圆的对称性1资料精选课件PPT
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《圆的对称性》1 PPT课件
你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？
小红认为 AB ＝AB ，AB＝AB . 她是这样想的：
∵半径OA重合，∠AOB＝AOB ， ∴半径OB与 OB 重合， ∵点A与点 A重合，点B与点B′重合， ∴ AB与 AB重合，弦AB与弦 AB 重合. ∴ AB＝AB ，AB＝ AB.
结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦相等.
18
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
北师大版九年级数学下册
第二节 圆的对称性
知识回顾 导入新课
问题1：前面我们已经认识了圆，你还记 得确定圆的两个元素吗？
圆心和半径
问题2：你还记得学习圆中的哪些概念吗？
忆一忆：
1.圆：平面上到__定__点_的__距__离___等于_定__长___ 的所有点组成的图形叫做圆，其中__定__点__为 圆心，定长为__半__径____.
想一想：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相 等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相 等吗？你是怎么想的？
小红认为 AB ＝AB ，AB＝AB . 她是这样想的：
∵半径OA重合，∠AOB＝AOB ， ∴半径OB与 OB 重合， ∵点A与点 A重合，点B与点B′重合， ∴ AB与 AB重合，弦AB与弦 AB 重合. ∴ AB＝AB ，AB＝ AB.
结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦相等.
18
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
北师大版九年级数学下册
第二节 圆的对称性
知识回顾 导入新课
问题1：前面我们已经认识了圆，你还记 得确定圆的两个元素吗？
圆心和半径
问题2：你还记得学习圆中的哪些概念吗？
忆一忆：
1.圆：平面上到__定__点_的__距__离___等于_定__长___ 的所有点组成的图形叫做圆，其中__定__点__为 圆心，定长为__半__径____.
想一想：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相 等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相 等吗？你是怎么想的？
3[1].圆的对称性课件
![3[1].圆的对称性课件](https://img.taocdn.com/s3/m/cd24d461f5335a8102d22017.png)
AB
⌒ 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 ADB (用三个字母).
B A
连接圆上任意两点间的线段叫做弦 (如弦AB).
●
O
C
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
D
探求不断
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. 已知： 如图,CD是直径, AB是弦, CD⊥AB, 垂足为M 。 ∵ CD是直径, CD⊥AB, 求证： 你能发现图中有哪些等量关系？ 请你说说它们相等的理由。 ∴ AM=BM,
•o A C
┐E
D
B
注意：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作 出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往 往只需从圆心作弦的垂线段。
挑战自我 画一画
如图,M为⊙O内的一点,利用三角尺作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
M ●O
●
E
练习:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ， 求圆O的半径。
C
A
M└
●
B
O
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC = BC, AD = BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AM=BM，AC=BC，AD=BD
③平分弦
D
条件
①一条直径
②垂直于弦
结论 ④平分弦所对的劣弧 ⑤平分弦所对的优弧
九年级数学上册 第3章 对圆的进一步认识 3.1 圆的对称性(第1课时)课件 (新版)青岛版
A
BD
∴OC=OD
实例应用
1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱 桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦 长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的的距离， 也叫弓形高）为7.2m。求桥拱的半径。
解析：设桥拱的半径为R（m），如图用︵AB表示桥拱︵，AB的圆心为O。经过 点源自文库作AB的垂线，垂足为D，与弧AB交与点C
动动手1，自主学习
在一张半透明的纸片上画一个圆,标出它的圆心O, 并任意作出一条直径AB,将圆O沿直径AB折叠,你发现了 什么?
A
●O
B
圆的轴对称性
圆是轴对称图形.
每一条直径所在的直线都
●O
是它的对称轴.（或经过圆
心的直线都是它的对称轴）
动动手2 ，合作探究
问题：如图AB是⊙O的一条弦，作直径CD,使CD⊥AB,
C
(2) ∵ CD⊥AB,AM=BM
A M└
B ∴点A和点B关于直径CD对称.
●O
又∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B
重合⌒ A, C和B⌒C重合, ⌒ AD和B⌒D重合.
D
∴A⌒C =B⌒C, A⌒D =B⌒D.
