数学人教版八年级上册§12.2.4利用“斜边、直角边”判定直角三角形全等
人教版八年级数学上册12.2《斜边、直角边判定直角三角形全等》优秀教学案例
4.反思与评价：本节课注重学生的个性化评价，关注他们在学习过程中的进步和成长。教师鼓励学生进行自我评价，培养他们的自我监控和自我调整能力，使他们在学习过程中能够不断地反思和提高。
（二）讲授新知
1.利用多媒体课件或教具，直观地展示斜边、直角边判定直角三角形全等的方法。
2.通过讲解和示例，让学生理解和掌握斜边、直角边判定直角三角形全等的方法，并能够运用这一方法解决实际问题。
3.结合实例，讲解全等三角形的性质，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
（三）学生小组讨论
1.设计具有讨论性和合作性的学习任务，让学生在小组内进行讨论交流，共同解决问题。
2.设计具有挑战性和启发性的问题，引导学生思考，激发他们的求知欲和解决问题的能力。
3.创设轻松、愉快的学习氛围，使学生在课堂上能够自由地表达自己的观点，培养他们的创新意识和思维能力。
（二）问题导向
1.引导学生从问题中发现规律，总结判定方法，提高他们的推理能力和证明能力。
2.采用引导式教学法，让学生在解决问题的过程中，自主地探索和发现知识，培养他们的自主学习能力。
（四）反思与评价
1.引导学生对所学知识进行总结和反思，提高他们的归纳总结能力和思维的严谨性。
2.设计具有挑战性和应用能力。
3.注重学生的个性化评价，关注他们在学习过程中的进步和成长，激发他们的学习动力和自信心。
4.鼓励学生自我评价，培养他们的自我监控和自我调整能力，使他们在学习过程中能够不断地反思和提高。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握斜边、直角边判定直角三角形全等的方法，并能够运用这一方法解决实际问题。
12.2(4)斜边、直角边判定三角形全等(HL)
“SSS” “ SAS ” “ ASA ” “ AAS ”
“ SSS ”“ SAS ” “ ASA ” “ AAS ” “ HL ”
灵活运用各种方法证明直角三角形全等
应用
再见
A
（南宁中考）如图，在ΔABC中，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE＝CF。 （1）图中有几对全等的三角形？请一一列出。 （2）选择一对你认为全等的三角形进行论证。
E B D
F C
解：（1）图中共有三对全等的三角形，分别是： △BDE≌△CDF， △ADE≌△ADF， △ABD≌△ACD。 （2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴ ∠BED = ∠CFD = 90°。 ∵D是BC的中点，∴BD=CD 在Rt△BDE和Rt△CDF中 BD=CD BE=CF ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
α
a C
c
A
N
直角三角形全等的判定方法 斜边和一条直角边对应相等的两个直 角 三角形全等. 简写：“斜边、直角边”或 “HL” A 数学表达式： 在Rt△ABC 和Rt△ DEF中 A B=DE A C= DF
∴
C D F
B
Rt△ABC≌Rt△ DEF(H L)
E
你现在能够用几种方法说明两个直角三角形全等？
SSS AAS ASA SAS HL
前四个判定方法都需要三个条件，而“HL” 只有两个条件，你怎么看？
注意： 1、HL只能判定直角三角形全等，不 能判定一般三角形全等。
2、判定一般三角形全等的方法可以判 定直角三角形全等。
A
AC=DF ∠A=∠D ( ASA ) (1) _______,
BC=EF (SAS) (2) AC=DF,________ (3) AB=DE,BC=EF ( HL ) AB=DE( HL ) (4) AC=DF, ______ (5) ∠A=∠D, BC=EF ( AAS ) ∠B=∠E (6) ________,AC=DF ( AAS ) F
人教版八年级数学上册12.2《斜边、直角边判定直角三角形全等》教学设计
3.示范讲解：教师针对HL判定法进行详细讲解，通过动画、板书等形式，让学生直观地理解HL判定法的内涵和运用。
4.实践应用：设计不同类型的练习题，让学生运用HL判定法解决问题，巩固所学知识。同时，注重培养学生的解题思路和技巧。
人教版八年级数学上册12.2《斜边、直角边判定直角三角形全等》教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边判定法（HL）。
2.能够运用HL判定法判断两个直角三角形是否全等，并能够灵活运用HL判定法解决相关问题。
3.能够运用HL判定法推导出直角三角形全等的其他性质，如对应角相等、对应边成比例等。
a.基础题：直接给出斜边和一个直角边，让学生判断两个直角三角形是否全等。
b.提高题：给出斜边和一个非直角边，让学生运用HL判定法解决问题。
c.拓展题：给出斜边和非直角边的长度，让学生求解直角三角形的其他未知量。
