10-最大流问题
最大流常见算法
最大流常见算法最大流问题是图论中的一个重要问题，其求解方法有多种，本文将介绍最常见的几种算法。
一、最大流问题简介最大流问题是在一个网络中寻找从源点到汇点的最大流量的问题。
网络是由一些节点和连接这些节点的边构成的，每条边都有一个容量，表示该边所能承载的最大流量。
源点是流量的起点，汇点是流量的终点。
在网络中，还可能存在其他节点和边。
二、Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是最早用于解决最大流问题的算法之一。
该算法基于增广路径来不断增加流量，直到无法再找到增广路径为止。
1. 算法步骤（1）初始化：将所有边上的流量设为0。
（2）寻找增广路径：从源点开始进行深度优先或广度优先搜索，在搜索过程中只选择剩余容量不为0且没有被标记过的边，并记录路径上容量最小值min。
（3）更新路径上各个边上的流量：将路径上各个边上的流量加上min。
（4）返回第二步，直到无法找到增广路径为止。
2. 算法分析Ford-Fulkerson算法可以保证在有限步内求解出最大流，但是其时间复杂度与增广路径的选择有关，最坏情况下可能需要指数级的时间复杂度。
三、Edmonds-Karp算法Edmonds-Karp算法是基于Ford-Fulkerson算法的一种改进算法。
该算法使用BFS来寻找增广路径，可以保证在多项式时间内求解出最大流。
1. 算法步骤（1）初始化：将所有边上的流量设为0。
（2）寻找增广路径：从源点开始进行BFS，在搜索过程中只选择剩余容量不为0且没有被标记过的边，并记录路径上容量最小值min。
（3）更新路径上各个边上的流量：将路径上各个边上的流量加上min。
（4）返回第二步，直到无法找到增广路径为止。
2. 算法分析Edmonds-Karp算法相对于Ford-Fulkerson算法来说，在同样的网络中，其时间复杂度更低，可以保证在O(VE^2)的时间内求解出最大流。
但是在某些特殊情况下仍然可能需要指数级时间复杂度。
最大流与最小费用流
§7 最大流问题7.1 最大流问题的数学描述 7.1.1 网络中的流定义 在以V 为节点集，A 为弧集的有向图),(A V G =上定义如下的权函数：（i ）R A L →:为孤上的权函数，弧A j i ∈),(对应的权),(j i L 记为ij l ，称为孤),(j i 的容量下界（lower bound ）；（ii ）R A U →:为弧上的权函数，弧A j i ∈),(对应的权),(j i U 记为ij u ，称为孤),(j i 的容量上界，或直接称为容量（capacity ）；（iii ）R V D →:为顶点上的权函数，节点V i ∈对应的权)(i D 记为i d ，称为顶点i 的供需量（supply ／demand ）；此时所构成的网络称为流网络，可以记为),,,,(D U L A V N =。
由于我们只讨论A V ,为有限集合的情况，所以对于弧上的权函数U L ,和顶点上的权函数D ，可以直接用所有孤上对应的权和顶点上的权组成的有限维向量表示，因此D U L ,,有时直接称为权向量，或简称权。
由于给定有向图),(A V G =后，我们总是可以在它的弧集合和顶点集合上定义各种权函数，所以流网络一般也直接简称为网络。
在流网络中，弧),(j i 的容量下界ij l 和容量上界ij u 表示的物理意义分别是：通过该弧发送某种“物质”时，必须发送的最小数量为ij l ，而发送的最大数量为ij u 。
顶点V i ∈对应的供需量i d 则表示该顶点从网络外部获得的“物质”数量（0>i d 时），或从该顶点发送到网络外部的“物质”数量（0<i d 时）。
下面我们给出严格定义。
定义 对于流网络),,,,(D U L A V N =，其上的一个流（flow ）f 是指从N 的弧集A 到R 的一个函数，即对每条弧),(j i 赋予一个实数ij f （称为弧),(j i 的流量）。
如果流f 满足∑∑∈∈∈∀=-Ai j j i ji A j i j ij V i d f f ),(:),(:,,（1）A j i u f l ij ij ij ∈∀≤≤),(,， （2）则称f 为可行流（feasible flow ）。
最大流的概念
最大流的概念最大流（Maximum Flow）是指在一个有向图中，给每条边一个容量限制，然后寻找一条从源点到汇点的路径，使得路径上的每条边的流量都不超过其容量限制的最大值。
最大流问题是网络流理论中的一种经典问题，具有广泛的应用领域，如网络优化、流量分配、资源调度等。
最大流问题可以用图论中的图来进行模型表示，其中图中的节点表示流经的位置，边表示流量通路，每条边还有一个容量值，表示该边所能承载的最大流量。
图中通常包括一个源点（Source）和一个汇点（Sink），各个节点与源点和汇点之间的连接关系构成了一个流量网络。
每个节点上的流量是指通过该节点的流量总和，而边上的流量是指该边上的实际流量。
最大流问题的求解可以采用不同的算法，其中最常见的是Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法。
下面将对这两种算法进行详细介绍。
1. Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是最大流问题的经典算法，它的思想是不断寻找增广路径，并通过增加该路径上各边的流量来增加整个流量网络的流量。
算法的基本步骤如下：(1) 初始化流量网络的流量为0。
(2) 通过任意的路径查找算法（如深度优先搜索）找到一条从源点到汇点的增广路径。
(3) 在该增广路径上增加流量的值为该路径上残余容量的最小值。
(4) 更新整个流量网络中各边的残余容量和反向边的流量。
(5) 重复步骤2至4，直到无法找到增广路径为止。
2. Edmonds-Karp算法Edmonds-Karp算法是Ford-Fulkerson算法的一种改进，它通过使用广度优先搜索来寻找增广路径，使得算法的时间复杂度优于Ford-Fulkerson算法。
算法的具体步骤如下：(1) 初始化流量网络的流量为0。
(2) 通过广度优先搜索查找一条从源点到汇点的最短增广路径。
(3) 在该增广路径上增加流量的值为该路径上残余容量的最小值。
(4) 更新整个流量网络中各边的残余容量和反向边的流量。
运筹学最小费用最大流流问题
在实际的网络系统中，当涉及到有关流的问 题的时候，我们往往不仅仅考虑的是流量，还经 常要考虑费用的问题。比如一个铁路系统的运输 网络流，即要考虑网络流的货运量最大，又要考 虑总费用最小。最小费用最大流问题就是要解决 这一类问题。
最小费用最大流问题提法:
设一个网络G=（V，E，C），对于每一个弧(vi ,vj )∈E ,给 定容量cij外，还给出单位流量的费用dij 0 ，网络记为 G=（V，E，C，d）。网络系统的最小费用最大流问题，
bij bij
我们将 bij bij 叫做这条增广链的费用。
结论：如果可行流 f 在流量为w(f )的所有可行流中 的费用最小，并且 是关于f 的所有增广链中的费
用最小的增广链，那么沿增广链μ调整可行流f，得
到的新可行流f ’ ，也是流量为w(f ’)的所有可行流中 的最小费用流。依次类推，当 f ’ 是最大流时，就是 所要求的最小费用最大流。
对偶算法基本思路：
零流f ={0}是流量为0的最小费用流。一般地，寻求最小 费用流，总可以从零流f ={0}开始。下面的问题是：如果 已知f 是流量为w(f)的最小费用流，那么就要去寻找关于 f 的最小费用增广链，用最大流的方法将f(0)调整到f(1)， 使f(1)流量为w(f(0))+θ，且保证f(1)在w(f(0))+θ流量下的
(5, 2)
(4, 2)
v2 (10, 3) v3
v1
(7, 1)
解：（(110）, 4取) 初始可行流(2,为6)零流f
(cij, dij) (0)v=t{0},构造赋权
有 (vs
向vs图 L(f(0)), 用
,v2 ,v1(,8v,t)1,)如图
5-5 最小费用最大流问题-xfj
v2
v3
(10, 0) ①流量调整量 总流量v(f 总流量v(f(1))=5
v2
v3
=min{8-0,5-0,7ε1=min{8-0,5-0,7-0}=5 ②最小费用增广链的费用 ∑bij=1+2+1=4 ③新的可行流为f(1),总费 新的可行流为f =4× 用b1=4×5=20
vs →v2 →v1 →vt
2、最小费用流 对于一个费用容量网络，具有相同 对于一个费用容量网络， 流量 v(f) 的可行流中，总费用b(f)最小的 的可行流中，总费用b(f)最小的 可行流称为该费用容量网络关于流量 v(f) 的最小费用流，简称流量为 v(f) 的最小 的最小费用流，简称流量为 费用流。 费用流。
3、增广链的费用 当沿着一条关于可行流 f 进行调整，得到新的可行流 f 进行调整， 称 b( f ) − b( f ) 的增广 ，则 链（流量修正路线）µ，以修正量 流量修正路线） ，以修正量ε=1 增广链µ的费用。 为增广链µ的费用。
v2
v3
即是f 的最小费用增广链。 即是f(1)的最小费用增广链
第3次迭代
-4 4
v1
-2 6
பைடு நூலகம்
-1
(10, 2)
v1
(7, 7) (2, 0)
vs
-1
1
vt
2 (8, 8)
vs
(5, 5)
vt
(4, 3)
v2
3
v3
①零流弧保持原边，非饱和非 零流弧保持原边， 零流弧增添后向弧， 零流弧增添后向弧，饱和弧去 掉原边增添后向弧 ②用列表法求得最短路
增广费用网络图的 增广费用网络图的构造方法 将流量网络中的每一条弧（ 将流量网络中的每一条弧（vi,vj）都看 作一对方向相反的弧，并定义弧的权数如 作一对方向相反的弧， 下： vi (cij,fij) c vj
10n06场效应管参数 -回复
10n06场效应管参数-回复中括号内的主题是"10n06场效应管参数"。
那么，让我们一步一步回答这个问题，以便更好地理解和掌握该主题。
第一步：介绍场效应管（MOSFET）场效应管（MOSFET）是一种常见的半导体器件，通常由金属氧化物半导体（MOS）结构组成。
根据其工作原理和结构，MOSFET可以分为N沟道型和P沟道型两种类型。
本文主要关注N沟道型的10n06场效应管。
第二步：解析型号中的"10n06"在"10n06"中，"10"代表了阻控型场效应管的阈值电压（Vth），通常表示为Vgs(th)。
它是指在给定的温度下，当漏极源极之间的电压（Vds）为零时，需要加在栅极源极之间的电压（Vgs）才能使场效应管的导通电流（Id）达到特定值（一般为1mA）。