C
A
B
M└
●O
D
图形
语言
垂径定理
我们发现图中有:
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
数学：3.2《圆的对称性》课件1(北师大版九年级下)
2.总结得出垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直 径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 推理格式：如图所示 ∵AM＝MB，CD为⊙O的直径,
2019/1/20
⌒ ⌒ ⌒⌒ ∴CD⊥AB于M，AD=BD，AC=BC
练一练:完成课本随堂练习第2题.
2019/1/20
Ⅲ．课时小结
1．本节课我们探索了圆的对称性．
第三章
圆
驶向胜利 的彼岸
第二节
圆的对称性(一)
2019/1/20
I．创设问题情境，引入新课
问题：
驶向胜利 的彼岸
前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学 能叙述一下轴对称图形的定义?我们是用 什么方法研究轴对称图形的?
2019/1/20
Ⅱ．讲授新课
（一）想一想
驶向胜利 的彼岸
圆是轴对称图形吗? 如果是，它的对称轴是什么? 你能找到多少条对称轴? 讨论：你是用什么方法解决上述问题的?
2019/1/20
（四）讲例
[例]如右图所示，一条公路的转弯处是
驶向胜利 的彼岸
一段圆弧(即图中⌒ CD，点O是⌒ CD的圆心)， 其中CD=600m，E为⌒ CD上一点，且 OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求这段弯 路的半径． [分析]要求弯路的半径，连接OC，只要求出OC的长便可以了.
2019/1/20
（三）探索垂径定理
2019/1/20
⌒ ⌒ ⌒⌒ ∴CD⊥AB于M，AD=BD，AC=BC
练一练:完成课本随堂练习第2题.
2019/1/20
Ⅲ．课时小结
1．本节课我们探索了圆的对称性．
第三章
圆
驶向胜利 的彼岸
第二节
圆的对称性(一)
2019/1/20
I．创设问题情境，引入新课
问题：
驶向胜利 的彼岸
前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学 能叙述一下轴对称图形的定义?我们是用 什么方法研究轴对称图形的?
2019/1/20
Ⅱ．讲授新课
（一）想一想
驶向胜利 的彼岸
圆是轴对称图形吗? 如果是，它的对称轴是什么? 你能找到多少条对称轴? 讨论：你是用什么方法解决上述问题的?
2019/1/20
（四）讲例
[例]如右图所示，一条公路的转弯处是
驶向胜利 的彼岸
一段圆弧(即图中⌒ CD，点O是⌒ CD的圆心)， 其中CD=600m，E为⌒ CD上一点，且 OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求这段弯 路的半径． [分析]要求弯路的半径，连接OC，只要求出OC的长便可以了.
2019/1/20
（三）探索垂径定理
《圆的对称性》课件
轴对称变换定义
轴对称变换的应用
在平面内，将图形关于某一直线进行 对称，但不改变图形的大小和形状。
在几何、代数、解析几何等领域中都 有广泛的应用，如等腰三角形、抛物 线等。
轴对称变换性质
图形在轴对称过程中，其内部任意两 点关于对称轴对称，且与对称轴的位 置和方向无关。
04
圆的对称性在生活中的应用
建筑设计中的圆对称性
圆的对称性应用
总结词
描述圆的对称性的应用
VS
详细描述
圆的对称性在几何学、数学、物理学等多 个领域都有广泛的应用。例如，在几何学 中，圆的对称性可以用于证明几何定理； 在数学中，圆的对称性可以用于解决数学 问题；在物理学中，圆的对称性可以用于 描述圆形的物体在旋转时的运动状态。
03
圆的对称性与几何变换
02
圆的对称性
圆的对称性定义
总结词
描述圆的对称性的定义
详细描述
圆的对称性是指圆在旋转或平移后，其形状和大小保持不变的性质。
圆的对称性分类
总结词
描述圆的对称性的分类
详细描述
圆的对称性可以分为中心对称和轴对称两种类型。中心对称 是指圆绕其中心点旋转180度后仍与自身重合；轴对称是指 圆沿一条直线折叠后与自身重合。
详细描述
自然界中的圆对称性，如花朵、树叶、果实 等，这些自然形态的圆对称性不仅美化了我 们的生活，还揭示了生命的奥秘和自然法则 。这种圆对称性的存在，使得生物能够更好 地适应环境，提高生存和繁衍的机会。
圆的对称性(1)
4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图.
