7.8《无穷等比数列的各项和》(1)
无穷等比数列各项的和
无穷等比数列各项的和教学目标1. 明白得无穷等比数列各项的和的意义；2. 利用无穷等比数列各项的和解决有关问题，专门是无穷循环小数化分数的问题，对有理数有进一步清楚、完整的熟悉；3. 通过无穷等比数列各项的和概念的引入及其研究，初步形成研究数学问题的能力，对数学中显现的有关无穷的问题有一个初步的熟悉，并对解决无穷问题的方式有一个初步的了解.重点难点1. 无穷等比数列各项的和概念的引入和概念的准确表述；2. 如何转变学生在熟悉无穷问题上一些感性熟悉的错误，比如等式.0.90.9991==的成立是不是是准确的.教学进程一、引入课题今天咱们学习无穷等比数列各项的和.在小学，同窗们学习过度数化小数，咱们明白分数能够化成有限小数或无穷循环小数.例如： 3333.03.031==，可是咱们是如何明白得无穷循环小数，如何明白得 3333.03.0=的呢？我想大伙儿对此是不多加试探的，明白它确实是31.那么关于 9999.09.0=呢？你想到什么呢，它是什么意思，表示什么，等于多少，它是哪个数化成的，它是大于1，等于1，仍是小于1？今天咱们学习无穷等比数列各项的和，要从理论上全然解决这些问题.二、概念产生的进程咱们已经学过无穷等比数列，可是什么是各项的和呢？咱们先看一个具体的无穷等比数列.（1）求无穷等比数列}21{n ，即： ,21,,41,21n各项的和. 分析：求数列各项的和，顾名思义，确实是求数列全数项的和.无穷数列有无穷项，无穷项写也写不完，如何相加求和？很明显，这在传统算术意义上是无法相加求和的，是不存在和的.可是那个问题是数学进展进程中产生的一个新问题，是需要加以研究解决的.关于新问题，就要用新思维、新方式加以研究解决，与时俱进，有所创造.制造要有必然的基础，咱们先回忆一下与那个问题有关的咱们已知什么？咱们已知的是数列的前n 项的和n S ，下面咱们就探讨n S 与“各项和”的关系？求无穷数列各项的和，依照和的大体含义，是要把它们加起来，之前面开始加起来，它的基础是前n 项和n S ，关于数列}21{n ，nn S 211-=.咱们想像一直加下去能取得“和”，即“和”是存在的，是一个确信的数“S ”，那么前n 项和n S 与“S ”的关系为：当n 愈来愈大时，n S 就会接近、无穷制地接近那个和“S ”.依照前面学习过的极限的知识，那个和“S ”应该是前n 项和n S 的极限.通过上面的分析：咱们第一要明确什么是“无穷项的和”，即要给予“无穷项的和”的意义（概念）.有了意义，才能讨论如何计算，也确实是给出计算方式.用已知刻画未知.咱们已知的是前n 项和n S 和它的极限（若是极限存在）.未知的是无穷项的和.关于数列}21{n ，已知n n S 211-=，且1)211(lim lim =-=+∞→+∞→n n n n S .依照前面所熟悉到的前n 项和n S 的极限与咱们所探讨的“各项和”的关系，咱们有如下概念. 关于无穷等比数列}21{n ，咱们概念n n S +∞→lim 为它的各项的和，记为S ，即1lim ==+∞→n n S S .即：121814121=+++++ n . （2）上升到一样的无穷等比数列}{n a ，其中11-=n n q a a ，１）1=q ，1na S n =，n S 的极限不存在；２）1≠q n n n q qa q a q q a S ---=--=111)1(111， 当1≥q ，n S 的极限不存在； 当1<q 时：0lim =+∞→n n q ，因此：qa q q a q a S n n n n -=---=+∞→+∞→1)11(lim lim 111， 即前n 项和n S 的极限存在且等于qa -11. 概念：关于1<q 的无穷等比数列}{n a ，咱们概念n n S +∞→lim 为它的各项的和，记为S ，即qa S S n n -==+∞→1lim 1. 三、应用（1）无穷循环小数的问题 咱们明白分数化小数 3333.03.031==，逆过来呢？ +++==003.003.03.03333.03.0是表示首项为3.0，公比为1.0的无穷等比数列数列各项的和，即319.03.01.013.03333.03.0==-== .由此也能够看出咱们概念的合理性.关于 9999.09.0=， +++=009.009.09.09999.0是表示首项为9.0，公比为1.0的无穷等比数列数列各项的和， 即19.09.01.019.09999.09.0==-== . 19999.09.0== ，121814121=+++++ n. 这两个等式的成立是准确的呢，仍是近似的？即左侧是不是真的等于１，仍是近似等于１，仍是小于１？关于这两个等式，同窗们感觉上总以为等式左侧小于右边，总感觉差一点.本质上同窗们仍是用有限来明白得无穷，通过今天的学习，咱们要明确这两个等式的成立是准确的，因为这是依照无穷等比数列各项和的概念取得的.（2）例题例：正方形ABCD 的边长为1，连接那个正方形各边的中点取得一个小的正方形1111D C B A ；又连接那个小正方形各边的中点取得一个更小的正方形2222D C B A ；如此无穷继续下去，求所有这些正方形的面积的和.解：设第n 个正方形的面积为n a ，由条件：11=a由题设，可取得：11211211211222)()2()2(--------==+=n n n n n n n n n n B A B A C B B A B A ，CA 1 1 D 1进而：1211221)(21)(---===n n n n n n a B A B A a ， 因此，所有正方形的面积组成的数列}{n a 是首项为1，公比为21的无穷等比数列，故所有正方形的面积之和为：22111=-=S .四、总结1）本节课咱们学习了“无穷等比数列各项的和”，是同窗们第一次真正意义上碰着有关无穷的问题，也确实是无穷个数相加.请同窗们归去好好体会一下今天咱们是如何处置有关无穷的问题，好好试探一下咱们处置无穷问题的方式.2）作为“无穷等比数列各项的和”的应用，咱们解决了无穷循环小数的问题，也确实是无穷循环小数都能够化成份数，对有理数有了更清楚和完整的熟悉.教学设计说明1． 教材分析咱们利用的是上海市二期课改的教材.本教材的特点是：新颖、知识面广、图文并茂、引人入胜.本章节教材内容翔实、主次分明，给了教师专门大的进展空间.针对不同的学生有了更多不一样的适合学生的设计.无穷等比数列各项的和是数列与数列极限以后的内容，是数列学习中的一个重要的概念.求无穷等比数列各项和，是无穷级数求和的一个最简单的特例.对高中生来讲，是从初等数学到高等数学过渡的一个重要桥梁.2． 教学目标的设计 遵循二期课改的“以学生进展为本”的理念，依照本校（上海市示范性高中）学生的特点：个性活泼，思维活跃，学习数学的踊跃性高，初步具有对数学问题进行合作探讨的意识与能力，和学生的现有数学知识的预备：已把握了数列和数列极限的概念及性质等，我设计了适当的教学目标.