热统第三章作业答案
统计热力学深刻复知识题及答案解析
第三章 统计热力学 复习题及答案1．混合晶体是由晶格点阵中随机放置N C 个C 分子和D 分子组成的。
（1） 证明分子能够占据格点的花样为 !!)!(D C D C N N N N W +=，若N N N D C 21==，利用斯特林公式证明N W 2=（2） 若==D C N N 2，利用上式计算得42=W =16，但实际上只能排出6种花样，究竟何者正确？为什么？解：（1）证明：取)(D C N N +的全排列，则总共排列的花样数为)!(D C N N +种，现C N 个相同的C 和D N 个相同的D 。
故花样数为!!)!(D C D C N N N N W +=当N N N D C 21==时2])!21[(!)!21()!21()!2121(N N N N N N W =+= 取自然对数：NN N N N N N N N N N N NN N N N N N N N N N N N N W 2ln 2ln 21ln ln 21ln ln )21ln(ln )21ln(ln ]21)21ln(21[2ln )!21ln(2!ln ln ==-=--=-=+--=---=-=N W 2=∴（2）实际排出6种花样是正确的，因为Stirling 是一个近似公式适用于N 很大时才误差较小。
而在N 为4时，用 42=W 来计算就会产生较大误差。
2．（1）设有三个穿绿色、两个穿灰色和一个穿蓝色制服得军人一起列队，试问有多少种对型？现设穿绿色制服得可有三种肩章并任取其中一种佩带，穿灰色制服的可有两种肩章，而穿蓝色的可有两种肩章，试 列出求算队型数目的公式。
（2）试证明含有N 个粒子的定位体系，某种分布- x t 的微观状态数为!!i N i x N g N t i∏=（g I 为相应的简并度）.答：（1）取6个不同的全排列，应有6！种花样，但其中3种完全相同互换位置不能导致新花样另两种完全相同（同样这2种相同物种的全排列为2！种）故排列花样数为：601212323456!1!2!3!6=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==W 种，!!!i i N T N t =另一种只有一种这3种的全排列为3！种，取6个不同的全排列总共有6！种花样，而穿绿色制服3个人有3种肩章，任取一种佩带，相当于有简并度为5（N i g ）。
热统(第三章
§3.2 开系热力学基本方程
1. 化学势
单元单相
Gm
G n
d SmdT Vmdp
2. 开系基本方程
dG nd dn dG SdT Vdp dn
G G(T, p, n)
S G T p, n
V
G p
T
,
n
G
n T , p
U G TS pV
dU TdS pdV dn
ΔU 0 常数值 中性平衡
4. 焓判据
(U T0S p0V ) 0
p p0 p 0 H 0 ΔS 0
S，p 不变，平衡态 H 极小。
定熵定压系发生的一切过程朝 着焓减小的方向进行。
平衡态的必要条件 δH 0
δ2H 0 ΔH 0 极小值 稳定平衡 最小极值 稳定平衡 较大极值 亚稳平衡
ΔS0
ΔU 0
p0ΔV0 T0
ΔU ΔU0 0 ΔV ΔV0 0
ΔS~ ΔS ΔS0 0
ΔS~ ΔS ΔU p0ΔV 0 T0
(U T0S p0V ) 0
2. 热动平衡及其稳定性条件
U U(S,V )
ΔS δS ΔV δV
ΔU δU 1 δ2U 2
ΔS~ δS~ 1 δ2S~ 2
第三章 单元系的相变
1、组元 组成物质系统的化学成分 2、相 被一定边界包围，性质均匀的部分
3、虚变动：所谓虚变动是理论上假想的满足外加约束条件 的各种可能的变动，与分析力学中的虚位移相当。
1. 热动平衡判据 2. 开系热力学基本方程 3. 单元系的复相平衡 4. 气液相变和临界点
§3.1 热动平衡判据
1. 平衡条件
1
2
孤立系统
两部分为两相（或两子系， 或系统与媒质）。
热力学与统计物理答案(汪志诚)
第一章 热力学的基本规律习题1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数T κ。
解：由得：nRT PV = V nRTP P nRT V ==; 所以, T P nR V T V V P 11)(1==∂∂=αT PV RnT P P V /1)(1==∂∂=βP PnRT V P V V T T /111)(12=--=∂∂-=κ习题1.2 试证明任何一种具有两个独立参量的物质p T ,,其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数T κ,根据下述积分求得:⎰-=)(ln dp dT V T κα如果1Tα=1T p κ= ,试求物态方程。
解： 因为0),,(=p V T f ,所以,我们可写成),(p T V V =,由此, dp p V dT T V dV T p )()(∂∂+∂∂=, 因为T T p pVV T V V )(1,)(1∂∂-=∂∂=κα 所以, dp dT VdVdp V dT V dV T T κακα-=-=,所以, ⎰-=dp dT V T καln ,当p T T /1,/1==κα.CT pV pdpT dT V =-=⎰:,ln 得到 习题 1.3测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为1510*85.4--=K α和1710*8.7--=n T p κ，T κα,可近似看作常量，今使铜块加热至10°C 。
问（1压强要增加多少n p 才能使铜块体积不变？（2若压强增加100n p ，铜块的体积改多少 解：分别设为V xp n ∆;，由定义得：74410*8.7*10010*85.4;10*858.4----=∆=V x T κ所以，410*07.4,622-=∆=V p x n习题 1.4描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力η，物态方程是0),,(=T L f η实验通常在n p 1下进行，其体积变化可忽略。
线胀系数定义为ηα)(1TL L ∂∂=等杨氏摸量定义为T L A L Y )(∂∂=η其中A 是金属丝的截面积，一般说来，α和Y 是T 的函数，对η仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范不大，可看作常数。
热统习的题目解答(全)
第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数κ。
解： 理想气体的物态方程为RT pV =,由此可算得： PP V V k T T P P T T V V T V P 1)(1;1)(1,1)(1=∂∂-==∂∂==∂∂=βα1.2 证明任何一种具有两个独立参量T ，P 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κ ，根据下述积分求得： ⎰-=)(ln kdP adT V ，如果Pk T a 1,1==，试求物态方程。
证明：dp p VdT T V p T dV T P )()(),(∂∂+∂∂= 两边除以V,得dp dT dp p VV dT T V V V dV T P κα-=∂∂+∂∂=)(1)(1积分后得 ⎰-=)(ln kdP adT V 如果,1,1p T ==κα代入上式，得C P T PdP T dT V ln ln ln )(ln +-=-=⎰所以物态方程为：CT PV =与1mol 理想气体得物态方程PV=RT 相比较，可知所要求的物态方程即为理想气体物态方程。
1.3在00C 和1atm 下，测得一块铜的体胀系数和压缩系数为a=4.185×10-5K -1，k=7.8×10-7atm -1。
a 和k 可以近似看作常数。
今使铜加热至100C ，问（1）压力要增加多少大气压才能使铜块的体积维持不变？（2）若压力增加100atm ，铜块的体积改变多少？解：（a ）由上题dp dT dp p VV dT T V V V dV T P κα-=∂∂+∂∂=)(1)(1体积不变，即0=dV所以dT kadP = 即atm T k a P 62210108.71085.475=⨯⨯⨯=∆=∆-- (b)475121211211007.4100108.7101085.4)()(---⨯=⨯⨯-⨯⨯=---=-=∆p p T T V V V V V κα可见，体积增加万分之4.07。
热统课后习题答案案
吉布斯相律表达： f = k + 2 −ϕ 其中 f 称为多元复相系的自由度数，它是多元复相系可以独立改变的强度量变量的数目； ϕ 是最多相数，2 是 T 、 p , ϕ ≤ k + 2 ，否则无意义．
要求理解二元系相图、化学平衡条件、化学反应度、混合理想气体的性质及化学平衡、 理想溶液的内容．
3. 热力学第三定律
10
当 y = V 时，对应的广义力为压强 Y = − p ，这时广义力即压强的统计表达式简化为
p
=
N β
∂ ∂V
ln Zb
玻耳兹曼关系：
S = k ln ΩM .B. = k ln Ω
这个关系反映了熵的统计物理意义．
2. 麦克斯韦速度分布律
