第二章 随机变量及其分布答案
高中数学人教A版选修2-3_第二章_随机变量及其分布_211_离散型随机变量(2)
高中数学人教A版选修2-3 第二章随机变量及其分布 2.1.1 离散型随机变量（2）一、单选题1. 抛掷一枚质地均匀的硬币一次,随机变量为（）A.掷硬币的次数B.出现正面向上的次数C.出现正面向上或反面向上的次数D.出现正面向上与反面向上的次数之和2. 下列随机变量是离散型随机变量的是（）抛5颗骰子得到的点数和;某人一天内接收到的电话次数;某地一年内下雨的天数;某机器生产零件的误差数.A.(1)(2)(3)B.(4)C.(1)(4)D.(2)(3)3. 已知下列随机变量:①10件产品中有2件次品,从中任选3件,取到次品的件数X;②一位射击手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用X表示该射击手在一次射击中的得分;③刘翔在一次110米跨栏比赛中的成绩X;④在体育彩票的抽奖中,一次摇号产生的号码数X.其中X是离散型随机变量的是（）A.①②③B.②③④C.①②④D.③④4. 下列变量中不是随机变量的是().A.某人投篮6次投中的次数B.某日上证收盘指数C.标准状态下,水在100时会沸腾D.某人早晨在车站等出租车的时5. 下列随机变量中不是离散型随机变量的是().A.掷5次硬币正面向上的次数MB.某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间TC.从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和YD.将一个骰子掷3次,3次出现的点数之和X6. 下列随机变量中，不是离散型随机变量的是（）A.某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数XB.某水位监测站所测水位在(0, 18]这一范围内变化，该水位监测站所测水位HC.从装有1红、3黄共4个球的口袋中，取出2个球，其中黄球的个数ξD.将一个骰子掷3次，3次出现的点数和X参考答案与试题解析高中数学人教A版选修2-3 第二章随机变量及其分布 2.1.1 离散型随机变量（2）一、单选题1.【答案】B【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】出现正面向上的次数为0或1，是随机变量【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】由离散型随机变量的定义知((1)(2)(3)均是离散型随机变量，而（4）不是，由于这个误差数几乎都是在0附近的实数，无法——列出．【解答】此题暂无解答3.【答案】C【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】③中X的值可在某一区间内取值，不能——列出，故不是离散型随机变量【解答】此题暂无解答4.【答案】C【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】由随机变量的概念可知．标准状态下，水在100∘C时会沸腾不是随机变量【解答】此题暂无解答5.【答案】B【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】f】由随机变量的概念可知．某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T不能——举出，故不是离散型随机变量【解答】此题暂无解答6.【答案】B【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】利用离散型随机变量的定义直接求解．【解答】解：水位在(0,18]内变化，不能一一举出，故不是离散型随机变量．其余都可以一一举出，故是离散型随机变量．故选B．。
第二章随机变量及其分布
第二章 随机变量及其分布第二节 离散随机变量一、选择1 设离散随机变量X 的分布律为:),,3,2,1(,}{ ===k b k X P kλ )(0为，则且λ>b11)D (11)C (1)B (0)A (-=+=+=>b bb λλλλ的任意实数).()0(,11111·,1,11)1(·lim lim 1)1(·1}{111C b b b b S b b S b k X P n n n n n nk kn k kk 所以应选因所以时当于是可知即因为解><+==-<=--=--=====∞→∞→=∞=∞=∑∑∑λλλλλλλλλλλλ二、填空1 如果随机变量X 的分布律如下所示,则=C .X0 1 2 3PC1 C 21 C 31 C 41.12251)(31==∑=C x P x i 得：根据解 2 进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为54, 失败的概率为51, 将试验进行到出现一次成功为止, 以X 表示所需试验次数, 则X 的分布律是__ ___ ____.(此时称X 服从参数为p 的几何分布).解:X 的可能取值为1，2，3 ，{}{}.,1~1次成功第次失败第K K K X -==所以X 的分布律为{} 1,2, , 54)51(1=⋅==-K K X P K 三、简答1 一个袋子中有5个球,编号为1,2,3,4,5, 在其中同时取3只, 以X 表示取出的3个球中的最大号码, 试求X 的概率分布.的概率分布是从而，种取法，故只，共有任取中，，个号码可在，另外只球中最大号码是意味着事件种取法，故只，共有中任取，，个号码可在，另外只球中最大号码是意味着事件只有一种取法，所以只球号码分布为只能是取出的事件的可能取值为解X C C X P C X C C X P C X C X P X X 53}5{624,321253},5{103}4{2321243},4{1011}3{,3,2,13},3{.5,4,335242235232335=============X 3 4 5 P101 103 532 一汽车沿一街道行驶, 需要通过三个均设有绿路灯信号的路口, 每个信号灯为红和绿与其他信号为红或绿相互独立, 且红绿两种信号显示时间相等, 以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数, 求X 的概率分布.故分布律为于是相互独立，且，遇到红灯个路口首次汽车在第表示设的可能值为由题设知解3321321332132122121132121)()()()(}3{21)()()()(}2{21)()()(}1{21)(}0{,21)()(,,"")3,2,1(,3,2,1,0==================A P A P A P A A A P X P A P A P A P A A A P X P A P A P A A P X P A P X P A P A P A A A i i A X i i iX 0 1 2 3 P21 221 321 321 第三节 超几何分布 二项分布 泊松分布一、选择1 甲在三次射击中至少命中一次的概率为0.936, 则甲在一次射击中命中的概率p =______.(A) 0.3 (B) 0.4 (C) 0.5 (D) 0.6 解: D设=X ”三次射击中命中目标的次数”,则),3(~p B X , 已知936.0)1(1)0(1)1(3=--==-=≥p X P X P ， 解之得6.04.01064.0)1(3=⇒=-⇒=-p p p2 设随机变量),3(~),,2(~p b Y p b X , {}{}=≥=≥1,951Y P X P 则若______. 43)A (2917)B ( 2719)(C 97)D ( 解: C二、填空1设离散随机变量X 服从泊松分布,并且已知{}{},21===X P X P{}______4＝则=X P .解:232-e 三、简答1.某地区的月降水量X （单位：mm ）服从正态分布N(40,24),试求该地区连续10个月降水量都不超过50mm 的概率.9396.09938.010Y P 9938.010B Y mm 50Y 10mm 50109938.0)5.2()44050440P )50P A P mm 50A 10＝）＝＝（），（～的月数”，则过＝“该地区降水量不超设天贝努利试验，相当做超过个月该地区降水量是否观察（（）＝（”＝“某月降水量不超过解：设==-≤-=≤φx x2 某地区一个月内发生交通事故的次数X 服从参数为λ的泊松分布,即)(~λP X ,据统计资料知,一个月内发生8次交通事故的概率是发生10次交通事故的概率的2.5倍.(1) 求1个月内发生8次、10次交通事故的概率； （2）求1个月内至少发生1次交通事故的概率； （3）求1个月内至少发生2次交通事故的概率；983.001.000248.0}1{}0{1}2{01487.06}1{)3(9975.000248.01}0{1}1{00248.0}0{)2(0413.0!106}10{1033.0!86}8{)1(6,36!105.2!8}10{5.2}8{.,.,2,1,0,!}{),(~610610682108≈+≈=-=-=≥≈==≈-≈=-=≥≈===≈==≈====⨯====⋯===-------X P X P X P e X P X P X P e e X P e X P e X P e e X P X P k k e k X P P X k λλλλλλλλλλλλ解出即据题意有关键是求出是未知的这里题这是泊松分布的应用问解第五节 随机变量的分布函数一、 填空题1设离散随机变量,216131101~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-X 则X 的分布函数为 .⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<==++=≤=≥=+=≤=<≤=≤=<≤-=≤=-<1,110,2101,311,0)(1216131}{)(1;216131}{)(1031}{)(01;0}{)(1x x x x x F x X P x F x x X P x F x x X P x F x x X P x F x 当当当当整理，得时，当时，当时，当时，当解二、选择1 设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数,为使)()()(21x bF x aF x F -=是某一变量的分布函数,在下列给定的数值中应取52,53)A (-==b a 32,32)B (==b a 23,21)C (=-=b a 23,21)D (-==b a ).(1)(lim )(lim )(lim ,1)(lim 21A b a x F b x F a x F x F x x x x 故应选即因此有根据分布函数的性质：分析-=-==+∞→+∞→+∞→+∞→2. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1x , 11x 0 , 2x 0x,0)(x F .则)(x F ______.(A) 是随机变量的分布函数. (B) 不是随机变量的分布函数.(C) 是离散型随机变量的分布函数. (D) 是连续型随机变量的分布函数. 解: A显然)(x F 满足随机变量分布函数的三个条件:(1))(x F 是不减函数 ， (2) 1)(,0)(,1)(0=+∞=-∞≤≤F F x F 且 ， (3))()0(x F x F =+3. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤=2x, 12x (*) , 4x(*)x,0)(2x F 当(*)取下列何值时,)(x F 是随机变量的分布函数.(A) 0 (B) 0.5 (C) 1.0 (D)1.5解: A 只有A 使)(x F 满足作为随机变量分布函数的三个条件.三．简答1 设随机变量X 的分布函数为x B A x F arctan )(+=,求B A ,的值. 解:由随机变量分布函数的性质.0)(lim =-∞→x F x .1)(lim =+∞→x F x 知.2)2()a r c t a n (lim )(lim 0B A B A x B A x F x x ππ-=-⨯+=+==-∞→-∞→.22)arctan (lim )(lim 1B A B A x B A x F x x ππ+=⨯+=+==+∞→+∞→ 解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-1202B A B A ππ得π1,21==B A第六节 连续随机变量的概率密度一、选择1.设()f x 、()F x 分别表示随机变量X 的密度函数和分布函数，下列选项中错误的是（ A ）（A ） 0()1f x ≤≤ （B ） 0()1F x ≤≤（C ）()1f x dx +∞-∞=⎰（D ） '()()f x F x =2.下列函数中，可为随机变量X 的密度函数的是( B )（A ） sin ,0()0,x x f x π≤≤⎧=⎨⎩其它 （B ）sin ,0()20,x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它（C ） 3sin ,0()20x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩，其它（D ）()sin ,f x x x =-∞<<+∞ 二、填空1.设连续随机变量X 的分布函数为11()arctan ,2F X x x π=+-∞<<+∞ (1)(11)P X -≤≤= 0.5 ， (2)概率密度()f x =21,(1)x x π-∞<<+∞+三、简答题1. 设随机变量X 的概率密度20()0,x Ax e x f x x -⎧>=⎨≤⎩，求：（1）常数A ；（2）概率(1)P X ≥。
概率论第二章习题答案
概率论第二章习题答案习题1：离散型随机变量及其分布律设随机变量X表示掷一枚公正的六面骰子得到的点数。
求X的分布律。
解答：随机变量X的可能取值为1, 2, 3, 4, 5, 6。
由于骰子是公正的，每个面出现的概率都是1/6。
因此，X的分布律为：\[ P(X=k) = \frac{1}{6}, \quad k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 \]习题2：连续型随机变量及其概率密度函数设随机变量Y表示从标准正态分布中抽取的数值。
求Y的概率密度函数。
解答：标准正态分布的概率密度函数为高斯函数，其形式为：\[ f(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y^2}{2}}, \quad -\infty < y < \infty \]习题3：随机变量的期望值已知随机变量X的分布律为：\[ P(X=k) = p_k, \quad k = 1, 2, ..., n \]求X的期望值E(X)。
解答：随机变量X的期望值定义为：\[ E(X) = \sum_{k=1}^{n} k \cdot p_k \]习题4：随机变量的方差继续使用习题3中的随机变量X，求X的方差Var(X)。
解答：随机变量X的方差定义为期望值的平方与每个值乘以其概率之和的差：\[ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]其中，\( E(X^2) = \sum_{k=1}^{n} k^2 \cdot p_k \)习题5：二项分布设随机变量X表示n次独立伯努利试验中成功的次数，每次试验成功的概率为p。
求X的分布律和期望值。
解答：X服从参数为n和p的二项分布。
其分布律为：\[ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, ..., n \]X的期望值为：\[ E(X) = np \]结束语：以上是概率论第二章的一些典型习题及其解答。
第二章 随机变量及其分布 作业及其答案
第二章 随机变量及其分布18.[十七] 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.,1,1,ln ,1,0)(e x e x x x x F X ，求（1）P (X<2), P {0<X ≤3}, P (2<X<25)；（2）求概率密度f X (x ). 解：（1）P (X ≤2)=F X (2)= ln2， P (0<X ≤3)= F X (3)－F X (0)=1，45ln 2ln 25ln )2()25(252(=-=-=<<X X F F X P （2）⎪⎩⎪⎨⎧<<==其它,0,1,1)(')(e x x x F x f24.[二十二] 设K 在（0，5）上服从均匀分布，求方程02442=+++K xK x 有实根的概率∵ K 的分布密度为：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他50051)(K K f要方程有根，就是要K 满足(4K )2－4×4× (K+2)≥0。
解不等式，得K ≥2时，方程有实根。
∴53051)()2(5522=+==≥⎰⎰⎰∞+∞+dx dx dx x f K P 25.[二十三] 设X ～N （3.22）（1）求P (2<X ≤5)，P (－4)<X ≤10)，P {|X|>2}，P (X>3)∵ 若X ～N （μ，σ2），则P (α<X ≤β)=φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-σμβφ⎪⎭⎫ ⎝⎛-σμα ∴P (2<X ≤5) =φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-235φ⎪⎭⎫ ⎝⎛-232=φ(1)－φ(－0.5) =0.8413－0.3085=0.5328P (－4<X ≤10) =φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-2310φ⎪⎭⎫ ⎝⎛--234=φ(3.5)－φ(－3.5) =0.9998－0.0002=0.9996P (|X |>2)=1－P (|X |<2)= 1－P (－2< P <2 )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-2322321 =1－φ(－0.5) +φ(－2.5) =1－0.3085+0.0062=0.6977P (X >3)=1－P (X ≤3)=1－φ⎪⎭⎫⎝⎛-233=1－0.5=0.5（2）决定C 使得P (X > C )=P (X ≤C )∵P (X > C )=1－P (X ≤C )= P (X ≤C )得 P (X ≤C )=21=0.5 又P (X ≤C )=φ023,5.023=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C C 查表可得∴ C =3 28.[二十六] 一工厂生产的电子管的寿命X （以小时计）服从参数为μ=160，σ(未知)的正态分布，若要求P (120＜X ≤200＝=0.80，允许σ最大为多少？∵ P (120＜X ≤200)=80.04040160120160200=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φσσσσ 又对标准正态分布有φ(－x )=1－φ(x )∴ 上式变为80.040140≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ--⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσσ 解出9.040:40≥⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσσ便得 再查表，得25.31281.140281.140=≤≥σσ 31.[二十八] 设随机变量X 在（0，1）上服从均匀分布 （1）求Y=e X 的分布密度∵ X 的分布密度为：⎩⎨⎧<<=为其他x x x f 0101)(Y=g (X ) =e X 是单调增函数 又 X=h (Y )=lnY ，反函数存在且α = min [g (0), g (1)]=min (1, e )=1=βmax [g (0), g (1)]=max (1, e )= e∴ Y 的分布密度为：⎪⎩⎪⎨⎧<<⋅=⋅=为其他y e y yy h y h f y ψ0111|)('|)]([)(（2）求Y=－2lnX 的概率密度。
概率论与数理统计(理工类_第四版)吴赣昌主编课后习题答案第二章
