M-G-1马氏链模型的讨论_935705333
基于GM(1,1)-Markov链组合模型的河南省粮食产量预测
基于GM(1,1)-Markov链组合模型的河南省粮食产量预测张晓果;蔡玉杰;李亚杰
【期刊名称】《赤峰学院学报:自然科学版》
【年(卷),期】2022(38)10
【摘要】针对粮食产量预测中随机性和波动性特点,建立适用性较强的GM(1,1)-Markov链组合模型。
选取2006-2019年河南省粮食产量为原始数据序列,建立GM(1,1)-Markov链预测模型,对河南省2020-2022年的粮食产量进行预测。
从平均相对误差、后验差比和小误差概率三个方面对模型进行检验,模型精度标准均为一级。
GM(1,1)-Markov链模型的平均相对误差和平均绝对误差相对于GM(1,1)模型分别减小了25.32%和21.81%,表明该模型对河南省粮食产量预测有较高的实用性。
【总页数】5页(P103-107)
【作者】张晓果;蔡玉杰;李亚杰
【作者单位】河南城建学院数理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O212
【相关文献】
1.基于等维新息GM(1,1)模型的河南省粮食产量预测
2.基于GM(1,1)-Markov链模型的汽车企业订单预测
3.基于小波变换的GM(1,1)-ARIMA组合模型对粮食产
量的预测4.基于新陈代谢GM(1,1)-Markov链模型的有效灌溉面积预测5.基于Markov链优化灰色GM(1,1)模型预测城市居民用电量
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马氏链模型在基因遗传中的应用
马氏链模型在基因遗传中的应用摘要：马尔可夫模型是研究离散时间、离散状态随机转移过程的有力工具。
本文利用状态转移的无后效性，通过定义状态和状态概率构造转移概率矩阵建立马氏模型，并讨论此模型在基因遗传中的应用。
关键词：马尔可夫模型；概率矩阵；基因遗传1 引言随着科技的进步，人们为了提高产量，越来越注重遗传学的研究。
豆子的茎秆有黄有绿，猪的毛有白有黑，人类会出现色盲等先天性疾病，这些都是基因遗传的结果。
无论是人，还是动植物的基因从一代到下一代的转移都是随机的，并且无后效性，于是马氏链成为遗传学的工具。
本文将利用马氏链建立一个属于完全优势基因遗传的模型，并讨论该模型在基因遗传中的应用。
2 模型的建立在自然界中，生物个体的遗传特征是由两个基因决定的，用A表示优势基因，用a表示劣势基因。
于是个体就有三种基因类型，即是两个优势基因AA，称为优种，优势基因与劣势基因各一个Aa，称为混种，两个劣势基因aa，称为劣种。
若个体的基因类型为优种或混种时，外部特征为优势，如豆子的茎秆是绿色，个体的基因类型为劣种时，外部特征是劣势，如豆子的茎秆是黄色。
生物繁殖时，一个后代从父本和母本中各继承一个基因，即后代属于哪一种基因类型完全由父母的基因类型决定，与再上一代的基因类型无关，满足马氏链模型中的无后效性。
下面利用马尔可夫模型来比较一下混种繁殖和优种繁殖两种繁殖形式，哪种更好?在繁殖的过程中用一混种与一个个体交配，所得后代仍用混种交配，如此继续下去，称为混种繁殖。
建立马氏链模型描述在混种繁殖下各代具有三种基因类型的概率，并讨论稳态情况。
用基因类型优种AA（第一种），混种Aa（第二种）和劣种aa（第三种）定义状态，状态概率表示第代个体具有第种基因类型的概率，记作。
当用混种Aa与优种AA交配时，后代的基因类型只能是AA和Aa，其概率各为½，当用混种Aa与Aa交配时，后代的基因类型可以是AA，Aa和aa，其概率分别为¼，½，¼，当用混种Aa与劣种aa交配时，后代的基因类型只能是Aa 和aa，其概率各为½，由此可以写出转移概率矩阵为设初始混种与优种交配，即，由（，为转移概率矩阵）式计算任意时段的状态概率，计算结果如下表，混种繁殖下三种基因类型的状态概率（初始与优种交配）由此表可以看出，当时，表明经过足够多代繁殖以后，优种、混种、劣种的比例接近于下面我们通过计算验证这个猜想。
马氏链问题
例4.6 设某商店经营情况可能有三种状态： 好（S1：利润丰厚）、一般（S2）和不好 （S3：亏损）。根据统计资料，上月状态为 Si，下月状态为Sj的概率为pij（i=1,2,3; j=1,2,3），0≤pij≤1
例4.6中的关系既可用一转移矩阵表示
p11 A p21 p31