在单位体积内，速度在 dvx dv y dvz 范围内的分子数为
第六章 玻尔兹曼统计
1. 热力学函数的统计表达
∑ 若粒子的配分函数 Zb =
ω e−βε m m
，
则系统总分子数的统计表达式为
m
∑ ∑ ∑ N =
nm =
ω e−α −βε m m
= e−α
ω e−βε m m
= e−α Zb ，
m
m
m
相应的内能统计表达式为
∑ ∑ U =
m
ε mnm =
m
ε ω e−α −βε m mm
艾伦菲斯脱方程，它有如下的两种形式
dp dT
=
αVβ κTβ
− αVα − κTα
，
dp dT
=
c
β p
−
TVm (αVβ
cαp − αVα
)
第 4 章 多元系的复相平衡和化学平衡
1． 多元系的热力学函数和热力学方程
热统1-3章答案
1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。
解：已知理想气体的物态方程为,pV nRT = （1）由此易得11,p V nR V T pV Tα∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （2） 11,V p nR p T pV Tβ∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （3） 2111.T T V nRT V p V p pκ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：()ln T V =αdT κdp -⎰如果11,T T pακ==，试求物态方程。
解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为(),,V V T p =其全微分为.p TV V dV dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1） 全式除以V ，有11.p TdV V V dT dp V V T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为.T dVdT dp Vακ=- （2）上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有()ln .T V dT dp ακ=-⎰ （3）若11,T T pακ==，式（3）可表为11ln .V dT dp Tp ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ （4）选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体积由0V 最终变到V ，有000ln=ln ln ,V T pV T p - 即00p V pV C T T ==（常量）， 或.p V C T=（5）式（5）就是由所给11,T Tpακ==求得的物态方程。
确定常量C 需要进一步的实验数据。
1.3 在0C 和1n p 下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为51714.8510K 7.810.n p ακ----=⨯=⨯T 和T ακ和可近似看作常量，今使铜块加热至10C 。
热统习题解答(全)
第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数κ。
解： 理想气体的物态方程为RT pV =,由此可算得： PP V V k T T P P T T V V T V P 1)(1;1)(1,1)(1=∂∂-==∂∂==∂∂=βα1.2 证明任何一种具有两个独立参量T ，P 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κ ，根据下述积分求得： ⎰-=)(ln kdP adT V ，如果Pk T a 1,1==，试求物态方程。
证明：dp p VdT T V p T dV T P )()(),(∂∂+∂∂= 两边除以V,得dp dT dp p VV dT T V V V dV T P κα-=∂∂+∂∂=)(1)(1积分后得 ⎰-=)(ln kdP adT V 如果,1,1p T ==κα代入上式，得C P T PdP T dT V ln ln ln )(ln +-=-=⎰所以物态方程为：CT PV =与1mol 理想气体得物态方程PV=RT 相比较，可知所要求的物态方程即为理想气体物态方程。
1.3在00C 和1atm 下，测得一块铜的体胀系数和压缩系数为a=4.185×10-5K -1，k=7.8×10-7atm -1。
a 和k 可以近似看作常数。
今使铜加热至100C ，问（1）压力要增加多少大气压才能使铜块的体积维持不变？（2）若压力增加100atm ，铜块的体积改变多少？解：（a ）由上题dp dT dp p VV dT T V V V dV T P κα-=∂∂+∂∂=)(1)(1体积不变，即0=dV所以dT kadP = 即atm T k a P 62210108.71085.475=⨯⨯⨯=∆=∆-- (b)475121211211007.4100108.7101085.4)()(---⨯=⨯⨯-⨯⨯=---=-=∆p p T T V V V V V κα可见，体积增加万分之4.07。
热学第三章习题参考答案
热学习题答案第三章：气体分子的输运过程(内容对应参考书的第四章)1. 某一时刻，氧气中一组分子刚与其他分子碰撞过，问：经过多长时间后，其中还保留一半未与其他分子相碰。
设氧气分子都以平均速率运动，氧气温度300K ，在给定压强下，分子平均自由程为2.0cm 。
解：设这组分子个数为0N ，经过时间t （对应的路程为x ）后未碰撞的分子数为N ，根据分子按自由程的分布()dx e dx x f N dN x⋅==-λλ10 由已知：t v x =，210=N N ，则有 210===⋅--λλt v x e e N N ，即2ln v t λ= 又由πμRTv 8=，mol Kg /10323-⨯=μ，代入上式得()s RT t 532101.32ln 30031.88103214.3100.22ln 8---⨯≈⨯⨯⨯⨯⨯==πμλ。
2. （P 142。
8）在气体放电管中，电子不断与气体分子相碰，因电子的速率远远大于气体分子的平均速率，所以后者可以认为是静止不动的。
设电子的“有效直径”比起气体分子的有效直径d 来可以忽略不计。
（1）电子与气体分子的碰撞截面σ为多大？（2）证明：电子与气体分子碰撞的平均自由程为σλn e 1= 解：（1）电子与气体分子的碰撞截面22⎪⎭⎫ ⎝⎛+=d d e πσ，由于d d e <<，故 22412d d d e ππσ≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=（2）由于气体分子可以认为是静止不动的，则电子与气体分子间的平均相对速率就等于电子的平均速率e v 。
在时间t 内，电子走过的路程为t v e ，相应的圆柱体的体积为t v e σ，则在此圆柱体内的气体分子数为t v n e σ，即为时间t 内电子与气体分子的碰撞次数，故碰撞频率为e e v n t t v n Z σσ==电子与气体分子碰撞的平均自由程为σλn Z v e e 1==。
3. （P 143。
18）一长为2m ，截面积为410-米2的管子里贮有标准状态下的2CO 气，一半2CO 分子中的C 原子是放射性同位素C 14。
2023年大学_热力学统计物理第五版(汪志诚著)课后答案下载
2023年热力学统计物理第五版(汪志诚著)课后答案下载热力学统计物理第五版(汪志诚著)内容简介导言第一章热力学的基本规律1.1 热力学系统的平衡状态及其描述1.2 热平衡定律和温度1.3 物态方程1.4 功1.5 热力学第一定律1.6 热容和焓1.7 理想气体的内能1.8 理想气体的绝热过程附录1.9 理想气体的卡诺循环1.10 热力学第二定律1.11 卡诺定理1.12 热力学温标1.13 克劳修斯等式和不等式1.14 熵和热力学基本方程1.15 理想气体的熵1.16 热力学第二定律的数学表述1.17 熵增加原理的简单应用1.18 自由能和吉布斯函数习题第二章均匀物质的热力学性质2.1 内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分 2.2 麦氏关系的简单应用2.3 气体的节流过程和绝热膨胀过程2.4 基本热力学函数的确定2.5 特性函数2.6 热辐射的热力学理论2.7 磁介质的.热力学2.8 获得低温的方法习题第三章单元系的相变3.1 热动平衡判据3.2 开系的热力学基本方程3.3 单元系的复相平衡条件3.4 单元复相系的平衡性质3.5 临界点和气液两相的转变3.6 液滴的形成3.7 相变的分类3.8 临界现象和临界指数3.9 朗道连续相变理论习题第四章多元系的复相平衡和化学平衡热力学第三定律 4.1 多元系的热力学函数和热力学方程4.2 多元系的复相平衡条件4.3 吉布斯相律4.4 二元系相图举例附录4.5 化学平衡条件4.6 混合理想气体的性质4.7 理想气体的化学平衡4.8 热力学第三定律习题第五章不可逆过程热力学简介5.1 局域平衡熵流密度与局域熵产生率 5.2 线性与非线性过程昂萨格关系5.3 温差电现象5.4 最小熵产生定理5.5 化学反应与扩散过程5.6 非平衡系统在非线性区的发展判据 5.7 三分子模型与耗散结构的概念习题第六章近独立粒子的最概然分布6.1 粒子运动状态的经典描述6.2 粒子运动状态的量子描述6.3 系统微观运动状态的描述6.4 等概率原理6.5 分布和微观状态6.6 玻耳兹曼分布6.7 玻色分布和费米分布……第七章玻耳兹曼统计第八章玻色统计和费米统计第九章系综理论第十章涨落理论第十一章非平衡态统计理论初步附录A 热力学常用的数学结果B 概率基础知识C 统计物理学常用的积分公式索引参考书目物理常量表热力学统计物理第五版(汪志诚著)图书目录《“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材：热力学统计物理(第5版)》是“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材，是作者在第四版的基础上全面修订而成的。