通过本节课的学习，很重要的一个方式确实是要同窗们对无穷（或无穷）有一个初步的熟悉，对在数学上如何处置无穷的问题有一个初步的了解.通过本节课的学习，另外一个方式确实是通过新概念引入的进程，使同窗们慢慢学会从一个问题的提出，到一个问题解决的进程，学会如何准确的描述一个数学对象，从学习的进程中提高自己的数学思维能力.总之在学习的进程中使学生“学会学习、学会试探”，增强对数学概念的学习和明白得.3．教学进程的设计本节课是求无穷等比数列各项和，对高中生来讲，是未见过的新问题、新概念，需要帮忙试探、研究、明白得，使之能正确成立新概念，不仅能明白得把握，而且能启发思维，增进以后的学习，为可持续进展打下良好的基础.由于之前的求和都是求有限项的和，因此说到求和，无形当中就把有限项的求和的思想方式移植过去，阻碍正确明白得无穷项和的概念和它的必要性和合理性.为此，在教学进程的引入问题、分析问题、解决问题中强调了以下三点：1．在问题引入时期中，通过学生熟悉的一些例子，强调求无穷项和是数学进展进程中客观产生的一个新问题，必需加以研究解决.引导学生踊跃试探，参与解决问题.2．在分析问题时期中，强调在传统的算术求和概念里，求无穷项的和是无法解决的，是不可能求出和来的，是不存在和的.不破不立，不破旧概念，难立新概念.3．在解决问题时期中，用新思想、新方式研究新问题，从研究新问题的最大体的思想方式动身，用已知刻画未知，用有限刻画无穷来加以研究解决.由于在传统算术意义上求无穷项和是没成心义的，因此第一要给出概念（什么是、是什么），再寻觅求法（怎么求），在教学进程中，这两个问题是同时取得解决的.在整个教学进程中，遵循学生的思维进程，引导学生自己发觉问题、解决问题，并在此进程中形成质疑精神，主动参与问题的解决，在积存知识的同时，能力取得提高，思维品质取得提升.4．本节课的特点强调进程教学，启发思维，调动学生学习数学的踊跃性，让学生真正的参与其中，体验学习数学的乐趣.在学习无穷项的和的进程中，在教师的引导下、学生进行理性的试探，通过思辩，不仅使学生知其然，而且还知其因此然.。
高二数学上册 7.8《无穷等比数列的各项和》教案（1） 沪教版
7.8（1）无穷等比数列的各项和（1）一、教学内容分析本末节的重点是无穷等比数列的各项和公式及简单应用．教材在前面已经介绍了等比数列的前n项和与极限的概念，利用极限不难将“等比数列的有限求和”转化为“等比数列的无穷项求和”．教材如此处置，既符合学生的认知规律，又让学生深刻体会从有限熟悉无穷、从已知熟悉未知、从近似熟悉精准的极限思想，能充分调动学生的求知欲望，开扩学生思路，激发学习数学的爱好．本末节的难点是正确明白得无穷等比数列的各项和的概念．冲破难点的关键是创设问题情景，利用对问题的分析，得出概念，推导出无穷等比数列的的各项和的公式，激发学生学习知识的爱好，引导学生进行思维创新，在不断探讨中发觉问题、解决问题．二、教学目标设计1．明白得无穷等比数列的各项和的概念；2．把握无穷等比数列的各项和的公式，会应用公式求无穷等比数列的各项和；3．明白得无穷个数的和与有限个数的和在意义上的区别；4．通过在利用无穷等比数列的各项和的公式解决一些简单的实际问题进程中，形成和提高数学的应用意识.三、教学重点及难点教学重点：无穷等比数列的各项和的公式的推导及其应用.教学难点：正确明白得无穷等比数列的各项和的概念.四、教学用具预备实物投影仪五、教学流程设计六、教学进程设计一、温习引入 试探以下问题：一、0.9•和1哪个数大？什么缘故？二、由于空气的阻力，因此某一类钟的钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一次摆动弧的长度的95%.假设其第一次摆动弧的长度为40cm ，求它在停止前所有摆动的弧的长度和.关于问题1，先让学生进行讨论，然后展现他们的结果. 引导学生回答以下问题：（1）若是你以为0.91•<，那么0.9•比1小多少？（2）若是你以为0.91•<，那么你可否找到一个实数a ，使得0.91a •<<成立？换一个角度来看，事实上而()100.90.090.0009n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅个，，，，是首项为0.9，公比为110的无穷等比数列，它的前n 项和为 ()1010.911010.90.090.00091110110n n nn S -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==- ⎪⎝⎭-个. 于是能够把0.9•看做n S 当n →∞时的极限，从而课堂小结并布置作业无穷等比数列的各项和的定实例引入无穷等比数列无穷等比数列的各项和 公式的运用与深化(例题解析、巩固练习)110.91111010n nn n n n n lim S lim lim lim •→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.关于问题2，一样进行分析.对照以上两个问题，它们有何一起特点？ 二、教学新课一、无穷等比数列的各项和的公式的推导提问：在问题1的讨论中，咱们将0.9•看成首项为0.9、公比为0.1的无穷等比数列的前n 项和的极限.请同窗们试探，是不是无穷等比数列的前n 项和的极限都存在？若是它的极限存在，那么极限等于什么？指出：当无穷等比数列的公比q 知足||1q <时，其前n 项和的极限才存在. 当0||1q <<时，无穷等比数列前n 项和的极限如下：∵ 111(1)111n n n a q a aS q q q q-==-⋅---（||1q <） ∴ 11(1)(1)11n n n n n n n a q alim S limlim lim q qq →∞→∞→∞→∞-==⋅--- 11(1)11n n n a alim lim q q q→∞→∞=-=--. ∵ 0||1q <<，∴0nn lim q →∞=. ∴ 11n n a lim S q→∞=-． 让学生尝试从上述推导进程中归纳出无穷等比数列的各项和的公式．强调：只有当无穷等比数列的公比q 知足0||1q <<时，其前n 项和的极限才存在． 二、无穷等比数列的各项和的概念提问：通过适才的讨论，你可否给无穷等比数列各项和下一个概念？请用数学语言来描述一下． 咱们把||1q <的无穷等比数列的前n 项的和n S 当n →∞时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号S 表示.11a S q=-（||1q <）. 强调：只有当无穷等比数列的公比q 知足0||1q <<时，其前n 项和的极限才存在． 