问题：（1）右图是轴对称图形吗？
如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？
2020/2/6
说一说你的理由。
总结得出垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且 平分弦所对的弧。
推理格式：如图所示
∵∴CAMD⊥=BAMB，，A⌒CDD=为⌒B⊙D，O的A⌒C直=径B⌒C.
（1）此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么 ?
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理 2.由总。结得出垂径定理的逆定理：平分弦（不是直 径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
推理格式：如图所示
∵AM＝MB，CD为⊙O的直径,
∴CD⊥AB于M，A⌒D=⌒BD，A⌒C=⌒BC
1．本节课我们探索了圆的对称性．
2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理 及其逆定理．
3．垂径定理和勾股定理相结合，构造 直角三角形，可解决弦长、半径、弦 心距等计算问题．
2020/ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ/6
[例一心]段)如，圆右其弧图中(所即C示D图=，中60一C0⌒m条D，，公点E路为O的是C⌒转DC⌒上弯D的一处圆点是， 且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求 这段弯路的半径．
想一想：
1、如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平 分AB的直径CD，交AB于点M．同学们利用圆纸片 动手做一做，然后回答：
问题：（1）右图是轴对称图形吗？
如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？
2020/2/6
说一说你的理由。
总结得出垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且 平分弦所对的弧。
推理格式：如图所示
∵∴CAMD⊥=BAMB，，A⌒CDD=为⌒B⊙D，O的A⌒C直=径B⌒C.
（1）此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么 ?
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理 2.由总。结得出垂径定理的逆定理：平分弦（不是直 径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
推理格式：如图所示
∵AM＝MB，CD为⊙O的直径,
∴CD⊥AB于M，A⌒D=⌒BD，A⌒C=⌒BC
1．本节课我们探索了圆的对称性．
2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理 及其逆定理．
3．垂径定理和勾股定理相结合，构造 直角三角形，可解决弦长、半径、弦 心距等计算问题．
2020/ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ/6
[例一心]段)如，圆右其弧图中(所即C示D图=，中60一C0⌒m条D，，公点E路为O的是C⌒转DC⌒上弯D的一处圆点是， 且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求 这段弯路的半径．
想一想：
1、如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平 分AB的直径CD，交AB于点M．同学们利用圆纸片 动手做一做，然后回答：
华师大版九年级数学下册27.1《圆的对称性》教学课件 (共16张PPT)
则圆心到弦的距离是( 3 )cm
• o CE D
B组 在圆O中弦CD＝24，圆心到弦CD的距离
E
O
为5,则圆O的直径是( 26 )
•
C
D
C组 若AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E， AE＝16，BE=4,则CD＝( 16 )
A
O•E D
C
B
例3 如图已知⊙O的直径为4cm，弦AB= 2 3 cm，
∵AB=8cm
∴AE=4cm
在Rt中有
OA= 32 42
=5cm
A
E
B
└
•O
∴ ⊙O的半径为5cm
解后指出：从例2看出圆的半径OA，圆心到弦的垂线段OE 及半弦长AE构成Rt△AOE.把垂径定理和勾股定理结合起来， 解决这类问题就显得很容易了。
练习
A组 在圆中某弦长为8cm，圆的直径是10cm，
平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧
判断题： (1)过圆心的直线平分弦；
（ ×）
(2)垂直于弦的直线平分弦；
（ ×）
(3)⊙O中，OE⊥弦AB于E，则AE=BE. （ √ ）
C
C
E •O
A
B
D
(1)
•O
E
A
BA
D
•O EB
(2)
(3)
例1 如图在⊙O中，直径CD交弦AB于点E，AE=BE
《圆的对称性》PPT课件
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
题设
结论
（1）直径（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧
垂径定理三种语言
定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
老师提示:垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
CD⊥AB,
如图∵ CD是直径,
∴AM=BM,
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧
如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。
E
解：连结OA. 过O作OE⊥AB，垂足为E，则OE＝3厘米，AE＝BE。∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米 在Rt △AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米
3.1 圆的对称性
- .