热统第三章功课答案
3.5 求证：
dG SdT Vdp dn
p
T ,n
U n
T ,V
V n
S n
T ,V
T , p
T
解：自由能 F U TS 是以T , V , n 为自变量的特性函数，求 F 对
n 的偏导数（T , V 不变），有
但由自由能的全微分 可得
代入式（1），即有
F n
T ,V
尔焓 Hm 和摩尔体积Vm 的改变满足
Um Hm pVm.
平衡相变是在确定的温度和压强下发生的，相变中摩尔焓的变化等
于物质在相变过程中吸收的热量，即相变潜热 L：
Hm L.
克拉珀龙方程（式（3.4.6））给出
即
将式（2）和式（4）代入（1），即有
U m
dp L , dT T Vm
Vm
L T
L 1
dT dp
p T
.
V
dT dp
.
,n
.
.
（3）
（1）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
C
C
p
Vm
如果 相是蒸气，可看作理想气体， 相是凝聚相，上式可简化为
并说明为什么饱和蒸气的热容量有可能是负的.
C
C
L Vm
p
解：根据式（1.14.4），在维持 相与 相两相平衡的条件下，
U n
T ,V
dF SdT pdV dn
F n
S n
T ,V
T ,V
,
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
热学教程习题参考解(第三章)
《热学教程》习题参考答案第三章 习 题3-1. 在掷两颗骰子时,组成总点数为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12的概率各为多少? 并用所得结果检验归一化条件.(答: P 2=P 12=361,P 3= P 11=181,P 4= P 10=121,P 5= P 9=91,P 6=P 8=365,P 7=1;1P 122=∑=i i )解：每个骰子有六个面，在条件完全等同的情况下掷骰子，出现每个面的概率都相等，等于()61，满足等概率原理. 当掷两个骰子时，出现任意一种组合的概率为()361. 考虑到骰子的六个面形成三组对称面，分别为1－6，2－5，3－4. 故出现两颗骰子总数为2的概率与出现总数为12的概率相等；同理出现总数为3与总数为11的概率相等，故一般情况下出现总数为i 和()i -14的概率满足关系式：i i P P =-14，12,,3,2 =i .因此, 可以写出：()361122==P P ，()181113==P P ，为什么掷两个骰子时出现总数为3的概率比总数为2的概率大一倍？这是因为形成总数为2时的两骰子,只有一种组合()1,1；而形成总数为3时的两骰子,可以有两种组合：()1,2 或 ()2,1. 作类似分析可知：()121104==P P ，两面的可能组合为()2,2，()1,3，()3,1；()195==P P ，组合为()4,1，()1,4，()3,2，()2,3；()586==P P ，组合为()3,3，()4,2，()2,4， ()5,1，()1,5；()617=P ，组合为()6,1，()1,6，()5,2，()2,5，()4,3，()3,4.不难看出总概率之和满足归一条件：1122=∑=i i P ，这结果说明，只要掷两个骰子一次，总会出现各种可能组合中的一种组合,事件总是会发生的.3-2. 从一副扑克的52张牌中,任意抽取两张,问都是红桃的概率有多大?( 答: 5.88 %) 解:3-3 甲、乙两个高射炮手同时射击一入侵敌机,甲和乙分别击中敌机的概率为60% 和50%,问敌机被击落的概率为多少? ( 答:80% ) 解:3-4. 计算300K 时氧分子的最概然、平均和方均根速率.(答:395 m/s,446 m/s,483 m/s) 解: 氧分子的最概然、平均和方均根速率分别为：13s m 395103230031.822--⋅=⨯⨯⨯==μRTv p ， 13s m 446103214.330031.888--⋅=⨯⨯⨯⨯==μπRTv ， 132s m 483103230031.833--⋅=⨯⨯⨯==μRTv . 3-5. 气体分子速率与最概然速率之差不超过1％的分子数目占全部分子数目的百分之几? (答:1.66 %)解: 应用麦克斯韦速率分布律，可得：(),%66.10166.002.042exp 24B 2p 23B 2p p ==⨯⨯==∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆ev T k mv T k m v Nv N πππ其中的 p 02.0v v =∆；m T k v B p 2=.3-6. 试就下列几种情况,求气体分子数目占总分子数目的比率:(1) 速率在区间p p ~v v 1.01内;(2) 速度分量x v 在区间p p ~v v 1.01内;(3) 速度分量x v ,z y v v ,同时在区间p p ~v v 1.01内.(答:8.3×103-;2.08×103-;9×109-) 解： （1）();103.801.0401.02ex p 243p B 2p 3B 2p -⨯=⨯⨯=⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∆e v T k mv T k m v Nv N p πππ （2）();1008.201.001.02ex p 23p B 2p 21B p -⨯=⨯=⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∆e v T k mv T k m N v N ππ （3）()932363p 6B 2p 23B p 1094.8101023ex p 2---⨯=⨯=⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∆e v T k mv T k m N v N ππ 3-7. 设有一群粒子具有下列速率分布:试求:(1)平均速率v ;(2)方均根速率2v ;(3)最概然速率p v .(答:(1)318m/s ；(2)337m/s ；(3)400m/s) 解：（1）;s m 31820806040205002040080300602004010020=++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==∑∑iiiii N v N v（2）s m 33722==∑∑iiii i N v N v ；（3）s m 400p =v .3-8． 设氢气的温度为300K,求速率在3000~3010m/s 之间的分子数1n 与速率在最概然速率附近10~p p +v v m/s 之间的分子数2n 之比.(答:26.5 %)解: 应用麦克斯韦速率分布律，可得两种速率区间内气体分子数之比为：()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆=2p 2p212p 21p p 11p 1ex p v v v v v v v f v v f n n ， 已知式中的 ;m 157910230031.822,s m 30003p 1=⨯⨯⨯===-μRT v v,s m 10p 1=∆=∆v v 故可求得()%5.26265.0p 1==n n .3-9． 证明: 若以最概然速率为度量气体分子速率的单位,用u 表示此相对速率,则速率处于u u u d ~+之间的分子数与气体的温度无关.解: 以最概然速率m T k v B p 2=为单位，衡量气体分子的速率，可以引进无量纲速 率()p v v u =，从而可写出无量纲的麦克斯韦速率分布律及其分布函数：()()u u f N u N d d =， ()()22ex p 4u u u f -=π. 不难看出，无量纲的麦克斯韦速率分布律仍然满足归一条件，而且与温度明显无关．3-10. 根据麦克斯韦速率分布律,求速率倒数的平均值 v / 1,并与速率平均值v 的倒数相比较.