高考数学 1.3 简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词复习
高三理科数学第一轮复习§1.3：简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第一章：集合与常用逻辑用语
§1.3：简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第一章：集合与常用逻辑用语
§1.3：简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第一章：集合与常用逻辑用语
§1.3：简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第一章：集合与常用逻辑用语
§1.3：简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
解析
第一章：集合与常用逻辑用语
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第一章：集合与常用逻辑用语
1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词． (2)命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定知识拓展1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真．(2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，否命题是“若綈p，则綈q”．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．()(2)命题p和綈p不可能都是真命题．()(3)若命题p，q中至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．()(4)“全等三角形的面积相等”是特称命题．()(5)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．()题组二教材改编2．[P18B组]已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．43．[P28T6(4)]命题“正方形都是矩形”的否定是____________________．题组三易错自纠4．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．(2017·贵阳调研)下列命题中的假命题是()A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sin x0＝0C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R，2x＞06．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题p：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为__________．题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断1．(2018·济南调研)设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中的真命题是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )2．(2017·山东)已知命题p ：∀x ＞0，ln(x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2.下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧(綈q ) C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q )3．已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .对以上两个命题，有以下命题： ①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(綈p )∨(綈q )为假． 其中，正确的是________．(填序号)思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假． 题型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、特称命题的真假 典例 下列四个命题：p 1：∃x 0∈(0，＋∞)，0011()()23x x <； p 2：∃x 0∈(0,1)，101023log log x x >；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x＞12log x ；p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x ＜13log x . 其中真命题是( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4命题点2 含一个量词的命题的否定典例 (1)命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x＞0”的否定是( ) A ．∃x 0∈R ，01()3x ＜0 B ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x≤0 C ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ＜0D ．∃x 0∈R ，01()3x ≤0(2)(2017·河北五个一名校联考)命题“∃x 0∈R ，1＜f (x 0)≤2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，1＜f (x )≤2 B ．∃x 0∈R ，1＜f (x 0)≤2 C ．∃x 0∈R ，f (x 0)≤1或f (x 0)＞2 D ．∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立． (2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练 (1)下列命题是假命题的是( ) A ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋cos β B ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃x 0∈R ，使x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且为常数)D ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点(2)(2017·福州质检)已知命题p ：“∃x 0∈R ，0e x －x 0－1≤0”，则綈p 为( ) A ．∃x 0∈R ，0e x －x 0－1≥0 B ．∃x 0∈R ，0e x －x 0－1>0 C ．∀x ∈R ，e x －x －1>0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0题型三 含参命题中参数的取值范围典例 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p ∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________． (2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________． 引申探究本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是___________．思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练 (1)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,3)C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)(2)(2017·洛阳模拟)已知p ：∀x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x <m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是__________．常用逻辑用语考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系． 一、命题的真假判断典例1 (1)(2017·佛山模拟)已知a ，b 都是实数，那么“a ＞b ”是“ln a ＞ln b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件(2)(2017·江西红色七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ＜0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解，命题q ：若m ＝19，则f (f (－1))＝0，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧q C ．p ∧(綈q ) D ．(綈p )∧(綈q )二、充要条件的判断典例2 (1)(2017·湖南五市十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 (2)(2017·湖北七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设p ：0＜r ＜3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件三、求参数的取值范围典例3 (1)已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．(2)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，3，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．1．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x ＞0；q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧(綈q ) C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )2．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真3．下列命题中为假命题的是( ) A ．∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x ＞sin x B ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 C ．∀x ∈R ，3x ＞0 D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝04．(2017·豫西五校联考)若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．∀x ∈R ，f (－x )＝－f (x )C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)＝－f (x 0)5．(2017·安庆二模)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0＞3；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2＞2x ，则下列命题为真的是( ) A ．p ∧(綈q ) B ．(綈p )∧q C ．p ∧qD ．(綈p )∨q6．(2018届东莞外国语学校月考)已知命题p ：∃x 0∈R ，cos x 0＝54；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x＋1>0.则下列结论正确的是( ) A ．命题p ∧q 是真命题 B ．命题p ∧(綈q )是真命题 C ．命题(綈p )∧q 是真命题 D ．命题(綈p )∨(綈q )是假命题 7．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，0e x ≤0 B ．∀x ∈R ，2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1D ．“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”的充分条件8．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)9．命题p 的否定是“对所有正数x ，x >x ＋1”，则命题p 可写为____________________． 10．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________. 11．以下四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x 0∈Q ，x 20＝2；③∃x 0∈R ，x 20＋1＝0；④∀x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．12．(2017·江西五校联考)已知命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)·(x 20＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为____________．13．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x >1，若“(綈q )∧p ”为真，则x 的取值范围是___．14．下列结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为________．15．已知命题p ：∃x 0∈R ，0e x－mx 0＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是____．16．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2)．(1)若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为________________； (2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2, ＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为________________．。
03简易逻辑--简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
x 特称命题“存在M中的一个 特称命题“存在M中的一个 0 , 使p
∃ 可用符号确记为： 可用符号确记为：x0 ∈ M , p( x0 )
(x0 )成立”。 成立”
读作： 成立” 读作：“存在x 0 ∈ M , 使p ( x 0 ) 成立”
5.含有一个量词的否定 含有一个量词的否定 命题 命题的否定
一、逻辑联结词： 逻辑联结词：
1. “或”、“且”、“非”这些词叫做基本逻辑联 或 结词 ”与集合运算中的“并”相当，表示两个简单 “或 与集合运算中的“ 相当， 或 命题至少有一个成立。 命题至少有一个成立。 “且”与集合运算中的“交”相当，表示两个简单 相当， 且 与集合运算中的“ 命题同时成立。 命题同时成立。 “非”可联想集合中的“补集”，表示对一个命题 非 可联想集合中的“补集” 的否定。 的否定。 2.简单命题、复合命题 简单命题、 简单命题 不含有逻辑联结词的命题是简单命题； 不含有逻辑联结词的命题是简单命题； 由简单命题和逻辑联结词“ 由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非 构成的命题是复合命题。 构成的命题是复合命题。 复合命题有三种形式： 或 记作 记作“ ∨ 复合命题有三种形式：p或q(记作“p∨q” )； ； p且q(记作“p∧q” )；非p(记作“┑p” ) 。 记作“ ∧ 记作“ 且 记作 ； 记作
“∀”
可用符号确记为： 可用符号确记为： x ∈ M , ∀
全称命题“对M中任意一个 , 有p x 全称命题“ 中任意一个
p( x ) x 读作： 成立” 读作：“对任意 ∈ M , 有p( x ) 成立”。
(x )
成立”， 成立”
3.存在量词： 存在量词： 存在量词 短语“存在一个”“至少有一个” ”“至少有一个 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常 叫做存在量词， 叫做存在量词，并用符号 ”表示 “∃ 4.特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题 特称命题：含有存在量词的命题， 特称命题
1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
4．若 p：对任何 x∈R，sin x≤1，则 A．非 p：存在 x∈R，sin x>1 B．非 p：任何 x∈R，sin x>1 C．非 p：存在 x∈R，sin x≥1 D．非 p：任何 x∈R，sin x≥1
( A )
5．有下列四个命题，其中真命题是 A．任意 n∈R，n2≥n B．存在 n∈R，任意 m∈R，m· n＝m C．任意 n∈R，存在 m∈R，m2<n D．任意 n∈R，n2<n
2．正确区别：命题的否定与否命题 “否命题”是对原命题“若 p， 则 q”的条件和结论 分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否 定其结论；“命题的否定”即“非 p”，只是否定 命题 p 的结论． 命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中 有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必 然联系．
( B )
布置作业：
1.已知 c>0，且 c≠1，设 p：函数 y＝cx 在 R 上单调 1 2 递减；q：函数 f(x)＝x －2cx＋1 在2，＋∞ 上为增 函数，若“p 且 q”为假，“p 或 q”为真，求实数 c 的取值范围．
2.已知命题p : 关于x的不等式x 2 2ax 4 0对一切x R恒成立； 命题q : 函数f x 3 2a 是增函数；若p或q为真，p且q为假，
(2)此命题是“p或q”的形式，因为p为假命题，q为真命题， 所以p或q是真命题，故此命题是真命题． (3)此命题是“p且q”的形式，因为p为假命题， q为真命题，所以p且q是假命题，故此命题是假命题． (4)此命题是“非p”的形式，其中p：“A⊆A∪B”， 因为p为真命题，所以非p为假命题，故此命题是假命题．
m≤2 真时， 1<m<3