课堂目标
1．经历探索圆的对称性及有关性质的过程.2．理解圆的对称性及有关性质.3．会垂径定理解决有关问题.
复习提问：
1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪些轴对称图形？
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
题设
结论
（1）直径（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧
垂径定理三种语言
定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
老师提示:垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
CD⊥AB,
如图∵ CD是直径,
∴AM=BM,
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧
如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。
E
解：连结OA. 过O作OE⊥AB，垂足为E，则OE＝3厘米，AE＝BE。∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米 在Rt △AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米
3.1 圆的对称性
- .
课堂目标
1．经历探索圆的对称性及有关性质的过程.2．理解圆的对称性及有关性质.3．会垂径定理解决有关问题.
复习提问：
1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪些轴对称图形？
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形
2.2 圆的对称性 课件 苏科版数学九年级上册(40张PPT)
解：连接OB、OC， 如图2.2-6， ∵ OA＝OB，OC＝OD， ∴∠OBA＝∠OAB＝75°， ∠OCD＝∠ODC＝60° . 根据三角形内角和定理可得 ∠1＝180°－∠OAB－∠OBA＝30°， ∠3＝180°－∠ODC－∠OCD＝60° .
感悟新知
感悟新知
∵A⌒D的度数为150°， ∴∠AOD＝150°(圆心角的度数与它所对的弧的度数相 等).∴∠2＝∠AOD－(∠1＋∠3)＝60° . ∴B⌒C的度数为60°(圆心角的度数与它所对的弧的度数 相等)．
答案：D
思路导引
感悟新知
连接OB、OC
OA＝OB，OC＝OD
∠OAB＝75°， ∠ODC＝60°
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∠1与∠3的度数 ∠2的度数 B⌒C的度数
知识点 4 垂径定理
感悟新知
1. 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的 两条弧.
感悟新知
2. 示例 如图2.2-7，CD⊥AB于点E，CD是⊙O的直径， AB是⊙O的弦，那么A⌒E＝B⌒E，A⌒D＝B⌒D，AC＝BC .
感悟新知
证明：如图2.2-4，连接OE. ∵ OE＝OC，∴∠OCE＝∠OEC. ∵ CE∥AB， ∴∠OCE＝∠BOC，∠OEC＝∠AOE. ∴∠BOC＝∠AOE. ∴ B⌒C＝A⌒E(在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等).
技巧提醒
九年级数学下册《圆的对称性》PPT课件
如图： AOB= COD
A B
o
C
D
2021
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图： AOB= COD
A B
o
C
D
2021
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图： AOB= COD
A B
☺
o
C
D
2021
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图： AOB= COD
A B
o
C
D
2021
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图： AOB= COD
A B
o
C
D
2021
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图： AOB= COD
A B
o
C
D
2021
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
B
C
⌒⌒ 解： 因为 AC=BD
D
2
1
A
⌒⌒ ⌒ ⌒ AC-BC=BD-BC
O
⌒⌒ 所以AB=CD
根据在一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角相等，
可得∠2=∠1=45 °
2021
练习
苏科版数学九年级上册2.2圆的对称性 课件(共17张PPT)
2.2 圆的对称性（1）
作业
课本P48第2、3、4.
3．因为AB＝A′B′,所以 AB＝A′B′; ∠AOB ＝∠ A′O′ B′.
2.2 圆的对称性（1）
观察思考
1°的圆心角 O
C 1°的弧 D
B n°的弧
A n°的圆心 角
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
2.2 圆的对称性（1）
典型例题
例1 如图, AB、AC、BC都是⊙O的弦,∠AOC＝ ∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？
又∵OA＝O′A′，OB＝O′B′，
∴点A与点A′重合，点B与点B′重合.
∴ AB ＝ AB 重合，AB与A′B′重合，即
AB＝ AB ，AB＝A′B′ .
2.2 圆的对称性（1）
议一议
B
B′
A O
A′ O′
∠AOB ＝∠ A′O ′ B ′
AB ＝ A′B′
AB＝A′B′
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,
什么？
B
B′
A O
A′ O′
AB＝A′B′
AB＝ A′B′
∠AOB ＝∠ A′O ′ B ′
2.2 圆的对称性（1）
议一议
在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条
弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组都分
圆的对称性(垂径定理)PPT课件
分(
)
（8）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的
两条弧 (
)
（9）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）
24
已知⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD， 且AB=6cm,CD=8cm, 试求AB与CD之间的距离.
