复旦大学精品课程《线性代数》课件,线性方程组课件复习资料

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上三角形行列式,从而算得行列式的值.
1 −1 2 −3 1 ×3 ⊕
−3 3 −7 9 −5 例1 D = 2 0 4 − 2 1
3 − 5 7 − 14 6 4 − 4 10 − 10 2
1 −1 2 −3 1 ×3 ⊕
−3 3 −7 9 −5 解 D= 2 0 4 −2 1
3 − 5 7 − 14 6 4 − 4 10 − 10 2 1 −1 2 −3 1 0 0 −1 0 −2 r2 + 3r1 2 0 4 − 2 1 3 − 5 7 − 14 6 4 − 4 10 − 10 2
4 − 4 10 − 10 2
1 −1 2 −3 1
r3 − 3r1
r4 − 4r1
0 0 0
0 2 −2
−1 0 1
0 4 −5
−2 −1 3
验证
我们以三阶行列式为例. 记
a11 a12 a13 D = a21 a22 a23 ,
a31 a32 a33
a11 D1 = ka21
a31
a12 ka22 a32
a13 ka23 a33
根据三阶行列式的对角线法则,有
a11 D1 = ka21
a31
a12 ka22 a32
a13 ka23 a33
验证 我们以三阶行列式为例. 记
a11 a12 a13
a11 a12 + ka13 a13
D = a21 a22 a23 , D1 = a21 a22 + ka23 a23
a31 a32 a33
a31 a32 + ka33 a33
则 D = D1.
二、应用举例
计算行列式常用方法:利用运算 ri + krj把行列式化为

复旦大学精品课程《线性代数》课件,线性空间课件复习资料

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4.1.2 线性子空间
许 多 问 题 中, 一 个“大”的 线 性 空 间 的 一 部 分, 关 于 该 线 性 空 间 的 加 法 和 数 乘 还 可形成线性空间, 例如: 几何空间中, 任意一个过原点的平面关于几何向量的加法和 数乘运算也构成线性空间(满足线性空间公理). 显然, 该平面是几何空间的一部分, 且关于几何空间的运算构成线性空间. 为此, 引入子空间的概念. 定 义 4.2. 给定数域F 上的线性空间V , 设 S 是V 的一个非空子集, 同时S 关于 V 上 的运算也构成线性空间, 则称S 为V 的一个线性子空间. 为 了 说 明 线 性 空 间V 的 一 个 子 集S 是 否 为 线 性 空 间, 不 一 定 要 按 线 性 空 间 的 十 条公理一一验证, 仅需检查下列三条是否成立: 定 理 4.1.1. S 是 数 域F 上 线 性 空 间V 的 非 空 子 集, 则 当 且 仅 当S 满 足 封 闭 性 公 理(1)、(2)时, 它是V 的子空间. 证: 必要性显然, 下面证充分性: S 是V 的子集, 因此公理(1)∼(4) 和(7)∼(10) 在S 上自然成立. 由S 非空,则 ∃x ∈ S ,根据封闭性公理 ∀λ ∈ F , λx ∈ S , 取 λ = 0, 则 λx = 0 ∈ S , 因此, 公理(5)满足. ∀x ∈ S , 取 λ = −1, 由封闭性知 (−1)x ∈ S , 且 x + (−1) x = 0 根据性质(5)可知 (−1)x是x的负元, 因此公理(6)满足. 显而易见, 仅包含V 的零向量的集合和V 本身都是线性空间V 的子空间, 称它们为平 凡子空间.
易证代数系统 F2 , ⊕2 , ⊗2 是域, 通常被称作二进制域. 当构成域的集合是有限集时, 也称为有限域.

复旦大学精品课程《线性代数》课件,第三章n元向量的线性关系课件复习精品资料

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3.3 n元向量的线性关系一.线性组合和等价向量组定义3.1n 个数组成的有序数称为n 元向量,其中称为这n 元向量的第i 个分量,常用或表示n 元向量。

12(,,,)n a a a i a αβ12(,,,)Tn a a a α=12 n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭n 元列向量(常用):n 元行向量:12 ,n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12 n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭定义3.2 两个n 元向量:当他们各个分量对应相等时,即则称与相等,记做12,1,2,,,a b i n ==αβ.αβ=定义3.2 设n 元向量与,k 为数,则n 元向量αβ1122 ,n n a b a b a b +⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭12 n ka ka ka ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称为与的和,k 与的数量乘积。