对于"10n06"，阈值电压Vth约为10V。
接下来的"n"代表了场效应管的沟道型，即N沟道型场效应管。
最后的"06"表示了10n06场效应管的封装规格或特定参数编码，对于不同制造商的产品可能会有所不同。
第三步：解析场效应管的参数1. 阈值电压（Vth）：如前所述，阈值电压指的是在特定的条件下，使场效应管导通所需的栅极-源极之间电压。
2. 漏极-源极电压（Vds）：这是场效应管的漏极与源极之间的电压。
3. 栅极-源极电压（Vgs）：这是应用在栅极和源极之间的电压。
4. 最大漏极电流（Id）：这是场效应管能够承受的最大漏极电流。
5. 最大功率（Pd）：这是场效应管能够承受的最大功率，通常由包括漏极-源极电压和最大漏极电流的乘积计算得出。
6. 工作温度范围：这是场效应管可以正常工作的温度范围。
第四步：10n06场效应管参数的具体值具体的10n06场效应管参数值可能因制造商和具体产品而异。
以下是一些可能的参数范围：- 阈值电压（Vth）：约为10V- 漏极-源极电压（Vds）：常见值为60V- 栅极-源极电压（Vgs）：通常在0~10V之间可控- 最大漏极电流（Id）：通常为10A- 最大功率（Pd）：常见值为40W- 工作温度范围：通常为-55C至+150C需要注意的是，以上参数仅供参考，实际的10n06场效应管参数可能会有所不同。
16.网络最大流问题
l(vj)=min[l(vi),cij-fij],
l(vj)=min[l(vi),fji]
重复上述步骤，一旦vt被标号，则得到一条vs到vt的 增广链。若所有标号都已检查过，而vt尚未标号，结束， 这时可行流，即最大流。 （二）调整过程
从vt 开始，反向追踪，找出增广链 µ ，并在µ 上进 行流量调整。 （1）找增广链 如vt 的第一个标号为k（或-k），则弧（vk，vt） ∈µ（或弧（vt，vk) ∈µ)。检查vk 的第一个标号，若为i （或-i），则(vi,vk) ∈µ (或(vk,vi) ∈µ )。再检查vi 的第一 个标号,依此下去,直到vs 。被找出的弧构成了增广链 µ 。
5. 增广链 对可行流 f ={ fij }： 非饱和弧：fij < cij 非零流弧：fij >0 饱和弧：fij =cij 零流弧：fij =0
链的方向：若µ 是联结vs和vt的一条链，定义链的方 向是从vs到vt 。 v2 v4 5.2
10.5 3.2 4.1 5.1 3.3 11.6
v1
8.3
已检查 标号点 网络中的点 未检查 未标号点
标号：（前点标记，前点到该点的弧流量可调整量） 开始，vs 标上（0，∞），vs 是标号未检查的点， 其余点都是未标号点，一般地，取一个标号未检查 的点vi ，对一切未标号的点vj 。 （1）若弧（vi，vj）上，fij<cij，则给vj 标号(vi ，l(vj))， l(vj)=min[l (vi), cij-fij], vj 成为标号而未检查的点。 （2）若弧（vj，vi）上，fji>0，则给vj 标号(- vi, l (vj))， l (vj)=min[l (vi), fji], vj 成为标号而未检查的点。 vj vj (i , l(vj)) vi (-i , l(vj)) vi fij<cij f ji>0
最小费用最大流
最小费用最大流1.最大流问题1.1案例假设现在因为种种原因，我们只能通过地面线路来运输口罩物资，并且每一条线路是有流量限制的。
假设不考虑运输速度，并且源点S （杭州）的口罩物资产量是足够多的，我们需要求解汇点T（武汉）在不计速度的情况下能收到多少物资？对于这个流网络，我们可以轻松的获得汇点T的最大流量。
因为在这个图中，只有两条路径，分别是S → A → B → T和S → C → D → T两条路径来输送流量，前者最大流量是12 ，后者是4，所以最大流量总和是16。
1.2建模图1是连接产品产地Vs和销售地Vt的交通网，每一条弧代表两点间的运输线，弧旁的数字表示这条运输线的最大通过能力。
现在要求制定一个运输方案，使得从Vs运输到Vt的产品数量最多。
图1模型():(,):(,)max .,,,,s ,0,s.t 0,,V V st f c Vf f t f Vμυμυμυυμυυυμμυλμυμυλμλμμμυ∈∈≤∀∈⎧=⎪-=-=⎨⎪≠⎩≥∀∈∑∑其中λ表示总共运输量f μυ表示弧(),μυ中的实际流量(),c μυ表示弧(),μυ中的容量限制S,t 表示物质运输的起点和终点最大流问题的推广现实问题中的网络，不但边有容量，而且点也有容量。
例如运 输网络中表示中转站的点v, 点容量 c(v) 可表示该中转站能容纳的货物的数列。
对点有容量的网络 N ，流函数若满足对一点 v,流入v 的流量之和等于流出v 的流量之和，并且小于等于c(v),2.最小费用最大流问题上面我们介绍了一个网络上最短路以及最大流的算法，但是还没有考虑到网络上流的费用问题，在许多实际问题中，费用的因素很重要。
例如，在运输问题中，人们总是希望在完成运输任务的同时，寻求一个使总的运输费用最小的运输方案。
这就是下面要介绍的最小费用流问题。
在运输网络N = (s,t,V, A,U)中，设(),c μυ是定义在A上的非负函数，它表示通过弧(),μυ单位流的费用。