25
Ａ Ｃ
F
Ｂ
E
Ｄ
·O
两弦在圆心同旁
Ａ
F
Ｂ
两弦在圆心两旁
·O
Ｃ
Ｄ
E
26
练习1．某居民区一处圆形下水管道破
∴∠BOC=∠BOD.
A
C P└ D
●O
∴A⌒C =A⌒D, B⌒C=B⌒D.
B
6
垂径定理语言表达：
• 定理 垂直于弦的直径平分弦 ,并且平分弦所的两条弧.
符号语言：
C
A
P└
●O
D ∵ AB是直径, AB⊥CD,
∴CP=DP, A⌒C =A⌒D,
B
B⌒C=B⌒D.
7
A
1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为
13
挑战自我做一做
• 例1：如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、 G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A
H
G
D
BE
·
F
C
0
14
《圆的对称性PPT课件》
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
团风初中数学培训
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
A
5.在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36 ㎜，则O到AB的距离是= 24mm ， ∠OAB的余弦值= 0.6 。
P
B
O
6.已知：如图，在以O为圆心的两个同心 圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 你认为AC和BD有什么关系？为什么？
D
团风初中数学培训
C
想垂一想径P91定9 理及逆定理A M└
B
●O
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的D 两条弧.
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 另一条弧.
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 平分弦和所对的另一条弧.
点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
C
解:连接OC.
老师提示: 注意闪烁 ●
E 设弯路的半径为Rm,则OF (R 90)m.
F
OE CD, D CF 1 CD 1 600 300(m).
的三角形 的特点.
O
2
2
根据勾股定理,得 OC 2 CF 2 OF 2,即
团风初中数学培训
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
A
5.在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36 ㎜，则O到AB的距离是= 24mm ， ∠OAB的余弦值= 0.6 。
P
B
O
6.已知：如图，在以O为圆心的两个同心 圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 你认为AC和BD有什么关系？为什么？
D
团风初中数学培训
C
想垂一想径P91定9 理及逆定理A M└
B
●O
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的D 两条弧.
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 另一条弧.
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 平分弦和所对的另一条弧.
点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
C
解:连接OC.
老师提示: 注意闪烁 ●
E 设弯路的半径为Rm,则OF (R 90)m.
F
OE CD, D CF 1 CD 1 600 300(m).
的三角形 的特点.
O
2
2
根据勾股定理,得 OC 2 CF 2 OF 2,即
圆的对称性PPT课件
A
B
O
D
AB=BC=CD=DA.
分析 证明
C
分析：要想证明在圆里面有关弧、弦相等，根据这节课所学
的圆心角定理，应先证明什么相等？
证明: ∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径,
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90º
∴
⌒⌒ ⌒ ⌒ AB=BC=CD=DA
AB=BC=CD=DA(圆心角定理)
第29页/共36页
九年级数学下期 华东师大版
27.1.2圆的对称性
第2页/共36页
回顾：
1、圆是对称图形吗？它有哪些对称性？ 2、圆的对称轴在哪里？旋转中心和对 称中心在哪里？
第3页/共36页
圆绕圆心旋转
A
.
B
O
第4页/共36页
圆绕圆心旋转
第5页/共36页
圆绕圆心旋转
第6页/共36页
圆绕圆心旋转
第7页/共36页
B' 那么 AB=AB、 AB=AB
A' B
在同圆（或等圆）中，相等的圆心角 所对的弧相等、所对的弦相等。
第17页/共36页
O A
圆心角定理：在同圆或
B' 等圆中，相等的圆心角
所对的弧相等，所对的 弦也相等.
A' B
已知:如图∠AOB=∠ COD,
则: AB=CD， A⌒B=C⌒D
2.1圆的对称性课件(共10张PPT)
湘教版九年级下册
观察自行车的车轮和转盘以及链条，你能说出车轮、 转盘的特征吗？它们与链条之间有怎样的关系呢？ 这就是圆的一种原型． 本章要研究的是圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置 关系．
wk.baidu.com
如图是国际奥林匹克运动 会旗的标志图案. 圆是到一定点的距离 等于定长的所有点组成 的图形.