x ( n ) bn cn
当n=0时
表示植物基因型的 初始分布（即培育 开始时的分布）
x ( 0 ) b0 c0
显然有 a0 b0 c0 1 （ii）第n代的分布与 第n－1代的分布之间的关系是通过表 5.2确定的。 （b）建模 根据假设(ii)，先考虑第n代中的AA型。由于第n－1代的AA 型与AA型结合。后代全部是AA型；第n－1代的Aa型与AA 型结合，后代是AA型的可能性为 1/2，而 第n－1代的aa型与 AA型结合，后代不可能 是AA型。因此当n=1,2…时
（a）假设 父母的基因型 （i）常染色体遗传的正常基因记 为A，不 正常基因记 为a，并以 AA，Aa，aa 分别表示正常人，隐性患者，显性患 AA－AA AA－Aa 者的基因型 现在，我们考虑在控 （ii）设an,bn分别表示第n代中基因型为 制结合的情况下，如 AA 1 1/2 AA，Aa的人占总人数的百分比， 后 何确定后代中隐性患 记 x ( n ) an ，n=1,2,…（这里 者的概率。 代 b 不考 虑aa型是因 n 基 为这些人不可能成年并结婚） Aa 0 1/2 因 （iii）为使每个儿童至少有一个正常的父 型 亲或母亲，因此隐性患者必须与正常 人结合，其后代的基因型概率由 下表 给出：
相应的转移矩阵 为：
0.4 0.4 0 0.2 0.1 0.3 0.6 0 M 0.7 0 0.2 0.1 0 0 1 0
马氏链模型
完全 优势 基因 遗传
完全优势基因遗传
3种基因类型：dd~优种D, dr~混种H, rr~劣种R 父母基因类型决定后代各种基因类型的概率
父母基因类型组合 后代各种 基因类型 的概率 R 0 1 0 0 1/4 1/2 D H DD 1 0 RR 0 0 DH 1/2 1/2 DR 0 1 HH 1/4 1/2 HR 0 1/2
该稳定值与初始状态无关。
a1 ( n + 1) p11 a ( n + 1) = p 1 2 12 p21 a1 ( n) p11 a ( n) = p p22 2 12
p21 a1 (0) p22 a2 (0)
n
马氏链模型理论
马氏链的基本方程
随机繁殖
假设
讨论基因类型的演变情况
设群体中雄性、雌性的比例相等，基因类 型的分布相同（记作D:H:R） 每一雄性个体以D:H:R的概率与一雌性个体交配， 其后代随机地继承它们的各一个基因 设初始一代基因类型比例D:H:R =a:2b:c （a+2b+c=1), 记p=a+b, q=b+c, 则群体中优势基因和 劣势基因比例 d:r=p:q (p+q=1)。
父母基因类型组合 后代各种 基因类型 的概率 R 0 1 0 0 1/4 1/2 D H DD 1 0 RR 0 0 DH 1/2 1/2 DR 0 1 HH 1/4 1/2 HR 0 1/2
当父母均为DD时,子女为DD的概率为1,其他为零 当父母均为RR时,子女为RR的概率为1,其他为零
父母基因类型组合 后代各种 基因类型 的概率 R D H
5 2 2 5 y = Me = ( 4 , 6 , 5 , 4 ) 6 3 3 6
马尔可夫链模型课件
若以X(t)记在t时刻系统中的顾客数，{X(t),t≥0}则不 具马尔可夫性。因为，若我们知道在t时刻系统中的顾客 数，那么为了预测将来的状态，我们不用关心从最近的一 位顾客来到后已过去了多长时间（因为来到过程是无记忆 的），但和服务中的顾客服务了多长时间有关（因为服务 时间分布不具无记忆性）。
销，2代表滞销。以X n 表示第n个季度的味精销售状态，
则 X n 可取1或2的值。若未来的味精市场状态只与现在的 市场状态有关，与以前的市场状态无关，则味精的市场销
售状态 {X n , n 1} 构成一个马尔可夫链。
设
P( X n1 j X n i) pij
p11 0.5 p12 0.5
马氏链模型
描述一类重要的随机动态系统（过程）的模型
• 系统在每个时期所处的状态是随机的 • 从一时期到下时期的状态按一定概率转移 • 下时期状态只取决于本时期状态和转移概率
已知现在，将来与过去无关（无后效性）
马氏链 (Markov Chain) ——时间、状态均为离散的随机转移过程
例如：在某数字通信系统中传递0，1两种信
解：一步转移概率为：
Pi,i1 Pi,i1
p q
1
p
Pi,
j
0
(j i-1,i+1)
........................
