马氏链模型建模
马氏链模型在金融风险评估中的应用研究
马氏链模型在金融风险评估中的应用研究第一章引言金融风险评估是金融领域中非常重要的一项工作。
传统的风险评估方法使用的是统计学方法，但是这些方法存在着许多不足之处。
为了更好地解决这些问题，马氏链模型被引入金融风险评估中，并且在实践中取得了许多成功的应用。
本文将要对马氏链模型在金融风险评估中的应用进行研究。
第二章马氏链模型概述2.1 马氏过程马氏过程是指在给定当前状态，未来状态的发展只取决于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。
在金融领域，马氏过程常常被用来描述股票价格的波动过程，并且这种描述很符合市场的实际情况。
2.2 马氏链模型马氏链是指在马氏过程中，状态空间是离散的，并且状态之间的转移概率是不变的。
在金融风险评估中，可以将风险等级抽象为状态空间，因此可以用马氏链模型来描述不同风险等级之间的转移概率。
这种模型被称为马氏链模型。
2.3 马氏链模型的优点相比于传统的风险评估方法，马氏链模型具有以下优点：1. 能够很好地描述风险等级之间的转移关系。
2. 能够考虑到未来的风险等级。
3. 能够应对数据不完整和缺失的情况。
4. 能够根据实际情况对模型参数进行调整，提高模型的准确度。
第三章马氏链模型在金融风险评估中的应用3.1 评估信用风险信用风险是指企业或个人不能按时按量归还贷款等债务的风险。
在金融风险评估中，马氏链模型可以用来描述不同信用等级之间的转移关系，并且可以预测未来的信用等级。
通过马氏链模型，可以更准确地评估不同借款人的信用风险，从而降低金融机构的损失风险。
3.2 评估市场风险市场风险是指由于市场波动导致的投资损失。
在金融风险评估中，马氏链模型可以用来描述不同市场情况之间的转移关系，并且可以预测未来的市场情况。
通过马氏链模型，可以更准确地评估不同投资组合的市场风险，从而降低投资人的损失风险。
3.3 评估流动性风险流动性风险是指在金融市场中，投资者需要出售资产以获取资金，但是市场上没有足够的买家购买这些资产，从而导致投资者无法及时获取资金的风险。
马氏链预测模型
马氏链预测模型：
马氏链分为正则链和吸收链
正则链即任意状态都可通过正概率到达其他状态，吸收链为存在一个状态，当到达此状态时，就不能再向其他状态转移，其他任意状态都可经过一个正概率向此状态转移，且经过足够长时间后，所有状态都将变为这个状态。
基本模型：
状态⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=4
3
21n X ，分别表示四种水质，状态概率)()(i X P n a n i ==，
状态转移概率..2,1,0;,...,2,1,)),(|)((1=====+n k j i i X j X P P n n ij
经n 次转以后状态概率：
k i P n a n a k j ij j i ...,2,1,*)()1(1
==+∑=
当经过足够长时间达到稳态时，对于正则链，假设w 为稳态概率，则满足：
w P w =*
利用MATLAB 程序实现：
function Markov_Chain=f1(P,n,A0)
%P 为转移概率矩阵，n 为递推时间，A0为初始状态列向量
b=size(A0,1);%确定初始状态矩阵A0行数
A=zeros(b,n);
A(:,1)=A0;
p=P';%按照递推公式，需将转移概率矩阵P 转置
j=1;
while j<=n
A(:,j+1)= p*A(:,j)%第j 列代表递推j 次后的状态向量
j=j+1;
end
A_n=A(:,n) %得到递推n 次后的状态向量
根据数据可分别求出四个地区四种水质的转移概率：
P1=。
数学建模——马尔科夫链模型
即
1 an 1 an1 bn1 0 cn1 2 1 a n a n1 bn1 (4.2) 2
类似可推出
1 bn bn 1 c n 1 2
(4.3)
cn=0
(4.4)
将（4.2）、（4.3）、（4.4）式相加，得
an bn cn an1 bn1 cn1
x ( n) b n cn
当n=0时
表示植物基因型的 初始分布（即培育 开始时的分布）
x (0) b 0 c0
显然有 a0 b0 c0 1 （ii）第n代的分布与 第n－1代的分布之间的关系是通过表 5.2确定的。 （b）建模 根据假设(ii)，先考虑第n代中的AA型。由于第n－1代的AA 型与AA型结合。后代全部是AA型；第n－1代的Aa型与AA 型结合，后代是AA型的可能性为 1/2，而 第n－1代的aa型与 AA型结合，后代不可能 是AA型。因此当n=1,2…时
（a）假设 父母的基因型 （i）常染色体遗传的正常基因记 为A，不 正常基因记 为a，并以 AA，Aa，aa 分别表示正常人，隐性患者，显性患 AA－AA AA－Aa 者的基因型 现在，我们考虑在控 （ii）设an,bn分别表示第n代中基因型为 制结合的情况下，如 AA 1 1/2 AA， Aa的人占总人数的百分比， 后 何确定后代中隐性患 记 x ( n ) an ，n=1,2,…（这里 者的概率。 代 b 不考 虑aa型是因 n 基 为这些人不可能成年并结婚） Aa 0 1/2 因 （iii）为使每个儿童至少有一个正常的父 型 亲或母亲，因此隐性患者必须与正常 人结合，其后代的基因型概率由 下表 给出：
由（4.5）式递推，得
马氏链模型及matlab程序
一、用法,用来干什么，什么时候用二、步骤，前因后果,算法得步骤,公式ﻫ三、程序四、举例五、前面国赛用到此算法得备注一下马氏链模型用来干什么马尔可夫预测法就是应用概率论中马尔可夫链（Marｋov ｃhain)得理论与方法来研究分析时间序列得变化规律,并由此预测其未来变化趋势得一种预测技术.什么时候用应用马尔可夫链得计算方法进行马尔可夫分析，主要目得就是根据某些变量现在得情ﻫ况及其变动趋向，来预测它在未来某特定区间可能产生得变动，作为提供某种决策得依据.马尔可夫链得基本原理我们知道，要描述某种特定时期得随机现象如某种药品在未来某时期得销售情况，比如说第n季度就是畅销还就是滞销，用一个随机变量Ｘｎ便可以了，但要描述未来所有时期得情况，则需要一系列得随机变量Ｘ１，X2，…,X n,…。
称｛ Xｔ，t∈Ｔ,Ｔ就是参数集}为随机过程，{ Xｔ｝得取值集合称为状态空间。
若随机过程｛X n｝得参数为非负整数, XXｎ }具有无后效性（或称马尔可夫性），则称这一随机过程为马尔ｎ为离散随机变量，且{可夫链（简称马氏链)。
所谓无后效性,直观地说，就就是如果把{ X n｝得参数n瞧作时间得话,那么它在将来取什么值只与它现在得取值有关,而与过去取什么值无关。
对具有N个状态得马氏链,描述它得概率性质，最重要得就是它在ｎ时刻处于状态i下一时刻转移到状态j得一步转移概率：若假定上式与ｎ无关，即,则可记为（此时,称过程就是平稳得），并记（1) 称为转移概率矩阵．转移概率矩阵具有下述性质：（1）．即每个元素非负。
（2）。
即矩阵每行得元素与等于1。
如果我们考虑状态多次转移得情况,则有过程在n时刻处于状态i，ｎ＋ｋ时刻转移到状态j得ｋ步转移概率：同样由平稳性，上式概率与ｎ无关，可写成。
记（２) 称为ｋ步转移概率矩阵.其中具有性质：；。
一般地有，若为一步转移矩阵，则k步转移矩阵（3) (2）状态转移概率得估算在马尔可夫预测方法中,系统状态得转移概率得估算非常重要.估算得方法通常有两种：一就是主观概率法，它就是根据人们长期积累得经验以及对预测事件得了解,对事件发生得可能性大小得一种主观估计,这种方法一般就是在缺乏历史统计资料或资料不全得情况下使用。
《马氏链模型》课件
马氏链模型的求解
1
平稳分布
马氏链模型的平稳分布是指随着时间的推移，状态转移概率趋于稳定的情况。
2
极限行为
马氏链模型在假设条件下，其极限行为会收敛到一个稳定的状态。
马氏链模型的改进
