M-G-1马氏链模型的讨论_935705333
基于GM(1,1)-Markov链组合模型的河南省粮食产量预测
基于GM(1,1)-Markov链组合模型的河南省粮食产量预测张晓果;蔡玉杰;李亚杰
【期刊名称】《赤峰学院学报:自然科学版》
【年(卷),期】2022(38)10
【摘要】针对粮食产量预测中随机性和波动性特点,建立适用性较强的GM(1,1)-Markov链组合模型。
选取2006-2019年河南省粮食产量为原始数据序列,建立GM(1,1)-Markov链预测模型,对河南省2020-2022年的粮食产量进行预测。
从平均相对误差、后验差比和小误差概率三个方面对模型进行检验,模型精度标准均为一级。
GM(1,1)-Markov链模型的平均相对误差和平均绝对误差相对于GM(1,1)模型分别减小了25.32%和21.81%,表明该模型对河南省粮食产量预测有较高的实用性。
【总页数】5页(P103-107)
【作者】张晓果;蔡玉杰;李亚杰
【作者单位】河南城建学院数理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O212
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马氏链模型在基因遗传中的应用
马氏链模型在基因遗传中的应用摘要：马尔可夫模型是研究离散时间、离散状态随机转移过程的有力工具。
本文利用状态转移的无后效性，通过定义状态和状态概率构造转移概率矩阵建立马氏模型，并讨论此模型在基因遗传中的应用。
关键词：马尔可夫模型；概率矩阵；基因遗传1 引言随着科技的进步，人们为了提高产量，越来越注重遗传学的研究。
豆子的茎秆有黄有绿，猪的毛有白有黑，人类会出现色盲等先天性疾病，这些都是基因遗传的结果。
无论是人，还是动植物的基因从一代到下一代的转移都是随机的，并且无后效性，于是马氏链成为遗传学的工具。
本文将利用马氏链建立一个属于完全优势基因遗传的模型，并讨论该模型在基因遗传中的应用。
2 模型的建立在自然界中，生物个体的遗传特征是由两个基因决定的，用A表示优势基因，用a表示劣势基因。
于是个体就有三种基因类型，即是两个优势基因AA，称为优种，优势基因与劣势基因各一个Aa，称为混种，两个劣势基因aa，称为劣种。
若个体的基因类型为优种或混种时，外部特征为优势，如豆子的茎秆是绿色，个体的基因类型为劣种时，外部特征是劣势，如豆子的茎秆是黄色。
生物繁殖时，一个后代从父本和母本中各继承一个基因，即后代属于哪一种基因类型完全由父母的基因类型决定，与再上一代的基因类型无关，满足马氏链模型中的无后效性。
下面利用马尔可夫模型来比较一下混种繁殖和优种繁殖两种繁殖形式，哪种更好?在繁殖的过程中用一混种与一个个体交配，所得后代仍用混种交配，如此继续下去，称为混种繁殖。
建立马氏链模型描述在混种繁殖下各代具有三种基因类型的概率，并讨论稳态情况。
用基因类型优种AA（第一种），混种Aa（第二种）和劣种aa（第三种）定义状态，状态概率表示第代个体具有第种基因类型的概率，记作。
当用混种Aa与优种AA交配时，后代的基因类型只能是AA和Aa，其概率各为½，当用混种Aa与Aa交配时，后代的基因类型可以是AA，Aa和aa，其概率分别为¼，½，¼，当用混种Aa与劣种aa交配时，后代的基因类型只能是Aa 和aa，其概率各为½，由此可以写出转移概率矩阵为设初始混种与优种交配，即，由（，为转移概率矩阵）式计算任意时段的状态概率，计算结果如下表，混种繁殖下三种基因类型的状态概率（初始与优种交配）由此表可以看出，当时，表明经过足够多代繁殖以后，优种、混种、劣种的比例接近于下面我们通过计算验证这个猜想。
马氏链问题
例4.6 设某商店经营情况可能有三种状态： 好（S1：利润丰厚）、一般（S2）和不好 （S3：亏损）。根据统计资料，上月状态为 Si，下月状态为Sj的概率为pij（i=1,2,3; j=1,2,3），0≤pij≤1
例4.6中的关系既可用一转移矩阵表示
p11 A p21 p31
x ( n ) bn cn
当n=0时
表示植物基因型的 初始分布（即培育 开始时的分布）
x ( 0 ) b0 c0
