圆的对称性(1)
圆的对称性及周长计算
圆的对称性及周长计算一、圆的对称性【知识点一】圆是轴对称图形。
（1）轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
（2）圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。
【知识点二】圆的对称轴的画法。
（1）圆的对称轴的画法：把圆的直径两端无限延长，就得到圆的对称轴。
（2）圆有无数条对称轴，所以圆以圆心为旋转点旋转任意角度都与自身重合。
半圆只有一条对称轴。
【知识点三】根据对称轴画出给定图形的轴对称图形。
画指定图形的轴对称图形，应根据轴对称图形的性质，找到原图形的关键点或关键线段。
圆是曲线图形，它的关键点就是圆心，关键线段就是直径和半径。
画指定图形的轴对称图形的方法：（1）找出所给图形的关键点或关键线段，圆的关键点为圆心，关键线段为半径或直径。
（2）画出关键点或关键线段的对应点和对应线段。
（3）圆应以对应点为圆心，对应半径为半径画圆，圆以外图形应连结对应点和对应线段。
误区警示：（1）圆的直径是圆的对称轴，圆有无数条直径，圆有无数条对称轴。
这种说法完全正确。
（2）判断：在同一平面内，任意两个圆都成轴对称。
（√）练一练：1、画出下面图形的另一半。
2、两个大小不同的圆可以组成六种图形，请找出每个图形的对称轴，并说一说它们的对称轴有什么共同特点。
3、判断。
（1）只有圆是轴对称图形。
（ ）（2）圆有无数条对称轴。
（ ）二、圆的周长（1） 圆的周长与直径有关，直径越长，周长越长。
（2） 任意一个圆的周长与它的直径的比是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。
用字母π表示。
在小学阶段，如果不做特殊要求，π一般取3.14。
（3）=⇒=⨯圆的周长圆周率圆的周长直径圆周率直径圆的周长计算公式：直径×圆周率 或 半径×2×圆周率。
如果用字母C 表示圆的周长，r 表示半径，d 表示直径。
圆的周长字母公式为：C=πd 或C=2πr.（4）圆的周长的变化与该圆半径、直径的关系：① 如果圆的半径、直径扩大若干倍，它的周长也扩大若干倍。
《圆的对称性》圆圆的对称性
艺术家们也经常利用圆形的对称性来创作美丽的艺术作品，例如旋转对称的图案、镜像对称的图案等。
艺术创作
02
CHAPTER
圆的轴对称性
轴对称性是一种几何属性，指的是一个图形关于某一直线（称为“对称轴”）对称，即图形上的任意点到对称轴的距离相等，且在对称轴的两侧有相对应的点。
对称轴是一条直线，它把图形划分成两个部分，其中一个部分相对于对称轴折叠后能够与另一个部分重合。
感谢您的观看。
04
CHAPTER
圆的旋转对称性
旋转对称性是指一个图形在旋转一定角度后，仍然保持不变的形状和大小。
旋转对称轴是一条通过图形中心的直线，将图形旋转特定角度后，图形上的点与旋转前的点重合。
圆在绕其中心旋转任意角度时，其形状和大小均保持不变。
圆上任意一点在绕圆心旋转一定角度后，都会与原来的点重合。
雕塑中的应用
许多生物形状都表现出圆的对称性，如人的身体、树叶等。这种对称性有助于保持生物体的平衡，使其在运动时更加流畅、自然。
在天体运动中，圆的对称性也非常重要。例如，地球的自转和公转都是以圆形轨道进行的，这种圆形运动方式使得天体能够更加稳定地运动，避免了不必要的震动和变化。
生物形状
天体运动
THANKS
圆是一个具有轴对称性的图形，它的对称轴是经过圆心的任意一条直线。
圆上的任意一点到对称轴的距离相等，且在对称轴的两侧有相对应的点。
圆沿着对称轴折叠后，两侧的点能够完全重合。
通过圆的轴对称性，我们可以很容易地找到圆上任意一点的对称点，以及通过旋转和翻转等变换得到新的图形。
圆的轴对称性也是证明一些几何定理的重要工具，例如，利用圆的轴对称性可以证明圆中的垂径定理和切线长定理等。
3.1圆的对称性
探究一：垂径定理的三种语言
定理 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
C
A B O
M└
●
∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴ AM=BM,
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC = BC, AD = BD. ③直径平分弦 结论 ④平分弦所对的劣弧 ⑤平分弦所对的优弧
D
条件
①一条直径 ②垂直于弦
垂 直 直 径
C
半 径
OC OB BC 10 8 6
2 2 2 2
8
C
10 8
答:截面圆心O到水面的距离为6.