1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．逻辑联结词命题中的“或”“且”“非”称为____________________．2．全称量词“所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做____________，通常用符号“________”表示．含有全称量词的命题称为____________，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．3．存在量词“存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中通常叫做______________，通常用符号“________”表示．含有存在量词的命题称为______________，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．注：特称命题也称存在性命题．4．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)因此，全称命题的否定是________命题；特称命题的否定是________命题．5．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断(真值表)注：“p∧q”“p∨q”“綈p”统称为复合命题，构成复合命题的p命题，q命题称为简单命题．p q p∧qp∨q綈p真真①②③真假④⑤⑥假真⑦⑧⑨假假○10⑪⑫自查自纠：1．逻辑联结词2．全称量词∀全称命题3．存在量词∃特称命题4．∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)特称全称5．①真②真③假④假⑤真⑥假⑦假⑧真⑨真○10假⑪假⑫真(2014·湖南)设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则綈p为()A．∃x0∈R，x20＋1＞0 B．∃x0∈R，x20＋1≤0C．∃x0∈R，x20＋1＜0 D．∀x0∈R，x20＋1≤0解：全称命题的否定，要对结论进行否定，同时要把全称量词换成存在量词，故命题p的否定为“∃x0∈R，x20＋1≤0”．故选B.下列命题中的假命题．．．是()A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2解：对于B选项，x＝1时，(x－1)2＝0 ，故选B.(2014·重庆)已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)解：显然p真，由x＞2⇒x＞1，而x＞1x＞2，因此“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，q假，綈q真，p∧(綈q)是真命题．故选D.给出下列结论：①命题“若綈p，则q”的逆否命题是“若p，则綈q”；②命题“∃n∈N*，n2＋3n能被10整除”的否定是“∀n∈N*，n2＋3n不能被10整除”；③命题“∀x∈R，x2＋2x＋3＞0”的否定是“∃x∈R，x2＋2x＋3＜0”．其中结论正确的是________．解：由于逆否命题是把原命题否定了的结论作条件，否定了的条件作结论得到的命题，故①不正确；特称命题的否定是全称命题，故②正确；全称命题的否定是特称命题，故③不正确．综上，只有②正确，故填②.已知p：x2－2x－3<0；q：1x－2<0，若p且q为真，则x的取值范围是________．解：若p为真，则由x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)<0，得－1<x<3；若q为真，则由1x－2<0，得x<2.∵p且q为真，∴－1<x<2.故填(－1，2)．类型一含有逻辑联结词的命题及其真假判断指出下列命题的构成形式，并对该命题进行分解，然后判断其真假．(1)矩形的对角线相等且垂直；(2)3≥3；(3)10是2或5的倍数；(4)10是2和5的倍数；(5)2是4和6的约数；(6)2是4和6的公约数．解：(1)是“p∧q”形式的命题．其中p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线垂直．该命题为假命题．(2)是“p∨q”形式的命题．其中p：3＞3，q：3＝3.该命题是真命题．(3)是“p∨q”形式的命题．其中p：10是2的倍数，q：10是5的倍数．该命题是真命题．(4)是“p∧q”形式的命题．其中p：10是2的倍数，q：10是5的倍数．该命题是真命题．(5)是“p∧q”形式的命题．其中p：2是4的约数，q：2是6的约数．该命题是真命题．(6)既不是“p∨q”命题，也不是“p∧q”命题，是一个简单命题．这个命题的等价命题是：4和6的公约数是2.按公约数的定义，该命题是：给出4和6，2是它们的公约数，即给出判断．该命题是真命题．点拨：正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义是解题的关键．在解具体问题时，不但要看命题中是否含有逻辑联结词，而且要看命题的内容结构是否具有逻辑联结词的含义，如本例中的第(6)小题．分别写出由下列各组命题构成的“p 或q”“p且q”“非p”形式的命题，并判断其真假．(1)p：3是9的约数，q：3是18的约数；(2)p：菱形的对角线一定相等，q：菱形的对角线互相垂直；(3)p：π是有理数，q：π是无理数．解：(1)p或q：3是9或18的约数，是真命题；p且q：3是9的约数且是18的约数，真命题；非p：3不是9的约数，假命题．(2)p或q：菱形的对角线一定相等或互相垂直，真命题；p且q：菱形的对角线一定相等且互相垂直，假命题；非p：菱形的对角线不一定相等，真命题．(3)p或q：π是有理数或无理数，真命题；p且q：π是有理数且是无理数，假命题；非p：π不是有理数，真命题．类型二含有逻辑联结词命题的综合问题已知p：函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)内单调递增，q：函数y＝4x2＋4(m－2)x＋1大于零恒成立．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．解：设p，q都为真．则由p：函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)内单调递增⇔－m2≤－1，解得m≥2，由q：函数y＝4x2＋4(m－2)x＋1大于零恒成立⇔Δ＝[4(m－2)]2－4×4×1＜0，解得1＜m＜3.∵p或q为真，p且q为假，∴p，q中一个为假，另一个为真．(1)当p真，q假时，根据命题与集合之间的对应关系，得p真时，m≥2，q假时，m≤1或m≥3.∴p真q假时，⎩⎪⎨⎪⎧m≥2，m≤1或m≥3，得m≥3.(2)当p假，q真时，根据命题与集合之间的对应关系，得p假时，m＜2，q真时，1＜m＜3.∴p假q真时，⎩⎪⎨⎪⎧m＜2，1＜m＜3，得1＜m＜2.综合(1)(2)可得，m的取值范围为(1，2)∪[3，＋∞)．点拨：由“p或q”为真，“p且q”为假判断出p和q一真一假后，再根据命题与集合之间的对应关系求m的范围．逻辑联结词与集合的运算具有一致性，逻辑联结词中“且”“或”“非”恰好分别对应集合运算的“交”“并”“补”．已知p：x2＋mx＋1＝0有两个不等负根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．(1)当m为何值时，p或q为真？(2)当m为何值时，p且q为真？解：若p为真，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m2－4＞0，x1＋x2＝－m＜0，x1x2＝1＞0(x1，x2为方程x2＋mx＋1＝0的两个实根)，解得m＞2；若q为真，则Δ＝16(m－2)2－16＜0，解得1＜m＜3.(1)若p或q为真，则p，q至少有一个为真．∴若p或q为真时，m的取值范围是(1，＋∞)．(2)若p且q为真，则⎩⎪⎨⎪⎧m＞2，1＜m＜3，得2＜m＜3.故当m∈(2，3)时，p且q为真．类型三全称命题与特称命题的否定写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)p1：∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；(2)p2：至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；(3)p3：∃x∈{x|x∈Z}，log2x＞0；(4)p 4：∀x ∈R ，x 2－x ＋14＞0.解：(1)綈p 1：∃x ∈{x |x 是无理数}，x 2不是无理数，是真命题．(2)綈p 2：所有的整数，都不能被2整除或不能被5整除，是假命题．(3)綈p 3：∀x ∈{x |x ∈Z }，log 2x ≤0，是假命题．(4)綈p 4：∃x ∈R ，x 2－x ＋14≤0，是真命题．点拨：命题的否定，是对该命题的结论进行否定，根据判断对象是部分和全体，分为特称命题和全称命题．否定的原则是：否定全称是特称，否定特称是全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定．(2014·天津)已知命题p ：∀x ＞0，总有(x ＋1)·e x ＞1，则綈p 为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)ex 0≤1B ．∃x 0＞0，使得(x 0＋1)ex 0≤1C ．∀x ＞0，总有(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤1解：全称命题的否定是特称命题．故选B .1．含有逻辑联结词命题真假的判断判断一个含有逻辑联结词命题的真假，应先对该命题进行分解，判断出构成它的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．2．全称命题与特称命题真假的判断 (1)要判断全称命题是真命题，需要对集合M 中每个元素x ，证明p (x )成立；如果在集合M 中找到一个元素x 0，使得p (x 0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，至少能找一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．3．在有些命题中，逻辑联结词“或”“且”“非”是以另一种形式出现的．如“x ＝±1”中含逻辑联结词“或”，“≥”表示“大于或等于”；“綊”表示“平行且等于”，“并且”的含义为“且”；“∉”表示“不属于”，“不是”的含义为“非”等．4．一些常用的正面叙述的词语及它们的否定词语表：正面词语 等于(＝) 大于(＞) 小于(＜) 是都是否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是不都是正面词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的一定 否定词语 至少有两个 一个也没有某个 某些不一定1．“a 和b 都不是偶数”的否定形式是( ) A ．a 和b 至少有一个是偶数 B ．a 和b 至多有一个是偶数 C ．a 是偶数，b 不是偶数 D ．a 和b 都是偶数解：“a 和b 都不是偶数”的否定形式是“a 和b 至少有一个是偶数”．故选A.2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 解：根据特称命题的否定是全称命题，需先将“存在”改为“任意”，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．故选B.3．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解：y ＝sin2x 的最小正周期T ＝π，很明显命题p 是一个假命题．函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝k π(k ∈Z )对称，所以命题q 也是假命题．因此，p ∧q 为假，故选C.4．(2014·湖北)命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是( )A ．∀x ∉R ，x 2≠xB ．∀x ∈R ，x 2＝xC ．∃x ∉R ，x 2≠xD ．∃x ∈R ，x 2＝x 解：全称命题的否定是特称命题．故选D .5．已知命题p ：∃x ∈R ，使得x ＋1x<2；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0，下列命题为真的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC. p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )解：对于命题p ：当x ＝－1时，x ＋1x ＝－2＜2，所以命题p 是真命题，则綈p 是假命题；对于q ，Δ＝1－4＝－3＜0，所以不等式x 2＋x ＋1＞0的解集为R ，所以命题q 是真命题，则綈q 是假命题，所以p ∧q 为真命题．故选A.6．下列命题中为真命题的是( )A ．∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝1.5B ．∀x ∈(0，π)，sin x ＞cos xC ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1D ．∀x ∈(0，＋∞)，e x ＞1＋x解：A ：sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2＜1.5，故A 错；B ：x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π时，sin x ＞cos x ，x ＝π4时，sin x ＝cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，cos x ＞sin x ，故B 错； C ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34＞0，∴x 2＋x ＞－1，故C 错．故选D .7．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数；p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数．则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，是真命题的是________________________．解：∵p 1是真命题，p 2是假命题，∴q 1：p 1∨p 2是真命题，q 2：p 1∧p 2是假命题， q 3：(綈p 1)∨p 2为假命题，q 4：p 1∧(綈p 2)为真命题．∴真命题是q 1，q 4.故填q 1，q 4.8．已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．解：由命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题得其否定“∀x ∈R ，2x 2＋(a －1)x ＋12＞0”是真命题，所以(a －1)2－4×2×12＜0，解得－1＜a ＜3.故填(－1，3)．9．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，写出它们的否定形式，并判断否定形式的真假．(1)若a ＞0且a ≠1，则对任意实数x ，a x ＞0； (2)对任意实数x 1，x 2，若x 1＜x 2，则tan x 1＜tan x 2； (3)∃T 0∈R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |； (4)∃x 0∈R ，使x 20＋1＜0.解：(1)全称命题，其否定形式为：若a >0且a ≠1，则∃x ∈R ，a x ≤0，显然该命题为假命题．(2)全称命题，其否定形式为：∃x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，使tan x 1≥tan x 2，该命题为真命题．例如取x 1＝0，x 2＝π，有x 1＜x 2，但tan x 1＝tan x 2＝0，又当x 1＝0，x 2＝2π3时，有x 1＜x 2，但tan0＝0，tan 2π3＝－3，所以tan x 1＞tan x 2.(3)特称命题，其否定形式为：∀T ∈R ，|sin(x ＋T )|≠|sin x |，该命题是假命题．例如T 0＝π时，有|sin(x ＋π)|＝|sin x |.(4)特称命题，其否定形式为∀x ∈R ，x 2＋1≥0.∵x ∈R 时，x 2≥0，∴x 2＋1≥1＞0，故为真命题．10．已知命题p ：∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若命题p ∧q 是真命题，求实数a 的取值范围．解：∵命题p ∧q 是真命题，∴命题p ，q 均为真．对于命题p ，当x ∈[1，2]时，a ≤x 2恒成立， 即a ≤(x 2)min ＝1；对于命题q ，∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋a 2＝a 2＋a －2，即(x ＋a )2＝(a －1)(a ＋2)≥0，得a ≤－2或a ≥1. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2或a ≥1， 得a ≤－2或a ＝1.因此，实数a 的取值范围为{}a |a ≤－2或a ＝1.11．已知a >0，设命题p ：函数y ＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋a16的定义域为R ；命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2 时，函数y＝x ＋1x >1a恒成立，如果命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，求a 的取值范围．解：由a ＞0，命题p ：函数y ＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋a16的定义域为R 可知，Δ＝1－a24＜0，解得a ＞2.因此，命题p 为真时，a ＞2.对于命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数y ＝x ＋1x ＞1a恒成立，即函数y ＝x ＋1x 在x ∈⎣⎡⎦⎤12，2的最小值y min ＞1a， ∵y min ＝2，∴1a ＜2.又a ＞0，∴a ＞12.因此，命题q 为真时，a ＞12.∵命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，∴命题p 与q 中一个是真命题，一个是假命题． 当p 真q 假时，可得a ∈∅；当p 假q 真时，可得12＜a ≤2.综上所述，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤12，2.已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0，1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[－1，1]，使得m ≤ax 成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围．解：(1)∵对任意x ∈[0，1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，∴(2x －2)min ≥m 2－3m ，即m 2－3m ≤－2，解得1≤m ≤2.因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1，2]．(2)∵a ＝1，且存在x ∈[－1，1]，使得m ≤ax 成立，∴m ≤1.因此，命题q 为真时，m ≤1. ∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤2，m ＞1， 得1＜m ≤2；当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜1或m ＞2，m ≤1， 得m ＜1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1，2]．。