3、无穷等比数列各项和的应用 例1 化以下循环小数为分数： （1）0.29••； （2）3.431••.分析：设法将循环小数化成等比数列的前n 项和，然后求极限.解：（1）()2100.290.290.00290.00029n -••=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅个 等式右边是首项为0.29，公比是0.01的无穷等比数列的各项的和，因此0.29290.2910.0199••==-.（2）3.431 3.40.0310.000310.0000031••=++++⋅⋅⋅，等式右边是3.4加上一个首项为0.031，公比是0.01的无穷等比数列的各项的和，因此0.0314314273.431 3.43310.0110990990••=+=++=-.师生一起总结得出：循环小数化为分数的法那么：1． 纯循环小数化分数：将一个循环节的数作分子，分母是99……9，其中9的个数是循环节数字的个数． 2． 混循环小数化分数：将一个循环节连同不循环部份的数减去不循环部份所得的差作分子，分母是99…900…0，其中9的个数与一个循环节的个数相同，0的个数和不循环部份的数字个数相同． 练习：471,2P例2（补充） 求以下循环小数的和．分析：把每一个循环小数化为分数，然后再求和． 解：同例1可求得，290.2999••=，290.00299900••=，290.000029990000••=，…∴ 原式=292929999900990000+++⋅⋅⋅ 上式表示首项为2999，公比为1100的无穷等比数列的各项和．∴ 原式=29290099198011100=-． 练习：求以下循环小数的和：0.30.030.003•••+++⋅⋅⋅．答案：1027例3 如图，正方形ABCD 的边长为1，联结那个正方形各边的中点取得一个小正方形A 1B 1C 1D 1；又联结那个小正方形各边的中点取得一个更小正方形A 2B 2C 2D 2；如此无穷继续下去.求所有这些正方形周长的和与面积的和．分析：关键是求出第n 个正方形 的边长与前一个正方形的边长的关系.解：由题意得第1个正方形的边长11a =，第n 个 正方形的边长211222n n a a --==，2n ≥.即所有正方形的边长组成的数列为121221,,,,2242n -⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎝⎭，于是所有正方形的周长组成的数列为124,2,2,,4,2n -⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎝⎭，D 3C 3B 3A 3D 2C 2B 2A 2B 1C 1A 11DABC这是首项为4、公比为22的无穷等比数列，故所有的正方形的周长之和l 为 4842212l ==+-.所有正方形的面积组成的数列为111111,,,,,,2482n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 这是首项为1、公项为12的无穷等比数列，故所有的正方形的面积之和S 为 12112S ==-.练习：473P .补充练习：（能够和作业的试探题（2）联系讲解）在边长为1的正方形ABCD 中，取AD 、BC 中点1A 、1B ，得矩形11ABB A ；取11A B 、DC 中点2A 、2B ，得一小矩形212A B CB ；再取1A D 、22A B 中点33A B 、，得一小矩形1233A A B A ；如此无穷继续下去，求所有这些矩形的面积之和．所有面积组成首项为12，公比为12的无穷等比数列，所有这些矩形面积之和为1．事实上，从作图的进程可知，让作图无穷下去，这些矩形面积之和正好是边长为1的正方形的面积.三、课堂小结1. 无穷等比数列的各项和的公式：S=qa -11(1<q )； 2．无穷等比数列各项的和，是一个极限值，而且那个极限是能够达到的； 3．无穷等比数列的各项和存在是有条件的，即公比q 知足01q <<； 4．要学会从特殊问题的解决进程中体会一样化问题的解决方式． 四、课后作业一、书面作业：21.1,2,3,5P A ；22.1,2P BA 44B 332A 21A 1CA二、试探题：（1）正项等比数列的首项为1，前n 项和为n S ，求1nn n S limS →∞-．（2）早在公元前四世纪我国的公孙龙就有“一尺之捶，日取其半，万事不竭”的提法，（1）请写出此数列并求其各项的和；（2）可把此数列与哪个图形的面积联系起来，使此数列各项的和等于其面积和． 参看小结前的补充练习． 七、教学设计说明1．本节课的关键是让学生体会到：无穷多个数相加时，加法法那么再也不适用．求无穷多个数的和事实上是求一个极限（而且那个极限能够达到）．一个无穷等比数列的各项和存在的关键是该数列的前n 项和的极限存在．因此，在新课引入时，利用讲义的问题2让学生充分的讨论.得出无穷等比数列的各项和的概念，并推导出无穷等比数列的各项和的公式．2．本节课的设计用意在于用问题驱动学生学习，让学生在解决问题的进程中体会无穷的思想，真正明白得什么缘故要用极限来概念一个无穷等比数列的各项和．当学生对无穷等比数列的各项和的概念明白得后，应用也就瓜熟蒂落了．。
无穷等比数列各项和
一、引言无穷等比数列是数学中一个重要的概念，它具有广泛的应用。
无穷等比数列各项和的研究，对于理解数列的性质、解决实际问题以及深入探索数学领域具有重要意义。
本文将介绍无穷等比数列各项和的概念、性质、计算方法以及应用，旨在为广大读者提供一份关于无穷等比数列各项和的全面概述。
二、无穷等比数列的定义及性质1. 定义无穷等比数列是指一个数列，其中任意一项与其前一项的比值是一个常数。
设无穷等比数列的首项为a1，公比为q，则该数列可表示为：a1, a1q, a1q^2, a1q^3, ...2. 性质（1）若公比q≠1，则无穷等比数列各项和S不存在。
（2）若公比q=1，则无穷等比数列各项和S=a1。
（3）若公比q≠1，且|q|<1，则无穷等比数列各项和S存在，且S=a1/(1-q)。
三、无穷等比数列各项和的计算方法1. 公比q=1时此时，无穷等比数列各项和S=a1。
2. 公比q≠1时此时，无穷等比数列各项和S=a1/(1-q)。
四、无穷等比数列各项和的应用1. 解决实际问题（1）计算无限级数的和在物理学、工程学等领域，许多实际问题都涉及到无限级数的和。
例如，计算电子在导体中的电阻、计算卫星在轨道上的能量等。
无穷等比数列各项和的计算方法为解决这类问题提供了有力工具。
（2）计算人口增长在生物学、经济学等领域，人口增长模型常常采用无穷等比数列。
利用无穷等比数列各项和的计算方法，可以预测未来人口数量。