(答:T k m B 2π)解: 应用麦克斯韦速率分布律，可得：()21B 20B 223B 02d 2ex p 22d 11⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰∞∞T k m v T k mv T k m v v f v v πππ，显然它较之平均速率的倒数 21B 81⎪⎪⎭⎫⎝⎛=T k m v π要大. 3-11. 用泻流分离从天然铀中将同位素U 235浓缩到99.5%,需作几级泻流?（答：2395）解: 应用能计算泻流使轻组元较之种组元相对富集的公式2122121''β⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m m n n n n ，式中的‘1’和‘2’分别表示泻流气体中的轻组元6235F U 和重组元6238F U ；1m 和2m 分别是轻和重组元的分子质量，即它们的摩尔质量分别为/m ol kg 349.0A 11==N m μ和kg/mol 352.0A 22==N m μ，这里的A N 是阿伏伽德罗常数；1n ，'1n 和2n ，'2n 分别表示轻和重组元在泻流前和经过β次泻流后的丰度，由题意可知：%7.01=n ，%3.992=n 和%5.99'1=n ，%5.0'2=n .故可求得泻流级数为：2395349352ln 5.07.03.995.99ln 2ln ln 22112'2'1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m m n n n n β. 3-12. N 个气体分子满足如图所示的速率分布,试(1)由N 和0v 求a ;(2)求速率在1.500~v v 2.0之间的分子数目;(3)求分子的平均速率.(答:(1) 032v N ;(2)3N ;(3)9110v )解:(1) 由归一条件可得：()()()N v v f N v v f N v v f N v v v =+=⎰⎰⎰∞0200d d d ，按题意可知：()()a v f N v v v av v f N v v =>=≤,;,000，故得()N av av v v a v v f N ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=⎰∞232d 002000, 032v Na =； 习题3-12图（2）气体分子速率在000.2~5.1v v 之间的分子数目为()35.0d d 00.25.10.25.10N v a v a v v f N v v v v===⎰⎰； （3）气体分子的平均速率为()020000911d 32d d 000v v v v v v N v a vv v f v v v v v =+==⎰⎰⎰∞。
高教热统答案第三章
第三章 单元系的相变习题3.2试由0>v C 及0)(<∂∂T V p 证明0>p C 及0)(<∂∂S Vp 。
证： 由式(2.2.1) T C C V p =-⇒V T p ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ pT V ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ =P C p T H ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=pT S T ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂;=V C V T U ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂V T S T ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= =dp dV V p T ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂dT T p V⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+ =dp +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂dV V p S dS S p V⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ =+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂dV V p S VS p ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂dT T S dV V S V T ⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T V p VS p ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T V S ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+S V p ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ (1) =⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂V T p V S p ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂TT S ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ (2) 由麦氏关系(2.2.3)代入(1)式中 ⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂S V T -VS p ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ ⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T V p -⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂S V p S V T ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T V S -⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂SV p ()()⋅∂∂S V S T ,,()()T V T S ,,∂∂ =+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂S V p ()()⋅∂∂T V S T ,,()()⋅∂∂S V T V ,,()()T V S T ,,∂∂ =+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂S V p ()()⋅∂∂S V T V ,,()()2,,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂T V S T =+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂S V p V S T ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂()()2,,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂T V S T 由式(2.2.5) ⇒V C V T S T ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=；即0>=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂V V C T S T .