第二章随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么？解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.③随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,⋯,9,从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.解答：分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则样本空间S={ω1,ω2,ω3},定义随机变量X如下：X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3则X取每个值的概率为P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10,P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10,P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2},求λ.解答：由P{X=1}=P{X=2},得λe-λ=λ22e-λ,解得λ=2.习题2设随机变量X的分布律为P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P{12<X<52;(2)P{1≤X≤3};(3)P{X>3}.解答：(1)P{12<X<52=P{X=1}+P{X=2}=115+215=15;(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=115+215+315=25;(3)P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.习题3已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值，相应概率依次为12c,34c,58c,716c,试确定常数c,并计算P{X<1∣X≠0}.解答：依题意知，12c+34c+58c+716c=1,即3716c=1,解得c=3716=2.3125.由条件概率知P{X<1∣X≠0}=P{X<1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0}=12c1-34c=24c-3=26.25=0.32.习题4一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.解答：随机变量X的可能取值为3,4,5.P{X=3}=C22/C53=1/10,P{X=4}=C32/C53=3/10,P{X=5}=C42/C53=3/5,所以X的分布律为求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.解答：因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为：P{3X>60},即P{X>20},P{X>20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6.就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1,当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求：(1)X的概率分布；(2)P{X≥5};(3)在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少?解答：(1)P{X=k}=(1-p)k p=(0.9)k×0.1,k=0,1,2,⋯;(2)P{X≥5}=∑k=5∞P{X=k}=∑k=5∞(0.9)k×0.1=(0.9)5;(3)设以0.6的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于m件，则m应满足P{X≥m}=0.6,即P{X≤m-1}=0.4. 由于P{X≤m-1}=∑k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m,故上式化为1-0.9m=0.4,解上式得m≈4.85≈5,因此，以0.6的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5.习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6,求他一次投篮时，投篮命中的概率分布.解答：此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量，设为X,它可能的值只有两个，即0和1. X=0表示未投中，其概率为p1=P{X=0}=1-0.6=0.4,X=1表示投中一次，其概率为p2=P{X=1}=0.6.则随机变量的分布律为由于每次取出的产品仍放回去，各次抽取相互独立，下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同，所以X的可能取值是所有正整数1,2,⋯,k,⋯.设第k次才取到正品(前k-1次都取到次品),则随机变量X的分布律为P{X=k}=310×310×⋯×310×710=(310)k-1×710,k=1,2,⋯.习题10设随机变量X∼b(2,p),Y∼b(3,p),若P{X≥1}=59,求P{Y≥1}.解答：因为X∼b(2,p),P{X=0}=(1-p)2=1-P{X≥1}=1-5/9=4/9,所以p=1/3.因为Y∼b(3,p),所以P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-(2/3)3=19/27.习题11纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005,在τ这段时间内断头次数不大于2的概率.解答：以X记纺锭断头数，n=800,p=0.005,np=4,应用泊松定理，所求概率为：P{0≤X≤2}=P{⋃0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b(k;800,0.005)≈∑k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)≈0.2381.习题12设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.解答：\becauseP{X=1}=P{X=2},即λ11!e-λ=λ22!e-λ⇒λ=2,∴P{X=0}=e-2,∴p=(e-2)4=e-8.2.3 随机变量的分布函数习题1F(X)={0,x<-20.4,-2≤x<01,x≥0,是随机变量X的分布函数，则X是___________型的随机变量.解答：离散.由于F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量.习题2设F(x)={0x<0x20≤1,1x≥1问F(x)是否为某随机变量的分布函数.解答：首先，因为0≤F(x)≤1,∀x∈(-∞,+∞).其次，F(x)单调不减且右连续，即F(0+0)=F(0)=0,F(1+0)=F(1)=1,且F(-∞)=0,F(+∞)=1,所以F(x)是随机变量的分布函数.习题3已知离散型随机变量X的概率分布为P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,试写出X的分布函数F(x)，并画出图形.解答：由题意知X的分布律为：所以其分布函数F(x)=P{X≤x}={0,x<10.3,1≤x<30.8,3≤x<51,x≥5. F(x)的图形见图.习题4设离散型随机变量X的分布函数为F(x)={0,x<-10.4,-1≤x<10.8,1≤x<31,x≥3,试求：(1)X的概率分布；(2)P{X<2∣X≠1}.解答：(1)F(x)=A+Barctanx(-∞<x<+∞),试求：(1)系数A与B;(2)X落在(-1,1]内的概率.解答：(1)由于F(-∞)=0,F(+∞)=1,可知{A+B(-π2)A+B(π2)=1=0⇒A=12,B=1π,于是F(x)=12+1πarc tanx,-∞<x<+∞;(2)P{-1<X≤1}=F(1)-F(-1)=(12+1πarctan1)-[12+1πarctanx(-1)]=12+1π⋅π4-12-1π(-π4)=12.习题7在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函数.解答：F(x)=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x<a.1,x≥a2.4 连续型随机变量及其概率密度习题1设随机变量X的概率密度为f(x)=12πe-(x+3)24(-∞<x<+∞),则Y=¯∼N(0,1).解答：应填3+X2.由正态分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ∼N(0,1),所以Y=3+X2∼N(0,1).习题2已知X∼f(x)={2x,0<x<10,其它,求P{X≤0.5};P{X=0.5};F(x).解答：P{X≤0.5}=∫-∞0.5f(x)dx=∫-∞00dx+∫00.52xdx=x2∣00.5=0.25,P{X=0.5}=P{X≤0.5}-P{X<0.5}=∫-∞0.5f(x)dx-∫-∞0.5f(x)dx=0.当X≤0时，F(x)=0;当0<x<1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2;当X≥1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故F(x)={0,x≤0x2,0<x<1.1,x≥1习题3设连续型随机变量X的分布函数为F(x)={A+Be-2x,x>00,x≤0,试求：(1)A,B的值；(2)P{-1<X<1};(3)概率密度函数F(x).(1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be-2x)=1,∴A=1;又\becauselimx→0+(A+Be-2x)=F(0)=0,∴B=-1.(2)P{-1<X<1}=F(1)-F(-1)=1-e-2.(3)f(x)=F′(x)={2e-x,x>00,x≤0.习题4服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度f(x)=Ae-∣x∣,求系数A及分布函数F(x).解答：由概率密度函数的性质知，∫-∞+∞f(x)dx=1,即∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=1,而∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=∫-∞0Aexdx+∫0+∞Ae-xdx=Aex∣-∞0+(-Ae-x∣0+∞)=A+A=2A或∫-∞+∞Ae-xdx=2∫0+∞Ae-xdx=-2Ae-x∣0+∞=2A,所以2A=1,即A=1/2.从而f(x)=12e-∣x∣,-∞<x<+∞,又因为F(x)=∫-∞xf(t)dt,所以当x<0时，F(x)=∫-∞x12e-∣t∣dt=12∫-∞xetdt=12et∣-∞x=12ex;当x≥0时，F(x)=∫-∞x12e-∣x∣dt=∫-∞012etdt+∫0x12e-tdt=12et∣-∞0-12e-t∣0x=12-12e-x+12=1-12e-x,从而F(x)={12ex,x<01-12e-x,x≥0.习题5某型号电子管，其寿命(以小时计)为一随机变量，概率密度f(x)={100x2,x≥1000,其它,某一电子管的使用寿命为X,则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.解答：设电子管的使用寿命为X,则电子管使用150小时以上的概率为P{X>150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dx=-100x∣150+∞==23,从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为p=(2/3)3=8/27.习题6设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.解答：设X为每位乘客的候车时间，则X服从[0,5]上的均匀分布. 设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型. Y服从二项分布，其参数n=10,p=P{X≥4}=15=0.2,所以P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268.设X∼N(3,22).(1)确定C,使得P{X>c}=P{X≤c};(2)设d满足P{X>d}≥0.9,问d至多为多少?解答：因为X∼N(3,22),所以X-32=Z∼N(0,1).(1)欲使P{X>c}=P{X≤c},必有1-P{X≤c}=P{X≤c},即P{X≤c}=1/2,亦即Φ(c-32)=12,所以c-32=0,故c=3.(2)由P{X>d}≥0.9可得1-P{X≤d}≥0.9,即P{X≤d}≤0.1.于是Φ(d-32)≤0.1,Φ(3-d2)≥0.9.查表得3-d2≥1.282,所以d≤0.436.习题8设测量误差X∼N(0,102),先进行100次独立测量，求误差的绝对值超过19.6的次数不小于3的概率.解答：先求任意误差的绝对值超过19.6的概率p,p=P{∣X∣>19.6}=1-P{∣X∣≤19.6}=1-P{∣X10∣≤1.96=1-[Φ(1.96)-Φ(-1.96)]=1-[2Φ(1.96)-1]=1-[2×0.975-1]=1-0.95=0.05.设Y为100次测量中误差绝对值超过19.6的次数，则Y∼b(100,0.05).因为n很大，p很小，可用泊松分布近似，np=5=λ,所以P{Y≥3}≈1-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-5≈0.87.习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖，求：工人每月需完成多少件产品才能获奖？解答：用X表示工人每月需装配的产品数，则X∼N(4000,3600).设工人每月需完成x件产品才能获奖，依题意得P{X≥x}=0.1,即1-P{X<x}=0.1,所以1-F(x)=0.1,即1-Φ(x-)=0.1,所以Φ(x-)=0.9.查标准正态人分布表得Φ(1.28)=0.8997,因此x-≈1.28,即x=4077件，就是说，想获超产奖的工人，每月必须装配4077件以上.某地区18岁女青年的血压(收缩压，以mm-HG计)服从N(110,122).在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X.(1)求P{X≤105},P{100<X≤120};(2)确定最小的x,使P{X>x}≤0.005.解答：已知血压X∼N(110,122).(1)P{X≤105}=P{X-11012≤-512≈1-Φ(0.42)=0.3372,P{100<X≤120}=Φ(120-11012)-Φ(100-11012)=Φ(0.833)-Φ(-0.833)=2Φ(0.833)-1≈0.595. (2)使P{X>x}≤0.05,求x,即1-P{X≤x}≤0.05,亦即Φ(x-11012)≥0.95,查表得x-10012≥1.645,从而x≥129.74.习题11设某城市男子身高X∼N(170,36),问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01.解答：X∼N(170,36),则X-1706∼N(0,1).设公共汽车门的高度为xcm，由题意P{X>x}<0.01,而P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ(x-1706)<0.01,即Φ(x-1706)>0.99,查标准正态表得x-1706>2.33,故x>183.98cm.因此，车门的高度超过183.98cm时，男子与车门碰头的机会小于0.01.习题12某人去火车站乘车，有两条路可以走. 第一条路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从正态分布N(40,102);第二条路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N(50,42),求：(1)若动身时离开车时间只有60分钟，应走哪一条路线？(2)若动身时离开车时间只有45分钟，应走哪一条路线？解答：设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间，则X∼N(40,102),Y∼N(50,42).哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.(1)因为P{X<60}=Φ(60-4010)=Φ(2)=0.97725,P{Y<60}=Φ(60-504)=Φ(2.5)=0.99379,所以有60分钟时应走第二条路.(2)因为P{X<45}=Φ(45-4010)=Φ(0.5)=0.6915,P{X<45}=Φ(45-504)=Φ(-1.25)=1-Φ(1.25)=1-0.8925=0.1075所以只有45分钟应走第一条路.2.5 随机变量函数的分布习题1已知X的概率分布为设X∼N(0,1)，求Y=2X2+1的概率密度.解答：因y=2X2+1是非单调函数，故用分布函数法先求FY(y).FY(y)=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}(当y>1时)=P{-y-12≤X≤y-12=∫-y-12y-1212πe-x2dx,所以fY(y)=F′Y(y)=22πe-12⋅y-12⋅122y-1,y>1,于是fY(y)={1/[2π(y-1)]e-(y-1)/4, y>10,y≤1.习题6设连续型随机变量X的概率密度为f(x),分布函数为F(x),求下列随机变量Y的概率密度：(1)Y=1X;(2)Y=∣X∣.解答：(1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/X≤y}.①当y>0时，FY(y)=P{1/X≤0}+P{0<1/X≤y}=P{X≤0}+P{X≥1/y}=F(0)+1-F(1/y),故这时fY(y)=[-F(1y)]′=1y2f(1y);；②当y<0时，FY(y)=P{1/y≤X<0}=F(0)-F(1/y),故这时fY(y)=1y2f(1y);③当y=0时，FY(y)=P{1/X≤0}=P{X<0}=F(0),故这时取fY(0)=0,综上所述fY(y)={1y2⋅f(1y),y≠00,y=0.(2)FY(y)=P{Y≤y}=P{∣X∣≤y}.①当y>0时，FY(y)=P{-y≤X≤y}=F(y)-F(-y)这时fY(y)=f(y)+f(-y);②当y<0时，FY(y)=P{∅}=0,这时fY(y)=0;③当y=0时，FY(y)=P{Y≤0}=P{∣X∣≤0}=P{X=0}=0,故这时取FY(y)=0,综上所述fY(y)={f(y)+f(-y),y>00,y≤0.习题7某物体的温度T(∘F)是一个随机变量, 且有T∼N(98.6,2),已知θ=5(T-32)/9,试求θ(∘F)的概率密度.解答：已知T∼N(98.6,2).θ=59(T-32),反函数为T=59θ+32,是单调函数，所以fθ(y)=fT(95y+32)⋅95=12π⋅2e-(95y+32-98.6)24⋅95=910πe-81100(y-37)2.设随机变量X在任一区间[a,b]上的概率均大于0,其分布函数为FY(x),又Y在[0,1]上服从均匀分布，证明:Z=FX-1(Y)的分布函数与X的分布函数相同.解答：因X在任一有限区间[a,b]上的概率均大于0,故FX(x)是单调增加函数，其反函数FX-1(y)存在，又Y在[0,1]上服从均匀分布，故Y的分布函数为FY(y)=P{Y≤y}={0,y<0y,0≤y≤11,y>0,于是，Z的分布函数为FZ(z)=P{Z≤z}=P{FX-1(Y)≤z}=P{Y≤FX(z)}={0,FX(z)<0FX(z),0≤FX(z)≤1,1,FX(z)>1由于FX(z)为X的分布函数，故0≤FX(z)≤1.FX(z)<0和FX(z)>1均匀不可能，故上式仅有FZ(z)=FX(z),因此，Z与X的分布函数相同. 总习题解答习题1从1∼20的整数中取一个数，若取到整数k的概率与k成正比，求取到偶数的概率.解答：设Ak为取到整数k,P(Ak)=ck,k=1,2,⋯,20.因为P(⋃K=120Ak)=∑k=120P(Ak)=c∑k=120k=1，所以c=1210,P{取到偶数}=P{A2∪A4∪⋯∪A20}=1210(2+4+⋯+20)=1121.