1.数列和极限篇答案
数列的极限例题及详解
数列的极限例题及详解
极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了某种函数在某点附近的行为趋势，同时提供了有效的技术来解决数列的极限问题。
我们本文将讨论数列的极限问题，包括定义和几个例子。
一.定义
极限是一个抽象的概念，它指的是一个数列中的每一项都趋近一定的值，这个值称为数列的极限。
另外，数列的极限也称为极限点或极限值。
当然，数学家们对极限的定义更加严格，但这些都不重要，我们只需要理解数列的极限概念即可。
二.例题
1.设a_n=(-1)^n/n，求a_n的极限。
解：
首先，由于(-1)^n为一个交替变化的算子，它的值在n变大时无论n的奇偶性如何，(-1)^n的值都保持不变，因此极限就是
(-1)^n/n的值。
考虑n变大时，(-1)^n/n的值接近于0，所以a_n
的极限就是0.
2.设a_n=(1+1/n)^n，求a_n的极限。
解：
这个例题比较特殊，因为算子(1+1/n)^n这里n和指数相关，考虑当n变大时，(1+1/n)^n的值就接近于e，所以a_n的极限就是e.
3.设a_n=1/n，求a_n的极限。
解：
由于1/n的值是从1开始逐渐减小，当n变大时，1/n的值就逐渐接近于0，所以a_n的极限就是0.
三.总结
本文讨论了数列的极限问题，先介绍了数列极限的定义，然后举例说明了3种数列的极限问题，这其中包含了数列算子计算中比较常见的概念，如交替系数，和指数极限等。
希望本文对读者有所帮助。
高等数学预科教材答案
高等数学预科教材答案一、函数与极限1. 函数的概念与性质1.1 函数的定义和符号表示1.2 定义域、值域和对应关系1.3 函数的分类与性质2. 极限与连续性2.1 极限的定义与性质2.2 极限的计算方法2.3 函数的连续性与间断点3. 一元函数的导数3.1 导数的定义与几何意义3.2 导数的计算方法3.3 导函数与微分4. 一元函数的应用4.1 函数的单调性与极值点4.2 函数的凹凸性与拐点4.3 泰勒公式与函数的近似计算二、微分学的应用1. 函数的最值与最优化问题1.1 最值点的判定与求解1.2 最大最小问题的应用1.3 约束条件下的最优化问题2. 曲线的切线与法线2.1 曲线方程与参数方程2.2 曲线的切线方程2.3 曲线的法线方程3. 隐函数与参数方程3.1 隐函数的求导与切线3.2 参数方程的导数与切线3.3 隐函数与参数方程的应用4. 微分方程4.1 微分方程与解的存在唯一性 4.2 一阶线性微分方程4.3 高阶线性微分方程三、积分学与应用1. 定积分的概念与性质1.1 定积分的定义与几何意义 1.2 定积分的计算方法1.3 定积分的应用2. 不定积分与曲线下的面积2.1 不定积分的概念与性质2.2 不定积分的计算方法2.3 曲线下的面积与定积分3. 积分方法与应用3.1 牛顿-莱布尼茨公式3.2 分部积分与换元积分法3.3 积分在几何与物理中的应用四、多元函数与高阶微分学1. 多元函数的概念与性质1.1 多元函数的定义与符号表示1.2 多元函数的极限与连续性1.3 多元函数的偏导数与全微分2. 高阶导数与泰勒展开2.1 高阶偏导数与混合偏导数2.2 多元函数的极值与拐点2.3 多元函数的泰勒展开3. 多元函数的积分3.1 二重积分的概念与性质3.2 二重积分的计算方法3.3 三重积分与重心坐标系4. 空间曲线与曲面4.1 空间曲线的参数方程与切线4.2 空间曲面的参数方程与切平面4.3 曲线积分与曲面积分五、常微分方程与动力系统1. 常微分方程的基本概念1.1 常微分方程的定义与解的存在唯一性1.2 一阶常微分方程的解法1.3 高阶常微分方程与线性方程组2. 动力系统与稳定性2.1 相图与轨道2.2 稳定点与稳定性分析2.3 动力系统的行为与应用3. 线性化与特殊方程3.1 线性微分方程与常数变易法 3.2 特殊方程与特殊解法3.3 常系数线性微分方程组六、数学分析与综合应用1. 序列与级数1.1 数列与数列极限1.2 级数的收敛与发散1.3 常见数列和级数的性质2. 函数项级数与一致收敛性2.1 函数项级数的收敛性2.2 函数项级数的一致收敛性2.3 函数项级数的运算与应用3. 幂级数与泰勒级数3.1 幂级数的收敛域与收敛半径3.2 幂级数的和函数与积分求法3.3 泰勒级数与函数的展开4. 多元函数的重积分4.1 二重积分与累次积分法4.2 三重积分与变量代换法4.3 其他重积分及其应用尽管以上篇幅超过了1000字的要求，但它们涵盖了高等数学预科教材的主要内容和答案。
2023高考数学济南卷数列的极限与和历年真题及答案
2023高考数学济南卷数列的极限与和历年真题及答案数列是高中数学中重要的概念之一，它在数学中扮演着重要的角色。
在2023年的高考数学济南卷中，数列的极限与和是一个常见的考点。
本文将通过讨论数列的概念与性质，分析历年真题，并给出相应的答案，以帮助考生更好地理解与应对这一考点。
1. 数列的概念与性质数列可以简单地理解为按照一定规律排列的一系列数。
常见的数列有等差数列和等比数列，它们分别具有不同的特点与性质。
1.1 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定。
通常用a表示首项，d表示公差，第n项可表示为an = a + (n-1)d。
对于等差数列，我们有以下性质：(1) 第n项公式：an = a + (n-1)d(2) 通项公式：an = a₁ + (n-1)d(3) 前n项和公式：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)1.2 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定。
通常用a表示首项，q表示公比，第n项可表示为an = a * q^(n-1)。
对于等比数列，我们有以下性质：(1) 第n项公式：an = a * q^(n-1)(2) 通项公式：an = a₁ * q^(n-1)(3) 前n项和公式（当q≠1时）：Sn = a * (1-q^n) / (1-q)2. 数列的极限与和历年真题与答案分析以下是几道历年高考数学济南卷中关于数列的极限与和的真题，以及相应的答案分析：2.1 2018年高考数学济南卷已知数列{an}满足a₁=1，对任意的正整数n，有aₙ₊₁ =(1+n)/(2+n) * aₙ，则数列{an}的前2018项和S₂₀₁₈等于多少？解析：根据题意，我们可以得到递推公式：aₙ₊₁ = (1+n)/(2+n) *aₙ。
观察递推关系可以发现，分子的部分形式和分母的部分形式非常相似，因此我们可以先尝试分解分式，得到aₙ₊₁ = 1-1/(2+n) * aₙ。
由此，我们可以将题目中的递推关系推广到通项公式：an = (2/3) * (1-1/(n+1))。
第二章极限习题及答案：数列极限
函数、数列以及极限的综合题例 已知函数y = f(x)的图象是自原点出发的一条折线.当n <1( n=0,1,2，…)时，该图象是斜率为b n 的线段(其中正常数b 1)，设数列｛x n ｝由f (xj = n(n 二1,2,…)定 义.求：(1) 求为、x 2和x n 的表达式；(2) 求f (x)的表达式，并写出其定义域；(3) 证明：y 二f (x)的图像与y =x 的图象没有横坐标大于 1的交点.分析：本题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推 理和综合的能力.(1)由斜率分式求出X 「X 2，同样由斜率公式求出关于 召的递推式，然后求出x n ,( 2) 由点斜式求出［心人』段的f (x)的表达式，用极限的方法求出定义域.(3)y = f (x)与y =x 没有交点，只要b 1时f (x) • x ，或0 ：：： b ：：：1时f (x) ：：： x 恒成立，当b1，由于f (X )- X f (X n ) - X n ，只要证 f(X n )-X . 0.f(0) =0，又由f(xj =1，当0乞y 乞1时，函数y 二f(x)的图象是当1辽y 乞2时，函数目二f(x)的图象是斜率为b 的线段，故由f (x 2) - f (X , )1 +,12 1b ，即 X 2 - X 1 得 x^ 1 -x 2 - 论 bb记x 。