2. 深入探索数学领域（1）研究数列的性质无穷等比数列各项和的研究有助于我们更好地理解数列的性质，如收敛性、极限等。
（2）探索数学问题无穷等比数列各项和的计算方法在解决一些数学问题中具有重要意义。
例如，在解析几何中，利用无穷等比数列各项和可以证明圆的面积公式。
五、总结无穷等比数列各项和是数学中一个重要的概念，它具有广泛的应用。
本文介绍了无穷等比数列的定义、性质、计算方法以及应用。
通过对无穷等比数列各项和的研究，我们可以更好地理解数列的性质，解决实际问题，并深入探索数学领域。
无穷等比数列的各项和(1)
无穷等比数列的各项和（1）教学目标1．理解无穷等比数列的各项和的定义；2．掌握无穷等比数列的各项和的公式，会应用公式求无穷等比数列的各项和； 3．理解无限个数的和与有限个数的和在意义上的区别；4．通过在利用无穷等比数列的各项和的公式解决一些简单的实际问题过程中，形成和提高数学的应用意识. 教学重点及难点教学重点：无穷等比数列的各项和的公式的推导及其应用. 教学难点：正确理解无穷等比数列的各项和的定义. 教学过程 （一）、引入提问：0.9∙和1哪个数大？ 可能你会认为0.91∙<, 事实上，换一个角度来看：()100.90.9990.90.090.0009n -∙=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅个现在就是求()100.90.090.0009n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅个，，，，的各项和 分析:求数列各项的和S ,就是求数列全部的和,无穷数列无穷项怎么相加,这需要新的思维,根据和的基本含义,要把它们加起来，它的基础是前n 项和n S ，当n 越来越大时，n S 就会无限趋近这个各项和的S ，所以这个S 应该是n S 的极限。
于是可以把数列 ,0900.0,,09.0,9.0各项和看作前n 项和n S 当n →∞时的极限。
()100.90.090.0009n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅个，，，，是首项为0.9，公比为110的无穷等比数列，它的前n 项和为 ()1010.911010.90.090.00091110110n n nn S -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==- ⎪⎝⎭-个.从而110.91111010n nn n n n n lim S lim lim lim ∙→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. （二）、讲授新课1、无穷等比数列的各项和的公式的推导提问：在问题1的讨论中，我们将0.9∙看成首项为0.9、公比为0.1的无穷等比数列的前n 项和的极限.请同学们思考，是否无穷等比数列的前n 项和的极限都存在？不存在时当n n n S na S q ∞→==lim ,,11,当1≠q 时, qq a q a q q a S nn n ---=--=111)1(111当0||1q <<时，无穷等比数列前n 项和的极限如下：∴ )11(lim 1)1(lim lim 111qq a q a q q a S nn n n n n ---=--=∞→∞→∞→qq a q a q q a q a nn n n n ---=---=∞→∞→∞→1lim11lim 1lim 1111. ∵ 0||1q <<，∴0nn lim q →∞=.∴ 11n n a lim S q→∞=-． 当11-≤>q q 或时,nn q ∞→lim 不存在,n n S ∞→∴lim 不存在.强调：只有当无穷等比数列的公比q 满足0||1q <<时，其前n 项和的极限才存在． 让学生尝试从上述推导过程中归纳出无穷等比数列的各项和的公式． 2、无穷等比数列的各项和的定义提问：通过刚才的讨论，你能否给无穷等比数列各项和下一个定义？请用数学语言来描述一下．我们把0||1q <<的无穷等比数列的前n 项的和n S 当n →∞时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号S 表示.11a S q=-（0||1q <<）. 强调：只有当无穷等比数列的公比q 满足0||1q <<时，其前n 项和的极限才存在．3、无穷等比数列各项和的应用例1、（1）求无穷等比数列 ,31,,91,31,11-⎪⎭⎫⎝⎛--n 各项的和。
7.8.2 无穷等比数列各项的和
B
C
例2.在 Rt ABC 内有一系列的正方形，边长依次为 a1 , a2 , , an , , 已知 AB 1, BC 2 求所有正方形的 面积的和.
A
1 a1 AB 1 2 解： a1 3 a1 BC 2 an an 1 AB 1 同理 an 1 BC 2 B
y
1 4
P ( a, b)
1 8
1 2
1 1 a 1 4 16
4 2 因此该动点 P 的极限位置是 ( , ) 3 3
4 1 3 1 4 1 1 1 1 2 2 b 1 3 2 8 32 1 4
1
1
O
x
n
一、无穷等比数列各项的和
几何级数又称为等比级数，当级数收敛时，它的
和也叫做无穷等比数列各项的和.
n 1 { a } 无穷等比数列 n 中， an a1q
当 | q | 1 时，它各项的和
a q
n 1 1
n 1
a1 a1q a1q
2
a1 1 q
例2.在 Rt ABC 内有一系列的正方形，边长依次为 a1 , a2 , , an , , 已知 AB 1, BC 2 求所有正方形的 面积的和.
a1 a2
an
an 1
2 * an 1 an , n N 3
2 1 2 2
n
2 2 ( ) 4 3 2 2 5 1 ( ) 3
a a
2 1
a
2 n
收敛
例3.一慢性病人需每天服用某种药物，按医嘱每天 服用0.05mg, 设体内的药物每天有20%通过各种渠 道排泄掉，问长期服药后体内药量维持在怎样的 水平？ 解：设第n天，病人体内药量为 an mg a1 0.05 a2 (1 20%)a1 0.05 0.05(1 0.8)
7.8无穷等比数列各项的和
说课内容：
本节课的重点是无穷等比数列的各项和公式及简单应用．教材在前面已经介绍了等比数列的前n 项和与极限的概念，利用极限不难将“等比数列的有限求和”转化为“等比数列的无限项求和”．教材这样处理，既符合学生的认知规律，又让学生深刻体会从有限认识无限、从已知认识未知、从近似认识精确的极限思想，能充分调动学生的求知欲望，开扩学生思路，激发学习数学的兴趣．