显然有 a0 b0 c0 1 （ii）第n代的分布与 第n－1代的分布之间的关系是通过表 5.2确定的。 （b）建模 根据假设(ii)，先考虑第n代中的AA型。由于第n－1代的AA 型与AA型结合。后代全部是AA型；第n－1代的Aa型与AA 型结合，后代是AA型的可能性为 1/2，而 第n－1代的aa型与 AA型结合，后代不可能 是AA型。因此当n=1,2…时
（a）假设 父母的基因型 （i）常染色体遗传的正常基因记 为A，不 正常基因记 为a，并以 AA，Aa，aa 分别表示正常人，隐性患者，显性患 AA－AA AA－Aa 者的基因型 现在，我们考虑在控 （ii）设an,bn分别表示第n代中基因型为 制结合的情况下，如 AA 1 1/2 AA，Aa的人占总人数的百分比， 后 何确定后代中隐性患 记 x ( n ) an ，n=1,2,…（这里 者的概率。 代 b 不考 虑aa型是因 n 基 为这些人不可能成年并结婚） Aa 0 1/2 因 （iii）为使每个儿童至少有一个正常的父 型 亲或母亲，因此隐性患者必须与正常 人结合，其后代的基因型概率由 下表 给出：
相应的转移矩阵 为：
0.4 0.4 0 0.2 0.1 0.3 0.6 0 M 0.7 0 0.2 0.1 0 0 1 0
马氏链模型
完全 优势 基因 遗传
完全优势基因遗传
3种基因类型：dd~优种D, dr~混种H, rr~劣种R 父母基因类型决定后代各种基因类型的概率
父母基因类型组合 后代各种 基因类型 的概率 R 0 1 0 0 1/4 1/2 D H DD 1 0 RR 0 0 DH 1/2 1/2 DR 0 1 HH 1/4 1/2 HR 0 1/2
该稳定值与初始状态无关。
a1 ( n + 1) p11 a ( n + 1) = p 1 2 12 p21 a1 ( n) p11 a ( n) = p p22 2 12
p21 a1 (0) p22 a2 (0)
n
马氏链模型理论
马氏链的基本方程
随机繁殖
假设
讨论基因类型的演变情况
设群体中雄性、雌性的比例相等，基因类 型的分布相同（记作D:H:R） 每一雄性个体以D:H:R的概率与一雌性个体交配， 其后代随机地继承它们的各一个基因 设初始一代基因类型比例D:H:R =a:2b:c （a+2b+c=1), 记p=a+b, q=b+c, 则群体中优势基因和 劣势基因比例 d:r=p:q (p+q=1)。
父母基因类型组合 后代各种 基因类型 的概率 R 0 1 0 0 1/4 1/2 D H DD 1 0 RR 0 0 DH 1/2 1/2 DR 0 1 HH 1/4 1/2 HR 0 1/2
当父母均为DD时,子女为DD的概率为1,其他为零 当父母均为RR时,子女为RR的概率为1,其他为零
父母基因类型组合 后代各种 基因类型 的概率 R D H
5 2 2 5 y = Me = ( 4 , 6 , 5 , 4 ) 6 3 3 6
马尔可夫链模型课件
若以X(t)记在t时刻系统中的顾客数，{X(t),t≥0}则不 具马尔可夫性。因为，若我们知道在t时刻系统中的顾客 数，那么为了预测将来的状态，我们不用关心从最近的一 位顾客来到后已过去了多长时间（因为来到过程是无记忆 的），但和服务中的顾客服务了多长时间有关（因为服务 时间分布不具无记忆性）。
销，2代表滞销。以X n 表示第n个季度的味精销售状态，
则 X n 可取1或2的值。若未来的味精市场状态只与现在的 市场状态有关，与以前的市场状态无关，则味精的市场销
售状态 {X n , n 1} 构成一个马尔可夫链。
设
P( X n1 j X n i) pij
p11 0.5 p12 0.5
马氏链模型
描述一类重要的随机动态系统（过程）的模型
• 系统在每个时期所处的状态是随机的 • 从一时期到下时期的状态按一定概率转移 • 下时期状态只取决于本时期状态和转移概率
已知现在，将来与过去无关（无后效性）
马氏链 (Markov Chain) ——时间、状态均为离散的随机转移过程
例如：在某数字通信系统中传递0，1两种信
解：一步转移概率为：
Pi,i1 Pi,i1
p q
1
p
Pi,
j
0
(j i-1,i+1)
........................