D
想一想:排水管中水最深多少?
解决求赵州桥拱半径的问题
例2、赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨 度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高 (弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能 求出赵州桥主桥拱的半径吗？
解：连结OA． ∵OM⊥AB， 1 ∴ AM AB
AM OA 2 OM 2 3
∴AB＝2AM＝6(cm)．
2、 如图，已知在⊙O中，弦AB的长
为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米， 求⊙O的半径。
A
E
. O
B
题后小结：
1．作圆心到弦的距离和连 半径是圆中常见的辅助线；
8
C D
10
C
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
D
观察并回答
（1）两条直径AB、CD，CD平分AB吗？ （2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦， 弦AB是否一定被直径CD平分？
C B
B C
O
O
A
思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系 时，弦AB有可能被直径CD平分？
D
A
圆的对称性作图方法有哪些
圆的对称性作图方法有哪些
圆的对称性作图方法有以下几种：
1. 中心对称法：圆具有中心对称性，即圆心是对称中心。
通过将圆心的两侧相等部分进行对称绘制，可以得到圆的完整图形。
2. 轴对称法：圆通过旋转轴对称性得到图形。
在圆上任选两点作为轴，将轴上每个点与圆心连线的两侧相等部分进行对称绘制，即可得到圆的完整图形。
3. 线对称法：除了圆心，圆的任意一点也可以作为对称中心。
选定一点作为对称中心，将该点与圆上每个点连线的两侧相等部分进行对称绘制，即可得到完整的圆的图形。
4. 高度对称法：圆的直径是圆的最长线段，也是圆的对称轴。
通过在圆上取一直径，并将直径两侧的相等部分进行对称绘制，即可得到完整的圆的图形。
5. 弧对称法：圆的弧是圆上的一段连续的弯曲线。
通过在圆上取一段弧，并将该弧两侧的相等部分进行对称绘制，即可得到完整的圆的图形。
6. 正方形对称法：正方形具有四个对称轴，其中两条对角线相交于圆心。
通过以圆心为中心，将正方形的四个顶点与圆的每个点连线，对称绘制四个相等部分，即可得到完整的圆的图形。
这些对称性作图方法可以通过在纸上使用铅笔和直尺进行实际操作，也可以通过计算机绘图软件进行虚拟绘制。
无论使用哪种方法，都可以准确地绘制出圆的对称图形。
《圆的对称性》
01
在古希腊和古埃及，数学家们开始研究圆的对称性，并探索其
几何性质。
欧几里得几何
02
在欧几里得几何中，圆被定义为所有到定点距离相等的点的集
合，这个定点被称为圆心。
反射对称性
03
圆的反射对称性是指，如果一个点在圆上，那么与它关于圆心
对称的点也在圆上。
圆的对称性的发展现状
微积分学的发展
在微积分学中，圆的对称性被进一步研究，并应用于解决各种 问题。
更广泛的应用
随着科技的发展，圆的对称性将会在更多的领域得到应用，例如 计算机图形学、人工智能等。
感谢您的观看
THANKS
。
03
工程学
在工程学中，圆的对称性被广泛应用于机械设计、建筑设计等领域。
例如，许多机械零件和建筑结构都采用了旋转对称性和反射对称性的
பைடு நூலகம்
原理进行设计和建造。
02
圆的基本性质
圆的定义
圆是平面上所有与给定点（称为圆心）的距离等于给定长度（称为半径）的点的 集合。
圆的方程通常表示为(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，其中(h, k)是圆心的坐标，r是 半径。
测量与计算
圆的对称性在测量和计算 中也经常用到，如计算圆 的周长、面积等。
在物理学中的应用
运动学
圆的对称性在运动学中有着重要的应用，如物体 做圆周运动时的向心力和离心力。
光学
圆的对称性在光学中也有着重要的应用，如各种 光学仪器（如望远镜、显微镜等）的设计。
电磁学
在电磁学中，圆的对称性对于理解电磁场的分布 和性质非常重要。
在日常生活中的应用
建筑设计
圆的对称性在建筑设计中有着广泛的应用，如圆形屋顶、圆形窗 户等。
圆形对称图形的知识点总结
圆形对称图形的知识点总结
