《2016届走向高考》高三数学一轮(北师大版)基础巩固第10章第2节统计、统计案例
数学一轮复习第十章算法初步统计与统计案例10.1算法与算法框图学案理
第十章算法初步、统计与统计案例10。
1算法与算法框图必备知识预案自诊知识梳理1.算法的含义在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的，通过实施这些来解决问题，通常把这些称为解决这些问题的算法。
2。
算法框图在算法设计中,算法框图可以准确、清晰、直观地表达解决问题的思想和步骤,算法框图的三种基本结构:、、。
3.三种基本逻辑结构（1)顺序结构:按照步骤的一个算法，称为具有“顺序结构”的算法,或者称为算法的顺序结构.其结构形式为（2）选择结构：需要，判断的结果决定后面的步骤，像这样的结构通常称作选择结构。
其结构形式为（3）循环结构：指从某处开始，按照一定条件反复执行某些步骤的情况.反复执行的处理步骤称为.其基本模式为4.基本算法语句任何一种程序设计语言中都包含五种基本的算法语句，它们分别是：、输出语句、、条件语句和.5。
赋值语句（1)一般形式：变量=表达式。
(2）作用:将表达式所代表的值赋给变量。
6.条件语句（1)If—Then—Else语句的一般格式为:If条件Then语句1Else语句2End If(2)If—Then语句的一般格式是:If条件Then语句End If7.循环语句(1）For语句的一般格式:For循环变量=初始值To终值循环体Next（2）Do Loop语句的一般格式:Do循环体Loop While 条件为真考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√",错误的画“×”.（1)一个算法框图一定包含顺序结构，但不一定包含选择结构和循环结构。
（）(2)算法只能解决一个问题,不能重复使用。
（）（3）选择结构的出口有两个,但在执行时,只有一个出口是有效的。
（)（4）循环结构中给定条件不成立时，执行循环体,反复进行，直到条件成立为止。
（)（5)输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框.（）2。
某地区打的士收费办法如下：不超过2公里收7元，超过2公里时,每车收燃油附加费1元,并且超过的里程每公里收2。
【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)课件：第10章 第2节 用样本估计总体
第十章 统计与概率
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3．(2014·东营模拟、内蒙古赤峰市摸底)在样本频率分布
第十章 统计与概率
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A．0.27,78 C．2.7,78 [答案] A
B．0.27,83 D．2.7,83
第十章 统计与概率
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[分析] 从图中可知第一组与第二组的频率(频数)，结合 前4组的频数成等比数列及第四组直方图最高，可求a.因此后6 组是已知首项和各项和的等差数列，由等差数列求和公式可求 出公差d，最后可求视力在4.6～5.0之间的学生数b，计算时可 以用频数计算，也可以用频率计算．
第十章 统计与概率
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在频率分布直方图中，平均数的估计值等于频率分布直方 图中每个小矩形的_面__积__乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
3．中位数：如果将一组数据按从小到大的顺序依次排 列，当数据有奇数个时，处在_最__中__间__的__一__个__数_是这组数据的中 位数；当数据有偶数个时，处在_最__中__间__两__个__数__的__平__均__数__是这 组数据的中位数．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的 直方图的面积_相__等___， 由此可估计中位数的值．
第十章 统计与概率
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4．(文)(2013·豫西五校联考)某人5次上班途中所花的时间
(单位：min)分别为8,12,10,11,9，估计此人每次上班途中平均花
高三数学一轮(北师大版)第十章+统计、统计案例：课件+基础达标+专题整合+阶段测试卷(4份打包)第1
课前自主导学
1.散点图 (1)将变量所对应的点描出来，就组成了变量之间的一个 图， 这种图为变量之间的_散__点__图_． (2)若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直 线附近波动，则称变量间是线__性__相__关__的．若所有点看上去都在 某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关为非__线__性__相__关__ 的．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间 是不相关的．
4．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持
和不支持两种态度)的关系，运用 2×2 列联表进行独立性检验，
经计算 χ2＝7.069，则所得到的统计学结论是：有( )的把握
认为“学生性别与支持活动有关系”．( )
附：
P(χ2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
3．(2015·石家庄调研)下列结论正确的是( )
①函数关系是一种确定性关系；
②相关关系是一种非确定性关系；
③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的
一种方法；
④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的
一种常用方法．
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
[答案] C
[解析] 由回归分析的方法及概念判断．
示变量 A 取 A1，且变量 B 取 B2 时的数据；c 表示变量 A 取 A2，
且变量 B 取 B1 时的数据；d 表示变量 A 取 A2－bc2
χ2＝__a_＋__b___c_＋__d__a_＋__c__b_＋__d___
【走向高考】年高考数学一轮总复习课件(北师大版)第十章 统计、统计案例 10-1
A．1 C．3
B．2 D．4
[答案] C
[解析] ①②③显然正确，系统抽样无论有无剔除都是等
概率抽样；④不正确．
4 ． 老 师 在 班 级 50 名 学 生 中 ， 依 次 抽 取 学 号 为 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50 的学生进行作业检查，这种抽样 方法是( ) B．分层抽样 D．以上都不是
[答案] D
)
B．个体是每一个学生 D．样本容量是 40
[解析]
总体容量是 240，总体是 240 名学生的身高；个
体是每名学生的身高；样本是 40 名学生的身高；样本容量是 40.
3．下列说法中正确说法的个数是(
)
①总体中的个体数不多时宜用简单随机抽样法； ②在总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单 随机抽样； ③百货商场的抓奖活动是抽签法； ④整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率相等(有剔除 时例外)．
[答案] C
) B．按性别分层抽样 D．系统抽样
[解析]
由于三个学段学生的视力差别较大， 由分层抽样
的定义知，合理的抽样方法是分层抽样，要按学段分层，故 选 C.
2．为了了解全校 240 名学生的身高情况，从中抽取 40 名学生进行测量，下列说法正确的是( A．总体是 240 C．样本是 40 名学生
[思路分析]
(1)总体的个数较少， 利用抽签法或随机数法
可较容易地获取样本； (2)抽签法操作要点：编号、制签、搅匀、抽取； (3)随机数法的操作要点：编号、选起始数、读数、获取 样本．
[规范解答] 抽签法． 第一步：将 60 名志愿者编号，编号为 1,2,3，…，60； 第二步：将 60 个号码分别写在 60 张外形完全相同的纸 条上，并揉成团，制成号签； 第三步：将 60 个号签放入一个不透明的盒子中，充分搅 匀； 第四步：从盒子中逐个抽取 10 个号签，并记录上面的编 号； 第五步：所得号码对应的志原者，就是志愿小组的成员．
《2016届走向高考》高三数学一轮(北师大版)基础巩固第12章第1节算法与算法框图、基本算法语句
第十二章第一节一、选择题1．(文)(2014·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A．1 B．3C．7 D．15[答案] C[解析]本题考查了程序框图的有关概念．S1：k＝0，S＝0，S2：S＝20＝1，k＝1，S3：S＝1＋21＝3，k＝2，S4：S＝3＋22＝7，k＝3，S5：输出S＝7.(理)(2014·北京高考)当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A．7 B．42C．210 D．840[答案] C[解析]本题考查了程序框图．当m输入的m＝7，n＝3时，判断框内的判断条件为k<5，故能进入循环的k依次为7,6,5.顺次执行S＝S·k，则有S＝7·6·5＝210，故选C．2．下列算法框图的功能是()A．求a－b的值B．求b－a的值C．求|a－b|的值D．以上都不对[答案] C[解析]由判断框中的条件和输出的两种结果易知，框图是求|a－b|的值．3．执行下面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是()A．8 B．5C．3 D．2[答案] C[解析]本小题考查的内容为程序框图中的循环结构．k＝1时，p＝1，k＝2时，p＝2，k＝3时，p＝3.4．(文)阅读如下程序框图，如果输出i＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是()A．S<8 B．S<9C．S<10 D．S<11[答案] B[解析]本题考查了程序框图的循环结构．依据循环要求有i＝1，S＝0；i＝2，S＝2×2＋1＝5；i＝3，S＝2×3＋2＝8；i＝4，S＝2×4＋1＝9，此时结束循环，故应为S<9.(理)阅读如下程序框图，如果输出i＝5，那么在空白矩形框内应填入的语句为()A．S＝2*i-2 B．S＝2*i-1C．S＝2*i D．S=2*i+4[答案] C[解析]i＝2时，i不是奇数，S＝2×2＋1＝5<10，继续循环，i＝2＋1＝3,3是奇数，执行“选项”后，需继续循环，故排除D．当i＝4时，i不是奇数，S＝2×4＋1＝9<10，继续循环，i＝4＋1＝5,5是奇数，执行“选项”后，应跳出循环，输出i的值5后结束，但2×5－2＝8<10,2×5－1＝9<10，都需继续循环，故排除A、B选项，但2×5＝10<10不成立，故选C．5．(文)(2014·重庆高考)执行如图所示的程序框图，则输出s的值()A．10 B．17C．19 D．36[答案] C[解析]本题考查算法的循环结构和层层分析法．k＝2，s＝2；k＝3，s＝5；k＝5，s＝10；k＝9，s＝19，k＝17时，结束循环，此时s＝19.(理)(2014·重庆高考)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( )A ．s >12B ．s >35C ．s >710D ．s >45[答案] C[解析] 本题考查了算法与程序框图，第一次循环k ＝9，s ＝1×910＝910，第二次循环k ＝8，s ＝910×89＝45 ，第三次循环，k ＝7，s ＝710循环后k ＝6，即可输出，所以满足条件的s >710.所以选C ．计算程序框图有关的问题要注意判断框中的条件，同时要注意循环节中各个量的位置．二、填空题6．如图给出一个算法框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等．则这样的x 值有________个．[答案] 3[解析] 当x ≤2时，x 2＝x ，有x ＝0或x ＝1； 当2<x ≤5时，2x －3＝x ，有x ＝3； 当x >5时，x ＝1x ，x 无解．故可知这样的x 有3个．7．(2014·山东高考)执行下面的程序框图，若输入的x 值为1，则输出的n 的值为________．[答案]3[解析]本题考查算法的循环结构框图．x2－4x＋3≤0时，1≤x≤3.∴当1≤x≤3时，执行循环分支．当x≥4时，结束循环．初值x＝1，n＝0时，x＝2，此时n＝1，x＝3，此时n＝2，x＝4，此时n＝3.当x＝4时，结束循环，输出n＝3.关键看出x＝4时结束循环，此时n＝3，注意循环条件的使用．8．国家法定工作日内，每周工作时间满工作量为40h，每小时工资8元；如因需要加班，则每小时工资为10元．某人在一周内工作时间为x h，但他须交纳个人住房公积金、失业险(这两项费用为每周总收入的10%)．试分析算法步骤并画出其净得工资y元的算法的流程图．(注：满工作量外的工作时间为加班)[解析]算法如下：S1输入工作时间x h；S2若x≤40，则y＝8x×(1－10%)；否则，y＝40×8(1－10%)＋(x－40)×10(1－10%)．S3输出y值．流程图如下：一、选择题1．(文)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝4，那么输出的S ＝( )A ．1＋12＋13＋14B ．1＋12＋13×2＋14×3×2C ．1＋12＋13＋14＋15D ．1＋12＋13×2＋14×3×2＋15×4×3×2[答案] B[解析] 本题考查程序框图的循环结构．由程序框图依次可得，输入N ＝4，k ＝1，S ＝0，T ＝1→T ＝1，S ＝1，k ＝2；2>4否 T ＝12，S ＝1＋12，k ＝3；3>4否T ＝16，S ＝1＋12＋13×2，K ＝4；4>4否T ＝14×3×2，S ＝1＋12＋13×2＋14×3×2，k ＝5；5>4成立，输出S ＝1＋12＋13×2＋14×3×2，故选B ．(理)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )A ．1＋12＋13＋…＋110B ．1＋12！＋13！＋…＋110！C ．1＋12＋13＋…＋111D ．1＋12！＋13！＋…＋111！[答案] B[解析] 当输入N ＝10时，由于初值k ＝1，S ＝0，T ＝1，故程序运行过程依次为：T ＝11＝1，S ＝0＋1＝1，k ＝1＋1＝2，此时不满足k >10→T ＝12＝12！，S ＝1＋12！，k ＝2＋1＝3，不满足k >10→T ＝12！3＝13！，S ＝1＋12！＋13！，k ＝3＋1＝4仍不满足k >10，…，直到k ＝10时，T＝19！10＝110！，S ＝1＋12！＋13！＋…＋110！，k ＝11，此时满足k >10，结束循环，输出S ＝1＋12！＋13！＋ (110)后结束． 2．如果执行如图的框图，输入N ＝5，则输出的数等于( )A ．54B ．45C ．65D ．56[答案] D[解析] 本题考查了程序框图的有关知识，并且渗透了裂项求和的方法，在解题时要注意首先弄清楚程序框图的功能，然后看限制条件，题目定位是中档题．根据程序框图可知，该程序框图的功能是计算S ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1k ×(k ＋1)，现在输入的N ＝5，所以满足条件k <N 的结果为S ＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(15－16)＝56，故选D ． 二、填空题3．写出下面算法语句的执行结果________． i ＝0； S ＝1； Do i ＝i ＋1 S ＝S *i Loop While S ≤20 输出i . [答案] 4[解析] 第一次循环i ＝1，S ＝1×1，第二次S ＝1×2，第三次S ＝1×2×3，第四次S ＝1×2×3×4>20不合题意，而此时i ＝3＋1＝4，故输出的i 值为4.4．(2014·浙江高考)若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是________．[答案] 6[解析]本题考查循环结构运行，第一次运行结果S＝1，i＝2第二次运行结果S＝4，i＝3，第三次运行结果S＝11，i＝4.第四次运行结果S＝26，i＝5.第五次运行结果S＝57，i＝6.此时S＝57>50，输出i＝6.5．(2015·温州第一次测试)按下图所示的程序框图运算，若输入x＝20，则输出的k＝________.[答案] 3[解析]由题意得x＝20，k＝0；k＝1，x＝39；k＝2，x＝77；k＝3，x＝153，循环终止，输出的k＝3.三、解答题6．用循环语句来书写1＋22＋32＋…＋n2>100的最小自然数n的算法，画出算法流程图．[解析]算法如下：第一步：S＝0；第二步：n＝1；第三步：S＝S＋n2；第四步：如果S≤100，使n＝n＋1，并返回第三步，否则输出n－1.相应的流程图如图所示．。
【走向高考】高三数学一轮基础巩固 第10章 第2节 统计、统计案例(含解析)北师大版