A · O
这个定点叫作圆心. 定长叫作半径.
有无数条对称轴 任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.
再见
注意：
●
O
对称轴是直线，不能说每 一条直径都是它的对称轴；
做一 做
1、用一块硬纸板和一张薄的白纸分别画一个圆， 它们的半径相等，把白纸放在硬纸板上面，使两 个圆的圆心重合，观察这两个圆是否重合？
这两个圆 重合
能够重合的两个圆叫作相等的圆，或等圆
2、下述命题是否正确？为什么？
圆只有一条对称轴. 错
圆也可以看成是一个动点绕一个定点旋转 一周所形成的图形，定点叫作圆心. 定点与动点的连线段叫作半径. 如图,点O是圆心.
线段OA的长度是一条半径.
线段OA的长度也叫作半径.
以点O为圆心的圆叫 作圆O，记作⊙O
连结圆上任意两点的线段叫作弦.
如图，线段CD是一条弦.
E
C · O D A F
经过圆心的弦叫作直径. 如图线段EF是⊙O的 一条直径，线段EF的长 度也称为直径.
观察自行车的车轮和转盘以及链条，你能说出车轮、 转盘的特征吗？它们与链条之间有怎样的关系呢？ 这就是圆的一种原型． 本章要研究的是圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置 关系．
wk.baidu.com
如图是国际奥林匹克运动 会旗的标志图案. 圆是到一定点的距离 等于定长的所有点组成 的图形.
A · O
这个定点叫作圆心. 定长叫作半径.
有无数条对称轴 任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.
再见
注意：
●
O
对称轴是直线，不能说每 一条直径都是它的对称轴；
做一 做
1、用一块硬纸板和一张薄的白纸分别画一个圆， 它们的半径相等，把白纸放在硬纸板上面，使两 个圆的圆心重合，观察这两个圆是否重合？
这两个圆 重合
能够重合的两个圆叫作相等的圆，或等圆
2、下述命题是否正确？为什么？
圆只有一条对称轴. 错
圆也可以看成是一个动点绕一个定点旋转 一周所形成的图形，定点叫作圆心. 定点与动点的连线段叫作半径. 如图,点O是圆心.
线段OA的长度是一条半径.
线段OA的长度也叫作半径.
以点O为圆心的圆叫 作圆O，记作⊙O
连结圆上任意两点的线段叫作弦.
如图，线段CD是一条弦.
E
C · O D A F
经过圆心的弦叫作直径. 如图线段EF是⊙O的 一条直径，线段EF的长 度也称为直径.
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垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对
的两条弧.
A
条件
结论
∟└
c′
.●O D′
直径
直径垂直于弦
C
P
D
平分弦
平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧
B
∵AB是直径, AB⊥CD
符号语言：
2021/3/2
∴PC=PD
⌒BC=⌒BDA⌒C=⌒A
13
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段 或相等的圆弧
垂径定理可以是直径，半径或是过圆心的直线或线段，其本质的 过圆心
B
直m(径如将弧圆A⌒分BC成).两部分,每一部分都叫做半圆
A
●O
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B(用
D
C
两个字母). 大于半圆的弧叫做优弧,如记作
A⌒mB
(用三个字母).
2021/3/2
6
预习反馈 1
圆的对称性
• 圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对 称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
B
20
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C
A M└ ●O
B ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
① CD是直径
D
③ AM=BM
垂径定理的推论
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵ OA 11052，OM＝4， 2
A M O2A O2M 3
2021/3/2
∴AB＝2AM＝6(cm)．
19
题后小结：
1．作圆心到弦的距离和连 半径是圆中常见的辅助线；
10 8C 8
D
2.如图，设CD=a, OC=r,O1Pa=2d,则d2 有r2
2 d r PB
2021/3/2
A
.O
└
C
P
D
2021/3/2
21
推论
平分弦（不是直径）的直径
M
垂直于弦，并且平分弦所对
的两条弧。
A
一个圆的任意两 条直径总是互相平分，C 但是它们不一定互相 垂直。因此这里的弦 如果是直径，结论就 不一定成立。
2021/3/2
D O
B N
22
垂径定理的所有推论
• 如图,在下列五个条件中:
①④A⌒CCD=B是⌒C直, 径, ②⑤A⌒CDD=B⊥⌒DA. B, ③ AM=BM,
C
O
A
E
B
D
2021/3/2
14
小试牛刀
如图,⊙O直径CD与弦AB（非直径）交于点M， 添加一个条件：____________，就可得到点M是 AB的中点.