...q
0
p
0
0...
P ...0 q 0 p 0...
...0
0
q
0
p...
........................
马氏链理论与随机过程的连接
马氏链理论与随机过程的连接马氏链理论是概率论中非常重要的一个分支，它主要研究随机过程中状态与状态之间的转移概率以及状态的演变规律。
随机过程则是一种在时间或空间上随机变化的数学模型。
马氏链理论与随机过程之间有着密切的联系，下面将详细探讨二者之间的关系。
1. 马氏链理论的基本概念马氏链是一个具有马氏性质的随机过程，其特点是在给定当前状态下，其未来状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
这一性质称为马氏性。
马氏链理论主要研究马氏链的性质及其在不同领域中的应用。
2. 马氏链的应用领域马氏链理论在众多领域中都有着广泛的应用，如金融工程、生态学、信号处理等。
以金融工程为例，股票市场的涨跌可以看做是一个随机过程，而马氏链理论可以用来描述市场的波动规律，从而帮助投资者做出正确的决策。
3. 马氏链与随机过程的联系马氏链可以被看作是一个离散时间的马氏过程，而随机过程则是一个更加广泛的概念，包括了连续时间的随机变量。
马氏链理论是随机过程理论的一个重要组成部分，通过研究马氏链的性质，可以更好地理解随机过程的基本规律。
4. 马氏链与随机过程的统一性马氏链理论和随机过程理论虽然有着一定的差异，但二者又有着紧密的联系和统一性。
马氏链可以被看作是随机过程的一个特例，是随机过程理论中的一个重要分支。
通过对马氏链的研究，可以更好地理解随机过程的特性和规律。
总之，马氏链理论与随机过程有着密切的联系与相互作用，通过研究二者之间的关系，可以更好地理解和应用概率论在实际问题中的解决方法。
希望本文能够帮助读者更好地理解马氏链理论与随机过程的连接。
马氏链模型简介与案列分析
9
健康与疾病模型
状态概率a(n)如下表
n a1(n)
0 0
1 0.7 0.3
2 0.77 0.23
3 0.777 0.223
… … …
∞ 7/9a2ຫໍສະໝຸດ n)12/910
健康与疾病模型
综上，状态概率a(n)如下表
设投保时
n
a1(n) a2(n) a1(n) a2(n)
0
1 0 0 1
…… …… …… ……
7
健康与疾病模型
状态概率a(n)如下表
n a1(n) a2(n)
0 1 0
1 0.8 0.2
2
0.78 0.22
3
0.778 0.222
…
… …
∞ 7/9 2/9
8
健康与疾病模型
② 设投保时疾病，即a1(0)=0，a2(0)=1由马氏链的基本方程
a1 (1) a1 (0) p11 a2 (0) p21 0 0.8 1 0.7 0.7 a2 (1) a1 (0) p12 a2 (0) p22 0 0.2 1 0.3 0.3 a1 (2) a1 (1) p11 a2 (1) p21 0.7 0.8 0.3 0.7 0.77 a2 (2) a1 (1) p12 a2 (1) p22 0.7 0.2 0.3 0.3 0.23
Xn+1只取决于 Xn 和 pij, 与 Xn-1, …无关 状态转移具有无后效性
14
状态概率 ai (n) P( X n i ), i 1,2; n 0,1,
转移概率 pij P( X n1 j X n i ), i , j 1,2; n 0,1,
马氏链模型专业知识讲座
• 显然，P 旳每一元素均为非负，且其行 和为1。（ 称P矩阵为随机矩阵 ）
• 这里，一旦有了P，那么给定初始状态 概率a(0)，就可计算任意时间n旳状态概 率。
a(n 1) a(n) p
有关定义和有关定理
• Def1.一种有k个状态旳马氏链假如存在正 整数N，使从任意状态i经N次转移都以不 小于零旳概率到达状态j（i,j=1,2,…,k）,则 称为正则链。
p11=0.8, p12=0.18, p13=0.02
0.65
1
2
p21=0.65, p22=0.25, p23=0.1
0.02 3 0.1
p31=0, p32=0, p33=1
1
a1(n 1) a1(n) p11 a2 (n) p21 a3 (n) p31 a2 (n 1) a1(n) p12 a2 (n) p22 a3 (n) p32 a3 (n 1) a1(n) p13 a2 (n) p23 a3 (n) p33
钢琴销售量很小，商店旳库存量不大以免积压资金
一家商店根据经验估计，平均每七天旳钢琴需求为1 架 存贮策略：每七天末检验库存量，仅当库存量为零 时，才订购3架供下周销售；不然，不订购。