【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固 第10章 第2节 统计、统计案例 北师大版一、选择题1．把样本容量为20的数据分组，分组区间与频数如下：[10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，4；[40,50)，5；[50,60)；4；[60,70]，2，则在区间[10,50)上的数据的频率是( )A ．0.05B ．0.25C ．0.5D ．0.7[答案] D[解析] 由题知，在区间[10,50)上的数据的频数是2＋3＋4＋5＝14，故其频率为1420＝0.7.2．某厂10名工人在一个小时内生产零件的个数分别是15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设该组数据的平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >a >bD ．c >b >a [答案] D[解析] 把该组数据按从小到大的顺序排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，其平均数a ＝110×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，中位数b ＝15＋152＝15，众数是c ＝17，则a <b <c ，选D ．3．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13,14,19，x,23,27,28,31，其中，中位数为22，则x 等于( )A ．21B ．22C ．23D ．20 [答案] A[解析] 因为样本数据个数为偶数，中位数为x ＋232＝22，故x ＝21.4．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：A ．0.13B ．0.39C ．0.52D ．0.64[答案] C[解析] 由列表可知样本数据落在 (10,40]上的频数为52，故其频率为0.52. 5．(2014·山东高考)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．6B ．8C ．12D ．18[答案] C[解析] 第一、二两组的频率为0.24＋0.16＝0.4 ∴志愿者的总人数为200.4＝50(人)．第三组的人数为：50×0.36＝18(人) 有疗效的人数为18－6＝12(人)6．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 [答案] C[解析] 本题考查了数理统计中的平均数、中位数、方差、极差及条形图等问题． x －甲＝15(4＋5＋6＋7＋8)＝6，x －乙＝15(5×3＋6＋9)＝6，甲的成绩的方差为15(22×2＋12×2)＝2，乙的成绩的方差为15(12×3＋32×1)＝2.4.故选C ．二、填空题7．为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图所示)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为，第2小组的频数为12，则报考飞行员的总人数是________．[答案] 48[解析] 据频率分布直方图可得第4小组及第5小组的频率之和为5×(0.013＋0.037)＝0.25，故前3个小组的频率为1－0.25＝0.75，第2小组的频率为0.75×21＋2＋3＝0.25，又其频数为12，故总人数为120.25＝48(人)． 8．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：[答案] 2[解析] 本题考查统计中方差的计算． x －甲＝90，且S 2甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，x －乙＝90，且S 2乙＝15[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.由于S 2甲>S 2乙，所求方差为2.9．如图所示，是海尔电视机厂产值统计图，产值最少的是第________季度，产值最多的是第________季度．第四季度比第二季度增产________%.[答案] 二四150[解析] 折线图描述某种现象在时间上的发展趋势．图中折线表示了海尔电视机厂四个季度产值先减少后增多，且第二季度最少，第四季度最多．第四季度比第二季度增产15万元，增产150%.三、解答题10．(2014·新课标Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？[解析] (1)(2)质量指标值的样本平均数为x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0．38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.一、选择题1．小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )A ．30%B ．10%C ．3%D ．不能确定[答案] C[解析] 本题考查了扇形图，条形图．由图2知小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元．占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%.2．甲、乙两名同学在五次考试中数学成绩统计用茎叶图表示如图所示，则下列说法正确的是( )甲 乙9 8 5 8 59 10 115 6 8 2 4A ．甲的平均成绩比乙的平均成绩高B ．甲的平均成绩比乙的平均成绩低C ．甲成绩的方差比乙成绩的方差大D ．甲成绩的方差比乙成绩的方差小 [答案] C[解析] 本题考查茎叶图知识及样本数据中的均值与方差的求解及其意义．可以求得两人的平均成绩相同，均为107，又S 2甲＝15[(98－107)2＋(99＋107)2＋(105－107)2＋(115－107)2＋(118－107)2]＝66.8，而S 2乙＝15[(95－107)2＋(106－107)2＋(108－107)2＋(112－107)2＋(114－107)2]＝44，故选C ．二、填空题3．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a ＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．[答案] 0.030 3[解析] 由所有小矩形面积为1不难得到a ＝0.030，而三组身高区间的人数比为，由分层抽样的原理不难得到[140,150]区间内的人数为3人．4．(2014·江苏高考)设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm.[答案] 24[解析] 本题考查频率分布直方图．由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.015＋0.025)×10×60＝24.频率分布直方图中的纵坐标为频率组距，此处经常误认为纵坐标是频率．三、解答题5．若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过．．．1mm 时，则视为合格品，否则视为不合格品．在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位：mm)，将所得数据分组，得到如下频率分布表：(1)(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率；(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品．据此估算这批产品中的合格品的件数．[解析] (1)(2)(1,3]内的概率约为0.50＋0.20＝0.70.(3)设这批产品中的合格品数为x 件， 依题意有505 000＝20x ＋20，解得x ＝5 000×2050－20＝1 980.所以该批产品的合格品件数估计是1 980件．6．近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t 生活垃圾，数据统计如下(单位：t)：(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a 、b 、c 其中a ＞0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a 、b 、c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值(结论不要求证明)，并求此时s 2的值．(注：s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为数据x 1，x 2，…，x n 的平均数)[解析] (1)厨余垃圾投放正确的概率为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )≈400＋240＋601000＝0.7.所以P (A )≈1－0.7＝0.3.(3)当a ＝600，b ＝c ＝0时，s 2取得最大值． 因为x ＝13(a ＋b ＋c )＝200，所以s 2＝13[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80 000.。
【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固第10章第2节用样本估计总体
第十章 第二节一、选择题1．(2013·重庆理，4)以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：min)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8 D ．8,8[答案] C[解析] 由甲组数据中位数为15，可得x ＝5；而乙组数据的平均数16.8＝9＋15＋(10＋y )＋18＋245，可解得y ＝8，故选C ．2．(文)(2013·西宁模拟)已知一组数据：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7构成公差为d 的等差数列，且这组数据的方差等于1，则公差d 等于( )A ．±14B ．±12C ．±128D ．无法求解 [答案] B[解析] 这组数据的平均数为a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 77＝7a 47＝a 4，又因为这组数据的方差等于1，所以17[(a 1－a 4)2＋(a 2－a 4)2＋(a 3－a 4)2＋(a 4－a 4)2＋(a 5－a 4)2＋(a 6－a 4)2＋(a 7－a 4)2]＝(3d )2＋(2d )2＋d 2＋0＋d 2＋(2d )2＋(3d )27＝4d 2＝1，解得d ＝±12.(理)已知一组正数x 1，x 2，x 3，x 4的方差为s 2＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－16)，则数据x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6[答案] C[解析] 设x 1，x 2，x 3，x 4的平均值为x －，则 s 2＝14[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋(x 3－x －)2＋(x 4－x －)2]＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－4x －2)， ∴4x －2＝16，∴x －＝2，x －＝－2(舍)，∴x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为4，故选C ．3．(2014·广州“十校”第一次联考)学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n 名同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50)(单位：元)，其中支出在[30,50)(单位：元)的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n 的值为( )A ．100B ．120C ．130D ．390[答案] A[解析] 支出在[30,50)的同学的频率为1－(0.01＋0.023)×10＝0.67，n ＝670.67＝100.4．(文)(2013·辽宁理，5)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60[答案] B[解析] 由频率分布直方图知，低于60分的同学所占频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，故该班的学生人数为150.3＝50.故选B ．(理)(2013·福建理，4)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )A ．588B ．480C ．450D ．420[答案] B[解析] 由频率分布直方图知40～60分的频率为(0.005＋0.015)×10＝0.2，故估计不少于60分的学生人数为600×(1－0.2)＝480.5．(2013·山东滨州一模)如图是2013年在某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A ．84,4.84B ．84,1.6C ．85,1.6D ．85,4[答案] C[解析] 去掉一个最高分93和一个最低分79，所剩数据的平均数x －＝84＋84＋86＋84＋875＝85，方差s 2＝15[(84－85)2×3＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6，故选C ．6．(2014·长春第二次调研)如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45)的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为( )A．0.04B．0.06C．0.2D．0.3[答案] C[解析]因为分布在[20,25)的频率为0.01×5＝0.05，分布在[25,30)的频率为0.07×5＝0.35，所以分布在[30,35)、[35,40)、[40,45]的频率之和为1－0.05－0.35＝0.6，又因为年龄在[30,35)、[35,40)、[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布，由等差数列的性质可得年龄在[35,40)的网民出现的频率为0.2.二、填空题7．容量为100的样本分为10组，若前7组频率之和为0.79，而剩下三组的频数成等比数列，且其公比不为1，则剩下的三组频数最大的一组的频率是________．[答案]0.16或0.12[解析]后三组频数和为100×(1－0.79)＝21，设这三组频数依次为a、ap、ap2(a、p∈N*且p>1)，由题意设得，a＋ap＋ap2＝21，∵p>1，∴1＋p＋p2是21的大于3的约数，∴1＋p＋p2＝21或1＋p＋p2＝7，得p＝4或p＝2.当p＝4时，频数最大值为16，频率为0.16；当p＝2时，频数最大值为12，频率为0.12.8．(2014·广东东莞一模)某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．[答案] 600[解析] 成绩小于60分的学生频率为：(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2， 故3000名学生中成绩小于60分的学生数为：3000×0.2＝600.9．(2014·石家庄质检)某学校想要调查全校同学是否知道迄今为止获得过诺贝尔物理奖的6位华人的姓名，为此出了一份考卷．该卷共有6个单选题，每题答对得20分，答错、不答得零分，满分120分．阅卷完毕后，校方公布每题答对率如下：[答案] 66[解析] 假设全校人数有x 人，则每道试题答对人数及总分分别为所以六个题的总分为66x ，所以平均分为66xx ＝66.三、解答题10．(文)我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准，用水量不超过a 的部分按照平价收费，超过a 的部分按照议价收费)．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量(单位：t)，制作了频率分布直方图．(1)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；(2)用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超过标准，则月均用水量的最低标准定为多少吨？并说明理由；(3)从频率分布直方图中估计该100位居民月均用水量的平均数．(同一组中的数据用该区间的中点值代表)[解析] (1)(2)月均用水量的最低标准应定为2.5t.样本中月均用水量不低于2.5t 的居民有20位，占样本总体的20%，由样本估计总体，要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为2.5t.(3)这100位居民的月均用水量的平均数为0．5×(14×0.10＋34×0.20＋54×0.30＋74×0.40＋94×0.60＋114×0.30＋134×0.10)＝1.875(t)．(理)某学校为了了解学生的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了n 名同学进行调查．下表是这n 名同学的日睡眠时间的频率分布表.(1)求n (2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[4,5)的中点值是4.5)作为代表．若据此计算的上述数据的平均值为6.52，求a 、b 的值，并由此估计该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上的概率．[解析] (1)由频率分布表可得n ＝60.12＝50.补全数据如下表频率分布直方图如下：(2)由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧150(6×4.5＋10×5.5＋a ×6.5＋b ×7.5＋4×8.5)＝6.52，6＋10＋a ＋b ＋4＝50. 解得a ＝15，b ＝15.设“该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上”为事件A ， 则P (A )≈15＋450＝0.38，答：该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上的概率约为0.38.一、选择题11．(2014·济宁一模)某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为( )A ．117B ．118C ．118.5D ．119.5[答案] B[解析] 由上图可知，最小值为56，最大值为98，故极差为42，又从小到大排列，排在第11,12位的数为76,76，所以中位数为76，所以极差和中位数之和为42＋76＝118.选B ．12．(文)(2014·天津模拟)甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为x 甲、x 乙，则下列判断正确的是( )A ．x 甲<x 乙，甲比乙成绩稳定B ．x 甲<x 乙，乙比甲成绩稳定C ．x 甲>x 乙，甲比乙成绩稳定D ．x 甲>x 乙，乙比甲成绩稳定 [答案] B[解析] 易知：x 甲＝88＋－12－11＋0＋2＋45＝84.6，x 乙＝88＋－13＋0－2＋0＋55＝86，所以x甲<x 乙；又由图可以看出乙的成绩较为稳定．(理)(2014·济南模拟)某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数x －甲，x －乙和中位数y 甲，y 乙进行比较，下面结论正确的是( )A ．x －甲>x －乙，y 甲>y 乙 B ．x －甲<x －乙，y 甲<y 乙 C ．x －甲<x －乙，y 甲>y 乙 D ．x －甲>x －乙，y 甲<y 乙[答案] B[解析] 由茎叶图得x －甲＝19＋20＋21＋23＋25＋29＋32＋33＋37＋4110＝28，x －乙＝10＋26＋30＋30＋34＋37＋44＋46＋46＋4710＝35，y 甲＝25＋292＝27，y 乙＝34＋372＝35.5， ∴x －甲<x －乙，y 甲<y 乙，故选B ．13．(文)某工厂对一批产品进行了抽样检测，下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品个数是( )A ．90B ．75C ．60D ．45[答案] A[解析] 产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，设样本容量为n ，则36n ＝0.300，所以n ＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90.(理)某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(单位：kg)数据进行整理后分成六组，并绘制频率分布直方图(如图所示)．已知图中从左到右第一、第六小组的频率分别为0.16、0.07，第一、第二、第三小组的频率成等比数列，第三、第四、第五、第六小组的频率成等差数列，且第三小组的频数为100，则该校高三年级的男生总数为( )A ．480B ．440C ．420D ．