D
2021/3/2
O
A
M
B
C
15
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段 或相等的圆弧
E
E
A
CE
O
2021/3/2B
⑸
E
16
判断：
(1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦
3.1 圆对称性(1) 垂径定理
zxxk
2021/3/2
1
2021/3/2
赵州桥视频.flv
2
这座桥建于隋开皇大业年间，由一名普通 的石匠李春所建，距今已有1400多年的历史 。在漫长的岁月中，虽然经历过无数次洪水 冲击、风吹雨打、冰雪风霜的侵蚀和八次地 震的考验，却仍然安然无恙、巍然挺立在洨 河上。
(6)长度相等的两条弧是等弧.
弧长 HG = 3.84 cm
H
弧长 FE = 3.84 cm G
2021/3/2
E
F
A
C 9
如图,AB是⊙O的一条弦,CD是⊙O直径.
(1)该图是轴对称图形吗？ (2)能不能通过改变AB、CD的位置关系,使它成为轴对称图形?
C
C
.O
A E B D
AE≠BE
2021/3/2
10
由勾股定理得:
C
88
O C O B 2 B C 2 1 0 2 8 2 6
答:截面圆心O到水面的距离为6.
D
想一想:排水管中水最深多少?
2021/3/2
18
变式1：如图所示，直径为10cm的 圆中，圆心到弦AB的距离4cm． 求弦AB的长．学科网
解：连结OA． ∵OM⊥AB， ∴ AM1AB
对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到
弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主
2桥021/3拱/2 的半径吗？
5
读一读
圆的相关概念
• 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
驶向胜 利的彼
岸
以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒, B读作“弧AB”.
连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
经过圆心的弦叫做直径(如直AC).
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结 论.(知C 二推三)
A M└
B
●O
D
2021/3/2
23
C
总结：垂径定理及逆定理 A M└ B
●O
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的D两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 另一条弧.
所对的两条弧.
( )
(2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.( )
A
A
•o
CE
D
2021/3/2
B (3)
C E •o
D
B (4)
17
例1：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半
径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
解:作OC⊥AB于C,
由垂径定理得:
AC=BC=1/2AB=0.5×16=8
.O
A
E
B
D
AE＝BE
10
议一议
• 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴 说说你的想法和理由.
C
A M└
B 题设
●O
D 由 ① CD是直径 可推得 ② CD⊥AB
为什么?
2021/3/2
结论
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
11
• 连接OA,OB,则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
●O
2021/3/2
7
预习反馈 1
圆的对称性
• 圆是轴对称图形.
圆的对称轴是每一条直径所在的直线,它有无数
条对称轴.
经过圆心的
每一条直线都是
它的对称轴。
●O
2021/3/2
8
练习1.判断题
(1)直径是弦 .
(2)过圆心的线段是直径（. ）
(3)半圆是弧 . (4)两个半圆是等弧.
(5)面积不等的两圆不是等圆.
C
∵OA=OB，OM=OM， A M└
B
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
●O
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
来自百度文库
D
∵⊙O关于直径CD对称,
∴ 重∴A当 合⌒C圆, =⌒AB沿⌒CC和着, AB⌒⌒直DC重=径B⌒合CD,.D⌒ A对D和折B⌒时D重,点合A. 与点B
2021/3/2
12
记一记
垂径定理
2021/3/2
3
这种设计，在建桥史上是一个创举，既减轻了流水
对桥身的冲击力，使桥不容易被大水冲毁，又减轻
了桥身的重量，节省了石料。直到19世纪中叶，才
在欧洲国家出现，比赵州桥晚1200多年。赵州桥表
现了劳动人民的智慧和才干，是我国宝贵的历史遗
产。2021/3/2
4
赵州桥主桥拱的半径是多少？
赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所