αβα•通常将向量的加法、数乘运算称为向量的线性运算。

定义3.3 设一组向量,若存在一组数,使12,,,,m βααα12,,,m k k k 1122m mk k k βααα=+++则称是向量组的线性组合,或称可以由向量组线性表示。

β12,,,m αααβ12,,,m ααα(1).零向量可以经任意向量组线性表示。

(2).任一n 元向量可以经由n 元向量组线性表示式:0(0,0,0)T=12(,,,)Tn a a a α=1(1,0,,0),(0,0,,1)T T T Tn e e ==1122.n n e e e αααα=++•向量是矩阵A 各列向量的线性组合的两个充要条件:•线性方程组相容。

•矩阵的秩与矩阵相同。

且线性表示式中系数可以由线性方程组的解给出。

β12,,,m αααAX β=12(,,,)m ααα12(,,,,)m αααβ例1已知向量试问可否经向量组线性表示。

12(1,0,2,1),(1,0,2,1),T Tαα==34(2,1,3,0),(2,5,1,4),TTαα==-4α123,,ααα解记1231234(,,),(,,,).A A ααααααα==1122021520311104A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭312R R -41R R -32R R +41/2R -34,R R 交换1122021502150022⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪-⎝⎭112202150000011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭11220215001100⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭记B可以看出,根据充要条件(2),可以得出可以经由线性表示。

复旦大学精品课程《线性代数》课件,线性变换课件复习资料

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O x·n n
x
L x
图5.2: 镜像变换
∴ y1 + y2 = σ (x1 ) + σ (x2 ) = σ (x1 + x2 ) ∈ Im (σ ) (3). 数乘封闭性, 对∀c ∈ F ∀x ∈ Ker (σ ) , ∀y ∈ Im (σ ) , σ (cx) = cσ (x) = c0 = 0 ⇒ cx ∈ Ker (σ ) ∃x ∈ V 使得y = σ (x) , 则cy = cσ (x) = σ (cx) ∈ Im (σ )
由此左分配律成立,即 σ · (τ + π ) = σ · τ + σ · π . 同理可证明右分配律成立. 对∀c ∈ F, σ, τ ∈ L(V ), 有 [(cσ ) · τ ] (•) = (cσ ) (τ (•)) = cσ (τ (•)) = c (σ · τ ) (•) 从而, (cσ ) · τ = c (σ · τ )成立. 同理可证 σ · (cτ ) = c (σ ·). 综上所述, L(V )是F 上的代数. 例 7. 设σ, τ 为R2 空间上的线性变换, 分别定义如下: ∀ 求α= −3 2
第五章
线性变换
上 一 章 中 介 绍 了 线 性 空 间 的 概 念, 本 章 将 讨 论 线 性 空 间 之 间 的 联 系. 它 们 之 间 的 联 系 主 要 反 映 为 线 性 空 间 之间的映射, 所以研究定义域和值域都是线性(子)空间的映射是数学分析的基本目标之一, 其中最简单和最基 本的一类映射是线性变换(Linear Transformation). 它也是线性代数中一个主要研究对象.
证: 验证L(V )上关于线性变换的乘法满足定义5.4中的三个条件: (1) 对 ∀σ, τ, π ∈ L(V ), 有 (σ · τ ) · π = (σ · τ ) (π (•)) = σ (τ (π (•))) = σ ((τ · π ) (•)) = σ · (τ · π ) (2) L(V )中元素V 上的恒等变换“1V ”即为e, 且对∀σ ∈ V , 满足 1V · σ = σ · 1V = σ , 因此恒等变换 是L(V )的恒等元. (3) 对∀σ, τ, π ∈ L(V ), 有 [σ · (τ + π )] (•) = σ ((τ + π ) (•)) = σ (τ (•) + π (•)) = σ (τ (•)) + σ (π (•)) = (σ · τ ) (•) + (σ · π ) (•)

复旦大学精品课程《线性代数》,矩阵初等变换复习资料

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矩阵形式:
0 5 −2 x1 2 4 −3 2 x2 = 6 1 −2 1 x3 1
增广矩阵:
0 5 −2 4 −3 2 1 −2 1

倪卫明
2 6 1
第二讲 矩阵的初等变换
利用矩阵变换求解线性方程组
消元法: (1) 交换等式(1)与(3).
(6) 矩阵第三行数乘常数0.1. (7) 第三行数乘−4加到第一行. (8) 第三行数乘2加到第二行.
x1 − 3 x2 x2 x3
= −6 = 2 = 2
(10) (11) (9)
1 −3 0 0 1 0 0 0 1