400[答案] D[解析] 设第一、第二、第三小组的频率构成的等比数列公比为q ，第三、第四、第五、第六小组的频率构成的等差数列公差为d ，则由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0.16＋0.16q ＋0.16q 2＋(0.16q 2＋d )＋(0.16q 2＋2d )＋(0.16q 2＋3d )＝1，0.16q 2＋3d ＝0.07. 即⎩⎪⎨⎪⎧0.16＋0.16q ＋0.64q 2＋6d ＝1，0.16q 2＋3d ＝0.07.消去d 得，16q 2＋8q －35＝0.∵q >0，∴q ＝54.∴第三组的频率P ＝0.16q 2＝0.25.设男生总数为x ，则x ×25%＝100，∴x ＝400. 二、填空题14．(2013·湖北理，11)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示(1)直方图中x 的值为________．(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________． [答案] (1)0.0044 (2)70[解析] ∵50×(0.0024＋0.0036＋0.006＋x ＋0.0024＋0.0012)＝1，∴x ＝0.0044. 用电量在区间[100,250)内的频率为50×(0.0036＋0．006＋0.0044)＝0.7， ∴户数为100×0.7＝70(户)．15．(2014·南京盐城一模)若一组样本数据2,3,7,8，a 的平均数为5，则该组数据的方差s 2＝________.[答案]265[解析] 由2＋3＋7＋8＋a5＝5，得a ＝5，所以s 2＝15(32＋22＋22＋32＋02)＝265.三、解答题16．(2013·东北三校联考)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5μm 的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，根据现行国家标准GB3095—2012，PM2.5日均值在35微克/m 3以下空气质量为一级；在35微克/m 3～75微克/m 3之间空气质量为二级；在75微克/m 3以上空气质量为超标．从某自然保护区2012年全年每天的PM2.5监测值数据中随机地抽取12天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)：(1)求空气质量为超标的数据的平均数与方差；(2)从空气质量为二级的数据中任取2个，求这2个数据的和小于100的概率；(3)以这12天的PM2.5日均值来估计2012年的空气质量情况，估计2012年(按366天计算)中大约有多少天的空气质量达到一级或二级．[解析] (1)空气质量为超标的数据有四个：77,79,84,88， 平均数为x －＝77＋79＋84＋884＝82.方差为s 2＝14×[(77－82)2＋(79－82)2＋(84－82)2＋(88－82)2]＝18.5.(2)空气质量为二级的数据有五个：47,50,53,57,68，任取两个有十种可能结果：{47,50}，{47,53}，{47,57}，{47,68}，{50,53}，{50,57}，{50,68}，{53,57}，{53,68}，{57,68}，两个数据和小于100的结果有一种：{47,50}， 记“两个数据和小于100”为事件A ，则P (A )＝110，即从空气质量为二级的数据中任取2个，这2个数据和小于100的概率为110.(3)空气质量为一级或二级的数据共8个，所以空气质量为一级或二级的频率为812＝23， 366×23＝244，所以，2012年的366天中空气质量达到一级或二级的天数估计为244天．17．(文)某校高三(1)班共有40名学生，他们每天自主学习的时间全部在180min 到330min 之间，按他们学习时间的长短分5个组统计得到如下频率分布表：(1)求分布表中s 、t (2)某兴趣小组为研究每天自主学习的时间与学习成绩的相关性，需要在这40名学生中按时间用分层抽样的方法抽取20名学生进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？(3)已知第一组的学生中男、女生均为2人，在(2)的条件下抽取第一组的学生，求既有男生又有女生被抽中的概率．[解析] (1)s ＝840＝0.2，t ＝1－0.1－s －0.3－0.25＝0.15.(2)设应抽取x 名第一组的学生，则x 4＝2040，得x ＝2.故应抽取2名第一组的学生．(3)在(2)的条件下应抽取2名第一组的学生． 记第一组中2名男生为a 1，a 2,2名女生为b 1，b 2，按时间用分层抽样的方法抽取2名第一组的学生共有6种等可能的结果，列举如下： a 1a 2，a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2，b 1b 2.其中既有男生又有女生被抽中的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2，共4种结果， 所以既有男生又有女生被抽中的概率为P ＝46＝23.(理)(2014·太原五中月考)节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于或等于6千小时的产品为优质品．现用A ，B 两种不同型号的节能灯做实验，各随机抽取部分产品作为样本，得到实验结果的频率直方图如下图所示：若以上述实验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率．(1)现从大量的A ，B 两种型号节能灯中各随机抽取两件产品，求恰有两件是优质品的概率； (2)已知A 型节能灯的生产厂家对使用时间小于6千小时的节能灯实行“三包”．通过多年统计发现，A 型节能灯每件产品的利润y (单位：元)与使用时间t (单位：千小时)的关系式如下表：X 的分布列及数学期望．[解析] 由频率分布直方图所示，A 、B 两种产品的使用时间在各个时间段内的频率为：∴A 型号节能灯优质品率为0.5，B 型号节能灯优质品率为0.4. ∴P (A )＝12，P (B )＝25.(1)从A 、B 两种型号的节能灯中随机抽取两件产品，恰有两件是优质品的概率是P ＝C 12(12)1·(12)1·C 12(25)1·(35)1＋C 22(12)2·C 22(35)2＋C 22(12)2·C 22(25)2＝37100. (2)由题意知X 的可能取值为－40,0,20,40,60,80，∵P (X ＝－40)＝C 22(110)2＝1100，P (X ＝0)＝C 12(110)1×(25)1＝225，P (X ＝20)＝C 12·(110)1·(12)1＝110，P (X ＝40)＝C 22(25)2＝425，P (X ＝60)＝C 12(25)1(12)1＝25，P (X ＝80)＝C 22·(12)2＝14. ∴X 的分布列为∴E (X )＝10×(－4×1100＋0＋2×110＋4×425＋6×25＋8×14)＝52.。
走向高考一轮课后强化作业北师大：第十章 统计统计案例 含解析
基础达标检测一、选择题1．设有一个回归方程为y＝2－2.5x，则变量x增加一个单位时，则()A．y平均增加2.5个单位B．y平均增加2个单位C．y平均减少2.5个单位D．y平均减少2个单位[答案] C[解析]由回归方程的系数b＝－2.5可知，x每增加一个单位，则y平均减少2.5个单位．2．对于事件A和事件B，通过计算得到χ2的观测值χ2≈4.514，下列说法正确的是()A．有99%的把握说事件A和事件B有关B．有95%的把握说事件A和事件B有关C．有99%的把握说事件A和事件B无关D．有95%的把握说事件A和事件B无关[答案] B[解析]由独立性检验知有95%的把握说事件A与B有关．3．(文)已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y(h)之间的线性回归方程为y＝0.01x＋0.5，则加工600个零件大约需要__________h．()A ．6.5B ．5.5C ．3.5D ．0.5[答案] A[解析] 将x ＝600代入回归方程即得A .(理)工人月工资y (元)依劳动生产率x (千元)变化的回归方程y ＝50＋80x ，下列判断正确的是( )(1)劳动生产率为1 000元时，工资为130元； (2)劳动生产率提高1 000元时，则工资提高80元； (3)劳动生产率提高1 000元，则工资提高130元； (4)当月工资为210元时，劳动生产率为2 000元． A ．(1) B ．(2) C ．(3) D ．(4)[答案] B[解析] 劳动生产率的单位是千元，故应把x ＝1(千元)代入，求得y 增加80(元)．4．(2012·湖南理，4)设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确．．．的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg[答案] D[解析]本题主要考查线性相关及回归方程．D选项断定其体重必为58.79kg不正确．注意回归方程只能说“约”“大体”而不能说“一定”“必”．5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：算得，K2＝由K2＝(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)110×(40×30－20×20)2≈7.8.60×50×60×50附表：A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”[答案] C[解析] 本小题考查内容为独立性检验．6．635<K 2＝7.8<10.828，∴我们有99%的把握认为二者有关，或者说在犯错的概率不超过1%的前提下二者有关．6．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元[答案] B[解析] ∵x －＝4＋2＋3＋54＝72，y －＝49＋26＋39＋544＝42， 又y ^＝b ^x ＋a ^必过(x －，y －)， ∴42＝72×9.4＋a ^，∴a ^＝9.1. ∴线性回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1.∴当x ＝6时，y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．[点评] 本小题考查了对线性回归方程的理解及应用，求解的关键是明确线性回归方程必过样本中心点(x －，y －)，同时考查计算能力．二、填空题7．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：[答案] 99.9%[解析] 首先算得χ2≈11.377，然后查表可得概率．8．某小卖部为了了解热茶销售量y (杯)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：由表中数据算得线性回归方程y ＝bx ＋a 中的b ≈－2，预测当气温为－5℃时，热茶销售量为________杯(已知回归系数b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ＝y －b x )．[答案] 70[解析] 根据表格中的数据可求得x ＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14×(24＋34＋38＋64)＝40(杯)．∴a ＝y －－b x －＝40－(－2)×10＝60，∴y ^＝－2x ＋60， 当x ＝－5时，y ^＝－2×(－5)＋60＝70(杯)．9．某高校“初步统计”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：得到χ2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，因为χ2≥3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________．[答案] 5%[解析] 因为3.841<4.844<6.635，所以有95%的把握认为主修统计专业与性别有关，这种判断出错的可能性为5%.三、解答题10．(2013·重庆高考)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中，b ＝∑i ＝1n x i y i －n x －y－∑i ＝1n x 2i －n x －2，a ＝y －－b x －，其中x －，y －为样本平均值．线性回归方程也可写为 y ^＝b ^x ＋a ^.[解析] (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝2010＝2.又l xx ＝∑i ＝1nx 2i －nx －2＝720－10×82＝80，l xy ＝∑i ＝1n x i y i ＝n x －y －＝184－10×8×2＝24.由此得b ＝l xy l xx＝2480＝0.3，a ＝y －b x ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值B 随x 的值增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关．(3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).能力强化训练一、选择题1．在第29届奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居世界金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见．有网友为此进行了调查，在参加调查的2 548名男性公民中有1 560名持反对意见，2 452名女性公民中有1 200人持反对意见，在运用这些数据说明中国的奖牌是否与中国进入体育强国有无关系时用什么方法最有说服力( )A ．平均数与方差B ．回归直线方程C ．独立性检验D ．概率[答案] C[解析] 由于参加讨论的公民按性别被分成了两组，而且每一组又被分成了两种情况：认为有关与无关，故该资料取自完全随机统计，符合2×2列联表的要求，故用独立性检验最有说服力．2．已知数组(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)满足线性回归方程y ^＝bx ＋a ，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝bx ＋a ”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] (x 0，y 0)为这10组数据的平均值，又因为线性回归方程y ^＝bx ＋a 必过样本中心(x ，y )，因此(x ，y )外，可能还有其他样本点．二、填空题3．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．[答案] 0.5 0.53[解析] 本题主要考查线性回归方程以及运算求解能力．利用公式求系数利用回归方程统计实际问题．小李这5天的平均投篮命中率y ＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.45＝0.5，可求得小李这5天的平均打篮球时间x ＝3.根据表中数据可求得b ^＝0.01，a ^＝0.47，故回归直线方程为y ^＝0.47＋0.01x ，将x ＝6代入得6号打6小时篮球的投篮命中率约为0.53.4．某医疗研究所为了了解某种血清预防感冒的作用，把500名使用过血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得χ2≈3.918，经查临界值表知P(χ2≥3.841)≈0.05，则下列结论中，正确结论的序号是________．①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%.[答案]①[解析]因为χ2≈3.918≥3.841，则P(χ2≥3.814)≈0.05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆．三、解答题5．(2013·福建高考)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2P (χ2≥k )0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828(K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )) [解析] (1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B 1，B 2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝710.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：所以得K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝100×(15×25－15×45)260×40×30×70＝2514≈1.79.因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．6．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)[解析] (1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ＝y －b x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250.(2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1000＝－20(x －334)2＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定价为8.25元时，工厂可获得最大利润．。
【走向高考】高三数学一轮总复习 10-3变量间的相关关系课件 北师大版
(2)回归直线方程 回归直线方程 y＝a＋bx 中
i＝1
xi－ x yi－ y xi－ x 2
nnBiblioteka b＝i＝1i＝1
xiyi－n x y
2 － n x x2 i n
n
＝
i＝1
a＝ y －b x x1＋x2＋…＋xn y1＋y2＋…yn 其中 x ＝ ，y＝ n n
走向高考· 数学
北师大版 ·高考一轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第十章
统计、统计案例
第十章
第三节 变量间的相关关系
高考目标
3
课堂典例讲练
课前自主预习
4
思想方法点拨
5
课后强化作业
高考目标
考纲解读 1．会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图 认识变量间的相关关系． 2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程 系数公式建立线性回归方程．
3．(2012· 南昌模拟)某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/ 件)负相关，则其回归方程可能是( ^ A.y＝－10x＋200 ^ C.y＝－10x－200 )
^ B.y＝10x＋200 ^ D.y＝10x－200
[答案]
A
[解析]
因为销量与价格负相关，由函数关系考虑为减函
数，又因为 x，y 不能为负数，再排除 C，故选 A.