1
非齐次马氏链模型
非齐次马氏链模型考虑了不同时间段的状态转移概率的变化。
2
马尔可夫决策过程
马尔可夫决策过程是马氏链模型的扩展，同时考虑了状态转移和决策的影响。
总结
马氏链模型的优点
马氏链模型能够描述状态转移的概率，并用于解决 实际问题。
马氏链模型的应用前景
马氏链模型在各个领域具有广泛的应用前景，可以 帮助解决实际问题。
《马氏链模型》PPT课件
马氏链模型是概率论中的重要工具，它描述了一个系统按照一定的概率从一 个状态转移到另一个状态的过程。
什么是马氏链模型？
马氏链模型是描述系统状态转移的数学模型，它具有马氏性质，即下一个状 态只依赖于当前状态，与之前的状态无关。
马氏链模型的特点
状态转移概率
马氏链模型中的每一个状态都有一定的概率转移到其他的状态。
马链的齐次性
马氏链模型的转移概率在时间上保持不变，不受时间影响。
时间齐次性
时间齐次性指的是马氏链模型的转移概率与时间的长度无关，只与当前状态有关。
马氏链模型的应用
随机游走问题
随机游走问题是马氏链模型的一 个重要应用领域，它可以描述在 随机环境下的随机漫步过程。
网站访问模型
马氏链模型可以用于描述网站访 问行为，帮助优化页面设计和内 容推荐。
数学建模——马尔科夫链模型ppt课件
相应的转移矩阵 为：
0.4 0.4 0 0.2
M 0.1 0.3 0.6
0
0.7 0 0.2 0.1
0
0
0
1
且Sj+1=SjM
首先，任一转移矩阵的行向量均为概率向量，即有 （1）
（I , j=01,…P,ing ）1
n
马氏链模型的性质完全由其转移矩 阵决定，故研究马氏链的数学工
（2） Pig 1 （i=1,…具,是n）线性代数中有关矩阵的理论。
1 1 0
1a0 2b0 1c0
.
即1ຫໍສະໝຸດ 11n 1
1
n1
x( n)
显然有 a0b0c01
（ii）第n代的分布与 第n－1代的分布之间的关系是通过表
5.2确定的。
（b）建模
根据假设(ii)，先考虑第n代中的AA型。由于第n－1代的AA
型与AA型结合。后代全部是AA型；第n－1代的Aa型与AA型
结合，后代是AA型的可能性为 1/2，而 第n－1代的aa型与
AA型结合，后代不可能 是AA型。因此当n=1,2…时
j1
这样的矩阵被称为 随机矩阵。
.
常染色体遗传模型
在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一 个基因，形成自己的基因父时体，—基—因母对体也的称基为因基型因型。如果
我们所考虑的遗传特A征A是由AA两个AA基 因AaA和Aaa控制aa的，（A、
a为表示两类基因的符－号）－那么－就有三－种基－因对－，记为AA，
1 =1， 2 =1/2， 3 =0
.
因此 所以
1 0 0 1 1 1
D0 0
1
2 0
0,e10 0 0
(完整版)马氏链模型及matlab程序
一、用法，用来干什么，什么时候用 二、步骤，前因后果，算法的步骤，公式 三、程序 四、举例五、前面国赛用到此算法的备注一下马氏链模型用来干什么马尔可夫预测法是应用概率论中马尔可夫链（Markov chain ）的理论和方法来研究分析时间序列的变化规律，并由此预测其未来变化趋势的一种预测技术。
什么时候用应用马尔可夫链的计算方法进行马尔可夫分析， 主要目的是根据某些变量现在的情 况及其变动趋向，来预测它在未来某特定区间可能产生的变动，作为提供某种决策的依 据。
马尔可夫链的基本原理我们知道，要描述某种特定时期的随机现象如某种药品在未来某时期的销售情况，比如说第n 季度是畅销还是滞销，用一个随机变量X n 便可以了，但要描述未来所有时期的情况，则需要一系列的随机变量 X 1，X 2，…，X n ，…．称{ X t ，t ∈T ，T 是参数集}为随机过程，{ X t }的取值集合称为状态空间．若随机过程{ X n }的参数为非负整数， X n 为离散随机变量，且{ X n }具有无后效性（或称马尔可夫性），则称这一随机过程为马尔可夫链（简称马氏链）．所谓无后效性，直观地说，就是如果把{ X n }的参数n 看作时间的话，那么它在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与过去取什么值无关．对具有N 个状态的马氏链，描述它的概率性质，最重要的是它在n 时刻处于状态i 下一时刻转移到状态j 的一步转移概率：N j i n p i X j X P j i n n ,,2,1,)()|(1若假定上式与n 无关，即 )()1()0(n p p p j i j i j i ，则可记为j i p （此时，称过程是平稳的），并记N N N N N N p p p p p p p p p P212222111211（1） 称为转移概率矩阵．转移概率矩阵具有下述性质：（1）N j i p j i ,,2,1,,0 ．即每个元素非负．（2）N i p Nj j i ,,2,1,11．即矩阵每行的元素和等于1．如果我们考虑状态多次转移的情况，则有过程在n 时刻处于状态i ，n +k 时刻转移到状态j 的k 步转移概率：N j i n p i X j X P k j i n k n ,,2,1,)()|()(同样由平稳性，上式概率与n 无关，可写成)(k j i p ．记)()(2)(1)(2)(22)(21)(1)(12)(11)(k N N k N k N k N k k k N k k k p p p p p p p p p P（2）称为k 步转移概率矩阵．其中)(k j i p 具有性质：N j i p k ji ,,2,1,,0)( ； N i p Nj k j i ,,2,1,11)( ．一般地有，若P 为一步转移矩阵，则k 步转移矩阵)()(2)(1)(2)(22)(21)(1)(12)(11)(k N N k N k N k N k k k N k k k p p p p p p p p p P（3） （2）状态转移概率的估算在马尔可夫预测方法中，系统状态的转移概率的估算非常重要．估算的方法通常有两种：一是主观概率法，它是根据人们长期积累的经验以及对预测事件的了解，对事件发生的可能性大小的一种主观估计，这种方法一般是在缺乏历史统计资料或资料不全的情况下使用．二是统计估算法，现通过实例介绍如下．例3 记录了某抗病毒药的6年24个季度的销售情况，得到表1．试求其销售状态的转移概率矩阵．表1 某抗病毒药24个季度的销售情况季度销售状态季度销售状态季度销售状态季度销售状态1 1 (畅销) 7 1(畅销) 13 1(畅销) 19 2(滞销)2 1(畅销) 8 1(畅销) 14 1(畅销) 20 1(畅销)3 2(滞销) 9 1(畅销) 15 2(滞销) 21 2(滞销)4 1(畅销) 10 2(滞销) 16 2(滞销) 22 1(畅销)5 2(滞销) 11 1(畅销) 17 1(畅销) 23 1(畅销) 62(滞销)122(滞销)181(畅销)241(畅销)分析表中的数据，其中有15个季度畅销，9个季度滞销，连续出现畅销和由畅销转入滞销以及由滞销转入畅销的次数均为7，连续滞销的次数为2．由此，可得到下面的市场状态转移情况表（表2）．表2 市场状态转移情况表现计算转移概率．以频率代替概率，可得连续畅销的概率：1170.5151p连续出现畅销的次数出现畅销的次数分母中的数为15减1是因为第24季度是畅销，无后续记录，需减1．