习题2若每次射击中靶的概率为0.7,求射击10炮,(1)命中3炮的概率;(2)至少命中3炮的概率;(3)最可能命中几炮.解答：若随机变量X表示射击10炮中中靶的次数. 由于各炮是否中靶相互独立，所以是一个10重伯努利概型，X服从二项分布，其参数为n=10,p=0.7,故(1)P{X=3}=C103(0.7)3(0.3)7≈0.009;(2)P{X≥3}=1-P{X<3}=1-[C100(0.7)0(0.3)10+C101(0.7)1(0.3)9+C102(0.7)2(0.3) 8]≈0.998;(3)因X∼b(10,0.7),而k0=[(n+1)p]=[(10+1)]×0.7=[7.7]=7,故最可能命中7炮.习题3在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在1年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领20000元赔偿金，求:(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于元, 元的概率.解答：(1)以“年”为单位来考虑，在1年的1月1日，保险公司总收入为2500×120元=30000元.设1年中死亡人数为X,则X∼b(2500,0.002),则保险公司在这一年中应付出X(元)，要使保险公司亏本，则必须X>即X>15(人).因此，P{保险公司亏本}=P{X>15}=∑k=C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈1-∑k=015e-55kk!≈0.,由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的.(2)P{保险公司获利不少于元}=P{-X≥}=P{X≤10}=∑k=010C2500k(0.002)×(0.998)2500-k≈∑k=010e-55kk!≈0.,即保险公司获利不少于元的概率在98%以上.P{保险公司获利不少于元}=P{-X≥}=P{X≤5}=∑k=05C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈∑k=05e-55kk!≈0.,即保险公司获利不少于元的概率接近于62%.习题4一台总机共有300台分机，总机拥有13条外线，假设每台分机向总机要外线的概率为3%, 试求每台分机向总机要外线时，能及时得到满足的概率和同时向总机要外线的分机的最可能台数.解答：设分机向总机要到外线的台数为X,300台分机可看成300次伯努利试验，一次试验是否要到外线. 设要到外线的事件为A,则P(A)=0.03,显然X∼b(300,0.03),即P{X=k}=C300k(0.03)k(0.97)300-k(k=0,1,2,⋯,300),因n=300很大，p=0.03又很小,λ=np=300×0.03=9,可用泊松近似公式计算上面的概率. 因总共只有13条外线，要到外线的台数不超过13，故P{X≤13}≈∑k=0139kk!e-9≈0.9265,(查泊松分布表)且同时向总机要外线的分机的最可能台数k0=[(n+1)p]=[301×0.03]=9.习题5在长度为t的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数t2的泊松分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计),求：P{x<X≤x+Δx/X}=P{x<X≤x+Δx,X>x}P{X>x}=P{x<X≤x+Δx}1-P{X≤x}=F(x+Δx)-F(x) 1-F(x),故F(X+Δx)-F(x)1-F(x)=λΔx+o(Δx),即F(x+Δx)-F(x)Δx=[1-F(x)][λ+o(Δx)Δx],令o(Δx)→0,得F′(x)=λ[1-F(x)].这是关于F(x)的变量可分离微分方程，分离变量dF(x)1-F(x)=λdx,积分之得通解为C[1-F(x)]=e-λx(C为任意常数).注意到初始条件F(0)=0,故C=1.于是F(x)=1-e-λx,x>0,λ>0,故X的分布函数为F(x)={0,x≤01-e-λx,x>0(λ>0),从而电子管在T小时内损坏的概率为P{X≤T}=F(T)=1-e-λT.习题9设连续型随机变量X的分布密度为f(x)={x,0<x≤12-x,1<x≤20,其它,求其分布函数F(x).解答：当x≤0时，F(x)=∫-∞x0dt=0;当0<x≤1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00tdt+∫0xtdt=12x2;当1<x≤2时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫01tdt+∫1x(2-t)dt=0+12+(2t-12t2)∣1x=-1+2x-x22;当x>2时，F(x)=∫-∞00dt+∫01tdt+∫12(2-t)dt+∫2x0dt=1,故F(x)={0,x≤212x2,0<x≤1-1+2x-x22,1<x≤21,x>2.习题10某城市饮用水的日消费量X(单位：百万升)是随机变量，其密度函数为：f(x)={19xe-x3,x>00,其它,试求：(1)该城市的水日消费量不低于600万升的概率；(2)水日消费量介于600万升到900万升的概率.解答：先求X的分布函数F(x).显然，当x<0时，F(x)=0,当x≥0时有F(x)=∫0x19te-t3dt=1-(1+x3)e-x3故F(x)={1-(1+x3)e-x3,x≥00,x<0,所以P{X≥6}=1-P{X<6}=1-P(X≤6}=1-F(6)=1-[1-(1+x3)e-x3]x=6=3e-2,P{6<X≤9}=F(9)-F(6)=(1-4e-3)-(1-3e-2)=3e-2-4e-3.习题11已知X∼f(x)={cλe-λx,x>a0,其它(λ>0),求常数c及P{a-1<X≤a+1}.解答：由概率密度函数的性质知∫-∞+∞f(x)dx=1,而∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞a0dx+∫a+∞cλe-λxdx=c∫a+∞e-λxd(λx)=-ce-λx\vlinea+∞=ce-λa,所以ce-λa=1,从而c=eλa.于是P{a-1<X≤a+1}=∫a-1a+1f(x)dx=∫a-1a0dx+∫aa+1λeλae-λxdx=-eλae-λx\vlineaa+1=-eλa(e-λ(a+ 1)-e-λa)=1-e-λ.注意，a-1<a,而当x<a时，f(x)=0.习题12已知X∼f(x)={12x2-12x+3,0<x<10,其它,计算P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}.解答：根据条件概率;有P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}=P{X≤0.2,0.1<X≤0.5}P{0.1<X≤0.5}=P{0.1<X≤0.2}P{0.1<X≤0.5}=∫0.10.2( 12x2-12x+2)dx∫0.10.5(12x2-12x+3)dx=(4x3-6x2+3x)∣0.10.2(4x3-6x2+3x)∣0.10.5=0.1480.256=0..习题13若F1(x),F2(x)为分布函数，(1)判断F1(x)+F2(x)是不是分布函数，为什么？(2)若a1,a2是正常数，且a1+a2=1.证明：a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.解答：(1)F(+∞)=limx→+∞F(x)=limx→+∞F1(x)+limx→+∞F2(x)=1+1=2≠1故F(x)不是分布函数.(2)由F1(x),F2(x)单调非减，右连续，且F1(-∞)=F2(-∞)=0,F1(+∞)=F2(+∞)=1,可知a1F1(x)+a2F2(x)单调非减，右连续，且a1F1(-∞)+a2F2(-∞)=0,a1F1(+∞)+a2F2(+∞)=1.从而a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.习题14设随机变量X的概率密度ϕ(x)为偶函数，试证对任意的a>0,分布函数F(x)满足：(1)F(-a)=1-F(a);(2)P{∣X∣>a}=2[1-F(a)].解答：(1)F(-a)=∫-∞-aϕ(x)dx=∫a+∞ϕ(-t)dt=∫a+∞ϕ(x)dx=1-∫-∞aϕ(x)dx=1-F(a).(2)P{∣X∣>a}=P{X<-a}+P{X>a}=F(-a)+P{X≥a}F(-a)+1-F(a)=2[1-F(a)].习题15设K在(0,5)上服从均匀分布，求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率.解答：因为K∼U(0,5),所以fK(k)={1/5,0<k<50,其它,方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的充要条件为(4K)2-4⋅4(K+2)≥0,即K2-K-2≥0,亦即(k-2)(K+1)≥0,解得K≥2(K≤-1舍去),所以P{方程有实根}=P{K≥2}=∫2515dx=35.习题16某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名，假设报名者考试成绩X∼N(μ,σ2), 已知90分以上12人，60分以下83人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人是否能被录取？解答：要解决此问题首先确定μ,σ2, 因为考试人数很多，可用频率近似概率.根据已知条件P{X>90}=12/526≈0.0228,P{X≤90}=1-P{X>90}≈1-0.0228}=0.9772;又因为P{X≤90}=P{X-μσ≤90-μσ, 所以有Φ(90-μσ)=0.9772, 反查标准正态表得90-μσ=2 ①同理：P{X≤60}=83/526≈0.1578; 又因为P{X≤60}=P{X-μσ≤60-μσ,故Φ(60-μσ)≈0.1578.因为0.1578<0.5,所以60-μσ<0, 故Φ(μ-60σ)≈1-0.1578=0.8422, 反查标准正态表得μ-60σ≈1.0 ②联立①，②解得σ=10,μ=70, 所以，X∼N(70,100).某人是否能被录取，关键看录取率. 已知录取率为≈0.2947, 看某人是否能被录取，解法有两种：方法1：P{X>78}=1-P{X≤78}=1-P{x-7010≤78-7010=1-Φ(0.8)≈1-0.7881=0.2119,因为0.2119<0.2947(录取率), 所以此人能被录取.方法2：看录取分数线. 设录取者最低分为x0, 则P{X≥x0}=0.2947(录取率),P{X≤x0}=1-P{X≥x0}=1-0.2947=0.7053,P{X≤x0}=P{x-7010≤x0-7010=Φ{x0-7010=0.7053,反查标准正态表得x0-7010≈0.54, 解得x0≈75. 此人成绩78分高于最低分，所以可以录取. 习题17假设某地在任何长为t(年)的时间间隔内发生地震的次数N(t)服从参数为λ=0.1t的泊松分布，X 表示连续两次地震之间间隔的时间(单位：年).(1)证明X服从指数分布并求出X的分布函数；(2)求今后3年内再次发生地震的概率；(3)求今后3年到5年内再次发生地震的概率.解答：(1)当t≥0时，P{X>t}=P{N(t)=0}=e-0.1t,∴F(t)=P{X≤t}=1-P{X>t}=1-e-0.1t;当t<0时，F(t)=0,∴F(x)={1-e-0.1t,x≥00,x<0,X服从指数分布(λ=0.1);(2)F(3)=1-e-0.1×3≈0.26;(3)F(5)-F(3)≈0.13.习题18100件产品中，90个一等品，10个二等品，随机取2个安装在一台设备上，若一台设备中有i个(i=0,1,2)二等品，则此设备的使用寿命服从参数为λ=i+1的指数分布.(1)试求设备寿命超过1的概率；(2)已知设备寿命超过1，求安装在设备上的两个零件都是一等品的概率.解答：(1)设X表示设备寿命. A表示“设备寿命超过1”，Bi表示“取出i个二等品”(i=0,1,2)，则X的密度函数为fX(x)={λe-λx,x>00,x≤0 (λ=i+1,i=0,1,2),P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002,P(A∣B0)=∫1+∞e-xdx=e-1,P(A∣B1)=∫1+∞2e-2xdx=e-2,P(A∣B2)=∫1+∞3e-3xdx=e-3,由全概率公式：P(A)=∑i=02P(Bi)P(A∣Bi)≈0.32.(2)由贝叶斯公式：P(B0∣A)=P(B0)P(A∣B0)P(A)≈0.93.习题19设随机变量X的分布律为所以注：随机变量的值相同时要合并，对应的概率为它们概率之和.习题20设随机变量X的密度为fX(x)={0,x<02x3e-x2,x≥0,求Y=2X+3的密度函数.解答：由Y=2X+3,有y=2x+3,x=y-32,x′=12,由定理即得fY(x)={0,y<3(y-32)3e-(y-32),y≥3.习题21设随机变量X的概率密度fX(x)={e-x,x>00,其它,求Y=eX的概率密度.解答：因为α=min{y(0),y(+∞)}=min{1,+∞}=1,β=max{y(0),y(+∞)}=max{1,+∞}=+∞.类似上题可得fY(y)={fX[h(y)]∣h′(y)∣,1<y<+∞0,其它={1/y2,1<y<+∞0,其它.习题22设随便机变量X的密度函数为fX(x)={1-∣x∣,-1<x<10,其它,求随机变量Y=X2+1的分布函数与密度函数.解答：X的取值范围为(-1,1),则Y的取值范围为[1,2).当1≤y<2时，FY(y)=P{Y≤y}=P{X2+1≤y}=P{-Y-1≤x≤y-1}=∫-y-1y-1(1-∣x∣)dx=2∫0y-1(1-x)dx=1-(1-y-1)2,从而Y的分布函数为FY(y)={0,y<11-(1-y-1)2,1≤y<2,1,其它Y的概率密度为fY(y)={1y-1-1,1<y<20,其它.。
第二章__随机变量及其概率分布_考试模拟题答案
第二章 随机变量及其概率分布 考试模拟题(共90分)一．选择题(每题2分共20分)1．F(X)是随机变量X 的分布函数，则下列结论不正确的是（ B ）A.≤0F(x )1≤B.F(x )=P{X=x }C.F(x )=P{X x ≤}D.F(∞+)=1, F(∞-)=0 解析： A,C,D 都是对于分布函数的正确结论，请记住正确结论！B 是错误的。
2．设随机变量X 的分布函数律为如下表格：F(x)为其分布函数，则F(5)=( C )A.0.3B.0.5C.0.6D.0.4解析：由分布函数定义F(5)=P{X ≤5}=P{X=0}+P{X=2}+P{X=4}=0.1+0.2+0.3=0.6 3．下列函数可以作为随机变量分布函数的是（ D ）4x 01≤≤x 2x 10<≤x A.F(x)= B.F(x)=1 其它2 其它 -1 x<0 0 x<0 C.F(x)= 2x 10<≤x D.F(x)= 2x 5.00<≤x 1 其它 1 x ≥0.5解析：由分布函数F(x)性质：01)(≤≤x F ，A,B,C 都不满足这个性质，选D4x31<<-x 4．设X 的密度函数为f(x)= 则P{-2<x<2}=( B ) 0, 其它A. 0B.83C. 43D.85解析：P{-2<x<2}=⎰-22)(dx x f =dx xdx ⎰⎰---+122140=2128-x =83，选B 5. 设随机变量X 的取值范围是(-1,1),以下函数可作为X 的概率密度的是（C ）A.f(x)=.;11,0,其它<<-⎩⎨⎧x xB.f(x)=.;11,,02其它<<-⎩⎨⎧x x C.f(x)=.;11,0,21其它<<-⎪⎩⎪⎨⎧xD.f(x)=.;11,0,2其它<<-⎩⎨⎧x解析：根据密度函数性质：A.有f(x)0≤的情况，错； B.D.不符合⎰+-=111)(dx x f 错；C. 12121|21211111=+==-+-⎰x dx 选C 6.设随机变量X~N(1，4)，5.0)0(,8413.0)1(=Φ=Φ，则事件{13X ≤≤}的概率为（D ） A.0.1385 B.0.2413 C.0.2934 D.0.3413解：P {13X ≤≤}=F(3)-F(1)=3413.05.08413.0)0()1()211()213=-=-=---φφφφ（7．已知随机变量X 的分布函数为（ A ）F(x)= ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<313132102100x x x x ，则P }{1X ==A ．61 B ．21 C ．32D ．1解析：把分布函数8．设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<其它021210x xx x，则P (0.2<X<1.2)=（A ） A.0.5 B.0.6 C.0.66 D.0.7解析：P{0.2<X<1.2}=⎰=2.12.0)(dx x f ⎰+.12.0xdx ⎰=2.11)-2dx x （2.11212.02|)212(|21x x x -+ =5.021244.1214.204.021-21=+-⨯-+⨯ 选A 9．已知连续型随机变量X 服从区间[a ，b ]上的均匀分布，则概率=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<32b a X P ( B )A ．0B ．31C ．32D ．1解析：=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<32b a X P =⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<≤32b a X a P a b ab a --+32=a b ab --3=31 ， 选B 注意：=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<32b a X P ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<≤32b a X a P ，题目故意隐蔽了X 的下限a 10、设随机变量X 在区间[2，6]上服从均匀分布，则P{2<x<4}=( C ) A.P{5<x<7} B.p{1<x<3} C.P{3<x<5} D.P{4.5<x<6.5} 解析：P{2<x<4}=2624--=0.5, 而C.P{3<x<5}=2635--=0.5,其余都不是0.5，选C 注意:X 的取值范围是[2，6]，A.B.D.都超出了范围，计算时要注意，如A.P{5<x<7}= P{5<x<6}=412656=--， 很容易犯的错：P{5<x<7}=212657=-- 二．填空题(每题2分共20分)1．设连续型随机变量X 的分布函数为如下F(x), 则当5.00<≤x 时，X 的概率密度)(x f 为（ ）0 x<0 F(x)= 2x, 5.00<≤x1 x ≥0.5解析： f(x)=)(x F '：( 2x )'=2 ； （ 0 )'=0 ；（1 )'=0所以：⎩⎨⎧<≤=其它05.00 2)(x x f2．设随机变量X 的分布为P{X=k}=10k，k=0,1，2,3,4,则P{0.5<X ≤2}=(3/10 )解析：根据所给分布律：P{0.5<X ≤2}=P{X=1}+P{X=2}=1/10+2/10=3/10 3．设随机变量X ～N(2,9)，已知标准正态分布函数值=Φ)1(0.8413，为使P{X<a}<0.8413,则常数a<( 5 ) 解析： P{X<a}=F(a)=5132)1()32(<⇒<-⇒Φ<-Φa a a 4．某人掷五次骰子，则在五次中得到点为6的次数X 的分布率为P{X=i}=( ii i C -55)65()61( ) i=0,1,2,3,4,5解析：二项分布B(5,1/6)：P{X=i}=ii i C -55)65()61(5.设随机变量X 服从区间[0，5]上的均匀分布，则P {}3≤X = __3/5__.解析：P {}=≤3X P {}53050330=--=≤≤X此题主要注意X 的取值范围:0≥X 6．设随机变量X 服从区间[]10,0上的均匀分布，则P （X>4）=_3/5_．P{X>4}= P{}104≤<X =530-104-10= 此题主要注意X 的取值范围:X 10≤ 7．在[]T ,0内通过某交通路口的汽车数X 服从泊松分布，且已知 P{X=4}=3P{X=3}，则在[]T ,0内至少有一辆汽车通过的概率为12-1-e ．解析：泊松分布：P{X=K}=，根据P{X=4}=3P{X=3}⇒λλλλ--⨯=e e !33434！⇒!3134⨯=！λ⇒12=λ “至少有一辆汽车通过”用它的逆事件“没有一辆通过”的概率做方便：P{至少有一辆汽车通过}=1-P{X=0}=1-12120-1012--=e e ！8.已知随机变量X 的分布函数为F(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<3x 13x 1321x 0210x 0 则P{2<X ≤4}=1/3_。