本节课的难点是正确理解无穷等比数列的各项和的定义．突破难点的关键是创设问题情景，本人从欣赏唐朝诗人李白的一首诗《黄鹤楼送孟浩然之广陵》出发，让学生认识到极限思想的源远流长，再通过对公元前四世纪我国的公孙龙提出的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的分析，以及对钟摆在停止前所有摆动的弧的长度和的研究，从特殊推广到一般，得出定义，推导出无穷等比数列的的各项和的公式，激发学生学习知识的兴趣，引导学生进行思维创新，在不断探索中发现问题、解决问题．
本节课的成功之处是让学生体会到了：无穷多个数相加时，加法法则不再适用．求无穷多个数的和实际上是求一个极限（并且这个极限可以达到）．一个无穷等比数列的各项和存在的关键是该数列的前n 项和的极限存在．对“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的一再变式，让学生充分的讨论.得出无穷等比数列的各项和的概念，并推导出无穷等比数列的各项和的公式．还强调了0.90.9110.1•=
=-，颠覆了0.91•<一贯的错误思想，本节课的设计意图在于用合作讨论的方式驱
动学生学习，让学生在解决问题的过程中体会无穷的思想，真正理解为什么要用极限来定义一个无穷等比数列的各项和．当学生对无穷等比数列的各项和的概念理解后，化循环小数为分数的应用也就水到渠成了．。
无穷等比数列的各项和(1)
练习： 1.计 算 ： 8 0.8 7 0.7 6 0.21 0.9 2.(1)在 无 穷 等 比 列 中 ， 每 一 项 都 等 于 后 面 所 有 项 数 它 和 的 k倍 ， 求 实 数 k的 值 范 围 。 取
a 中 (2)在 无 穷 等 比 数 列 n ， 首 项 为 a ,公 比 为 q ,且 有 1
7 17 0.1 99
（2）混循环小数化成分数的规律是：分子是小数点以后最后一
个循环节以前(包括最后)的数字所组成的数减去小数点以后非 循
环节的数字所组成的数；分母是若干个9接若干个0组成的数，
9的个数是循环节的个数，0的个数是小数点后非循环节的位数。 如:
5 215 2 213 0.21 990 990
上面两个问题有一个共同的特征：
（1）都是无穷等比数列的所有项之和
(2)它们的公比都满 q 1 足
二.新课：
设无穷等比数列：,a1q ,a1q 2 ,,a1qn 1, 满足q 1, a1 则该数列各项和（所有 项和）应该是怎样的呢 ？
a1(1 qn ) 设Sn是其前n项和，则： n S 1 q n a1(1 q ) a1 n lim S n lim lim lim q ) (1 n n n 1 q n 1 q
a1 lim S n n 1 q
无穷等比数列各项和的定义：
我们把无穷等比数列a n (公比 q 1)的前n项和S n 的各项和（所有项和） 的极限称为数列a n 。
a1 ( q 1) 记为： S 1 q
例1.化下列循环小数 为分数： (1)0. 9 2
n
例4.已知无穷等比数 a n 列 的各项和是 2 ,求lim Sn的值。 例5.已知数列an n n 3
无穷等比数列各项的和答案
无穷等比数列各项的和1.无穷数列{23n 12++n }（n =1,2,3,……）的各项和是___________. 2.求值：（1）∞→n lim n n⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-++++319131121814121（43）（2）∞→n lim ()n n 39312842-+-+-++++ （0） 3.求无穷等比数列0.3， 0.03， 0.003，… 各项的和=_________. 解：0.3， 0.03， 0.003，…的首项10.3a =，公比0.1q = 所以 s=0.3+ 0.03+ 0.003+…=0.3110.13=-4.求下列无穷等比数列各项的和： （1）； ,83,21,32,98--（2） ，，，，754154311326 答案：(1)32/63 (2) 5/6 5.求和（1）1++++2212121= （2）+⋅++++++++-1231211218161413121n n = 6.无穷等比数列{}n a ：（1）所有奇数项和为36，偶数项和为12，则公比为 ，首项是 （2）数列中每一项都是它后面所有项和的4倍，且625165=a ，则它的所有偶数项的和为 （3）())(,1*211N n a a k a a n n n ∈++==++ ，则k 的取值范围7.设S n 是无穷等比数列的前n 项和,若∞→n lim S n =41,则首项a 1的取值范围是A. （0，41）B.（0，21）C.（0，41）∪（21,41）D.（0，41）∪（21，1）8.已知无穷等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q 且有∞→n lim （21)21=--n q q a ，则首项a 1的取值范围是___________.9.已知数列()nn t a 21-=，若∞→n lim ()n a a a +++ 21存在，则t 的的取值范围10.若∞→n lim （1+αtan +()()12tan tan -++n αα ）存在，求α的取值范围11.一个球自高为6m 的空中自由下落，每次着地后回弹高度为原来高度的三分之一，到球停在地面上为此，球经过的路程的总和为12.等比数列{}n a ，公比为正，（1）求∞→n limnna a a a a a ++++++ 7621（2）求∞→n lim （2222121nna a a a a a +++++ ）13. 将无限循环小数化为分数.（1）。
7.8无穷等比数列各项的和
三、课堂小结
无穷等比数列各项和公式 利用无穷等比数列各项和求参数值或取值范围 无穷等比数列各项和的实际应用
二、无穷等比数列各项和公式的应用：
类型一、利用无穷等比数列各项和求参数值或取值范围
例 1、已知数列{an}为等比数列， a1 2 ，
1）设{an}各项的和为 5，求各项平方的和，各项立方的和；
2）设{an}各项的和为 5，求各奇数项的和，各偶数项的和.
例 2、若无穷等比数列中任意一项都等于它后面所有各项的和， 求此数列的公比。
一半。求：
（1）动点 P 行进路线的长度
（2）动点 P 与坐标平面内哪一点无线接近
变式：在直角坐标平面内，点 P 从原点出发沿 x 轴的正方向前进 a 后向左转 90 ，继续前进
a 2
后向左转 90 ，再继续前进
a 22
后再向左转 90 ，......，这样无限地继续下去，点 P 最后
到达哪一点？
例 5、在 RtABC中, AB a, BC 2a ，在其内有一系列的正方形，边长依次为
a1, a2 , , an , ，求所有这些正ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ形的面积之和.