1. 圆的对称中心: 圆形是一种高度对称的图形，因此它的对称中心即为圆心。
无论是将圆
形沿着任何轴线进行翻转、旋转或倒影，都将得到一致的图形，因为圆形的每一点到圆心
的距离都相等。
2. 圆的轴对称: 圆形具有无数个轴对称轴线，这是因为圆形的任意一条直径都是它的轴对
称轴线。
将圆形沿着任意直径进行翻转、旋转或倒影，所得到的图形都与原图形完全一致。
3. 圆的中心对称: 圆形具有中心对称性，也就是说如果将圆形沿着圆心进行旋转180度，
那么所得到的图形与原图形将完全一致。
这是因为圆形的每一点到圆心的距离都相等，因
此无论如何旋转，都将得到一致的图形。
4. 圆形的旋转对称: 圆形在任意角度的旋转下都具有对称性，也就是说无论将圆形旋转多
少度，所得到的图形都与原图形完全一致。
这是因为圆形的每一点到圆心的距离都相等，
因此无论如何旋转，都将得到一致的图形。
5. 圆形的对称性质: 圆形的对称性质使得我们能够更好地理解和描述它的特征和性质。
通
过对称性的分析，我们可以得到许多重要的结论，例如圆形的面积公式和周长公式，圆形
的切线性质和弦的性质等等。
总之，圆形对称图形具有高度的对称性，包括轴对称、中心对称和旋转对称等多种对称性质。
这些对称性质使得我们能够更好地理解和描述圆形的特征和性质，为解决各种几何问
题提供了重要的理论基础。
因此，对圆形的对称性进行深入的研究和分析，有助于我们更
好地掌握几何学知识，提高解决问题的能力。
32圆的对称性(1)垂径定理
2. 圆对称性(1) 垂径定理
想一想P88 1
圆的对称性
驶向胜利 的彼岸
圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称
轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
圆是中心对称图形吗？
如果是,它的对称中心是什么?
●O
你能找到多少个对称中心？
你又是用什么方法解决这个
图中相等的线段有 : .
图中相等的劣弧有: .
B M
E D
A OF
C
N
试一试P93 14
挑战自我画一画
驶向胜利 的彼岸
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，
CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
C
A
D
B
O
试一试P93 15
挑战自我画一画
⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A M└
B
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
C
想一想P91 9
A M└
B
垂径定理及逆定理
●O
条件 ①② ①③
结论
命题
③④⑤
D 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
问题的?
想一想P88 2
圆的对称性
驶向胜利 的彼岸
圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
圆也是中心对称图形.
它的对称中心就是圆心.
圆的对称性(1)
3．垂径定理和勾股定理相结合，构造 直角三角形，可解决弦长、半径、弦 心距等计算问题．
2020/2/6
[例一心]段)如，圆右其弧图中(所即C示D图=，中60一C0⌒m条D，，公点E路为O的是C⌒转DC⌒上弯D的一处圆点是， 且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求 这段弯路的半径．
想一想：
1、如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平 分AB的直径CD，交AB于点M．同学们利用圆纸片 动手做一做，然后回答：
4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图.
问题：（1）右图是轴对称图形吗？
如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？
2020/2/6
说一说你的理由。
总结得出垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且 平分弦所对的弧。
推理格式：如图所示
∵∴CAMD⊥=BAMB，，A⌒CDD=为⌒B⊙D，O的A⌒C直=径B⌒C.