•
Def3.假如记 pn 旳元素为
p(n ij
)
，
k
p(n) ij
j
0, 且
j 1,则称 j 1，2，
• 为极限分布。j1
, k
TH2.正则链存在唯一极限分布 1, , k 使a(n) ,
且与初始状态概率a(0)无关，还是平稳分布。记
Tij inf n:X (0) i, X (n) j, n 1
若某人投保时健康, 问23年后他仍处于健康状态旳概率
正则马氏链模型
正则马氏链模型正则马氏链模型是一种常用的概率模型，它是一种离散时间、离散状态的随机过程。
该模型的基本假设是：在任意时刻，系统处于某一特定状态的概率只与其前一时刻所处的状态有关。
正则马氏链模型可以用来描述许多实际问题，比如天气预报、股票价格变化、人口迁移等。
一、基本概念1. 马氏性质马氏性质是指一个随机过程中，在任意时刻，系统处于某一特定状态的概率只与其前一时刻所处的状态有关。
这种性质也称为无后效性。
2. 状态转移矩阵状态转移矩阵是一个n×n 的矩阵，其中第 i 行第 j 列表示从状态 i 转移到状态 j 的概率。
对于正则马氏链模型而言，每个状态可以转移到任何其他状态，因此矩阵中所有元素都大于等于 0，并且每行元素之和为 1。
3. 平稳分布平稳分布是指当一个随机过程在长期运行后，其概率分布不再发生变化，并且该分布与起始分布无关。
对于正则马氏链模型而言，其平稳分布存在且唯一。
二、模型定义正则马氏链模型可以用一个四元组来表示，即(S, P, π, T)。
其中：1. S 表示状态集合，每个状态都有一个唯一的标识符。
2. P 表示状态转移矩阵，P(i,j) 表示从状态 i 转移到状态 j 的概率。
3. π 表示初始分布，π(i) 表示初始时系统处于状态 i 的概率。
4. T 表示时间步数，表示模型运行的时间长度。
三、模型计算1. 状态转移概率计算对于正则马氏链模型而言，任意时刻系统处于某一特定状态的概率只与其前一时刻所处的状态有关。
因此，在已知 t 时刻系统处于某一特定状态 i 的条件下，t+1 时刻系统处于某一特定状态 j 的概率可以用如下公式计算：P(i,j,t+1) = Σ P(i,k,t) × P(k,j)其中 k 是所有可能的中间状态。
2. 平稳分布计算平稳分布是指当一个随机过程在长期运行后，其概率分布不再发生变化，并且该分布与起始分布无关。
对于正则马氏链模型而言，其平稳分布可以通过不断迭代计算得到。
马氏链及其应用
1 t 1 1 t p11 2 t p21 n t pn1 2 t 1 1 t p12 2 t p22 n t pn 2 ⑼ . t 1 t p t p t p 1 1n 2 2n n nn n
三种状态的转移概率
平行于⑴式，有
n1 1 n 1 p11 n 2 p21 n 3 p31 ,
n1 2 n 1 p12 n 2 p22 n 3 p32 , ⑷
n1 3 n 1 p31 n 2 p32 n 3 p33 ,
马尔科夫连原理及其建模实例
马氏链及其应用
1.一个简单的例子 我们知道，人寿保险公司最为关心的是投保人的健康
与疾病以及相应的风险。通过下面的例子我们来看保险 公司是如何处理这类问题的。
问题的提出 设t
1,2,3,
表示年龄的时段，假定在一年中，今
年健康而明年患病的概率是0.2, 而今年患病明年转为健
0时系统的状态概率向量，又称为
例
在前两例中，初始向量与概率转移矩阵分别为
0 0.8,0.2 ,
0.8 0.2 P , 0.7 0.3
0.8 0.18 0.02 0 0.75,0.25,0 , P 0.65 0.25 0.1 . 0 0 1
n 1 1 0.8 0.78 0.778 0.7778 n 2 0 0.2 0.22 0.222 0.2222
若投保人在开始时处于疾病状态，即0 1 0, 0 2 1. 则有
n
0
1
2
3
4
马氏链模型
x
(n)
x =M
(n−1)
=M x
2
(n−2)
=⋯= M x
n
(0)
的三个特征值。 这里 1， 2 ， 3 是矩 阵M的三个特征值。对于 (4.5)式 的三个特征值 式 中的M，易求得它的特征值和特征向量： 中的 ，易求得它的特征值和特征向量： =1， =1/2， =0 ， ，
λ λ λ λ2 λ1
根据假设 ，可递推得出： 根据假设(I)，可递推得出： 假设
an +bn +cn = a0 +b0 +c0 =1
对于(4.2)式.(4.3)式和 式 式和(4.4)式，我们采用矩阵形式简记为 对于 式和 式
x
(n)
x =M
(n−1)
, n =1,2,⋯
(4.5)
其中 1 1 0