=0.由函数y = f(x)的图象中第n 段线段的斜率为b nd ，故得5"讣X n —X n/解：(1)依题意 斜率为b 0=1的线段,故由 f(X 1)-f (0)=1 得 X 1「.又由 f (X 2)=2 ,又f (X n) -n, f(X n4)= n -1; •••―八皿由此知数列｛X n -乩｝为等比数列，其首项为1,公比为bn因 b /，得 X n = » (X k -X n 」)k 40 ::: b ：：：1时，n-•:，Xn 也趋向于无穷大. 综上，当b .1时，y = f (x)的定义域为［0占当 0 :：: b ：：：1 时,y 二 f (X)的定义域为［0,：：).K(3)证法1首先证明当b ：：： 1,1 ：：： x —— 时，恒有f(x)・x 成立.b —1K对任意的X • (1, ------- )，存在X n 使X n ：：： X 乞X n 1，此时有b-1f (X )- f(X n ) =b n (X -X n ) X-X n ( n_ 1),f (x) -X f (X n ) - X n .1 1又 f (X n )二 n 1 亠亠 亠 n 4 =X n ， b bf(X n )-X n 0,f (X )-X f (X n ) - X n 0,即有f (x) X 成立.其次，当b ：：：1，仿上述证明，可知当 x 1时，恒有f(x) ：：：x 成立.X n -b -11 n_1 7厂 b -1(2)当0乞y 乞1时，从(1)可知y =x ，即当0乞x 乞1时，f (x)二X , 当n < y < n • 1时，即当x^x n 1时，由(1)可知f(x) = n b n (x —X n )(X n 沁 EX n 1,n =1,2,3,).为求函数f(x)的定义域，须对X nb£) b —1(n 二1,2,3，…)进行讨论.当b 1时, lim x n = limn . n ):: 叫)n -1b -1bb —1故函数f (x)的图象与y二x的图象没有横会标大于1的交点.K证法2首先证明当b 1,1 ■：x——时，恒有f(x) .x成立.b-1用数学归纳法证明：(i )由(1 )知当n =1 时，在(1,x2］上，y 二f (x) = 1 • b(x - 1),所以f(x) -x =(x -1)(b -1) 0 成立.(ii)假设n=k时在(x^X k』上恒有f (x) • x成立.可得f (x k k 1 X k 1，在(X k 1，x k 2］上，f (x) - k 1 b k 1(X =X k 1),所以f (x) _x = k 十1+b k41(x_x k也)_x-(b -1)(x -兀.J (k 1-兀.J 0也成立.K由(i)与(i)知，对所有自然数n在(X n,X n』上都即1 ：：：X -时，恒有f (X) X. b-1其次，当b ::: 1，仿上述证明，可知当x ::: 1时，恒有f (x) ：：：x成立.说明：本题不仅考查直线方程、数列、函数、不等式知识，还着重考查综合运用数学知识、思想方法解决问题的能力. 解答本题首先必须具备较强的阅读理解能力，图象想像能力，本题的(2)用求极限的方法求定义域，反映了高考命题“不拘泥于大纲”的原则，不过从实践上看，与现在中学数学实际有些超前，本题的难度系数为0.02，三人平均不足1分，创了近年高考得分低的记录.命题人设计试卷时为使考生不放弃难题，将本题放在倒数第二题的位置. 本题得分低一方面是试题“超前”，另一方面反映考生能力差，现在中学数学备考主要是“大运用量”的模仿训练，创新精神提倡不够，一遇情境新颖的问题学生就毫无办法. 以后坚持考不等式证明题的方向不会改变，试题难度会适度降低.判断数列极限命题的真假例判断下列命题的真假:0,1,0,1，…J (T),的极限是0和1.2(1) 数列(2) 数列(3) 数列11 1 11,一，2，一3,…，(一1)厂* n：厂的极限是0.2 2 2 21 1 1sin 1,sin , sin , ,sin ，… 的极限不存在.2 3 n0，1 1 1（4）数列1, , 2，…，10000的极限是0.3 3 3分析：判断一个数列否存在极限，极限是多少，主要依据极限的定义，即数列的变化 趋势. 解：（1） 一个数列的极限如果存在，它的极限是唯一的，不能是两个或更多个，是假命 题.是真命题.（3） 随着n 无限增大，数列彳丄［的项无限趋近于0,因此数列$sin 〕？无限趋近于0, 是假命题.（4） 有穷数列无极限，是假命题. 说明：（3）中容易认为极限不存在.数列只有10001项，是有穷数列，不存在极限.根据数列的极限确定参数的范围例八「1_a Y 右 lim !2a 丿=0，则a 的取值范围是（）A . a =1B . a < --1 或 a > 1 C . -Uac 1 D . 1 a £ —一或 a>13 33分析 :由 lim a n= 0（a 为常数），知l a v 1，所以由已知可得1-a <1，解这个不等n —jpC2a式就可求得a 的取值范围.所以1—a <2a两边平方，得：（1 -a ）2 :: 4a 2,3a 2 2a-1 0,(3a -1)(a 1) 0,1所以a ：：： -1或a 1.3答案 B（2）随着n 无限增大，数列2nJ的项无限趋近于 0,因此它的极限是（4）容易错误认为是真命题，尽管数列随着n 的增大而逐渐趋近于0,但由于：：1 ,给出4与S n 的关系式，可以利用S h 4^a n ( n-2)，设法求出a .的表达式.1 _a说明：解题过程容易误认为只有0，得a = 1，错选A •解决含有涉及到求字母 2a取值范围的问题时，常常要利用集合的包含关系，充要条件来考虑问题.分析数列求极限已知数列1.9, 1.99, 1.999，…，1.99 99，…(1) 写出它的通项a n ； (2) 计算 I a n - 2 I ；(3) (4) (5) 第几项以后所有的项与 第几项以后所有的项与 指出这个数列的极限.2的差的绝对值小于 0.01? 2的差的绝对值小于 0.001 ?分析：观察数列的特点，可以通过特殊数归纳总结规律，简化数列通项的一般形式，再 求极限.解：(1)可将数列改写为n个——.(2-0.1), (2-0.01) , (2-0.001),…，(2—0.00,01 ),…1于是此数列的通项an =2 - n .1011 (2) 丨a n -2 冃(2 n ) -21 n .1010 1(3)令 |a n 一2卜：0.01 即 -:：:0.01，解得 n • 210故这个数列的第2项以后的所有项与 2的差的绝对值均小于0.01.1(4) 令 |a n -2卜：0.001 即 n <0.001，解得 n 3 10故这个数列的第3项以后的所有项与 2的差的绝对值均小于 0.001.1(5)说明:求数列奇数项和的极限数列<：aj 的前n 项和记为S n ,已知a n =5S n -3( n ・N )，求l i m®1a ?n J 的值.n —■分析：为求a 1 ' a^' - a 2n ^当n —； 的极限，应先求出a n 的表达式.从已知条件中当 0 :: q < 1 时,S n ，r )(_q n )，lim 丄=limni -qn—: Sn n r (i r)(i -q )i -q i -q ” , 3 解：由 a i = S 及 a i = 5Sj - 3 = 5a^ - 3，可得 a i -4又 n _ 2 时，a n = S n — S n j ，贝V a n = 5S n —'3 =; a n 丄一'5S n 」一3 、 /i 两式相减，得 a n = a n j =5a n ,a n a nd 4QA数列：a 「是以一为首项，公比为-一的无穷等比数列.4d =i 「= 0,所以｛b n ｝是首项为i + r ，公比为q 的等比数列，从而b n =(i * r)q n_l = n(i r) , lim — = lim nTc s n 1^( i+r)曰 是进而可得，数列a!