3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考点三简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理1．简单的逻辑联结词(1) 逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联接词．(2) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．(3) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．(4) 一个命题p的否定记作¬p，读作“非p”或“p的否定”．2.复合命题及其真假判断(1) 复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题．(2) 复合命题p∧q，p∨q，非p以及其真假判断：简记为：p∧q中p、q有假则假，同真则真；p∨q有真为真，同假则假；p与¬p必定是一真一假．3. 全称量词与存在量词(1) 全称量词与全称命题短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，都有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2) 存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．4. 含有一个量词的命题的否定 "x ∈M ，p (x )典例剖析题型一 含有一个量词的命题的否定例1 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数变式训练 设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：任意x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．Øp ：任意x ∈A,2x ∉B B ．Øp ：任意x ∉A,2x ∉BC ．Øp ：存在x ∉A,2x ∈BD ．Øp ：存在x ∈A,2x ∉B题型二 复合命题真假判断例2 下列命题中的假命题是( )A ．存在x ∈R ，sin x ＝52B ．存在x ∈R ，log 2x ＝1C ．任意x ∈R ，(12)x >0 D ．任意x ∈R ，x 2≥0 变式训练 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．Øp ∧ØqC ．Øp ∧qD ．p ∧Øq题型三 由命题真假求参数范围例3 命题“存在x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围为________． 变式训练 已知命题p ：“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“存在x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．当堂练习1. 命题“对任意x ∈R ,都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意x ∈R ,使得20x <B ．不存在x ∈R ,使得20x <C ．存在0x ∈R ,都有200x ≥D ．存在0x ∈R ,都有200x <2．若p，q是两个简单命题，且“p或q”是假命题，则必有()A．p真q真B．p真q假C．p假q假D．p假q真3．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()A．￢p或q B．p且q C．￢p且￢q D．￢p或￢q4．已知p：2＋2＝5，q：3>2，则下列判断正确的是()A．“p或q”为假，“￢q”为假B．“p或q”为真，“￢q”为假C．“p且q”为假，“￢p”为假D．“p且q”为真，“p或q”为假5．已知命题p：若x＞y，则－x＜－y，命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(￢q)；④(￢p)∨q中，真命题是．课后作业一、选择题1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0 D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>02．下列命题中正确的是()A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件C．命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否定为：“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”D．已知命题p：∃x∈R，x2＋x－1<0，则￢p：∃x∈R，x2＋x－1≥03．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q4．已知命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0，则￢p为()A．∃x0∈R，x20＋2x0＋2>0 B．∃x0∈R，x20＋2x0＋2<0C．∀x∈R，x2＋2x＋2≤0 D．∀x∈R，x2＋2x＋2>05．对于下述两个命题p：对角线互相垂直的四边形是菱形；q：对角线互相平分的四边形是菱形．则命题“p∨q”、“p∧q”、“￢p”中真命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．36．下列命题中的假命题是()A. ∀x∈R，2x－1>0B. ∀x∈N*，(x－1)2>0C. ∃x∈R，lg x<1D. ∃x∈R，tan x＝2 7．若命题“∃x0∈R，使得x20＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是()A．[2,6] B．[－6，－2] C．(2,6) D．(－6，－2)8．已知命题p：∀x∈R,2x2－2x＋1≤0，命题q：∃x∈R，使sin x＋cos x＝2，则下列判断：①p且q是真命题；②p或q是真命题；③q是假命题；④非p是真命题其中正确的是()A．①④B．②③C．③④D．②④二、填空题9．命题“$x∈R，|x|≤0”的否定是“________________”．10．若命题“∃x∈R使x2＋2x＋m≤0”是假命题，则m的取值范围是_____________．11．命题：“对任意k>0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是________．12．命题“任意两个等边三角形都相似”的否定为___________________．13．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．。
课标版高考理科数学 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词挖命题【考情探究】分析解读 1.会判断含有一个量词的全称命题或特称命题的真假,能正确地对含有一个量词的命题进行否定.2.能用逻辑联结词“或”“且”“非”正确地表达相关的数学命题.3.本节在高考中分值为5分左右,属于中低档题.破考点【考点集训】考点一简单的逻辑联结词1.(2018安徽淮北第二次(4月)模拟,3)命题p:若向量a·b<0,则a与b的夹角为钝角;命题q:若cosαcosβ=1,则sin(α+β)=0.下列命题为真命题的是()A.pB.¬qC.p∧qD.p∨q答案D2.(2017广东惠州二调,5)在射击训练中,某战士射击了两次,设命题p是“第一次射击击中目标”,命题q是“第二次射击击中目标”,则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”可表示为()A.( ¬p)∨(¬q)B.p∨(¬q)C.( ¬p)∧(¬q)D.p∨q答案A考点二全称量词与存在量词1.(2018江西师范大学附属中学4月月考,3)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是()A.∀x∈R,f(-x)≠f(x)B.∀x∈R,f(-x)≠-f(x)C.∃x0∈R,f(-x0)≠f(x0)D.∃x0∈R,f(-x0)≠-f(x0)答案C2.(2017河北五所名校联考,3)命题“∃x0∈R,1<f(x0)≤2”的否定形式是()A.∀x∈R,1<f(x)≤2B.∃x∈R,1<f(x)≤2C.∃x∈R,f(x)≤1或f(x)>2D.∀x∈R,f(x)≤1或f(x)>2答案D3.(2018安徽马鞍山含山联考,5)已知函数f(x)=e x-lo x,给出下列两个命题:命题p:若x0≥1,则f(x0)≥3;命题q:∃x0∈[1,+∞),f(x0)=3.则下列叙述错误的是()A.p是假命题B.p的否命题是若x0<1,则f(x0)<3C. ¬q:∀x∈[1,+∞),f(x)≠3D. ¬q是真命题答案D炼技法【方法集训】方法解决与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题的方法1.(2018山东日照5月联考,6)已知p:∀x∈R,x2+2x+a>0;q:2a<8.若“p∧q”是真命题,则实数a 的取值范围是()A.(1,+∞)B.(-∞,3)C.(1,3)D.(-∞,1)∪(3,+∞)答案C2.(2018广东汕头一模,6)已知命题p:关于x的方程x2+ax+1=0没有实根;命题q:∀x>0,2x-a>0.若“¬p”和“p∧q”都是假命题,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-2)∪(1,+∞)B.(-2,1]C.(1,2)D.(1,+∞)答案C3.(2018豫西南五校4月联考,13)若“∀x∈-,m≤tan x+2”为真命题,则实数m的最大值为.答案1过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组(2015课标Ⅰ,3,5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为()A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n答案CB组自主命题·省(区、市)卷题组考点一简单的逻辑联结词1.(2017山东,3,5分)已知命题p:∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2.下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∧¬qC.¬p∧qD.¬p∧¬q答案B2.(2014辽宁,5,5分)设a,b,c是非零向量.已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是()A.p∨qB.p∧qC.(¬p)∧(¬q)D.p∨(¬q)答案A考点二全称量词与存在量词1.(2016浙江,4,5分)命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是()A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x22.(2015浙江,4,5分)命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>nB.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>nC.∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>n0D.∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0答案D3.(2015山东,12,5分)若“∀x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为.答案1C组教师专用题组(2014重庆,6,5分)已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.¬p∧¬qC.¬p∧qD.p∧¬q答案D【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共50分)1.(2019届湖南、湖北八十二校第一次调研联考,2)已知命题p:∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则¬p是()A.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0B.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0C.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0D.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<02.(2019届江西赣州十四县期中联考,4)下列有关命题的说法正确的是()A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”B.命题p:∃x0∈R,使得sin x0=;命题q:∀x∈R,都有x>sin x,则命题p∨q为真”C.命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R,均有x2+x+1<0”D.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题答案D3.(2019届湖南三湘名校教育联盟高三第一次大联考,6)设a∈Z,函数f(x)=e x+x-a,若命题p :“∀x∈(-1,1),f(x)≠0”是假命题,则a的取值有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案D4.(2019届四川绵阳高中第一次诊断性考试,5)已知命题p:∃x0∈R,使得lg cos x0>0;命题q:∀x<0,3x>0,则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∨(¬q)C.(¬p)∧(¬q)D.p∨q答案D5.(2017湖北武汉2月调研,3)命题“y=f(x)(x∈M)是奇函数”的否定是()A.∃x∈M,f(-x)=-f(x)B.∀x∈M,f(-x)≠-f(x)C.∀x∈M,f(-x)=-f(x)D.∃x∈M,f(-x)≠-f(x)答案D6.(2018湖南湘东五校4月联考,3)已知命题“∃x∈R,4x2+(a-2)x+≤0”是假命题,则实数a的取值范围为()A.(-∞,0)B.[0,4]C.[4,+∞)D.(0,4)7.(2018山东泰安3月联考,4)下列命题正确的是()A.命题“∃x∈[0,1],使x2-1≥0”的否定为“∀x∈[0,1],都有x2-1≤0”B.若命题p为假命题,命题q是真命题,则(¬p)∨(¬q)为假命题C.命题“若非零向量a与b的夹角为锐角,则a·b>0”及它的逆命题均为真命题D.命题“若x2+x=0,则x=0或x=-1”的逆否命题为“若x≠0且x≠-1,则x2+x≠0”答案D8.(2017河南商丘二模,3)已知f(x)=sin x-x,命题p:∃x∈,f(x)<0,则()A.p是假命题,¬p:∀x∈,f(x)≥0B.p是假命题,¬p:∃x∈,f(x)≥0C.p是真命题,¬p:∀x∈,f(x)≥0D.p是真命题,¬p:∃x∈,f(x)≥0答案C9.(2018山东济南一中期中联考,6)已知命题p:对于任意x∈R,恒有2x+2-x≥2成立;命题q:奇函数f(x)的图象必过原点.则下列结论正确的是()A.p∧q为真B.(¬p)∨q为真C.¬q为假D.p∧(¬q)为真答案D10.(2018广东汕头潮南5月冲刺,4)下列命题正确的是()A.命题∃x0∈R,+1>3x0的否定是∀x∈R,x2+1<3xB.命题△ABC中,若A>B,则cos A>cos B的否命题是真命题C.如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,则p为真命题,q为假命题D.ω=1是函数f(x)=sinωx-cosωx的最小正周期为2π的充分不必要条件答案D二、解答题(共25分)11.(2019届安徽皖南八校高三第一次联考,20)命题p:∀x∈R,-有意义;命题q:函数y=ax2+3(xcos x-sin x)在(0,+∞)上是单调函数.(1)写出命题¬p,若p为真命题,求实数a的取值范围;(2)若(¬p)∨q为真命题,(¬p)∧q为假命题,求实数a的取值范围.解析(1)¬p:∃x∈R,-无意义;p为真命题时,a+1≥0,当a+1=0,即a=-1时,-有意义,当a+1>0时,Δ=(a+1)2-4(a+1)≤0,即-1<a≤3,有意义,∴当p为真命题时,a∈[-1,3].(2)当¬p为真命题时,a∈(-∞,-1)∪(3,+∞),当q为真命题时,y'=2ax+3(cos x-xsin x-cos x)=x(2a-3sin x),由函数在(0,+∞)上是单调函数,∴2a≥3sin x或2a≤3sin x在x∈(0,+∞)上成立,∵sin x∈[-1,1],∴2a≥3或2a≤-3,即a≥或a≤-.∵(¬p)∨q为真命题,(¬p)∧q为假命题,∴¬p与q一真一假,当¬p为真命题,q为假命题时,-<a<-1,当¬p为假命题,q为真命题时,≤a≤3,∴a的取值范围是--∪.突破攻略此类题目一般会出现“p或q”为真,“p或q”为假,“p且q”为真,“p且q”为假等条件,解题时应先将这些条件转化为p,q的真假.有时p,q的真假是不确定的,需要讨论.但无论哪种情况,一般都是先假设p,q为真,求出参数的取值范围,当它们为假时取补集即可.12.(2018辽宁鞍山一中一模,17)设a∈R,命题q:∀x∈R,x2+ax+1>0,命题p:∃x∈[1,2],满足(a-1)x-1>0.(1)若命题p∧q是真命题,求a的取值范围;(2)若(¬p)∧q为假,( ¬p)∨q为真,求a的取值范围.解析(1)若p为真命题,则---或---解得a>;若q为真命题,则a2-4<0,解得-2<a<2,∴若p∧q为真命题,则<a<2.(2)由(¬p)∧q为假,( ¬p)∨q为真⇒p、q同时为假或同时为真,若p假,q假,则-或⇒a≤-2,若p真,q真,则-⇒<a<2.综上,a≤-2或<a<2.。