−6 2 2
(9) 式(11)两端同乘3加到(10)得(12).
(9) 第二行数乘3加到第一行.
增广阵
2 −6 8 4 A = −1 −1 6 2 −6

倪卫明
4 6 −8
第二讲 矩阵的初等变换
利用矩阵变换求解线性方程组
消元法 (1) 式(1)两端同乘常数0.5得式(4). (2) 将式(4)加到等式(2)得式(5). (3) 等式(4)乘−6加到(3), 得式(6). 对矩阵的变换: (1) 矩阵第一行数乘常数0.5. (2) 第一行加到第二行. (3) 第一行数乘−6加到第三行.
(2) 第一行数乘−4加到第二行.
1 −2 1 0 5 −2 0 5 −2
1 2 2
倪卫明
第二讲 矩阵的初等变换
利用矩阵变换求解线性方程组
(3) 等式(6)减去等式(5). (4) 等式(5)两端乘2/5加到式(4). (5) 等式(5)两端乘1/5.
x1 x2 9 1 + x3 = 5 5 2 2 − x3 = 5 5 0 = 0 (7) (8) (9) 9 1 − t 5 5 2 2 x2 = + t 5 5 x3 = t x1 =

复旦大学精品课程《线性代数》课件,齐次线性方程组课件复习精品资料

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若 Cm n = Am l Bl n ,即
×
××
c c L c a a L a b b L b
11
c 21
M
12
c 22 M
L
1n 11
c 2n M
=
a 21 M
12
a 22 M
L
1l 11
a 2l
b 21
12
b 22
L
1n
b 2n
M M M
M
c m1
c m2
L
c mn
a m1
向量组及其线性组合
定义:n 个有次序的数 a1, a2, …, an 所组成的数组称为n 维向
量(vector),这 n 个数称为该向量的 n 个分量,第 i 个数 ai 称 为第 i个分量.
分量全为实数的向量称为实向量.
分量全为复数的向量称为复向量.
备注:
本书一般只讨论实向量(特别说明的除外) .
向量组 B:b1, b2, …, bl 能由向量组 A:a1, a2, …, am 线性表示 存在矩阵 K,使得 AK = B
矩阵方程 AX = B 有解
R(A) = R(A, B) R(B) ≤ R(A)
因为 R(B) ≤ R(A, B)
推论:向量组 A:a1, a2, …, am 及 B:b1, b2, …, bl 等价的充分 必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B).
对于 b1 ,存在一组实数 k11, k21, …, km1 ,使得 b1 = k11a1 + k21 a2 + … + km1 am ;
对于 b2 ,存在一组实数 k12, k22, …, km2 ,使得 b2 = k12a1 + k22 a2 + … + km2 am ;

复旦大学精品课程《线性代数》课件,子空间的交、和与直和课件复习精品资料

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线性代数
子空间的交、和与直和
张祥朝
复旦大学光科学与工程系
2013-5-9
则集合
proof 也是一个线性子空间,
10:34
性子空间的和的定义很容易看出:(3) 多个子空间的和:
10:34
以上4 个线性子空间都是2 维的10:34
引理2.3:线性子空间中的线性无关的向量组可以被扩充成该子空间的一组基。

proof proof
10:34
主元所在的列对应的向量组就是一个极大线性无关组10:34
基础解系:
10:34
必要性是显然的, 下证充分性.
10:34
10:34
10:34
证明:
所以W 是线性子空间。

10:34
证明:由定义, 有10:34
引理2.3:线性子空间中的线性无关的向量组可以
这个向量组不是W的基, 则用同样的方法扩
性无关的向量组, 直到不能扩充为止.
10:34
证明:
10:34注意到
只要证明线性无关