2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 如图, 弦AB，弦CD
3．直径：经过圆心的弦叫直径。
如图,直径CD
2020/2/6
做一做：按下面的步骤做一做
1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下， 把这个圆对折，使圆的两半部分重合．
2．得到一条折痕CD．
3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕 的垂线， 得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即 垂足．
（1）此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么 ?
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理 2.由总。结得出垂径定理的逆定理：平分弦（不是直 径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
推理格式：如图所示
4.1圆的对称性(1)
D
想一想
9
A
C M └
●
B
垂径定理及逆定理
条件 ①② ①③ ①④ ①⑤ ②③ ②④ ②⑤ ③④ 结论 命题
O
③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧. ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧. ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧. ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
1.下列说法不正确的是（ A 平分弦的直径垂直于弦 B C D
）
平分弦的直径也平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
2.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为 24米，拱的半径为13米，则拱高为_______米
返回
4. ⊙O的直径为10，弦AB=8，P为弦AB上的一动 点，那么OP长的取值范围是______________.
D
③⑤
④⑤
垂径定理的推论（知二推三）
1.直径 2.垂直于弦 4.平分弦所对的劣弧 5.平分弦所对的优弧 3.平分弦
如果把上面的五个量中的任意两个作为条件， 那么就可以推出其余三个结论.
如图，MN所在的直线垂直平分AB， 利用这样的工具，最少两次就可以找 到圆形工件的圆心，你能说出理论依 据吗？
（垂直平分弦的直线必过圆心）
出示例题：课本109页例1
圆的对称性
个性化辅导教案形又是轴对称图形的个数是_______．A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个知识点二 圆心角、弧、弦之间的关系1：已知⊙O 的半径为R ，弦AB 的长也为R ，则∠AOB ＝ ．2：已知：⊙O 的半径为2cm ，弦AB 所对的劣弧为圆的31，则弦AB 的长为 cm ；圆心到弦AB 的距离为 cm ． 3：在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝90°，点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径的长 ．4：若一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为 ．5：如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，且∠AMN=∠CNM ，AB=6，则CD= ．6：若圆内直径AB 垂直弦CD 于点E ，且AE=5cm,BE=13cm,则圆心到弦CD 的距离为________cm ．7：在半径为8cm 的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）A 、38cmB 、 34cmC 、4cmD 、8cm8：如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝1，则弦AB 的长是________．第8题图 第9题图 第10题图9：如右图，⊙O 的半径为5，弦AB=8，点M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能是（ ）A 、2B 、3C 、4D 、510：如图，已知⊙O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离为3，则⊙O 上到弦AB 所在直线的距离为2的点有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个11：如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是半径AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ．求证：=AC BD．12：如图所示，已知AB交⊙O于C、D且AC=BD，你认为OA=OB吗？为什么？13：如图AB、CD是⊙O的两条弦，OF⊥CD，OE⊥AB且OE=OF求证：AB=CD．14：如图所示，点P为⊙O弦AB的中点，PC⊥OA，垂足为C，求证：PA•PB=AC•OA．