...q
0
p
0
0...
P ...0 q 0 p 0...
...0
0
q
0
p...
........................
马氏链理论与随机过程的连接
马氏链理论与随机过程的连接马氏链理论是概率论中非常重要的一个分支，它主要研究随机过程中状态与状态之间的转移概率以及状态的演变规律。
随机过程则是一种在时间或空间上随机变化的数学模型。
马氏链理论与随机过程之间有着密切的联系，下面将详细探讨二者之间的关系。
1. 马氏链理论的基本概念马氏链是一个具有马氏性质的随机过程，其特点是在给定当前状态下，其未来状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
这一性质称为马氏性。
马氏链理论主要研究马氏链的性质及其在不同领域中的应用。
2. 马氏链的应用领域马氏链理论在众多领域中都有着广泛的应用，如金融工程、生态学、信号处理等。
以金融工程为例，股票市场的涨跌可以看做是一个随机过程，而马氏链理论可以用来描述市场的波动规律，从而帮助投资者做出正确的决策。
3. 马氏链与随机过程的联系马氏链可以被看作是一个离散时间的马氏过程，而随机过程则是一个更加广泛的概念，包括了连续时间的随机变量。
马氏链理论是随机过程理论的一个重要组成部分，通过研究马氏链的性质，可以更好地理解随机过程的基本规律。
4. 马氏链与随机过程的统一性马氏链理论和随机过程理论虽然有着一定的差异，但二者又有着紧密的联系和统一性。
马氏链可以被看作是随机过程的一个特例，是随机过程理论中的一个重要分支。
通过对马氏链的研究，可以更好地理解随机过程的特性和规律。
总之，马氏链理论与随机过程有着密切的联系与相互作用，通过研究二者之间的关系，可以更好地理解和应用概率论在实际问题中的解决方法。
希望本文能够帮助读者更好地理解马氏链理论与随机过程的连接。
马氏链模型简介与案列分析
9
健康与疾病模型
状态概率a(n)如下表
n a1(n)
0 0
1 0.7 0.3
2 0.77 0.23
3 0.777 0.223
… … …
∞ 7/9a2ຫໍສະໝຸດ n)12/910
健康与疾病模型
综上，状态概率a(n)如下表
设投保时
n
a1(n) a2(n) a1(n) a2(n)
0
1 0 0 1
…… …… …… ……
7
健康与疾病模型
状态概率a(n)如下表
n a1(n) a2(n)
0 1 0
1 0.8 0.2
2
0.78 0.22
3
0.778 0.222
…
… …
∞ 7/9 2/9
8
健康与疾病模型
② 设投保时疾病，即a1(0)=0，a2(0)=1由马氏链的基本方程
a1 (1) a1 (0) p11 a2 (0) p21 0 0.8 1 0.7 0.7 a2 (1) a1 (0) p12 a2 (0) p22 0 0.2 1 0.3 0.3 a1 (2) a1 (1) p11 a2 (1) p21 0.7 0.8 0.3 0.7 0.77 a2 (2) a1 (1) p12 a2 (1) p22 0.7 0.2 0.3 0.3 0.23
Xn+1只取决于 Xn 和 pij, 与 Xn-1, …无关 状态转移具有无后效性
14
状态概率 ai (n) P( X n i ), i 1,2; n 0,1,
转移概率 pij P( X n1 j X n i ), i , j 1,2; n 0,1,
马氏链模型专业知识讲座
• 显然，P 旳每一元素均为非负，且其行 和为1。（ 称P矩阵为随机矩阵 ）
• 这里，一旦有了P，那么给定初始状态 概率a(0)，就可计算任意时间n旳状态概 率。
a(n 1) a(n) p
有关定义和有关定理
• Def1.一种有k个状态旳马氏链假如存在正 整数N，使从任意状态i经N次转移都以不 小于零旳概率到达状态j（i,j=1,2,…,k）,则 称为正则链。