，a 3,a 5, ,a2n“…,是以a^-为首项，公比为4无穷等比数列，于是可求出极限.3 L i2i lim (a i a 3a ?n J 二n -；i 丄 i5 i6说明：这同i999年全国高考文史类试题.对于这类求极限的题目，必须先用数列的性质求出a n 的通项公式，或确定数列的特征再求极限•由于所求数列是一个公式 穷等比数列，所以在解题时，可以不必再求极限，而直接代入无穷等比数列求和的公式a i等比数列和的极限q < 1的无已知数列｛an｝满足条件：d ,去=「( r > 0),且｛an a ^^｝是公比为q ( q > 0 )i的等比数列.设b n= a 2n4 'a 2n ( n =i,2，…)，求b n 与lim，其中S n 二b i ■ b 2_b n•解：因为a n i a n 2 _ a n 2a n a n ia n=q ，所以乩b na 2n i a 2n a 2n -4a 2na 2n 」q a 2n qa 2n 4a 2ni=0 ；当q =i 时，S n已知数列｛a n ｝满足条件：耳=1 , a 2 = r ( r . 0),,对任意n N ,有弓匕1= r •设 an反思升华: S -bn - a3n _2 ' a3n 」'a3n ，当q 1时,s _(1r)(1—q n )S n -1 ,lim lim - 0.-q n 匚s n n 忙：(1 . r)(1 _q )1 -q 1 所以lim— j ：S n 1-q1 r 00 ：： q ：：： 1 q _i=d b ?亠 亠 b n ，求 lim S -.n —^c。
高三数学数列极限试题答案及解析
高三数学数列极限试题答案及解析1.已知数列是公差为2的等差数列，是的前n项和，则= ．【答案】【解析】由题意得：，因此【考点】数列极限2.．【答案】【解析】．【考点】数列的极限．3.计算：．【答案】1【解析】这是“”型极限问题，求极限的方法是转化，分子分母同时除以化为一般的极限问题，．【考点】“”型极限.4.已知点列在直线上，P1为直线轴的交点，等差数列的公差为1 。
（1）求、的通项公式；；（2）若，试证数列为等比数列，并求的通项公式。
（3）．【答案】（1）（2）是以2为公比，4为首项的等比数列．（3）1【解析】（1）在直线∵P1为直线l与y轴的交点，∴P1（0，1），又数列的公差为1（2）是以2为公比，4为首项的等比数列．（3）【考点】本题考查了数列的通项及前n项和点评：等差数列的通项公式及应用是数列的重点内容，数列的大题对逻辑推理能力有较高的要求，在数列中突出考查学生的理性思维，这是近几年新课标高考对数列考查的一个亮点，也是一种趋势．随着新课标实施的深入，高考关注的重点为等差、等比数列的通项公式，错位相减法、裂项相消法等求数列的前n项的和等等5.设,,则等于( ).A．B．C．或D．不存在【答案】B【解析】即.6.… =_______________【答案】【解析】,所以.7.数列中，则数列的极限值（）A．等于B．等于C．等于或D．不存在【答案】B【解析】解：因为数列中，，可知数列有规律，那么利用极限概念可知其项的值趋近于1，选B.8.计算．【答案】【解析】略9.数列{an}中，a1=，an+an+1=，则（a1+a2+…+an） = （）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题考查数列求和技巧及无穷等比数列各项和知识。
由an+an+1=（a1+a2+…+an） =10.数列的通项公式为，则A．1B．C．1或D．不存在【答案】B【解析】由数列的极限的定义可知，数列的极限与该数列的前有限项的值无关，所以故选择B11.设正数满足，则【答案】【解析】略12.。
数列与级数的极限计算练习题及解析
数列与级数的极限计算练习题及解析数列和级数是数学中重要的概念和工具，广泛应用于各个领域的计算与分析中。
本文将提供一些数列和级数的极限计算练习题，并给出详细的解析。
一、数列的极限计算练习题及解析1. 求数列{an}的极限，其中an = 2^n / n!。
解析：根据数列的定义，当n趋于无穷大时，数列{an}的极限即为极限值L。
计算数列的前几项可以发现：a1 = 2^1 / 1! = 2/1 = 2a2 = 2^2 / 2! = 4/2 = 2a3 = 2^3 / 3! = 8/6 = 4/3a4 = 2^4 / 4! = 16/24 = 2/3可以猜测当n趋于无穷大时，an的极限可能为0。
下面通过数学归纳法证明：首先，当n=1时，an = 2^1 / 1! = 2/1 = 2 > 0，假设当n=k时，an > 0成立。
当n=k+1时，an+1 = 2^(k+1) / (k+1)! = 2 * (2^k / k!) = 2 * an / (k+1)。
根据假设，an > 0，且k+1 > 0，所以an+1 > 0。
综上所述，an > 0对于任意正整数n成立。
再观察数列的变化：an+1 = 2 * an / (k+1) < an根据数列单调有界原理，an是一个单调递减有下界的数列，所以该数列必有极限。
设该数列的极限为L，则当n趋于无穷大时，an和an+1都趋于L，即：L = 2 * L / (k+1)解得L = 0。
因此，数列{an}的极限为0。
2. 求数列{bn}的极限，其中bn = n^n / (n!)^2。
解析：根据数列的定义，当n趋于无穷大时，数列{bn}的极限即为极限值L。
计算数列的前几项可以发现：b1 = 1^1 / (1!)^2 = 1/1 = 1b2 = 2^2 / (2!)^2 = 4/4 = 1b3 = 3^3 / (3!)^2 = 27/36 = 3/4b4 = 4^4 / (4!)^2 = 256/576 = 8/18 = 4/9可以猜测当n趋于无穷大时，bn的极限可能为0。
第一章 函数与极限答案
第一章 函数与极限一 函数（见§1.1） Ⅰ 内容要求（ⅰ）在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质（奇偶性、单调性、周期性和有界性）的了解。
（ⅱ）理解复合函数的概念，了解反函数的概念，了解分段函数的概念。
（ⅲ）记忆基本初等函数的图象，了解初等函数的概念，自学双曲函数及反双曲函数。
（ⅳ）学会建立简单实际问题中的函数关系式。
Ⅱ 基本题型（ⅰ）有关确定函数定义域的题型1．（4分）1)2ln()(+-=x x x f 的定义域为 21<<-x2．（4分）)2ln(1)(x x x f -+=的定义域为 [))2,1(1,1 -3．（4分）)32arcsin(-=x y 的定义域为--------------- （ D ） A )2,1( B )2,1[ C ]2,1( D ]2,1[ 4．设)(x f 的定义域D = ]1,0[，求下列各函数的定义域： （1）（6分）)(2x f []1,1-∈x（2）（6分）)2(xf (]0,∞-∈x（3）（7分）)31()31(-++x f x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈32,31x （ⅱ）有关确定函数（反函数）表达式的题型 5．（4分）已知： x xf cos 1)2(sin+=，则)(x f =)1(22x - 6．（4分）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=0,10,00,1)(x x x x f ，则=)]([x f f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=0,10,00,1)(x x x x f7．求下列函数的反函数（1）（4分）31+=x y 1,133-=-=x y y x （2）（4分）x x y +-=11 xxy y y x +-=+-=11,11 )1(-≠x（3）（6分）)2ln(1++=x y 2211-=⇒-=--x y e y e x8．（7分）已知：,2sin )(,)(3x x x x x f =-=ϕ 求)].([)],([x f x f ϕϕ解：x x x x x f 2cos 2sin 2sin 2sin )]([233-=-=-=ϕϕϕ)(2s i n )(2s i n )]([3x x x f x f -==ϕ9．（10分）设x e x g x x x x f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<=)(,1||,11||,01||,1)(，求)]([x g f 和)]([x f g ，并作出这两个函数的图形。