[答案] C
[解析]
回归直线必过点(4,5)，故其方程为 y－5＝1.23(x
－4)，即 y＝1.23x＋0.08，故选 C.
5． (2011· 辽宁理， 14)调查了某地若干户家庭的年收入 x(单 位：万元)和年饮食支出 y(单位：万元)，调查显示年收入 x 与 年饮食支出 y 具有线性相关关系， 并由调查数据得到 y 对 x 的 ^ 回归直线方程：y＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭 年收入每增加 1 万元，年饮食支出平均增加________万元．
【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固：第10章 第6节 排列与组合(理)
第十章 第六节一、选择题1．(2013·温州测试)甲、乙两人计划从A 、B 、C 三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有( )A ．3种B ．6种C ．9种D ．12种 [答案] B[解析] 甲、乙两人从A 、B 、C 三个景点中各选两个游玩，共有C 23·C 23＝9种，但两人所选景点不能完全相同，所以排除3种完全相同的选择，故有6种，选B.2．(2013·河北教学质量监测)有A 、B 、C 、D 、E 五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次．A 、B 两位学生去问成绩，老师对A 说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B 说：你是第三名．请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为( )A ．6B ．18C ．20D ．24[答案] B[解析] 由条件知，A 没得第一名和第三名，故A 的名次有C 13种可能，对于A 的每一种可能名次，C 、D 、E 有A 33种，∴共有C 13A 33＝18种． 3．(2014·云南统一检测)在一次学习方法成果交流会上，需要交流示范学校的5篇论文和非示范学校的3篇论文，交流顺序可以是任意的，则最先和最后交流的论文不能来自同一类学校的概率是( )A.1528B ．1328 C.1556D ．1356[答案] A[解析] 最先和最后交流的论文为示范学校论文的情况有A 25A 66种，最先和最后交流的论文为非示范学校论文的情况有A 23A 66种，故所求概率P ＝1－A 25A 66＋A 23A 66A 88＝1528. 4．(2014·安徽理)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对[答案] C [解析] 解法1：先找出正方体一个面上的对角线与其余面对角线成60°角的对数，然后根据正方体六个面的特征计算总对数．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与面对角线AC 成60°角的面对角线有B 1C ，BC 1，C 1D ，CD 1，A 1D ，AD 1，A 1B ，AB 1共8条，同理与BD 成60°角的面对角线也有8条，因此一个面上的对角线与其相邻4个面的对角线，共组成16对，又正方体共有6个面，所有共有16×6＝96对．因为每对都被计算了两次(例如计算与AC 成60°角时，有AD 1，计算与AD 1成60°角时有AC ，故AD 1与AC 这一对被计算了2次)，因此共有12×96＝48对．解法2：间接法．正方体的面对角线共有12条，从中任取2条有C 212种取法，其中相互平行的有6对，相互垂直的有12对，∴共有C 212－6－12＝48对．5．(2013·陕西检测)8名游泳运动员参加男子100米的决赛，已知游泳池有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的8条泳道，若指定的3名运动员所在的泳道编号必须是3个连续数字(如：5,6,7)，则参加游泳的这8名运动员被安排泳道的方式共有( )A ．360种B ．4320种C ．720种D ．2160种[答案] B[解析] 先从8个数字中取出3个连续的数字共有6种方法，若指定的3名运动员安排在这3个编号的泳道上，剩下的5名运动员安排在其他编号的5条泳道上，共有6A 33A 55＝4320种安排方式．6．(2014·广东理)设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为( )A ．60B ．90C ．120D ．130[答案] D[解析] 易知|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|＝1或2或3，下面分三种情况讨论．其一：|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|＝1，此时，从x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中任取一个让其等于1或－1，其余等于0，于是有C 15C 12＝10种情况；其二：|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|＝2，此时，从x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中任取两个让其都等于1或都等于－1或一个等于1、另一个等于－1，其余等于0，于是有2C 25＋C 25C 12＝40种情况；其三：|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|＝3，此时，从x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中任取三个让其都等于1或都等于－1或两个等于1、另一个等于－1或两个等于－1、另一个等于1，其余等于0，于是有2C 35＋C 35C 13＋C 35C 23＝80种情况．由于10＋40＋80＝130，故答案为D.二、填空题7．(2013·抚州模拟)从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中的系数A 、B 、C ，所得的经过坐标原点的直线有________条(用数字表示)．[答案] 30[解析] 因为直线过原点，所以C ＝0，从1,2,3,5,7,11这6个数中任取2个作为A 、B ，两数的顺序不同，表示的直线不同，所以直线的条数为A 26＝30.8．(2013·云南昆明一模)将4名新来的同学分配到A ，B ，C 三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A 班，那么不同的分配方案有________种．[答案] 24[解析] 将4名新来的同学分配到A 、B 、C 三个班级中，每个班级至少安排一名学生有C 24A 33种分配方案，其中甲同学分配到A 班共有C 23A 22＋C 13A 22种方案．因此满足条件的不同方案共有C 24A 33－C 23A 22－C 13A 22＝24(种)．9．(2013·武汉模拟)某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出，有________种不同的调度方法(填数字)．[答案] 120[解析] 先从其余的5辆车中选出2辆车执行任务，有C 25种选法，这4辆车所有可能开出的先后顺序有A 44种，其中甲在乙车前和后的一样多，故共有不同调度方法12C 25A 44＝120种． 10．(2014·浙江嘉兴月考)已知a ，b ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，u ＝log a b ，则u 的不同取值个数为________．[答案] 54[解析] 解法1：枚举法．要保证u 的取值不同，则有a ＝2时，b 可取1,2,3,4,5,6,7,8,9共9种情况；a ＝3时，b 可取2,4,5,6,7,8共6种情况；a ＝4时，b 可取2,3,5,6,7,8共6种情况；a ＝5时，b 可取2,3,4,6,7,8,9共7种情况；a ＝6时，b 可取2,3,4,5,7,8,9共7种情况；a ＝7时，b 可取2,3,4,5,6,8,9共7种情况；a ＝8时，b 可取2,3,4,5,6,7,9共7种情况．a ＝9时，b 可取2,5,6,7,8共5种情况．所以u 的不同取值个数为9＋6＋6＋7＋7＋7＋7＋5＝54.解法2：a 可取2～9的数字，有8种取法，b 可取1～9的数字，有9种取法，∴共有8×9＝72种不同取法．其中b ＝1时，log a b ＝0，这样的取法有8种，a ＝b 时，log a b ＝1，这样的取法有8种，又log 24＝log 39＝2，log 42＝log 93＝12，log 23＝log 49，log 32＝log 94， ∴log a b 的不同取值共有72－7－7－4＝54种.一、选择题11．(2013·深圳调研)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则首位为2的“六合数”共有( )A ．18个B ．15个C ．12个D ．9个 [答案] B[解析] 依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成3个数，分别为400、040、004；由3、1、0组成6个数，分别为310、301、130、103、013、031；由2、2、0组成3个数，分别为220、202、022；由2、1、1组成3个数，分别为211、121、112，共计：3＋6＋3＋3＝15个．12．(2014·洛阳统考)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有( )A ．30种B ．60种C ．90种D ．150种[答案] D[解析] 5名教师分成三组有：2,2,1；3,1,1两种分法，所以不同的分配方案有C 13C 25C 23＋C 35A 33＝150种．13．(2014·四川成都石室中学一诊)设三位数n＝100a＋10b＋c，若以a，b，c∈{1,2,3,4}为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有() A．12个B．24个C．28个D．36个[答案] C[解析]若为等边三角形，则有4种．若为等腰非等边三角形，以底边为准分类：若底边为1，则有3个等腰三角形；若底边为2，则有2个等腰三角形；若底边为3，则有2个等腰三角形；若底边为4，则有1个等腰三角形．一个等腰非等边三角形对应有3个三位数，所以共有4＋(3＋2＋2＋1)×3＝28个．14．(2014·四川德阳中学诊断)设集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{a1，a2，a3}，A⊆S，a1，a2，a3满足a1<a2<a3且a3－a2≤6，那么满足条件的集合A的个数为() A．76 B．78C．83 D．84[答案] C[解析]在集合S中任取三个数共有C3＝84种情况，这三个数大小关系确定，其中不满9足a3－a2≤6的只有{1,2,9}，其他均满足题意，所以满足条件的集合A的个数为C39－1＝83，故选C.15．(2015·深圳市五校联考)在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．则不同的搜寻方案有()A．40种B．70种C．80种D．100种[答案] A[解析]Grace不参与该项任务，则有C1C24＝30种；5Grace参与该项任务，则有C25＝10种，故共有30＋10＝40种．16．(2014·黑龙江大庆专项训练)设集合A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}，如果方程x2－mx－n＝0(m，n∈A)至少有一个根x0∈A，就称方程为合格方程，则合格方程的个数为() A．13 B．15C．17 D．19[答案] C[解析] 当m ＝0时，取n ＝0,1,4，方程为合格方程；当m ＝1时，取n ＝0,2,6，方程为合格方程；当m ＝2时，取n ＝0,3，方程为合格方程；当m ＝3时，取n ＝0,4，方程为合格方程；当m ＝4时，取n ＝0,5，方程为合格方程；当m ＝5时，n ＝0,6，方程为合格方程；当m ＝6时，取n ＝0,7，方程为合格方程；当m ＝7时，取n ＝0，方程为合格方程．综上可得，合格方程的个数为17，故选C.二、填空题17．(2014·合肥质量检测)某办公室共有6人，乘旅行车外出旅行，旅行车上的6个座位如图所示，其中甲、乙2人的关系较为密切，要求在同一排且相邻，则不同的安排方法有________种．○ ○ ○○ ○○[答案] 144[解析] 当甲、乙在第三排且相邻时有4A 44＝96种排法，当甲、乙在第二排且相邻时有A 22A 44＝48种排法，所以不同的安排方法总数为144.18．