5.小组合作：组织学生进行小组讨论和合作，共同解决实际问题。在此过程中，培养学生团队协作、沟通交流的能力。
4.能够运用全等直角三角形的性质解决实际问题，如计算边长、角度等。
（二）过程与方法
1.引导学生通过观察、思考、讨论的方式，发现斜边、直角边判定直角三角形全等的规律。
2.通过举例、练习、拓展等方式，让学生掌握HL判定法的应用，提高学生的实际操作能力。
3.引导学生运用HL判定法解决实际问题，培养学生的解决问题能力和逻辑思维能力。
b.探索：是否存在其他判定直角三角形全等的方法？请举例说明。
4.小组合作作业：
12.2.4斜边及一直角边证全等课件人教版数学八年级上册
6y 5 4 3 2 1
–1 O 1 2 3 4 5 x –1
情境导入
6y 5 4 3 2 1 –1 O 1 2 3 4 5 x –1
在平面直角坐标系 中找到以红色边为 斜边，以蓝色边为 直角边的直角三角 形，它们什么关系？
知识讲解
1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角
随堂练习
练习1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB，P，Q两 点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当__________时，△ABC和 △PQA全等．
随堂练习
练习1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB，P，Q两 点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当___5_或__1_0___时，△ABC和 △PQA全等．
2024年秋季 人教版数学 八年级上册
第十二章 全等三角形
12.2.4 斜边及一直角边证全等
目录
学习目标
1
2
情境导入
知识讲解
3
4
随堂练习
课后小结
5
学习目标
1.掌握用HL证明两个直角三角形全等的方法；（重点）
2.能根据条件灵活选择三角形全等的判定方法，并综合运用全等三角形的性质 证明线段相等和角相等。（难点）
解：全等三角形为：△ACD≌△CBE． 证明如下：由题意知∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°， ∴∠CAD=∠BCE． 在△ACD与△CBE中，
课后小结
1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜 边、直角边”或“HL”. 2.了解含义，灵活选择判定方法证明直角三角形全等.
人教版八年级数学上册12.2.4《直角三角形全等的判定》教学设计
人教版八年级数学上册12.2.4《直角三角形全等的判定》教学设计一. 教材分析《直角三角形全等的判定》是人教版八年级数学上册第12.2.4节的内容，本节课主要让学生掌握HL（斜边-直角边）判定两个直角三角形全等的方法，并能够运用该方法解决实际问题。
本节课是学生在学习了三角形的基本概念、全等三角形的性质及判定方法的基础上进行的，是对全等三角形判定方法的进一步拓展和深化。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念、全等三角形的性质及判定方法，能够运用SSS、SAS、ASA、AAS判定两个三角形全等。
但是，对于直角三角形全等的判定方法，学生可能还比较陌生，需要通过实例分析、自主探究等方式，让学生理解和掌握HL判定两个直角三角形全等的方法。
三. 教学目标1.让学生掌握HL（斜边-直角边）判定两个直角三角形全等的方法。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和合作交流能力。
四. 教学重难点1.教学重点：掌握HL（斜边-直角边）判定两个直角三角形全等的方法。
2.教学难点：如何让学生理解和运用HL判定两个直角三角形全等。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究法：引导学生通过合作交流、动手操作，自主发现HL判定两个直角三角形全等的方法。
3.讲解法：教师对HL判定两个直角三角形全等的方法进行讲解，帮助学生理解和掌握。
4.练习法：通过适量练习，让学生巩固所学知识，提高运用能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示直角三角形全等的判定方法。
2.学习材料：准备相关的学习材料，如三角形模型、直角三角形等。
3.教学设备：准备黑板、粉笔、投影仪等教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活实例，如建筑工人测量高度，引入直角三角形全等的概念。
提问：如何判断两个直角三角形全等呢？2.呈现（10分钟）展示直角三角形全等的判定方法，引导学生观察、思考，引导学生发现HL判定两个直角三角形全等的方法。
人教版数学八年级上册12.2第4课时斜边、直角边优秀教学案例
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成小组，让他们在小组内进行讨论，共同探究斜边和直角边的关系，并解决一些实际问题。