p11=0.8, p12=0.18, p13=0.02
0.65
1
2
p21=0.65, p22=0.25, p23=0.1
0.02 3 0.1
p31=0, p32=0, p33=1
1
a1(n 1) a1(n) p11 a2 (n) p21 a3 (n) p31 a2 (n 1) a1(n) p12 a2 (n) p22 a3 (n) p32 a3 (n 1) a1(n) p13 a2 (n) p23 a3 (n) p33
钢琴销售量很小，商店旳库存量不大以免积压资金
一家商店根据经验估计，平均每七天旳钢琴需求为1 架 存贮策略：每七天末检验库存量，仅当库存量为零 时，才订购3架供下周销售；不然，不订购。
•
Def3.假如记 pn 旳元素为
p(n ij
)
，
k
p(n) ij
j
0, 且
j 1,则称 j 1，2，
• 为极限分布。j1
, k
TH2.正则链存在唯一极限分布 1, , k 使a(n) ,
且与初始状态概率a(0)无关，还是平稳分布。记
Tij inf n:X (0) i, X (n) j, n 1
若某人投保时健康, 问23年后他仍处于健康状态旳概率
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讲义中例题对M/G/1马尔可夫链模型的讨论:
令X n 为第n 个顾客到达系统时系统中的顾客数，这一时刻记为T n . 设在(T n , T n +1]内离开服务台的顾客数为Y n ，则X n +1=X n +1-Y n . 显然 0≤Y n ≤X n .
先证{X n }为马氏链.
表述方法一：事实上，P {X n +1=i +1-j | X n =i , X n -1=i n -1,…,X 0=i 0} = {Y n =j | X n =i , X n -1=i n -1,…, X 0=i 0} = P {Y n =j }。
这是因为Y n 与{X n , X n -1,…, X 0}独立，且P {X n +1=i +1-j | X n =i }=P {Y n =j }。
故{X n }是一个马氏链。
再求P {X n +1=i +1-j | X n =i }=P {Y n =j }.
1）若01j i ≤≤−，则系统不会出现空闲。
故
110
{}{()()|}()
()(())()().!
n n n n n j t
P Y j N T N T j T T t dG t t N t j g t dt e dG t j μμ∞
++∞∞
−==−=−====∫∫∫
2) 若j i =，此时系统可能出现空闲，故
1100
{}{()()|}()()(())()().!n n n n n k t
k i
P Y j N T N T j T T t dG t t N t j dG t e dG t k μμ∞
++∞∞
∞−===
−≥−==
≥=∫∑∫
∫
表述方法二：在上述求一步转移概率的过程中，若记将一步转移概率记成1()n n P X j X i +==，则
从1()(1)n n n P X j X i P Y i j +====+−，利用0,n n Y X ≤≤则有
1 1.i j +≥≥
（1） 当1j >时，即2,j ≥ 此时系统不会出现空闲，其一步转移概率为：
(1)10
()()(1)()(1)!
i j t
n n n t P X j X i P Y i j e dG t i j μμ+−∞−+====+−=
+−∫
；
（2） 当1j =时，此时系统可能出现空闲，其一步转移概率为：
()10
1()()(1)().!k t
n n n k i j
t P X j X i P Y i j e dG t k μμ∞
∞−+=+−====+−=∑∫。