【课堂练习】1：下列判断中，正确的是（）A、平分弦的直线垂直于弦；B、平分弦的直线也平分弦所对的两条弧；C、弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧；D、平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦．2：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A、CM=DMB、弧CB=弧DBC、∠ACD=∠ADCD、OM=MD第2题图第5题图3：已知圆的半径为5，圆心到弦的距离为4，则弦长为（）A、3B、6C、4D、84：已知⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则AB、CD之间的距离为（）A、17 cmB、7 cmC、12 cmD、17 cm或7 cm5：如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，2），N （0，8）两点，则点P的坐标是（）A、(5，3)B、(3，5)C、(5，4)D、(4，5)6：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，以C为圆心，以CA的长为半径的圆交AB于点D，求AD的度数．7：如图是一个装有水的水管的截面，已知水管的直径是100cm，装有水的液面宽度为AB=60cm，则水管中水的最大深度为多少？【能力大考验】1：下列语句中，正确的有（）（1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）长度相等的两条弧是等弧；（4）经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；A、1个B、2个C、3个D、4个2：如图，在半径为2cm的⊙O内有长为2cm的弦AB，则此弦所对的圆心角∠AOB的度数为（）A、60°B、90°C、120°D、150°第2题图第3题图3：如图，AB是⊙O的直径，若∠COA=∠DOB=60°，则与线段AO等长的线段（）A、3条B、4条C、5条D、6条4：⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=6cm,CD=8cm,求两平行弦之间的距离．5：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD＝6 cm，求直径AB的长．6：如图所示，点A、B为⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合），连结PA、PB，过O作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF= ．7：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，若以点C为圆心，CB为半径作圆交AB于点P，求AP=_________．第6题图第7题图第8题图8：如图，⊙O过点B、C圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为．60，求CD的长．9：如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm,∠DEB=10：如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为11：如图是一个地通桥，上面是半径为2m的半圆，下面是一矩形，半圆拱的圆心到地面2m，现一辆高3.3 m，宽2.8 m的卡车想从这里通过，问这辆卡车能过去吗？请说明理由．。
27.1.2圆的对称性(1)
2.在同一个圆（或等圆）中，如果弧相等，那么所 对的圆心角_相__等__、所对的弦__相__等__， 所对的弦
的弦心距_相__等__。
倍 3.在同一个圆（或等圆）中，如果弦相等，那么所
速 课 时 学 练
对的圆心角_相__等__、所对的弧_相__等___,所对的弦的
弦心距_相__等__。
以上三句话如没有在
O
倍
速C
课
时
学 练
N
D
圆是轴对称图形，
经过圆心的 每一条直线都是 它的对称轴。
B
M
A
D 或： 任意一条
直径所在的直线
都是圆的对称轴。
O
任意一条直径都是
倍 速C
圆的对称轴（
）
课 时
B
学
练
N
探究一：
将图中的扇形AOB绕点O逆时针旋转 某个角度。在得到的图形中，同学们可 以通过比较前后两个图形，发现有何关 系？
倍 速 课 时 学 练
C
B O
你会做吗？
如图，在⊙O中，AC=BD，
1 45 ,求∠2的度数。
解：∵ AC=BD （已知）
∴ AC-BC=BD-BC （等式的性质）
倍 速
∴ AB=CD
图 23.1.5
课
时 学
∴∠1=∠2=45°（在同圆中，相等的弧
练
所对的圆心角相等）
例1: 已知:如图,A,B,C,D是⊙O上的点， ∠1=∠2。 求证：AC=BD
的弦心距中，有一组量相等，
倍 那么它们所对应的其余各组量
速 课
也分别相等．
时
学
练
∵把圆心角等分成360份,则每一份的圆心 角是1º.同时整个圆也被分成了360份. 则每一份这样的弧叫做1º的弧.
5.2圆的对称性(1)
5
学生踊跃发言，气氛 生认识到原来
（2）我们采用的是什么方法来研究中 热闹
生活中处处有
心对称图形的呢？
数学，从而激
（3）出示投影片 1（轮子转动）
学生想象儿时的摩天 发学生学习数
二、探索活动：
轮
学的兴趣。
活动一：尝试与交流
师：请同学们拿出课前准备好的两张透明
白纸，并出示投影片 2
（1）分别作半径都为 5 ㎝的⊙O、⊙O'；
苏教版九年级数学上册第五章第二节第一课时教学设计