2.分享与交流：让学生分享自己的小组讨论成果，促进学生之间的交流和思维碰撞。
（四）反思与评价
1.引导学生自我反思：让学生回顾自己的学习过程，思考自己在探究斜边和直角边关系时的优点和不足。
2.同伴评价：鼓励学生互相评价，互相学习，共同提高。
3.教师评价：教师对学生的学习过程和成果进行评价，给予肯定和鼓励，并提出改进建议。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示一个实际问题：展示一个建筑物的高度需要测量，但是直接测量有困难，引导学生思考如何使用斜边和直角边的关系来解决问题。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，提高学生对数学学科的实用性和价值的认识。
三、教学策略
（一）情景创设
1.以实际问题引入：通过展示一个实际问题，如测量一个物体的高度，引导学生思考如何使用斜边和直角边的关系来解决问题。
2.利用多媒体展示：利用多媒体课件展示斜边和直角边的实际应用场景，如建筑设计、物理实验等，让学生感受到数学与现实的联系。
在教学过程中，我将注重启发式教学，通过引导学生观察、思考和讨论，让学生主动发现斜边和直角边的关系，并能够运用这一关系解决实际问题。同时，我还会运用多媒体教学手段，为学生提供丰富的学习资源，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
希望通过本节课的教学，学生能够更好地理解斜边和直角边的关系，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。同时，我也将不断反思和总结教学过程，不断提高自己的教学水平，为学生提供更好的教学服务。
八年级数学人教版(上册)12.2第4课时“斜边、直角边”
AB=CD, AF=CE.
Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
BF=DE ∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE
Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS).
侵权必究
C
FG=EG BD平分EF
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
侵权必究
课堂小结
内容
斜边和一条直角边对应相等的 两个直角三角形全等.
“斜边、 前提 直角边” 条件
使用 方法
侵权必究
在直角三角形中
只须找除直角外的两个条件即可 （两个条件中至少有一个条件是一 对对应边相等）
课堂小结
判定直角三角形全等的“四种思路”： (1)若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相等，
用“HL”判定． (2)若有一组锐角和斜边分别相等，用“AAS”判定． (3)若有一组锐角和一组直角边分别相等，①直角边是锐
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
几何语言：
B AB=A′B′,
BC=B′C′,
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
A
C B′
“SSA”可以判定两个直角
三角形全等，但是“边边”
指的是斜边和一直角边，
A′
C′
而“角”指的是直角.
侵权必究
练一练
侵权必究
在△ACD和△BEC中，
A CBE， D BCE， CD EC，
∴△ACD≌△BEC(AAS). ∴AD = BC，AC = BE， ∴AD+AB = BC+AB = AC = BE.
侵权必究
当堂练习
7、如图，AB=CD， BF⊥AC，DE⊥AC，AE=CF. 求证：BF=DE.
“斜边直角边”判定三角形全等说课
教材分析
目标分析
教法分析
过程分析
评价分析
处理三：课本第43页课后练习，作为学生独立练习的内容，检查学生对新判 定定理的掌握情况。
教材分析
目标分析
教法分析
过程分析
评价分析
二.目标分析
1 ．知识技能：探索和了解直角三角形全等的条件：斜边、直 角边。会运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等。 2．数学思考：建立直角三角形全等的模型. 3．解决问题：探索直角三角形全等的条件。 4．情感态度：培养学生动手操作的能力，充分调动学生的积 极性、主动性，增强学生的自信心．
∴ Rt△ABC≌ Rt△A´B´C´ （HL）
三、知识运用 形成技能
例题1：如图：AC⊥BC，BD⊥AD， AC=BD.求证：BC=AD.
D
O C 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD
∴ ∠D=∠C=90°
在Rt△ACB和Rt△BDA中,则
A
B
AB=BA（共公边）
教师板书，规范学∴ R生t△AA格CCB=式B≌DR.。(t已△B知D）A (HL).