2 an 1 为转移矩阵的位置） 注 这里M为转移矩阵的位置 M = 0 1, x(n) = bn （注：这里 为转移矩阵的位置） 2 cn 0 0 0
（a）假设：令n=0,1,2,…。 ）假设： 。 分别表示第n代植物中 代植物中， （i）设an,bn和cn分别表示第 代植物中，基因型 为AA,Aa和aa ） 和 为第n代植物的基因型分 的植物占植物总数的百分比 。令x (n)为第 代植物的基因型分 布： a0 a n 时 x(n) = b 当n=0时 x(0) = b
= D = λ2 0 λ3 0
n
1
1
λ
n 2
λn 3
λ3
因此
1 D = 0 0
所以
0 0 1 1 1 1 0, e1 = 0 e2 = −1 e3 = −2 2 0 0 1 0 0 1 1 1 P = [e1 ⋮e2 ⋮e3 ] = 0 −1 −2 0 0 1
数学建模马氏链讲座课件
内容提要
?马氏链与马氏链预测方法 ?马氏链预测方法在各领域中的应用 ?实例分析: 年径流量预测
1.马氏链与马氏链预测方法
1.1 马氏链
马尔可夫过程是随机过程的一个分支，它的最基 本特征是“无后效性” , 也称为“马氏性”. 即在已 知随机过程现在状态的条件下，其将来的状态与过去 的状态无关。换句话讲，就是： 已知“现在”，“将 来”与“过去”无关。
实际应用中，常记（1.1）式的右端
P{X (m ? k) ? im? k | X (m) ? im} ? P{Xm?k ? j | Xm ? i} ? pij{m; k}, i, j ? E
一般考虑齐次马尔可夫链，即对任意的m, k ? T, 有
pij (m; k ) ? pij (k ), i, j ? E.
(1) 与“ADMCP 法”相同; ((32)) 对也“与(“2)A”所DM得C的P 结法果”进相行同统; 计，可得不同滞时(步长)的 马尔可夫链的转移概率矩阵，它决定了指标值状态转移过程 的概率法则； (4) “马氏性” 检验（应用工作者使用该方法时，一般也 不做这一步，本文加上这一步同样意在完善“ SPMCP 法”）；
其中
p ij
(m;
k
)
表示“系统时刻m时处在状态i，经k步状态转 移
到达状态j
的概率”，pij
(
k
)
表示“系统从状态i，经k 移
步状态转
到达状态j的概率”， pij . 由pij(k)组成的矩阵, 称为马尔可夫链的k步转移
概率矩阵,记为Pk.
另一种传统的马尔可夫链预测方法——叠加马尔可夫链预 测方法，尽管运用了各阶（各种步长）马尔可夫链的绝对分 布叠加来预测状态，但没有考虑各阶（各种步长）马尔可夫 链的绝对概率在叠加中所起的作用，即认为各阶（各种步长） 马尔可夫链的绝对概率所起的作用是相同的，这显然不科学。 事实上，一个满足马氏性的相依时间序列，其各阶自相关性 是不一样的。
马氏链模型及matlab程序
一、用法,用来干什么,什么时候用ﻫ二、步骤,前因后果,算法得步骤,公式三、程序四、举例五、前面国赛用到此算法得备注一下马氏链模型用来干什么马尔可夫预测法就是应用概率论中马尔可夫链(Mａｒkoｖ chain)得理论与方法来研究分析时间序列得变化规律,并由此预测其未来变化趋势得一种预测技术。
什么时候用ﻫ应用马尔可夫链得计算方法进行马尔可夫分析, 主要目得就是根据某些变量现在得情况及其变动趋向,来预测它在未来某特定区间可能产生得变动,作为提供某种决策得依ﻫ据。
马尔可夫链得基本原理我们知道,要描述某种特定时期得随机现象如某种药品在未来某时期得销售情况,比如说第n季度就是畅销还就是滞销,用一个随机变量Xｎ便可以了,但要描述未来所有时期得情况,则需要一系列得随机变量Ｘ1,X2,…,Ｘn,…、称{Ｘt,t∈T ,T就是参数集}为随机过程,｛ X t｝得取值集合称为状态空间、若随机过程{ X n}得参数为非负整数, X n为离散随机变量,且{ X n｝具有无后效性(或称马尔可夫性),则称这一随机过程为马尔可夫链(简称马氏链)。
所谓无后效性,直观地说,就就是如果把｛Ｘn｝得参数n瞧作时间得话,那么它在将来取什么值只与它现在得取值有关,而与过去取什么值无关、对具有Ｎ个状态得马氏链,描述它得概率性质,最重要得就是它在n时刻处于状态i下一时刻转移到状态j得一步转移概率:若假定上式与n无关,即,则可记为(此时,称过程就是平稳得),并记(１) 称为转移概率矩阵、转移概率矩阵具有下述性质:(1)、即每个元素非负。
(2).即矩阵每行得元素与等于1、如果我们考虑状态多次转移得情况,则有过程在n时刻处于状态i,n＋k时刻转移到状态j得k步转移概率:同样由平稳性,上式概率与ｎ无关,可写成。