于是： 0>=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T V p +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂SV p 正数 于是： SV p ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂<0 =P C P T S T ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂()()=∂∂=p T p S T ,,()()⋅∂∂V S p S T ,,()()=∂∂p T V S ,,⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂S V p T ()()p T V S ,,∂∂ ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=S V p T ()()⋅∂∂V T V S ,,()()=∂∂p T V T ,,⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂S V p T VT S ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂Tp V ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅ ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=S V p V TC p V ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 0>V C ; 因而0>P C 习题3.4 求证：（1）-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂n V T ,μV T n S ,⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂；（2）-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂nT p ,μp T n V ,⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 证： (1) 开系吉布斯自由能dn Vdp SdT dG μ++-= , ),(T V p p = ⇒dn dT T p dV V p V SdT dG V Tμ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-= dn dV V P V dT T P V S n T n V μ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-= ⇒V S T G n V +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂,VT p ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ ① V V G nT =⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂,T V p ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ ② μ=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂VT n G , ③ 由式 ① ⇒n V n V T G T p V S ,⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=V T n S ,⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⇒VT n V n T G ,,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂-=V n T G ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂-=2V T n G ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂-=2 VT n S ,⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂n V T ,⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=μ 第(1)式得证。
(完整版)03-统计热力学基础答案
第三章 统计热力学基础 答案一、选择题 ( 共38题 )1. 1 分 (1301) (D)2. 1 分 (1302) (B)3. 2 分 (1304) (D)4. 1 分 (1362) (C)5. 1 分 (1363) (B)6. 1 分 (1364) (A)7. 2 分 (1369) (B)8. 2 分 (1370)[答] 根据配分函数的含义，在达到平衡时，在ε与ε'上分布的分数分别为： n /N = exp(-ε/kT )/q 及 n '/N = exp[(-ε'/kT )/q ] (1分) 则 K n = n /n ' = exp[-(ε-ε')/kT ] (1分) 9. 2 分 (1371)[答] (A) 从 6 个可别粒子中拿出 3 个来编为一组，放在 N 0能级，再从 (6 - 3) 个可别粒子中拿出 2 个来编为一组，放在 N 1能级上， 最后从 (6 - 3 - 2)个可别粒子中拿出 1，放在 N 2能级上。
此种分布的微态数为： 112336C C C = {6!/[3!(6-3)!]}×{3!/[2!(3-2)!]}×{1!/[1!(1-1)!]}= 6!/(3!2!1!) 10. 5 分 (1402) (C) 11. 2 分 (1433) [答] B)/exp()/exp()/exp(0,e 1,e 00,e 11,e 01kT g g kT g kT g N N εεε∆-=--= (1分) =0.184 (1分) 12. 5 分 (1436) [答] (A)N 1/N 0=0.02/0.98=exp(-ε1/kT )/exp(-ε0/kT ) =exp[-(ε1-ε0)/kT ]=exp(-hc ~v 1/kT ) (3分) -hc ~v 1/kT =ln(0.02/0.98)=-3.892 T =2060 K (2分) 13. 1 分 (1461) (D) 14. 1 分 (1462) (A) 15. 2 分 (1465) (C) 16. 2 分 (1466) (B)17. 2 分 (1467) (D) F r = G r = -NkT ln q r U V = H V = NkT ×[x /(e x -1)] C V ,V = C p ,V = Nk ×[x 2e x /(e x -1)2] x = Θv /T C p ,t = (5/2)Nk C V ,t = (3/2)Nk 所以 C p,t ≠ C V ,t18. 1 分 (1470) (D) 19. 1 分 (1472) (B)20. 2 分 (1476) (C) Θv = hc v %/k = 308.5 K21. 2 分 (1479) (B) Θr = h 2/(8π2Ik ) = 2.78 K 22. 2 分 (1513) A因对CO, σ=1 对N 2, σ=223. 1 分 (1531) (D) 24. 1 分 (1533) (D) 25. 1 分 (1534) (B) 26. 1 分 (1535) (A) 27. 1 分 (1537) (A) 28. 1 分 (1538) (B) 29. 2 分 (1540) (D) 30. 2 分 (1541) (D) 31. 5 分 (1543)[答] (B) N 1/N 0= g r,1exp(-εr,1/kT )/[g r,0exp(-εr,0/kT )] = 2exp(-0.1) Θr =0.1T /2 = 0.1×300 K/2 = 15 K32. 2 分 (1546) (D) 33. 2 分 (1547)[答] (D) C p ,m /C V ,m = (C p ,t + C p ,r )/( C V ,t + C V ,r ) = [(5/2)Nk +(3/2)Nk ]/[(3/2)Nk +(3/2)Nk ] = 1.33 34. 2 分 (1548)[答] (A) S r,m = R [ln T /σΘ r +1] σ (CO) = 1；σ (N 2) = 2 则S m (CO) > S m (N 2) 35. 2 分 (1549)[答] (B) εt = (h 2/8mV 3/2) (n x 2+ n y 2+ n z 2) g t = 3!/2! = 3 (设 n x = 2 , n y = 1 , n z = 1)36. 2 分 (1551) (B) 37. 2 分 (1617) (D) 38. 2 分 (1680) A二、填空题 ( 共71 题 ) 1. 2 分 (1303)[答] 基本假定是：(1) 粒子之间彼此独立无关 (1分) (2) 等概率定理 (0.5分) (3) 玻耳兹曼熵定理 (0.5分) 2. 2 分 (1311) [答]!!)!(B A B A N N N N +3. 2 分 (1317) [答] 1202 K对第一振动激发态εkT h ν=+=)211(v (1分) ν=ΘT 23=1202 K (1分) 4. 2 分 (1318)[答] )/ln(1212ΩΩk S S S =-=∆ (1分) )1003.3ex p()/ex p(/2312⨯=∆=k S ΩΩ (1分) 5. 5 分 (1319)[答] kT I h J J =+=)π8/()1(22r ε (2分) 22/π8)1(h IkT J J =+=107.2 (2分) J =10 (1分) 6. 2 分 (1320)[答] T =0.70 K)π8/()1(22r I h J J +=ε (1分) 第一激发态εr =1kT T h =⨯+⨯)π8/()11(22)2/π8/(2222m kr h T ==0.70 K (1分) 7. 