概率论与数理统计第二章答案
第二章 随机变量及其分布1、解：设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20万，概率为投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为投保一年内没有死亡：0X0 P2、一袋中有55，在其中同时取三只，以X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3，4，5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X ： 3， 4，5P ：106,103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。
解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。
3522)0(315313===C C X P3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2P ： 351,3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0<p <1) （1）将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律。
（此时称X 服从以p 为参数的几何分布。
）（2）将实验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律。
（此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布。
） x1 2 O P（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率。
解：（1）P (X=k )=q k －1p k=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ，或记r+n=k ，则 P {Y=k }= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k （3）P (X=k ) = k － k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P 5、 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。
(完整版)概率论与数理统计及其应用课后答案(浙大版)第2章随机变量及其分布
第2章 随机变量及其分布1，解：显然，Y 是一个离散型的随机变量，Y 取k 表明第k 个人是A 型血而前1-k 个人都不是A 型血，因此有116.04.0)4.01(4.0}{--⨯=-⨯==k k k Y P ， （Λ,3,2,1=k ）上式就是随机变量Y 的分布律（这是一个几何分布）。
2，解：X 只能取值0，1，2。
设以)3,2,1(=i A i 记第i 个阀门没有打开这一事件。
则)}(){()}({}0{3121321A A A A P A A A P X P ⋃=⋃==)()()()()()()(}{}{}{32131213213121A P A P A P A P A P A P A P A A A P A A P A A P -+=-+= 072.0)8.01()8.01()8.01(322=---+-=，类似有512.08.0)()}({}2{3321321=====A A A P A A A P X P ，416.0}2{}0{1}1{==-=-==X P X P X P ,综上所述，可得分布律为3,解：根据题意，随机变量X 服从二项分布B(15, 0.2)，分布律为15,2,1,0,8.02.0)(1515Λ=⨯⨯==-k C k X P k k k 。
（1）,2501.08.02.0)3(123315=⨯⨯==C X P（2）8329.0)0()1(1)2(==-=-=≥X P X P X P ；（3）6129.0)3()2()1()31(==+=+==≤≤X P X P X P X P ；（4）)2()3()4()5(1)5(=-=-=-=-=>X P X P X P X P X P0611.0)0()1(==-=-X P X P4，解：对于][5/3G 系统，当至少有3个元件正常工作时，系统正常工作。
而系统中正常工作的元件个数X 服从二项分布B(5, 0.9)，所以系统正常工作的概率为99144.01.09.0)(535553=⨯⨯==∑∑=-=k k k k k Ck X P5，解：根据题意，次品数X 服从二项分布B(8000, 0.001)，所以∑=-⨯=≤=<6080008000999.0001.0)6()7(k k k kC X P X P3134.0!8!)001.08000(6860001.08000==⨯≈∑∑=-=⨯-k k k k k e k e （查表得）。
概率论与数理统计+第二章+随机变量及其分布+练习题答案
滨州学院《概率论与数理统计》（公共课）练习题第二章 随机变量及其分布一、填空题 10.712设一本书的各页的印刷错误个数X 服从泊松分布律．已知有一个和两个印刷错误的页数相同，则随意抽查的4页中无印刷错误的概率p = 0.0003 ．3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=≤=．若，；，若；，若；，若 3 1 324544 21 51 1 0 }{)(x x x x x X x F P 4{}12525.032)05.0()02(25.0=-=---=<≤F F X P ． 例2.11设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其它06310)(9231x x x f ;若k 使得32)(=≥k X P ，则k 的取值范围是 . 【[1,3]】例2.13 设X 服从二项分布),(p n B ，且已知)2()1(===X P X P ，)3(2)2(===X P X P ，则)4(=X P ＝ . 【24310】 例2.14若随机变量X 服从正态分布)0)(,(2>σσμN ，且二次方程042=++X y y 无实根的概率是21，则=μ . 【4】2.22 （1）24310；（2）4；（3）2922；（4）649；（5）)0(2)1(ln 221)(+∞<<--=y y Y I e y y f π〖选择题〗1 [ C ]2 [ C ]3 [ C ]例2.1 【C 】例2.2 【A 】 例2.3 【B 】例2.5 【A 】例2.16设随机变量X ,Y 相互独立均服从正态分布)4,1(N , 若概率21)1(=<-bY aX P ,则(A)1,2==b a(B) 2,1==b a(C) 1,2=-=b a(D) 2,1-==b a 【A 】例2.18 设X 为随机变量, 若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=01020232X A 的特征根全为实数的概率为0.5, 则(A)X 服从区间[0,2]上的均匀分布 (B) X 服从二项分布B(2, 0.5) (C) X 服从参数为1的指数分布 (D) X 服从标准正态分布 【A 】2.23 （1）A ；（2）B ；（3）C ；（4）C ；（5）B 解答题〗 〖解答题〗例2.30解 不妨假设正立方体容器的边长为１．引进事件：{}0==X A ，即事件A 表示“小孔出现在容器的下底面”．由于小孔出现在正立方体的6个侧面是等可能的，易见 61)(=A P ．从而，{}61===)(0A X P P．对于任意x ＜0，显然()=x F ０；而()610=F ．由于小孔出现的部位是随机性，可见对于任意)75.0,0(∈x ，有(){}{}．641646100xx x X X x F +=+=≤<+≤=P P 该式中4x 表示容器的四个侧面x 以下的总面积，而容器6个侧面的总面积为６．对于任意x ≥0.75，显然()1=x F．于是，最后得()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤+<=．若若若 75.0 , 1 , 75.00 , 641, 0 , 0 x x x x x F例2.31（分布函数）解 因X 服从指数分布，且21==λX E (百小时)，故分布参数λ=0.5，故X的分布函数为()⎩⎨⎧≤>-=-．，若；，若0 0 0 e 15.0x x x G x 易见，{}1.0min ，X Y=．设)(y F 是Y 的分布函数，则对于y <0，)(y F =0；对于y >0.1，)(y F =1；对于1.00≤≤y ,有{}{}．，y y G y X y X y Y y F 5.0e 1)(}1.0 min{}{)(--==≤=≤=≤=P P P 于是，{}.10 min ，X Y=的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-<=-．，若，若，，若 1.0 1 , 1.00 e 1 0 0 5.0y y y y F y例2.33解 试验次数X 是一随机变量．为求X 的概率分布，引进事件：j B ={第j 次试验成功}（j =1,2,…,n ）．显然P(j B ) = p ．而由于试验的独立性，知事件n B B B ,,,21 …相互独立．设试验进行到成功或n 次为止，则X 的可能值为1,2,…,n 且1}1{B X==；对于2≤k ≤n－1，．；；；，111111112111)(}{ )(}1{)12()(}{}{ }{------======-≤≤=======k n k k k n k k q B B n X p B X n k pq B B B k X B B B n X B B B k X P P P P P P于是，X 的概率分布为有限几何分布：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1121321~n n q pq pq pq pn n X ． 例2.35解 以ν表示抽到的30件产品中不合格品的件数，则ν服从参数为（30，0.02）的二项分布：．；；4545.0}0{1}1{3340.002.098.030}1{5455.098.0}0{2930==-=≥=⨯⨯=====ννννP P P P1) 不合格品不少于两件的概率．1205.002.098.03098.01}1{}0{1}2{2930=⨯⨯--==-=-=≥=ννναP P P2) 在已经发现一件不合格品的条件下，不合格品不少于两件的条件概率{}．2652.0}1{}2{}1{}2,1{12≈≥≥=≥≥≥=≥≥=νννννννβP P P P P 例2.36解 由条件知每台设备出现故障的概率为0.08．以ν表示10台设备中同时出现故障的台数，则ν服从参数为（10，0.08）的二项分布．需要安排的值班人数k 应满足条件：95.0}{≥≤k νP ．需要对不同的k 进行试算．首先，设k =１和k ＝２，相应得{}{}{}{}{}{}．，95.09599.008.092.008.092.01092.021281.008.092.01092.010128210910910≥≈⨯⨯+⨯⨯+==+≤=≤≈⨯⨯+==+==≤C ννννννP P P P P P因此，至少需要安排2个人值班．例2.37解 设X ——一周5个工作日停用的天数；Y ——一周所创利润．X 服从参数为(5,0.2)的二项分布．因此，有．，，，057.0205.0410.0328.01}3{205.08.02.010}2{410.08.02.05}1{328.08.0}0{3245=---=≥=⨯⨯===⨯⨯=====X X X X P P P P一周所创利润Y 是X 的函数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-====３．，若２，，若１，，若，，若X X X X Y 2 2 7 0 10 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-328.0410.0205.0057.010722~Y ． 例2.38(二项分布)解 设n ——至少出现一件不合格品所要生产产品的件数，则n 件产品中不合格品的件数n ν服从参数为（n ，0.01）的二项分布；按题意，n 应满足条件．， 0729.29899.0ln 05.0ln 95.099.01}0{1}1{≈≥≥-==-=≥n nn n ννP P 于是，为至少出现一件不合格品的概率超过95%，最少需要298.0729×3≈895分，将近14小时55分．例3.41解 由条件知X +Y 是一日内到过该商店的顾客的人数，服从参数为λ的泊松分布．设X ——一日内到过该商店的顾客中购货的人数．由条件知，在一日内有n 个顾客到过该商店的条件下，购货人数的条件概率分布为{}()．；),2,1,0(1m n m p p C n Y X m X mn m m n ≥=-==+=- P由全概率公式可见，对于m =0,1,2,…，有{}{}{}()[]()()()()[]()()[]()()()．p mp mk km m n mn m mn nmn mm nmn n mn mm nmn m p m p p k m p p m n m p n p p C n p p Cn Y X n Y X m Xm X λλλλλλλλλλλλλλλ---∞=-∞=--∞=--∞=--∞===-=--=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==+=+===∑∑∑∑∑e ! e e ! 1!1e!1!1e!!1ee ! 110P P P于是，一日内到过该商店的顾客中购货的人数X 服从参数为p λ的泊松分布．同理，Y 服从参数为)1(p -λ的泊松分布．例2.44 解 以()t ν表示t =90天内售出的电冰箱台数．可以假设()t ν服从参数为t λ的泊松分布．由条件知()λν77E ==56，从而λ=8（台）．这样，()t ν服从参数为t λ=8t 的泊松分布： (){}()() ,2,1,0 e !88===-k k t k t tkνP ．随机变量X 的可能值为自然数m =0,1,2,…．记t a λ=．由全概率公式，有{}(){}(){}()()()()()()()()， pa m pa a a m k k a m m n mn ammn a n m n m m nmn m pa m pa k qa m pa m n qa m pan a q p C n a n a m X m X ---∞=-∞=--∞=--∞====-=======∑∑∑∑e !e e ! ! e!! e ! e ! 0ννP P P 其中6.390805.0=⨯⨯==t p pa λ．因此返修件数X 服从参数为3.6的泊松分布：{}() ,2,1,0 e !6.36.3===-m m m X m P ．例2.47解 由条件知{}{}{}{}，⎪⎭⎫ ⎝⎛--≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤--=≤≤-=≤-≤--=≤--=>-=310821)36(310821310823108310812011 1 025.0a a a X a X a a X a a a X a a X ΦΦΦP P P P P其中()x Φ是标准正态分布函数．由熟知的事实()975.096.1=Φ，可见．；；94.5696.131082 0.975031082≈≈-≈⎪⎭⎫⎝⎛-a a a Φ 例2.48 解 由条件知()210,0~N X．设ν为100次独立重复测量中事件{}6.19 >X 出现的次数，则{}05.096.1106.19 =⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=>=X X p P P ．易见ν服从参数为(100 , 0.05)的二项分布，近似服从参数为5的泊松分布．因此{}{}{}{}{}()．87.05.125115.125105.095.0299100 05.095.010095.012101313555529899100≈++-=---≈⨯⨯⨯-⨯⨯--==-=-=-=<-=≥=----e e e e ννννναP P P P P 〖证明题〗例2.52（分布函数）证明 只需验证)()()(21x bF x aF x F +=满足分布函数的三条基本性质．由条件知a 和b 非负且a +b =1．由于)(1x F 和)(2x F 都是分布函数，可见对于任意，有1)()()(021=+≤+=≤b a x bF x aF x F对于任意实数21x x <，由于)2,1)(()(21=≤i x F x F i i ，可见，)()()()()()(2222112111x F x bF x aF x bF x aF x F =+≤+=即)(x F 单调不减．由)(1x F 和)(2x F 的右连续性，可见)(x F 也右连续．最后，．；1)(lim )(lim )(lim 0)(lim )(lim )(lim 2121=+==+=+∞→+∞→+∞→-∞→-∞→-∞→x F b x F a x F x F b x F a x F x x x x x x于是)()()(21x bF x aF x F +=也是分布函数．例2.53（分布函数） 证明 指数分布函数为)0(e 1)(≥-=-x x F x λ设}{P )(y Y y G ≤=为Y=)(X F 的分布函数．由于分布函数)(x F 的值域为(0,1)，可见当0≤y时0)(=y G ；当1≥y 时1)(=y G ．设10<<y ，有．y y F y X y y Y y G X =⎪⎭⎫⎝⎛--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--≤=≤-=≤=-)1ln(1)1ln(1}e 1{}{)(λλλP P P 于是，)(y G 是区间(0,1)上的均匀分布函数，从而Y=例2.4 【π2=C ；5)arctan 2(πe】例2.6 连续型随机变量X 的分布函数为：x B A x F arctan )(+=，∞<<∞-x试求：（1）常数A 、B ；（2）)11(<<-X P ；（3）随机变量X 的概率密度.【（1）π1,21==B A ；（2）21；（3）)1(12x +π】 例2.7 设随机变量X 具有对称的密度函数，即)()(x f x f =-，证明对任意的0>a ，有（1）⎰-=-=-adx x f a F a F 0)(21)(1)(（2）1)(2)|(|-=<a F a X P (3) ))(1(2)|(|a F a X P -=>问题3: 已知实际背景, 求随机变量的分布律与分布函数(或密度函数)例2.8 一袋中装有4个球，球上分别记有号码1,2,3,4。
高中数学选修2-3(人教A版)第二章随机变量及其分布2.2知识点总结含同步练习及答案
第二章随机变量及其分布 2.2二项分布及其应用
一、学习任务 1. 了解条件概率的定义及计算公式，并会利用条件概率解决一些简单的实际问题． 2. 能通过实例理解相互独立事件的定义及概率计算公式，并能综合利用互斥事件的概率加法公 式即对立事件的概率乘法公式． 3. 理解独立重复试验的概率及意义，理解事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 公式，并能利用 n 次独立重复试验的模型模拟 n 次独立重复试验． 二、知识清单
（2）设事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为 P1 ，则
¯ ∩ ¯¯ ¯ ∩ ¯¯ ¯ ∩ ¯¯ ¯) P1 = P (¯¯ A A B B ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯) = P (¯¯ A A B B 1 2 = (1 − )2 (1 − )2 2 5
n−k k P (X = k) = Ck , k = 0, 1, 2, ⋯ , n. n p (1 − p)
此时称随机变量 X 服从二项分布（binnomial distribution），记作 X ∼ B(n, p)），并称 p 为 成功概率． 例题： 下列随机变量 X 的分布列不属于二项分布的是（ ） A．投掷一枚均匀的骰子 5 次，X 表示点数 6 出现的次数 B．某射手射中目标的概率为 p ，设每次射击是相互独立的，X 为从开始射击到击中目标所需要 的射击次数 C．实力相等的甲、乙两选手举行了 5 局乒乓球比赛，X 表示甲获胜的次数 D．某星期内，每次下载某网站数据后被病毒感染的概率为 0.3，X 表示下载 n 次数据后电脑被 病毒感染的次数 解：B 选项 A，试验出现的结果只有两个：点数为 6 和点数不为 6 ，且点数为 6 的概率在每一次试验 都为