记(２) 称为k步转移概率矩阵。
其中具有性质:; 、一般地有,若为一步转移矩阵,则ｋ步转移矩阵(３) (２)状态转移概率得估算在马尔可夫预测方法中,系统状态得转移概率得估算非常重要.估算得方法通常有两种:一就是主观概率法,它就是根据人们长期积累得经验以及对预测事件得了解,对事件发生得可能性大小得一种主观估计,这种方法一般就是在缺乏历史统计资料或资料不全得情况下使用、二就是统计估算法,现通过实例介绍如下.例3 记录了某抗病毒药得6年24个季度得销售情况,得到表1、试求其销售状态得转移概率矩阵。
算法大全第17章_马氏链模型
p00 = P{ X n +1 = 0 | X n = 0} ≈
p01 p10 p11
例5 4 3 2 1 4 3 1 1 2 3 2 1 2 3 4 4 3 3 1 1 1 3 3 2 1 2 2 2 4 4 2 3 2 3 1 1 2 4 3 1 若该系统可用马氏模型描述，估计转移概率 pij 。 解
pij ( n + m) = ∑ pik ( n ) pkj ( m )
k ∈E
其中的 i , j ∈ E 。
，P 定理 2 设 P 是一个马氏链转移矩阵（ P 的行向量是概率向量） 行向量，则第 n 步的概率分布为
⎧1, 当i = 2时 P{ξ 0 = i} = ⎨ ⎩0， 当i ≠ 2时 ⎧q, 当j = 1时 ⎪ p1 j = ⎨ p, 当j = 2时 ⎪0, 其它 ⎩
⎧ p, 当j = s时 ⎪ p sj = ⎨q, 当j = s − 1时 ⎪0, 其它 ⎩
-210-
⎧ p, 当j − i = 1时 ⎪ pij = ⎨q, 当j − i = −1时(i = 2,3, L , s − 1) ⎪0, 其它 ⎩ 因此， P 为一个 s 阶方阵，即 ⎡q p 0 L 0 0⎤ ⎢q 0 p L 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 q 0 L 0 0⎥ P=⎢ ⎥。 L L L L L L ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 q 0 p⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 0 0 0 q p⎦ 定理 1 （柯尔莫哥洛夫—开普曼定理）设 {ξ n , n = 1,2,L} 是一个马尔可夫链，其 状态空间 E = {1,2,L} ，则对任意正整数 m, n 有
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当实际问题可以用马尔可夫链来描述时， 首先要确定它的状态空间及参数集合， 然 后确定它的一步转移概率。关于这一概率的确定，可以由问题的内在规律得到，也可以 由过去经验给出，还可以根据观测数据来估计。 例 4 某计算机机房的一台计算机经常出故障，研究者每隔 15 分钟观察一次计算 机的运行状态，收集了 24 小时的数据（共作 97 次观察） 。用 1 表示正常状态，用 0 表 示不正常状态，所得的数据序列如下： 1110010011111110011110111111001111111110001101101 111011011010111101110111101111110011011111100111 解 设 X n ( n = 1,L,97) 为第 n 个时段的计算机状态，可以认为它是一个时齐马氏
马氏链模型及matlab程序
用来干什么什么时候用二二、步骤，前因后果，算法的步骤，公式-三、程序四、举例五、前面国赛用到此算法的备注一下马氏链模型用来干什么马尔可夫预测法是应用概率论中马尔可夫链（Markov chain ）的理论和方法来研究分析时间序列的变化规律，并由此预测其未来变化趋势的一种预测技术。
什么时候用应用马尔可夫链的计算方法进行马尔可夫分析，主要目的是根据某些变量现在的情况及其变动趋向，来预测它在未来某特定区间可能产生的变动，作为提供某种决策的依据。