同样得由畅销转入滞销的概率：1270.5151p畅销转入滞销的次数出现畅销的次数滞销转入畅销的概率：2170.789p滞销转入畅销的次数出现滞销的次数连续滞销的概率：2220.229p连续滞销的次数出现滞销的次数综上，得销售状态转移概率矩阵为：22.078.05.05.022211211p pp p P 从上面的计算过程知，所求转移概率矩阵P 的元素其实可以直接通过表2中的数字计算而得到，即将表中数分别除以该数所在行的数字和便可：77711p 77712p 27721p 77222p Matlab 程序：format rat clca=[ 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2,1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1]; for i=1:2 for j=1:2f(i,j)=length(findstr([i j],a)); end end fni=(sum(f'))' for i=1:2p(i,:)=f(i,:)/ni(i); end p由此，推广到一般情况，我们得到估计转移概率的方法：假定系统有m 种状态S 1，S 2，…，S m ，根据系统的状态转移的历史记录，得到表3的统计表格，以j i pˆ表示系统从状态i 转移到状态j 的转移概率估计值，则由表3的数据计算估计值的公式如下：表3 系统状态转移情况表（3）带利润的马氏链在马氏链模型中，随着时间的推移，系统的状态可能发生转移，这种转移常常会引起某种经济指标的变化．如抗病毒药的销售状态有畅销和滞销两种，在时间变化过程中，有时呈连续畅销或连续滞销，有时由畅销转为滞销或由滞销转为畅销，每次转移不是盈利就是亏本．假定连续畅销时盈r 11元，连续滞销时亏本r 22元，由畅销转为滞销盈利r 12元，由滞销转为畅销盈利r 21元，这种随着系统的状态转移，赋予一定利润的马氏链，称为有利润的马氏链．对于一般的具有转移矩阵N N N N N N p p p p p p p p p P212222111211的马氏链，当系统由i 转移到j 时，赋予利润r ij （i ，j =1，2，…，N ），则称N N N N N N r r r r r r r r r R212222111211 （5） 为系统的利润矩阵，r ij ＞0称为盈利，r ij ＜0称为亏本，r ij = 0称为不亏不盈．随着时间的变化，系统的状态不断地转移，从而可得到一系列利润，由于状态的转移是随机的，因而一系列的利润是随机变量，其概率关系由马氏链的转移概率决定．例如从抗病毒药的销售状态的转移矩阵，得到一步利润随机变量)1(1x 、)1(2x 的概率分布分别为：其中 p 11+ p 12 = 1 ，p 21+ p 22 = 1．如果药品处于畅销阶段，即销售状态为i =1，我们想知道，经过n 个季度以后，期望获得的利润是多少？为此，引入一些计算公式．首先，定义)(n i v 为抗病毒药现在处于)2,1( i i ，经过n 步转移之后的总期望利润，则一步转移的期望利润为：212211)1()1()(j j i j i i i i i i i p r p r p r x E v其中)()1(i x E 是随机变量)1(i x 的数学期望．二步转移的期望利润为：21)1(2)1(221)1(11)2()2(][][][)(j j i j j i i i i i i i p v r p v r p v r x E v其中随机变量)2(ix （称为二步利润随机变量）的分布为：2,1,)()1()2( j p v r x P j i j j i i例如，若6.04.05.05.0P ，7339R则抗病毒药销售的一步利润随机变量：抗病毒药畅销和滞销时的一步转移的期望利润分别为：65.035.09)(12121111)1(1)1(1 p r p r x E v 36.074.03)(22222121)1(2)1(2 p r p r x E v二步利润随机变量为：抗病毒药畅销和滞销时的二步转移的期望利润分别为：12)1(21211)1(111)2(1)2(1][][)(p v r p v r x E v5.75.0)33(5.0)69(22)1(22221)1(121)2(2)2(2][][)(p v r p v r x E v4.26.0)37(4.0)63(一般地定义k 步转移利润随机变量),2,1()(N i x k i的分布为：N j p v r x P ji k j j i k i ,2,1)()1()(则系统处于状态i 经过k 步转移后所得的期望利润)(k iv 的递推计算式为：j i k j Nj j i k i k i p v r x E v )()()1(1)()(Nj j i k j i Nj j i k j Nj j i j i p v v p v p r 1)1()1(1)1(1（6）当k =1时，规定边界条件0)0( iv ．称一步转移的期望利润为即时的期望利润，并记N i q v i i ,2,1,)1( ．可能的应用题型题型一、市场占有率预测例题1在购买该药的总共1000家对象（购买力相当的医院、药店等）中，买A 、B 、C 三药厂的各有400家、300家、300家，预测A 、B 、C 三个厂家生产的某种抗病毒药在未来的市场占有情况。
(完整版)马氏链模型及matlab程序
一、用法，用来干什么，什么时候用 二、步骤，前因后果，算法的步骤，公式 三、程序 四、举例五、前面国赛用到此算法的备注一下马氏链模型用来干什么马尔可夫预测法是应用概率论中马尔可夫链（Markov chain ）的理论和方法来研究分析时间序列的变化规律，并由此预测其未来变化趋势的一种预测技术。
什么时候用应用马尔可夫链的计算方法进行马尔可夫分析， 主要目的是根据某些变量现在的情 况及其变动趋向，来预测它在未来某特定区间可能产生的变动，作为提供某种决策的依 据。
马尔可夫链的基本原理我们知道，要描述某种特定时期的随机现象如某种药品在未来某时期的销售情况，比如说第n 季度是畅销还是滞销，用一个随机变量X n 便可以了，但要描述未来所有时期的情况，则需要一系列的随机变量 X 1，X 2，…，X n ，…．称{ X t ，t ∈T ，T 是参数集}为随机过程，{ X t }的取值集合称为状态空间．若随机过程{ X n }的参数为非负整数， X n 为离散随机变量，且{ X n }具有无后效性（或称马尔可夫性），则称这一随机过程为马尔可夫链（简称马氏链）．所谓无后效性，直观地说，就是如果把{ X n }的参数n 看作时间的话，那么它在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与过去取什么值无关．对具有N 个状态的马氏链，描述它的概率性质，最重要的是它在n 时刻处于状态i 下一时刻转移到状态j 的一步转移概率：N j i n p i X j X P j i n n ,,2,1,)()|(1若假定上式与n 无关，即 )()1()0(n p p p j i j i j i ，则可记为j i p （此时，称过程是平稳的），并记N N N N N N p p p p p p p p p P212222111211（1） 称为转移概率矩阵．转移概率矩阵具有下述性质：（1）N j i p j i ,,2,1,,0 ．即每个元素非负．（2）N i p Nj j i ,,2,1,11．即矩阵每行的元素和等于1．如果我们考虑状态多次转移的情况，则有过程在n 时刻处于状态i ，n +k 时刻转移到状态j 的k 步转移概率：N j i n p i X j X P k j i n k n ,,2,1,)()|()(同样由平稳性，上式概率与n 无关，可写成)(k j i p ．记)()(2)(1)(2)(22)(21)(1)(12)(11)(k N N k N k N k N k k k N k k k p p p p p p p p p P（2）称为k 步转移概率矩阵．其中)(k j i p 具有性质：N j i p k ji ,,2,1,,0)( ； N i p Nj k j i ,,2,1,11)( ．