关于求网络最大流问题的另一种图解法
ｌ ２
ｌ
３
５
。 卜Ｖ 、 ｌ —２ ＿『 — 呻 ◆
ｌ
Ｔ Ｖ ． ｔ ｔ ５ ｜
ｌ 一
Ｖ’ ｕ ｆ
Ｉ
ｌ ｌ
ｌ ３
ｌ ０
ｌ ０
ｌ ｌ
约束条件：ｆ２ ｆ３ ｆ５ １Ｔ２＋２ ， Ｍ
丹络 最 大漉问题 是 丹络 问题 中的一 类经典 问
题 ，对于 这类 问题 ，可以根据 题 意建 立 线性 规 划模型 ，运 用运筹 学软件 求解 ，也 可以 用
综 上 ，我 们 可 以 得 到 这 种 解 法 的 一 般 步骤 ： ｌ 、按 照 流 量 从 低级 流 向高 级 的 原 则 将 不同节 点 划分 为不 同等级 ， 不宜划分 者 ，可以按标 号由４ Ｎ大的顺序排 列成由 － ， 低到 高 。 ２、按 原 题 意标 画出 各 个支 路 及流
校管 理运筹学 教材 （ 管理运 筹学 高等 教育 出版社 ，韩 伯棠 ）给最大流问题的定
义是 ：给 了一个带收发点的网络 ，其每条 弧的赋权称之为容量 ，在不超过每条弧容 量 的 前 提 下 ，求 出从 发 点 到 收 点 的 最 大 容
量 。
Ｌ
， 。
【】 １， 韩伯棠． 管理运筹学． 高等教育 出版杠
Ｌ
对这类问题 ，可以对系统建立线性规 划模型 ，利用软件求解 ；亦可用教材提供 的 网络 图论 解 法 求 解 。 笔 者 在 练 习 过 程 中，发现 了另外一种 图解法 ，下面进行简 单 说 明 ，以教 材提 供 例题 为例 。 例题 某石油公司拥 有一个管道网络 ， 使用这 个网络可以把石油从采地运送到一 些 销售 点 。这 个网络 的 一部分 如 图 ｌ所 示 ，由于管道的直径的变化 ，它的 各段管 道 （ ， ）的流 量 （ Ｖｉ Ｖｊ 容量 ）Ｃｉ 也是 不 ｊ
最大流与最小费用流
c67 = 7 − P = 7 - 6 = 1
通过第1次修改，得到图3。
图3 返回步骤①，进行第2次修改。
次修改： 第2次修改 次修改 选定①—②—⑤—⑦，在这条路中，由 于 P = c25 = 3 ，所以，将 c12 改为2 ， 25 改 c 为0，c57 改为5，c 21 、 52 、 75 改为3。修改后 c c 的图变为图4。
x12 + x13 + x14 = x57 + x67 = f
x12 + x32 x + x 23 13 x14 + x34 x + x 35 25 x36 + x 46 = x 23 + x 25 = x32 + x34 + x35 + x36 = x 46 + x65 = x56 + x57 + x56 = x65 + x67
所以取 P = c13 = 6 。
③在路①—③—⑥—⑦中，修改每一 条弧的容量
c13 = 6-P = 6-6 = 0
c36 = 7 − P = 7 - 6 = 1
c31 = 0 + P = 0 + 6 = 6
c63 = 0 + P = 0 + 6 = 6
c76 = 0 + P = 0 + 6 = 6
f = f 0 ≤ f max
（15）
使其代价最小，即
d=
( i , j )∈V
∑d
ij
xij = min
（16）
式中：d ij 指单位车辆数通过弧 (i, j )的代价。
图11 代价条件
图1 约束条件
最大流问题标号法例题详解
最大流问题标号法例题详解最大流问题标号法例题详解本文以一道标号法求解最大流问题的例题胶加以详细讲解，帮助读者了解其原理及运算步骤。
题目如下：给定一个网络结构如下：s (源点) 0----1----2----3----4---- t (汇点)a 25 10 12 15 20其中 s 是源点，t是汇点，aij（i,j=0,1,2,3,4)是每条弧的容量，求整个网络的最大流量。
解：1、设置标号：在最大流问题中，为了求解最大流，最常用的方法是标号法。
首先，要设置各结点标号，因为本题中有5个结点，s源点的标号为0，t汇点标号为4，其他结点即1，2，3依次标号，标号的设定不仅便于求解，而且可以在初始化的时候使用。
2、初始化标号：初始化标号即将各结点初始化为两个空集合{}，即各结点的访问和未访问标号都是空集合，即无访问的结点标号为{}，访问过的结点标号也为{}。
3、依据标号法，从源点(s=0)计算，得出每条弧的剩余容量Cij，具体推导如下：源点0 1 2 3 41 0 25 10 12 152 0 0 10 7 103 0 0 0 8 104 0 0 0 0 20其中：Cij=aij-fij (i,j=0,1,2,3,4)其中，aij 为每条弧的容量，fij 为每条弧的流量，在初始情况下，fij=0，故Cij=aij。
4、找增广路径：从源点s开始，用深度优先搜索法查找从s到t的增广路径，具体步骤如下：设置一个数组P[i]用以记录路径，P[i]表示从s到i节点所经过的上一个结点，先从源点s开始，P[0]=-1，然后查找s出发可以到达的结点，若Cij>0，则有路可达，将P[j]=i（j为s出发可达的结点），接着查找j出发可以到达的结点（该结点未被访问过）若Cjk>0，则有路可达，把P[k]=j，以此类推，直到找到P[t]=-1，即从s到t 的一条增广路径找到，这条增广路径的路径上的容量称为Cmin，它是该增广路径上各结点之间的容量最小值。
最大流问题
33
v2
43 1
v4