教材分析
目标分析
教法分析
过程分析
评价分析
人教版数学教材八年级上册
12.2.“斜边、直角边” 判定三角形全等
说课内容 ：
一
教材分析
二
目标分析
三
教法分析
四
过程分析
五
评价分析
一、教材分析
（1）教材的前后联系
本节课是九年义务教育课程标准实验教科书八年级上册第 12章第2节第4课时的内容，属于 “图形与几何”领域。在前 面的章节中，学生已经学习过线段、角、相交线与平行线以及 三角形的有关知识，并在《三角形》一章中学习了如何通过推 理论证证明一个结论，这些都为他们学习三角形全等的知识提 供了基础。本章研究三角形全等的判定方法，以及利用三角形 全等的性质进行简单的证明，其中渗透了研究几何图形的基本 方法和策略。由于利用三角形全等可以证明线段、角等基本元 素的相等，所以本章的内容是后面学习等腰三角形、四边形、 圆等内容打下基础。
12.2.4直角三角形全等的判定(HL)教学设计 初中八年级上册数学教案教学设计课后反思 人教版
课题：12.2.4直角三角形全等的判定（HL）课型：新授课【教学内容】直角三角形全等的判定（HL）【学习目标】1.知识与技能：（1）探索并掌握直角三角形全等的判定方法“HL”；（2）能够合理选择恰当的直角三角形判定方法来解决问题。
2.过程与方法：经历探索直角三角形全等判定方法的过程，体会利用操作、证明、归纳获得数学结论的过程，培养学生反思的习惯和理性的思维习惯。
3.情感态度与价值观：通过探究与交流，解决一些问题，获得成功的体验，进一步激发探究的积极性。
【学习重点】掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法-HL。
【学习难点】灵活应用直角三角形的判定方法解决问题。
【教法学法】探究、讨论、归纳法【教学准备】直角三角形板、两张透明纸、圆规直尺【课时安排】1课时【教学流程】预习提纲教案1.斜边与一条直角边分别相等的两个直角三角形.（简写成“”或“”）.2.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）.3.略.4.课后练习题……（略）.教案一、情境导入、目标引领（时间：5分钟）1、判定两个三角形全等的方法有：、、、。
2、这些方法能判定直角三角形全等吗？3、思考：对于两个直角三角形，除了直角相等外，还要添几个条件，这两个直角三角形就全等呢？我们知道直角三角形是特殊的三角形，所以可以用一般三角形全等的判定方法: SSS 、SAS、ASA、AAS。
只要添加一边一锐角或两直角边分别相等，这两个直角三角形就全等了。
4.问题：如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等吗？二、自主学习、合作探究（时间：10分钟）探究：动手画一画（小组比较）1．任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°，再画一个Rt△A´B´C´，使得∠C´= 90°，B´C´=BC，A´B´= AB。
12.2.4三角形全等的判定——斜边直角边(同步课件)-人教版初中数学八年级上册
你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
A
B
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 (简写成“斜边、直角边”或“HL”).
B
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， AB = A′B′，
BC = B′C′， ∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL).
A
C
B′
A′
C′
特别提醒：在做题时往往在相等的边或角上
在 △GBF 和 Rt△GDE 中，
D
BF＝DE
∠BFG＝∠DEG
∠BGF＝∠DGE
∴△GBF≌△GDE (AAS)
∴GF=GE，即BD平分EF.
如图，AC=BC，AE=CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE=7，BD=2，求 DE的长．
解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D， ∴∠AEC=∠D=90°， 在Rt△AEC与Rt△CDB中
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE (HL).
∴ BF = DE.
B
F
C
E
D
如图，AB = CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE = CF. 求证：BD 平分 EF.
在 Rt△ABF 和 Rt△CDE 中， AB = CD， AF = CE，
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE (HL).
B
FC AEG
∴BF＝DE
如图，AB = CD， BF⊥AC，DE⊥AC，AE = CF.求证：BF = DE.
证明：∵ BF⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BFA =∠DEC = 90°.
∵ AE = CF，∴ AE + EF = CF + EF，
即 AF = CE.