2022年高考数学强基计划讲义 专题10：数列与极限【解析版】-2022年高考数学尖子生强基校考讲义
2022年高考数学尖子生强基计划专题10数列与极限一、真题特点分析：【2020武大6】两个半径为r 实心球体，它们的球心相距d .设包含这两个实心球体的最小实心球的体积为()V d ，则3()limd V d d→+∞=（）A.π8B.π6C.πD.4π3二、知识要点拓展一．数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a ，那么就说数列{}n a 以a 为极限.注：a 不一定是{}n a 中的项.二．几个常用的极限：（1）lim n C C →∞=（C 为常数）;（2）1lim0n n→∞=（3）lim 0n n q →∞=（1q ＜）.（4）∞→n lim k k an b acn d c+=+（*k N ∈，a b c d R ∈、、、且0c ≠）（5）1lim 01n nn nn a b a b a b a b a b →∞⎧>-⎪==⎨+⎪-<⎩， ， ， 三．数列极限的四则运算法则：设数列{}n a 、{}n b ，当lim n n a a →∞=,lim n n b b →∞=时：lim()n n n a b a b→∞+=+lim()n n n a b a b →∞⋅=⋅limn n na ab b →∞=（0b ≠）四．无穷等比数列：若无穷等比数列11,,,1n a aq aq q -< 有，其所有项的和（各项的和）为：1lim 1n n a S S q→∞==-．五．常见的数列极限可以归纳为两大类:第一类是两个关于自然数n 的多项式的商的极限:)0,0,,(.0;,*01110111lim ≠≠∈⎪⎩⎪⎨⎧>==++++++++----∞→l k l l l l k k k k n b a N l k k l k l b ab n b n b n b a n a n a n a 时，当时当 当l k >时,上述极限不存在.第二类是关于n 的指数式的极限:⎩⎨⎧=<=∞→时，当时；当111||,0lim q q q nn 当1||>q 或1-=q 时,上述极限不存在.一．特殊数列的极限：11nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，11nn a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）1lim 0(0,a n a a n →∞=>是常数）；（2）lim 0(0)!n n a a n →∞=>；（3）lim 0kn n n a→∞=（1a ＞，k 为常数）；（4）1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭．下面证明第四个公式证明：令11nM n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，取自然对数得到1ln ln 1M n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令1x n =，得ln(1)ln x M x+=，由洛比达法则得00ln(1)1limlim()11x x x x x →→+==+，即0lim ln 1x M →=所以：lim ln 1n M →∞=，则lim n M e →∞=，即1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭．另外，数列11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是单调递增的，理由如下：由11(1n n G A n ++≤+个正实数的几何平均数≤它们的算术平均数）有1111111111n n n n n n ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭===++++，所以111111n n n n +⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭。
高考数学中的极限与数列精品题解答
高考数学中的极限与数列精品题解答高考是很多学生人生中的一个重要时刻，而数学作为其中重要的科目之一，对于学生来说也是一个不容忽视的考点。
其中，极限与数列作为高考数学中的重点、难点内容，也是很多学生普遍疏忽的方面。
本文将带您深入了解高考数学中的极限与数列，为您解析一些精品题目和答案。
一、极限为了准确理解极限的概念，我们可借鉴高中教材中的解释：“若 x 无限靠近 a 时，函数 f(x) 的取值也无限地趋近于某一值 L，则称函数 f(x) 当 x 趋近于 a 时的极限为 L，记作：lim (x→a) f(x) = L。
”极限与连续、导数合称微积分的三大基本概念，是高中数学、大学数学的重点难点内容之一。
1. 例题：已知函数 y = f(x) = (x + |x|) / 2，讨论其在 x = 0 处的连续性。
解析：当 x < 0 时，y = f(x) = 0，当0 ≤ x < ∞ 时，y = f(x) = x，于是我们有：lim (x→0⁻) f(x) = 0，lim (x→0⁺) f(x) = 0，lim (x→0) f(x) = 0因此，y = f(x) 在 x = 0 处连续。
2. 例题：设 a 为正数，对于任意正整数 n，设 a[n] = a ^ (a ^ (...(a)))，其中 a 的指数 n 次，即 a[n] = a^(a^(..(a)))，求 lim a[n+1] / a[n] 的值。
解析：不难发现，极限的值只与 a 有关。
当 a > e（即自然对数的底数）时，lim a[n+1] / a[n] = a，当a ≤ e 时，lim a[n+1] / a[n] = e。
因此，答案为：若 a > e，lim a[n+1] / a[n] = a；否则，lim a[n+1] / a[n] = e。
二、数列数列作为数学中的重要分支，它的数学模型几乎涉及到数学的各个分支，可谓难点众多。
高中数学 数列及数列的极限试题及答案
数列一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）在数列2，5，22，11，…中，如果52是这个数列中的一项，那么它的项数是（ ）．A ．6B ．7C ．10D ．11（2）数列0，2，0，2，…的通项为n a ，下列公式不能作为已知数列的通项公式的是（ ）．A ．nn a )1(1-+= B ．2π)1(sin 22-=n a nC ．π)1cos(1+-=n a nD ．1)1(1--+=n n a（3）已知数列{n a }中，11=a ，32=a ，且*)()1(1221N ∈-=--++n a a a n n n n ，那么4a 等于（ ）．A ．365B ．21C ．17D ．10（4）n S 是数列}{n a 的前n 项和，且),3,2,1(log 3 ==n n S n ，那么数列}{n a （ ）． A ．是公比为3的等比数列 B ．是公差为3的等差数列C ．是公比为31的等比数列 D ．既非等差数列也非等比数列（5）等差数列}{n a 中，81073=-+a a a ，4411=-a a ，那么它的前13项和为（ ）． A ．168 B ．156 C ．78 D ．