高三数学考点-简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．逻辑联结词命题中的“或”“且”“非”称为____________________．2．全称量词“所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做____________，并用符号“________”表示．含有全称量词的命题称为____________，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．3．存在量词“存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中通常叫做______________，并用符号“________”表示．含有存在量词的命题称为______________，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．注：特称命题也称存在性命题．4．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)因此，全称命题的否定是________命题；特称命题的否定是________命题．5．命题p∧q，p∨q，p的真假判断(真值表)p q p∧q p∨q p真真①②③真假④⑤⑥假真⑦⑧⑨假假○10⑪⑫注：“p∧q”“p∨q”“p”统称为复合命题，构成复合命题的p命题，q命题称为简单命题．自查自纠1．逻辑联结词2．全称量词∀全称命题3．存在量词∃特称命题4．∃x 0∈M，p(x0)∀x∈M，p(x)特称全称5．①真②真③假④假⑤真⑥假⑦假⑧真⑨真○10假⑪假⑫真(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则p为()A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2nC ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n解：因为特称命题的否定是全称命题，所以p ：∀n ∈N ，n 2≤2n .故选C . 下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R ，2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x <1 D ．∃x ∈R ，tan x ＝2 解：对于B 选项，x ＝1时，(x －1)2＝0 .故选B .(2017·山东)已知命题p ：∀x ＞0，ln(x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2，下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧q C ．p ∧q D ．p ∧q解：由x ＞0时x ＋1＞1，知p 是真命题，由－1＞－2，(－1)2＜(－2)2可知q 是假命题，即p ，q 均是真命题．故选B .命题“∀x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是_______________________________．解：由定义知命题的否定为“∃x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤3”．故填∃x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤3.(2015·山东)若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．解：根据题意，m ≥(tan x )max ，而y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，有(tan x )max ＝tan π4＝1，所以m ≥1，m 的最小值为1.故填1.类型一 含有逻辑联结词的命题及其真假判断(1)设命题p ：若x ，y ∈R ，x ＝y ，则xy ＝1；命题q ：若函数f (x )＝e x ，则对任意x 1≠x 2都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0成立．则在下列命题中，真命题是( ) ①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(q )；④(p )∨q .A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④(2)已知命题p ：∀x ∈N *，⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫13x ；命题q ：∃x 0∈N *，2x 0＋21－x 0＝22，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧qB ．(p )∧qC ．p ∧(q )D ．(p )∧(q )解：(1)当x ＝y ＝0时，xy无意义，故命题p 为假命题；由于函数f (x )单调递增，所以对任意x 1≠x 2，x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，所以一定有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0成立，所以命题q 为真命题．显然只有命题②④为真命题．故选D .(2)根据幂函数的性质，可知命题p 为真命题；由2x0＋21－x0＝22，得22x0－22·2x0＋2＝0，解得2 x0＝2，即x 0＝12(或2x 0＋21－x 0≥22 x 0·21－x 0＝22，当且仅当2x 0＝21－x0，即x 0＝12时等号成立)，命题q 为假命题．所以只有p ∧(q )为真命题．故选C .【点拨】判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤：(1)判断复合命题的结构；(2)判断构成这个命题的每个简单命题的真假；(3)依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反作出判断．(1)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>lg x 0；命题q ：∀x ∈R ，e x >1.则( ) A ．命题p ∨q 是假命题 B ．命题p ∧q 是真命题 C ．命题p ∧(q )是真命题 D ．命题p ∨(q )是假命题(2)已知命题p ：若b 2＝ac (a ，b ，c ∈R )，则a ，b ，c 成等比数列；q ：函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋x 是奇函数．则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．p ∨(q ) D ．(p )∧(q )解：(1)取x 0＝10，得x 0－2＞lg x 0，所以命题p 是真命题；取x ＝－1，得e x ＜1，所以命题q 是假命题．则p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，p ∧( q )是真命题，p ∨( q )是真命题．故选C .(2)对于命题p .若b 2＝ac ，不妨取a ＝b ＝c ＝0，则a ，b ，c 不成等比数列，故命题p 为假命题；对于命题q ，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝－sin x 是奇函数，故命题q 是真命题．显然只有p ∨q 是真命题．故选A .类型二 含有逻辑联结词的命题的综合问题(2015·金华联考)已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负实数根；q ：不等式4x 2＋4(m －2)x ＋1>0的解集为R .若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数m 的取值范围是________．解：p 为真命题，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4＞0，－m ＜0， 解得m >2.q 为真命题，有Δ＝[4(m －2)]2－4×4×1<0，解得1<m <3. 由“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，知p 与q 一真一假． 当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，m ≤1或m ≥3， 得m ≥3；当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1＜m ＜3， 得1<m ≤2.综上，实数m 的取值范围是(1，2]∪[3，＋∞)． 故填(1，2]∪[3，＋∞)．【点拨】由“p 或q ”为真，“p 且q ”为假判断出p 和q 一真一假后，再根据命题与集合之间的对应关系求m 的范围．逻辑联结词与集合的运算具有一致性，逻辑联结词中“且”“或”“非”恰好分别对应集合运算的“交”“并”“补”．已知命题p ：在x ∈[1，2]时，不等式x 2＋ax －2>0恒成立；命题q ：函数f (x )＝log 13(x 2－2ax ＋3a )是区间[1，＋∞)上的减函数．若命题“p ∨q ”是真命题，求实数a 的取值范围． 解：因为x ∈[1，2]时，不等式x 2＋ax －2>0恒成立，所以a >2－x 2x ＝2x －x 在x ∈[1，2]时恒成立，令g (x )＝2x －x ，则g (x )在[1，2]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝1，所以a >1.即若命题p 真，则a >1.又因为函数f (x )＝log 13(x 2－2ax ＋3a )是区间[1，＋∞)上的减函数，所以u (x )＝x 2－2ax ＋3a 是[1，＋∞)上的增函数，且u (x )>0在[1，＋∞)上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，u （1）>0，所以－1<a ≤1，即若命题q 真，则－1<a ≤1.综上知，若命题“p ∨q ”是真命题，则a >－1.类型三 全称命题与特称命题(1)已知命题p ：∀x ＞0，总有(x ＋1)e x ＞1，则 p 为( ) A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x0≤1 B ．∃x 0＞0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 C ．∀x ＞0，总有(x ＋1)e x ≤1 D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤1解：全称命题的否定是特称命题．故选B .(2)已知“命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋2x 0＋1<0”为真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，1) B ．(－∞，1) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，1]解法一：当a ＝0时，2x ＋1＜0，可得x ＜－12，此时命题p 为真；当a ≠0时，要使命题p 为真，只要Δ＝4－4a ＞0，即a ＜1且a ≠0即可．综上可知，a ＜1.解法二：命题p 的否定是“∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1≥0”．当a ＝0时，显然命题 p 为假；当a ≠0时，命题 p 为真的充要条件是a ＞0且Δ＝4－4a ≤0，即a ≥1.故 p 为真时，a 的取值范围为A ＝[1，＋∞)，故p 为真时，a 的取值范围为∁R A ＝(－∞，1)．故选B .【点拨】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题． 命题 否定 p p p ∨q ( p )∧( q ) p ∧q ( p )∨( q ) ∀x ∈M ，p (x ) ∃x 0∈M ， p (x 0) ∃x 0∈M ，p (x 0)∀x ∈M ， p (x )(1)设命题p ：∀平面向量a 和b ，|a －b |<|a |＋|b |，则 p 为( ) A ．∀平面向量a 和b ，|a －b |≥|a |＋|b | B ．∃平面向量a 0和b 0，|a 0－b 0|<|a 0|＋|b 0| C ．∃平面向量a 0和b 0，|a 0－b 0|>|a 0|＋|b 0| D ．∃平面向量a 0和b 0，|a 0－b 0|≥|a 0|＋|b 0|(2)命题“∃x 0∈R ，a sin x 0＋cos x 0≥2”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 解：(1)改全称量词为存在量词并且否定结论．故选D .(2)原命题为假，即命题“∀x ∈R ，a sin x ＋cos x ＜2”为真命题，即a 2＋1＜2，解得－3＜a ＜3，即实数a 的取值范围是(－3，3)．故填(－3，3)．1．含有逻辑联结词命题真假的判断判断一个含有逻辑联结词命题的真假，应先对该命题进行分解，判断出构成它的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．2．全称命题与特称命题真假的判断(1)要判断全称命题是真命题，需要对集合M 中每个元素x ，证明p (x )成立；如果在集合M 中找到一个元素x 0，使得p (x 0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，至少能找一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．3．在有些命题中，逻辑联结词“或”“且”“非”是以另一种形式出现的．如“x ＝±1”中含逻辑联结词“或”，“≥”表示“大于或等于”；“”表示“平行且等于”，“并且”的含义为“且”；“∉”表示“不属于”，“不是”的含义为“非”等．4．一些常用的正面叙述的词语及它们的否定词语表：正面词语 等于(＝) 大于(＞) 小于(＜) 是 都是 否定词语 不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥) 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 一定 否定词语至少有两个一个也没有某个某些不一定1．“a 和b 都不是偶数”的否定形式是( ) A ．a 和b 至少有一个是偶数 B ．a 和b 至多有一个是偶数 C ．a 是偶数，b 不是偶数 D ．a 和b 都是偶数解：“a 和b 都不是偶数”的否定形式是“a 和b 至少有一个是偶数”．故选A . 2．已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则( ) A ． p ：∃x 0∈R ，sin x 0≥1 B ． p ：∀x ∈R ，sin x ≥1 C ． p ：∃x 0∈R ，sin x 0>1 D ． p ：∀x ∈R ，sin x >1解： p 是对p 的否定，故为∃x 0∈R ，sin x 0>1.故选C . 3．对于函数f (x )＝sin x ＋cos x ，下列命题正确的是( ) A ．∀x ∈R ，f (x )＝ 2 B ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝2C ．∀x ∈R ，f (x )＞ 2D ．∃x 0∈R ，f (x 0)＞2解：f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2，2]．故选B .4．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，e x0≤0 B ．∀x ∈R ，2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab ＝－1D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件解：此类题目多选用筛选法，因为e x >0对任意x ∈R 恒成立，所以A 选项错误；因为当x ＝3时23＝8，32＝9且8<9，所以选项B 错误；因为当a ＝b ＝0时a ＋b ＝0，而ab 无意义，所以选项C 错误．故选D .5．下列命题中，正确的是( )A ．命题“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20－x 0≥0”B ．命题“p ∧q 为真”是命题“p ∨q 为真”的必要不充分条件C ．“若am 2≤bm 2，则a ≤b ”的否命题为真D ．若实数x ，y ∈[－1，1]，则满足x 2＋y 2≥1的概率为π4解：A 中否定不能有等号．B 中命题“p ∧q 为真”是命题“p ∨q 为真”的充分不必要条件．D 中概率应为1－π4.故选C . 6．已知a >0，则x 0满足关于x 的方程ax ＝b 的充要条件是( )A ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0B ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0C ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0D ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0解：由于a >0，令函数y ＝12ax 2－bx ＝12a ⎝⎛⎭⎫x －b a 2－b 22a ，此时函数对应的开口向上，当x ＝b a 时，取得最小值－b 22a，而x 0满足关于x 的方程ax ＝b ，那么x 0＝b a ，y min ＝12ax 20－bx 0＝－b 22a ，那么对于任意的x ∈R ，都有y ＝12ax 2－bx ≥－b 22a ＝12ax 20－bx 0.故选C .7．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数；p 2：函数y ＝x ＋1x 在(0，＋∞)上为减函数．则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：( p 1)∨p 2和q 4：p 1∧( p 2)中，是真命题的是________． 解：p 1是真命题，则 p 1为假命题；p 2是假命题，则 p 2为真命题， 所以q 1：p 1∨p 2是真命题，q 2：p 1∧p 2是假命题， 所以q 3：( p 1)∨p 2为假命题，q 4：p 1∧( p 2)为真命题． 所以真命题是q 1，q 4.故填q 1，q 4.8．已知命题p ：∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解：由题意知，p ：a ≤1，q ：a ≤－2或a ≥1，因为“p 且q ”为真命题，所以p ，q 均为真命题，所以a ≤－2或a ＝1.故填{a|a ≤－2或a ＝1}．9．分别写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“ p ”形式的新命题，并判断其真假． (1)p ：2是4的约数，q ：2是6的约数；(2)p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分． 解：(1)p ∨q ：2是4的约数或2是6的约数，真命题； p ∧q ：2是4的约数且2是6的约数，真命题； p ：2不是4的约数，假命题．(2)p ∨q ：矩形的对角线相等或互相平分，真命题； p ∧q ：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；p ：矩形的对角线不相等，假命题．10．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，写出它们的否定形式，并判断否定形式的真假． (1)若a ＞0且a ≠1，则对任意实数x ，a x ＞0； (2)对任意实数x 1，x 2，若x 1＜x 2，则tan x 1＜tan x 2； (3)∃T 0∈R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |； (4)∃x 0∈R ，使x 20＋1＜0.解：(1)全称命题，其否定形式为：若a >0且a ≠1，则∃x ∈R ，a x ≤0，显然该命题为假命题．(2)全称命题，其否定形式为：∃x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，使tan x 1≥tan x 2，该命题为真命题．例如取x 1＝0，x 2＝π，有x 1＜x 2，但tan x 1＝tan x 2＝0；又当x 1＝0，x 2＝2π3时，有x 1＜x 2，但tan0＝0，tan 2π3＝－3，所以tan x 1＞tan x 2.(3)特称命题，其否定形式为：∀T ∈R ，|sin(x ＋T )|≠|sin x |，该命题是假命题．例如T 0＝π时，有|sin(x ＋π)|＝|sin x |.(4)特称命题，其否定形式为∀x ∈R ，x 2＋1≥0.因为x ∈R 时，x 2≥0，所以x 2＋1≥1＞0，故为真命题． 11．设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．求使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－2m ＞0， 得m ＜－1，所以p ：m ＜－1；由Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)＜0，得－2＜m ＜3， 所以q ：－2＜m ＜3.由p ∨q 为真，p ∧q 为假可知，命题p ，q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－1，m ≥3或m ≤－2， 此时m ≤－2；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，－2＜m ＜3， 此时－1≤m ＜3.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－1，3)．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0，1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[－1，1]，使得m ≤ax 成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1时，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围．解：(1)因为对任意x ∈[0，1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，所以(2x －2)min ≥m 2－3m ，即m 2－3m ≤－2，解得1≤m ≤2.因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1，2]． (2)因为a ＝1，且存在x ∈[－1，1]，使得m ≤ax 成立， 所以m ≤1.因此，命题q 为真时，m ≤1. 