(2014·北京市海淀区期末)已知集合M ＝{1,2,3，…，100}，A 是集合M 的非空子集，把集合A 中的各元素之和记作S (A )．①满足S (A )＝8的集合A 的个数为________；②S (A )的所有不同取值的个数为________．[答案] 6 5050[解析] ①若S (A )＝8，则A ＝{8}，A ＝{1,7}，A ＝{2,6}，A ＝{3,5}，A ＝{1,2,5}和A ＝{1,3,4}，共6种可能．②若A ＝{1}，则S (A )＝1，当A ＝{1,2,3，…，100}时，S (A )＝1＋2＋3＋…＋100＝1012×100＝5050，下面证明任意给定1<m <5050，存在子集A 使得S (A )＝m ，若B 为M 的子集，S (B )＝i ，则S (綂M B )＝5050－i ，故只需说明任意给定1<m <2525，存在子集A 使得S (A )＝m ，当A ＝{1,2,3，…，72}时，S (A )＝732×72＝2628，同理只需证明给定1<m <1314，存在子集A 使得S (A )＝m ，当A ＝{1,2,3，…，51}时，S (A )＝522×51＝1326，同理只需说明给定1<m <663，以此类推，可以证明任意给定1<m <5050，存在子集A 使得S (A )＝m ，所以S (A )的不同取值为5050个．[点评] 1.排列、组合问题的类型及解答策略排列、组合问题，通常都是以选择题或填空题的形式出现在试卷上，它联系实际，生动有趣；但题型多样，解法灵活．实践证明，备考有效的方法是将题型与解法归类，识别模式、熟练运用．下面介绍常见排列组合问题的解答策略．(1)相邻元素捆绑法．在解决某几个元素必须相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个元素参与排列．①有七名同学站成一排照相，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有________种．[答案]192[分析]甲站正中间，左边、右边各3人，乙、丙相邻排列后作为一个“整体元素”，按这个整体元素的站位考虑有4种情况，其他位置可任意排列．[解析]依题意得，满足题意的不同站法共有4·A2·A44＝192种．2(2)相离问题插空法．相离问题是指要求某些元素不能相邻，由其他元素将它隔开，此类问题可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置，故称“插空法”．②(2013·郑州第一次质量预测)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有()A．12种B．18种C．24种D．48种[答案] C[解析]将甲、乙捆绑，与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列，有A2·A22种方法．而2后将丙、丁进行插空，有3个空，有A23种排法，故共有A22·A22·A23＝24种方法．(3)定序问题属组合．排列时，如果限定某些元素或所有元素保持一定顺序称为定序问题，定序的元素属组合问题．③6个人排一队参观某项目，其中甲、乙、丙三人进入展厅的次序必须是先乙，再甲，最后丙，则不同的列队方式有________种．[答案]120[解析]解法1：由于甲、乙、丙三人的次序已定，故只需从6个位置中选取3个排上其余3人，有A36种排法，剩下的三个位置排甲、乙、丙三人，只有一种排法，∴共有A36＝120种．解法2：先选取3个位置排甲、乙、丙三人有C36种方法，剩下3个位置站其余3人，有A33种方法，∴共有C36·A33＝120种．(4)定元、定位优先排．在有限制条件的排列、组合问题中，有时限定某元素必须排在某位置，某元素不能排在某位置；有时限定某位置只能排(或不能排)某元素．这种特殊元素(位置)解题时要优先考虑．④6位同学安排到3个社区A，B，C参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A社区，乙和丙同学均不能到C社区，则不同的安排方法种数为() A．12B．9C．6D．5[答案] B[解析]当乙、丙中有一人在A社区时有C1C13C22＝6种安排方法；当乙、丙两人都在B社2区时有C13C22＝3种安排方法，所以共有9种不同的安排方法．(5)至多、至少间接法．含“至多”、“至少”的排列组合问题，是需要分类问题．可用间接法，即排除法，但仅适用于反面情况明确且易于计算的情况．⑤从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有()A．36种B．30种C．42种D．60种[答案] A[解析]解法1(直接法)：选出的3名志愿者中含1名女生有C1·C26种选法，含2名女生有2C22·C16种选法，∴共有C12C26＋C22C16＝36种选法．解法2(间接法)：若选出的3名全是男生，则有C36种选法，∴至少有一名女生的选法数为C38－C36＝36种．(6)选排问题先选后排法．对于排列组合的混合应用题，一般解法是先选(组合)后排(排列)．⑥四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有________种(用数字作答)．[答案]144[解析]先从四个小球中取两个放在一起，有C2种不同的取法，再把取出的两个小球与另4外两个小球看作三堆，并分别放入四个盒子中的三个盒子中，有A34种不同的放法，据分步计数原理，共有C24·A34＝144种不同的放法．(7)部分符合条件淘汰法．在选取总数中，只有一部分符合条件，可从总数中减去不符合条件数，即为所求．⑦过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有()A．18对B．24对C．30对D．36对[答案] D[解析]三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C4－3＝12个不同四面体，而每个四面6体有三对异面直线，则共有12×3＝36对．(8)数字问题要弄清可否重复及首位不能为0.⑧用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A．324 B．328C．360 D．648[答案] B[解析]利用分类计数原理，共分两类：(1)0作个位，共A29＝72个偶数；(2)0不作个位，共A14·A18·A18＝256个偶数，共计72＋256＝328个偶数，故选B.2．建模思想⑨一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点O(0,0)出发，沿向上或向右方向爬至点(m，n)，(m，n∈N*)，记可能的爬行方法总数为f(m，n)，则f(m，n)＝________.[答案]C mm＋n[解析]从原点O出发，只能向上或向右方向爬行，记向上为1，向右为0，则爬到点(m，n)需m个0和n个1.这样爬行方法总数f(m，n)是m个0和n个1的不同排列方法数．m个0和n个1共占m＋n个位置，只要从中选取m个放0即可．∴f(m，n)＝C m m＋n.[点评](1)例如f(3,4)＝C3，其中0010111表示从原点出发后，沿右右上右上上上的路径7爬行．(2)抽象建模后就是一个含相同数字的纯粹排列组合问题．⑩方程x＋y＋z＝8的非负整数解的个数为________．[答案]45[解析]把x、y、z分别看作是x个1，y个1和z个1，则共有8个1，问题抽象为8个1和两个十号的一个排列问题．由于x、y、z非负，故允许十号相邻，如11＋＋111111表示x ＝2，y＝0，z＝6，＋11111111＋表示x＝0，y＝8，z＝0等等，∴不同排法总数为从10个位置中选取2个放十号，∴方程的非负整数解共有C210＝45个．⑪一条街道上共有12盏路灯，为节约用电又不影响照明，决定每天晚上十点熄灭其中的4盏，并且不能熄灭相邻两盏也不能熄灭两头两盏，问不同熄灯方法有多少种．[解析]记熄灭的灯为0，亮灯为1，则问题是4个0和8个1的一个排列，并且要求0不相邻，且不排在两端，故先将1排好，在8个1形成的7个空中，选取4个插入0，共有方法数C47＝35种．[点评]实际解题中，先找出符合题设条件的一种情形，然后选取一种替代方案，注意是否相邻、相间等受限条件，然后确定有无顺序是排列还是组合，再去求解．⑫如图，从上往下读(不能跳读)构成句子“构建和谐社会，创美好未来”的不同读法种数是()构建建和和和谐谐谐谐社社社社社会会会会会会创创创创创美美美美好好好未未来A．250 B．240C．252 D．300[答案] C[解析]要组成题设中的句子，则每行读一字，不能跳读．每一种读法须10步完成(从上一个字到下一个字为一步)，其中5步是从左上角到右下角方向读的，故共有不同读法C510＝252种．3．枚举法⑬如果直线a与b异面，则称a与b为一对异面直线，六棱锥的侧棱与底边共12条棱所在的直线中，异面直线共有________对．[答案]24[解析]六棱锥的侧棱都相交，底面六条边所在直线都共面，故异面直线只可能是侧棱与底面上的边．考察P A与底面六条边所在直线可用枚举法列出所有异面直线(P A，BC)，(P A，CD)，(P A，DE)，(P A，EF)共四对．同理与其它侧棱异面的底边也各有4条，故共有4×6＝24对．。
【走向高考】高考数学一轮总复习(目标导航+自主导学+典例讲解)第十章 统计、统计案例课件 北师大版
为了考查某校的教学水平，将抽查这个学校高三 年级的部分学生本年度的考试成绩．为了全面反映实际情况， 采取以下三种方式进行抽查(已知该校高三年级共有 20 个班， 并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校 每班学生的人数相同)： ①从高三年级 20 个班中任意抽取一个 班，再从该班中任意抽取 20 名学生，考察他们的学习成绩； ②每个班抽取 1 人，共计 20 人，考察这 20 名学生的成绩； ③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从其中共
2 又因为 s2 甲>s乙，说明甲战士射击情况波动大．因此乙战士
比甲战士射击情况稳定．
[方法总结] 平均数和方差都是重要的数字特征， 是对总 体一种简明的阐述．平均数、中位数、众数描述总体的集中 趋势，方差和标准描述波动大小.
频率分布直方图的问题
在育民中学举行的电脑知识竞赛中， 将九年级两 个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘 制如图所示的频率分布直方图． 已知图中从左到右的第一、 第 三、第四、第五小组的频率分别是 0.30,0.15,0.10,0.05，第二小 组的频数是 40.
走向高考· 数学
北师大版 ·高考一轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第十章
统计、统计案例
第十章
专 题 整 合
知识网络
题型归类
知识网络
题型归类
关于抽样方法的问题
抽样方法的本质就是研究如何从总体中抽取样本， 使所抽 取的样本能够更充分地反映总体的情况． 我们学习了三种抽样 方法，即简单随机抽样、系统抽样、分层抽样．
关于用样本估计总体的问题
Hale Waihona Puke 用样本估计总体， 主要包括用样本的频率分布估计总体的 分布，用样本的数字特征去估计总体的数字特征两部分内容， 这两部分是从不同角度对收集到的样本数据进行加工、整理， 并分析、 判断样本数据的分布状况和数字特征， 进而对总体进 行估计．
【走向高考】高三数学一轮复习 2-10函数模型及其应用课件 北师大版
点问题中的增长率、最优化问题．
2．多以解答题为主，考查建模能力，综合性强，属 中高档题．
知识梳理 1．几类函数模型 函数模型 一次函数模型 函数解析式 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1) f(x)＝blogax＋c 对数函数模型 (a，b，c为常数，a>0且a≠1) f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 幂函数模型
a(1＋x)5元
C．a＋(1＋x)5元 [答案] A [解析]
B．a(1＋x)6元
D．a(1＋x5)元
因为年利率按复利计算，所以到2012年7月1
日可取款a(1＋x)5.
5．鲁能泰山足球俱乐部准备为救助失学儿童在山东 省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票 2.4 万张，票价有30元、50元和80元三种，且票价30元和50元
把①代入③有x＝192－(50a＋30b)≤192－20 ＝132(万元)
5a＝3b 当且仅当 ab＝0.6
a＝0.6， 时等号成立，解得b＝1， c＝0.8.