新人教版高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》测试题(答案解析)(5)
一、选择题1．红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险.为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布()20.1,0.3N ，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间()0.4,0.7内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,Nμσ，则()68.27%P μσξμσ-<<+=，()2295.45%P μσξμσ-<<+=）A ．31.74%B ．27.18%C ．13.59%D ．4.56%2．假定男女出生率相等，某个家庭有两个小孩，已知该家庭至少有一个女孩，则两个小孩都是女孩的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．163．已知随机变量X 的取值为1,2,3，若()136P X ==，()53E X =，则()D X =（ ） A ．19 B ．39 C ．59 D ．794．先后抛掷骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，设事件A 为4x y +>，事件B 为x y ≠，则概率()|P B A =（ ）A ．45B ．56C ．1315D ．2155．条件:p 将1，2，3，4四个数字随机填入如图四个方格中，每个方格填一个数字，但数字可以重复使用.记方格A 中的数字为1x ，方格B 中的数字为2x ；命题1若p ，则()()1122E x E x =，且()()()1212E x x E x E x +=+；命题2若P ，则()()1124D x D x =，且()()()1212D x x D x D x +=+( )A ．命题1是真命题，命题2是假命题B ．命题1和命题2都是假命题C ．命题1是假命题，命题2是真命题D ．命题1和命题2都是真命题6．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为（ ）A ．8225B ．12C ．38D ．347．一个盒子装有4件产品，其中有3件一等品，1件二等品.从中不放回的取两次，每次取出一件.设事件A 为“第一次取到的是一等品”，事件B 为“第二次取到的是一等品”.则()|P B A =（ ）A ．34B ．13C ．23D ．128．已知离散型随机变量X 的分布列如下：由此可以得到期望()E X 与方差()D X 分别为（ ） A ．() 1.4E X =，()0.2D X = B ．()0.44E X =，() 1.4D X = C ．() 1.4E X =，()0.44D X =D ．()0.44E X =，()0.2D X =9．已知某随机变量X 的概率密度函数为0,0,(),0,x x P x e x -≤⎧=⎨>⎩则随机变量X 落在区间(1,3)内在概率为( )A ．21e e +B ．231e e-C ．2e e -D ．2e e +10．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是奇数点的情况下，第二次抛出的也是奇数点的概率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．111．2018年6月18日，是我国的传统节日“端午节”.这天，小明的妈妈煮了5个粽子，其中两个腊肉馅，三个豆沙馅.小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为( ) A ．14B ．34C ．110D ．31012．已知某次数学考试的成绩服从正态分布2(102,4)N ，则114分以上的成绩所占的百分比为（ ）（附()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤）A ．0.3%B ．0.23%C ．0.13%D ．1.3%二、填空题13．已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ，若()130.3P X <≤=，则()5P X ≥=______.14．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是________.15．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率(A |B)P 等于______.16．随机变量ξ的取值为0，1，2，若()104P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=______. 17．已知1 000名考生的某次成绩X 近似服从正态分布2(530,50)N ，则成绩在630分以上的考生人数约为_______．（注：正态总体2(,)N μσ）在区间(,),(2,2),(3,3)μσμσμσμσμσμσ-+-+-+内取值的概率分别为0.683，0.954，0.997） 18．设随机变量()()10,1,910XN P X a ≤<=，其中1419a =⎰，则()11P X ≥=__________．三、解答题19．上饶市正在创建全国文明城市，我们简称创文.全国文明城市是极具价值的无形资产和重要城市品牌.创文期间，将有创文检查人员到学校随机找学生进行提问，被提问者之间回答问题相互独立、互不影响.对每位学生提问时，创文检查人员将从规定的5个问题中随机抽取2个问题进行提问.某日，创文检查人员来到A 校，随机找了三名同学甲、乙、丙进行提问，其中甲只能答对这规定5个问题中的3个，乙能答对其中的4个，而丙能全部答对这5个问题.计一个问题答对加10分，答错不扣分，最终三人得分相加，满分60分，达到50分以上（含50分）时该学校为优秀. （1）求甲、乙两位同学共答对2个问题的概率；（2）设随机变量X 表示甲、乙、丙三位同学共答对的问题总数，求X 的分布列及数学期望，并求出A 校为优秀的概率.20．为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为13，答错的概率为23. （1）若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）若甲在回答过程中出现在第()2i i ≥个等级的概率为i P ，证明：{}1i i P P --为等比数列.21．某校拟举办“成语大赛”，高一（1）班的甲、乙两名同学在本班参加“成语大赛”选拔测试，在相同的测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）的茎叶图如图所示.（1）你认为选派谁参赛更好？并说明理由；（2）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取1次进行分析，设抽到的2次成绩中，90分以上的次数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X .22．魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974 年发明的.魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹.通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为333⨯⨯的正方体结构，由26个色块组成.常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原.截至2020年，三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在2018年11月24日于芜湖赛打破的纪录，单次3.475秒.（1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度y (秒) 与训练天数x (天)有关，经统计得到如下数据：x （天）1 234 5 6 7y （秒）99 99 45 323024 21现用y a x=+作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度y 约为多少秒(精确到1) ?参考数据（其中1i iz x =）71i ii z y =∑z72217i i zz =-⨯∑184.50.37 0.55对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线ˆˆˆva u β=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆˆˆ,ni i i nii u vnuv av u unu ββ==-==--∑∑.（2）现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面.某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动90︒，记顶面白色色块的个数为X，求X的分E X.布列及数学期望()23．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄､蓝两种颜色的单车，已知黄､蓝两种颜色单车的投放比例为1:2.监管部门为了解两种颜色单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同.（1）求抽取的5辆单车中有3辆是蓝色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过4次.在抽样结束时，已取到的黄色单车数量用ξ表示，求ξ的分布列及数学期望.24．2020年5月1日起，北京市实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类. 生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1吨废纸可再造出0.8吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗.某环保小组调查了北京市房山区某垃圾处理场2020年6月至12月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量（单位：吨）的折线图如图：（Ⅰ）现从2020年6月至12月中随机选取1个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨的概率；（Ⅱ）从2020年6月至12月中任意选取2个月，记X为选取的这2个月中回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份的个数. 求X的分布列及数学期望；(Ⅲ)假设2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量为a吨. 当a为何值时，自2020年6月至2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最小.（只需写出结论，不需证明）（注：方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦，其中x 为1x ，2x ，…… n x 的平均数）25．假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件、30件、40件，而且一等品分别有20件、12件和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件，试求：（1）先取出的零件是一等品的概率； （2）两次取出的零件均为一等品的概率．26．为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现F 症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期．假设每只白鼠给药后当天出现F 症状的概率均为13，且每次给药后是否出现F 症状与上次给药无关．（1）从试验开始，若某只白鼠连续出现2次F 症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；（2）若在一个给药周期中某只白鼠至少出现3次F 症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为X ，求X 的分布列和数学期望．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由题意可知0.1,0.3μσ==，结合题意得出(0.20.4)68.27%P ξ-<<=，(0.50.7)95.45%P ξ-<<=，再由()(0.50.7)(0.20.4)0.40.72P P P ξξξ-<<--<<<<=，即可得出答案.【详解】由题意可知0.1,0.3μσ==则(0.20.4)68.27%P ξ-<<=，(0.50.7)95.45%P ξ-<<= 即()(0.50.7)(0.20.4)95.45%68.27%0.40.713.59%22P P P ξξξ-<<--<<-<<===故选：C 【点睛】本题主要考查了利用正态分布对称性求概率，属于中档题.2．B解析：B【分析】记事件A 为“至少有一个女孩”，事件B 为“另一个也是女孩”，分别求出A 、B 的结果个数，问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求(|)P B A ，由条件概率公式求解即可. 【详解】解：一个家庭中有两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}．记事件A 为“至少有一个女孩”，事件B 为“另一个也是女孩”，则{A =（男，女），（女，男），（女，女）}，{B =（男，女），（女，男），（女，女）}，{AB =（女，女）}．于是可知3()4P A =，1()4P AB =． 问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求(|)P B A ，由条件概率公式，得()114334P B A ==．故选：B ． 【点睛】本题的考点是条件概率与独立事件，主要考查条件概率的计算公式：()()()P AB P B A P A =，等可能事件的概率的求解公式：()mP M n=（其中n 为试验的所有结果，m 为基本事件的结果）.3．C解析：C 【分析】设(1)P X p ==，(2)P X q ==，则由1(3)6P X ==，5()3E X =，列出方程组，求出p ，q ，即可求得()D X ．【详解】设(1)P X p ==，(2)P X q ==，1563()23E X p q =++⨯=——①，又161p q ++=——② 由①②得，12p =，13q =，222111()(1)(25555333(9))2336D X ∴=-+-+-=故选：C. 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．4．C解析：C 【分析】分别得到所有基本事件总数、4x y +>的基本事件个数、满足4x y +>且x y ≠的基本事件个数，根据古典概型概率公式计算可得()P AB 和()P A ；由条件概率公式计算可得结果. 【详解】先后抛掷骰子两次，正面朝上所得点数(),x y 的基本事件共有6636⨯=个 则4x y +≤的有()1,1、()1,2、()2,1、()2,2、()1,3、()3,1，共6个基本事件4x y ∴+>的基本事件共有36630-=个，其中x y =的有()3,3、()4,4、()5,5、()6,6，共4个∴满足4x y +>且x y ≠的基本事件个数为30426-=个()26133618P AB ∴==，()30153618P A == ()()()131318151518P AB P B A P A ∴=== 故选：C【点睛】本题考查条件概率的计算问题，涉及到古典概型概率问题的求解；关键是能够准确计算基本事件总数和满足题意的基本事件的个数.5．D解析：D 【分析】方格A 中的数字为1x ，方格B 中的数字为2x ；由题意可知：所填入的数字1x 与2x 相互独立．再利用数学期望的性质及其方差的性质即可得出． 【详解】方格A 中的数字为1x ，方格B 中的数字为2x ；由题意可知：所填入的数字1x 与2x 相互独立.命题1若p ，则由数学期望的性质可得：()()1122E x E x =，且()()()1212E x x E x E x +=+；命题2若P ，则由方差的性质可得：()()1124D x D x =，且()()()1212D x x D x D x +=+.因此命题1，2都正确. 故选：D. 【点睛】本题考查数学期望的性质及其方差的性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力.6．C解析：C 【分析】利用条件概率公式，即可求得结论． 【详解】该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110， ∵设A 事件为下雨，B 事件为刮风，由题意得，P （A ）415=，P （AB ）110=， 则P （B |A ）()()13104815P AB P A ===， 故选C ． 【点睛】本题考查概率的计算，考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题．7．C解析：C 【分析】利用古典概型概率公式计算出()P AB 和()P A ，然后利用条件概率公式可计算出结果． 【详解】事件:AB 前两次取到的都是一等品，由古典概型的概率公式得()232412A P AB A ==，由古典概型的概率公式得()34P A =，由条件概率公式得()()()142233P AB P B A P A ==⨯=， 故选C. 【点睛】本题考查条件概率公式求概率，解题时要弄清楚各事件之间的关系，关键在于灵活利用条件概率公式计算，考查运算求解能力，属于中等题．8．C解析：C 【分析】由离散型随机变量X 的分布列的性质求出x ＝0.1，由此能求得结果 【详解】由x ＋4x ＋5x ＝1得x ＝0.1， E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.5＝1.4，D(X)＝(0－1.4)2×0.1＋(1－1.4)2×0.4＋(2－1.4)2×0.5＝0.44. 故选C 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，由已知先求出x 的值，然后运用公式求得期望和方差，属于基础题．9．B解析：B 【分析】求概率密度函数在（1，3）的积分，求得概率． 【详解】由随机变量X 的概率密度函数的意义得3233111d xx e P e x ee---==-=⎰，故选B ． 【点睛】随机变量X 的概率密度函数在某区间上的定积分就是随机变量X 在这一区间上概率．10．C解析：C 【解析】分析：设A 表示“第一次抛出的是奇数点”，B 表示“第二次抛出的是奇数点”，利用古典概型概率公式求出()(),P A P AB 的值，由条件概率公式可得结果. 详解：设A 表示“第一次抛出的是奇数点”，B 表示“第二次抛出的是奇数点”，()()31111,62224P A P AB ===⨯=， ()()()114|122P AB P B A P A ===，∴在第一次抛出的是奇数点的情况下，第二次抛出的也是奇数点的概率为12，故选C. 点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意条件概率计算公式的合理运用，同时注意区分独立事件同时发生的概率与条件概率的区别与联系.11．A解析：A 【解析】分析：设事件A =“取到的两个为同一种馅”，事件B =“取到的两个都是腊肉馅”，求出22223241,10101010C C C P A P AB +====（），（） ，利用()()|P AB P B A P A =（），可得结论． 详解：设事件A =“取到的两个为同一种馅”，事件B =“取到的两个都是腊肉馅馅”，由题意，22223241,10101010C C C P A P AB +====（），（），()()1|.4P AB P B A P A ∴==（） 故选A ．