因为p 且q 为假，p 或q 为真，所以p ，q 中一个是真命题，一个是假命题． 当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤2，m ＞1， 得1＜m ≤2；当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜1或m ＞2，m ≤1， 得m ＜1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1，2]．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2017·北京)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜－2或x ＞2}，则∁U A ＝ ( ) A ．(－2，2) B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C ．[－2，2] D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解：由已知可得，集合A 的补集∁U A ＝[－2，2]．故选C .2．(2017·浙江)已知集合P ＝{x |－1＜x ＜1}，Q ＝{x |0＜x ＜2}，那么P ∪Q ＝ ( ) A ．(－1，2) B ．(0，1) C ．(－1，0) D ．(1，2)解：根据集合的并集的定义，得P ∪Q ＝(－1，2)．故选A .3．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0，x ∈Z }，则A ∪B ＝ ( ) A ．{1} B ．{1，2}C ．{0，1，2，3}D ．{－1，0，1，2，3}解：集合B ＝{x |－1＜x ＜2，x ∈Z }＝{0，1}，而A ＝{1，2，3}，所以A ∪B ＝{0，1，2，3}．故选C .4．命题“∃m ∈[0，1]，使得x ＋1x ＜2m ”的否定形式是 ( )A ．∀m ∈[0，1]，总有x ＋1x ＜2mB ．∃m ∈[0，1]，使得x ＋1x≥2mC ．∃m ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，使得x ＋1x≥2mD ．∀m ∈[0，1]，总有x ＋1x ≥2m解：特称命题的否定是全称命题．故选D .5．已知全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝4x ，x ＞0，B ＝{y |y ＝2x ，x ＜1}，则A ∩(∁R B )＝ ( )A ．(0，2)B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]D ．(2，＋∞) 解：因为集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝4x ，x ＞0＝(0，＋∞)，B ＝{y |y ＝2x ，x ＜1}＝(0，2)，所以∁R B ＝(－∞，0]∪[2，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝[2，＋∞)．故选B .6．已知p ：∅⊆{0}，q ：{1}∈{1，2}，由它们构成的新命题“p ∧q ”“p ∨q ”“ p ”中，真命题有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解：因为空集是任何集合的子集，{1}⊆{1，2}，所以p 真q 假．所以“p ∨q ”为真，“p ∧q ”“ p ”为假．故选B .7．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈Z 且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5解：因为32－x ∈Z 且x ∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1，1，3，x 的值分别为5，3，1，－1，故集合A 中的元素个数为4.故选C .8．设a ，b 为正数，则“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的 ( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：a －b >1，即a >b ＋1.因为a ，b 为正数，所以a 2>(b ＋1)2＝b 2＋1＋2b >b 2＋1，即a 2－b 2>1成立．反之，当a ＝3，b ＝1时，满足a 2－b 2>1，但a －b >1不成立．所以“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的充分不必要条件．故选A .9．下列命题中：①“∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0”的否定； ②“若x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题； ③命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题． 其中真命题的个数是 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 解：只有③不正确．故选C .10．(2017·浙江)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解：S 4＋S 6－2S 5＝a 5＋a 6－2a 5＝d ，所以为充要条件．故选C .11．短道速滑队进行冬奥会选拔赛(6人决出第一～六名)，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，( q )∧r 是真命题，则选拔赛的结果为( ) A ．甲第一、乙第二、丙第三 B ．甲第二、乙第一、丙第三 C ．甲第一、乙第三、丙第二 D ．甲第一、乙没得第二名、丙第三解：( q )∧r 是真命题意味着 q 为真，q 为假(乙没得第二名)且r 为真(丙得第三名)；p ∨q 是真命题，由于q 为假，只能p 为真(甲得第一名)，这与p ∧q 是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名．故选D .12．已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是 ( ) A.⎣⎡⎭⎫14，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－∞，14 C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12 解：当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.故选A .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是________．解：把全称量词“∀”改为存在量词“∃”，并把结论加以否定．故填∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0＜0. 14．已知集合A ＝{－1，2，3，6}，B ＝{x |－2<x <3}，则A ∩B 子集的个数为________．解：由交集的定义可得A ∩B ＝{－1，2}．因此A ∩B 的子集为∅，{－1}，{2}，{－1，2}．故填4. 15．已知集合A ＝{1，a ，5}，B ＝{2，a 2＋1}．若A ∩B 中有且只有一个元素，则实数a 的值为________． 解：若a 2＋1＝1，则a ＝0，A ∩B ＝{1}；若a 2＋1＝5，则a ＝±2，当a ＝2时，A ∩B ＝{2，5}，不合题意，舍去；当a ＝－2时，A ∩B ＝{5}； 若a 2＋1＝a ，则a 2－a ＋1＝0无解． 所以a ＝0或a ＝－2.故填0或－2.16．如图所示的韦恩图中，A ，B 是非空集合，定义集合A ⊕B 为阴影部分所表示的集合．若A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A ⊕B ＝________.解：依据定义，A ⊕B 就是将A ∪B 除去A ∩B 后剩余的元素所构成的集合．B ＝{y |y >1}，所以A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝(1，2]，依据定义得A ⊕B ＝{x |0≤x ≤1或x >2}．故填{x|0≤x ≤1或x>2}．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知R 为全集，A ＝{x |log 12(3－x )≥－2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪5x ＋2≥1.(1)求A ∩B ；(2)求(∁R A )∩B 与(∁R A )∪B .解：(1)由log 12(3－x )≥log 124，得⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＞0，3－x ≤4.即A ＝{x |－1≤x <3}．由5x ＋2≥1，得x －3x ＋2≤0， 即B ＝{x |－2<x ≤3}， 所以A ∩B ＝{x |－1≤x <3}． (2)因为∁R A ＝{x |x <－1或x ≥3}，故(∁R A )∩B ＝{x |－2<x <－1或x ＝3}，(∁R A )∪B ＝R .18．(12分)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，若A ∪B ＝A ，求a 的值．解：A ＝{1，2}，因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，B ＝{x |[x －(a －1)](x －1)＝0}，所以a －1＝1或2，即a ＝2或3. 19．(12分)已知集合A ＝{x ||x －a |≤2}，B ＝{x |lg(x 2＋6x ＋9)>0}． (1)求集合A 和∁R B ；(2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为|x －a |≤2⇔－2≤x －a ≤2⇔a －2≤x ≤a ＋2， 所以集合A ＝{x |a －2≤x ≤a ＋2}． 因为lg(x 2＋6x ＋9)>0，所以x 2＋6x ＋9>1， 所以x ＜－4或x ＞－2.所以集合B ＝{x |x <－4或x >－2}． 所以∁R B ＝[－4，－2]．(2)由A ⊆B ，得2＋a <－4或－2<a －2， 解得a <－6或a >0.所以a 的取值范围为{a |a <－6或a >0}．20．(12分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R }．(1)若A ∩B ＝[1，3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)因为A ∩B ＝[1，3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝1，m ＋2≥3， 得m ＝3. (2)∁R B ＝{x |x ＜m －2，或x ＞m ＋2}，因为A ⊆∁R B ，所以m －2＞3或m ＋2＜－1，解得m ＞5或m ＜－3.所以实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．21．(12分)已知p ：x 2≤5x －4，q ：x 2－(a ＋2)x ＋2a ≤0.(1)求p 中对应x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．解：(1)因为x 2≤5x －4，所以x 2－5x ＋4≤0，即(x －1)(x －4)≤0，所以1≤x ≤4，即p 中对应x 的取值范围为[1，4]．(2)设p 对应的集合为A ＝{x |1≤x ≤4}．由x 2－(a ＋2)x ＋2a ≤0，得(x －2)(x －a )≤0.当a ＝2时，不等式的解为x ＝2，对应的解集为B ＝{2}；当a >2时，不等式的解为2≤x ≤a ，对应的解集为B ＝{x |2≤x ≤a }；当a <2时，不等式的解为a ≤x ≤2，对应的解集为B ＝{x |a ≤x ≤2}；若p 是q 的必要不充分条件，则B A ，当a ＝2时，满足条件；当a >2时，因为A ＝{x |1≤x ≤4}，B ＝{x |2≤x ≤a }，要使B A ，则满足2<a ≤4； 当a <2时，因为A ＝{x |1≤x ≤4}，B ＝{x |a ≤x ≤2}，要使B A ，则满足1≤a <2. 综上，实数a 的取值范围为{a |1≤a ≤4}．22．(12分)设a ∈R ，二次函数f (x )＝ax 2－2x －2a .若f (x )>0的解集为A ，B ＝{x |1<x <3}，A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围．解：由f (x )为二次函数知a ≠0，令f (x )＝0解得其两根为x 1＝1a－2＋1a 2，x 2＝1a ＋2＋1a2. 由此可知x 1<0，x 2>0.(1)当a >0时，A ＝{x |x <x 1}∪{x |x >x 2}．A ∩B ≠∅的充要条件是x 2<3，即1a ＋2＋1a 2<3，解得a >67. (2)当a <0时，A ＝{x |x 1<x <x 2}．A ∩B ≠∅的充要条件是x 2>1，即1a ＋2＋1a2>1，解得a <－2. 综上，使A ∩B ≠∅成立的a 的取值范围为(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫67，＋∞．。
(完整版)简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p ∧q 、p ∨q 、非p 的真假判断2.(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．(3)含有一个量词的命题的否定要点整合1．若p ∧q 为真，则p ，q 同为真；若p ∧q 为假，则p ，q 至少有一个为假；若p ∨q 为假，则p ，q 同为假；若p ∨q 为真，则p ，q 至少有一个为真．2．“p ∧q ”的否定是“(非p )∨(非q )”；“p ∨q ”的否定是“(非p )∧(非q )”．题型一. 含有一个逻辑联结词命题的真假性例1. 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(非p )∧(非q )C ．(非p )∧qD ．p ∧(非q )解析： 根据指数函数的图象可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以非q 为真命题．逐项检验可知只有p ∧(非q )为真命题．故选D.[答案] D判断含有一个逻辑联结词命题的真假性的步骤第一步：先判断命题p 与q 的真假性，从而得出非p 与非q 的真假性．第二步：根据“p ∧q ”与“p ∨q ”的真值表进行真假性的判断．变式1．设命题p ：3≥2，q ：函数f (x )＝x ＋1x (x ∈R )的最小值为2，则下列命题为假命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∨(非q )C ．(非p )∨qD ．p ∧(非q )解析：选C.命题p ：3≥2是真命题，命题q 是假命题，∴(非p )∨q 为假命题，故选C.变式2．已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＝2－x ，若命题(非p )∧q 为真命题，则x 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选D.∵非p ：∃x ∈R ，2x ≥3x ，要使(非p )∧q 为真，∴非p 与q 同时为真．由2x ≥3x 得⎝⎛⎭⎫23x ≥1， ∴x ≤0，由x 2＝2－x 得x 2＋x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－2，又x ≤0，∴x ＝－2.变式3．设p ：y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是减函数；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同的交点，若p ∨(非q )为假，则a 的范围为__________．解析：∵p ∨(非q )为假，∴p 假q 真．p 为假时，a >1，q 为真时，(2a －3)2－4>0，即a <12或a >52，∴a 的范围为(1，＋∞)∩⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞ ＝⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫52，＋∞题型二. 含有一个量词的命题的否定例2. 命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1解析： 由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为全称命题，则所求命题的否定为∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1，故选A.[答案] A(1)特称命题与全称命题否定的判断方法：“∃”“∀”相调换，否定结论得命题．对没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可．变式1．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0的否定为( )A ．非p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2>0B ．非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0C ．非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0D ．非p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2＜0解析：选C.根据特称命题的否定形式知非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，故选C.变式2．设命题p ：任意两个等腰三角形都相似，q ：∃x 0∈R ，x 0＋|x 0|＋2＝0，则下列结论正确的是 ( )A ．p ∨q 为真命题B ．(非p )∧q 为真命题C ．p ∨(非q )为真命题D ．(非p )∧(非q )为假命题解析：选C.∵p 假，非p 真；q 假，非q 真，∴p ∨q 为假，(非p )∧q 为假，p ∨(非q )为真，(非p )∧(非q )为真，故选C.题型三. 全称命题与特称命题真假性的应用例3. 已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，2]解析： 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. [答案] A根据全称与特称命题的真假性求参数范围的步骤第一步：对两个简单命题进行真假性判断．第二步：根据p ∧q 为真，则p 真q 真，p ∧q 为假，则p与q 至少有一个为假，p ∨q 为真，则p 与q 至少有一个为真，p ∨q 为假，则p 假q 假．第三步：根据p 、q 的真假性列出关于参数的关系式，从而求出参数的范围．变式1．若命题“存在实数x 0，使x 20＋ax 0＋1＜0”的否定是真命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，2]C ．(－2，2)D ．[2，＋∞)解析：选B.因为该命题的否定为：“∀x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”是真命题，则Δ＝a 2－4×1×1≤0， 解得－2≤a ≤2.故实数a 的取值范围是[－2，2]．变式2．(名师原创)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin x ≤m ”是真命题，则实数m 的范围为( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1]C.⎝⎛⎦⎤－∞，12 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选A.∵∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，12≤sin x ≤1. ∴“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin x ≤m ”为真命题时，m ≥1，故选A.【真题演练】1.【浙江理数】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ）A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x <B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x <C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <【答案】D【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ．2.【高考新课标1，理3】设命题p ：2,2n n N n ∃∈>，则p ⌝为( )（A ）2,2n n N n ∀∈> （B ）2,2n n N n ∃∈≤（C ）2,2n n N n ∀∈≤ （D ）2,=2n n N n ∃∈【答案】C【解析】p ⌝:2,2nn N n ∀∈≤，故选C.3.【高考浙江，理4】命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（ ） A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n >D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >【答案】D.【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.4.【陕西卷】原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【答案】B5.【重庆卷】已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0，q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．非p ∧非qC ．非p ∧qD ．p ∧非q【答案】D【解析】根据指数函数的图像可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以非q 为真命题，所以p ∧非q 为真命题．6.【湖北卷】在一次跳伞中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(⌝p)∨(⌝q)B ．p ∨(⌝q)C ．(⌝p)∧(⌝q)D ．p ∨q【答案】A“至少一位学员没降落在指定区域”即“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.。