一般地有，若P 为一步转移矩阵，则k 步转移矩阵)()(2)(1)(2)(22)(21)(1)(12)(11)(k N N k N k N k N k k k N k k k p p p p p p p p p P（3） （2）状态转移概率的估算在马尔可夫预测方法中，系统状态的转移概率的估算非常重要．估算的方法通常有两种：一是主观概率法，它是根据人们长期积累的经验以及对预测事件的了解，对事件发生的可能性大小的一种主观估计，这种方法一般是在缺乏历史统计资料或资料不全的情况下使用．二是统计估算法，现通过实例介绍如下．例3 记录了某抗病毒药的6年24个季度的销售情况，得到表1．试求其销售状态的转移概率矩阵．表1 某抗病毒药24个季度的销售情况季度销售状态季度销售状态季度销售状态季度销售状态1 1 (畅销) 7 1(畅销) 13 1(畅销) 19 2(滞销)2 1(畅销) 8 1(畅销) 14 1(畅销) 20 1(畅销)3 2(滞销) 9 1(畅销) 15 2(滞销) 21 2(滞销)4 1(畅销) 10 2(滞销) 16 2(滞销) 22 1(畅销)5 2(滞销) 11 1(畅销) 17 1(畅销) 23 1(畅销) 62(滞销)122(滞销)181(畅销)241(畅销)分析表中的数据，其中有15个季度畅销，9个季度滞销，连续出现畅销和由畅销转入滞销以及由滞销转入畅销的次数均为7，连续滞销的次数为2．由此，可得到下面的市场状态转移情况表（表2）．表2 市场状态转移情况表现计算转移概率．以频率代替概率，可得连续畅销的概率：1170.5151p连续出现畅销的次数出现畅销的次数分母中的数为15减1是因为第24季度是畅销，无后续记录，需减1．同样得由畅销转入滞销的概率：1270.5151p畅销转入滞销的次数出现畅销的次数滞销转入畅销的概率：2170.789p滞销转入畅销的次数出现滞销的次数连续滞销的概率：2220.229p连续滞销的次数出现滞销的次数综上，得销售状态转移概率矩阵为：22.078.05.05.022211211p pp p P 从上面的计算过程知，所求转移概率矩阵P 的元素其实可以直接通过表2中的数字计算而得到，即将表中数分别除以该数所在行的数字和便可：77711p 77712p 27721p 77222p Matlab 程序：format rat clca=[ 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2,1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1]; for i=1:2 for j=1:2f(i,j)=length(findstr([i j],a)); end end fni=(sum(f'))' for i=1:2p(i,:)=f(i,:)/ni(i); end p由此，推广到一般情况，我们得到估计转移概率的方法：假定系统有m 种状态S 1，S 2，…，S m ，根据系统的状态转移的历史记录，得到表3的统计表格，以j i pˆ表示系统从状态i 转移到状态j 的转移概率估计值，则由表3的数据计算估计值的公式如下：表3 系统状态转移情况表（3）带利润的马氏链在马氏链模型中，随着时间的推移，系统的状态可能发生转移，这种转移常常会引起某种经济指标的变化．如抗病毒药的销售状态有畅销和滞销两种，在时间变化过程中，有时呈连续畅销或连续滞销，有时由畅销转为滞销或由滞销转为畅销，每次转移不是盈利就是亏本．假定连续畅销时盈r 11元，连续滞销时亏本r 22元，由畅销转为滞销盈利r 12元，由滞销转为畅销盈利r 21元，这种随着系统的状态转移，赋予一定利润的马氏链，称为有利润的马氏链．对于一般的具有转移矩阵N N N N N N p p p p p p p p p P212222111211的马氏链，当系统由i 转移到j 时，赋予利润r ij （i ，j =1，2，…，N ），则称N N N N N N r r r r r r r r r R212222111211 （5） 为系统的利润矩阵，r ij ＞0称为盈利，r ij ＜0称为亏本，r ij = 0称为不亏不盈．随着时间的变化，系统的状态不断地转移，从而可得到一系列利润，由于状态的转移是随机的，因而一系列的利润是随机变量，其概率关系由马氏链的转移概率决定．例如从抗病毒药的销售状态的转移矩阵，得到一步利润随机变量)1(1x 、)1(2x 的概率分布分别为：其中 p 11+ p 12 = 1 ，p 21+ p 22 = 1．如果药品处于畅销阶段，即销售状态为i =1，我们想知道，经过n 个季度以后，期望获得的利润是多少？为此，引入一些计算公式．首先，定义)(n i v 为抗病毒药现在处于)2,1( i i ，经过n 步转移之后的总期望利润，则一步转移的期望利润为：212211)1()1()(j j i j i i i i i i i p r p r p r x E v其中)()1(i x E 是随机变量)1(i x 的数学期望．二步转移的期望利润为：21)1(2)1(221)1(11)2()2(][][][)(j j i j j i i i i i i i p v r p v r p v r x E v其中随机变量)2(ix （称为二步利润随机变量）的分布为：2,1,)()1()2( j p v r x P j i j j i i例如，若6.04.05.05.0P ，7339R则抗病毒药销售的一步利润随机变量：抗病毒药畅销和滞销时的一步转移的期望利润分别为：65.035.09)(12121111)1(1)1(1 p r p r x E v 36.074.03)(22222121)1(2)1(2 p r p r x E v二步利润随机变量为：抗病毒药畅销和滞销时的二步转移的期望利润分别为：12)1(21211)1(111)2(1)2(1][][)(p v r p v r x E v5.75.0)33(5.0)69(22)1(22221)1(121)2(2)2(2][][)(p v r p v r x E v4.26.0)37(4.0)63(一般地定义k 步转移利润随机变量),2,1()(N i x k i的分布为：N j p v r x P ji k j j i k i ,2,1)()1()(则系统处于状态i 经过k 步转移后所得的期望利润)(k iv 的递推计算式为：j i k j Nj j i k i k i p v r x E v )()()1(1)()(Nj j i k j i Nj j i k j Nj j i j i p v v p v p r 1)1()1(1)1(1（6）当k =1时，规定边界条件0)0( iv ．称一步转移的期望利润为即时的期望利润，并记N i q v i i ,2,1,)1( ．可能的应用题型题型一、市场占有率预测例题1在购买该药的总共1000家对象（购买力相当的医院、药店等）中，买A 、B 、C 三药厂的各有400家、300家、300家，预测A 、B 、C 三个厂家生产的某种抗病毒药在未来的市场占有情况。
马氏链模型及matlab程序
一、用法，用来干什么，什么时候用 二、步骤，前因后果，算法的步骤，公式 三、程序 四、举例五、前面国赛用到此算法的备注一下马氏链模型用来干什么马尔可夫预测法是应用概率论中马尔可夫链（Markov chain ）的理论和方法来研究分析时间序列的变化规律，并由此预测其未来变化趋势的一种预测技术。
什么时候用应用马尔可夫链的计算方法进行马尔可夫分析， 主要目的是根据某些变量现在的情 况及其变动趋向，来预测它在未来某特定区间可能产生的变动，作为提供某种决策的依 据。