点睛：本题考查条件概率，考查学生的计算能力，正确运用公式是关键．12．C解析：C 【解析】分析：先求出u,σ,再根据(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=和正态分布曲线求114分以上的成绩所占的百分比.详解：由题得u=102,4,σ=3114.u σ∴+= 因为(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=，所以10.9974(114=0.00130.13%2P X ->==）. 故答案为C.点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线和概率的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.(2)利用正态分布曲线求概率时，要画图数形结合分析，不要死记硬背公式.二、填空题13．02【分析】根据随机变量X 服从正态分布可知正态曲线的对称轴是利用对称性可得结果【详解】随机变量服X 从正态分布正态曲线的对称轴是故答案为：02【点睛】本题考查了正态分布考查了计算能力属于一般题目解析：0.2 【分析】根据随机变量X 服从正态分布2(3)，δN ，可知正态曲线的对称轴是3x =，利用对称性，可得结果. 【详解】随机变量服X 从正态分布2(3)，δN ，正态曲线的对称轴是3x =(35)(13)0.3≤<=<≤=P X P X ，(5)0.5(35)0.2>=-≤<=P X P X故答案为：0.2 【点睛】本题考查了正态分布，考查了计算能力，属于一般题目.14．【分析】利用列举法求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下基本事件总数n=3这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m=1由此能求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下这时另一个也是女孩的概率【详解】一个家庭有解析：13【分析】利用列举法求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下，基本事件总数n =3，这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m =1，由此能求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率. 【详解】一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的， 基本事件有: {男，男}，{男，女}，{女,男}，{女,女}, 已知这个家庭有一个女孩的条件下，基本事件总数n =3 , 这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m =1，∴已知这个家庭有一个女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是13m p n ==， 故答案为：13【点睛】本题主要考查了条件概率，可以列举在某条件发生的情况下，所有事件的个数及所研究事件的个数，利用古典概型求解，属于中档题.15．【分析】本题利用条件概率公式求解【详解】至少出现一个5点的情况有：至少出现一个5点的情况下三个点数之和等于15有一下两类：①恰好一个5点则另两个点数只能是4和6共有；②恰好出现两个5点则另一个点数也 解析：113【分析】本题利用条件概率公式()(|)()n AB P A B n B =求解． 【详解】至少出现一个5点的情况有：336591-=，至少出现一个5点的情况下，三个点数之和等于15有一下两类：①恰好一个5点，则另两个点数只能是4和6，共有11326C C ⨯=；②恰好出现两个5点，则另一个点数也只能是5点，共有1种情况．()611(|)()9113n AB P A B n B +∴===， 故答案为：113. 【点睛】本题考查条件概率的公式，需要求出基本事件的个数，运用正难则反的思想．16．【分析】根据计算得到再计算得到答案【详解】则；故故答案为：【点睛】本题考查了方差的计算意在考查学生的计算能力 解析：12【分析】根据()()3124P P ξξ=+==，()()()1221P E P ξξξ=+===计算得到 ()()111,224P P ξξ====，再计算()D ξ得到答案.【详解】()104P ξ==，则()()3124P P ξξ=+==；()()()1221P E P ξξξ=+===故()()111,224P P ξξ====.()()()()22211111011214242D ξ=-+-+-=故答案为：12【点睛】本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力.17．23【分析】根据正态分布的对称性求得成绩在分以上的概率为进而可求得成绩在分以上的考生人数得到答案【详解】由题意某次成绩X 近似服从正态分布即所以在区间的概率为所以成绩在分以上的概率为则成绩在分以上的考解析：23 【分析】根据正态分布的对称性，求得成绩在630分以上的概率为0.023，进而可求得成绩在630分以上的考生人数，得到答案. 【详解】由题意，某次成绩X 近似服从正态分布2(530,50)N ，即530,50μσ==，所以在区间(430,630)的概率为0.954， 所以成绩在630分以上的概率为10.9540.0232-=，则成绩在630分以上的考生人数约为10000.02323⨯=人． 【点睛】本题主要考查了正态分布的性质的应用，以及3σ原则的应用，其中解答中熟记正态分布的对称性，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18．【解析】分析：随机变量根据曲线的对称性得到根据概率的性质得到结果详解：由题意所以因为随机变量所以曲线关于对称所以点睛：本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义其中利用正态分布曲线的对称性是解析：16【解析】分析：随机变量()10,1X N ~，根据曲线的对称性得到()()1190.5(910)P X P X P X ≥=≤=-≤<，根据概率的性质得到结果.详解：由题意1144191|3a ===，所以1(910)3P X ≤<=， 因为随机变量()10,1X N ~，所以曲线关于10x =对称， 所以()()11190.5(910)6P X P X P X ≥=≤=-≤<=. 点睛：本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，其中利用正态分布曲线的对称性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.三、解答题19．（1）310；（2）分布列见解析，期望值245，3350. 【分析】（1）首先事件甲、乙两位同学共答对2个问题，分为两人各答对1题，或是乙答对2题，再求互斥事件和的概率；（2）由条件可知3,4,5,6X =,再根据随机变量对应的事件，分别求概率，再列出分布列，并计算数学期望,根据分布列，列出该学校为优秀的概率. 【详解】（1）记“甲、乙两位同学共答对2题”为事件A ，则()()111122324124225310C C C C C C P M C ⋅⋅⋅+⋅==（2）由题意可知随机变量X 的可能取值为3、4、5、6，()()211224153251325C C C C P X C ⋅⋅⋅===()()3410P X P M ===()()211211223415324532512525C C C C C C C C P X C ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅===()()2223453259650C C C P X C ⋅⋅===所以，随机变量X 的分布列如下表所示：13129243456251025505EX =⨯+⨯+⨯+⨯= A 校为优秀的概率()()1293356255050P X P X =+==+=. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是分清随机变量代表的事件，其中容易错的是乙同学会5题中的四个题，所以两个题，至少会一题. 20．（1）分布列答案见解析，数学期望：203；（2）证明见解析. 【分析】（1）首先确定X 的所有可能取值5,6,7,8,9,10X =，根据概率公式分别求出对应发生的概率，列出分布列，即可求出数学期望；（2）根据已知的关系，求出1i P +与i P ，1i P -的关系式112133i i i P P P +-=+，再通过化简和等比数列的定义求解即可. 【详解】解：（1）依题意可得，5,6,7,8,9,10X =，55552232(5)33243P X C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4445212180(6)53333243P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 32352180(7)33243P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()23252140833243P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()4152110933243P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()50511103243P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 则X 的分布列如表所示.()56789102432432432432432433E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）处于第1i 个等级有两种情况： 由第i 等级到第1i等级，其概率为23i P ； 由第1i -等级到第1i 等级，其概率为113i P -；所以112133i i i P P P +-=+，所以()1113i i i i P P P P +--=--，即1113i i i i P P P P +--=--. 所以数列{}1i i P P --为等比数列. 【点睛】本题考查概率公式､随机变量的分布列及数学期望，考查运算求解能力､数据处理能力，考查数学运算､逻辑推理核心素养.其中第二问解题的关键在于寻找1i P +与i P ，1i P -的关系式，即：()1121233i i i P P P i +-=+≥，进而根据等比数列的定义证明. 21．（1）选派乙参赛更好，理由见解析；（2）分布列见解析，()25E X =. 【分析】（1）计算出甲、乙两人5次测试的成绩的平均分与方差，由此可得出结论；（2）由题意可知，随机变量X 的取值有0、1、2，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可计算得出()E X . 【详解】（1）甲5次测试成绩的平均分为555876889236955x ++++==甲，方差为22222213693693693693695704555876889255555525s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦甲，乙5次测试成绩的平均分为658287859541455x ++++==乙，方差为22222214144144144144142444658285879555555525s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦乙，所以，x x <甲乙，22s s >甲乙，因此，选派乙参赛更好；（2）由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2，()24160525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()148125525P X ==⨯⨯=，()2112525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：因此，()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.22．（1）100ˆ13y x=+，每天魔方还原的平均速度y 约为13秒；（2）分布列见解析，509. 【分析】（1）利用题设中的数据清除y 的平均值，进而可以求出ˆb的值和ˆa 的值，即可求解； （2）写出随机变量X 的可能取值，求出对应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，根据表格中的数据，可得99994532302421507y ++++++==，可得7172217184.570.375055ˆ1000.550.557i ii i i z y z ybz z==-⋅-⨯⨯====-∑∑，所以501000.3713a y bz =-=-⨯=，因此y 关于x 的回归方程为：100ˆ13yx=+， 所以最终每天魔方还原的平均速度y 约为13秒 （2）由题意，可得随机变量X 的取值为3,4,6,9，可得141(3)669A P X ===⨯，1422(4)669A P X ⨯===⨯，()111142241205(6)66369A A A A P X ++====⨯，11221(9)669A A P X ⨯===⨯， 所以X 的分布列为所以()346999999E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】求随机变量X 的期望与方差的方法及步骤： 理解随机变量X 的意义，写出X 可能的全部值； 求X 取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列； 由期望和方差的计算公式，求得数学期望()(),E X D X ；若随机变量X 的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解. 23．（1）80243；（2）分布列答案见解析，数学期望：4081. 【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率；（2）由题可知，随机变量ξ的可能取值有0、1、2、3、4，计算出随机变量ξ在不同取值下的概率，由此可得出随机变量ξ的分布列和期望. 【详解】（1）因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为23，用X 表示“抽取的5辆单车中蓝色单车的个数”，则X 服从二项分布，即2~5,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以抽取的5辆单车中有3辆是蓝色单车的概率为3235218033243C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）随机变量ξ的可能取值为：0､1､2､3､4.()203p ξ==，()1221339p ξ==⨯=，()212223327p ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()312233381p ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()4114381p ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.所以ξ的分布列如下表所示：()012343927818181E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 24．（Ⅰ）17；（Ⅱ）分布列见解析，67；(Ⅲ) 4.4a =. 【分析】（Ⅰ）这是一个古典概型，共有7个月，该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨的只有8月份，然后代入公式求解.（Ⅱ）先得到6月至12月回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份有：7月、8月、10月，共3个月，则X 的所有可能取值为0，1，2，再分别求得相应的概率，列出分布列，再求期望.(Ⅲ)根据添加的新数a 等于原几个数的平均值时，方差最小求解. 【详解】（Ⅰ）记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件A 由题意，只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨 所以1()7P A =. （Ⅱ）因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸。
浙江大学《概率论与数理统计》配套题库【章节题库】(随机变量及其分布)
第2章随机变量及其分布一、选择题1．设随机变量，且满足，则满足（）。
A．B．C．D．【答案】B【解析一】由。
又，从而有，可知。
而，故。
【解析二】由。
又，，当时，则有，从而。
2．设随机变量X服从参数为的指数分布，事件，则下列结论一定正确的是（）。
A．A，B，C相互独立B．A，B，D相互独立C．B，C，D相互独立D．A，B，C，D两两独立【答案】B【解析】X服从参数为的指数分布，得，概率为0或1的事件与任何事件都是相互独立的。
又且与均大于零，因此，即B与C不独立，因此答案选B。
3．设随机变量和相互独立且都服从参数为的指数分布，则下列随机变量中服从参数为2的指数分布的是（）。
A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意，服从参数为的指数分布，，其分布函数为。
A项，B项，C项，D项，即服从参数为的指数分布。
4．设，为随机变量，，，则（）。
A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则，，于是。
5．对任意正整数，随机变量都满足，记的是（）。
，则下列结论中一定不正确．．．A．B．C．D．【答案】D【解析】离散型随机变量中的几何分布与连续型随机变量中的指数分布都满足题设条件。
若服从几何分布，则P=P{X＜1}=0，若服从指数分布，则P=P{X＜1}=1－e－λ，且0＜P＜1，因此P不可能是1，即P=1一定不成立。
6．设随机变量独立同分布，其分布函数为，则随机变量的分布函数为（）。
A．B．C．D．【答案】B【解析】7．假设随机变量X的密度函数f（x）是偶函数，其分布函数为F（x），则（）。
A．F（x）是偶函数B．F（x）是奇函数C．F（x）＋F（－x）=1D．2F（x）－F（－x）=1【答案】C【解析】AB两项，由于F（x）是单调不减的非负函数，所以不成立。
CD两项，已知f（x）是偶函数，因此有，则=1。
1。
8．假设随机变量X的分布函数为F（x），概率密度函数f（x）=af1（x）＋bf2（x），其中f1（x）是正态分布N（0，σ2）的密度函数，f2（x）是参数为的指数分布的密度函数，已知，则（）。
高中数学选修2-3 第二章随机变量及其分布 2-1-2离散型随机变量的分布列
所以随机变量ξ的分布列为：
ξ3
4
5
6
P
1 20
3 20
3 10
1 2
[规律方法] 1.确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是 要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组 合知识求出ξ取每一个值的概率．对于随机变量ξ取值较多或 无穷多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过 程．
2．一般分布列的求法分三步：(1)首先确定随机变量ξ的 取值有哪些；(2)求出每种取值下的随机事件的概率；(3)列 表对应，即为分布列．
人教版高中数学选修2-3 第二章 随机变量及其分布
2.1.2 离散型随机变量的分布列
课前预习
1．抛掷一个骰子，用X表示骰子向上一面的点数． [问题1] X的可能取值是什么？ [提示] X＝1、2、3、4、5、6. [问题2] X取不同值时，其概率分别是多少？ [提示] 都等于16.
2．一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3 只，以ξ表示取出的3只球中的最小号码．
特别提醒： 两点分布的试验结果只有两个可能性，且 其概率之和为1.