由于y＝lg2x为增函数，即此时y也恰有最大值． 故三种门票分别为0.6,1,0.8万张时为失学儿童募捐纯 收入最大．
对每间客房，若有客住，则成本为80元；若空闲，则
成本为40元．要使此宾馆每天的住房利润最高，则每间客
房的定价大致应为 A．220元 B．200元 ( )
C．180元
[答案] C
D．160元
4．2007年7月1日某人到银行存入一年期款a元，若年 利率为x，按复利计算，则到2012年7月1日可取款 ( )
《2016届走向高考》高三数学一轮(人教A版)基础巩固第10章第9节随机变量的数字特征与正态分布(理)
第十章 第九节一、选择题1．(2014·吉林市质检)已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( )A ．0.954B ．0.977C ．0.488D ．0.477[答案] A[解析] P (ξ>2)＝0.023，由正态分布曲线的性质可知，P (－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954. 2．(2013·广州一模)已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10，0.6)，则E (η)，D (η)分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6 [答案] B[解析] ∵X ～B (10,0.6)，∴E (X )＝10×0.6＝6，D (X )＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4， ∴E (η)＝8－E (X )＝2，D (η)＝(－1)2D (X )＝2.4.3．(2014·东北三省二模)一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未击中9环或10环就以0环记．该运动员在练习时击中10环的概率为a ，击中9环的概率为b ，既未击中9环也未击中10环的概率为c (a ，b ，c ∈[0,1))，如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为9环，则当10a ＋19b取最小值时，c 的值为( )A ．111B ．211C ．511D ． 0 [答案] A[解析] 因为运动员射击一次击中环数的期望为9，所以有10a ＋9b ＝9，所以10a ＋19b ＝19(10a ＋19b )(9b ＋10a )＝19(90b a ＋10a 9b ＋101)≥1219.当且仅当90b a ＝10a9b 时取等号，即a ＝9b .与10a ＋9b ＝9联立可解得a ＝911，b ＝111.又因为a ＋b ＋c ＝1，所以c ＝111.4．(2013·白山联考)设随机变量X ～N (1,52)，且P (X ≤0)＝P (X ≥a －2)，则实数a 的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 [答案] A[解析] ∵X ～N (1,52)，P (X ≤0)＝P (X ≥a －2)，∴(a －2)＋02＝1，∴a ＝4. 5．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利( )A ．39元B ．37元C ．20元D ．1003元[答案] B[解析] ξ的分布列为∴E (ξ)＝50×0.6＋30×0.36．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a 、b 、c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a －b |的取值”，则ξ的数学期望E (ξ)为( )A ．89B ．35C ．25D ．13[答案] A[解析] ∵对称轴在y 轴左侧， ∴－b2a<0，∴ab >0，即a 与b 同号，∴满足条件的抛物线有2C 13C 13C 17＝126条．ξ的取值为0、1、2，P (ξ＝0)＝6×7126＝13，P (ξ＝1)＝8×7126＝49，P (ξ＝2)＝4×7126＝29.∴E (ξ)＝13×0＋49×1＋29×2＝89.二、填空题7．(2014·浙江)随机变量ξ的取值为0,1,2，若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.[答案] 25[解析] 设ξ＝1的概率为P .则E (ξ)＝0×15＋1×P ＋2(1－P －15)＝1，∴P ＝35.故D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝258．如果随机变量ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝4，且D (ξ)＝2，则E (pξ－D (ξ))＝________. [答案] 0[解析] ∵ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝4，∴np ＝4， 又∵D (ξ)＝2，∴np (1－p )＝2，∴p ＝12，∴E (pξ－D (ξ))＝E (12ξ－2)＝12E (ξ)－2＝0.9．甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、4个白球和2个黑球，先从甲罐中任意取出一球放入乙罐，再从乙罐中取出一球，则从乙罐中取出的球是白球的概率为________．[答案]2155[解析] 设从甲罐中取出红球、白球、黑球的事件分别为A 1、A 2、A 3，设从乙罐中取出白球的事件为B ，则P (A 1)＝12，P (A 2)＝15，P (A 3)＝310，所求概率P (B )＝P (A 1B )＋P (A 2B )＋P (A 3B )＝12×411＋15×511＋310×411＝2155.三、解答题10．(2013·海淀模拟)某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A 区投篮2次或选择在B 区投篮3次．在A 区每进一球得2分，不进球得0分；在B 区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A 区和B 区每次投篮进球的概率分别为910或13.(1)如果选手甲以在A 、B 区投篮得分的期望较高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择在哪个区投篮？(2)求选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率．[解析] (1)法一：设选手甲在A 区投两次篮的进球数为X ，则X ～B (2，910)，故E (X )＝2×910＝95， 则选手甲在A 区投篮得分的期望为2×95＝3.6.设选手甲在B 区投三次篮的进球数为Y ，则Y ～B (3，13)，故E (Y )＝3×13＝1，则选手甲在B 区投篮得分的期望为3×1＝3. ∵3.6>3，∴选手甲应该选择在A 区投篮．法二：设选手甲在A 区投篮的得分为ξ，则ξ的可能取值为0,2,4， P (ξ＝0)＝(1－910)2＝1100，P (ξ＝2)＝C 12×910×(1－910)＝18100， P (ξ＝4)＝(910)2＝81100.所以ξ的分布列为：∴E (ξ)＝0×1100＋2×18100＋4×81100＝3.6.同理，设选手甲在B 区投篮的得分为η，则η的可能取值为0,3,6,9， P (η＝0)＝(1－13)3＝827，P (η＝3)＝C 13×13×(1－13)2＝49， P (η＝6)＝C 23×(13)2(1－13)＝29， P (η＝9)＝(13)3＝127.所以η的分布列为：∴E (η)＝0×827＋3×49＋6×29＋9×127＝3.∵E (ξ)>E (η)，∴选手甲应该选择在A 区投篮．(2)设选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分为事件C ，甲在A 区投篮得2分、在B 区投篮得0分为事件C 1，甲在A 区投篮得4分、在B 区投篮得0分为事件C 2，甲在A 区投篮得4分、在B 区投篮得3分为事件C 3，则C ＝C 1∪C 2∪C 3，其中C 1，C 2，C 3为互斥事件．则：P (C )＝P (C 1∪C 2∪C 3)＝P (C 1)＋P (C 2)＋P (C 3)＝18100×827＋81100×827＋81100×49＝4975，故选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率为4975.一、解答题11．(2013·福州模拟)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ.(1)求ξ的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？[解析] (1)由于1件产品的利润为ξ，则ξ的所有可能取值为6,2,1，－2，由题意知P (ξ＝6)＝126200＝0.63，P (ξ＝2)＝50200＝0.25，P (ξ＝1)＝20200＝0.1，P (ξ＝－2)＝4200＝0.02.故ξ的分布列为(2)12)×0.02＝4.34(万元)． (3)设技术革新后三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为E (ξ)＝6×0.7＋2×(1－0.7－x －0.01)＋1×x ＋(－2)×0.01＝4.76－x .由E (ξ)≥4.73，得4.76－x ≥4.73， 解得x ≤0.03，所以三等品率最多为3%.12．(2014·贵州黔东南月考)有甲、乙、丙、丁、戊五位工人参加技能竞赛培训．现分别从甲、乙两人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次，用茎叶图表示这两组数据如图所示.(1)认为派哪位工人参加合适？请说明理由．(2)若将频率视为概率，对甲工人在今后3次的竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为X ，求X 的分布列及期望E (X )．[解析] (1)派甲工人参加比较合适． 理由如下：x －甲＝16(78＋79＋81＋84＋93＋95)＝85，x －乙＝16(75＋80＋83＋85＋92＋95)＝85.s 2甲＝16[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(84－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝1333， s 2乙＝16[(75－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝1393. 因此x －甲＝x －乙，s 2甲<s 2乙，所以甲、乙两人的成绩相当，但是甲的成绩较乙更为稳定，派甲参加较为合适． (2)记“甲工人在一次竞赛中成绩高于80分”为事件A ，则P (A )＝46＝23.由题意知：X ～B (3，23)，且P (X ＝k )＝C k 3(23)k (13)3－k，k ＝0,1,2,3. 所以X 的分布列为故E (X )＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2.(或E (X )＝np ＝3×23＝2)13．(2013·四川理，18)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)当n ＝2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．[解析] (1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能． 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16. (2)当n ＝2100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率如下：(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3. P (ξ＝0)＝C 03×(13)0×(23)3＝827， P (ξ＝1)＝C 13×(13)1×(23)2＝49， P (ξ＝2)＝C 23×(13)2×(23)1＝29， P (ξ＝3)＝C 33×(13)3×(23)0＝127， 故ξ的分布列为所以，Eξ＝0×827＋1×49＋2×29＋3×127＝1.即ξ的数学期望为1.14．(2014·新课标Ⅰ理)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差S 2(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求p (187.8<Z <212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求EX .附：150≈12.2.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.9544.[分析] (1)利用x －＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 求x －，利用s 2＝(x 1－x －)2p 1＋(x 2－x －)2p 2＋…＋(x n－x －)2p n ，求s 2.(2)①由(1)可知N (μ，σ2)，将P (187.8<Z <212.2)进行转化，利用3σ原则求解．②由①可知一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为p ，则100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数X 服从二项分布B (100，p )，则由E (X )＝100p 可求E (X )．[解析] (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2分别为x ＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z ～N (200,150)，从而P (187.8<Z <212.2)＝P (220－12.2<Z <200＋12.2)＝0.6826.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.6826， 依题意知X ～B (100,0.6826)，所以EX ＝100×0.6826＝68.26.。
【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固：第10章 第7节 二项式定理(理)
第十章第七节一、选择题1．(2013·衡水模拟)(2－x)8展开式中不含x4项的系数的和为()A．－1B．0C．1D．2[答案] B[解析]展开式中所有各项系数的和为(2－1)8＝1，其中x4项的系数为1，∴选B.2．(2014·甘肃省三诊)已知a为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式(a x－1 x )6的展开式中含x2项的系数是()A．192 B．32C．96 D．－192 [答案] D[解析]由程序框图可知，a＝2，∴(2x－1x)6中的通项T r＋1＝(－1)r C r6(2x)6－r(1x)r＝(－1)r26－r C r6x3－r，令3－r＝2，∴r＝1，∴x2的系数为－25×6＝－192.3．(2014·烟台模拟)在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x4的系数是()A．25 B．35C．45 D．55[答案] D[解析]二项式(1＋x)5中x4的系数为C45，二项式(1＋x)6中x4的系数为C46，二项式(1＋x)7中x4的系数为C47，故(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中x4的系数为C45＋C46＋C47＝C58－1＝55，故选D.4．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12[答案] A[解析] 本题考查二项展开式的应用．512012＝(52－1)2012＝C 020********－C 12012522011＋C 22012522010＋…＋C 20112012×52×(－1)2011＋C 20122012×(－1)2012，若想被13整除需加12，∴a ＝12.5．(2014·海南省六校联盟联考)使得(3x 2＋2x 3)n (n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n ＝( )A ．3B ．5C ．6D ．10[答案] B[解析] T r ＋1＝C r n (3x 2)n －r ·(2x 3)r ＝2r 3n －r C r n x 2n －5r ，当r ＝2时，n ＝5，故选B. 6．(2013·广东江门调研)二项式(ax －36)3的展开式的第二项的系数为－32，则⎠⎛a －2x 2d x 的值为( )A ．3B ．73C ．3或73D ．3或－103[答案] C[解析] 二项式(ax －36)3的展开式的第二项为 T 2＝C 13(ax )2(－36)＝－32a 2x 2， ∴a 2＝1，即a ＝±1.则⎠⎜⎛－2－1x 2d x ＝13x 3|－1－2＝73，⎠⎛1－2x 2d x ＝13x 3|1－2＝3，故选C. 二、填空题7．(2015·深圳市五校联考)若二项式(1x ＋2x )n (n ∈N *)的展开式中的第5项是常数项，则n＝________.[答案] 6[解析] 二项式(1x ＋2x )n (n ∈N *)的展开式中的第5项是C 4n (1x )n －4(2x )4＝C 4n ×24×x 6－n，∴6－n ＝0，∴n ＝6.8．(2013·湖南师大附中月考)(x －1x )6的展开式中，系数最大的项为第________项．[答案] 3或5[解析] (x －1x )6的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，又中间项的二项式系数最大，中间项为第4项其系数为负，则第3,5项系数最大．9．(2014·辽宁省协作校联考)已知(x ＋12x )n的展开式中前三项的系数成等差数列，则n ＝________.[答案] 8[解析] 展开式中前三项系数分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2n ，由题意得n ＝C 0n ＋14C 2n，∴n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8.10．(2014·山西重点中学四校联考)如果(2x －1)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，那么a 1＋a 2＋…＋a 6的值等于________．[答案] 0[解析] 令x ＝1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝(2－1)6＝1，又a 0＝1，∴a 1＋a 2＋…＋a 6＝0.一、选择题11．(2014·天津南开区二模)若(x －1111)n的展开式中第三项系数等于6，则n 等于( ) A ．4 B ．8 C ．12 D ．16[答案] C [解析]T 3＝C 2n xn －2(－1)2·(1111)2，由题意知C 2n11＝6，解得n ＝12. 12．(2013·新课标Ⅰ理，9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] B[解析]由题意可知，a ＝C m 2m ，b ＝C m2m ＋1，又∵13a ＝7b ，∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！m ！(m ＋1)！，即137＝2m ＋1m ＋1.解得m ＝6.故选B. 13．(2013·南昌一模)(3y ＋x )5展开式的第三项为10，则y 关于x 的函数图象的大致形状为( )[答案] D[解析] 由题意得C 25(3y )5－2(x )2＝10，∴xy ＝1，x >0，y >0，∴y ＝1x ，x >0.故选D. 14．若(x ＋y )9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy <0，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，15)B ．[45，＋∞)C ．(－∞，－45]D ．(1，＋∞)[答案] D[解析] 二项式(x ＋y )9的展开式的通项是T r ＋1＝C r 9·x 9－r ·y r .依题意有⎩⎨⎧C 19·x 9－1·y ≤C 29·x 9－2·y 2，x ＋y ＝1，xy <0.由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 8·(1－x )－4x 7·(1－x )2≤0，x (1－x )<0.由此解得x >1，即x 的取值范围是(1，＋∞)，选D.15．(2014·哈三中二模)已知二项式(2x －1x)n展开式中的第5项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为( )A ．1B ．32C ．64D ．128[答案] C[解析] T 5＝C 4n (2x )n －4·(－1x)4＝2n －4C 4n x n －6为常数项，∴n ＝6，∴二项式系数之和为26＝64.二、填空题16．(2014·天津河西区一模)已知a ＝∫π20(－cos x )d x ，则二项式(x 2＋ax )5的展开式中x 的系数为________．[答案] －10[解析] 本题考查二项式定理与定积分的综合应用，属容易题． a ＝∫π20(－cos x )d x ＝－sin x |π20＝－1，∴(x 2－1x )5展开式中含x 的项为T 4＝C 35(x 2)2·(1x)3·(－1)3＝－10. 17．(2013·陕西榆林期末)若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________.[答案] 364[解析] 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36； 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1， ∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12；令x ＝0，则a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364.18．(2015·天津和平区二模)若二项式(x 2－2x )n 的展开式中第5项是常数项，则中间项的系数为________．[答案] －160[解析] T r ＋1＝C r n x 2(n －r )(－1)r ·2r ·x －r ＝(－1)r ·2r C r n x2n －3r ， 当r ＝4时，2n －3r ＝0，则n ＝6，∴中间项为第4项，其系数为T 4＝C 36(－1)3·23＝－160.。