马尔可夫链的基本原理我们知道，要描述某种特定时期的随机现象如某种药品在未来某时期的销售情况，比如说第n季度是畅销还是滞销，用一个随机变量X便可以了，但要描述未来所有时期的情况，则需要一系列的随机变量X i, X2,…，X n,….称｛X，t € T，T是参数集｝为随机过程，｛ X t ｝的取值集合称为状态空间•若随机过程｛ X n ｝的参数为非负整数，X为离散随机变量，且｛ X n ｝具有无后效性（或称马尔可夫性），则称这一随机过程为马尔可夫链（简称马氏链）•所谓无后效性，直观地说，就是如果把｛ X n ｝的参数n 看作时间的话，那么它在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与过去取什么值无关.对具有N个状态的马氏链，描述它的概率性质，最重要的是它在n时刻处于状态i 下一时刻转移到状态j的一步转移概率：若假定上式与n无关，即卩门（0）卩门（1）P ij（n），则可记为p ij （此时，称过程是平稳的），并记P11口2p 1 Np 21p 22p 2N(1)Pp N 1p N 2p N N称为转移概率矩阵.转移概率矩阵具有下述性质：(1) P i j 0, i, j 1, 2, , N .即每个元素非负.N(2) P ij 1, i 1,2,, N •即矩阵每行的元素和等于1.j i如果我们考虑状态多次转移的情况，则有过程在 n 时刻处于状态i , n+k 时刻转移同样由平稳性，上式概率与n 无关，可写成pf .记(k) Jk)(k)P 11 p 12p 1 NJk)Jk)(k) P (k )p 21p 22p 2N(k) (k) (k)P N1 P N 2 P N N称为k 步转移概率矩阵.其中p (k )具有性质：一般地有，若P 为一步转移矩阵，则k 步转移矩阵(2)状态转移概率的估算在马尔可夫预测方法中，系统状态的转移概率的估算非常重要.估算的方法通常 有两种：一是主观概率法，它是根据人们长期积累的经验以及对预测事件的了解，对 事件发生的可能性大小的一种主观估计，这种方法一般是在缺乏历史统计资料或资料 不全的情况下使用.二是统计估算法，现通过实例介绍如下.(k) Jk)(k)P 11 p 12p 1 NJk)Jk)(k)p (k)p 21p 22p 2Np (k) p (k) p (k)p N1p N 2P N N(3)例3记录了某抗病毒药的6年24个季度的销售情况，得到表1 .试求其销售状态的转移概率矩阵.表1某抗病毒药24个季度的销售情况季度销售状态季度销售状态季度销售状态季度销售状态1 1 （畅销）7 1（畅销）13 1（畅销）19 2（滞销）2 1（畅销）8 1（畅销）14 1（畅销）20 1（畅销）3 2（滞销）9 1（畅销）15 2（滞销）21 2（滞销）4 1（畅销）10 2（滞销）16 2（滞销）22 1（畅销）5 2（滞销）11 1（畅销）17 1（畅销）23 1（畅销）6 2（滞销）12 2（滞销）18 1（畅销）24 1（畅销）分析表中的数据，其中有15个季度畅销，9个季度滞销，连续出现畅销和由畅销转入滞销以及由滞销转入畅销的次数均为7,连续滞销的次数为2.由此，可得到下面的市场状态转移情况表（表2）.表2市场状态转移情况表现计算转移概率.以频率代替概率，可得连续畅销的概率：分母中的数为15减1是因为第24季度是畅销，无后续记录，需减1.同样得由畅销转入滞销的概率：滞销转入畅销的概率：连续滞销的概率：综上，得销售状态转移概率矩阵为：从上面的计算过程知，所求转移概率矩阵P的元素其实可以直接通过表2中的数字计算而得到，即将表中数分别除以该数所在行的数字和便可：Matlab 程序：format ratclca=[ 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2,1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1];for i=1:2for j=1:2f(i,j)=le ngth(fi ndstr([i j],a));endendfni=(sum(f))'for i=1:2p(i,:)=f(i,:)/ni(i);endP由此，推广到一般情况，我们得到估计转移概率的方法：假定系统有m种状态S , S2，…，S rn,根据系统的状态转移的历史记录，得到表3的统计表格，以?ij表示系统从状态i转移到状态j的转移概率估计值，则由表3的数据计算估计值的公式如下:在马氏链模型中，随着时间的推移，系统的状态可能发生转移，这种转移常常会引起某种经济指标的变化•如抗病毒药的销售状态有畅销和滞销两种，在时间变化过程中，有时呈连续畅销或连续滞销，有时由畅销转为滞销或由滞销转为畅销，每次转移不是盈利就是亏本.