2．解决超几何分布问题的关注点 (1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公 式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求 解，但不能机械地记忆； (2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式 求出X取不同m的概率P(X＝m)，从而求出X的分布列．
课堂练习
1．下列表中能成为随机变量X的分布列的是( )
A. X －1
0
1
P －0.1 0.5 0.6
B. X －1
0
1
P 0.3 0.7 －0.1
C. X
－1
0
概率论答案
数学兴趣小组---概率论自测习题（一）答案第二章 随机变量及其分布一、填空题1. 设~()X P λ，且(1)(2P X P X ===，则(1)P X ≥=__________，2(03)P X <<=__________。
解：122(1)2(0)1!2!2P Xeeλλλλλλλλ--===⇒=⇒=>2(1)1(0)110!P X P X e e λλ--≥=-==-=-22(03)(1)2P X P X e -<<===2. 设 X ～⎩⎨⎧<<=0102)(x x x f ，对X 的三次独立重复观察中，事件{X ≤0.5}出现的次数为随机变量Y,则P{Y =2}= 9/64 。
解：P{X ≤0.5}=0.25, Y 服从B(3,0.25)分布,则P{Y=2}=75.025.0223C =649 3. 设随机变量X 在区间[2，5]上服从均匀分布，求对X 进行的三次独立观测中，至少有两次的观测值大于3的概率为 。
解：P(X ＞3)=⎰5331dx = 32, 则所求概率即为2720323132323223=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C C 4. 设随机变量X 服从均值为10，均方差为0.02的正态分布，设Ф（x ）为标准正态分布函数，已知Ф（2.5）=0.9938,则X 落在区间（9.95,10.05）内的概率为 0.9876 。
5. 在区间[0, a ]上任意投掷一个质点，以X 表示这个质点的坐标，设这个质点落在[0, a ]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，则X 的分布函数F(x)=。
6. 设X ~U(0,2),则Y=2X 在(0,4)内的概率密度=)(y f Y y41。
解：当0＜y ＜4时，)(}{}{}{)(2y F y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤=此时，=)(y f Y yy f yy F y F X x Y 21)(21)()(='='=y417. 设随机变量X 的概率密度函数221(),x x f x Ae-+-=则A =________，E(X )=________________。
(完整版)概率论第二章随机变量及其分布答案
概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第二章 随机变量及其分布（一）一．选择题：1．设X 是离散型随机变量，以下可以作为X 的概率分布是 [ B ]（A ）1234111124816Xx x x x p （B ） 123411112488X x x x x p （C ）1234111123412Xx x x x p（D ） 1234111123412X x x x x p -2．设随机变量ξ的分布列为 01230.10.30.40.2X p )(x F 为其分布函数，则)2(F =[ C ]（A ）0.2 （B ）0.4 （C ）0.8 （D ）1 二、填空题：1．设随机变量X 的概率分布为0120.20.5X p a ，则a = 0.32．某产品15件，其中有次品2件。
现从中任取3件，则抽得次品数X 的概率分布为 P{X=0}=22/35;P{X=1}=12/35; P{X=2}=1/353．设射手每次击中目标的概率为0.7,连续射击10次，则击中目标次数X 的概率分布为 P{X=k}=k kkC -⨯10103.07.0,10,,0Λ=k 或X~B(10,0.7)三、计算题：1．同时掷两颗骰子，设随机变量X 为“两颗骰子点数之和”求： （1）X 的概率分布； （2）(3)P X ≤； （3）(12)P X >(1) P{X=2}= P{X=12}=1/36; P{X=3}= P{X=11}=1/18;P{X=4}= P{X=10}=1/12; P{X=5}= P{X=9}=1/9;P{X=6}= P{X=8}=5/36;P{X=7}=1/6(2) P{X=2}=1/36; P{X=3}=1/18 (3) P{X>12}=02．产品有一、二、三等品及废品四种，其中一、二、三等品及废品率分别为60%，10%，20%及10%，任取一个产品检查其质量，试用随机变量X 描述检查结果。
概率论与数理统计练习册-第二章答案
第二章 随机变量及其分布基础训练Ⅰ一、选择题1、下列表中（ A ）可以作为离散型随机变量的分布律。
A) X 1 －1 0 1 B) X 2 0 1 2P 1/4 1/2 1/4 P －1/4 3/4 1/2C) X 3 0 1 2 D) X 4 1 2 1P 1/5 2/5 3/5 P 1/4 1/4 1/2 2、常数b ＝（ B ）时，),2,1()1( =+=k k k bp k 为离散型随机变量的概率分布。
A ）2B ）1C ）1/2D ）33、设⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=1,110,2/0,0)(x x x x x F ，则（ D ）A ）是随机变量的密度函数 B) 不是随机变量的分布函数 C ）是离散型随机变量的分布函数 D ）是连续型随机变量的分布函数4、设)(1x F 和)(2x F 分别为随机变量21,X X 的分布函数，为使)()()(21x bF x aF x F -=是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ A ）A ）a ＝3/5，b ＝－2/5 B) a ＝2/3，b ＝2/3 C ）a ＝－1/2，b ＝3/2 D ）a ＝1/2，b ＝－3/25、设随机变量),(~2σμN X ,且}{}{c X P c X P >=≤，则=c （ B ）A) 0 B)μ C) μ- D) σ二、填空题1、连续型随机变量取任何给定值的概率为 0 。
2、设离散型随机变量X 分布律为⎪⎪⎭⎫⎝⎛5.03.02.0210，则P (X ≤1.5) = 0.5 。
3、设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(2x x Ax x x F ，则A = 1 ，X 落在（－1,1/2）内的概率为 1 / 4 。
4、设K 在（0, 5）上服从均匀分布，则方程02442=+++K Kx x 有实根的概率为0.6 。
5、随机变量X 的分布函数)(x F 是事件}{x X ≤的概率。
第二章----随机变量及其分布标准答案
第二章 随机变量及其分布§2.1-2.2一、填空题1. 设随机变量X 的分布律是{}),4,3,2,1(10===k kk X P 则 {}{}103102101112521=+==+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤X P X P X P2. 设随机变量X 的分布律是{},0),,3,2,1(!>===λλ k k ak X P k为常数，λ-=e a3. 已知随机变量X 只能取-1，0，1，2这四个值，其相应的概率依次为c c c c 162,85,43,21，则2=c 因为21163216210128162854321=⇒==+++=+++c cc c c c c4. 设5个产品中有3个正品2个次品，如果每次从中任取1 个进行测试，测试后不放回，直到把2个次品都取出来为止，用X 表示需要进行的测试次数，则{}{}525,1012====X P X P 解：:i A “第i 次取到次品”{},1014152)|()()()(21212121=⨯=====A A P A P A A P A A P X P {}()=+++==543215432154321543215A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A P X P()=+++=54321543215432154321()()()A A A A A P A A A A A P A A A A A P A A A A A P5221314253213242532132425321324352=+++=5. 若{}{},1,112αβ-=≥-=≤x X P x X P 其中21x x <，则{}βα--=≤≤121x X x P 。
解：{}{}{}{}==+≤-≤=≤≤11221x X P x X P x X P x X x P{}{}{}{}{}βα--=≤+-≤==+<+-≤=11112112x X P x X P x X P x X P x X P6. 一颗均匀骰子重复掷10次，用X 表示3出现的次数，则X 服从参数为61,10==p n 的二项分布，X 的分布律为{}kk k C k X P -⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==101061161，10,,2,1,0 =k7. 一电话交换每分钟接到呼叫次数，X ～)4(P ，则每分钟恰好有8次呼叫的概率为8448!e -，每分钟呼次数大于8的概率为{}021363.0!418804=-=>∑=-k k e k X p8. 一实习生用一台机器接连独立的制造了3个相同的零件，第)3,2,1(=i i 个零件是不合格品的概率为),3,2,1(11=+=i i p i 以X 表示3个零件中合格品的次数，在{}24112==X P 设i A ：“第i 个零件合格”，3,2,1=i ；则{}==2X P()()()()321321321321321321A A A P A A A P A A A P A A A A A A A A A P ++= =)()()()()()()()()(321321321A p A P A P A p A P A P A p A P A P ++=24111218141413221433121433221=++=++ 二、车从某校到火车站途中，要经过3个设有红绿灯的十字路口中，遇到 红灯是相互独立的，并概率都是31。
第2章随机变量及其分布习题答案
第2章随机变量及其分布习题答案第⼆章随机变量及其分布§2.1 随机变量的概念与离散型随机变量习题 1. 解： 1112(1)121,.993θθθθ+-++-=∴=±⼜因为≤0)1(2θθ-1≤ , 所以 13θ=.2. 解：设X 表⽰任取3次,取到的不合格品数，则 1）有放回 33()0.20.8,0,1,2,3.k k k P X k C k -=== 即X 的分布律为 X 0 1 2 3 P12564125481251212512）⽆放回 328310(),3,4,5.kkC C P X k k C-===即X 的分布律为 X 0 1 2 P 1571571514. 解：设X 表⽰直⾄取到⽩球为⽌,取球的次数，则其概率分布为X 1 2 3 4P521031531015. 解：由全概率公式得42(2)()(2|)111113().423448k P Y P Xk P Y X k =======++=∑§2.2 0-1分布和⼆项分布习题1. 解：设A 表⽰“10件中⾄少有两件⼀级品”,则P （A ）=1()P A -=1=--6.04.04.0911010C 0.9983.2. 解: X 0 1 2 3 4 5P 54.0 6.04.0415C 23256.04.0C 32356.04.0C 4456.40.0C 5 6.00.01024 0.0768 0.2304 0.3456 0.2592 0.077763. 解：设A 表⽰“4个灯泡中⾄少有3个能使⽤1500⼩时以上”,则4. 解：1）设A 表⽰“恰有3粒种⼦发芽”,则003764768.002.098.0)(2335==C A P2）设B 表⽰“⾄少有4粒种⼦发芽”,则=+=544598.002.098.0)(C B P 0.996§2.3 泊松分布习题1. 解：设A 表⽰“⼀页上⾄多有⼀个印刷错误”,则 010.20.20.20.2()(1)(0)(1)0.9820!1!P A P X P X P X ee--=≤==+==+=2.解：1）设X 表⽰5分钟内接到的电话个数，则0,1,2,X = 22(),0,1,2,3,4,5,6.!kP X k e k k -===2）设A 表⽰“5分钟内⾄多接到3个电话”,则∑2!2-ek k=0.8571或4()(3)1(4)1k P A P X P X +∞==≤=-≥=-∑2!2-ek k=(查表)1-0.1429=0.85713.解：1）设A 表⽰“中午12时⾄下午3时没有急症病⼈”, 则~(1.5),X π1.51.5()(0)0.223.0!P A P X e-====2）设B 表⽰“中午12时⾄下午5时⾄少有2个急症病⼈”,则~(2.5),X π12.52.5()(2)1(0)(1)2.5 2.510.7127.0!1!P B P X P X P X ee--=≥=-=-==-§2.4 随机变量的分布函数习题1. 解：1）≥<≤<≤<=2,121,2110,310,0)(x x x x x F312)()(0)(1),221(14)(2),22(14)(1)(2).3P X P X P X P X P X P X P X P X ≤==+==<≤===≤≤==+==2. 解：X 0 1 2 3 4 5P 54.0 6.04.0415C 23256.04.0C 32356.04.0C 4456.40.0C 56.00.01024 0.0768 0.2304 0.3456 0.2592 0.07776≥<≤≤<≤<≤<≤<=515492.04366.03223.021086.01001.000)(x x x x x x x x F ＜3. 解：X 的分布律为 X -1 0 2 4 P 0.2 0.4 0.3 0.1 §2.5 连续型随机变量习题 1. 解：1）?? =?=?=101231,1)(c dx cx dx x f2）30,0(),011,1x F x x x x=≤)41()21()2141(=-=≤≤F F x P 22219()1()1().33327P X P X F >=-≤=-= 2. 解：1）连续型随机变量的分布函数左连续，则00012l i m ()(0),l i m ()(1),l i m ()(2),10,1,2211,210,,2.2x x x F x F F x F F x F A B C C A B C ---→→→=====----====解得2）,01()()2,120,x x f x F x x x <'==-≤其它3）2111117P ()1P ()1F()1().222=-=-= 3. 解：1）12011()2,~(3,),44P A xdx Y B ==则 Y 的概率分布为 Y 0 1 2 3 P642764276496412）设B 表⽰“对X 的三次独⽴重复观测中事件A ⾄多出现两次”,则3163()1()1(3)1().464P B P B P Y =-=-==-= 4.设最⾼洪⽔位为X,河堤⾄少要修c 单位⾼,由题意得：32()1()10.0110.c P X c P X c dx c x>=-≤=-≤?≥?P X dx >==设A 表⽰“3次独⽴观测中⾄少有两次观测值⼤于3”,则223321220()()().33327P A C =+=2. 解：有实根的条件：2(4)44(2)01K 2,K K K -??+≥?≤-≥或所求概率为 3P (K 2.5dx ≥=521）=5 3. 解：1）33001,|1 3.33xxk k kedx ek +∞--+∞=-==?=?即2）23 4.561.5(1.52)3.xP x edx e e ---≤≤=1(200)1,600x P X e dx e--≤==-?设A 表⽰“3只独⽴元件⾄少1只在最初200⼩时内出故障”,则13311)(1)(1)(---=-=-=eeA P A P .§2.7 正态分布习题1. :(1)(0.022.33)(2.33)(0.02)0.99010.50800.4821;P X <<=Φ-Φ=-=解( 1.850.04)(0.04)( 1.85)(0.04)[1(1.85)](0.04)(1.85)10.5160.967810.4838. P X -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-=+-= 2. 解：101)(716)(12)(2)(1)3(2)(1)10.97720.841310.8185;X P X P -<<=-<<=Φ-Φ-=Φ+Φ-=+-=10222)(102)()2()120.748610.4972;333x P x P --<=<=Φ-=?-=103)()0.9()0.9,(1.28)0.9,1.28,13.84.3P X αααα-<=?Φ=Φ≈-==反查表得故得3. 解：设X 表⽰螺栓长度，则：10.05(10.050.12)(2)2(2)120.977210.9544.0.06X P X P --<=<=Φ-=?-=4. 解：30(30)()2(1.5)10.8664,2020X P X P ≤=≤=Φ-=设A 表⽰“三次测量中⾄少有⼀次误差的绝对值不超过30cm ”3()1()1(0.1336)0.9976.P A P A =-=-=§2.8 随机变量函数的分布习题 1. 解：1）Y -3 2 5 6 P161 164 167 1642） Z 1 2 3 4 9 P1621641651641612. 解： 3110≤≤?≤≤y x , 当31≤≤y 时，11()();2y Y Y Y y y F y P Y y P X y P X dx f y F y ---=≤=+≤=≤= ='==;当13,y y ≤≥或时Y 的密度函数为零.故Y 的密度函数为1,13()20,Y y f y ?≤≤?=其它22222()2()22()()()(),,()(),.Y X yy yY Y X Y F y P Y y P y P X y dx y R Y f y F y y R µσµσµσµσµ∈'===∈?3.解:因为的分布函数为所以的密度函数为第⼆章随机变量及其分布复习题⼀选择题1. B2. B3. C4. D5. C ⼆填空题 1.22(),0,1,2,;!kP X k e k k -=== 0.592. 27193. ,1,21π==B A2111,,21x R xπ∈+4.,65,61 分布律：X -1 1 2P 611. 解: X 的分布律为 X 1 2 3 4 P643764196476412. 解: X 的分布律为 1(),1,2,3,.k P X k q p k -=== 3. 解:设X 表⽰两次调整之间⽣产的合格品数,则X 的分布律为1()(1),0,1,2,.k P X k p p k -==-=4. 解: X 的概率分布为55()0.250.75,0,1,2,3,4,5.k k kP X k C k -===设A 表⽰“5道选择题⾄少答对两题”,则()1(0)(1)0.3672.P A P X P X =-=-==5. 解：1）⼀天中必须有油船转⾛意味着“X .>3”242(3)0.143;!kk P X ek ∞(查泊松分布表)2) 设设备增加到⼀天能为y 艘油船服务,才能使到达港⼝的90%的油船可以得到服务.则21212()0.910.9!20.1,15 4.!kk y kk y P X y ek ey y k ∞-=+∞-=+≤≥?-≥?≤+≥?≥∑∑反查泊松分布表得6. 解：21)()()31()31(3131=+=+?>dx b ax dx b ax X P X P47,23=-=?b a7.170170170:1)()0.01()()0.99666170(2.33)0.99 2.33184.6X h h P X h P h h ---≥≥?≥解查表得2)(182)P X ≥=1821701()1(2)0.02,6--Φ=-Φ≈设A 表⽰“100个男⼦中与车门碰头⼈数不多于2个”676.002.098.002.098.098.0)(2982100991100100=++=C C A P .8. 解：(1) X 的分布函数为 1,02()11,02xx e x F x e x -?-∞<≤??=??-<<+∞??011(2)P Y P X e dx P Y P X e dx ∞--∞==>===-=≤==故Y的概率分布律为Y-1 1P1/2 1/2Y的分布函数为0,11(),1121,1YyF y yy<-=-≤<≥。
第二章 概率论解析答案习题解答