5 分 (1321) [答] T =0.691 K()2222r π8/)1()π8/()1(r h J J I h J J με+=+= (2分)()kg 10943.22/2/202-⨯===m m m μ (1分) 当J =0时，()22r 01π8/2r h kT μεεε==∆=- (1分)T =()K 691.0π8/2222=k r h μ (1分)8. 2 分 (1322) [答] 0,1==总总S Ω111=⨯=⨯=B A ΩΩΩ总 (1分) S 总=S A +S B =0+0=0 (1分) 9. 2 分 (1365)[答] N 0= (L /q )×g 0exp(-ε0/kT ) = L /q (1分) = (6.023×1023 mol -1)/1.6 = 3.76×1023 mol -1 (1分) 10. 2 分 (1366)[答] N i+1/N i = exp(-Δε/kT ) = 0.352 11. 2 分 (1368)[答] N i = (N /q )×g i exp(-εi /kT ) (1分) 近独立粒子体系，且为处于热力学平衡态的孤立体系 (1分) 12. 2 分 (1421)[答] )/ex p()/ex p(221121kT g kT g N N εε--= (1分) =0.595 (1分) 13. 2 分 (1422)[答] 510 1.310N N νν-===⨯10exp(/)N N hv kT νν===- (1分) =13105.⨯- (1分) 14. 5 分 (1423) [答] 1000 K220exp(2/)[exp(/)]N N hv kT hv kT νν===-=-=0.5414 (2分) exp(/)(.).-==hv kT 054140735812 (1分) T =-hv k /(ln .)07358=1000 K (2分) 15. 5 分 (1424)[答] exp(/)i q kT ε=-∑=1+exp(-ε/kT )+exp(-2ε/kT )+exp(-3ε/kT )+· · · =1+x +x 2+x 3+· · ·=1/(1-x )=1/[1-exp(-ε/kT )] (3分) N 0/N =1/q =1-exp(-ε/kT )=)]3001038.1/(102.3ex p[12320⨯⨯⨯----=0.9996 (2分)16. 5 分 (1425)[答] 分子按转动能级分布的有效状态数为]/)1(ex p[)12()/ex p(r T ΘJ J J kT g i i +-+=-ε =()exp[.()]2101011J J J +-+不能断言 (1分) 17. 10 分 (1431)[答] h νν)21(v +=ε, g v =1 (1分) )π8/()1(22r I h J J +=ε, g r =2J +1 (1分))/exp()/exp()/exp()/exp(r ,2v ,2v ,1v ,1r ,5r ,5v ,2v ,2)1,1()5,2(kT g kT g kT g kT g N N J v J v εεεε-⋅--⋅-===== (4分)=2222[exp( 2.5/)](251)exp[5(51)/(8π)][exp( 1.5/)](221)exp[2(21)/(8π)]hv kT h IkT hv kT h IkT -⨯+-+-⨯+-+=)/6ex p(5)/v 5.1ex p()/30ex p(11)/v 5.2ex p(r r T ΘT ΘT ΘT Θ-⋅⋅--⋅⋅- (2分)=0.0407 (2分) 18. 10 分 (1432)[答] vhc ~=ε )/ex p()/ex p()/ex p(221100e kT g kT g kT g q εεε-+-+-==5.118782.0/e 00==q g NN (4分)218.0/)]/exp([e 111=-=q kT g NN ε (3分)0/)]/exp([e 222=-=q kT g NN ε (3分) 19. 2 分 (1434)[答] N 1/N 0=g 1exp(-ε1/kT )/g 0 (2分) 20. 2 分 (1435)[答] N 0/N =1/1.02=0.98 (2分) 21. 5 分 (1437) [答] T =2493 KN 1/N 0=exp(-h v /kT )=0.26 (3分) T =K 2493])26.0/[(ln =⨯k hv (2分) 22. 5 分 (1438)[答] q e =g e,0exp(-εe,0/kT )+g e,1exp(-εe,1/kT )+g e,2exp(-εe,2/kT ) =4exp(0)+2exp(-0.5813)+6exp(-147.4)=5.118 (3分) N 1/N =g e,1exp(-εe,1/kT )/q e =0.218 (2分) 23. 2 分 (1439)[答])~ex p()ex p(1212kTvhc kT g g N N -=-=ε (1分) =exp[-143.98/(T /K)]=exp(-143.98/100)=0.2370 (1分) 24. 10 分 (1440)[答] N 1/N 0=[g 1exp(-ε1/kT )]/[g 0exp(-ε0/kT )]=2exp(-kT /kT )/1=2/e=73.6% (5分) N 1+N 0=L , N 1/N 0=0.736,N 1=(0.736/1.736)L (2分) U =N 0ε0+N 1ε1=N 1kT=(0.736/1.736)LkT =0.424RT (3分) 25. 2 分 (1443) [答]26. 2 分 (1448)[答] N 1/N 0=3exp(-ε1/kT )/exp(-ε0/kT ) =3exp(-2Bh /kT )=3exp[-5.723/(T /K)] (1分) T →∞时, N 1/N 0=3 (1分) 27. 1 分 (1464) [答] q =gii∑exp(-εi /kT )(1分)处于热力学平衡态近独立粒子体系中的单个分子 (1分) 28. 2 分 (1468)[答] F = -kT ln q N (0.5分) F = -kT ln q N /N ! (0.5分) F = -kT ln Z (1分) 29. 2 分 (1473)[答] f t -T 1/2 (0.5分) f r -T 1/2 (0.5分)f v -T (1分) 30. 2 分 (1489)[答] 乘积； q t .q v .q r .q e .q n 31. 2 分 (1501)[答] 0.368； 1.104 N 2*/N 1*= exp[-(U 2-U 1)/ kT ] = e -1= 0.368 N 2*/N 1*= (g 2/ g 1) exp[-(U 2-U 1)/kT ] = 1.104 32. 2 分 (1511) [答] ∑-+=-=ii ikT g g kT gq )/ex p()/ex p(21εε (2分)33. 2 分 (1512)[答] A h mkT q ⨯=)/π2(2d 2,t (2分) 34. 2 分 (1514)[答] )/ex p()/ex p()/ex p(332211kT g kT g kT g q εεε-+-+-= (1分) =1+3exp(-100/200)+5exp(-300/200)=3.9353 (1分) 35. 2 分 (1515)[答] 1618216r 218r )O ()O (m m q q = (2分) 36. 2 分 (1516)[答] 556.1)]/ex p(1[1v v =--=-T Θq (1分)f v =q v =1.556 (1分) 37. 2 分 (1517)[答] )]/ex p(1/[1v kT h q ν--= (1分) T →0时, q v =1 (1分) 38. 5 分 (1518)[答] 在二维相空间中，水有6个运动自由度。
热统答案第三章 单元系的相变
（2）
代入式（1） ，即有
⎛ ∂U ⎞ ⎛ ∂µ ⎞ ⎜ ∂n ⎟ − µ = −T ⎜ ∂T ⎟ . ⎝ ⎠T ,V ⎝ ⎠V ,n
（3）
3.6
Hale Waihona Puke ⎞ 两 相 共 存 时 ， 两 相 系 统 的 定 压 热 容 量 Cp = T ⎛ ⎜ ∂T ⎟ ， 体 胀 系 数 ⎝ ⎠p
∂S
58
α=
1 ⎛ ∂V ⎞ 1 ⎛ ∂V ⎞ 和等温压缩系数 κ T = − ⎜ ⎟ 均趋于无穷，试加以说明. ⎜ ⎟ V ⎝ ∂T ⎠ p V ⎝ ∂p ⎠T
（5）
如果一相是气体，可以看作理想气体，另一相是凝聚相，其摩尔体积远小于 气相的摩尔体积，则克拉珀龙方程简化为
（5）
（6）
⎛ p⎞ ⎛ ∂ p⎞ ⎛ ∂ p⎞ δ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ δT + ⎜ ⎟ δV ⎝ T ⎠ ⎝ ∂T T ⎠V ⎝ ∂V T ⎠T = 1 T2 ⎡ ⎛ ∂p ⎞ ⎤ 1 ⎛ ∂p ⎞ ⎢T ⎜ ∂T ⎟ − p ⎥ δT + T ⎜ ∂V ⎟ δV . ⎠V ⎝ ⎠T ⎣ ⎝ ⎦
（7）
δ S = 0, đW = 0.
根据式（1） ，在虚变动中必有
δ U < 0.