假定连续畅销时盈「11元，连续滞销时亏本「22元，由畅销转为滞销盈利r i2元，由滞销转为畅销盈利 5元，这种随着系统的状态转移，赋予一定利润的 马氏链，称为有利润的马氏链•对于一般的具有转移矩阵例如，若抗病毒药畅销和滞销时的一步转移的期望利润分别为: 二步利润随机变量为：概率概率的马氏链，当系统由i 转移到j 时，赋予利润r j(i ，j=1, 2,…，N),则称「N1「12「1N(5)的转移矩阵，得到一步利润随机变量(1) x 1、： r 12 X^的概率分布分别为：r 21 r 22r 11概率P 11P 12概率P 21P22i =1，我们想知道，经过n 个季度以后,期望获得的利润是多少？为此，弓I 入一些计算公式.首先，定义v (n)为抗病毒药现在处于i (i 1, 2)，经过n 步转移之后的总期望利润,步转移的期望利润为:其中E(X i ⑴)是随机变量X (1)的数学期望.步转移的期望利润为:其中随机变量x (2)(称为二步利润随机变量)的分布为:V 0称为亏本， 从而可得到一系列利润, 其概率关系由马氏链的转移概率决定. 其中 P 11+ P 12 = 1, P 21+ P 22 = 1 .如果药品处于畅销阶段，即销售状态为为系统的利润矩阵，r j >0称为盈利，r j 随着时间的变化，系统的状态不断地转移， 因而一系列的利润是随机变量， r ij = 0称为不亏不盈.由于状态的转移是随机的, 例如从抗病毒药的销售状态 则抗病毒药销售的一步利润随机变量:0.5 0.5 P 0.4 0.69 37抗病毒药畅销和滞销时的二步转移的期望利润分别为：一般地定义k步转移利润随机变量x(k) (i 1,2, N)的分布为：则系统处于状态i经过k步转移后所得的期望利润v(k)的递推计算式为：N N N(k 1) (1) (k 1)r ij P ij v j p ij V i v j p ij ( 6)j 1 j 1 j 1当k=1时，规定边界条件v(0)0 •称一步转移的期望利润为即时的期望利润，并记v(1) q i, i 1,2, N •可能的应用题型题型一、市场占有率预测例题1在购买该药的总共1000家对象(购买力相当的医院、药店等)中，买A B C三药厂的各有400家、300家、300家，预测A、B、C三个厂家生产的某种抗病毒药在未来的市场占有情况。
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讲义中例题对M/G/1马尔可夫链模型的讨论:
令X n 为第n 个顾客到达系统时系统中的顾客数，这一时刻记为T n . 设在(T n , T n +1]内离开服务台的顾客数为Y n ，则X n +1=X n +1-Y n . 显然 0≤Y n ≤X n .
先证{X n }为马氏链.
表述方法一：事实上，P {X n +1=i +1-j | X n =i , X n -1=i n -1,…,X 0=i 0} = {Y n =j | X n =i , X n -1=i n -1,…, X 0=i 0} = P {Y n =j }。
这是因为Y n 与{X n , X n -1,…, X 0}独立，且P {X n +1=i +1-j | X n =i }=P {Y n =j }。
故{X n }是一个马氏链。
再求P {X n +1=i +1-j | X n =i }=P {Y n =j }.
1）若01j i ≤≤−，则系统不会出现空闲。
故
110
{}{()()|}()
()(())()().!
n n n n n j t
P Y j N T N T j T T t dG t t N t j g t dt e dG t j μμ∞
++∞∞
−==−=−====∫∫∫
2) 若j i =，此时系统可能出现空闲，故
1100
{}{()()|}()()(())()().!n n n n n k t
k i
P Y j N T N T j T T t dG t t N t j dG t e dG t k μμ∞
++∞∞
∞−===
−≥−==
≥=∫∑∫
∫
表述方法二：在上述求一步转移概率的过程中，若记将一步转移概率记成1()n n P X j X i +==，则
从1()(1)n n n P X j X i P Y i j +====+−，利用0,n n Y X ≤≤则有
1 1.i j +≥≥
（1） 当1j >时，即2,j ≥ 此时系统不会出现空闲，其一步转移概率为：
(1)10
()()(1)()(1)!
i j t
n n n t P X j X i P Y i j e dG t i j μμ+−∞−+====+−=
+−∫
；
（2） 当1j =时，此时系统可能出现空闲，其一步转移概率为：
()10
1()()(1)().!k t
n n n k i j
t P X j X i P Y i j e dG t k μμ∞
∞−+=+−====+−=∑∫。