a 例 6、动点 P 从原点出发沿 x 轴正向移动距离 a 到达点 P1 ，再沿 y 轴正向移动距离 2 到达
a 点 P2 ，再沿 x 轴正向移动距离 22 到达点 P3 …依此规律，无限进行，每次移动，距离缩小
我们把0时的极限叫做无穷等比数列各项的和并用符号s表示类型一利用无穷等比数列各项和求参数值或取值范围例1已知数列各项的和为5求各奇数项的和各偶数项的和
7.8（二）无穷等比数列各 项和公式的应用
一、知识回顾：
无穷等比数列各项和公式：
我们把 0 q 1的无穷等比数列的前 n 项和 Sn 当 n 时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用符号 S 表示
高二数学上册 7.8《无穷等比数列求和》教案（1） 沪教版
课题:无穷等比数列各项的和（1）课标要求:会求无穷等比数列各项的和。
教学目标： 1、 明白得无穷等比数列各项和的含义，把握无穷等比数列各项和的公式，会求无穷等比数列各项的和； 2、 会用无穷等比数列各项和解决相关问题；3、体会用极限的思想来解决无穷等比数列的求和问题，感悟用有限来刻画无穷，深刻体会有限和无穷的区别和联系；4、通过等比数列各项和的探讨进程培育学生的探究意识和提高数学的应用意识和能力。
教学重点: 1、 等比数列各项和的概念及公式的推导；2、等比数列各项和在一些简单的实际问题中的应用。
教学难点:正确明白得无穷等比数列各项和的概念。
教学进程： 一、新课引入1、 引例1:有理数运算:......(1)0.20.8?(2)0.20.8?(3)0.130.52?+=+=⨯=2、引例2: 由于空气的阻力，因此某一类钟的钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一次摆动弧的长度的95%，假设其第一次摆动弧的长度为40cm ，求它在停止前所有摆动的弧的长度和。
(请用一个式子来表示求解的问题)3、点题：无穷等比数列各项和二、概念形成4、温故:无穷等比数列1234,,,,...,,...,n a a a a a通项公式:11,n n mn m a a q a q --==前n 项和11121(1)(1)...11(1)n n n n a a qa q q S a a a q qna q ⎧--=≠⎪=+++=--⎨⎪=⎩5、知新：无穷等比数列各项和符号：12......lim n n n Sa a a S →∞=++++=显然：1）1q =，1lim lim n n n S na →∞→∞=不存在 2）1,q =-，，1*21,()0,2n a n m S m N n m=-⎧=∈⎨=⎩，lim n n S →∞不存在3）1q >，1(1)lim lim 1n n n n a q S q →∞→∞-=-不存在4）1q <，11(1)lim lim11n n n n a q aS q q→∞→∞-==-- 6、概念：咱们把1<q 的无穷等比数列前n 项的和n S 当∞→n 时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用S 表示，即S=qa -11(1<q ) 。
沪教版高中数学高二上册第七章无穷等比数列各项的和课件2
定义：我们把公比 q 1 的无穷等比数列前 n 项和 三、无穷等比数列各项和的概念
(2) 公比 的无穷等比数列各项的和表达方式: 思考三：无穷等比数列前n项和的极限是否一定存在？若存在，极限是什么？
注意：化无限循环小数为分数的一般方法：
注意:无穷等比数列的各项和是极限运算，而非加法运算。
S 当n 时的极限叫做无．穷．等．比．数．列．各．项．的．和．， S表示无限个数的求和,已经不能用传统的加法运算来解决
分析：把每一个循环小数化为分数，然后再求和
••
解：0. 2 9
29
，0.00
•
2
•
9
29
••
0.01，0.0000 29
29
0.012
99
99
99
原式= 29 29 0.01 29 0.012
99 99
99
29
= 99 2900 1 0.01 9801
七、作业
1、习题册21页A组1、2，23页B组1，2； 2、认真阅读课本，理解无穷等比数列各项的和的定 义，体会我们处理无穷问题的方法.
••
(2) 化循环小数1.323为分数
(3) 在无穷等比数列{an}中，lnim(a1 a2
求首项a1的取值范围.
(4)
计算：lim n
1 2
+
1 4
+
1+
1 3
+
+
1 2n
+
1 3n1
an
)
1 2
,
六、课堂小结
(1) 无穷等比数列各项和存在的前提条件是：0 q 1
(2) 公比 0 q 1 的无穷等比数列各项的和表达方式:
第32讲 §7.8 无穷等比数列的各项和
1.无穷等比数列的各项和：
把│q│<1的无穷等比数列前n项的和Sn当n→∞时的
极限
lim
n
Sn
S 叫做无穷等比数列各项的和,即
S a1 (0< | q | 1)
1q
2.注意事项：
这种“无限个数的和”与“有限个数的和”从意义上
来说是不一样的.
Ⅱ.基本方法 无穷等比数列各项和的应用：
1.求无穷数列的各项和.
例1.一个无穷等比数列的各项和为4，各项的平方和为6，
求各项的立方和.
第32讲 §7.8 无穷等比数列的各项和 Ⅱ.基本方法
无穷等比数列各项和的应用：
2.化循环小数为分数.
例2.化循环小数 0.19 9 8 为分数.
3.求参数的取值范围.
例为3.1设，无求穷a1等的比取数值列范{a围n}的. 公比为q，首项为a1,其各项和 2
4.解应用题.
例4.一个球从距离地面h处下落.球下落后弹起的高度为原
1
1
高的 .以后每次下落后弹起的高度为下落前高度的 ,
2
2
求球所经过的路程.
例4 一个球从距离地面h处下落.球下落后弹起的高度为原
1
1
高的 .以后每次下落后弹起的高度为下落前高度的 ,
2 求球所经过的路程.解：路程
L
h+2(
h
+
h
+
h
h
+
2 )
h
2 4 8 16
h+h(1+
1 2
+
1 22
7.8.1无穷等比数列的各项和
课内练习
[p47. 练习7.8(1)1, 2] 某人以10米/秒的速度追赶在他前面100米, 以1米/秒同向 运动的乌龟, 那么需要多少秒的时间追上? 此时他共跑出 多少米?
100 t= s 9
& 0.9 = 1
& 0.9 = 0.99L9L
2 n
等比数列
1 1 1 = 9× + 9× +L + 9× +L 10 10 10
= lim S n
n→∞
= lim[1 − (0.1) n ] = 1
n→∞
0.9 × [1 − (0.1) n ] Sn = 1 − 0.1
例题解析
例1. 化下列循环小数为分数.
&& 0.29
&& Sol. 0.29 = 0.29 + 0.29 × 0.01 + 0.29 × (0.01)2 + L + 0.29 × (0.01)n−1 + L
这是一个首项为0.29, 公比为0.01的无穷等比数列的 各项和, 则:
& & = a1 = 0.29 = 29 0.29 1 − q 1 − 0.01 99
7.8.1 无穷等比数列的各项和
整数 有理数 有限小数 循环小数
循环小数化为分数
?
7 10 −1 5
q p
p∈Z q∈Z
+
( p, q ) = 1
将下列数化为分数的形式: 7 (1) 7 (3) 0.7 1
无穷等比数列各项的和
无穷等比数列各项的和
无穷等比数列各项的和
教材：上海市教育出版社高中二年级第一学期第七章第八节
教学目标
1.理解无穷等比数列各项的和的意义；
2.利用无穷等比数列各项的和解决有关问题，特别是无限循环小数化分数的问题，对有理数有进一步清晰、完整的认识；
3.通过无穷等比数列各项的和概念的引入及其研究，初步形成研究数学问题的能力，对数学中出现的有关无穷的问题有一个初步的认识，并对解决无穷问题的方法有一个初步的了解.
重点难点
1.无穷等比数列各项的和概念的引入以及定义的准确表述；
2.如何转变学生在认识无穷问题上一些感性认识的错误，比如等式的成立是否是准确的.
教学过程
一、引入课题
今天我们学习无穷等比数列各项的和.