（2）
如果系统达到了 U 为极小的状态，它的内能不可能再减少，系统就不可能自 发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此，在 S , V 不变的情形下， 稳定平衡态的 U 最小. （b）在 S , p 不变的情形下，有
δ U < T δ S + đW ,
（1）
式中 δ U 和 δ S 是虚变动前后系统内能和熵的改变， đW 是虚变动中外界所做的 功， T 是虚变动中与系统交换热量的热源温度. 由于虚变动只涉及无穷小的变 化， T 也等于系统的温度. 下面根据式（1）就各种外加约束条件导出相应的 平衡判据. （a）在 S , V 不变的情形下，有
热统第三章作业答案
3.4 求证：（a ）,,;V n T V S T n μ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （b ）,,.T pt n V p n μ⎛⎫∂∂⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 解：（a ）由自由能的全微分（式（3.2.9））dF SdT pdV dn μ=--+ （1）及偏导数求导次序的可交换性，易得,,.V n T VS T n μ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2） 这是开系的一个麦氏关系.（a ） 类似地，由吉布斯函数的全微分（式（3.2.2））dG SdT Vdp dn μ=-++ （3）可得,,.T pT n V p n μ⎛⎫∂∂⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （4）这也是开系的一个麦氏关系.3.5 求证：,,.T V V nU T n T μμ∂∂⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭解：自由能F U TS =-是以,,T V n 为自变量的特性函数，求F 对n 的偏导数（,T V 不变），有,,,.T V T V T VF U S T n n n ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （1）但由自由能的全微分dF SdT pdV dn μ=--+可得,,,,,T VT V V nF n S n T μμ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2）代入式（1），即有,,.T V V nU T n T μμ∂∂⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3）3.7 试证明在相变中物质摩尔内能的变化为1.m p dT U L T dp ⎛⎫∆=- ⎪⎝⎭如果一相是气相，可看作理想气体，另一相是凝聚相，试将公式化简. 解：发生相变物质由一相转变到另一相时，其摩尔内能m U 、摩尔焓m H 和摩尔体积m V 的改变满足.m m m U H p V ∆=∆-∆ （1）平衡相变是在确定的温度和压强下发生的，相变中摩尔焓的变化等于物质在相变过程中吸收的热量，即相变潜热L ：.m H L ∆=克拉珀龙方程（式（3.4.6））给出,mdp L dT T V =∆ （3） 即.m L dTV T dp∆=（4） 将式（2）和式（4）代入（1），即有1.m p dT U L T dp ⎛⎫∆=- ⎪⎝⎭（5）如果一相是气体，可以看作理想气体，另一相是凝聚相，其摩尔体积远小于气相的摩尔体积，则克拉珀龙方程简化为2.dp LpdT RT = （6） 式（5）简化为1.m RT U L L ⎛⎫∆=- ⎪⎝⎭ （7） 3.9 以C βα表示在维持β相与α相两相平衡的条件下1mol β相物质升高1K 所吸收的热量，称为β相的两相平衡摩尔热容量，试证明：.m p m m pV LC C V V T βββαβα⎛⎫∂=- ⎪-∂⎝⎭ 如果β相是蒸气，可看作理想气体，α相是凝聚相，上式可简化为,p LC C Tββα=-并说明为什么饱和蒸气的热容量有可能是负的.解：根据式（1.14.4），在维持β相与α相两相平衡的条件下，使1mol β相物质温度升高1K 所吸收的热量C βα为.mm m p T dS S S dp C T T T dT T p dTββββα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂==+⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （1） 式（2.2.8）和（2.2.4）给出,.m p pm m T pS T C T S V p T ββββ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂∂=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2）代入式（1）可得.m p p V dp C C T T dTβββα⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭ （3） 将克拉珀龙方程代入，可将式（3）表为.m p m m pV LC C V V T βββαβα⎛⎫∂=- ⎪-∂⎝⎭ （4） 如果β相是气相，可看作理想气体，α相是凝聚相，mm V V αβ=，在式（4）中略去m V α，且令m pV RT β=，式（4）可简化为.p LC C Tββα=-（5） C βα是饱和蒸气的热容量. 由式（5）可知，当p L C Tβ<时，C βα是负的.3.10 试证明，相变潜热随温度的变化率为.m m p p mm p p V V dL L L C C dT T T T V V βαβαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂=-+--⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 如果β相是气相，α相是凝聚相，试证明上式可简化为.p p dL C C dTβα=- 解: 物质在平衡相变中由α相转变为β相时，相变潜热L 等于两相摩尔焓之差：.m m L H H βα=- （1）相变潜热随温度的变化率为.mm m m p T p T H H H H dL dp dp dT T p dT T p dTββαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2） 式（2.2.8）和（2.2.10）给出,,p pp TH C T H V V T p T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭⎛⎫∂∂⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3）所以().m m p p m m p p V V dL dp dp C C V V T dT dT T T dT βαβαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂=-+---⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦将式中的dpdT用克拉珀龙方程（3.4.6）代入，可得,m m p p mm p p V V dL L L C C dT T T T V V βαβαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂=-+--⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ （4） 这是相变潜热随温度变化的公式.如果β相是气相，α相是凝聚相，略去m V α和m pV T α⎛⎫∂ ⎪∂⎝⎭，并利用m pV RT β=，可将式（4）简化为.p p dL C C dTβα=- （5） 3.15 证明在曲面分界面的情形下，相变潜热仍可表为().m m mm L T S S H H βαβα=-=- 解：以指标α和β表示两相. 在曲面分界的情形下，热平衡条件仍为两相的温度相等，即.T T T αβ== （1）当物质在平衡温度下从α相转变到β相时，根据式（1.14.4），相变潜热为().m m L T S S βα=- （2）相平衡条件是两相的化学势相等，即()(),,.T p T p ααββμμ= （3）根据化学势的定义 ,m m m U TS pV μ=-+式（3）可表为,m m m m m m U TS p V U TS p V ααααββββ-+=-+因此()()m m m m m mL T S S U p V U p V βαβββααα=-=+-+.m m H H βα=- （4）。
热学答案第三章 完整版
3-14
平均自由程：
碰撞频率为：
两次碰撞的时间间隔为：
t=1/z=1.28*10-10s
3-15
当T不变时，改变压强有：
3-16
（1）
（2）
（3）
3-17
（1）
设电子直径 分子直径d
因为
所以
（2）
电子速度远大于分子，两者相对速率可以认为是电子的速度
3-18
（1）
还需要知道打入分子1的平均速率 和两种分子的平均相对速率
其中
所以：
带入理想气体状态方程： 知， 。
3.7
（1）利用范德瓦尔斯方程可知；
由理想气体状态方程知：
（2）
同理,
范：t=424.09k
理：t=424.11k
（3）
范：t=279.53k
理：t=279k
3-8
根据题意：每个分子的体积为：
d=2.92*10-10m
3.9
（1）
按照3.4.2第一段，认为分子分为六组，分别沿xyz轴正负方向运动，设有一分子沿x正向运动，t1=0时刻碰撞到容器壁，速度变为x负向，t2=L/vx时刻碰撞到对面的器壁，速度变为x正向，t3=（2L）/vx时刻再次撞击原器壁。
（2）
碰撞频率
3-19
气体分子按自由程分布：
当分子无碰撞的至少通过L的路程概率小于50%时有：
3-20
气体分子的自由程分布为
所以：
由3-17题结论可知：
3-21
（1）
气体分子按自由程分布：
所以：
（2）
由3-17题可知
所以
参考书中3.1.8公式的推到方法，将三维情况转变为二维情况，
在 中的分子数为：
《第三章 热力学定律》试卷及答案_高中物理选择性必修 第三册_粤教版_2024-2025学年
《第三章热力学定律》试卷(答案在后面)一、单项选择题（本大题有7小题，每小题4分，共28分）1、一个理想气体的温度从T1升高到T2，体积从V1膨胀到V2。
根据热力学第一定律，下列哪个公式正确表示了气体在这个过程中吸收的热量Q？A、Q = (T2/T1) × (V2/V1) × (PV初 - PV末)B、Q = C_v × (T2 - T1) + C_p × (V2 - V1)C、Q = (C_v + C_p) × (T2 - T1) × (V2 - V1)D、Q = (C_v + C_p) × (PV初 - PV末) / (T2 - T1)2、一个热机在完成一个循环时，从高温热源吸收了200J的热量，对外做了100J 的功，最终向低温热源放出了多少热量？A、50JB、100JC、150JD、200J3、一物体从热源吸收热量并对外做功。
若物体吸收的热量为Q，对外所做的功为W，则根据热力学第一定律可知，物体的内能△U的变化为：A、△U = Q + WB、△U = Q - WC、△U = W - QD、△U = Q / W4、在理想气体的等压膨胀过程中，气体的内能△U如何变化？A、增加B、减少C、不变D、变化无法判断5、以下关于热力学第一定律的描述，正确的是：A、热力学第一定律表明热量不能自生自灭B、热力学第一定律表明热量可以从低温物体传递到高温物体C、热力学第一定律表明在热力学过程中，能量既不能创造也不能消灭，只能从一种形式转变为另一种形式D、热力学第一定律表明封闭系统的内能增加和吸热成正比，和外功成正比6、根据热力学第二定律，以下哪个过程是不可能自发发生的？A、热量从高温物体传递到低温物体B、热量从低温物体传递到高温物体，但不对外界做功C、一个热机的工作循环中，热量可以完全转化为做功D、在孤立系统中，熵可以自发地从低值向高值增加7、一个理想气体在绝热过程中，其内能变化量ΔU与外界对气体做的功W的关系是（）A、ΔU = WB、ΔU = -WC、ΔU = W/TD、ΔU = -W/T二、多项选择题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、下列关于热力学第一定律的说法正确的是（）。
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3.4 求证：
（a ）,,;V n T V
S T n μ∂∂⎛⎫⎛⎫
=-
⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭
（b ）,,.T p
t n V p n μ⎛⎫∂∂⎛⎫
=
⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭
解：（a ）由自由能的全微分（式（3.2.9））
dF SdT pdV dn
μ=--+ （1）
及偏导数求导次序的可交换性，易得
,,.V n T V
S T n μ∂∂⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2）
这是开系的一个麦氏关系.