马尔可夫链的基本原理我们知道，要描述某种特定时期的随机现象如某种药品在未来某时期的销售情况，比如说第n 季度是畅销还是滞销，用一个随机变量X n 便可以了，但要描述未来所有时期的情况，则需要一系列的随机变量 X 1，X 2，…，X n ，…．称{ X t ，t ∈T ，T 是参数集}为随机过程，{ X t }的取值集合称为状态空间．若随机过程{ X n }的参数为非负整数， X n 为离散随机变量，且{ X n }具有无后效性（或称马尔可夫性），则称这一随机过程为马尔可夫链（简称马氏链）．所谓无后效性，直观地说，就是如果把{ X n }的参数n 看作时间的话，那么它在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与过去取什么值无关．对具有N 个状态的马氏链，描述它的概率性质，最重要的是它在n 时刻处于状态i 下一时刻转移到状态j 的一步转移概率：N j i n p i X j X P j i n n ,,2,1,)()|(1 ====+若假定上式与n 无关，即 ====)()1()0(n p p p j i j i j i ，则可记为j i p （此时，称过程是平稳的），并记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=N N N N N N p p p p p p p p p P212222111211（1）称为转移概率矩阵．转移概率矩阵具有下述性质：（1）N j i p j i ,,2,1,,0 =≥．即每个元素非负．（2）N i p Nj j i ,,2,1,11==∑=．即矩阵每行的元素和等于1．如果我们考虑状态多次转移的情况，则有过程在n 时刻处于状态i ，n +k 时刻转移到状态j 的k 步转移概率：N j i n p i X j X P k j i n k n ,,2,1,)()|()( ====+同样由平稳性，上式概率与n 无关，可写成)(k j i p ．记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()(2)(1)(2)(22)(21)(1)(12)(11)(k N N k N k N k N k k k N k k k p p p p p p p p p P（2）称为k 步转移概率矩阵．其中)(k j i p 具有性质：N j i p k ji ,,2,1,,0)( =≥； N i p Nj k j i ,,2,1,11)( ==∑=．一般地有，若P 为一步转移矩阵，则k 步转移矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()(2)(1)(2)(22)(21)(1)(12)(11)(k N N k N k N k N k k k N k k k p p p p p p p p p P（3） （2）状态转移概率的估算在马尔可夫预测方法中，系统状态的转移概率的估算非常重要．估算的方法通常有两种：一是主观概率法，它是根据人们长期积累的经验以及对预测事件的了解，对事件发生的可能性大小的一种主观估计，这种方法一般是在缺乏历史统计资料或资料不全的情况下使用．二是统计估算法，现通过实例介绍如下．例3 记录了某抗病毒药的6年24个季度的销售情况，得到表1．试求其销售状态的转移概率矩阵．表1 某抗病毒药24个季度的销售情况季度销售状态季度销售状态季度销售状态季度销售状态1 1 (畅销) 7 1(畅销) 13 1(畅销) 19 2(滞销)2 1(畅销) 8 1(畅销) 14 1(畅销) 20 1(畅销)3 2(滞销) 9 1(畅销) 15 2(滞销) 21 2(滞销)4 1(畅销) 10 2(滞销) 16 2(滞销) 22 1(畅销)5 2(滞销) 11 1(畅销) 17 1(畅销) 23 1(畅销) 62(滞销)122(滞销)181(畅销)241(畅销)分析表中的数据，其中有15个季度畅销，9个季度滞销，连续出现畅销和由畅销转入滞销以及由滞销转入畅销的次数均为7，连续滞销的次数为2．由此，可得到下面的市场状态转移情况表（表2）．表2 市场状态转移情况表现计算转移概率．以频率代替概率，可得连续畅销的概率：1170.5151p ===-连续出现畅销的次数出现畅销的次数分母中的数为15减1是因为第24季度是畅销，无后续记录，需减1．同样得由畅销转入滞销的概率：1270.5151p ===-畅销转入滞销的次数出现畅销的次数滞销转入畅销的概率：2170.789p ===滞销转入畅销的次数出现滞销的次数连续滞销的概率：2220.229p ===连续滞销的次数出现滞销的次数综上，得销售状态转移概率矩阵为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22.078.05.05.022211211p pp p P 从上面的计算过程知，所求转移概率矩阵P 的元素其实可以直接通过表2中的数字计算而得到，即将表中数分别除以该数所在行的数字和便可：77711+=p 77712+=p 27721+=p 77222+=p Matlab 程序：format rat clca=[ 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2,1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1]; for i=1:2 for j=1:2f(i,j)=length(findstr([i j],a)); end end fni=(sum(f'))' for i=1:2p(i,:)=f(i,:)/ni(i); end p由此，推广到一般情况，我们得到估计转移概率的方法：假定系统有m 种状态S 1，S 2，…，S m ，根据系统的状态转移的历史记录，得到表3的统计表格，以j i pˆ表示系统从状态i 转移到状态j 的转移概率估计值，则由表3的数据计算估计值的公式如下：表3 系统状态转移情况表（3）带利润的马氏链在马氏链模型中，随着时间的推移，系统的状态可能发生转移，这种转移常常会引起某种经济指标的变化．如抗病毒药的销售状态有畅销和滞销两种，在时间变化过程中，有时呈连续畅销或连续滞销，有时由畅销转为滞销或由滞销转为畅销，每次转移不是盈利就是亏本．假定连续畅销时盈r 11元，连续滞销时亏本r 22元，由畅销转为滞销盈利r 12元，由滞销转为畅销盈利r 21元，这种随着系统的状态转移，赋予一定利润的马氏链，称为有利润的马氏链．对于一般的具有转移矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=N N N N N N p p p p p p p p p P212222111211的马氏链，当系统由i 转移到j 时，赋予利润r ij （i ，j =1，2，…，N ），则称⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=N N N N N N r r r r r r r r r R212222111211 （5） 为系统的利润矩阵，r ij ＞0称为盈利，r ij ＜0称为亏本，r ij = 0称为不亏不盈．随着时间的变化，系统的状态不断地转移，从而可得到一系列利润，由于状态的转移是随机的，因而一系列的利润是随机变量，其概率关系由马氏链的转移概率决定．例如从抗病毒药的销售状态的转移矩阵，得到一步利润随机变量)1(1x 、)1(2x 的概率分布分别为：其中 p 11+ p 12 = 1 ，p 21+ p 22 = 1．如果药品处于畅销阶段，即销售状态为i =1，我们想知道，经过n 个季度以后，期望获得的利润是多少？为此，引入一些计算公式．首先，定义)(n i v 为抗病毒药现在处于)2,1(=i i ，经过n 步转移之后的总期望利润，则一步转移的期望利润为：∑==+==212211)1()1()(j j i j i i i i i i i p r p r p r x E v其中)()1(i x E 是随机变量)1(i x 的数学期望．