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(3)
1．3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[知识梳理]1．简单的逻辑联结词(1)命题中的或、且、非叫做逻辑联结词．(2)概念用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作綈p.(3)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断(4)命题的否定与否命题的区别①定义：命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定，即命题“若p，则q”的否定为“若p，则綈q”，而否命题为“若綈p，则綈q”．②与原命题的真假关系：命题的否定的真假与原命题的真假总是相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系．2．全称量词和存在量词3．全称命题和特称命题4．复合命题的否定(1)“綈p”的否定是“p”；(2)“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”；(3)“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”．[诊断自测]1．概念思辨(1)若p∧q为真，则p∨q必为真；反之，若p∨q为真，则p∧q必为真．()(2)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．()(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．()(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．教材衍化(1)(选修A2－1P27T3)命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是()A．∃x>0，使得x2－x＋3≤0B．∃x>0，使得x2－x＋3>0C．∀x>0，都有x2－x＋3>0D．∀x≤0，都有x2－x＋3>0答案 B解析命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是：∃x>0，使得x2－x＋3>0.故选B.(2)(选修A2－1P18T1)已知命题p：∃x∈R，x－2>lg x，命题q：∀x∈R，x2>0，则()A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧(綈q)是真命题D．命题p∨(綈q)是假命题答案 C解析由于x＝10时，x－2＝8，lg x＝lg 10＝1，故命题p为真命题，令x＝0，则x2＝0，故命题q为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，得到命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，綈q是真命题，进而得到命题p∧(綈q)是真命题，命题p∨(綈q)是真命题．故选C.3．小题热身(1)(2015·浙江高考)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 答案 D解析 “f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定为“f (n )∉N *或f (n )>n ”，全称命题的否定为特称命题．故选D.(2)(2015·山东高考)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析 若0≤x ≤π4，则0≤tan x ≤1，∵“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，∴m ≥1.∴实数m 的最小值为1.题型1 含有逻辑联结词的命题的真假典例1 (2018·江西七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x <0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解；命题q ：若m ＝19，则f [f (－1)]＝0，那么，下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )利用复合命题的真假判断方法，逐项验证法．答案 B解析 因为3x >0，当m <0时，m －x 2<0， 所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f [f (－1)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝0，所以命题q 为真命题，逐项检验可知，只有(綈p )∧q 为真命题．故选B.典例2(2017·武汉模拟)若存在正常数a ，b ，使得∀x ∈R 有f (x ＋a )≤f (x )＋b 恒成立，则称f (x )为“限增函数”．给出下列三个函数：①f (x )＝x 2＋x ＋1；②f (x )＝|x |；③f (x )＝sin x 2，其中是“限增函数”的是( )A ．①②③B ．②③C ．①③D ．③注意放缩法的应用．答案 B解析 对于①，f (x ＋a )≤f (x )＋b 可化为 (x ＋a )2＋(x ＋a )＋1≤x 2＋x ＋1＋b ，即2ax ≤－a 2－a ＋b ，即x ≤－a 2－a ＋b 2a对一切x ∈R 均成立，因函数的定义域为R ，故不存在满足条件的正常数a ，b ，故f (x )＝x 2＋x ＋1不是“限增函数”；对于②，若f (x )＝|x |是“限增函数”，则 f (x ＋a )≤f (x )＋b 可化为：|x ＋a |≤|x |＋b ， ∴|x ＋a |≤|x |＋b 2＋2b |x |恒成立，又 |x ＋a |≤|x |＋a ，∴|x |＋a ≤|x |＋b 2＋2b |x |， ∴|x |≥a －b 22b ，显然当a <b 2时式子恒成立， ∴f (x )＝|x |是“限增函数”； 对于③，∵－1≤f (x )＝sin x 2≤1， ∴f (x ＋a )－f (x )≤2，∴当b ≥2时，a 为任意正数，使f (x ＋a )≤f (x )＋b 恒成立，故f (x )＝sin x 2是“限增函数”．故选B.方法技巧1．判断含逻辑联结词命题真假的方法与步骤(1)判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解，应根据组成各个命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．见冲关针对训练1.(2)判断命题真假的步骤确定含有逻辑联结词的命题的构成形式⇒判断其中简单命题的真假⇒根据真值表判断含有逻辑联结词的命题的真假2．含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(綈p)∧(綈q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(綈p)∨(綈q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真．(5)綈p真⇔p假；綈p假⇔p真．见典例1.冲关针对训练1．(2018·天星二联)已知命题p：若a＝0.30.3，b＝1.20.3，c＝log1.20.3，则a<c<b；命题q：“x2－x－6>0”是“x>4”的必要不充分条件，则下列命题正确的是() A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)答案 C解析因为0<a＝0.30.3<0.30＝1，b＝1.20.3>1.20＝1，c＝log1.20.3<log1.21＝0，所以c<a<b，故命题p为假命题，綈p为真命题；由x2－x－6>0可得x<－2或x>3，故“x2－x－6>0”是“x>4”的必要不充分条件，q为真命题，故(綈p)∧q为真命题．故选C.2．(2018·山西八校联考)已知命题p：存在n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q：“∃x∈R，x2＋2>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是()A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )答案 C解析 当n ＝1时，f (x )＝x 3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p 是真命题，则綈p 是假命题；“∃x ∈R ，x 2＋2>3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2≤3x ”，故q 是假命题，綈q 是真命题．所以p ∧q ，(綈p )∧q ，(綈p )∧(綈q )均为假命题，p ∧(綈q )为真命题．故选C.题型2 全称命题与特称命题角度1 全称命题、特称命题的真假判断典例(2017·贵阳模拟)下列命题是假命题的是( ) A ．∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β B ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃x 0∈R ，使x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且为常数)D ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点本题用赋值法、分离常数法．答案 B解析 取α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，A 正确；取φ＝π2时，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 是偶函数，B 错误；对于三次函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，当x →－∞时，y →－∞，当x →＋∞时，y →＋∞，又f (x )在R 上为连续函数，故∃x 0∈R ，使x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0，C 正确；当f (x )＝0时，ln 2x ＋ln x －a ＝0，则有a ＝ln 2x ＋lnx ＝⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋122－14≥－14，所以∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点，D 正确．故选B.角度2 全称命题、特称命题的否定典例 (2018·厦门模拟)已知命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x <x ，则( ) A ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x ≥xB ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0≥x 0C ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x ≥xD ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0≥x 0 用构造函数法，求导法．答案 B解析 令f (x )＝sin x －x ，则f ′(x )＝cos x －1<0， 函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2递减，f (x )max <f (0)＝0，故sin x <x ，命题p 是真命题，由命题的否定的定义，要否定命题的结论，同时改写量词知綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0≥x 0.故选B.方法技巧全(特)称命题的常见题型及解题策略1．全(特)称命题的真假判断．①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每个元素x 验证p (x )成立，但要判断一个全称命题为假命题，只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可．②要判断一个特称命题为真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．见角度1典例．2．全(特)称命题的否定．全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．见角度2典例．冲关针对训练1．(2018·晋中模拟)已知f (x )＝e x －x ，g (x )＝ln x ＋x ＋1，命题p ：∀x ∈R ，f (x )>0，命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)，使得g (x 0)＝0，则下列说法正确的是( )A ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈R ，f (x 0)<0B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈R ，f (x 0)≤0C ．q 是真命题，綈q ：∀x ∈(0，＋∞)，g (x )≠0D ．q 是假命题，綈q ：∀x ∈(0，＋∞)，g (x )≠0 答案 C解析 f ′(x )＝e x －1，由f ′(x )>0得x >0，由f ′(x )<0得x <0，即当x ＝0时，函数f (x )取得极小值，同时也是最小值f (0)＝e 0－0＝1－0＝1>0，所以∀x ∈R ，f (x )>0成立，即p 是真命题．g (x )＝ln x ＋x ＋1在(0，＋∞)上为增函数，当x →0时，g (x )<0，g (1)＝0＋1＋1＝2>0，则∃x 0∈(0，＋∞)，使得g (x 0)＝0成立，即命题q 是真命题．则綈p ：∃x 0∈R ，f (x 0)≤0，綈q ：∀x ∈(0，＋∞)，g (x )≠0， 综上只有C 成立．故选C.2．(2017·安徽皖江名校联考)命题p ：存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x ＋cos x >2；命题q ：“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”，则四个命题：(綈p )∨(綈q )，p ∧q ，(綈p )∧q ，p ∨(綈q )中，正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，所以命题p 是假命题；又特称命题的否定是全称命题，因此命题q 为真命题．则(綈p )∨(綈q )为真命题，p ∧q 为假命题，(綈p )∧q 为真命题，p ∨(綈q )为假命题．∴四个命题中正确的有2个命题．故选B.题型3 由命题的真假求参数的取值范围典例1已知命题P ：函数y ＝log a (1－2x )在定义域上单调递增；命题Q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立．若P ∨Q 是假命题，则实数a的取值范围是________．注意分情况讨论．答案 a ≤－2或a >2解析 命题P ：函数y ＝log a (1－2x )在定义域上单调递增，∴0<a <1. 又∵命题Q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立，∴a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0， 即－2<a ≤2.若P ∨Q 为假命题，则P 假Q 假，命题P 为假时，有a ≤0或a ≥1；命题Q 为假时，有a ≤－2或a >2，所以P ∨Q 为假时a ≤－2或a >2.[结论探究] 在本例条件下，若P ∨Q 为真命题，P ∧Q 为假命题，则实数a 的取值范围为________．答案 －2<a ≤0或1≤a ≤2解析 若P ∨Q 为真，P ∧Q 为假，命题P 和Q 一真一假，若P 真Q 假，无解；若P 假Q 真，有－2<a ≤0或1≤a ≤2.典例2 (2018·河北调研)对任意的x >0，总有f (x )＝a －x －|lg x |≤0，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，lg e －lg (lg e)]B ．(－∞，1]C ．[1，lg e －lg (lg e)]D ．[lg e －lg (lg e)，＋∞)用数形结合法．答案 A解析 对任意的x >0，总有f (x )＝a －x －|lg x |≤0，即a －x ≤|lg x |恒成立，设y ＝－x ＋a ，g (x )＝|lg x |，如图，当直线y ＝－x ＋a 与g (x )相切时，a 取得最大值，设切点为A (x ，y )，则－1＝(－lg x )′，得到x ＝lg e ，所以y ＝－lg (lg e)，所以切线方程为：y ＋lg (lg e)＝－(x －lg e)，令x ＝0得到y ＝lg e －lg (lg e)， 所以a 的取值范围为(－∞，lg e －lg (lg e)]．故选A.方法技巧利用命题真假求参数取值范围的求解策略1．