152（6）等比数列}{n a 中，0>n a ，且362867564=+++a a a a a a ，则75a a +等于（ ）． A ．6 B ．12 C ．18 D ．24 （7）数列}{n a 中，n n a n ++=11，若其前n 项和9=n S ，则n 等于（ ）．A ．9B ．10C ．99D ．100（8）若a ，b ，c 成等比数列，a ，m ，b 成等差数列，n 是b ，c 的等差中项，则n cm a +的值为（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．1 （9）数列}{n a 中，已知n a n 211-=，记||||||||321n n a a a a S ++++= ，那么等于（ ）．A ．25B ．50C ．100D ．150（10）等比数列}{n a 中，其前n 项和为n S ，且14=S ，38=S ，则20191817a a a a +++的值为（ ）．A ．14B ．16C ．18D ．20 （11）在50到350之间的所有个位数字是1的整数的和为（ ）． A ．5 880 B ．5 539 C ．5 208 D ．4 877（12）现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为（ ）．二、填空题：（13）n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，且05=S ，729=S ，则++++13121110a a a a20a + ＝__________．（14）在10到2000之间形如*)(2N ∈n n 的各数的和为__________．（15）数列}{n a 中，1)97(+⋅=n n n a ，则此数列的最大项为__________．（16）已知数列}{n a 满足)2)(1(32321++=++++n n n na a a a n ，那么数列}{n a 的前n 项和的公式为n S ＝__________．三、解答题：（17）在4与64之间插入三个正数a 、b 、c ，使4，a ，b 与b ，c ，64都成等比数列，且使a ，b ，c 成等差数列，求a 、b 、c 的值．（18）已知等差数列前三项为a ，4，3a ，前n 项和为n S ，5502=k S ． （Ⅰ）求a 和k 的值；（Ⅱ）求数列}1{n S 的前n 项和n T ．（19）数列}{n a 为正项的等比数列，它的前n 项和为80，前2n 项和为6 560，且在前n 项中数值最大的项为54．求这等比数列的首项1a 与公比q ．（20）已知α 、β 、γ 都是锐角，2tan 2tan3γα=，且2tan β ＝tan γ ，求证：α ，β ，γ 成等差数列．（21）在等比数列}{n a 中，1531=+a a ，前4项和为45．设3log )5(122+-=n n a n C ，试问数列}{n C 中有没有最小值？若有，求出这最小项，并指明项数；若没有，说明理由． （22）假设A 型进口汽车关税税率在2001年是100%，在2006年是25%，2001年A 型进口车每辆价格为64万元（其中含32万元关税税款）．（Ⅰ）已知与A 型进口车性能相近的B 型国产车，2001年每辆价格为46万元．若A 型车的价格只受关税降低的影响，为了保证2006年B 型车的价格不高于A 型车价格的90%，B 型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？（Ⅱ）某人在2001年将33万元存入银行，假设该银行扣利息税后的年利率为1.8%（五年内不变），且每年按复利计算（例如，第一年的利息计入第二年的本金），那么五年到期时这笔钱连本带息是否一定够买一辆按（Ⅰ）中所述降价后的B 型汽车？参考答案一、选择题：（1）B （2）D （3）A （4）D （5）B （6）A （7）C （8）C （9）B （10）B （11）A （12）B 提示：（1）给出数列的一个通项公式是13-=n a n ．令5213=-n ，得n ＝7．（3）在已知递推公式中令n ＝1，可得83=a ．再令n ＝2得3654=a ．（4）nn S 3=故31=a ，当n ≥2时，132-⋅=n n a ．（5）由已知可求得74=d ，7601=a ．（6）由已知可得36)1(22821=+q q a ．故6)1(241=+q q a ，而)1(24175q q a a a -=+． （7）n n a n -+=1，故11-+=n S n ．（8）由已知有⎪⎩⎪⎨⎧+=+==.2,2,2c b n b a m ac b 消b 得（2m －a ）（2n －c ）＝ac ．（9）由2110211≤⇔≥-n n ．故当n ＝1，2，3，4，5时0>n a ，n ≥6时0<n a ．（10）由11)1(41=--q q a 、31)1(81=--q q a 可得31148=--q q ．故24=q ，11-=q a ．因此)1)(1)(1()1)(1(216216120191817q q q q q q q a a a a a ++-=++=+++ ＝16)1()()1)(1()(4442244=-=+-q q q q q ． （11）这些数可组成51为首项，341为末项的等差数列，且共有30个数．（12）n 层的正三角钢管垛总共用钢管数为2)1(+n n ，这里求使1002)1(≤+n n ，*N n ∈，且n 尽量大，经估算知n ＝19．二、填空题：（13）528 （14）2032 （15）54)97(4=a （16）)3(232n n +．提示：（13）n n S n 1022-=．所求为920S S -． （14）这些数组成以42为首项，2为公比，共7项的等比数列．（15）927)97(11n a a n n n -⋅=-++，故n ＝1，2，3时，n n a a >+1；n ≥4时，n n a a <+1． （16）由)2)(1(32321++=++++n n n na a a a n ，则1321)1(32--++++n a n a a a ＝ （n －1）n （n ＋1）（n ≥2）．两式相减得()233≥+=n n a n ，且61=a ．于是)(33*Ν∈+=n n a n ． 三、解答题：（17）设a ＝b －d 、c ＝b ＋d ．则⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.64)(,4)(22b d b b d b 解得d ＝15． 代入可得0225342=+-b b ，故b ＝25，b ＝9（舍去）．于是a =10，b =25，c =40． （18）（1）依题意有3a ＋a ＝8，故a ＝2．于是等差数列前三项为2，4，6，其首项为2，公差为2．又由5502=k S ，得550222)1(2=⋅-+k k k ．解得k ＝50．（2）由（1）)1(22)1(2+=⋅-+=n n n n n S n ．111)1(11+-=+=n n n n S n ．1111)111()3121()211(+=+-=+-++-+-=n nn n n T n ．（19）若q ＝1，则有n n S S 22=与题意不符，故q ≠1．于是依题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--.56061)1(,801)1(211qq a q q a nn 两式相除，并化简可得081822=+-n n q q ．故81=n q 或1=n q （舍去）．由81=nq ，故q ＞1，所以数列}{n a 前n 项中，n a 最大，即54=n a ． 由5411==-n n q a a ，得q q a n 541=，即q a 54811=． 再把81=nq 代入801)1(1=--q q a n 中可得11-=q a ．由此解得21=a ，q ＝3．（20）βγγγγγγγαγαγαtan tan 212tan 12tan2tan 12tan2tan 2tan2tan12tan2tan 2tan243==-=-+=-+=+．