5 1 1 v1
1 22
3 0
1
3
vt
2
51
v3
2 标号法(Ford-Fulkerson算法）
算法思想:
首先得到一条可行流。
然后在可行流的基础上,寻找增广链.如果 找到,得到新的流量更大的可行流; 如果找不 到，说明当前的可行流就是最大流。 由于可行流的流量不能无限增大，因而总 可以得到最大流。
33 (0, M) vs 5 2
v2 1 0
4 4
v4 5 3 0 1 v3 4
11
22
vt
2
v1 (vs, 3) 33 (0, M) vs
v2
1 0
4 3
10 22 3 0
v4 5 3
5
vt
2 2
2 v1 (vs, 3) v3
最大流问题应用举例
下图中，A,B,C,D,E,F分别表示陆地和岛屿，①，②，…，14 表示桥梁及其 编号。若河两岸分别为互为敌对的双方部队占领，问至少应切断几座桥梁 （具体指出编号）才能达到阻止对方部队过河的目的。试用图论方法进行分 析。 3 1 2 12 A
v4
(0, M) vs
33
5 1 0 1
v1
1 22
3 0
1 v3 (-v2, 1)
4 (v , 1) 3 4
vt
51 2
2
(vs, 4)
第二步：再标号过程
33 (0, M) vs 5 v2 1 0 4 4 11 22 v4 5 3 0 1 v1 (vs, 3) v3 4
vt
2
2
最大流可能有多条
最大流问题
最大流问题的几种经典解法综述
最⼤流问题的⼏种经典解法综述⼀、什么是最⼤流问题假设现在有⼀个地下⽔管道⽹络，有m根管道，n个管道交叉点，现在⾃来⽔⼚位于其中⼀个点，向⽹络中输⽔，隔壁⽼王在另外⼀个点接⽔，已知由于管道修建的年代不同，有的管道能承受的⽔流量较⼤，有的较⼩，现在求在⾃来⽔⼚输⼊的⽔不限的情况下，隔壁⽼王能接到的⽔的最⼤值？为解决该问题，可以将输⽔⽹络抽象成⼀个联通的有向图，每根管道是⼀条边，交叉点为⼀个结点，从u流向v的管道能承受的最⼤流量称为容量，设为cap[u][v]，⽽该管道实际流过的流量设为flow[u][v]，⾃来⽔⼚称为源点s，隔壁⽼王家称为汇点t，则该问题求的是最终流⼊汇点的总流量flow的最⼤值。
⼆、思路分析关于最⼤流问题的解法⼤致分为两类：增⼴路算法和预流推进算法。
增⼴路算法的特点是代码量⼩，适⽤范围⼴，因此⼴受欢迎；⽽预流推进算法代码量⽐较⼤，经常达到200+⾏，但运⾏效率略⾼，如果腹⿊的出题⼈要卡掉⼤多数⼈的code，那么预流推进则成为唯⼀的选择。
( ⊙ o ⊙ )咳咳。
先来看下增⼴路算法：为了便于理解，先引⼊⼀个引理：最⼤流最⼩割定理。
在⼀个连通图中，如果删掉若⼲条边，使图不联通，则称这些边为此图的⼀个割集。
在这些割集中流量和最⼩的⼀个称为最⼩割。
最⼤流最⼩割定理：⼀个图的最⼤流等于最⼩割。
⼤开脑洞⼀下，发现此结论显⽽易见，故略去证明（其实严格的证明反⽽不太好写，但是很容易看出结论是对的，是吧）。
这便是增⼴路算法的理论基础。
在图上从s到t引⼀条路径，给路径输⼊流flow，如果此flow使得该路径上某条边容量饱和，则称此路径为⼀条增⼴路。
增⼴路算法的基本思路是在图中不断找增⼴路并累加在flow中，直到找不到增⼴路为⽌，此时的flow即是最⼤流。
可以看出，此算法其实就是在构造最⼩割。
增⼴路算法⽽预流推进算法的思路⽐较奇葩（没找到⽐较好的图，只能⾃⾏脑补⼀下了。
= =#）：先将s相连的边流⾄饱和，这种边饱和的结点称为活动点，将这些活动点加⼊队列，每次从中取出⼀个点u,如果存在⼀个相邻点v是⾮活动点，则顺着边u->v 推流，直到u变为⾮活动点。
高中数学最值问题12种
高中数学最值问题12种数学最值问题是高中数学的重要知识点之一，在解决实际问题中起着重要作用。
本文将介绍高中数学中常见的12种最值问题，并逐一给出解决方法。
1. 数列中的最大最小值数列是数学中常见的一种数学对象，求解数列中的最大值和最小值是数学竞赛和课堂教学中经常遇到的问题。
一般来说，我们可以观察数列的规律，找到最值所在的位置，然后直接求解得出最值。
2. 函数的最值函数的最值问题是数学分析中常见的一种问题，通过寻找函数的极值点来求解函数的最值。
求函数的最值可以利用导数的概念，找到函数的驻点和端点，通过比较函数在这些点上的值来确定最值。
3. 三角函数的最值三角函数也是高中数学中常见的一种函数类型，在求解三角函数的最值时，我们可以利用三角函数的周期性和对称性进行分析。
对于一些无穷大趋势的函数，例如正弦函数，我们可以根据其周期性进行推断。
4. 组合与排列的最值在组合与排列的问题中，有时我们需要求解一系列元素的排列或组合的最大最小值。
在这种情况下，我们可以利用数学方法，例如推导和分析，确定元素之间的关系，从而求得最值。
5. 几何图形的最值在几何学中，我们常常需要求解图形的最值问题。
例如，求解三角形的面积、矩形的周长与面积等。
在这种情况下，我们可以利用几何学中的性质和公式，通过数学推导和分析得出最值结果。
6. 优化问题与约束条件优化问题是数学中重要的问题类型之一，常常涉及到最值问题。
在解决优化问题时，我们需要考虑约束条件，并建立相应的数学模型。
通过优化理论和方法，例如拉格朗日乘数法和微分求解等，可以求解最值问题。
7. 矩阵的最值矩阵是线性代数中的重要概念，也常常涉及到最值问题。