根据含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．见典例1.2．全称命题可转化为恒成立问题．同时注意数形结合思想的应用．见典例2.冲关针对训练(2018·寿县月考)已知命题P ：∀x ∈(2,3)，x 2＋5>ax 是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．[25，＋∞)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫92，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫143，＋∞ D ．(－∞，25]答案 A解析 若∀x ∈(2,3)，x 2＋5>ax 恒成立，则a <⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5x min ，x ∈(2,3)． ∵f (x )＝x ＋5x 在(2，5)上是减函数，在(5，3)上为增函数，∴函数f (x )的最小值是f (5)＝25，则a <2 5.∵命题P ：∀x ∈(2,3)，x 2＋5>ax 是假命题，∴a ≥25，实数a 的取值范围是[25，＋∞)．故选A.1．(2017·山东高考)已知命题p ：∀x ＞0，ln (x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2.下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)答案 B解析∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln (x＋1)＞ln 1＝0，∴命题p为真命题，∴綈p为假命题．∵a＞b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2＜b2，∴命题q为假命题，∴綈q为真命题．∴p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∧q为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B.2．(2018·郑州质检)设命题p：∀x>0，log2x<2x＋3，则綈p为()A．∀x>0，log2x≥2x＋3 B．∃x>0，log2x≥2x＋3C．∃x>0，log2x<2x＋3 D．∀x<0，log2x≥2x＋3答案 B解析由全称命题的否定为特称命题，知綈p为∃x>0，log2x≥2x＋3.故选B.3．(2017·石家庄质检)下列选项中，说法正确的是()A．若a>b>0，则ln a<ln bB．向量a＝(1，m)，b＝(m,2m－1)(m∈R)垂直的充要条件是m＝1C．命题“∀n∈N*,3n>(n＋2)·2n－1”的否定是“∀n∈N*,3n≥(n＋2)·2n－1”D．已知函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题答案 D解析A中，因为函数y＝ln x(x>0)是增函数，所以若a>b>0，则ln a>ln b，错误；B中，若a⊥b，则m＋m(2m－1)＝0，解得m＝0，错误；C中，命题“∀n∈N*,3n>(n＋2)·2n－1”的否定是“∃n∈N*,3n≤(n＋2)·2n－1”，错误；D中，原命题的逆命题是“若f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，则f(a)·f(b)<0”，该逆命题是假命题，如函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,4]上的图象是连续不断的，且在区间(－2,4)内有两个零点，但f(－2)·f(4)>0，正确．故选D.4．(2017·皖南名校联考)设命题p：函数f(x)＝x3－ax－1在区间[－1,1]上单调递减；命题q：函数y＝ln (x2＋ax＋1)的值域是R，如果命题p或q是真命题，p 且q为假命题，则实数a的取值范围是()A．(－∞，3] B．(－∞，－2]∪[2,3)C ．(2,3]D ．[3，＋∞)答案 B 解析 若p 为真命题，则f ′(x )＝3x 2－a ≤0在区间[－1，1]上恒成立，即a ≥3x 2在区间[－1,1]上恒成立，所以a ≥3；若q 为真命题，则方程x 2＋ax ＋1＝0的判别式Δ＝a 2－4≥0，即a ≥2或a ≤－2.由题意知，p 与q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥3，－2<a <2，则a ∈∅；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a <3，a ≥2或a ≤－2，则a ≤－2或2≤a <3. 综上所述，a ∈(－∞，－2]∪[2,3)．故选B.[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2018·武邑模拟)已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则綈p为() A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1 B．∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1C．∀x>0，总有(x＋1)e x≤1 D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤1答案 B解析“∀x>0，总有(x＋1)e x>1”的否定是“∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1”．故选B.2．下列四个命题：其中的真命题是()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案 D解析3．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)答案 C解析 由题知：x 0＝－b 2a 为函数f (x )图象的对称轴方程，所以f (x 0)为函数的最小值，即对所有的实数x ，都有f (x )≥f (x 0)，因此∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)是错误的．故选C.4．(2018·广东五校一诊)下列命题错误的是( )A ．若p ∨q 为假命题，则p ∧q 为假命题B ．若a ，b ∈[0,1]，则不等式a 2＋b 2<14成立的概率是π16C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”D ．已知函数f (x )可导，则“f ′(x 0)＝0”是“x 0是函数f (x )的极值点”的充要条件答案 D解析 选项A ，若p ∨q 为假命题，则p 为假命题，q 为假命题，故p ∧q 为假命题，正确；选项B ，使不等式a 2＋b 2<14成立的a ，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，故不等式a 2＋b 2<14成立的概率是14×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1221×1＝π16，正确；选项C ，特称命题的否定是全称命题，正确；选项D ，令f (x )＝x 3，则f ′(0)＝0，但0不是函数f (x )＝x 3的极值点，错误．故选D.5．(2017·河西区三模)已知命题p ：∀x ∈[1,2]，使得e x －a ≥0.若綈p 是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，e 2]B ．(－∞，e]C ．[e ，＋∞)D ．[e 2，＋∞)答案 B解析 命题p ：∀x ∈[1,2]，使得e x －a ≥0.∴a ≤(e x )min ＝e ，若綈p 是假命题，∴p 是真命题，∴a ≤e.则实数a 的取值范围为(－∞，e]．故选B.6．已知命题p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2,0)C ．(－2,0)D ．(0,2)答案 C解析 由题可知若p ∧q 为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题，对于命题p 为真，则m <0，对于命题q 为真，则m 2－4<0，即－2<m <2，所以命题p 和命题q 均为真命题时，实数m 的取值范围是(－2,0)．故选C.7．(2018·黄冈模拟)下列四个结论：①若x >0，则x >sin x 恒成立；②命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”； ③“命题p ∧q 为真”是“命题p ∨q 为真”的充分不必要条件；④命题“∀x ∈R ，x －ln x >0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0<0”．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 对于①，令y ＝x －sin x ，则y ′＝1－cos x ≥0，则函数y ＝x －sin x 在R 上递增，则当x >0时，x －sin x >0－0＝0，即当x >0时，x >sin x 恒成立，故①正确；对于②，命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”，故②正确；对于③，命题p ∨q 为真即p ，q 中至少有一个为真，p ∧q 为真即p ，q 都为真，可知“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件，故③正确；对于④，命题“∀x ∈R ，x －ln x >0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0≤0”，故④错误．综上，正确结论的个数为3.故选C.8．(2017·广东七校联考)已知命题p ：∃a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14，函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋a x ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上单调递增；命题q ：函数g (x )＝x ＋log 2x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上无零点．则下列命题中是真命题的是( )A ．綈pB ．p ∧qC ．(綈p )∨qD ．p ∧(綈q )答案 D解析 设h (x )＝x ＋a x ＋1.易知当a ＝－12时，函数h (x )为增函数，且h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝16>0，则此时函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上必单调递增，即p 是真命题；∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12<0，g (1)＝1>0，∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上有零点，即q 是假命题，根据真值表可知p ∧(綈q )是真命题．故选D.9．(2018·广州测试)已知命题p ：∃x >0，e x －ax <1成立，q ：函数f (x )＝－(a －1)x 在R 上是减函数，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 作出y ＝e x 与y ＝ax ＋1的图象，如图．当a ＝1时，e x ≥x ＋1恒成立，故当a ≤1时，e x －ax <1不恒成立；当a >1时，可知存在x ∈(0，x 0)，使得e x －ax <1成立，故p 成立，即p ：a >1，由函数f (x )＝－(a －1)x 是减函数，可得a －1>1，得a >2，即q ：a >2，故p 推不出q ，q 可以推出p ，p 是q 的必要不充分条件．故选B.10．(2017·泰安模拟)已知命题p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1<1，q ：对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(0,2]C ．[0,2]D ．R答案 C解析 对于命题p ，mx 2＋1<1，得mx 2<0，若p 为真命题，则m <0，若p 为假命题，则m ≥0；对于命题q ，对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若命题q 为真命题，则m 2－4≤0，即－2≤m ≤2，若命题q 为假命题，则m <－2或m >2.因为p ∨(綈q )为假命题，则需要满足命题p 为假命题且命题q 为真命题，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2≤m ≤2，解得0≤m ≤2，故选C.二、填空题11．若∀a ∈(0，＋∞)，∃θ∈R ，使a sin θ≥a 成立，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的值为________． 答案 12解析 因为∀a ∈(0，＋∞)，∃θ∈R ，使a sin θ≥a 成立，所以sin θ≥1.又sin θ∈[－1,1]，所以sin θ＝1，故θ＝π2＋2k π(k ∈Z )．所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2k π＝cos π3＝12. 12．已知命题p ：方程x 2－mx ＋1＝0有实数解，命题q ：x 2－2x ＋m >0对任意x 恒成立．若命题q ∨(p ∧q )真、綈p 真，则实数m 的取值范围是________．答案 (1,2)解析 由于綈p 真，所以p 假，则p ∧q 假，又q ∨(p ∧q )真，故q 真，即命题p 假、q 真．当命题p 假时，即方程x 2－mx ＋1＝0无实数解，此时m 2－4<0，解得－2<m <2；当命题q 真时，4－4m <0，解得m >1.所以所求的m 的取值范围是1<m <2.13．若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1,2]，∃x 0∈[－1,2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 解析 由于函数g (x )在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，因此问题等价于函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集．函数f (x )的值域是[－1,3]，函数g (x )的值域是[2－a,2＋2a ]，则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即a ≤12.又a >0，故a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12. 14．(2017·衡水调研)直线x ＝1与抛物线C ：y 2＝4x 交于M ，N 两点，点P 是抛物线C 准线上的一点，记OP →＝aOM →＋bON →(a ，b ∈R )，其中O 为抛物线C 的顶点．(1)当OP →与ON →平行时，b ＝________；(2)给出下列命题：①∀a ，b ∈R ，△PMN 不是等边三角形；②∃a <0且b <0，使得OP →与ON →垂直；③无论点P 在准线上如何运动，a ＋b ＝－1恒成立．其中，所有正确命题的序号是________．答案 (1)－1 (2)①②③解析 (1)∵OM →＝(1,2)，ON →＝(1，－2)，∴OP →＝aOM →＋bON →＝(a ＋b,2a －2b )．∵OP →∥ON →，∴2a －2b ＋2(a ＋b )＝0，∴a ＝0.∵抛物线的准线为x ＝－1，点P 在准线上，∴P 点的横坐标为－1，∴a ＋b ＝－1，∴b ＝－1.(2)对于①，假设是等边三角形，则P (－1,0)，|PM |＝22，|MN |＝4，|MN |≠|PM |，这与假设矛盾，∴假设不成立，原结论正确；对于②，OP →与ON →垂直，OP →·ON →＝0，得到a ＝53b ，∴②正确；③显然成立．三、解答题15．(2018·吉林大学附中模拟)设a 为实常数，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝9x ＋a 2x ＋7.若“∃x ∈[0，＋∞)，f (x )<a ＋1”是假命题，求实数a 的取值范围．解 y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，故可求解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9x ＋a 2x －7，x >0，0，x ＝0，9x ＋a 2x ＋7，x <0.又“∃x ≥0，f (x )<a ＋1”是假命题，则∀x ≥0，f (x )≥a ＋1是真命题，①当x＝0时，0≥a ＋1，解得a ≤－1；②当x >0时，9x ＋a 2x －7≥a ＋1，结合基本不等式有6|a |－7≥a ＋1，得a ≥85或a ≤－87，①②取交集得a 的取值范围是a ≤－87.16．(2018·福建晨曦中学联考)已知命题p ：函数y ＝x 2－2x ＋a 在区间(1,2)上有1个零点，命题q ：函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点．如果p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，求a 的取值范围．解 若命题p 为真，则函数y ＝x 2－2x ＋a 在区间(1,2)上有1个零点，因为二次函数图象开口向上，对称轴为x ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 12－2×1＋a <0，22－2×2＋a >0，所以0<a <1.若命题q 为真，则函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点，由Δ＝(2a －3)2－4>0，得4a 2－12a ＋5>0，解得a <12或a >52.因为p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，所以p ，q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎨⎧ 0<a <1，12≤a ≤52，所以12≤a <1；②若p 假q 真，则⎩⎨⎧ a ≤0或a ≥1，a <12或a >52，所以a ≤0或a >52.故实数a 的取值范围是a ≤0或12≤a <1或a >52.。
1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
栏目索引
3.全(特)称命题真假的判断方法
全称命题 真假 方法一 真 证明所有对象使命题 为真 方法二 否定为假 假 存在一个对象使命题 为假 否定为真 真 存在一个对象使命题 为真 否定为假 特称命题 假 证明所有对象使命题 为假 否定为真
栏目索引
考向突破 考向一 全(特)称命题的否定 例1 (2018湖南益阳4月调研,3)已知命题p:“∀a≥0,a4+a2≥0”,则命题 ¬ p为 ( ) B.∀a≥0,a4+a2≤0
m 0, 解得 1 1 m 或 m . 4 4
∴p为真命题时,m≤- . (2)∃x∈[2,8],mlog2x+1≥0⇒∃x∈[2,8],m≥-
1 1 又x∈[2,8],则- ∈ 1, ,∴m≥-1. log 2 x
3
1 4
1 . log 2 x
1 4
2
令f(x)=ex-x-1,则f '(x)=ex-1, 当x∈(0,+∞)时, f '(x)>0,则f(x)为增函数, 故f(x)>f(0)=0, 即∀x∈(0,+∞),ex>x+1,故D是真命题.故巧
方法 解决与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题的方法 (1)求出当命题p,q为真命题时所含参数的取值范围; (2)判断命题p,q的真假性; (3)根据命题的真假情况,利用集合交集和补集的运算,求解参数的取值 范围.