10:34所以


back
明:由维数公式可以得到(2)与(3)的等价性。

证明(1)与(2)的等价性。

10:34
back
由于基的扩充是不唯一的,所以当W是不平凡子空间时,
它的补子空间是不唯一的。

10:34
证明:
10:34
=0所以
其中则有
于是
={0}所以
10:34。

线性代数 ch03_复旦大学(周勇)课件

线性代数 ch03_复旦大学(周勇)课件

定义1.5:设有m个n维向量:α1, α2, …, αm , 对于任何一组实 数 c1, c2, …, cm ,表达式 c1α1 + c2α2 + … + cmαm
称为向量α1, α2, …, αm的一个线性组合. c1, c2, …, cm 称为这个线性组合的系数.
对于n维向量α,如果存在一组实数 1, 2, …, m ,使得 α = 1 α 1 + 2 α 2 + … + m α m
定理2.3:设向量组 : α1, α2, …, αm线性无关, 而向量组 α1, α2, …, αm, β 线性相关,则向量 β 必能由向量组 A 线性ai1 , ai2 , , ain ,(i 1,2, , m), 可以
定义1.3:向量的数乘, (a1, a2 ,L , an )
运算规律:

O 1g ( )
( ) ( )
( ) O ( ) () ( )
若 α1, α2, …, αr 及 β1, β2, …, βs 为行向量时,线性表示的
系数矩阵
1 k11 k12 L k1s 1

2
L



k21 M
k22 M
L
k2s

M


2

L


r

kr1
kr 2
L
krs

行向量

(a1 , a2 ,L
, an )
,列向量


a2

M
an

线性代数(李建平)讲义__复旦大学出版社__第二章

线性代数(李建平)讲义__复旦大学出版社__第二章

那么,对线性方程组的研究就可转化为对这张表的
研究.
例2 某企业生产4种产品, 各种产品的季度产值如下表
产品 产值 季度
1
2
3
4
1
2 3 4
80
98 90 88
58
70 75 70
75
85 90 82
78
84 90 80
这个排成4行4列的产值阵列
80 58 75 78 98 70 85 84 90 75 90 90 88 70 82 80 具体描述了这家企业各种产品各季度的产值及
3
2a13 2a23 2a33
a22 a32
3
a23 a33
a31
3
(2) | A | ( 2) ( 2) 16
二、矩阵的乘法 定义6 给定矩阵 A (aij )ml ,及
l

cij ai1b1 j ai 2b2 j ail blj aik bkj (2.6)
2如果a可逆则aijjiijji一分块矩阵的概念一分块矩阵的概念对于行数和列数比较多的矩阵a有时为了简化运算或者从理论上表达问题的简洁经常采用矩阵分块法使大矩阵的运算化成若干小矩阵间的运算同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰具体做法是将大矩阵a用若干条横线和纵线分成多个小矩阵每个小矩阵称为a的子块以子块为元素的矩阵称为分块矩阵
0
4.由于
a1 k
a2
ka1 an
b2
ka2
kan
a2 b2 an bn
a1
a2
b1 an

第一节 - 复旦大学精品课程

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第三章线性方程组引言11112211211222221122+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b •线性方程组的一般形式:简记为:1,(1,2,,)===∑nij j i j a x b i m •线性方程组的矩阵形式:=AX b 其中,,⨯⎡⎤=⎣⎦ij m n A a []12,,,,=Tn X x x x []12,,,=Tm b b b b A [,]=A A b :系数矩阵:增广矩阵,与方程组一一对应3.1 消元法分析:用消元法解下列方程组的过程.求解线性方程组例123412341234241,2553,354152,++-=⎧⎪++-=⎨⎪++-=⎩x x x x x x x x x x x x 123解(2)⨯-+(3)⨯-+1234234234241,31,31,++-=⎧⎪-+=⎨⎪-+-=-⎩x x x x x x x x x x 415(3)⨯-132(2)⨯-++11234234234241,31,31,++-=⎧⎪-+=⎨⎪-+-=-⎩x x x x x x x x x x 415+5+41234234241,31,00,++-=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩x x x x x x x 14+(2)⨯-+4(2)⨯-1134234101,31,+-=-⎧⎨-+=⎩x x x x x x 64134234101,31,+-=-⎧⎨-+=⎩x x x x x x 化简任意取定(未知自变量),得到方程组的通解:34,x x 1122123142131013=--+⎧⎪=+-⎪⎨=⎪⎪=⎩x t t x t t x t x t (其中为任意常数)1,t 2t 小结:消元法解线性方程组的常用变换(变换可逆,不会改变同解性):1.互换两个方程位置(与相互替换)i j 2.以不等于零的数乘以某个方程3.某个方程加上另一个方程的k 倍(以替换)i k ⨯i (以替换)i k ⨯j i因为在上述变换过程中,仅仅只对方程组的系数和常数进行运算,未知量并未参与运算.若记12141[]25153354152-⎛⎫ ⎪==- ⎪⎪-⎝⎭B A b 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B (方程组唯一对应的增广矩阵)的变换.。