【走向高考】高三数学一轮复习 2-10同步练习 北师大版
第2章 第10节一、选择题1．(教材改编题)等边三角形的边长为x ，面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式为( ) A ．y ＝x 2B ．y ＝12x 2C ．y ＝32x 2D ．y ＝34x 2 [答案] D[解析] y ＝12·x ·x ·sin60°＝34x 2.2．(2011长春模拟)某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8m ，两侧距地面3m 高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6m ，如图所示，则厂门的高为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1m)( )A ．6.9mB ．7.0mC ．7.1mD ．6.8m[答案] A[解析] 建立如图所示的坐标系，于是由题设条件知抛物线的方程为y ＝ax 2(a <0)． 设点A 点的坐标为(4，－h )，则C (3,3－h )．将这两点的坐标代入y ＝ax 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－h ＝a ·42，3－h ＝a ·32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－37，h ＝487≈6.9.所以厂门的高约为6.9m.3．某文具用品店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每只定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一只羽毛球；②按总价的92%付款．某人计划购买4副球拍，羽毛球30只，两种优惠方法中，更省钱的一种是( )A．不能确定B．①②同样省钱C．②省钱D．①省钱[答案] D[解析] ①种方法需20×4＋5×(30－4)＝210元，②种方法需(20×4＋5×30)×92%＝211.6元．故①种方法省钱．4．某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻t(单位：分)与细胞数n(单位：个)的部分数据如下：( )A．200 B．220C．240 D．260[答案] A[解析] 由表格中所给数据可以得出n与t的函数关系为n＝2t20，令n＝1000，得2t20＝1000，又210＝1024，所以时刻t最接近200分．5．(2011·商丘一模)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A．45.606 B．45.6C．45.56 D．45.51[答案] B[解析] 依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，∴总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．∴当x＝10时，S max＝45.6(万元)．6．某市2008年新建住房100万平方米，其中有25万平方米经济适用房，有关部门计划以后每年新建住面积比上一年增加5%，其经济适用房每年增加10万平方米．按照此计划，当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是(参考数据：1.052＝1.10,1.053＝1.16,1.054＝1.22,1.055＝1.28)( )A ．2010年B ．2011年C ．2012年D ．2013[答案] C[解析] 设第n 年新建住房面积为a n ＝100(1＋5%)n，经济适用房面积为b n ＝25＋10n ，由2b n >a n 得：2(25＋10n )>100(1＋5%)n利用已知条件解得n >3，所以在2012年时满足题意．7．某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的．奖励公式为f (n )＝k (n )(n －10)，n >10(其中n 是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f (n )的单位为元)，而k (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ≤10，100，10<n ≤15，200，15<n ≤20，300，20<n ≤25，400，n >25.现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分．则乙所得奖励比甲所得奖励多( )A ．600元B ．900元C ．1600元D ．1700[答案] D[解析] ∵k (18)＝200(元)， ∴f (18)＝200×(18－10)＝1600(元)． 又∵k (21)＝300(元)，∴f (21)＝300×(21－10)＝3300(元)， ∴f (21)－f (18)＝3300－1600＝1700(元)．8．(2011·长沙质检)某医院经调查发现：当还未开始挂号时，有N 个人已经在排队等候挂号；开始挂号后，排队的人平均每分钟增加M 个．假定挂号的速度是每个窗口每分钟K 个人．当开放1个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象．当同时开放2个窗口时，15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求8分钟不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少有( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个[答案] A[解析] 当开放一个窗口时，N ＋40M ＝40K ；① 当开放两个窗口时，N ＋15M ＝30K .②由①、②得N ＝60M ，K ＝52M .设8分钟后不出现排队现象需同时开放x 个窗口， 则N ＋8M ≤8x ·K ，∴60M ＋80M ≤8x ·52M ，即68M ≤20Mx .∴x ≥3.8，又∵x ∈N *， ∴至少需同时开放4个窗口． 二、填空题9．如图，书的一页的面积为600cm 2，设计要求书面上方空出2cm 的边，下、左、右方都空出1cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．[答案] 30cm,20cm[解析] 设书的长为a ，宽为b ，则ab ＝600，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S max ＝486.10．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，则现在价格为8100元的计算机经过15年的价格应降为________元．[答案] 2400[解析] 设经过3个5年，产品价格为y ，则y ＝8100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝8100×827＝2400(元)．11．(2011·南京模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k 是单位产品数Q 的函数，k (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．[答案] 2500[解析] 总利润L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2500.故当Q ＝300时，总利润最大，为2500万元．三、解答题12．据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图像如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h)内沙尘暴所经过的路程s (km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．[分析] 认真审题，准确理解题意，建立函数关系． [解析] (1)由图像可知，当t ＝4时，v ＝3×4＝12， ∴s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2，当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t2＋70t －550.综上可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2， t ∈[0，10]，30t －150， t ∈，20]，－t 2＋70t －550， t ∈，35].(3)∵t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650.t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650.∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650. 解得t 1＝30，t 2＝40，∵20<t ≤35，∴t ＝30， 所以沙尘暴发生30h 后将侵袭到N 城．13．某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值．[解析] 设每个提价为x 元(x ≥0)，利润为y 元，每天销售总额为(10＋x )(100－10x )元，进货总额为8(100－10x )元，显然100－10x >0，即x <10，则y ＝(10＋x )(100－10x )－8(100－10x ) ＝(2＋x )(100－10x )＝－10(x －4)2＋360(0≤x <10)．当x ＝4时，y 取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元．14．某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台，需要增加可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售收入函数为R (x )＝5x －x 22(万元)(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量(单位：百台)．(1)把利润表示为年产量的函数； (2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？ (3)年产量是多少时，工厂才不亏本？[解析] (1)当x ≤5时，产品能售出x 台；当x >5时，只能售出5百台，故利润函数为L (x )＝R (x )－C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎫5x －x 22－＋0.25x x ⎝ ⎛⎭⎪⎫5×5－522－＋0.25xx即L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4.75x －x 22－0.5x 12－0.25xx(2)当0≤x ≤5时，L (x )＝4.75x －x 22－0.5，当x ＝4.75时，L (x )max ＝10.78125万元． 当x >5时，L (x )<10.75. ∴生产475台时利润最大． (3)由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤54.75x －x 22－0.5≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x >512－0.25x ≥0得，0.1≤x ≤5或5<x ≤48，∴产品年产量在10台到4800台时，工厂不亏本．15．某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为 1.5元，每次购买原材料需支付运费600元．每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400公斤不需要保管)．(1)设该厂每x 天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x 天内总的保管费用y 1(元)关于x 的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y (元)最少，并求出这个最小值．[解析] (1)每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不需要保管，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需保管3天，…，第x 天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管x －1天．∴每次购买的原材料在x 天内的保管费用为y 1＝400×0.03[1＋2＋3＋…＋(x －1)]＝6x 2－6x .(2)由(1)可知，购买一次原材料的总的费用为6x 2－6x ＋600＋1.5×400x ＝6x 2＋594x ＋600(元)，∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为y ＝600x＋6x ＋594＝2600x·6x ＋594＝714.当且仅当600x＝6x ，即x ＝10时，取得等号．∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最少，最少费用为714元．教师备课平台(一)数学思想与方法一、待定系数法在求解函数解析式中的应用要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f (x )＝g (x )的充要条件：对于一个任意的a 值，都有f (a )＝g (a )；或者两个多项式各同类项的系数对应相等．待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解．例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解．[例1] 已知二次函数f (x )满足：对任意实数x 都有f (x )≥x ，且当x ∈(1,3)时，有f (x )≤18(x ＋2)2成立．(1)求证：f (2)＝2；(2)若f (－2)＝0，求f (x )的表达式；(3)设g (x )＝f (x )－m 2x ，x ∈[0，＋∞)，若g (x )图像上的点都位于直线y ＝14的上方，求实数m 的取值范围．[分析] 本题的突破在于设出二次函数的一般式，根据已知条件列出关于参数a ，b ，c 的方程或其他关系式来求解．[解析] (1)证明：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，b ，c ∈R )， 由条件知f (2)＝4a ＋2b ＋c ≥2恒成立．当取x ＝2时，f (2)＝4a ＋2b ＋c ≤18(2＋2)2＝2恒成立，∴f (2)＝2.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝2，4a －2b ＋c ＝0，∴4a ＋c ＝2b ＝1，∴b ＝12，c ＝1－4a ，又f (x )≥x 恒成立，即ax 2＋(b －1)x ＋c ≥0恒成立，∴a >0，Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12－4a (1－4a )≤0，即⎝⎛⎭⎪⎫4a －122≤0， ∴a ＝18，∴c ＝1－4a ＝12.∴f (x )＝18x 2＋12x ＋12.(3)由分析条件知道，只要f (x )图像(在y 轴右侧)总在直线y ＝m 2x ＋14上方即可，也就是直线的斜率m2小于直线与抛物线相切时的斜率位置．于是⎩⎪⎨⎪⎧y ＝18x 2＋12x ＋12，y ＝m 2x ＋14.利用相切时Δ＝0，解得m ＝1＋22，∴m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1＋22. 另解：g (x )＝18x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－m 2x ＋12>14在x ∈[0，＋∞)上恒成立，即x 2＋4(1－m )x ＋2>0在x ∈[0，＋∞)上恒成立， ①Δ<0，即[4(1－m )]2－8<0， 解得1－22<m <1＋22； ②⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－－m ，f，解得m ≤1－22. 总之，m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1＋22. 二、数形结合思想在解决函数问题中的应用一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了．[例2] 若方程lg(－x 2＋3x －m )＝lg(3－x )在x ∈(0,3)内有唯一解，求实数m 的取值范围．[分析] 将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决．[解析] 原方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，－x 2＋3x －m ＝3－x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x <3，x －2＝1－m .设曲线y 1＝(x －2)2，x ∈(0,3)和直线y 2＝1－m ，图像如图所示．由图可知：①当1－m ＝0时，有唯一解，m ＝1； ②当1≤1－m <4时，有唯一解，即－3<m ≤0， ∴m ＝1或－3<m ≤0，此题也可设曲线y 1＝－(x －2)2＋1，x ∈(0,3)和直线y 2＝m 后画出图像求解． 三、函数与方程的思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组 )来使问题获解．有时，还通过函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的．[例3] 设不等式 2x －1>m (x 2－1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立．求x 的取值范围．[分析] 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x 的不等式讨论．然而，若变换一个角度以m 为变量，即关于m 的一次不等式(x 2－1)m －(2x －1)<0在[－2,2]上恒成立的问题．即不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题．