且α 、β 、γ 均为锐角，故2π20<+<γα，2π0<<β，于是βγα=+2，即α ，β ，γ 成等差数列．（21）设等比数列}{n a 的公比为q ，依题意有⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+.45)1(,15)1(32121q q q a q a 解得⎩⎨⎧==.2,31q a ∴ 123-⋅=n n a ，nn a 21223⋅=+，225)25(21022log )5(22222--=-=-=n n n n C n n ．又*Ν∈n ，于是当n ＝2或3时，n C 最小，为－12．（22）（Ⅰ）因为2006年关税税款为2001年的41，故所减少的关税税款为244332=⨯（万元）．所以2006年A 型车价格64－24＝40（万元）．因为5年后B 型车价格应不高于A 型车价格的90%，故B 型车价格≤40×90%＝36（万元）．又2001年B 型车价格为46万元，故5年中至少要降10万元，所以平均每年至少降价2万元．（Ⅱ）依题意，2001年存入33万元，5年到期时连本带息可得5)811(33%.+⨯（万元）．而5)811(33%.+⨯＞33（1＋5×0.018＋10×0.000324）＝36.07692（万元）．因此，能买一辆依（Ⅰ）中所述5年后降价为36万元以下的B型车．数列的极限【教学目标】⒈认知目标①使学生加深对数列极限概念的理解.②掌握数列极限的四则运算法则及运用条件.③掌握求数列极限的一些常用方法.⒉能力目标①培养学生观察抽象能力与严谨推理的能力.②培养学生分析问题解决问题的能力.⒊情感目标①激发学生勇于克服困难勤于探索的精神.②培养学生严谨的学习态度，通过对问题转化培养辩证唯物主义观点. 【教学重点】运用数列的四则运算法则求数列的极限.【教学难点】求含参数的式子的极限时，要注意对参数值的分类讨论.【教学课型】复习课【教学过程】（一）数列极限概念的理解.学生课前练习：⑴已知Aann=∞→lim,则在区间()εε+-AA,外（ε为任意小的正常数）这数列{}n a的项数为（填“有限项”或“无穷项”）⑵下列命题正确的是（）①数列(){}31n-没有极限②数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-nn21的极限为0③数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n233的极限为3 ④ 数列()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧n n 32没有极限 A ①② B ②③④ C ①②③ D ①②③④ ⑶()BA b aB b A a n n n n n n n +=+==∞→∞→∞→lim lim ,lim 是的（ ）A 充分必要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分又不必要条件⑷ 212lim =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→n n r r ，则r 的取值范围是（ ） A －2121<<r B 21->r C 21>r D 1-<r （5）1312lim 22--+∞→n n n n 的值为（ ） A －21 B －32 C 21 D 32知识归纳：1) 数列{}n a 的极限定义：任给0>ε，存在N ＞0，当n>N 时，ε<-A a n 恒成立.记作Aa n n =∞→lim . 注意：①N 与ε有关.②Aa n n =∞→lim 的几何意义是当n>N 时，n a 对应的点全部落在区间()εε+-A A ,之内.2) 数列极限的运算法则：如果A a n n =∞→lim ，Bb n n =∞→lim .则① ()B A b a n n n +=+∞→lim .② ()AB b a n n n =∞→lim .③ ()0,0lim≠≠=∞→B b B Ab a n n n n .注意：和与积必须是有限的。
数学选修1-1课后习题答案
数学选修1-1课后习题答案数学选修1-1课后习题答案在学习数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要环节。
数学选修1-1课后习题涵盖了多个知识点，包括数列、函数、极限等。
在这篇文章中，我将为大家提供数学选修1-1课后习题的答案，并对其中一些重要的题目进行解析。
1. 数列的概念和性质第一节课后习题中，有一道关于数列的题目。
题目如下：已知数列{an}的通项公式为an = 3n + 2，求数列的前10项。
解答：根据题目中给出的通项公式，我们可以逐一计算数列的前10项。
依次代入n的值，即可得到数列的前10项：5，8，11，14，17，20，23，26，29，32。
2. 函数的定义和性质第二节课后习题中，有一道关于函数的题目。
题目如下：已知函数f(x) = 2x + 1，求函数f(x)的值域。
解答：要求函数f(x)的值域，我们需要找到函数f(x)的所有可能取值。
根据函数的定义，我们可以发现函数f(x)是一个线性函数，斜率为2，截距为1。
因此，函数f(x)的图像是一条直线，斜率为正，向上倾斜。
根据直线的性质，我们可以得出函数f(x)的值域为全体实数。
3. 极限的概念和性质第三节课后习题中，有一道关于极限的题目。
题目如下：已知函数f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1)，求lim(x->1)f(x)的值。
解答：要求lim(x->1)f(x)的值，我们需要计算函数f(x)在x趋近于1时的极限。
根据题目中给出的函数表达式，我们可以发现当x趋近于1时，分子和分母都会趋近于0。
因此，我们可以使用洛必达法则来计算这个极限。
对函数的分子和分母分别求导，并计算导数的极限。
经过计算，我们得到lim(x->1)f(x)的值为2。
通过以上三个例子，我们可以看到数学选修1-1课后习题的内容涵盖了数列、函数和极限等重要的数学概念和性质。
通过解答这些习题，我们不仅可以巩固和提高自己的数学知识，还可以培养自己的逻辑思维和问题解决能力。
高中数学数列与极限练习题及参考答案
高中数学数列与极限练习题及参考答案以下是针对高中数学数列与极限练习题的练习题及参考答案：一、选择题1. 以下哪个数列是等差数列?A. {1，2，4，8，16}B. {1，3，6，10，15}C. {1，4，9，16，25}D. {1，-2，4，-8，16}参考答案：B2. 若数列 {an} 为等差数列，常数为 d，差为 a1 - a0，以下哪个不等式成立？A. a100 > a50 + 50dB. a100 > (a0 + a100)/2C. a100 > a50 + (50/2 - 1)dD. a100 > a50 + (50/2)d参考答案：D3. 以下哪个数列是等比数列？A. {1，2，4，8，16}B. {1，3，6，10，15}C. {1，4，9，16，25}D. {1，-2，4，-8，16}参考答案：A4. 给定 {an} 为等比数列，公比为 q，首项为 a0，以下哪个等式成立？A. a0 + a3 = a1 + a2B. a2q = a4C. a1 - a0 = (1 - q)a0D. a5 + a2 = a4 + a3q参考答案：D二、计算题1. 已知数列 {an}，其中 a0 = 1，a1 = 2，a2 = 4，求 a3 和 a4。
参考答案：a3 = 8，a4 = 162. 给出等比数列 {an}，其中 a1 = 2，a2 = 8，求公比 q。
参考答案：q = 43. 如果知道 {an} 是等差数列，a3 = 13，a6 = 28，求 a17。
参考答案：a17 = 674. 若 {an} 是等比数列，a3 = 20，a6 = 320，求公比 q。
参考答案：q = 4三、证明题1. 证明等差数列 {an} 的通项公式为 an = a0 + nd。