5.2 圆的对称性（1）
江苏省赣榆县初级中学 陈庆霞 邮编：222100
一、教材简解：
本节内容是学生在小学学过的一些圆的知识及学习本册教材第五章第一节
圆的有关概念的基础上，进一步探索和圆有关的性质。本究过程中通过师生动手
n 度的圆心角
n 度的弧
关键：将顶点在圆心的周角分成 360 份，
每一份的圆心角是 1º的角，于是，整个圆
也被等分成 360 份。我们把 1º的圆心角所
对的弧叫做 1º的弧。
【板书二】
（二）、弧的大小：
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
注意：1.圆心角的度数与它所对的弧的度
数相等，不是角与弧相等；
分组讨论后，学生板 演，教师加以讲评， 及时纠正一些解题规 范。
学生解答，并板演， 教师点评。
拓宽学生的知 识面，让学生 对圆心角与弧 有进一步的了 解。同时又培 养了学生用类 比的思想去解 决一些问题。
§5.2圆的对称性(1)
初三数学教学案课题：§5.2圆的对称性(1) 课型：新授 时间：〖学习目标〗1．经历探索圆的对称性及有关性质的过程.2．理解圆的对称性及有关性质.3．会运用圆心角、弧、弦之间的关系、垂径定理等解决有关问题.〖学习过程〗一、创设情境：(1) 什么是中心对称图形?(2) 我们采用什么方法研究中心对称图形?二、探索活动：活动一、按照下列步骤进行小组活动：1、在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O 和⊙O '2、在⊙O 和⊙O '中,分别作相等的圆心角∠AOB 、∠'''B O A ，连接ＡＢ、''B A .3、将两张纸片叠在一起，使⊙O 与⊙O '重合（如图）.4、固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA 与OA '重合.在操作的过程中，你有什么发现，请与小组同学交流._______________________________________________ 活动二、上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三个量之间的关系，你还有什么思考？请与小组同学交流.你能够用文字语言把你的发现表达出来吗?2、圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.’ ’试一试：如图,已知⊙O 、⊙O '半径相等，AB 、CD分别是⊙O 、⊙O '的两条弦.填空： （1）若AB=CD ，则 ，（2）若，则 ，（3）若∠AOB=∠CO 'D ，则 ， .活动三、在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？弧的大小：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.三、例题分析：例：如图,AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，∠AOC=∠BOC.∠ABC 与∠BAC 相等吗？为什么？四、课堂小结：通过本节课的学习.你对圆的对称性有什么认识？五、随堂练习：1．如图，在⊙O 中，AC=BD ，∠AOB=50°,求∠COD 的度数．2. 如图，在⊙O 中，AB=AC A=40°,求∠B 的度数．C3.如图,在△ABC中, ∠C=90°, ∠B=28°,以C为圆心,CA为半径的圆交AB于点D,交BC与点E,求AD的度数.4.如图，AD、BE、CF是⊙O的直径，且∠AOF=∠BOC=∠DOE。
2.2《圆的对称性(1)》教学课件
AB＝A′B′;
AB＝A′B′.
∠AOB＝∠ A′O′ B′. ∠AOB ＝∠ A′O′ B′.
观察思考
1°的圆心角
C D
1°的弧
O
B
n°的弧
A n°的圆心角
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
例题探究
例1 如图, AB、AC、BC都是⊙O的弦,∠AOC＝
∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？
AB ＝ A′B′
AB＝A′B′
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等, 所对的弦相等．
议一议
在同圆或等圆中,如果圆心角所对的弧相等,那么 它们所对的弦相等吗?这两个圆心角相等吗?为什么?
B A B′ A′
O
O′
AB＝A′B′ AB＝A′B′
∠AOB ＝∠ A′O ′B ′
在同圆或等圆中,如果圆心角所对的弦相等,那
B
A B O C 图2
O 图1
2．如图2,在⊙O中, AB＝ AC ,∠A＝40º，求
∠ABC的度数.
拓展练习
如图,在同圆中,若AB＝2CD,则AB与2CD的大小 关系是( B )． B．AB＜2CD D．不能确定
B O D A C
A．AB＞2CD C． AB＝2CD
拓展：在同圆中，若AB ＞ CD ，那么AB与CD的 大小关系关系如何？
课堂小结
通过本节课的学习,你对圆的对称性有哪些认识？ 1．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心． 2．在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两 条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组都分 别相等. 3．圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
课后作业
课本P48 第2、3、4.