复旦大学精品课程《线性代数》课件,线性方程组与矩阵课件复习资料

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倪卫明 第一讲 从线性方程组谈起
矩阵
(6) 矩阵的逆(可逆矩阵). 在本课程中可逆矩阵特指方阵的逆, 设A ∈ Rm×m , 若存在矩 阵 B, C ∈ Rm×m , 使得 BA = Im , AC = Im
分别称B, C为矩阵A的左逆和右逆, 而且必有B = C, 称它 为矩阵A的逆, 记为A−1 . 并不是所有的方阵都存在逆阵, 如零阵0就没有逆阵.
倪卫明 第一讲 从线性方程组谈起
矩阵
当 m = 1(或 n = 1) 时, 称为行(列)向量. 当 m = n = 1 时矩阵退化为R中的一个数. 当 m = n 时, 称为方阵, 这时称n为矩阵的阶数. 设A = [aij ]为n阶方阵, 则元素aii (i = 1, 2, . . . , n)称为对角 元, 元素ai(i−1) (i = 2, 3, . . . , n) 或 ai(i+1) (i = 1, 2, . . . , n − 1) 称为次对角元. 若n阶方阵D 除对角元外的所有元素均为零, 则称D为对角 阵, 可表示为 D = diag (d1 , d2 , . . . , dn ).
倪卫明 第一讲 从线性方程组谈起
矩阵
(4) 矩阵转置. 设A ∈ Rm×n ,
a11
a12 a22 . . . am2
··· ··· .. . ···
a1n a2n . . . amn

a21 A= . . .
am1
A的转置是将A的行和列依次互换, 即A的第i行, 转置后变 成第i列(i = 1, 2, . . . , m)
根据定义, 矩阵加法只能对有相同行数和相同列数的两矩阵 实施. 矩阵加法可结合、可交换. 存在单位元0, 称为零阵. 若两个矩阵的和为零阵, 即若A + B = 0, 则称B为A的负阵, 写成B = −A. 由此可间接定义矩阵减法, 即 A − B = A + (−B).

线性代数总复习讲义PPT课件

线性代数总复习讲义PPT课件
在金融学中,线性代数用于描述资产价格和风险等经济量,以及计算收益 率和波动率等金融指标。
在计算机科学中的应用
01
Байду номын сангаас
02
03
04
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用,如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用,如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用,如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
100%
相似变换法
通过相似变换将矩阵对角化,从 而得到其特征值和特征向量。
80%
数值计算法
对于一些大型稀疏矩阵,可以使 用数值计算方法来计算其特征值 和特征向量。
特征值与特征向量的应用
01
在物理、工程等领域中,特征值和特征向量被广泛 应用于求解振动、波动等问题。
02
在图像处理中,特征值和特征向量被用于图像压缩 和图像识别。
二次型的应用与优化问题
总结词
了解二次型在解决优化问题中的应用
详细描述
二次型的一个重要应用是在解决优化问题中, 特别是在求解二次规划问题时。通过将问题 转化为二次型的形式,可以方便地应用各种 优化算法进行求解,如梯度下降法、牛顿法 等。此外,二次型在统计分析、机器学习等 领域也有着广泛的应用。
06
矩阵的逆与行列式的值
要点一
总结词
矩阵的逆和行列式的值是线性代数中的重要概念,它们在 解决线性方程组、向量空间和特征值等问题中有着广泛的 应用。
要点二
详细描述
矩阵的逆是矩阵运算的一个重要概念,它表示一个矩阵的 逆矩阵与其原矩阵相乘为单位矩阵。逆矩阵的存在条件是 矩阵的行列式值不为零。行列式的值是一个由n阶方阵构 成的代数式,表示n个未知数的n阶线性方程组的解的系数 。行列式的值可以用来判断线性方程组是否有解以及解的 个数。同时,行列式的值也与特征值和特征向量等问题密 切相关。