在矩阵的最值问题中，我们可以通过计算特征值和特征向量，或者进行线性代数变换，来求解矩阵的最大最小值。
8. 最短路径与最小生成树在图论中，最短路径和最小生成树是两个重要的最值问题。
通过运用图论算法，例如迪杰斯特拉算法和普里姆算法，可以求解最短路径和最小生成树的问题。
最大流练习题
最大流练习题最大流问题是指在一个网络中，从源点s到汇点t的最大流量。
本文将为读者介绍最大流问题的基本概念和求解方法，并提供一些练习题供读者巩固所学知识。
一、最大流问题概述在一个网络中，每个节点都有一定的容量，表示通过该节点的最大流量。
源点s表示流的起点，汇点t表示流的终点。
通过网络中的边，流将从源点s流向汇点t，其中边的容量表示通过该边的最大流量。
最大流问题的目标是找到从源点s到汇点t的最大流量。
使用最大流算法，可以得出最大流量并找到一条流量最大的路径。
二、最大流问题的求解方法1. Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是最常用的求解最大流问题的方法之一。
该算法的基本思想是不断寻找增广路径，直至无法找到增广路径为止。
步骤：- 初始化流量为0。
- 当存在增广路径时，通过该路径增加流量，并更新路径上各边的容量。
- 重复上一步骤，直至不存在增广路径。
2. Edmonds-Karp算法Edmonds-Karp算法是Ford-Fulkerson算法的改进版本，其核心思想是使用广度优先搜索寻找增广路径。
该算法保证每次找到的增广路径是最短的，从而提高了算法效率。
步骤：- 初始化流量为0。
- 使用广度优先搜索寻找最短增广路径。
- 通过该路径增加流量，并更新路径上各边的容量。
- 重复上一步骤，直至不存在增广路径。
三、最大流问题练习题1. 题目描述：给定一个带权有向图，其中每个边的容量和费用均已给定。
请计算从源点s到汇点t的最大流量。
2. 题目描述：给定一个带权无向图，其中每个节点的容量已给定。
请计算从源点s到汇点t的最大流量，并找出一条流量最大的路径。
3. 题目描述：给定一个带权有向图，其中每个节点的容量已给定。
请计算从源点s到汇点t的最大流量，并找出一条流量最大的路径。
以上练习题旨在让读者更好地理解最大流问题，并熟练掌握最大流问题的求解方法。
读者可以使用Ford-Fulkerson算法或Edmonds-Karp 算法来解决这些问题，并验证自己的答案是否正确。
最大流算法
◆如果有一组流量满足条件： 源点s ： 流出量 = 整个网络的流量 汇点t ： 流入量 =整个网络的流量 中间点：总流入量 = 总流出量
2 ） 对与该增广路径上的边 若( u, v ) 是正向边，f ( u, v ) = f ( u, v ) + d; 若( u, v ) 是逆向边，f ( u, v ) = f ( u, v ) – d;
增广后，总流量增加了d
样例：
4
1
6
23
2
34
开始流量为:sum=0
4
5
5
23
4
4
1
2
5
6
34
5
4 23 4
1 2 22
5
6
3
4
2
5
1、一条增广路径: 1235 d=min{4,2,4} =2 增加流量: 2 Sum=2
4 23 4
1
2
22
5
6
3
4
2
5
2 32
1
4
2
2
22
4
2
5
6
34
5
2
2、一条增广路径: 1245 d=min{4-2,3,5} =2 增加流量: 2 Sum=2+2=4
2 32
i:=b[i];
ห้องสมุดไป่ตู้
end;
inc(sum,d); {总流量增加d}
主程序：
for i:=1 to n do b[i]:= -1; {初始化增广路径} b[1]:=0; while findflow(1) do {增广流}
最大流问题经典例题
最大流问题经典例题最大流问题是图论中的一个经典问题，其目的是在一个有向图中找到一条从源点到汇点的路径，使得路径上的流量最大。
最大流问题有多种解法，其中最著名的是Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp 算法。
下面介绍一个最大流问题的经典例题：给定一个有向图G=(V,E)，其中V表示节点集合，E表示边集合。
假设有源点s和汇点t，并且每条边都有一个容量c，表示该边最多可以通过的流量。
请找到从源点s到汇点t的最大流量。
解法：一种解法是使用Ford-Fulkerson算法。
该算法通过不断增广路径来寻找最大流，直到无法找到增广路径为止。
具体实现过程如下：1. 初始化流f=0。
2. 寻找一条增广路径，即从s到t的一条路径，使得路径上所有边的剩余容量都大于0。
3. 计算该路径上的最小剩余容量d。
4. 对该路径上的所有边e，将其流量增加d，同时将其反向边的流量减少d。
5. 将f增加d。
6. 重复步骤2-5，直到无法找到增广路径。
另一种解法是使用Edmonds-Karp算法。
该算法在Ford-Fulkerson算法的基础上优化了增广路径的选择，选择最短路作为增广路径，从而提高了算法的效率。
具体实现过程如下：1. 初始化流f=0。
2. 寻找一条从s到t的最短增广路径，即路径上所有边的剩余容量都大于0，且路径长度最短。
3. 计算该路径上的最小剩余容量d。
4. 对该路径上的所有边e，将其流量增加d，同时将其反向边的流量减少d。