二步转移的期望利润为：∑=+=+++==21)1(2)1(221)1(11)2()2(][][][)(j j i j j i i i i i i i p v r p v r p v r x E v其中随机变量)2(ix （称为二步利润随机变量）的分布为：2,1,)()1()2(==+=j p v r x P j i j j i i例如，若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=6.04.05.05.0P ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=7339R则抗病毒药销售的一步利润随机变量：抗病毒药畅销和滞销时的一步转移的期望利润分别为：65.035.09)(12121111)1(1)1(1=⨯+⨯=+==p r p r x E v 36.074.03)(22222121)1(2)1(2-=⨯-⨯=+==p r p r x E v二步利润随机变量为：抗病毒药畅销和滞销时的二步转移的期望利润分别为：12)1(21211)1(111)2(1)2(1][][)(p v r p v r x E v +++==5.75.0)33(5.0)69(=⨯-+⨯+=22)1(22221)1(121)2(2)2(2][][)(p v r p v r x E v +++==4.26.0)37(4.0)63(-=⨯--+⨯+=一般地定义k 步转移利润随机变量),2,1()(N i x k i=的分布为：N j p v r x P ji k j j i k i ,2,1)()1()(==+=-则系统处于状态i 经过k 步转移后所得的期望利润)(k iv 的递推计算式为：j i k j Nj j i k i k i p v r x E v )()()1(1)()(-=+==∑∑∑∑=-=-=+=+=Nj j i k j i Nj j i k j Nj j i j i p v v p v p r 1)1()1(1)1(1（6）当k =1时，规定边界条件0)0(=iv ．称一步转移的期望利润为即时的期望利润，并记N i q v i i ,2,1,)1(==．可能的应用题型题型一、市场占有率预测例题1在购买该药的总共1000家对象（购买力相当的医院、药店等）中，买A 、B 、C 三药厂的各有400家、300家、300家，预测A 、B 、C 三个厂家生产的某种抗病毒药在未来的市场占有情况。
数学模型4-1马氏模型
马氏链的遍历极限(II)
若马氏链{ξn: n≥ 0}的状态空间S为有限 集(不妨设S={1,2,L, N}),且转移矩阵 矩阵的每个元素为正,则它存在唯一不 变概率分布π=(π1,π2,L, πN), 满足如下 (指数)遍历性
4
马氏链的遍历极限(III)
令Ti(ω)是(ξ1(ω),L,ξn(ω))首次出现状态 i 的时间.那么μi=E(Ti(ω) | ξ0(ω)=i)就是 一个平均返回(状态i)时间.有结论如下
也就是说随机过程下一时间的发展只和包括当 前时间在内的最近的k个时间的状态有关 而和 这k个时间之前的历史没有关系, (其中k=0, 1, 2, L) ,我们把这样的随机过程叫做k-阶马氏 链.
关于名称的一点说明
参考书中,看到马氏链(过程)的时候要根据上下 文进行判断.有的时候是指普遍的马氏链(包括 高阶,一阶,零阶),有时候特指一阶马氏链. 在大多数情况下,如不特别说明,通常是特指 一阶时齐的马氏链. 如果将一个 k-阶马氏链的相邻 k 个时间的状态 合为一个新的状态: yn=(xn,xn-1,L,xn-k+1) ,则 {yn} 是一个 1-阶马氏链.程
3
时齐马氏链性质 (I)
时齐马氏链由转移概率矩阵和初分布完 全确定,设转移概率矩阵为P=(pij),初 始分布: ,则
时齐马氏链性质 (II)
若记μi(n)=P(ξn=i), μ(n)=(μi(n): i∈ S),即 所谓绝对概率,则:
马氏链的不变分布
记之为pi,j(n,n+k) 矩阵P(n,n+k)=( pi,j(n,n+k) )称为从n出 发的k步转移概率矩阵
高阶马氏过程
若一个随机过程满足:
零(1)阶马氏过程
马氏链模型专业知识讲座
• 显然，P 旳每一元素均为非负，且其行 和为1。（ 称P矩阵为随机矩阵 ）
• 这里，一旦有了P，那么给定初始状态 概率a(0)，就可计算任意时间n旳状态概 率。
a(n 1) a(n) p
有关定义和有关定理
• Def1.一种有k个状态旳马氏链假如存在正 整数N，使从任意状态i经N次转移都以不 小于零旳概率到达状态j（i,j=1,2,…,k）,则 称为正则链。
p11=0.8, p12=0.18, p13=0.02
0.65
1
2
p21=0.65, p22=0.25, p23=0.1
0.02 3 0.1
p31=0, p32=0, p33=1
1
a1(n 1) a1(n) p11 a2 (n) p21 a3 (n) p31 a2 (n 1) a1(n) p12 a2 (n) p22 a3 (n) p32 a3 (n 1) a1(n) p13 a2 (n) p23 a3 (n) p33
钢琴销售量很小，商店旳库存量不大以免积压资金
一家商店根据经验估计，平均每七天旳钢琴需求为1 架 存贮策略：每七天末检验库存量，仅当库存量为零 时，才订购3架供下周销售；不然，不订购。
•
Def3.假如记 pn 旳元素为
p(n ij
)
，
k
p(n) ij
j
0, 且
j 1,则称 j 1，2，
• 为极限分布。j1
, k
TH2.正则链存在唯一极限分布 1, , k 使a(n) ,
且与初始状态概率a(0)无关，还是平稳分布。记
Tij inf n:X (0) i, X (n) j, n 1
若某人投保时健康, 问23年后他仍处于健康状态旳概率
正则马氏链模型
正则马氏链模型正则马氏链模型是一种常用的概率模型，它是一种离散时间、离散状态的随机过程。
该模型的基本假设是：在任意时刻，系统处于某一特定状态的概率只与其前一时刻所处的状态有关。
正则马氏链模型可以用来描述许多实际问题，比如天气预报、股票价格变化、人口迁移等。
一、基本概念1. 马氏性质马氏性质是指一个随机过程中，在任意时刻，系统处于某一特定状态的概率只与其前一时刻所处的状态有关。
这种性质也称为无后效性。
2. 状态转移矩阵状态转移矩阵是一个n×n 的矩阵，其中第 i 行第 j 列表示从状态 i 转移到状态 j 的概率。
对于正则马氏链模型而言，每个状态可以转移到任何其他状态，因此矩阵中所有元素都大于等于 0，并且每行元素之和为 1。
3. 平稳分布平稳分布是指当一个随机过程在长期运行后，其概率分布不再发生变化，并且该分布与起始分布无关。
对于正则马氏链模型而言，其平稳分布存在且唯一。
二、模型定义正则马氏链模型可以用一个四元组来表示，即(S, P, π, T)。
其中：1. S 表示状态集合，每个状态都有一个唯一的标识符。
2. P 表示状态转移矩阵，P(i,j) 表示从状态 i 转移到状态 j 的概率。
3. π 表示初始分布，π(i) 表示初始时系统处于状态 i 的概率。
4. T 表示时间步数，表示模型运行的时间长度。
三、模型计算1. 状态转移概率计算对于正则马氏链模型而言，任意时刻系统处于某一特定状态的概率只与其前一时刻所处的状态有关。
因此，在已知 t 时刻系统处于某一特定状态 i 的条件下，t+1 时刻系统处于某一特定状态 j 的概率可以用如下公式计算：P(i,j,t+1) = Σ P(i,k,t) × P(k,j)其中 k 是所有可能的中间状态。
2. 平稳分布计算平稳分布是指当一个随机过程在长期运行后，其概率分布不再发生变化，并且该分布与起始分布无关。
对于正则马氏链模型而言，其平稳分布可以通过不断迭代计算得到。
马氏链及其应用
1 t 1 1 t p11 2 t p21 n t pn1 2 t 1 1 t p12 2 t p22 n t pn 2 ⑼ . t 1 t p t p t p 1 1n 2 2n n nn n