线性代数ch05复旦大学周勇课件

线性代数ch05复旦大学周勇课件

x1 x2
0 0
,即
1 1
1 1
x1 x2
0 0
1
解得基础解系
p1
1

k
p1(k

0)就是对应的特征向量.
例1:求矩阵A
3 1
1
3
的特征值和特征向量.
解:A 的特征多项式为
3l | A l E |
1 (3 l )2 1 8 6l l 2 (4 l )(2 l )
当 || x || = 1时,称 x 为单位向量.
当x 0 时,
x
x 是单位向量,这一运算称为把向量x单位化。
正交向量组
1 正交和正交向量组的概念
定义2.3:当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时,把
arccos (x, y)
x y
称为 n 维向量 x 和 y 的夹角. 当 (x, y)= 0,称向量 x 和 y 正交. 若 x = 0,则 x 与任何向量都正交. 一组两两正交的非零向量,称为正交向量组
齐次线性方程组有非零解
系数行列式 | A−lE | = 0
a11 l | A l E | a21
a12
a22 l
特a特n征1 征多方项程a式n2
特征方程 | A−lE | = 0 特征多项式| A−lE |
特征值问题只是对方阵而言 特征向量必须是非零向量
a1n
a2n
0
ann l
例1:求矩阵
(x, y) = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y,
则称 (x, y) 为向量 x 和 y 的内积.
说明: 内积是两个向量之间的一种运算,其结果是一个实数.

复旦大学精品课程《线性代数》课件,线性空间的维数、基、坐标的课件复习精品资料

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例2 所有二阶实矩阵组成的集合V,对于矩阵的加法和数量乘 法,构成实数域 R上的一个线性空间.对于V 中的矩阵
E
11
=
1 0
0 0
,
E
12
=
0 0
1 , 0
E
21
=
0 1
0 0
,
E
22
=
0 0
0 1

k
1
E
11
+
k
2
E
12
+
k
3
E
21
+
k
4
E
22
=
k1 k3
k 2 , k4
k1
E11
定义 设 U,V是两个线性空间,如果它们的元素之间有一一对应关系 , 且这个对应关系保持线性组合的对应,那末就称线性空间U与V 同构(isomorphic).
例如 n 维线性空间
V n = {α = x 1α 1 + x 2α 2 + L + x nα n x 1 , x 2 ,L , x n ∈ R }
二、元素在给定基下的坐标
定义2
设 α 1 , α 2 , L , α n 是线性空间Vn的一个基,对于任意元素
总有 且仅有一组有序数组 x1, x2 ,L, xn ,使
α = x1α1 + x2α 2 + L + xnα n ,
有序组 x1, x2,L, xn 称为元素α在 α 1 , α 2 , L , α n 这个基下的坐
+
k2
E12
+
k3
E 21
+
k4

《线性代数复旦版》PPT课件

《线性代数复旦版》PPT课件

A1A A
1A11 AAA1132
A21 A22 A23
A31 A32 A33
14543
3 0 1
1 4 . 3
2 3 1
由于B 1 3 5 0,
164
故B不可逆 .
例3

1 A2
3
2 2 4
1 3 3,B5 2
1 3,C1 3 2
3 0, 1
求X 矩 使阵 满 AX 足 C .B
21 522 13
1 0 335
1 2
1 0
0
12235
1 2
2 10 10
1 4. 4
例4 设方 A满 阵足A 方 2程 A2E0,证明 : A,A2E都可 ,并 逆求它们.的逆矩阵
证明
由 A 2A 2E 0,
A1
得 A A E 2 E AAEE
2 AAE 1A0, 故A可逆 .
1待定系数 ; 法 2利用公 A1式 A A;
3初等以 变后 换 . 介 法绍
思考题
若A可逆 ,那么矩阵 AX 方 B程 是否有唯一解 XA1B? 矩阵方 Y A 程 B是否有唯一解 YBA 1?
思考题解答
答 是的 .这是由 A1的 于唯一性.决定的
所,当 以 ij时 ,ib ij0. 但 |A |12 n 0 ,
即 i 0 ,i 1 ,2 , ,n . 故i当 j时 ,bij0.
又 ib i i1 ,故 b i i i1 ,i 1 ,2 , ,n .于是
1 1
A1
1 2
1 n
四、小结
逆矩阵的概念及运算性质. 逆矩阵 A1 存在A 0. 逆矩阵的计算方法
2 6 4