4 2 a a 0 + 0 <0 D.∃a0≥0,
A.∀a≥0,a4+a2<0
4 2 a0 a0 C.∃a0<0, + <0
解析 命题p为全称命题,其否定为特称命题.将量词改变,结论否定,即¬
高考数学 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
③x2 x 1=(x 1)2 3 0对x R恒成立，可知x2 24
x 1无解，所以此命题不正确；
④x
(
，
)时，sinx
0，tanx
0，所以此命题不
2
正确．故选C.
易错点：对、的含义理解不准确， 从而导致推理论证错误．
4.写出下列命题的否定形式：
1命题“若x2 +y2 0，则x、y全为零”的否定形
0都成立，所以原命题为真，故原命题的否定为假．
2x R，x2 +1 0.
由x2 +1 1 0知对x R，x2＋1 0都成立，所以 原命题的否定为真．
3x R，x3 +1 0.
由于x 1时，x3 +1=0，所以原命题的否定为假．
点评：全称命题的否定是特称命题，特称命题 的否定是全称命题，所以其真假有时可通过另 一面来判断，并且可以通过举反例来否定一个 全称命题．
p
非p
真
假.
假
真
.
“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p
q
p且q
真
真
真.
真
假
假。
假
பைடு நூலகம்
真
假。
假
假
假。
• “p或q”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p
q
p或q
真
真
真.
真
假
真.
假
真
真.
假
假
假.
注：①上面表示命题真假的表叫真值表；② 由真值表得：“非p”形式复合命题的真假与 p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与 q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形 式复合命题当p与q同为假时为假，其他情 况为真；③真值表是根据简单命题的真假， 判断由这些简单命题构成的复合命题的真假， 而不涉及简单命题的具体内容.
高考数学 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词总复习课件
解析
命题的否定是“ x∈R, x4-x3+x2+5>0”.
4.如果命题 " ( p或q)" 为假命题,则
（ C ）
A.p,q均为真命题
B.p,q均为假命题 C.p,q中至少有一个为真命题 D.p,q中至多有一个为真命题 解析 由题意知p或q为真命题，
∴p、q中至少有一个为真命题，故选C.
a 5.（2009·浙江文，8）若函数 f ( x) x (a∈R), x 则下列结论正确的是 （C ）
基础自测
1.下列命题：
①有的实数是无限不循环小数；
②有些三角形不是等腰三角形； ③有的菱形是正方形； ④2x+1 (x∈R)是整数； ⑤对所有的x∈R,x>3; ⑥对任意一个x∈Z,2x2+1为奇数 其中假命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.5 （B ）
解析
①②③⑥为真命题，④⑤为假命题，故选B.
2.已知： p 且q为真，则下列命题中的假命题是
（ C
①p;②p或q;③p且q;④ q.
）
A.①④ 解析
B.①②③ ∵ p 且q为真，
C.①③④
D.②③④
∴ p 为真且q也为真，
即p为假，q为真.
3.命题“对任意实数x∈R,x4-x3+x2+5≤0”的否定是
( C )
A.不存在x∈R,x4-x3+x2+5≤0 B.存在x∈R,x4-x3+x2+5≤0 C.存在x∈R,x4-x3+x2+5>0 D.对任意x∈R,x4-x3+x2+5>0
p :有些平行四边形的对角线不相等.真命题.
高考数学一轮复习简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词-教学课件
c
c
1 2
且c
1
=
c
1 2
c
1
;
②当
p
假,q
真时,{c|c>1}∩
c
0
c
1 2
=
.
综上所述,实数
c
的取值范围是
c
1 2
c
1
.
方法点睛 解答本题时运用了分类讨论思想,
由条件可知 p、q 一真一假,因此需分 p 真 q 假 与 p 假 q 真两类讨论,分别求解最后将解合并, 实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再 积零为整”的解题策略.
-
9 8
,
t∈[0,1].∴函数在[0,1]上单调递增.
∴当 t=0 时,m 有最小值-1,当 t=1 时,m 有最大值 2. 所以 m 的取值范围为[-1,2].
答案:[-1,2]
思想方法
分类讨论思想在由命题真假求参数取值范 围问题中的应用
【典例】已知 c>0,且 c≠1,设 p:函数 y=cx 在
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词和存在量词
(1)全称量词
“对所有的”“对任意一个”,用符号“∀ ”表示.
(2)存在量词 “存在一个”“至少有一个”,用符号“∃ ”表示. (3)全称命题 含有全称量词的命题,叫做全称命题;“对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立”可用符号简记为:∀ x∈M,p(x). (4)特称命题 含有存在量词的命题,叫做特称命题;“存在 M 中的一个 x0,使 p(x0)成立”可用符号简记为:∃ x0∈M,p(x0).
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整理课件
(2)p 为假命题，q 为假命题． p∨q：平行四边形的对角线相等或互相垂直，假命题． p∧q：平行四边形的对角线相等且互相垂直，假命题． 綈 p：有些平行四边形的对角线不相等，真命题． (3)p 为真命题，q 为真命题， ∴p∨q：5≤5 或 27 不是质数，真命题． p∧q：5≤5 且 27 不是质数，真命题． 綈 p：5>5，假命题．
整理课件
探究提高 “p∨q”、“p∧q”、“綈 p”形式命题真
假的判断步骤： (1)确定命题的构成形式；
(2)判断其中命题 p、q 的真假； (3)确定“p∨q”、“p∧q”、“綈 p”形式命题的真
假．
整理课件
变式训练 1 指出下列命题的真假： (1)命题“不等式|x＋2|≤0 没有实数解”； (2)命题“－1 是偶数或奇数”； (3)命题“ 2属于集合 Q，也属于集合 R”； (4)命题“A A∪B”．
解 (1)此命题是“綈 p”的形式，其中 p：“不等式 |x＋2|≤0 有实数解”，因为 x＝－2 是该不等式的一个 解，所以 p 是真命题，即綈 p 是假命题，所以此命题是 假命题． (2)此命题是“p 或 q”的形式，其中 p：“－1 是偶数”， q：“－1 是奇数”，因为 p 为假命题，q 为真命题，所 以 p 或 q 是真命题，故此命题是真命题．
整理课件
4．若 p：∀x∈R，sin x≤1，则下列命题正确的是
①
.(填序号)
①綈 p：∃x∈R，sin x>1
②綈 p：∀x∈R，sin x>1
③綈 p：∃x∈R，sin x≥1
④綈 p：∀x∈R，sin x≥1
解析 由于命题 p 是全称命题，对于含有一个量词的全
称命题 p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈 p：∃x0∈M， 綈 p(x0)，故①正确.
整理课件
基础自测 1．下列命题中，所有真命题的序号是__①___②___．
①5>2 且 7>4；②3>4 或 4>3；③ 2不是无理数． 解析 ①5>2 和 7>4 都真，∴5>2 且 7>4 也真． ②3>4 假，4>3 真，∴3>4 或 4>3 真． ③ 2是无理数，∴ 2不是无理数假．
点评 对含有“或”、“且”、“非”的复合命题的判 断，先判断简单命题，再根据真值表判断复合命题．
整理课件
3．命题的否定 (1)全称命题的否定是存在性命题 ；存在性命题的否定 是 全称命题 ． (2)“p 或 q”的否定为：“非 p 且非 q”； “p 且 q”的否定为：“非 p 或非 q”．
整理课件
[难点正本 疑点清源] 1．逻辑联结词“或”的含义有三种
逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的 “或”的 含义相同．如“x∈A 或 x∈B”，是指：x∈A 且 x∉B；x∉ A 且 x∈B；x∈A 且 x∈B 三种情况．再如“p 真或 q 真” 是指：p 真且 q 假；p 假且 q 真；p 真且 q 真三种情况．因 此，在遇到逻辑联结词“或”时，要注意分析三种情况． 2．正确区别：命题的否定与否命题 “否命题”是对原命题“若 p，则 q”的条件和结论分别加 以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命 题的否定”即“非 p”，只是否定命题 p 的结论． 命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只 有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．
探究提高 判断含有逻辑联结词的复合命题的真假，可 利用真值表转化为一些简单命题的真假进行判断．已知
§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与 存在量词 基础知识 自主学习
要点梳理 1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的“_或___”、“__且__”、“_非___”叫做逻 辑联结词．
整理课件
(2)用来判断复合命题的真假的真值表：
p q 綈 p 綈 q p∨q p∧q 綈(p∨q) 綈(p∧q) 綈 p∨綈 q 綈 p∧綈 q
整理课件
5．命题“∃x∈R，x≤1 或 x2>4”的否定是_∀__x_∈__R_，__x_>_1_ 且 x2≤4 ． 解析 已知命题为存在性命题，故其否定应是全称命题．
整理课件
题型分类 深度剖析
题型一 含有逻辑联结词命题的真假判断 例 1 写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、
“綈 p”形式的复合命题，并判断真假． (1)p：1 是质数；q：1 是方程 x2＋2x－3＝0 的根； (2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对 角线互相垂直； (3)p：5≤5；q：27 不是质数．
真 真 假 假 _真__ 真
假
假
假
假
真 假 假 真 _真__ 假
假
真
真
假
假真 真 假 真 假
假
真
真
假
假假 真 真 假 假
真
真
真
真
整理课件
2.全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有：“任意一个”、“一切”、“每 一个”、“任给”、“所有的”等． (2)常见的存在量词有：“存在一个”、“至少有一个”、 “有些”、“有一个”、“某个”、“有的”等． (3)全称量词用符号“_∀___”表示；存在量词用符号 “_∃___”表示． (4)全称命题与存在性命题 ① 含有全称量词 的命题叫全称命题． ②含有存在量词 的命题叫存在性命题．
整理式，其中 p：“ 2属于集合 Q”， q：“ 2属于集合 R”，因为 p 为假命题，q 为真命题， 所以 p 且 q 是假命题，故此命题是假命题． (4)此命题是“綈 p”的形式，其中 p：“A⊆A∪B”，因 为 p 为真命题，所以綈 p 为假命题，故此命题是假命题．
整理课件
2．(2010·安徽)命题“存在 x∈R，使得 x2＋2x＋5＝0” 的否定是_对__任__何___x_∈__R_，__都__有___x_2＋__2_x_＋__5_≠__0_____．
3．命题 p：有的三角形是等边三角形．命题綈 p： _所__有__的__三__角__形__都__不__是__等__边__三__角__形___.