设f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)，则问题转化为求一次函数(或常数函数)f (m )的值在[－2,2]内恒为负值时参数x 应该满足的条件⎩⎪⎨⎪⎧f ，f－[解析] 问题可变成关于m 的一次不等式：(x 2－1)m －(2x －1)<0在[－2,2]上恒成立，设f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)，则⎩⎪⎨⎪⎧f＝x 2－－x －，f －＝－x 2－－x －，解得x ∈⎝⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12.四、分类整合思想分类讨论思想在本板块中有突出的体现，指数函数、对数函数中对底数a 的讨论尤其是重点，而在幂函数中对幂指数的正负的讨论也常有应用．[例4] 是否存在实数a ，使函数f (x )＝log a (ax 2－x )在区间 [2,4]上是增函数，若存在，说明a 可取哪些值；若不存在，说明理由．[解析] 设g (x )＝ax 2－x ，(1)当a >1时，要使函数f (x )在[2,4]上是增函数， 则g (x )在[2,4]上也是增函数则有12a ≤2且g (2)＝4a －2>0，解得a >12，∴a >1.(2)当0<a <1时，g (x )在[2,4]上必为减函数， 则有12a≥4且g (4)＝16a －4>0，无解．故a >1时，函数f (x )＝log a (ax 2－x )在区间[2,4]上是增函数． 五、转化与化归思想转化与化归思想是中学重要的数学思想，如把对数式与指数式进行必需的转化，把指数或对数问题通过换元转化为二次函数或二次方程的问题等，其作用就是能将复杂的问题进行分解、化归为简单易求的问题．[例5] 当x ∈[－1,1]时，若22x －1<ax ＋1(a >0)恒成立，试求实数a 的取值范围．[分析] 如果直接求解，则需要讨论a 与2的大小关系，而这里x 又是区间[－1,1]上的变量，因此，讨论将变得复杂；如若能借助指数式与对数式之间的关系，则会将问题转化为一次函数，问题便迎刃而解．[解析] 22x －1<a x ＋1⇒(2x －1)lg2<(x ＋1)lg a ⇒x ·lg 4a－lg(2a )<0.设f (x )＝x lg 4a －lg(2a )，由x ∈[－1,1]时，f (x )<0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧f，f－，即⎩⎪⎨⎪⎧lg 4a－a ，－lg 4a －a，解得a > 2.故实数a 的取值范围是(2，＋∞)． 六、抽象函数问题若题目中给出了抽象函数满足的关系式，在处理这类抽象函数的问题时，一般地，应将所给的关系式看作给定的运算法则，对某些变量进行适当的赋值，并且变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联．对某些变量进行适当的赋值是一般向特殊转化的必要手段．[例6] 函数f (x )对任意x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，并且x >0时，f (x )>1. (1)求证：f (x )在R 上是增函数；(2)若不等式f (a 2＋a －5)<2的解集为{a |－3<a <2}，求f (2012)的值．[分析] 对于抽象函数问题，特殊值的代入是问题的突破口，利用题目中所给关系式是问题的着手点．[解析] (1)证明：设x 1<x 2，x 1、x 2∈R ， ∴x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)>1. ∵f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1] ＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)－1>f (x 1)． ∴函数f (x )在R 上是增函数． (2)∵f (a 2＋a －5)<2，设f (m )＝2， ∴f (a 2＋a －5)<f (m )， ∵f (x )在R 上是增函数，∴a 2＋a －5－m <0，又其解集为－3<a <2， ∴－3×2＝－5－m ，∴m ＝1，即f (1)＝2.令x ＝n (n ∈N *)，y ＝1.∴f (n ＋1)＝f (n )＋f (1)－1＝f (n )＋1.∴数列{f (n )}是以f (1)＝2为首项，公差d ＝1的等差数列． ∴f (2012)＝f (1)＋(2012－1)×1＝2013. (二)对抽象函数周期问题的综合探究抽象函数已逐渐成为近年高考热点，确定函数的周期是一大难点，须充分运用题目条件，寻找问题的切入点，本专题谈谈确定抽象函数周期的几种类型．重点谈以下几类问题：对于函数f (x )，如果对于定义域中的任意x ，(1)函数值之和等于零型；(2)函数图像有x ＝a ，x ＝b 两条对称轴型；(3)函数值互为倒数或负倒数型；(4)分式递推型．一、函数值之和等于零型即函数f (x )满足f (x ＋a )＋f (x ＋b )＝0(a ≠b )．对于定义域中任意x 满足f (x ＋a )＋f (x ＋b )＝0(a ≠b )，即f (x ＋a )＝－f (x ＋b )，则f (x ＋2a )＝f ((x ＋a )＋a )＝－f ((x ＋a )＋b )＝－f ((x ＋b )＋a )＝f ((x ＋b )＋b )，即f (x ＋2a )＝f (x ＋2b )＝f ((x ＋2a )＋2b －2a )，等价于f (x ＋2b －2a )＝f (x )，故函数f (x )的周期T ＝2(b－a )．[例1] 设函数f (x )是R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图像关于直线x ＝12对称，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)等于________．[解析] y ＝f (x )的图像关于直线x ＝12对称，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x (*) 函数f (x )是R 上的奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋x . (*)式即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋x ＝0，b ＝12，a ＝－12，f (x )的周期T ＝2(b －a )＝2.在(*)式中令x ＝12可得f (1)＝f (0)＝0，利用函数的周期为2，则f (0)＝f (2)＝f (4)＝0＝f (1)＝f (3)＝f (5)， 因此，f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝0. [答案] 0二、函数图像有x ＝a ，x ＝b (a ≠b )两条对称轴型函数图像有x ＝a ，x ＝b 两条对称轴，即f (x ＋a )＝f (a －x )，f (x ＋b )＝f (b －x )，改写为f (x ＋a )＝f (a －x )＝f (b －(x －a ＋b ))＝f (b ＋(x －a ＋b ))＝f (x ＋2b －a )，即f (x ＋a )＝f ((x＋a )＋2b －2a )，等价于f (x ＋2b －2a )＝f (x )，周期T ＝2(b －a )．[例2] 函数f (x )在(－∞，＋∞)上满足关系式f (2＋x )＝f (2－x )，f (7＋x )＝f (7－x )，且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0.(1)判断函数y ＝f (x )的奇偶性；(2)求方程f (x )＝0在闭区间[－2005,2005]上根的个数，并证明你的结论． [解析] (1)函数f (x )满足⎩⎪⎨⎪⎧f ＋x ＝f －x f ＋x ＝f－x(*)则f (x )的图像有x ＝2，x ＝7两条对称轴，f (x )在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0， 而f (0)≠0，f (7)≠0，故函数f (x )不是奇函数； 由对称性知由f (1)＝f (3)＝0得f (11)＝f (13)＝0，且f (－7)＝f (－9)＝0，由f (－7)＝0而f (7)≠0可得函数f (x )不是偶函数； 因此函数y ＝f (x )是非奇非偶函数． (2)由(*)式还可以表示为f (x )＝f (4－x )，f (x )＝f (14－x )，由f (4－x )＝f (14－x )可知函数f (x )的周期T ＝10(或直接利用上面的结论a ＝2，b ＝7，T ＝2(b －a )＝10)．f (x )在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0，f (11)＝f (13)＝0，f (－7)＝f (－9)＝0，且周期T ＝10，故方程f (x )＝0在闭区间[0,10]和[－10,0]上都有两个解(分别为1,3和－7，－9)， 从而方程f (x )＝0在闭区间[0,2005]上有402个解， 在闭区间[－2005,0]上有400个解．所以在闭区间[－2005,2005]上根的个数为802个． 三、两个函数值之积等于±1，即函数值互为倒数或负倒数型若f (x ＋a )·f (x ＋b )＝1(a ≠b )，显然f (x ＋a )≠0，f (x ＋b )≠0，则f (x ＋a )＝1fx ＋b，即f ((x ＋a )＋a )＝1f x ＋a ＋b＝1fx ＋b ＋a，而f ((x ＋b )＋a )＝1fx ＋b ＋b ，因此f ((x ＋a )＋a )＝1f x ＋b ＋a＝f ((x ＋b )＋b )＝f ((x ＋2a )＋2b－2a )，即f (x ＋2a )＝f ((x ＋2a )＋2b －2a )，函数f (x )的周期T ＝2(b －a )；同理可证，若函数f (x )满足f (x ＋a )·f (x ＋b )＝－1(a ≠b )，则周期T ＝2(b －a )．[例3] 已知函数f (x )是R 上的偶函数，且f (x ＋2)·f (x )＝1，f (x )>0恒成立，则f (119)的值等于________．[解析] 由f (x ＋2)·f (x )＝1可知f (x ＋4)＝1f x ＋＝f (x )，函数f (x )的周期为4，f (119)＝f (4×30－1)＝f (－1)， 函数f (x )是R 上的偶函数且f (x )>0， 则f (－1)＝f (1)，在f (x ＋2)·f (x )＝1中，令x ＝－1得f (－1)·f (1)＝f 2(－1)＝1，f (119)＝1. [答案] 1四、分式递推型，即函数f (x )满足f (x ＋a )＝1＋f x ＋b1－f x ＋b(a ≠b )由f (x ＋a )＝1＋f x ＋b 1－f x ＋b (a ≠b )，则f (x ＋a ＋a )＝1＋f x ＋a ＋b1－f x ＋a ＋b (*)，f (x ＋a ＋b )＝f ((x ＋b )＋a )＝1＋f x ＋b ＋b 1－fx ＋b ＋b ，代入(*)式得f (x ＋2a )＝－1f x ＋2b，即f (x ＋2a )·f (x ＋2b )＝－1，由上面的类型三，求出周期T ＝4(b －a )．[例4] 已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上满足关系式f (x ＋2)＝1＋f x1－f x .若f (0)＝2＋3，则f (2012)等于________．[解析] 由题意f (x ＋2＋2)＝1＋f x ＋1－f x ＋(*)将f (x ＋2)＝1＋f x1－f x代入(*)式整理得f (x ＋4)＝1－fx，所以f (x ＋8)＝1－fx ＋＝f (x )，函数f (x )的周期为8.f (2012)＝f (251×8＋4)＝f (4)． f (4)＝1－f＝－12＋3＝3－2， ∴f (2012)＝3－2. [答案] 3－2。
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第十章 第二节一、选择题1．把样本容量为20的数据分组，分组区间与频数如下：[10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，4；[40,50)，5；[50,60)；4；[60,70]，2，则在区间[10,50)上的数据的频率是( )A ．0.05B ．0.25C ．0.5D ．0.7[答案] D[解析] 由题知，在区间[10,50)上的数据的频数是2＋3＋4＋5＝14，故其频率为1420＝0.7. 2．某厂10名工人在一个小时内生产零件的个数分别是15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设该组数据的平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >a >bD ．c >b >a[答案] D[解析] 把该组数据按从小到大的顺序排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，其平均数a ＝110×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，中位数b ＝15＋152＝15，众数是c ＝17，则a <b <c ，选D ．3．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13,14,19，x,23,27,28,31，其中，中位数为22，则x 等于( )A ．21B ．22C ．23D ．20[答案] A[解析] 因为样本数据个数为偶数，中位数为x ＋232＝22，故x ＝21.4．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：A ．0.13B ．0.39C ．0.52D ．0.64[答案] C[解析] 由列表可知样本数据落在 (10,40]上的频数为52，故其频率为0.52.5．(2014·山东高考)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．6B ．8C ．12D ．18[答案] C[解析] 第一、二两组的频率为0.24＋0.16＝0.4 ∴志愿者的总人数为200.4＝50(人)．第三组的人数为：50×0.36＝18(人) 有疗效的人数为18－6＝12(人)6．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 [答案] C[解析] 本题考查了数理统计中的平均数、中位数、方差、极差及条形图等问题．x －甲＝15(4＋5＋6＋7＋8)＝6，x －乙＝15(5×3＋6＋9)＝6，甲的成绩的方差为15(22×2＋12×2)＝2，乙的成绩的方差为15(12×3＋32×1)＝2.4.故选C ．二、填空题7．为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图所示)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为，第2小组的频数为12，则报考飞行员的总人数是________．[答案] 48[解析] 据频率分布直方图可得第4小组及第5小组的频率之和为5×(0.013＋0.037)＝0.25，故前3个小组的频率为1－0.25＝0.75，第2小组的频率为0.75×21＋2＋3＝0.25，又其频数为12，故总人数为120.25＝48(人)． 8．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：[答案] 2[解析] 本题考查统计中方差的计算．x －甲＝90，且S 2甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，x －乙＝90，且S 2乙＝15[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.由于S 2甲>S 2乙，所求方差为2.9．如图所示，是海尔电视机厂产值统计图，产值最少的是第________季度，产值最多的是第________季度．第四季度比第二季度增产________%.[答案]二四150[解析]折线图描述某种现象在时间上的发展趋势．图中折线表示了海尔电视机厂四个季度产值先减少后增多，且第二季度最少，第四季度最多．第四季度比第二季度增产15万元，增产150%.三、解答题10．(2014·新课标Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？[解析](1)(2)质量指标值的样本平均数为x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0．38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.一、选择题1．小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为()A ．30%B ．10%C ．3%D ．不能确定[答案] C[解析] 本题考查了扇形图，条形图．由图2知小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元．占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%.2．甲、乙两名同学在五次考试中数学成绩统计用茎叶图表示如图所示，则下列说法正确的是( )甲 乙9 8 5 8 59 10 115 6 8 2 4A ．甲的平均成绩比乙的平均成绩高B ．甲的平均成绩比乙的平均成绩低C ．甲成绩的方差比乙成绩的方差大D ．甲成绩的方差比乙成绩的方差小 [答案] C[解析] 本题考查茎叶图知识及样本数据中的均值与方差的求解及其意义．可以求得两人的平均成绩相同，均为107，又S 2甲＝15[(98－107)2＋(99＋107)2＋(105－107)2＋(115－107)2＋(118－107)2]＝66.8，而S 2乙＝15[(95－107)2＋(106－107)2＋(108－107)2＋(112－107)2＋(114－107)2]＝44，故选C ．二、填空题3．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a ＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．[答案] 0.030 3[解析] 由所有小矩形面积为1不难得到a ＝0.030，而三组身高区间的人数比为，由分层抽样的原理不难得到[140,150]区间内的人数为3人．4．(2014·江苏高考)设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm.[答案] 24[解析] 本题考查频率分布直方图．由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.015＋0.025)×10×60＝24. 频率分布直方图中的纵坐标为频率组距，此处经常误认为纵坐标是频率．三、解答题5．若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过．．．1mm 时，则视为合格品，否则视为不合格品．在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位：mm)，将所得数据分组，得到如下频率分布表：(1)(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率； (3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品．据此估算这批产品中的合格品的件数．[解析] (1)(2)(1,3]内的概率约为0.50＋0.20＝0.70.(3)设这批产品中的合格品数为x 件， 依题意有505 000＝20x ＋20，解得x ＝5 000×2050－20＝1 980.所以该批产品的合格品件数估计是1 980件．6．近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t 生活垃圾，数据统计如下(单位：t)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a 、b 、c 其中a ＞0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a 、b 、c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值(结论不要求证明)，并求此时s 2的值．(注：s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为数据x 1，x 2，…，x n 的平均数)[解析] (1)厨余垃圾投放正确的概率为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )≈400＋240＋601000＝0.7.所以P (A )≈1－0.7＝0.3.(3)当a ＝600，b ＝c ＝0时，s 2取得最大值． 因为x ＝13(a ＋b ＋c )＝200，所以s 2＝13[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80 000.。