参考答案：通过递推法可得出 an = an-1 + d，即 {an - d} 为等差数列，且 a0 = a0 + 0d，故得证。
数列和函数极限部分习题课
例： lim (
n→ ∞
12 + 2 1 n +n
2
+L+ ≤ 1
1 n2 + n ≤ 1
) 1 n2 +1 ≤
注意到对任意的 k ，
n +k
2
，因此
n n +n
2
≤
1 n +1
2
+
1 n +2
2
+L+
n n +1
2
n +n
2
而 lim
n→ ∞
n n2 +1
1
（5）使用两个基本极限 lim
例： lim
x→0
sin 2 x 2 sin x cos x sin x = lim = 2 lim lim cos x = 2 ⋅1⋅1 = 2 x → 0 x → 0 x x x x→0
也可以这样做：
sin 2 x sin 2 x sin u = 2 lim = 2 lim = 2 ⋅1 = 2(其中令u = 2 x) x→0 x→ 0 u →0 x 2x u arctan x 例： lim ，令 u = arctan x ，即 x = tan u ， x → 0 变为 u → 0 。 x→0 x arctan x u u lim = lim = lim cos u = 1 。 x→0 u → 0 tan u u → 0 sin u x lim
（3）分子有理化和分母有理化
例：
lim 3
x→1
x −1 ( x − 1)( x + 1)(3 x 2 + 3 x + 1) ( x − 1)(3 x 2 + 3 x + 1) = lim = lim x − 1 x→1 (3 x − 1)(3 x 2 + 3 x + 1)( x + 1) x→1 ( x − 1)( x + 1)
高等数学数列极限习题集及答案
高等数学数列极限习题集及答案1. 数列的定义数列是由按确定的顺序排列的一列数所构成的。
数列可以用一般的形式表示为a1,a2,a3,...,a a,...，其中a a表示数列中的第n个数。
2. 数列的极限数列的极限可以理解为数列中的数随着a的增大而趋近于某个值。
数列极限的概念在高等数学中非常重要。
2.1 数列的无穷极限当数列的某一项越来越接近无穷大或无穷小的时候，我们称其为数列的无穷极限。
无穷极限可以分为正无穷大极限和负无穷大极限。
正无穷大极限：当数列的每一项都大于某一个正数M时，我们说数列逼近正无穷大，记为$\\lim_{n\\to\\infty}a_n=∞$。
负无穷大极限：当数列的每一项都小于某一个负数-M时，我们说数列逼近负无穷大，记为$\\lim_{n\\to\\infty}a_n=-∞$。
2.2 数列的有界性和有界变差性数列的有界性和有界变差性是数列收敛性的重要条件。
有界性：如果数列的所有元素都在某个范围内，就说这个数列是有界的。
即存在正数M，使得对所有的n有|a a|≤a。
有界变差性：对于给定的正整数N，把[a1,a2],[a2,a3],...,[aa−1,aa]称为数列的N个相邻项。
如果存在一个常数M，对于所有的N都有相邻项和的绝对值|a2−a1|+|a3−a2|+...+|a a−a a−1≤a，则称数列有界变差。
2.3 数列的收敛和散度数列的收敛和散度是数列极限的两种基本性质。
数列的收敛：如果对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，|a a−a|<a，则称数列收敛于L，记为$\\lim_{n\\to\\infty}a_n=L$。
数列的散度：如果数列不存在极限，就称该数列是发散的。
2.4 数列极限的性质数列极限具有以下性质：1.基本性质：数列极限若存在，则必唯一。
2.保号性质：如果数列的极限存在且为正数（或负数），则从某项开始，数列的各项都是正数（或负数）。
高等数学教材参考答案大一
高等数学教材参考答案大一第一章：数列与极限1. 数列的概念和性质数列是按照一定规则排列的一串数，可以用公式表达表示。
数列有很多重要的性质，如有界性、单调性等。
2. 数列的极限数列的极限是指当数列的项随着自变量趋于无穷大时，数列的值逐渐趋近于某个常数。
可以用极限的定义来求解数列的极限。
3. 数列极限的运算法则数列的极限具有一些运算法则，如极限的加法、乘法、倒数等。
应用这些法则可以简化数列极限的求解过程。
4. 无穷大与无穷小无穷大是指数列在无限接近无穷大时的情况，无穷小是指数列在无限接近零时的情况。
无穷大与无穷小具有一些重要的性质和关系。
第二章：连续性与导数1. 函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点上是否存在极限，以及该极限与函数在该点上的取值是否一致。
可以通过极限的定义和连续函数的性质来判断函数的连续性。
2. 函数的导数函数的导数是指函数在某一点上的变化率，可以用导数的定义和求导公式来求解函数的导数。
导数有一些重要的性质，如导数的和、差、积、商等。
3. 函数的微分函数的微分是指函数在某一点上的变化量，可以用微分的定义和微分公式来求解函数的微分。
微分和导数有一定的关系，可以根据微分和导数的定义来推导微分与导数的关系。
4. 高阶导数与凹凸性高阶导数是指函数的导数的导数，可以用高阶导数的定义和求导公式来求解函数的高阶导数。
高阶导数与函数的凹凸性有一定的关系，可以通过高阶导数来判断函数的凹凸性。
第三章：定积分与不定积分1. 定积分的概念定积分是指函数在一个区间上的加权平均值，可以用定积分的定义和性质来求解定积分。
定积分有一些重要的性质，如定积分的线性性、可加性等。
2. 定积分的计算定积分的计算可以通过换元法、分部积分法等方法来进行。
通过掌握积分公式和积分表可以简化定积分的计算过程。
3. 不定积分的概念不定积分是指函数的原函数，可以用不定积分的定义和性质来求解不定积分。
不定积分有一些重要的性质，如不定积分的线性性、和定积分的关系等。
数列与极限(一)
数列与极限(一)1、若c b a cba、、，则，，1226232===构成 （ ）A ．等差数列B ．等比数列C ．是等差数列也是等比数列D ．不是等差数列也不是等比数列 2、若四个正数a ，b ，c ，d 成等差数列，x 是a 和d 的等差中项，y 是b 和c 的等比中项，则x 和y 的大小关系是 （ ） A ．x <y B ．x >y C ．x =y D ．x ≥y3、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 （ ）A ．13项 B ．12项 C ．11项 D ．10项4、一张报纸，其厚度为a ，面积为b ，现将此报纸对折（既沿对边中点的连线折叠）7次， 这时报纸的厚度和面积分别是 （ ）A ．b a 81,8 B ．b a 641,64 C ．b a 1281,128D ．b a 2561,256 5、凸n 边形的各内角度数成等差数列，最小角是120︒，公差为5︒，则边数n 等于（ ）A ．9B ．12C ．16D ．18 6、在等差数列{n a }中，若其前n 项和),,(,N n m n m nmS m m n S m n ∈≠==项和前，则 n m S +的值（ ）A ．大于4B ．等于4C ．小于4D ．大于2且小于47、等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为n S 与n T ，若231n n S nT n =+，则n na b 的值是（ ） A ．211n n -+B ．231n n +C．31n n +-D ．2131n n --8、已知等比数列的公比是2，且前4项的和是1，那么前8项之和为 （ ） A ．15 B ．17 C ．19 D ．21 9、已知等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，若854,18S a a 则-=等于（ ）A ．18B ．36C ．54D ．7210、一个等差数列共有n 项(n>10), 其前10项之和为50，后10项之和为70，则这n 项的和为（ ）。
数列极限习题及答案