三种状态的转移概率
平行于⑴式，有
n1 1 n 1 p11 n 2 p21 n 3 p31 ,
n1 2 n 1 p12 n 2 p22 n 3 p32 , ⑷
n1 3 n 1 p31 n 2 p32 n 3 p33 ,
马尔科夫连原理及其建模实例
马氏链及其应用
1.一个简单的例子 我们知道，人寿保险公司最为关心的是投保人的健康
与疾病以及相应的风险。通过下面的例子我们来看保险 公司是如何处理这类问题的。
问题的提出 设t
1,2,3,
表示年龄的时段，假定在一年中，今
年健康而明年患病的概率是0.2, 而今年患病明年转为健
0时系统的状态概率向量，又称为
例
在前两例中，初始向量与概率转移矩阵分别为
0 0.8,0.2 ,
0.8 0.2 P , 0.7 0.3
0.8 0.18 0.02 0 0.75,0.25,0 , P 0.65 0.25 0.1 . 0 0 1
n 1 1 0.8 0.78 0.778 0.7778 n 2 0 0.2 0.22 0.222 0.2222
若投保人在开始时处于疾病状态，即0 1 0, 0 2 1. 则有
n
0
1
2
3
4
数学建模第11章 马氏链模型
1
0.7
2
aa12((nn
1) 1)
a1 (n) a1 (n)
p11 p12
a2 (n) p21 a2 (n) p22
给定a(0), 预测 a(n), n=1,2…
n0
设投保 时健康
a1(n)
1
a2(n) 0
1
2
3 …∞
0.8 0.78 0.778 … 7/9
0.2 0.22 0.222 … 2/9
设投保 a1(n) 0 时疾病 a2(n) 1
0.7 0.77 0.777 … 7/9 0.3 0.33 0.333 … 2/9
n时状态概率趋于稳定值，稳定值与初始状态无关
健康与疾病
例2. 健康和疾病状态同上，Xn=1~ 健康, Xn=2~ 疾病
死亡为第3种状态，记Xn=3 0.8
0.18
0.25
（非负，行和为 1）
马氏链的两个重要类型 a(n 1) a(n)P
1. 正则链 ~ 从任一状态出发经有限次转移 能以正概率到达另外任一状态（如例1）。
正则链 N, PN 0
正则链 w, a(n) w(n ) w ~ 稳态概率
w满足 wP w
例1.
P
0.8 0.7
0.2 0.3
k
w满足 wi 1 i 1
（1 父为dd）)
p
p12 P( X n1 2(后代为dr) X n （1 父为dd）) q
p13 P( X n1 3(后代为rr) X n （1 父为dd）) 0
p21 P( X n1 1(后代为dd) X n （2 父为dr）) 1/ 2 p p / 2
p22 P( X n1 2(后代为dr) X n （2 父为dr）)
数学建模教程——模型11马氏链模型共43页文档
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全Байду номын сангаас程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
数学建模教程——模型11马 氏链模型
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
数学建模马氏链讲座课件
内容提要
?马氏链与马氏链预测方法 ?马氏链预测方法在各领域中的应用 ?实例分析: 年径流量预测
1.马氏链与马氏链预测方法
1.1 马氏链
马尔可夫过程是随机过程的一个分支，它的最基 本特征是“无后效性” , 也称为“马氏性”. 即在已 知随机过程现在状态的条件下，其将来的状态与过去 的状态无关。换句话讲，就是： 已知“现在”，“将 来”与“过去”无关。
实际应用中，常记（1.1）式的右端
P{X (m ? k) ? im? k | X (m) ? im} ? P{Xm?k ? j | Xm ? i} ? pij{m; k}, i, j ? E
一般考虑齐次马尔可夫链，即对任意的m, k ? T, 有
pij (m; k ) ? pij (k ), i, j ? E.
(1) 与“ADMCP 法”相同; ((32)) 对也“与(“2)A”所DM得C的P 结法果”进相行同统; 计，可得不同滞时(步长)的 马尔可夫链的转移概率矩阵，它决定了指标值状态转移过程 的概率法则； (4) “马氏性” 检验（应用工作者使用该方法时，一般也 不做这一步，本文加上这一步同样意在完善“ SPMCP 法”）；
其中
p ij
(m;
k
)
表示“系统时刻m时处在状态i，经k步状态转 移
到达状态j
的概率”，pij
(
k
)
表示“系统从状态i，经k 移
步状态转
到达状态j的概率”， pij . 由pij(k)组成的矩阵, 称为马尔可夫链的k步转移
概率矩阵,记为Pk.
另一种传统的马尔可夫链预测方法——叠加马尔可夫链预 测方法，尽管运用了各阶（各种步长）马尔可夫链的绝对分 布叠加来预测状态，但没有考虑各阶（各种步长）马尔可夫 链的绝对概率在叠加中所起的作用，即认为各阶（各种步长） 马尔可夫链的绝对概率所起的作用是相同的，这显然不科学。 事实上，一个满足马氏性的相依时间序列，其各阶自相关性 是不一样的。
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首先将不同类型的转移数 nij 统计出来分类记入下表
i → j 转移数 nij
1 1 2 3 4 4 3 4 0 2 4 2 4 1 3 1 4 2 4 4 1 2 1 2 行和 ni 10 11 11 7
各类转移总和
∑∑ n
i j
ij
等于观测数据中马氏链处于各种状态次数总和减 1， 而行和 ni 是
Matlab 计算程序如下： format rat clc a=[4 3 2 1 4 3 1 1 2 3 ... 2 1 2 3 4 4 3 3 1 1 ... 1 3 3 2 1 2 2 2 4 4 ... 2 3 2 3 1 1 2 4 3 1]; for i=1:4 for j=1:4 f(i,j)=length(findstr([i j],a)); end end f ni=(sum(f'))' for i=1:4 p(i,:)=f(i,:)/ni(i); end p 例6 （带有反射壁的随机徘徊） 如果在原点右边距离原点一个单位及距原点 s ( s > 1) 个单位处各立一个弹性壁。一个质点在数轴右半部从距原点两个单位处开始随机徘徊。 若在+1 处， 则 每次分别以概率 p (0 < p < 1) 和 q( q = 1 − p ) 向右和向左移动一个单位； 以概率 p 反射到 2，以概率 q 停在原处；在 s 处，则以概率 q 反射到 s − 1 ，以概率 p 停 态空间 E = {1,2,L, s} ，写出转移矩阵 P 。 解 在原处。设 ξ n 表示徘徊 n 步后的质点位置。 {ξ n , n = 1,2,L} 是一个马尔可夫链，其状
8 4 = 8 + 18 13 18 9 = P{ X n +1 = 1 | X n = 0} ≈ = 8 + 18 13 18 9 = P{ X n +1 = 0 | X n = 1} ≈ = 18 + 52 35 52 26 = P{ X n +1 = 1 | X n = 1} ≈ = 18 + 52 35 设一随机系统状态空间 E = {1,2,3,4} ，记录观测系统所处状态如下：
链，状态空间 E = {0,1} ，编写如下 Matlab 程序： a1='1110010011111110011110111111001111111110001101101'; a2='111011011010111101110111101111110011011111100111'; a=[a1 a2]; f00=length(findstr('00',a)) f01=length(findstr('01',a)) f10=length(findstr('10',a)) f11=length(findstr('11',a)) 或者把上述数据序列保存到纯文本文件data1.txt中，存放在Matlab下的work 子目录中，编写程序如下： clc,clear