2.2
最新青岛版九年级数学上册精品课件3.1圆的对称性(1)
它的对称轴．
2019/8/30
3
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讲授新课
圆的对称轴
说一说
（• 1单）• 击圆第此二是处级轴编对辑称母图版形文吗本？样如式果是，它的对称轴是什 么？你能• 第找三到级多少条对称轴？
（2）你是•怎第么四• 级第得五级出结论的？ 用折叠的方法
●O
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圆的对称性： 圆是轴对称图形，每一条直 径所在的直线都是它的对称 轴.
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• 第二级3.1圆的对称性（1） • 第三级 • 第四级 • 第五级
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学习目标
• 单击此处编辑母版文本样式 1.进• 一第二步级认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解• 垂第•直三第级于四级弦的直径的性质和推论，并能应用
DB
• 第四级
• 第五级
M D B
.O
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心 距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为 应用垂径定理创造条件.
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垂径定理的实际应用
试•一单试击：此根处据编刚辑刚母所版学文，本你样能式利用垂径定理求出引入 中赵•州第桥二主级桥拱半径的问题吗?
两个半圆重合，点A与点B重合，AE与 A E
B
BE重合，AC⌒和BC⌒,AD⌒与BD⌒重合．
D
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归纳总结
垂径定理
垂• 单直击于此弦处的编直辑径母平版分文弦本以样及式弦所对的两条弧.
• 第二级
推导格• 第式三：级
圆的对称性(个人整理,经典题型)
第八讲圆的对称性（一）【你必须知道的数学小知识】1、圆的定义：平面上到定点．．的距离等于_____________的所有点组成的图形叫做圆．；其中，定点称为__________，______________称为半径，以点O为圆心的圆可记作___________。
注意：①圆是一条___________的曲线，不能认为是圆面；②圆上各点到定点的距离都等于_________，到定点的距离等于定长的点都在__________；③圆的两要素：________________________________。
2、圆具有对称性：_______________________________________________________________________________。
3、圆的相关概念（1）弦与直径：连结圆上任意两点的__________叫做弦；经过___________的弦叫做直径；（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做__________，简称________。
用符号"⌒"表示，以A、B为端点的弧记作___________；（注意”半圆“、”优弧“、”劣弧“之间的区别）4、点与圆的位置关系：（1）点在圆外——点到圆心的距离_________半径；（2）点在圆上——点到圆心的距离_________半径；（3）点在园内——点到圆心的距离_________半径；5、垂径定理：垂直于弦的____________平方这条__________，并且平分弦所对的________________.用符号语言表示为：6、垂径定理推论：平分弦（不是直径．．．．）的___________垂直于___________，并且平分弦所对的___________. 用符号语言表示为：7、知二推三【经典例题】例1、（1）若⊙O的半径为5cm，圆心O到直线α的距离OM是4cm，直线α上有一点A，AM为6cm，则A在⊙O_____________________（填内、外、上）（2）已知一点与⊙O上的点最近距离是4cm，最远距离是9cm，则这个圆的半径是______________cm。
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B′
B
A′
O′
O
A
你能发现那些等量关系?说一说你的理由.
自主探究 合作交流
B′
任务二：做一做
B
A′
O′
O
A
在上述操作和探究中，你会得出什么结论？
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弧相等，所对的弦相等。
由条件: ①∠AOB=∠A′O′B′
可推出
⌒⌒
②AB=A′B′ ③AB=A′B′
自主探究 合作交流
选择你喜欢的一句话进入冲关
生命之灯因热情而点 燃，生命之舟因拼搏 而前行
快乐是一种心 态，不是一种 状态。
奉献使心灵富有，
创造让人生美丽。
成功的人做别人不愿做 的事，做别人不敢做的 事，做别人做不到的事。
拥有梦想是 一种智力， 实现梦想是 一种能力
当堂练习 检测固学
1．下列命题中，正确的有（ ） A．圆只有一条对称轴 B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条 C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴 D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的 对称轴
自主探究 合作交流
任务二：做一做
推理格式：
B
B′
O
O′
(2) ∵⊙O 和⊙OA′是等圆,且 A′ 如图所示： A B= A′B′, (1)∵⊙O 和⊙∴O′A 是B=等A′圆B,′且， A O B= A′O′B′.
A O B= A′O′B′,
∴A B=A′B′，A B= A′B′.