在 Rt△ABF 和 Rt△CDE 中，
人教版八年级数学上册第4课时“斜边、直角边”判定三角形全等
课堂练习
2.（1）如图， ∠ACB=∠ADB=90 °,要使
△ABC≌△BAD，还需增加一个什么条件？把增加
的条件填在横线上，并在后面的括号中填上判定全 等的理由. ① ____A_D__=_B_C___ （ HL ）； ② ____B_D__=_A_C___ （ HL ）； ③∠__D_A__B_=_∠__C_B__A（AAS）； ④ ∠__D__B_A_=_∠__C__A_B（AAS）.
例 如图，AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C,D, AC=BD.求证 BC=AD.
证明：∵ AC⊥BC,BD⊥AD，
∴ ∠C与∠D都是直角.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AB=BA, AC=BD,
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL) ∴BC=AD.
探究新知
你能用几种方法判定两个直角三角形全等呢？ “定义、SSS、SAS、ASA、AAS”以及“HL”
的距离相等吗？为什么？
相等
课堂练习
证明：∵ DA⊥AB，EB⊥AB ∴ ∠A=∠B=90 ° 在Rt△ACD和Rt△BCE中，
AC=BC
CD=CE ∴ Rt△ACD ≌ Rt△BCE（HL） ∴ AD=BE
2.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为
E，F，CE=BF，求证：AE=DF.
小结
通过本节课的学习，同学们有哪些收获？ 1.直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一
般三角形判定全等的方法，而且还有直角三角形特 殊的判定全等的方法——“HL”.
2.两个直角三角形中，由于有直角相等的条 件，所以判定两个直角三角形全等，只需找两个条 件（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相 等）即可.
课堂练习
人教版数学八年级上册：12.2.4-直角三角形全等判定HL-课件(共30张PPT)
并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF,
求证：△ABC≌△DEF
A
变式1：若把∠BAC＝∠EDF,改为BC＝EF ， △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。
B
PC
D
小结
E
QF
思维拓展
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高,
并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF,
求证：△ABC≌△DEF
12.2.4全等三角形判定 HL
旧知回顾
判断两个三角形全等的方法 我们已经学了哪些呢？
2
SSS ASA SAS AAS
3
三边对应相
等的两个三角形
全等。(简写成
B
“边边边”或“SSS”）
E
A C
D F
4
两边和它们夹角 对应相等的两个三 角形全等。(简写成 B “边角边”或“SAS”）
E
A C
D F
ＡＢ＝ＤＣ BE＝CＦ
A
B
∴Ｒｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△ＤＣＦ（ＨＬ）
∴ＡＥ＝ＤＦ
20
2.如图， △ABC中，AB=AC，AD是高 求证:BD=CD ;∠BAD=∠CAD
证明：∵AD是高
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ADB和Rt△ADC中
A
{ AB=AC（已知） AD=AD（公共边）
∴ Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）
∴BD=CD,∠BAD=∠CAD
等腰三角形三线合一
B
D
C
3.如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发 以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到 达D，E两地，此时，DA⊥AB，EB⊥AB，
D、E与路段AB的距离相等吗？为什么？
人教版八年级上册数学 12.2第4课时 “斜边、直角边”《直角三角形全等的判定》参考教案
三角形全等的判定（四）直角三角形全等的判定教学目标1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。
3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
教学重点运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学难点熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学过程Ⅰ．提出问题，复习旧知1、判定两个三角形全等的方法：、、、2、如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，（1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）Ⅱ．导入新课（一）探索练习：（动手操作）：已知线段a ，c (a<c) 和一个直角α利用尺规作一个Rt△ABC，使∠C=∠α，AB=c ，CB= a1、按步骤作图： a c①作∠MCN=∠α=90°，②在射线CM上截取线段CB=a，③以B 为圆心，C为半径画弧，交射线CN于点A，α④连结AB2、与同桌重叠比较，是否重合？3、从中你发现了什么？斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等．（ＨＬ）（二）巩固练习：1．如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）2．如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，根据（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，根据（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，根据（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。
人教版八年级数学上册第十二章 1 第4课时 利用“斜边、直角边”判定直角三角形全等
∵∠1+∠2=90°,∴∠1+∠C=90°.
∵∠1+∠C+∠BEC=180°,
∴∠BEC=90°.∴BE⊥AC.
点拨:证明两个直角三角形全等,优先考虑利用“HL”.
思考:如果把本题中的条件BF=AC与结论BE⊥AC 互换,那么这个
命题成立吗?
