算机程序设计(4)各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换教学难点:(1)体会算法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考与数学表达能力.(2)秦九韶算法的先进性理解(3)排序法的计算机程序设计(4)除k去余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计四、课时安排3课时五、教学设计第1课时案例1 辗转相除法与更相减损术(一)导入新课思路1(情境导入)大家喜欢打乒乓球吧,由于东、西方文化及身体条件的不同,西方人喜欢横握拍打球,东方人喜欢直握拍打球,对于同一个问题,东、西方人处理问题方式是有所不同的.在小学,我们学过求两个正整数的最大公约数的方法:先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来. 当两个数公有的质因数较大时(如8 251与6 105),使用上述方法求最大公约数就比较困难.下面我们介绍两种不同的算法——辗转相除法与更相减损术,由此可以体会东、西方文化的差异.思路2(直接导入)前面我们学习了算法步骤、程序框图和算法语句.今天我们将通过辗转相除法与更相减损术来进一步体会算法的思想.(二)推进新课、新知探究、提出问题(1)怎样用短除法求最大公约数?(2)怎样用穷举法(也叫枚举法)求最大公约数?(3)怎样用辗转相除法求最大公约数?(4)怎样用更相减损术求最大公约数?讨论结果:(1)短除法求两个正整数的最大公约数的步骤:先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是两个互质数为止,然后把所有的除数连乘起来.(2)穷举法(也叫枚举法)穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤:从两个数中较小数开始由大到小列举,直到找到公约数立即中断列举,得到的公约数便是最大公约数.(3)辗转相除法辗转相除法求两个数的最大公约数,其算法步骤可以描述如下:第一步,给定两个正整数m,n.第二步,求余数r:计算m除以n,将所得余数存放到变量r中.第三步,更新被除数和余数:m=n,n=r.第四步,判断余数r是否为0.若余数为0,则输出结果;否则转向第二步继续循环执行.如此循环,直到得到结果为止. 这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的,因而又叫欧几里得算法.(4)更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法,就是更相减损术. 《九章算术》是中国古代的数学专著,其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数,即“可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也.以等数约之.”翻译为现代语言如下:第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶数,若是,用2约简;若不是,执行第二步.第二步,以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数,继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.(三)应用示例例1 用辗转相除法求8 251与6 105的最大公约数,写出算法分析,画出程序框图,写出算法程序.解:用两数中较大的数除以较小的数,求得商和余数:8 251=6 105×1+2 146.由此可得,6 105与2 146的公约数也是8 251与6 105的公约数,反过来,8 251与6 105的公约数也是6 105与2 146的公约数,所以它们的最大公约数相等.对6 105与2 146重复上述步骤:6 105=2 146×2+1 813.同理,2 146与1 813的最大公约数也是6 105与2 146的最大公约数.继续重复上述步骤:2 146=1 813×1+333,1 813=333×5+148,333=148×2+37,148=37×4.最后的除数37是148和37的最大公约数,也就是8 251与6 105的最大公约数.这就是辗转相除法.由除法的性质可以知道,对于任意两个正整数,上述除法步骤总可以在有限步之后完成,从而总可以用辗转相除法求出两个正整数的最大公约数.算法分析:从上面的例子可以看出,辗转相除法中包含重复操作的步骤,因此可以用循环结构来构造算法.算法步骤如下:第一步,给定两个正整数m,n.第二步,计算m除以n所得的余数为r.第三步,m=n,n=r.第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m;否则,返回第二步.