5. 将f增加d。
6. 重复步骤2-5，直到无法找到增广路径。
无论使用哪种算法，最后得到的f即为从源点s到汇点t的最大流量。
算法难题集锦
算法难题集锦1. 旅行商问题（TSP）：给定一组城市和距离矩阵，找到一条最短路径，使得旅行商可以从一个城市出发，经过每个城市恰好一次，然后回到起始城市。
2. 背包问题（Knapsack Problem）：给定一组物体的重量和价值，以及一个限制的背包容量，找出在背包容量限制下，能够放入背包的物体，使得物体的总价值最大。
3. 图着色问题（Graph Coloring Problem）：给定一个无向图，找到一种对图中的每个顶点进行着色的方法，使得相邻的顶点颜色不同，并且使用的颜色数量最少。
4. 最大流问题（Max Flow Problem）：给定一个有向图和两个顶点，一个源节点和一个汇节点，求解通过图中的边的最大流量，使得从源节点到汇节点的最大流量最大化。
5. 内存分配问题：给定一组内存块和一组进程，找到一种分配内存块的方法，使得每个进程得到所需的内存，同时最大化内存利用率。
6. 矩阵链乘法问题：给定一组矩阵，找到一种矩阵乘法的顺序，使得相邻的矩阵可以相乘，并且乘法运算的次数最小化。
7. 最长公共子序列问题（Longest Common Subsequence Problem）：给定两个序列，找到一个最长的公共子序列，即同时在两个序列中出现的最长的子序列。
8. 最小生成树问题（Minimum Spanning Tree Problem）：给定一个连通图和边的权重，找到一个包含图中所有顶点且边的总权重最小的树。
9. 字符串匹配问题（String Matching Problem）：给定一个文本串和一个模式串，找到模式串在文本串中的所有出现的位置。
10. 任务调度问题（Task Scheduling Problem）：给定一组任务和它们的执行时间，找到一种合理的调度方式，使得完成所有任务的时间最小化。
最大流-最小割题目[整理版]
![最大流-最小割题目[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/d2c0c4e07d1cfad6195f312b3169a4517723e56e.png)
最大流-最小割问题
最大流-最小割问题都是用于S-T图中的。
一个S-T图右下面几个要素：
1，一个源点和一个汇点
2，有向边，<i,j>是从i到j的。
3，每一条边都有一个非负的权值
4，容量cap(i,j)等于零，说明不存在边
S-T图举例：
流的定义：
流是一个实函数f它赋予了每一条弧一个权值f(i,j)在下面条件的约束下，
---容量约束：权值f(i,j) <=cap(i,j)
---聚类平衡约束：
最大流是所有可能流函数中的有最大值的流。
最大流例子：管道网络中每边的最大通过能力即容量是有限的，实际流量也不一定等于容量，上述问题就是要讨论如何充分利用装置的能力，以取得最好效果（流量最大），这类问题通常称为最大流问题。
S-T割定义：
1，一个割是节点集合V的一个分割，分成了两个子集S和T. 2,当s属于S,v属于V时，这个割就是s-t切割
如图：
最小割的定义：
最小割是S-T切割中所有可能的S-T切割的能量最小的割。
最大流和最小割的关系：最大流<=最小割。
计算方法：。
网络最大流问题__运筹学__胡运权__清华大学出版社
[-v1, 1]v2 （4,3）
v4[v2 , 1]
Vs
[0 , +∞]
（2,2）
[vs, 4]v1
v3
Vt
V3
(4) 重复（2）,（3），依次进行的结局可能为
vt已标号，得到一条增广链u(反向追踪)，转（5）； vt未标号,且无法再标号,此时的流为最大流,此时的截集为最小截。
皆非饱，且u-中弧皆非零，则称u为关于f的
一条增广链。
10 5 v2
v1
4
3 8
3
v3
52
v4
3 0
1 5
3 3
6 5 v5 .
11 6
v6
2 17
3. 截集与截量
把V分成两部分：VA和VB(VA ∩VB= φ, VA ∪VB= V) 且vs∈ VA、 vt∈ VB，则弧集(VA,VB)称为D的截集。
4. 流量与截量的关系
v1
vs
vt
v2
v3
任一可行流的流量都不会超过任一截集的截量
因 v(f)=f (VA,VB) - f (VB,VA) ≤ f (VA,VB) ≤ C (VA,VB) ）
最大流最小截定理：网络的最大流量等于最小截量。
.
例. 如图所示的网络中，弧旁数字为(cij ,fij)
v1
Vs
[0, +∞] [vs, 4]v1
（2,2）
v3
[-v2, 1]
整调
Vt [v4, 1]
v2 （4,4）
v4
Vs
Vt
v1 （2,2）
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begin fillchar(h,sizeof(h),$ff); readln(n,m); for i:=1 to m do begin readln(a,b,c,d); add(a,b,c,d); end; flow:=0; cost:=0; s:=1; t:=n; while spfa(s,t,flow,cost) do; writeln(flow,' ',cost); end.