在小学，同学们学习过分数化小数，我们知道分数可以化成有限小数或无限循环小数.例如：，但是我们是怎样理解无限循环小数，怎样理。
7.8无穷等比数列各项的和
7.8 无穷等比数列各项的和一、新课引入情境一：有人说，，你认为对吗？如果你认为，那么比小多少？能在与1之间插入一个实数吗？又有人说，因为，两边同乘以3，得.你赞同哪种说法呢？情境二：如果把你家和学校看做两个点，这两点间的距离是1000米，从家出发你先走了500米，然后再走剩余路程500米中的一半即250米，再走剩余路程的一半即125米，照此下去，理论上来讲，你永远也到不了学校，正所谓“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，而实际情况是，你早坐在了教室里上课，问题出现在哪里呢？情境三：芝诺悖论阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。
如果有一只乌龟在阿基里斯前100米的地方，乌龟的速度是1米/秒，而阿基里斯的速度是10米/秒。
注意到追者首先必须到达被追者的出发点，然而当阿基里斯跑至乌龟的出发点时，乌龟已经向前爬了10米，于是一个新的起点产生了，阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，他只能再追向那个1米就这样，乌龟会制造出无数个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但阿基里斯就是追不上乌龟！芝诺，古希腊数学家、哲学家，埃利亚学派代表人物，被亚里士多德誉为辩证法创始人。
二、新课导学1.温故：（1）对于无穷等比数列通项公式：前项和公式）（2）极限：当时，运算法则：若则2.情景再回顾情景1：而，，，，，是以为首项，为公比的无穷等比数列，它的前项和为.于是可把看作当时的极限，即因此，.情景2：3.知新：无穷等比数列各项的和符号：显然：时，不存在；时不存在；是摆动数列；时，不存在；时，；4.定义：我们把的无穷等比数列的前项和当时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用符号表示，即5.对定义的理解：（1）无穷等比数列前项的和与它各项和的区别与联系：前项的和是数列中有限项的和，而无穷等比数列各项和是数列中所有项的和，它们之间有着本质的区别；无穷等比数列各项和是其前项的和当时的极限，是用有限手段解决无限问题；（2）运用公式求和的前提：；（3）由无穷等比数列各项和的公式可知，求一个无穷等比数列各项的和，只要求出数列的首项与公比即可解决问题。
无穷等比数列各项的和(一)
S = lim S n = 1
n → +∞
二、无穷等比数列各项的和 1、无穷等比数列各项的和的定义：
我们把 q < 1 的无穷等比数列前 项的和 Sn， n → ∞ 当 的无穷等比数列前n项的和
时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用S表示 表示， 时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用 表示，
A D2 D1 D C2
C3
A1
D3
B3
C1
A2 B
A3 B1
B2 C
五、课堂小结
1、无穷等比数列的各项和的定义 ；
我们把 q < 1 的无穷等比数列前 项的和 Sn， n 当 的无穷等比数列前n项的和
→∞
时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用S表示 表示， 时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用 表示，
求此数列的前n项和 Sn .
三、巩固与发展
ɺ 例1： 0.9 与1的大小关系如何？
例2、化下列循环小数为分数：
（1） 0.48
（2） 1.323
• •
• •
例3：正方形ABCD的边长为1，连接这个正方形各边的中点 得到一个小的正方形A1B1C1D1；又连接这个小正方形各边 的中点得到一个更小的正方形A2B2C2D2； 如此无限继续下去，求所有这些正方形的面积的和.
a1 ） 即S= 1 − q （ q < 1
2、概念辨析
（1）已知数列
1 {an } 满足an = − 1
1 （2）已知无穷数列{an } 满足an = − 2
求此数列的各项和；
进才中学数学校本作业册答案第七章
§7.8无穷等比数列各项的和（1）A组：1．首项为2，公比为的等比数列的各项和 6 。
2．首项为1，公比为的等比数列的所有偶数项的各项和。
3．若数列是以为公比的无穷等比数列，前项和为。
那么“存在”的充要条件是。
4．循环小数化为分数是______________B组一、填空题1．无穷数列各项和为____________.2．循环小数化为分数是______；3．若无穷等比数列的各项和为，且，则公比的取值范围为__________.4．若，则数列的各项和为 4 。
5．若首项为1，公比为的等比数列的前项和为，则_____.6．设数列是公比为的等比数列，前项和为。
若，则此数列的首项的取值范围是____(0,7)∪(7,14)____________二、选择题7．若一个无穷等比数列满足，且每一项都等于它以后各项和的倍，则的取值范围可以是( C )（A）（B）（C）或（D）8．无穷等比数列的前项和为，为其各项和，且，则公比为（ D ）（A）（B）（C）（D）三、解答题9．求极限：（1）（2）解：（1）；（2）10．一个无穷等比数列各项的和等于，且各项的平方和为，那么它的首项是多少？解：设无穷等比数列的首项为，公比为，则，，得，所以.11．若无穷等比数列的各项和存在，求的取值范围.解：时成立，无穷等比数列的各项和存在即公比满足，综上，.C组：1．数列的首项，前项的和为，若是公比为的等比数列，求数列的所有项之和.解：由题意：，当时，，所以.易知从第2项起成等比数列，公比。
所以各项的和.2．如图P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P3、P4、…..，Pn，…,记纸板Pn的面积为，求（）P2P1P3P4§7.8无穷等比数列各项的和（2）A组：1．无穷等比数列各项的和等于_______________2．无穷等比数列各项的平方和等于____2_____3．计算：____3________4．循环小数化为分数是______________5．若，则；4 B组：一、填空题1．若无穷等比数列各项的和为，则_________.22．计算：_________________.3．一个无穷等比数列的各项和为，首项，公比为负数，则的取值范围为________.4．等比数列中，若，且，则公比。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
7.8（1）无穷等比数列的各项和（1）一、教学内容分析本小节的重点是无穷等比数列的各项和公式及简单应用．教材在前面已经介绍了等比数列的前n项和与极限的概念，利用极限不难将“等比数列的有限求和”转化为“等比数列的无限项求和”．教材这样处理，既符合学生的认知规律，又让学生深刻体会从有限认识无限、从已知认识未知、从近似认识精确的极限思想，能充分调动学生的求知欲望，开扩学生思路，激发学习数学的兴趣．本小节的难点是正确理解无穷等比数列的各项和的定义．突破难点的关键是创设问题情景，利用对问题的分析，得出定义，推导出无穷等比数列的的各项和的公式，激发学生学习知识的兴趣，引导学生进行思维创新，在不断探索中发现问题、解决问题．二、教学目标设计1．理解无穷等比数列的各项和的定义；2．掌握无穷等比数列的各项和的公式，会应用公式求无穷等比数列的各项和；3．理解无限个数的和与有限个数的和在意义上的区别；4．通过在利用无穷等比数列的各项和的公式解决一些简单的实际问题过程中，形成和提高数学的应用意识.三、教学重点及难点教学重点：无穷等比数列的各项和的公式的推导及其应用.教学难点：正确理解无穷等比数列的各项和的定义.四、教学用具准备实物投影仪五、教学流程设计六、教学过程设计一、复习引入 思考下列问题：1、0.9∙和1哪个数大？