（a ） 类似地，由吉布斯函数的全微分（式（3.2.2））
dG SdT Vdp dn μ=-++
（3）
可得
,,.T p
T n V p n μ⎛⎫∂∂⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （4）
这也是开系的一个麦氏关系.
3.5 求证：
,,.T V V n
U T n T μμ∂∂⎛⎫⎛⎫
-=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭
解：自由能F U T S
=-是以,
,T V n
为自变量的特性函数，求F 对n 的
偏导数（,
T V
不变），有
,,,.T V T V T V
F U S T n n n ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （1）
但由自由能的全微分
dF SdT pdV dn
μ=--+
可得
,,,,,
T V
T V V n
F n S n T μμ∂⎛⎫
= ⎪
∂⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2）
代入式（1），即有
,,.T V V n
U T n T μμ∂∂⎛⎫⎛⎫
-=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭
（3）
3.7 试证明在相变中物质摩尔内能的变化为
1.m p dT U L T dp ⎛⎫
∆=- ⎪⎝
⎭ 如果一相是气相，可看作理想气体，另一相是凝聚相，试将公式化简. 解：发生相变物质由一相转变到另一相时，其摩尔内能m U 、摩尔焓m H 和摩尔体积m V 的改变满足
.m m m U H p V ∆=∆-∆ （1）
平衡相变是在确定的温度和压强下发生的，相变中摩尔焓的变化等于物质在相变过程中吸收的热量，即相变潜热L ：
.m H L ∆=
克拉珀龙方程（式（3.4.6））给出
,m
dp L dT
T V =
∆ （3）
即
.m L dT V T dp
∆=
（4）
将式（2）和式（4）代入（1），即有
1.m p dT U L T dp ⎛⎫∆=- ⎪⎝
⎭ （5）
如果一相是气体，可以看作理想气体，另一相是凝聚相，其摩尔体积远小于气相的摩尔体积，则克拉珀龙方程简化为
2
.dp L p dT
R T
= （6）
式（5）简化为
1.m RT U L L ⎛⎫∆=- ⎪⎝
⎭ （7）
3.9 以C βα表示在维持β相与α相两相平衡的条件下1mol β相物质升高1K 所吸收的热量，称为β相的两相平衡摩尔热容量，试证明：
.m p m m
p
V L C
C V V T βββ
α
β
α
⎛⎫∂=-
⎪-∂⎝⎭ 如果β相是蒸气，可看作理想气体，α相是凝聚相，上式可简化为
,p L C C T
β
β
α=-
并说明为什么饱和蒸气的热容量有可能是负的.
解：根据式（1.14.4），在维持β相与α相两相平衡的条件下，使
1mol β
相物质温度升高1K 所吸收的热量C βα为
.m m m p T dS S S dp C
T T T dT T p dT
βββ
β
α
⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂==+ ⎪ ⎪ ⎪
∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （1）
式（2.2.8）和（2.2.4）给出
,.
m p p
m m T p
S T C T S V p T β
βββ
⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭⎛⎫⎛⎫
∂∂=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2）
代入式（1）可得
.m p
p
V dp C
C T T dT βββ
α
⎛⎫∂=- ⎪
∂⎝⎭ （3）
将克拉珀龙方程代入，可将式（3）表为
.m p m m
p
V L C
C V V T ββ
β
α
β
α
⎛⎫∂=-
⎪-∂⎝⎭ （4）
如果β相是气相，可看作理想气体，α相是凝聚相，m
m
V V α
β
，在
式（4）中略去m
V α，且令m
pV R T
β
=，式（4）可简化为
.p L C C T
β
β
α=-
（5）
C β
α
是饱和蒸气的热容量. 由式（5）可知，当p L C T
β
<时，C βα是负的.
3.10 试证明，相变潜热随温度的变化率为
.m
m p
p m m
p p V V dL L
L C C dT
T T T V V βαβ
α
βα
⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂=-+--⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
如果β相是气相，α相是凝聚相，试证明上式可简化为
.p p dL C C dT
β
α
=-
解: 物质在平衡相变中由α相转变为β相时，相变潜热L 等于两相摩尔焓之差：
.m m L H H β
α
=- （1）
相变潜热随温度的变化率为
.m m m m p T p T
H H H H dL
dp dp
dT T p dT T p dT ββαα
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）
式（2.2.8）和（2.2.10）给出
,
,p p
p T
H C T H V V T p T ∂⎛⎫
= ⎪∂⎝⎭⎛⎫∂∂⎛⎫
=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3）
所以
().m
m p p m
m p p V V dL dp
dp C C V V T dT
dT T T dT βαβ
α
β
α
⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂=-+---⎢⎥
⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
将式中的
dp dT
用克拉珀龙方程（3.4.6）代入，可得
,m
m p
p m m
p p V V dL L
L C C dT
T T T V V βαβ
α
βα
⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂=-+--⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
（4）
这是相变潜热随温度变化的公式.
如果β相是气相，α相是凝聚相，略去m
V
α和m p
V T α
⎛⎫∂ ⎪
∂⎝⎭，并利用
m pV R T
β
=，可将式（4）简化为
.p p dL C C dT
β
α
=- （5）
3.15 证明在曲面分界面的情形下，相变潜热仍可表为
().m m m m L T S S H H β
α
β
α
=-=-
解：以指标α和β表示两相. 在曲面分界的情形下，热平衡条件仍为两相的温度相等，即
.T
T
T α
β
== （1）
当物质在平衡温度下从α相转变到β相时，根据式（1.14.4），相变潜
热为
().m m L T S S β
α
=- （2）
相平衡条件是两相的化学势相等，即
()(),,.T p T p α
α
β
β
μ
μ= （3）
根据化学势的定义
,m m m U TS pV μ=-+
式（3）可表为
,m m m m m m U TS p V U TS p V α
α
α
α
β
β
β
β
-+=-+
因此
()
()
m m
m m m m L T S S U p V U p V β
α
β
β
β
α
α
α
=-=+-+
.m m H H β
α
=- （4）。