(提示:成立,利用“AAS”证△BDF≌△ADC即可.)
别固定在地面两个木桩上,绳子绷紧,则两个木桩离杆底部的距离
BD与CD间的关系为(
).
A.BD>CD
B.BD<CD C.BD=CD D.不能确定
关闭
C
答案
-6知识梳理
1
预习自测
3.下列条件不能判定两个直角三角形全等的是(
A.有两条直角边对应相等
B.有两个锐角对应相等
C.斜边和一条直角边对应相等
D.斜边和一个锐角对应相等
2
3
4
).
关闭
直角三角形全等既可以用一般三角形全等的判定方法(直角作为一对相
等的角),又可用“HL”判定,这些条件中至少有一对相等的边.
B
关闭
解析
答案
-7知识梳理
预习自测
1
2
3
4
4.如图,有一正方形窗架,盖房时为了稳定,在上面钉了两根等长的
木条GF与GE,E,F分别是AD,BC的中点,可证得Rt△AGE≌
能使Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是(
).
A.AB=A'B'=5,BC=B'C'=3
B.AB=B'C'=5,∠A=∠B'=40°
最新人教版八年级数学上册 12.2 第4课时 “斜边、直角边”
第4课时 “斜边、直角边”教学目标1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”．(重点)2．经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解决有关问题．(难点)教学过程一、情境导入舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？二、合作探究探究点一：应用“斜边、直角边”判定三角形全等如图，已知∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB ＝CD ，BE ＝CF .求证：Rt △ABF ≌Rt △DCE .解析：由题意可得△ABF 与△DCE 都为直角三角形，由BE ＝CF 可得BF ＝CE ，然后运用“HL ”即可判定Rt △ABF 与Rt △DCE 全等．证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE .∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形．在Rt △ABF 和Rt △DCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝CE ，AB ＝CD ， ∴Rt △ABF ≌Rt △DCE (HL)．方法总结：利用“HL ”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．探究点二：“斜边、直角边”判定三角形全等的运用【类型一】 利用“HL ”判定线段相等如图，已知AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD ＝AF ，AC ＝AE .求证：BC ＝BE .解析：根据“HL ”证Rt △ADC ≌Rt △AFE ，得CD ＝EF ，再根据“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △ABF ，得BD ＝BF ，最后证明BC ＝BE .证明：∵AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且AD ＝AF ，AC ＝AE ，∴Rt △ADC ≌Rt △AFE (HL)．∴CD ＝EF .∵AD ＝AF ，AB ＝AB ，∴Rt △ABD ≌Rt △ABF (HL)．∴BD ＝BF .∴BD －CD ＝BF －EF .即BC ＝BE .方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL ”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．【类型二】 利用“HL ”判定角相等或线段平行如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ，求证：∠1＝∠2.解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt △ABC ≌Rt △ADC ，进而得出角相等．证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B ＝∠D ＝90°，∴△ABC 与△ACD 为直角三角形．在Rt △ABC 和Rt △ADC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL)，∴∠1＝∠2. 方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．【类型三】 利用“HL ”解决动点问题如图，有一直角三角形ABC ，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AQ 上运动，问P 点运动到AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？解析：本题要分情况讨论：(1)Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP ＝BC ＝5cm ，可据此求出P 点的位置．(2)Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP ＝AC ，P 、C 重合．解：根据三角形全等的判定方法HL 可知：(1)当P 运动到AP ＝BC 时，∵∠C ＝∠QAP ＝90°.在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝BC ，PQ ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL)，∴AP ＝BC ＝5cm ；(2)当P 运动到与C 点重合时，AP ＝AC .在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AC ，PQ ＝AB ，∴Rt △QAP ≌Rt △BCA (HL)，∴AP ＝AC ＝10cm ，∴当AP ＝5cm 或10cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．【类型四】 综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等如图，CD ⊥AB 于D 点，BE ⊥AC 于E 点，BE ，CD 交于O 点，且AO 平分∠BAC .求证：OB ＝OC .解析：已知BE ⊥AC ，CD ⊥AB 可推出∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°，由AO 平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据AAS 证得△AOD ≌△AOE ，根据ASA 证得△BOD ≌△COE ，即可证得OB ＝OC .证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°.∵AO 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2.在△AOD 和△AOE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠AEB ，∠1＝∠2，OA ＝OA ，∴△AOD ≌△AOE (AAS)．∴OD ＝OE .在△BOD 和△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BDC ＝∠CEB ，OD ＝OE ，∠BOD ＝∠COE ，∴△BOD ≌△COE (ASA)．∴OB ＝OC .方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL ”外，还有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS.三、板书设计“斜边、直角边”1．斜边、直角边：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为“斜边、直角边”或“HL ”．2．方法归纳：(1)证明两个直角三角形全等的常用方法是“HL ”，除此之外，还可以选用“SAS ”“ASA ”“AAS ”以及“SSS ”．(2)寻找未知的等边或等角时，常考虑转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．教学反思本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．此外，还要注重通过适量的练习巩固所学的新知识．。
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思考：满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么? 3.两直角边对应相等的两个直角三角形.