A

《线代复习终极资料》课件

《线代复习终极资料》课件

3
基和维数
了解向量空间的基的概念,并掌握计算向量空间维数的方法。
特征值与特征向量
特征值和特征向量
学习特征值和特征向量的定义和 性质,了解它们在线性代数中的 重要应用。
对角化
掌握对角化的概念和判定条件, 学习对角化的方法。
特征向量的应用
了解特征向量在几何变换和线性 代数中的应用。
线性变换
1 线性变换的定义
分享一些复习线性代数的有效方法和技巧,帮助您更高效地复习。
矩阵与运算
矩阵定义
矩阵乘法
逆矩阵
回顾矩阵的定义和基本性质,理 解矩阵在线性代数中的重要作用。
掌握矩阵乘法的运算规则和性质, 能够进行矩阵的乘法计算。
学习逆矩阵的定义和求解方法, 掌握逆程组
消元法
通过行变换将线性方程组转化为简化的行阶梯形。
高斯-约当消元法
了解高斯-约当消元法的算法步骤,能够通过此 方法求解线性方程组。
向量空间与线性相关
回顾向量空间的定义,了解线性相关和线性无关 的概念。
齐次线性方程组
学习齐次线性方程组的性质和求解方法。
向量空间
1
向量空间的定义
理解向量空间的基本定义和性质。
2
子空间
学习子空间的概念,掌握判定子空间的条件。
回顾线性变换的定义和性质。
2 线性变换的矩阵表示
学习线性变换的矩阵表示和计算方法。
3 线性变换的特征值和特征向量
了解线性变换的特征值和特征向量,及其在 几何变换中的应用。
4 线性变换的复合与逆
掌握线性变换的复合和逆变换的概念和性质。
矩阵的变换与相似性
相似矩阵的定义 对角化与相似
矩阵的谱定理
学习相似矩阵的定义,了解相似矩阵的性质。
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s
b=
i=1
ki ai
(5)
则称向量 b 是向量组 a1 , a2 , . . . , as 的线性组合, 或称 b 可由向量 组 a1 , a2 , . . . , as 线性表示. 由定义知, 判断一个向量 b 是否可由向量组 a1 , a2 , . . . , as 线性表 示? 等价于判断方程组
倪卫明
第五讲 线性方程组
线性方程组的解理论
非齐次线性方程
Ax = b,
(3)
其中, A ∈ Rm×n , b ∈ Rm , x ∈ Rn . (相容)定理 非齐次线性方程组(3)相容的充要条件:
rA = rank (A) = rank A b = rA
倪卫明
第五讲 线性方程组
线性方程组的解理论
1 2
倪卫明
第五讲 线性方程组
线性方程组
倪卫明
第五讲 线性方程组
行列式
1
线性方程组解的一般理论.
1 2
非齐次线性方程组的解. 齐次线性方程组的解. 线性组合. 向量组的等价. 线性相关与线性无关. 极大线性无关组. 向量组的秩. 非齐次线性方程组的解结构. 齐次线性方程组的解结构.
2
向量组的线性关系.
1 2 3 4 5
3
线性方程组的解结构
Ax = b
是否相容? 其中 A =
a1
a2
倪卫明
· · · as .
第五讲 线性方程组
线性方程组
向量组等价: 设 a1 , a2 , . . . , as 和 b1 , b2 , . . . , bt 为 两组向量, 若任意 一个向量 ai (i = 1, 2, . . . , s) 均可由向量组 b1 , b2 , . . . , bt 线性表示, 则 称, 向量组 a1 , a2 , . . . , as 可由向量组 b1 , b2 , . . . , bt 线性表示. 反之, 若两个向量组可相互线性表示, 则称这两个向量组等价. 线性相关,线性无关: 对于向量组 a1 , a2 , . . . , as (s ≥ 1), 存在不全为 零的一组数 k1 , k2 , . . . , ks , 使得 k1 a1 + k2 a2 +· · ·+ ks as = 0 成立, 则称 向量组 a1 , a2 , . . . , as 线性相关. 若当且仅当 k1 = k2 = · · · = ks = 0 时, 上述等式才成立, 则称向量组 a1 , a2 , . . . , as 线性无关或线性独立.
倪卫明 第五讲 线性方程组
线性方程组解的结构
齐次线性方程组
Ax = 0
(6)
其中 A 为 m × n 矩阵. 定理 设 x1 , x2 , . . . , xk 为齐次线性方程组(6)的解, 则它的任意线性组合 均是方程组(6)的解. 设集合 S = x|Ax = 0 包含方程组(6)的所有解向量, 则 S 的任 一极大线性无关组称为齐次线性方程组(6)的基础解系. 定理 当齐次线性方程组(6)有非零解时, 一定有基础解系, 且基础解系 的秩等于 n − rank (A).
倪卫明 第五讲 线性方程组
2 3
4
5
6
线性方程组
极大线性无关组与向量组的秩
定义 设向量组 a1 , a2 , . . . , as 中的一部分向量组 ai1 , ai2 , . . . , air , 若它满足 条件: (1) 线性无关. (2) 再加入原向量组中任意其他一个向量(若有的话)所形成的新 的部分向量组都线性相关. 则称向量组 ai1 , ai2 , . . . , air 为向量组 a1 , a2 , . . . , as 的极大线性无关 组. 称极大线性无关组中向量个数为原向量组的秩. 性质: 1 一个向量组的任意两个极大线性无关组必等价, 且所含向量 的个数相等. 2 矩阵的秩等于矩阵的列向量构成的向量组的秩, 也等于矩阵 的行向量构成的向量组的秩.
当 rank (A) = rank
1 2
A
b A
, 方程组(3)不相容, 无解.
b
当 r = rank (A) = rank
, 方程组(3)相容.
若 r = n, 则方程组(3)有唯一解. 若 r < n, 则方程组(3)有无穷多解.
对于齐次线性方程组:
Ax = 0, A ∈ Rm×n
(4)
定理 齐次方程组(4)只有零解的充要条件 rank (A) = n; 齐次相称组(4) 存在非零解的充要条件 rank (A) < n.
1 2
倪卫明
第五讲 线性方程组
线性方程组
线性方程组:
n
aij xj = bi ,
j=1
(i = 1, 2, . . . , m)
(1)
写成矩阵形式:
Ax = b
(2)
其中
a11 a 21 A= . . . am1