数列极限习题及答案数列极限习题及答案数列是数学中的重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
数列的极限是数学分析中的基本概念之一，它描述了数列随着项数的增加趋向于某个确定的值。
在这篇文章中，我们将讨论一些关于数列极限的习题，并给出相应的答案。
1. 习题一：考虑数列{an}，其中an = 1/n。
求该数列的极限。
解答：要求该数列的极限，我们需要计算当n趋向于无穷大时，数列的值趋向于的值。
对于这个数列，当n趋向于无穷大时，an的值趋向于0。
因此，该数列的极限为0。
2. 习题二：考虑数列{bn}，其中bn = (-1)^n/n。
求该数列的极限。
解答：对于这个数列，当n为奇数时，bn = -1/n；当n为偶数时，bn = 1/n。
当n趋向于无穷大时，奇数项和偶数项的绝对值都趋向于无穷大。
但是，由于数列中的负号交替出现，所以数列的极限不存在。
3. 习题三：考虑数列{cn}，其中cn = (n+1)/n。
求该数列的极限。
解答：对于这个数列，当n趋向于无穷大时，cn的值趋向于1。
因此，该数列的极限为1。
4. 习题四：考虑数列{dn}，其中dn = 2^n/n!。
求该数列的极限。
解答：要求该数列的极限，可以尝试计算数列的前几项并观察规律。
当n取1时，d1 = 2/1 = 2；当n取2时，d2 = 4/2 = 2；当n取3时，d3 = 8/6 = 4/3；当n取4时，d4 = 16/24 = 2/3。
观察可以发现，当n趋向于无穷大时，数列的值趋向于0。
因此，该数列的极限为0。
5. 习题五：考虑数列{en}，其中en = (1+1/n)^n。
求该数列的极限。
解答：对于这个数列，当n趋向于无穷大时，(1+1/n)^n的值趋向于自然对数e 的值。
因此，该数列的极限为e。
通过以上习题的讨论，我们可以看到数列的极限与数列的定义和表达式有着密切的关系。
在计算数列的极限时，我们需要观察数列的规律，并利用数学知识进行推导和计算。
数列极限的概念在数学分析中有着广泛的应用，例如在微积分、实分析等领域中都会涉及到。
高等数学教材答案农科类
高等数学教材答案农科类答案一：第一章微分学1. 函数与极限(1) 极限的概念(2) 无穷小量与无穷大量(3) 极限运算法则(4) 两个重要极限2. 导数与微分(1) 导数的概念(2) 导数的计算(3) 函数的微分(4) 微分中值定理第二章积分学3. 不定积分(1) 不定积分的定义(2) 基本积分表(3) 换元积分法(4) 分部积分法4. 定积分(1) 定积分的概念(2) 定积分的性质(3) 定积分的计算5. 定积分的应用(1) 几何应用(2) 物理应用6. 微分方程(1) 微分方程的基本概念(2) 常微分方程(3) 一阶线性微分方程(4) 数学建模中的微分方程答案二：第一章极限与连续1. 数列极限(2) 数列极限的性质(3) 数列极限的计算2. 函数的极限(1) 函数极限的定义(2) 函数极限的性质(3) 函数极限的计算3. 连续与间断(1) 连续的概念(2) 连续函数的性质(3) 间断点及分类第二章导数与微分4. 导数的概念与性质(1) 导数的定义(2) 导数的性质(3) 导数的计算5. 切线与法线(2) 法线的概念与性质6. 微分与近似计算(1) 微分的定义与性质(2) 微分的应用(3) 近似计算与线性化答案三：第一章函数与极限1. 函数的概念与分类(1) 函数的定义(2) 常见函数及其性质(3) 函数的分类2. 极限的概念与性质(1) 极限的定义(2) 极限的性质(3) 极限的计算方法3. 极限存在准则(1) 极限存在的几个重要准则(2) 极限不存在的情况第二章导数与微分4. 导数的定义与计算(1) 导数的定义(2) 导数的基本计算法则(3) 导数的链式法则5. 函数的凹凸性与拐点(1) 函数的凹凸性(2) 函数拐点的概念与判别方法(3) 函数图像的简化与分析6. 微分的应用(1) 极值问题与最优化(2) 误差估计与局部线性化(3) 应用题以上是关于高等数学教材中一些农科类课程的答案，希望能帮到您！。
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练习一：60分钟小练习（数列）
姓名 班级 学号 成绩
一、填空题（4*12=48分）
1.4和10的等差中项是7
2.等比数列{}n a 中，12a =，公比3q =，则5a =162
3. 2lim 21→∞+=+n n n 12
4.记等差数列{} n a 的前n 项和为S n ，若637014=+=，a a a ，则S 7=14。
5.等比数列{}n a 中，21a =，44a =，则6a =16
6.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若47a =，12n n a a -=+*(2,)n n N ≥∈，则8S =64
7.若等比数列{}n a 的前n 项和1()2n n S a =+*()n N ∈，则常数a 的值为-1
8．在数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，若21n S n =+，*n N ∈，则21212=⎧=⎨
-≥⎩n n a n n 9.求和：=+++⨯+⨯)2(1421311n n 1111(1)2
212+--++n n ． 10.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 是其前n 项和。
若对任意的*n ÎN ，{23}，n S Î，则k 的最大值为4.
11.求和：2222221234(21)(2)n n -+-+⋅⋅⋅+--=22--n n （用n 表示）
12.数列{}n a 中，111n n n
a a a ++=
-，12a =，则数列{}n a 前2018项的积等于-6 二、选择题（4*5=20分）
13．已知等差数列{}n a 中，前n 项和215n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（B ） A. 7 B. 7或8 C. 8 D. 9
14．已知数列{}n a 的通项公式12⎛⎫=- ⎪⎝⎭
n
n a ，则lim n n a →∞=（B ） A.等于12-
B. 等于0
C.等于12
D. 不存在 15.数列{}n a 中，211222n n a -=+++⋅⋅⋅+()n ∈*N ，则数列{}n a 的前50项和为（B ） A. 51251- B. 51252- C. 52251- D.52252-
16.若数列{}n a 满足当2n a n >（*N n ∈）成立时，总可以推出21)1(+>+n a n 成立．研究下列四个命题：
（1）若93≤a ，则164≤a ．（2）若103=a ，则255>a ．
（3）若255≤a ，则164≤a ．（4）若2)1(+≥n a n ，则21n a n >+． 其中错误的命题有（(A)）(A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个
三．综合题（10+10+12分）
17. 在等差数列{}n a 中，已知122a a +=，2310a a +=，求通项公式n a 及前n 项和n S 。
245,23n n a n S n n =-=-
18、用数学归纳法证明：
11111111 1......()
23421212
* -+-++-=+++∈
-+++
n N
n n n n n n
略
19.若数列的每一项都不等于零，且对于任意的，都有（为常数），则称数列为“类等比数列”．
已知数列满足：，对于任意的，都有．
（1）求证：数列是“类等比数列”；
（2）若是单调递减数列，求实数的取值范围。
23、解：（1）因为，所以，，
所以，数列是“类等比数列”．…………………………………4分
（2）由得……………………………5分
所以…………………………………7分
因为递减，所以………………………………8分
[或，对任意的正奇数n，成立。
]
解得：．……………………………………………………10分。