为什么？2、由于空气的阻力，因此某一类钟的钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一次摆动弧的长度的95%.假设其第一次摆动弧的长度为40cm ，求它在停止前所有摆动的弧的长度和.对于问题1，先让学生进行讨论，然后展示他们的结果. 引导学生回答以下问题：（1）如果你认为0.91∙<，那么0.9∙比1小多少？（2）如果你认为0.91∙<，那么你能否找到一个实数a ，使得0.91a ∙<<成立？换一个角度来看，事实上()100.90.9990.90.090.0009n -∙=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅个而()100.90.090.0009n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅个，，，，是首项为0.9，公比为110的无穷等比数列，它的前n 项和为 ()1010.911010.90.090.00091110110n n nn S -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==- ⎪⎝⎭-个.于是可以把0.9∙看作n S 当n →∞时的极限，从而110.91111010n nn n n n n lim S lim lim lim ∙→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.对于问题2，同样进行分析.对比以上两个问题，它们有何共同特征？ 二、讲授新课1、无穷等比数列的各项和的公式的推导提问：在问题1的讨论中，我们将0.9∙看成首项为0.9、公比为0.1的无穷等比数列的前n 项和的极限.请同学们思考，是否无穷等比数列的前n 项和的极限都存在？如果它的极限存在，那么极限等于什么？指出：当无穷等比数列的公比q 满足||1q <时，其前n 项和的极限才存在. 当0||1q <<时，无穷等比数列前n 项和的极限如下：∵ 111(1)111n n n a q a aS q q q q -==-⋅---（||1q <） ∴ 11(1)(1)11n n n n n n n a q alim S limlim lim q qq →∞→∞→∞→∞-==⋅--- 11(1)11n n n a alim lim q q q→∞→∞=-=--. ∵ 0||1q <<，∴0nn lim q →∞=.∴ 11n n a lim S q→∞=-． 让学生尝试从上述推导过程中归纳出无穷等比数列的各项和的公式．强调：只有当无穷等比数列的公比q 满足0||1q <<时，其前n 项和的极限才存在． 2、无穷等比数列的各项和的定义提问：通过刚才的讨论，你能否给无穷等比数列各项和下一个定义？请用数学语言来描述一下．我们把||1q <的无穷等比数列的前n 项的和n S 当n →∞时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号S 表示.11a S q=-（||1q <）. 强调：只有当无穷等比数列的公比q 满足0||1q <<时，其前n 项和的极限才存在． 3、无穷等比数列各项和的应用 例1 化下列循环小数为分数： （1）0.29∙∙； （2）3.431∙∙.分析：设法将循环小数化成等比数列的前n 项和，然后求极限.解：（1）()2100.290.290.00290.00029n -∙∙=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅个等式右边是首项为0.29，公比是0.01的无穷等比数列的各项的和，所以0.29290.2910.0199∙∙==-.（2）3.431 3.40.0310.000310.0000031∙∙=++++⋅⋅⋅，等式右边是3.4加上一个首项为0.031，公比是0.01的无穷等比数列的各项的和，所以0.0314314273.431 3.43310.0110990990∙∙=+=++=-.师生共同总结得出： 循环小数化为分数的法则：1． 纯循环小数化分数：将一个循环节的数作分子，分母是99……9，其中9的个数是循环节数字的个数．2． 混循环小数化分数：将一个循环节连同不循环部分的数减去不循环部分所得的差作分子，分母是99…900…0，其中9的个数与一个循环节的个数相同，0的个数和不循环部分的数字个数相同． 练习：471,2P例2（补充） 求下列循环小数的和． 0.290.00290.000029∙∙∙∙∙∙+++⋅⋅⋅分析：把每一个循环小数化为分数，然后再求和．解：同例1可求得，290.2999∙∙=，290.00299900∙∙=，290.000029990000∙∙=，…∴ 原式=292929999900990000+++⋅⋅⋅ 上式表示首项为2999，公比为1100的无穷等比数列的各项和．∴ 原式=29290099198011100=-． 练习：求下列循环小数的和：0.30.030.003∙∙∙+++⋅⋅⋅．答案：1027例 3 如图，正方形ABCD 的边长为1，联结这个正方形各边的中点得到一个小正方形A 1B 1C 1D 1；又联结这个小正方形各边的中点得到一个更小正方形A 2B 2C 2D 2；如此无限继续下去.求所有这些正方形周长的和与面积的和．分析：关键是求出第n 个正方形 的边长与前一个正方形的边长的关系.解：由题意得第1个正方形的边长11a =，第n 个 正方形的边长n n n a A B ==1n -==，2n ≥.即所有正方形的边长组成的数列为11,,2n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅，于是所有正方形的周长组成的数列为B 1C 1A DABC14,,4,n-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，这是首项为4的无穷等比数列，故所有的正方形的周长之和l为8l==+.所有正方形的面积组成的数列为111111,,,,,,2482n-⋅⋅⋅⋅⋅⋅，这是首项为1、公项为12的无穷等比数列，故所有的正方形的面积之和S为12112S==-.练习：473P.补充练习：（可以和作业的思考题（2）联系讲解）在边长为1的正方形ABCD中，取AD、BC中点1A、1B，得矩形11ABB A；取11A B、DC中点2A、2B，得一小矩形212A B CB；再取1A D、22A B中点33A B、，得一小矩形1233A AB A；如此无限继续下去，求所有这些矩形的面积之和．所有面积组成首项为12，公比为12的无穷等比数列，所有这些矩形面积之和为1．事实上，从作图的过程可知，让作图无限下去，这些矩形面积之和正好是边长为1的正方形的面积.三、课堂小结1. 无穷等比数列的各项和的公式：S=qa-11(1<q)；2．无穷等比数列各项的和，是一个极限值，并且这个极限是可以达到的；3．无穷等比数列的各项和存在是有条件的，即公比q满足01q<<；4．要学会从特殊问题的解决过程中体会一般化问题的解决方法．421四、课后作业1、书面作业：21.1,2,3,5P A ；22.1,2P B2、思考题：（1）正项等比数列的首项为1，前n 项和为n S ，求1nn n S limS →∞-．（2）早在公元前四世纪我国的公孙龙就有“一尺之捶，日取其半，万事不竭”的提法，（1）请写出此数列并求其各项的和；（2）可把此数列与哪个图形的面积联系起来，使此数列各项的和等于其面积和． 参看小结前的补充练习． 七、教学设计说明1．本节课的关键是让学生体会到：无穷多个数相加时，加法法则不再适用．求无穷多个数的和实际上是求一个极限（并且这个极限可以达到）．一个无穷等比数列的各项和存在的关键是该数列的前n 项和的极限存在．所以，在新课引入时，利用课本的问题2让学生充分的讨论.得出无穷等比数列的各项和的概念，并推导出无穷等比数列的各项和的公式．2．本节课的设计意图在于用问题驱动学生学习，让学生在解决问题的过程中体会无穷的思想，真正理解为什么要用极限来定义一个无穷等比数列的各项和．当学生对无穷等比数列的各项和的概念理解后，应用也就水到渠成了．。