全等 ( SAS)
思考：满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?
4.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 是否全等呢？
实验操作探索“HL”判定方法
已知：Rt△ABC，使∠C =90， 求作：Rt△A＇B＇C＇，使∠C＇=90°，
(第 1 题)
练一练——合作交流
2.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF
求证：BF=DE
B
证明：∵AE=CF
∴AE+EF=CF+EF A
EHale Waihona Puke 即AF=CEFC
又BF⊥AC,DE⊥AC D
∴∠AFB=∠CEB=90˚
在Rt△AFB和Rt△CED中
AB=CD
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE ( HL).
练一练——例题变式
变式 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证△ABC ≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由． （1） AD = BC （ HL）；
（2） AC = BD （ HL）；
DC
（3） ∠DAB = ∠CBA（AAS）；
（4） ∠DBA = ∠CAB（AAS）．
A
B
练一练——合作交流
AF=CE
∴BF=DE
思考题：变式训练
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF，连 接BD，求证：EG=FG
B
oF
A
E
oG
C
D
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
16
结束语
当你尽了自己的最大努 力时，失败也是伟大的 ，所以不要放弃，坚持 就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
12.2.4 利用“斜边、直角边” 判定直角三角形全等（HL）
1. 通过实验，探索直角三角形全等的条件； 2. 会用斜边、直角边定理判定直角三角形全等； 3. 熟练运用“HL”解决有关问题.
知识回顾： 包括直角三角形
1.判定三角形 全等的方法有：
① SSS ；
② SAS ；
③ ASA ；
④ AAS . A
2.认识直角三角形
直 角
斜边
Rt△ABC
边
C 直角边
B
思考：满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?
1.一个锐角及这个锐角的对边对应相等的 两个直角三角形.
全等 (AAS)
思考：满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?
2.一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等 的两个直角三角形.
全等 ( ASA)
C′
“HL”判定方法的运用举例
例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC =BD．求证： BC =AD．
D 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，
∴ ∠C =∠D =90˚．
在Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
AC =BD
A
AB =BA
∴ Rt△ABC ≌ Rt△BAD（HL）．
∴ BC =AD
C B
B＇C＇=BC，A＇B＇=AB，
然后把画好的Rt△A＇B＇C＇剪下来放到 A Rt△ABC上，你发现了什么？
B
C
实验操作探索“HL”判定方法
画法： （1） 画∠MC＇N =90°； （2）在射线C＇M上取B＇C＇=BC； （3） 以B＇为圆心，AB为半径画弧， B
交射线C＇ N于点A＇； （4）连接A＇B＇．
1.如图，在 △ABC 中，BD＝CD， DE⊥AB， DF⊥AC，E F为垂足，DE＝DF，求证： (1)△BED≌△CFD．(2)AE=AF
(1)证明 ：∵ DE⊥AB， DF⊥AC ∴∠BED=∠CFD=90°
在Rt△BED与Rt△CFD中, DE＝DF BD＝CD
∴ △BED≌△CFD(HL)
现象：两个直角三角形能重合． 说明：这两个直角三角形全等．
M B＇
A
C N
A＇
C＇
斜边、直角边定理（HL）
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
条件1
条件2
简写成“斜边、直角边” 或“HL”
B
∵∠C=∠C′=90°
∴在Rt△ABC和Rt△ ABC中 A
C
AB=AB BC= BC
B′
∴Rt△ABC≌ Rt△A′B′C′ (HL) A ′