(3) ∵⊙O 和⊙O′是等圆,且 A B= A′B′,
遇到困难不要抱怨， 既然改变不了过去， 那就改变未来。
九年级数学(下)第三章： 圆
第二节 圆的对称性
长安区滦镇泉子头中学 张莹
自主预习，认真准备
1、举例说明什么是弧、弦及圆心角。 2、圆是轴对称图形吗？你是怎么验证的？
圆是轴对称图形，对称轴有无数条（所有经过圆心的直线都是对称轴）
1、判别下列各图中的角是不是圆心角， 并说明理由。
任务二：做一做
“同圆或等圆”的条件能不能去掉？为什么？
A
O
AB = CD ？！C
O'
B
记住：圆心角定理，必
D
须在同圆或等圆中运用。
自主探究 合作交流
B′
任务二：做一做
B
A′
O′
O
A
4、想一想： 在同圆或等圆中
相等的圆心角
弧相等 弦相等
如果在同圆或等圆这个前 提下，将题设和结论中任 何一项交换一下，结论正 确吗?你是怎么想的?请你 说一说．
探索总结
任务二：做一做
定理：在同圆或等圆中，如果两个圆 心角、两条弧、两条弦中有一组量相 等，那么它们所对应的其余各组量都 分别相等。
自主探究 合作交流
任务三：学以致用
1、如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么
，
。
（2）如果 A B = C D ，那么
，
（3）如果∠AOB=∠COD，那
①
②
③
④
自主探究 合作交流
任务一：探究圆的旋转不变性
请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆。请回答：
O
O，
它•们圆能具重有合旋吗转？不如变果性能,重即合一，个请圆将绕它着们它的的圆圆心心 固•定旋在转一任起意。一个角度，都能与原来的圆重合。 然•后即将因其此中,一圆个是圆中旋心转对任称意圆一形个，角对度称，中这心时为两圆个
么
，
。
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，
OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么
？
因为AB=CD ，所以∠AOB=∠COD.
又因为AO=CO，BO=DO，
所以△AOB ≌ △COD. 又因为OE 、OF是AB与CD对应边上的高，
所以 OE = OF.
。
A E B
C
F
O
D
自主探究 合作交流
任务三：学以致用
当堂练习 检测固学
2．下列说法中，正确的是（ ） A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等
当堂练习 检测固学
3．下列命题中，不正确的是（ ） A．圆是轴对称图形 B．圆是中心对称图形 C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．以上都不对
圆•还心重。合圆吗的?中心对称性是其旋转不变性的特例.
自主探究 合作交流
任务二：做一做
按下面的步骤做一做
1、利用手中已准备的两张半径相等的透明圆胶片，在⊙O 和⊙O′
上分别作相等的圆心角 ∠A O B和∠A′O′B′,然后将两圆的圆
心固定在一起。
2、将其中的一个圆旋转一个角度，使得O A与O′A′重合。
当堂练习 检测固学
4. 如图在⊙O中，A⌒B=A⌒C ，∠ABC=60°，
求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC. A
O·
B
C
当堂练习 检测固学
5.如图,AB、AC、BC都是⊙O的弦， ∠AOC=∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？ 为什么？
作业：
课本 第 72页 1,3
∴ A B=A′B′， A O B=
A′O′B′.
自主探究 合作交流
任务二：做一做
(2) ∵⊙O 和⊙O′是等圆,且 A B= A′B′,
∴ A B=A′B′， A O B=
A′O′B′.
(3) ∵⊙O 和⊙O′是等圆,且 A B= A′B′,
∴ A B=A′B′， A O B=
A′O′B′.
自主探究 合作交流
2、如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O的一点，且 ADCE ，BE与CE的大小有什么关系？为什么？
课时小结
1.在得出本节结论的过程中你用到了哪些 方法？有哪些收获和我们共享？
2、你还有什么不理解的地方，需要老师或同学帮助？
利用折叠法研究了圆是轴对称图 形；利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性， 由圆的旋转不变性，我们探究了圆心角、弧、 弦、弦心距之间相等关系定理。