程序框图如下图:INPUT m,nDOr=m MOD nm=nn=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND点评:从教学实践看,有些学生不能理解算法中的转化过程,例如:求8 251与6 105的最大公约数,为什么可以转化为求6 105与2 146的公约数.因为8 251=6 105×1+2 146,可以化为8 251-6 105×1=2 164,所以公约数能够整除等式两边的数,即6 105与2 146的公约数也是8 251与6 105的公约数.变式训练你能用当型循环结构构造算法,求两个正整数的最大公约数吗?试画出程序框图和程序.解:当型循环结构的程序框图如下图:程序:INPUT m,nr=1WHILE r>0r=m MOD nm=nn=rWENDPRINT mEND例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.解:由于63不是偶数,把98和63以大数减小数,并辗转相减,如下图所示.63-35=2835-28=728-7=2121-7=1414-7=7所以,98和63的最大公约数等于7.点评:更相减损术与辗转相除法的比较:尽管两种算法分别来源于东、西方古代数学名著,但是二者的算理却是相似的,有异曲同工之妙.主要区别在于辗转相除法进行的是除法运算,即辗转相除;而更相减损术进行的是减法运算,即辗转相减,但是实质都是一个不断的递归过程.变式训练用辗转相除法或者更相减损术求三个数324,243,135的最大公约数.解:324=243×1+81,243=81×3+0,则324与243的最大公约数为81.又135=81×1+54,81=54×1+27,54=27×2+0,则81 与135的最大公约数为27.所以,三个数324、243、135的最大公约数为27.另法:324-243=81,243-81=162,162-81=81,则324与243的最大公约数为81.135-81=54,81-54=27,54-27=27,则81与135的最大公约数为27.所以,三个数324、243.135的最大公约数为27.例3 (1)用辗转相除法求123和48的最大公约数.(2)用更相减损术求80和36的最大公约数.解:(1)辗转相除法求最大公约数的过程如下:123=2×48+27,48=1×27+21,27=1×21+6,21=3×6+3,6=2×3+0,最后6能被3整除,得123和48的最大公约数为3.(2)我们将80作为大数,36作为小数,因为80和36都是偶数,要除公因数2.80÷2=40,36÷2=18.40和18都是偶数,要除公因数2.40÷2=20,18÷2=9.下面来求20与9的最大公约数,20-9=11,11-9=2,9-2=7,7-2=5,5-2=3,3-2=1,可得80和36的最大公约数为22×1=4.点评:对比两种方法控制好算法的结束,辗转相除法是到达余数为0,更相减损术是到达减数和差相等.变式训练分别用辗转相除法和更相减损术求1 734,816的最大公约数.解:辗转相除法:1 734=816×2+102,816=102×8(余0),∴1 734与816的最大公约数是102.更相减损术:因为两数皆为偶数,首先除以2得到867,408,再求867与408的最大公约数.867-408=459,459-408=51,408-51=357,357-51=306,306-51=255,255-51=204,204-51=153,153-51=102,102-51=51.∴1 734与816的最大公约数是51×2=102.利用更相减损术可另解:1 734-816=918,918-816=102,816-102=714,714-102=612,612-102=510,510-102=408,408-102=306,306-102=204,204-102=102.∴1 734与816的最大公约数是102.(四)知能训练求319,377,116的最大公约数.解:377=319×1+58,319=58×5+29,58=29×2.∴377与319的最大公约数为29,再求29与116的最大公约数.116=29×4.∴29与116的最大公约数为29.∴377,319,116的最大公约数为29.(五)拓展提升试写出利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的程序.解:更相减损术程序:INPUT “m,n=”;m,nWHILE m<>nIF m>n THENm=m-nELSEm=n-mEND IFWENDPRINT mEND(六)课堂小结(1)用辗转相除法求最大公约数.(2)用更相减损术求最大公约数.思想方法:递归思想.(七)作业分别用辗转相除法和更相减损术求261,319的最大公约数.分析:本题主要考查辗转相除法和更相减损术及其应用.使用辗转相除法可依据m=nq+r,反复执行,直到r=0为止;用更相减损术就是根据m-n=r,反复执行,直到n=r为止.解:辗转相除法:319=261×1+58,261=58×4+29,58=29×2.∴319与261的最大公约数是29.更相减损术:319-261=58,261-58=203,203-58=145,145-58=87,87-58=29,58-29=29,∴319与261的最大公约数是29.。