a12 a22
. . .
am2
a1n a2n , . . . · · · amn
倪卫明
第五讲 线性方程组
线性方程组解的结构
非齐次线性方程组
Ax = b
(7)
其中 A 为 m × n 矩阵, 其对应的齐次线性方程组为式(6). 定理 设 x∗ 为非齐次线性方程组(7)的一个特定的解(称为特解), y 为其 相应齐次线性方程组的解, 则(7)的通解可表示为
x = x∗ + y
(8)
··· ···
x1 x2 x= . , . . xn

b1 b2 b= . . . bm
线性方程组解与增广矩阵关系
线性方程组解的情况完全取决于系数矩阵 A 和向量 b, 即增广矩 阵 A = A b , 且线性方程组与它的增广矩阵一一对应. 解线性方程组的消元法等价于对增广矩阵实施行初等变换. 线性方程组 Ax = b 中, 若 b = 0 则称 Ax = b 为非齐次线性方程; 若非齐次线性方程组有解, 则称方程组相容, 否则称为不相容. 当 方程组相容时, 它可能有唯一解, 也可能有无穷多解. 若 b = 0, 称 Ax = 0 为齐次线性方程组; 齐次线性方程组总有解, 因零向量就是方程组的一个解, 常称这个解为齐次方程组的平凡 解. 因此, 一般更关注齐次线性方程组是否存在非零解, 以及它的 解结构.
倪卫明
第五讲 线性方程组
线性方程组
为了研究线性方程组解的结构, 先讨论 n 元向量直接的关系. 设 a1 , . . . , as , b ∈ Rn 为 s + 1 个向量, 可以将这些向量视作 n × 1 或 1 × n 矩阵, 先给出一些定义: 线性组合: 若存在一组数 k1 , k2 , . . . , ks , 使得
倪卫明
第五讲 线性方程组
线性方程组
向量组线性相关、线性无关性质: 设 a1 , a2 , . . . , as (s ≥ 2) 为一 n 元 向量组,
1
若向量组 a1 , a2 , . . . , as 中包含零向量, 则 a1 , a2 , . . . , as 必线性 相关. 若 a1 , a2 , . . . , as 线性无关, 则它的任意部分向量必线性无关. 若向量组 a1 , a2 , . . . , as 线性相关, 则任意包含了这组向量的向 量组必线性相关. 向量组 a1 , a2 , . . . , as 线性相关 ⇔ a1 , a2 , . . . , as 中至少存在一个 向量能表示成其它向量的线性组合. 向量组 a1 , a2 , . . . , as 线性无关, 但 s + 1 个向量 a1 , a2 , . . . , as , a 线性相关, 则 a 必可由 a1 , a2 , . . . , as 线性表示, 而且这种表示 唯一. 设向量组 a1 , a2 , . . . , as 中任一向量可经向量组 b1 , b2 , . . . , bt 线 性表示, 若 s > t , 则向量组 a1 , a2 , . . . , as 必线性相关.
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