Dinic递归版
program maxflow_Dinic; type edge=record y,r,next,op:longint; end; var g:array[1..400] of edge; level,q,h:array[1..200] of longint; n,m,i,ans,a,b,c,tot,vs,vt:longint;
最大权闭合子图
• 给定带权图G（权值可正可负），求一个权和最大的点集 ，使得起点在该点集中的任意弧，终点也在该点集中。 • 解：新增附加源s和附加汇t，从s向所有正权点引一条边， 容量为权值；从所有负权边向汇点引一条边，容量为权值 的相反数。求出最小割以后，S-{s}就是最大闭合子图。
最大密度子图
function bfs:boolean; var i,f,r,tmp,v,u:longint; begin fillchar(level,sizeof(level),0); f:=1; r:=1; q[f]:=vs; level[vs]:=1; repeat v:=q[f]; tmp:=h[v]; while tmp<>-1 do begin u:=g[tmp].y; if (g[tmp].r<>0) and (level[u]=0) then begin level[u]:=level[v]+1; inc(r); q[r]:=u; if u=vt then exit(true); end; tmp:=g[tmp].next; end; inc(f); until f>r; exit(false); end;
function spfa(s,t:longint;var flow,cost:longint):boolean; var d,p,a:array[1..maxn] of longint; inq:array[1..maxn] of boolean; q:array[1..maxm] of longint; i,u,v,tmp,f,r:longint; begin fillchar(d,sizeof(d),$7f); fillchar(inq,sizeof(inq),false); d[s]:=0; inq[s]:=true; p[s]:=0; a[s]:=maxlongint; f:=1; r:=1; q[f]:=1; repeat u:=q[f]; tmp:=h[u]; while tmp<>-1 do begin v:=g[tmp].v; if (g[tmp].r>0) and (d[v]>d[u]+g[tmp].c) then begin d[v]:=d[u]+g[tmp].c; p[v]:=tmp; a[v]:=min(a[u],g[tmp].r); if not inq[u] then begin inc(r); q[r]:=u; inq[u]:=true; end; end; tmp:=g[tmp].next; end; inc(f); inq[u]:=false; until f>r; if d[t]=maxlongint then exit(false); flow:=flow+a[t]; cost:=cost+d[t]*a[t]; u:=t; while (u<>s)do begin g[p[u]].r:=g[p[u]].r-a[t]; g[g[p[u]].op].r:=g[g[p[u]].op].r+a[t]; u:=g[p[u]].u; end; exit(true); end;
• 于是在网络中寻求关于F的最小费用可增广路径，等价于 在加权有向图W（F）中寻求从Vs到Vt的最短路径。
算法思想
•
代码实现
program mincost; const maxn=1000; maxm=1000*1000*2; type edge=record u,v,r,c,next,op:longint; end; var g:array[1..maxm] of edge; h:array[1..maxn] of longint; s,t,flow,cost,a,b,c,d,tot,n,m,i:longint;
• 给出一个无向图，找一个点集，使得这些点之间的边数除 以点数的值（称为子图的密度）最大。
• POJ 3469 Dual Core CPU • POJ 2987 Firing（最大权闭合图） • POJ 3155 Harபைடு நூலகம் Life（最大密度子图）
最小费用最大流
“流”的问题可能不仅仅是流量，还包括“费用”的因素。 网络的每一条边（Vi，Vj）除给定了容量Cij 外，还给了一个 单位流量费用Bij>=0。问题的数学模型是求最大流F，使流的 总输送费用B（F）=∑Bij Fij （I,j∈A）取极小值。这就是所谓 的最小费用最大流问题。
在可增广路径p上改进流量
•
残留网络
• 按照上述方法对弧进行分类，初始流图中的每条弧既有容 量又有前向弧流量和后向弧流量，因此不够简洁，不方便 寻找可增广路径。 • 所谓残留网络，就是将初始流图上的前向弧的容量调整为 “剩余容量”=C(u,v)-f(u,v)；后向弧的容量调整为“可退流 量”=f(v,u)；去除“剩余流量”为0的弧。在这样的图上找 可增广路经变得更加容易。
begin fillchar(h,sizeof(h),$ff); readln(n,m); tot:=0; ans:=0; vs:=1; vt:=m; for i:=1 to n do begin readln(a,b,c); add(a,b,c); end; while bfs do begin ans:=ans+dfs(1,maxlongint); end; writeln(ans); end.
function dfs(v,a:longint):longint; var ans,flow,tmp,u,value:longint; begin if (v=vt) or (a=0) then exit(a); ans:=0; tmp:=h[v]; while tmp<>-1 do begin u:=g[tmp].y; value:=g[tmp].r; if (level[u]=level[v]+1) then begin flow:=dfs(u,min(a,value)); if flow<>0 then begin g[tmp].r:=g[tmp].r-flow; g[g[tmp].op].r:=g[g[tmp].op].r+flow; ans:=ans+flow; a:=a-flow; if a=0 then break; end; end; tmp:=g[tmp].next; end; exit(ans); end;
• • • • •
Poj 1273 Drainage Ditches Poj 3281 Dining Poj 1149 Pigs Poj 1459 Power Network POJ 1698
最大流最小割定理
• 图的割：对于某个顶点集合SV，从S出发指向S外部的那些 边的集合，记为割（S，V\S）。这些边的容量之和被称为 割的容量 • S-t割：如果sS，tV\S，那么此时的割称为s-t割 • 最小割问题：对于给定网络，为了保证没有从s到t的路径 ，需要删除的边的总容量值最小
可增广路径的定义
• 设F是一个可行流，p是从s到t的一条路，若p满足下述两个 条件，则称p是关于可行流F的一条可增广路径，亦称可改 进路径： • 在p+的所有前向弧（u,v）上，0<=f(u,v)<C(u,v)。 • 在p-的所有后向弧（u,v）上，0<f(u,v)<=C(u,v)。
增广路径SACBDET
• 流的容量限制：对于每条弧（u,v）∈E来说，弧流量为一个不大于弧容量的 非负数，即0<=f(u,v)<=C(u,v)。 • 流的平衡条件：除源点和汇点外的任意中间点u，流入u的“流量”与流出u 的“流量”相等。
（3）网络的流量V(F)：指源点的净流出流量和汇点的净流入流量。
寻找网络G上可能的最大流量即为网络G上的最大流问题
procedure add(a,b,c:longint); begin inc(tot); g[tot].y:=b; g[tot].r:=c; g[tot].next:=h[a]; h[a]:=tot; g[tot].op:=tot+1; inc(tot); g[tot].y:=a; g[tot].r:=0; g[tot].next:=h[b]; h[b]:=tot; g[tot].op:=tot-1; end;
procedure add(u,v,r,c:longint); begin inc(tot); g[tot].u:=u; g[tot].v:=v; g[tot].r:=r; g[tot].c:=c; g[tot].next:=h[u]; h[u]:=tot; g[tot].op:=tot+1; inc(tot); g[tot].u:=v; g[tot].v:=u; g[tot].r:=0; g[tot].c:=-c; g[tot].next:=h[v]; h[v]:=tot; g[tot].op:=tot-1; end;
在可增广路径的基础上计算最大流
• 最大流算法的核心是计算可增广路径