-209-
系统从状态 i 转移到其它状态的次数， nij 是由状态 i 到状态 j 的转移次数，则 pij 的估 计值 pij =
nij ni
。计算得
⎡ 2 / 5 2 / 5 1 / 10 1 / 10 ⎤ ⎢ ⎥ ˆ = ⎢ 3 / 11 2 / 11 4 / 11 2 / 11⎥ P ⎢4 / 11 4 / 11 2 / 11 1 / 11⎥ ⎢ ⎥ 1/ 7 4 / 7 2 / 7 ⎦ ⎣ 0
第十七章
§1
马氏链模型
随机过程的概念 一个随机试验的结果有多种可能性，在数学上用一个随机变量（或随机向量）来描 述。在许多情况下，人们不仅需要对随机现象进行一次观测，而且要进行多次，甚至接 连不断地观测它的变化过程。这就要研究无限多个，即一族随机变量。随机过程理论就 是研究随机现象变化过程的概率规律性的。 定义 1 设 {ξ t , t ∈ T } 是一族随机变量， T 是一个实数集合， 若对任意实数 t ∈ T , ξ t 是一个随机变量，则称 {ξ t , t ∈ T } 为随机过程。
p00 = P{ X n +1 = 0 | X n = 0} ≈
p01 p10 p11
例5 4 3 2 1 4 3 1 1 2 3 2 1 2 3 4 4 3 3 1 1 1 3 3 2 1 2 2 2 4 4 2 3 2 3 1 1 2 4 3 1 若该系统可用马氏模型描述，估计转移概率 pij 。 解
T 称为参数集合，参数 t 可以看作时间。ξ t 的每一个可能取值称为随机过程的一个 状态。其全体可能取值所构成的集合称为状态空间，记作 E 。当参数集合 T 为非负整
数集时，随机过程又称随机序列。本章要介绍的马尔可夫链就是一类特殊的随机序列。 例 1 在一条自动生产线上检验产品质量，每次取一个， “废品”记为 1， “合格品” 记为 0。以 ξ n 表示第 n 次检验结果，则 ξ n 是一个随机变量。不断检验，得到一列随机 变量 ξ1 , ξ 2 ,L ，记为 {ξ n , n = 1,2,L} 。它是一个随机序列，其状态空间 E = {0,1} 。 例 2 在 m 个商店联营出租照相机的业务中 （顾客从其中一个商店租出， 可以到 m 个商店中的任意一个归还） ，规定一天为一个时间单位， “ ξ t = j ”表示“第 t 天开始营 态空间 E = {1,2,L, m} 。 例 3 统计某种商品在 t 时刻的库存量，对于不同的 t ，得到一族随机变量， {ξ t , t ∈ [0,+∞)} 是一个随机过程，状态空间 E = [0, R ] ，其中 R 为最大库存量。 我们用一族分布函数来描述随机过程的统计规律。一般地，一个随机过程 {ξ t , t ∈ T } ，对于任意正整数 n 及 T 中任意 n 个元素 t1 ,L, t n 相应的随机变量 ξ t1 ,L,ξ tn 的联合分布函数记为 ， j = 1,2,L, m 。则 {ξ n , n = 1,2,L} 是一个随机序列，其状 业时照相机在第 j 个商店”
{Ft1 Ltn ( x1 ,L, x n ), ti ∈ T , i = 1,L, n; n = 1,2,L}
-207-
P{ξ n + m = j | ξ n = i, ξ n −1 = in −1 ,L,ξ1 = i1 } = P{ξ n + m = j | ξ n = i} （2） ， （2）式称为马氏性。 则称 {ξ n , n = 1,2,L} 为一个马尔可夫链（简称马氏链） 事实上，可以证明若等式（2）对于 m = 1 成立，则它对于任意的正整数 m 也成立。 因此，只要当 m = 1 时（2）式成立，就可以称随机序列 {ξ n , n = 1,2,L} 具有马氏性， 即 {ξ n , n = 1,2,L} 是一个马尔可夫链。 定义 3 设 {ξ n , n = 1,2,L} 是一个马氏链。如果等式（2）右边的条件概率与 n 无
Ft1 Ltn ( x1 ,L, x n ) = P{ξ t1 ≤ x1 ,L,ξ tn ≤ x n }
由于 n 及 ti (i = 1,L, n ) 的任意性， （1）式给出了一族分布函数。记为
（1）
称它为随机过程 {ξ t , t ∈ T } 的有穷维分布函数族。它完整地描述了这一随机过程的统计 规律性。 马尔可夫链 2.1 马尔可夫链的定义 现实世界中有很多这样的现象： 某一系统在已知现在情况的条件下， 系统未来时刻 的情况只与现在有关， 而与过去的历史无直接关系。 比如， 研究一个商店的累计销售额， 如果现在时刻的累计销售额已知， 则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一 时刻累计销售额无关。 上节中的几个例子也均属此类。 描述这类随机现象的数学模型称 为马氏模型。 定义 2 设 {ξ n , n = 1,2,L} 是一个随机序列， 状态空间 E 为有限或可列集， 对于任 意的正整数 m, n ，若 i, j, ik ∈ E ( k = 1,L, n − 1) ，有 §2
夫链的一步转移矩阵，或简称转移矩阵。它们具有下列三个基本性质： （i）对一切 i , j ∈ E ， 0 ≤ pij ( m ) ≤ 1 ；j
(m) = 1 ； ⎧1, 当i = j时 。 ⎩0， 当i ≠ j时
（iii）对一切 i , j ∈ E ， pij (0) = δ ij = ⎨
-208-
当实际问题可以用马尔可夫链来描述时， 首先要确定它的状态空间及参数集合， 然 后确定它的一步转移概率。关于这一概率的确定，可以由问题的内在规律得到，也可以 由过去经验给出，还可以根据观测数据来估计。 例 4 某计算机机房的一台计算机经常出故障，研究者每隔 15 分钟观察一次计算 机的运行状态，收集了 24 小时的数据（共作 97 次观察） 。用 1 表示正常状态，用 0 表 示不正常状态，所得的数据序列如下： 1110010011111110011110111111001111111110001101101 111011011010111101110111101111110011011111100111 解 设 X n ( n = 1,L,97) 为第 n 个时段的计算机状态，可以认为它是一个时齐马氏
⎧1, 当i = 2时 P{ξ 0 = i} = ⎨ ⎩0， 当i ≠ 2时 ⎧q, 当j = 1时 ⎪ p1 j = ⎨ p, 当j = 2时 ⎪0, 其它 ⎩
⎧ p, 当j = s时 ⎪ p sj = ⎨q, 当j = s − 1时 ⎪0, 其它 ⎩
-210-
⎧ p, 当j − i = 1时 ⎪ pij = ⎨q, 当j − i = −1时(i = 2,3, L , s − 1) ⎪0, 其它 ⎩ 因此， P 为一个 s 阶方阵，即 ⎡q p 0 L 0 0⎤ ⎢q 0 p L 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 q 0 L 0 0⎥ P=⎢ ⎥。 L L L L L L ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 q 0 p⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 0 0 0 q p⎦ 定理 1 （柯尔莫哥洛夫—开普曼定理）设 {ξ n , n = 1,2,L} 是一个马尔可夫链，其 状态空间 E = {1,2,L} ，则对任意正整数 m, n 有