第二章 随机变量及其分布I 教学基本要求1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系；2、理解随机变量的分布函数的概念与性质；理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质；3、掌握几种常用的重要分布：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布，且能熟练运用；4、会求简单随机变量函数的分布.II 习题解答A 组、1、检查两个产品，用T 表示合格品，F 表示不合格品，则样本空间中的四个样本点为1(,)F F ω=、2(,)T F ω=、3(,)F T ω=、4(,)T T ω=以X 表示两个产品中的合格品数.(1) 写出X 与样本点之间的对应关系；(2) 若此产品的合格品率为p ，求(1)p X = 解：(1) 10ω→、21ω→、31ω→、42ω→；(2) 12(1)(1)2(1)p X C p p p p ==-=-.2、下列函数是否是某个随机变量的分布函数(1) 021()2021x F x x x <-⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩； (2) 21()1F x x =+ ()x -∞<<+∞. :解：(1) 显然()F x 是单调不减函数；0()1F x ≤≤，且()0F -∞=、()1F +∞=；(0)()F x F x +=，故()F x 是某个随机变量的分布函数.(2) 由于()01F +∞=≠，故()F x 不是某个随机变量的分布函数. 3、设X 的分布函数为(1)0()00x A e x F x x -⎧-≥=⎨<⎩求常数A 及(13)p X <≤解：由()1F +∞=和lim (1)xx A e A -→+∞-=得1A =；(13)(3)(1)(3)(1)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 3113(1)(1)e e e e ----=---=-.4、设随机变量X 的分布函数为>200()0111x F x Ax x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩求常数A 及(0.50.8)p X <≤解：由(10)(1)F F +=得1A =；(0.50.8)(0.8)(0.5)(0.8)(0.5)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 220.80.50.39=-=.5、设随机变量X 的分布列为()ap X k N==(1,2,,)k N =求常数a解：由11ii p+∞==∑得>11Nk a N==∑1a ⇒=.6、一批产品共有100个，其中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的分布列解：设X 表示5个产品中的次品数，则X 是离散型随机变量，其所有可能取值为0、1、…、5，且0510905100(0)C C p X C ==、1410905100(1)C C p X C ==、2310905100(2)C C p X C ==、3210905100(3)C C p X C ==、4110905100(4)C C p X C ==、5010905100(5)C C p X C ==于是X 的分布列为510905100()k kC C p X k C -== (0,1,,5)k =.7、设10件产品中有2件次品，进行连续无放回抽样，直至取到正品为止，以X 表示抽样次数，求(1) X 的分布列； (2) X 的分布函数\解：(1) 由题意知X 是离散型随机变量，其所有可能取值为1、2、3，且84(1)105p X ===、288(2)10945p X ==⨯=、2181(3)109845p X ==⨯⨯=于是X(2) 由(1)可知的分布函数为014125()44234513x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩.8、设随机变量X 的分布函数为010.211()0.3120.52313x x F x x x x <-⎧⎪-≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩ 求X 的分布列解：X 的分布列为9、求在同一时刻(1) 恰有2个设备被使用的概率； (2) 至少有3个设备被使用的概率； .(3) 至多有3个设备被使用的概率解：设X 表示被同时使用的供水设备数，则~(5,0.1)X b (1) 恰有2个设备被使用的概率为2235(2)(0.1)(0.9)0.0729p X C ===；(2) 至少有3个设备被使用的概率为(3)(3)(4)(5)p X p X p X p X ≥==+=+=33244550555(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.00856C C C =++=；(3) 至多有3个设备被使用的概率为(3)1(4)(5)p X p X p X ≤=-=-=44550551(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.99954C C =--=.！10、经验表明：预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为20%，如今餐厅有50个座位，但预定给了52位顾客，求到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少解：设X 表示预定的52位顾客中不来就餐的顾客数，则~(52,0.2)X b ，由于“顾客来到餐厅没有座位”等价于“52位顾客中至多有1位不来就餐”，于是所求概率为005211515252(1)(0)(1)(0.2)(0.8)(0.2)(0.8)p X p X p X C C ≤==+==+0.0001279=.11、设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为的泊松分布，求 (1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率； (2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率解：设X 表示该城市一周内发生交通事故的次数，则~(0.3)X P (1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率20.30.3(2)0.03332!p X e -===；，(2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率00.30.3(1)1(0)10.2590!p X P X e -≥=-==-=.12、设X 服从泊松分布，已知(1)(2)p X p X ===，求(4)p X =解：由(1)(2)p X p X ===得22ee λλλλ--=2λ⇒=422(4)0.09024!p X e -⇒===.13、一批产品的不合格品率为，现从中任取40件进行检查，若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品，分别用以下方法求拒收的概率：(1) 用二项分布作精确计算； (2) 用泊松分布作的似计算 …解：设X 表示抽取的40件产品中的不合格品数，则~(40,0.02)X b (1) 拒收的概率为(2)1(0)(1)p X p X p X ≥=-=-=0040113940401(0.02)(0.98)(0.02)(0.98)0.1905C C =--=；(2) 由于400.020.8λ=⨯=，于是拒收的概率为(2)1(0)(1)p X p X p X ≥=-=-= 0.80.810.80.1912e e --≈--=.14、设随机变量X 的密度函数为201()0x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它求X 的分布函数 *解：由()()xF x f t dt -∞=⎰得当0x <时()()00xxF x f t dt dt -∞-∞===⎰⎰当01x ≤≤时2200()()02|x xxF x f t dt dt tdt t x -∞-∞==+==⎰⎰⎰当1x >时0121001()()020|1x xF x f t dt dt tdt dt t -∞-∞==++==⎰⎰⎰⎰于是所求分布函数为200()0111x F x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩. 15、设随机变量X 的密度函数为 ~212(1)12()0x f x x⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求X 的分布函数解：由()()xF x f t dt -∞=⎰得当1x <时()()00xxF x f t dt dt -∞-∞===⎰⎰当12x ≤≤时1121111()()02(1)2()|2(2)xxx F x f t dt dt dt t x t t x-∞-∞==+-=+=+-⎰⎰⎰ 当2x >时122121211()()02(1)02()|1xx F x f t dt dt dt dt t t t-∞-∞==+-+=+=⎰⎰⎰⎰于是所求分布函数为 ·011()2(2)1212x F x x x x x <⎧⎪⎪=+-≤≤⎨⎪>⎪⎩.16、设随机变量X 的密度函数为cos ()220A x x f x ππ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求(1) 常数A ；(2) X 的分布函数；(3) (0)4p X π<≤解：(1) 由()1f x dx +∞-∞=⎰得2222220cos 0sin |21dt A xdx dt A x A ππππππ-+∞--∞-++===⎰⎰⎰12A ⇒=； (2) 当2x π<-时()()00xxF x f t dt dt -∞-∞===⎰⎰当22x ππ-≤≤时]2221111()()0cos sin |sin 2222xxxF x f t dt dt tdt t x πππ---∞-∞-==+==+⎰⎰⎰当2x π>时22222211()()0cos 0sin |122xx F x f t dt dt tdt dt t ππππππ---∞-∞-==++==⎰⎰⎰⎰ 于是所求分布函数为0211()sin 222212x F x x x x ππππ⎧<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩；(3) (0)()(0)()(0)444p X p X p X F F πππ<≤=≤-≤=-1111sin sin 0242224π=+--=. 17、设随机变量X 的分布函数为1()ln 11x F x xx e x e<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求(1) (03)p X <≤、(2)p X <、(2 2.5)p X <<；(2) X 的密度函数]解：(1) (03)(3)(0)(3)(0)101p X p X p X F F <≤=≤-≤=-=-=(2)(2)(2)(2)ln 2p X p X p X F <=≤-===5(2 2.5)(2 2.5)(2.5)(2)ln 2.5ln 2ln 4p X p X F F <<=<≤=-=-=；(2) 由于在()F x 的可导点处，有()()f x F x '=，于是X 的密度函数为11()0x ef x x⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.18、设~(1,6)K U ，求方程210x Kx ++=有实根的概率 解：由~(1,6)K U 得K 的密度函数为116()5k f k ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它又由于方程210x Kx ++=有实根等价于240K -≥，即||2K ≥，于是方程有实根的概率为22(||2)(2)(2)()()p K p K p K f k dk f k dk -+∞-∞≥=≤-+≥=+⎰⎰?621455dk ==⎰. 19、调查表明某商店从早晨开始营业起直至第一个顾客到达的等待时间X (单位：分钟)服从参数为0.4的指数分布，求下述事件的概率(1) X 至多3分钟； (2) X 至少4分钟；(3) X 在3分钟至4分钟之间； (4) X 恰为3分钟解：(1) X 至多3分钟的概率为0.43 1.2(3)(3)11p X F e e -⨯-≤==-=-；(2) X 至少4分钟的概率为0.44 1.6(4)1(4)1(4)1(1)p X p X F e e -⨯-≥=-<=-=--=；?(3) X 在3分钟至4分钟之间的概率为(34)(4)(3)(4)(3)p X p X p X F F ≤≤=≤-<=- 0.440.43 1.2 1.6(1)(1)e e e e -⨯-⨯--=---=-；(4) X 恰为3分钟的概率为(3)0p X ==.20、设~(0,1)X N ，求下列事件的概率( 2.35)p X ≤；( 1.24)p X ≤-；(|| 1.54)p X ≤ 解：( 2.35)(2.35)0.9906p X ≤=Φ=；( 1.24)( 1.24)1(1.24)10.89250.1075p X ≤-=Φ-=-Φ=-=； (|| 1.54)( 1.54 1.54)(1.54)( 1.54)p X p X ≤=-≤≤=Φ-Φ-(1.54)[1(1.54)]2(1.54)120.938210.8764=Φ--Φ=Φ-=⨯-=.&21、设~(3,4)X N ，(1) 求(25)p X <≤、(||2)p X >、(3)p X >；(2) 确定c ，使得()()p X c p X c >=≤；(3) 若d 满足()0.9p X d >≥，则d 至多为多少解：(1) 23353(25)()222X p X p ---<≤=≤≤ (1)(0.5)(1)(0.5)10.84130.691510.5328=Φ-Φ-=Φ+Φ-=+-=23323(||2)1(||2)1()222X p X p X p ---->=-≤=-≤≤ 1(0.5)( 2.5)1(0.5)(2.5)=-Φ-+Φ-=+Φ-Φ10.69150.99380.6977=+-= 333(3)1(3)1()22X p X p X p -->=-≤=-≤ 1(0)10.50.5=-Φ=-=；(2) 由()()p X c p X c >=≤得1()()p X c p X c -≤=≤？3330.5()()()222X c c p X c p ---⇒=≤=≤=Φ3032c c -⇒=⇒=； (3) 由()0.9p X d >≥得3330.9()1()1()1()222X d d p X d p X d p ---≤>=-≤=-≤=-Φ 33()0.11()0.122d d--⇒Φ≤⇒-Φ≤ 33()0.9 1.2820.43622d d d --⇒Φ≥⇒≥⇒≤.22、从甲地飞住乙地的航班，每天上午10:10起飞，飞行时间X 服从均值为4h ，标准差为20min 的正态分布.(1) 该航班在下午2:30以后到达乙地的概率； (2) 该航班在下午2:20以前到达乙地的概率；(3) 该航班在下午1:50至2:30之间到达乙地的概率 *解：(1) 该航班在下午2:30以后到达乙地的概率为240260240240(260)()1(1)202020X X p X p p ---≥=≥=-< 1(1)10.84130.1587=-Φ=-=；(2) 该航班在下午2:20以前到达乙地的概率为240250240(250)()(0.5)0.69152020X p X p --≤=≤=Φ=； (3) 该航班在下午1:50至2:30之间到达乙地的概率为220240240260240(220260)()202020X p X p ---≤≤=≤≤(1)(1)2(1)120.841310.6826=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=.23、某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似地服从2(72,)N σ，已知96分以上的人数占总数的%，试求考生的成绩在60分至84分之间的概率解：设考生的外语成绩为X ，则2~(72,)X N σ】由96分以上的人数占总数的%得0.023(96)p X =>729672240.977(96)()()X p X p σσσ--⇒=≤=≤=Φ242σ⇒=12σ⇒=于是，考生的成绩在60分至84分之间的概率为6072728472(6084)()121212X p X p ---≤≤=≤≤ (1)(1)2(1)120.841310.6826=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=.24求cos Y X =的分布列解：由X于是Y25求2Y X =的分布列解：由26、设随机变量的密度函数为2311()2X xx f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其它求随机变量3Y X =+的密度函数解：由题意知，当2y ≤时，有()()0Y F y p Y y =≤=当24y <<时，有()()(3)(3)(3)Y X F y p Y y p X y p X y F y =≤=+≤=≤-=-当4y ≥时，有()()1Y F y p Y y =≤=￥即Y 的分布函数02()(3)2414Y X y F y F y y y ≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩于是，Y 的密度函数()()Y Y f y F y '=(3)240XF y y '-<<⎧=⎨⎩其它23(3)2420y y ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其它.27、设随机变量~(0,1)X U ，求随机变量XY e =的密度函数 解：由题意知，当1y ≤时，有()()0Y F y p Y y =≤=当1y e <<时，有()()()(ln )(ln )X Y X F y p Y y p e y p X y F y =≤=≤=≤=：当y e ≥时，有()()1Y F y p Y y =≤=即Y 的分布函数1()(ln )11Y X y F y F y y e y e≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩于是，Y 的密度函数()()Y Y f y F y '=(ln )10XF y y e'<<⎧=⎨⎩其它110y ey ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它.28、随机变量X 的密度函数为()0xX e x f x x -⎧>=⎨≤⎩ 求随机变量2Y X =的密度函数~解：由于20Y X =≥，故当0y <时，有()()0Y F y p Y y =≤=；当0y ≥时，有2()()()(Y F y p Y y p X y p X =≤=≤=≤≤0()1x X f x dx dx e -===-即Y 的分布函数10()0Y e y F y y ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩于是，Y 的密度函数0()()00Y Y y f y F y y >'==≤⎩.29、设随机变量~(0,1)X N ，试求随机变量||Y X =的密度函数 解：由于||0Y X =≥，故当0y <时，有()()0Y F y p Y y =≤=；$当0y ≥时，有()()(||)()2()1Y F y p Y y p X y p y X y y =≤=≤=-≤≤=Φ-即Y 的分布函数2()10()00Y y y F y y Φ-≥⎧=⎨<⎩于是，Y 的密度函数()()Y Y f y F y '=2()00y y y 'Φ>⎧=⎨≤⎩22000yy y ->=≤⎩.B 组1、A2、B3、D4、B5、B6、B7、C8、C9、C10、C：11、设随机变量X 的分布函数为0111()21232x a x F x a x a b x <-⎧⎪-≤<⎪⎪=⎨-≤<⎪⎪+≥⎪⎩且1(2)2p X==，求常数a、b解：由()1F+∞=及()()(0)p X a F a F a==--得()121(2)(2)(20)()()32F a bp X F F a b a+∞=+=⎧⎪⎨==--=+--=⎪⎩1726a ba b+=⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩1656ab⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩.12求常数a解：由11 ii p+∞==∑得20.5121a a+-+=12a⇒=±|再由11202a a-≥⇒≤，可得1a=13、口袋中有5个球，编号为1、2、3、4、5，从中任取3个，以X表示取出的3个球中的最大号码.(1) 求X的分布列；(2) 求X的分布函数解：(1) 由题意知X是离散型随机变量，其所有可能取值为3、4、5，且22351(3)10C p X C ===、23353(4)10C p X C ===、24356(5)10C p X C ===于是X(2) 由(1)可知的分布函数为030.134()0.44515x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩.14、设随机变量X 的密度函数为||()x af x Ce -= (0)a >-求(1) 常数C ；(2) X 的分布函数；(3) (||2)p X <解：(1) 由()1f x dx +∞-∞=⎰得||()2221x xa a f x dx C e dx C e dx aC +∞+∞+∞---∞====⎰⎰⎰12C a⇒=； (2) 当0x <时 ||111()()222t t xa a a x x x F x f t dt e dt e dt e a a --∞-∞-∞====⎰⎰⎰ 当0x ≥时||||0011()()22t t a a xx F x f t dt e dt e dt a a ---∞-∞==+⎰⎰⎰001111222t t x a a a x e dt e dt e a a ---∞=+=-⎰⎰ 于是102()1102xa x a e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩；(3) 22211(||2)(22)(2)(2)1122a a ap X p X F F e e e ---<=-<<=--=--=-.15、设随机变量X 的密度函数为201()0x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件1{}2X ≤出现的次数，求(2)P Y =解：由题意知：事件1{}2X ≤在一次观察中出现的概率为1112222001()02|4p f x dx dt xdx x -∞-∞==+==⎰⎰⎰ 且~(3,)Y b p ，于是223139(2)()()4464P Y C ===. 16、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (单位：分钟)服从指数分布，其密度函数为510()5x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，求(1)p Y ≥解：由题意知：顾客在窗口等待服务的时间超过10分钟的概率为5521010101()|5x x p f x dx e dx e e +∞+∞--+∞-===-=⎰⎰且~(5,)Y b p ，于是02025255(1)1(0)1()(1)1(1)0.5167P Y P Y C e e e ---≥=-==--=--=.17、设随机变量2~(2,)X N σ且(24)0.3p X <<=，求(0)p X < 解：由2~(2,)X N σ得224242(24)()()(0)0.3p X p X σσσ---<<=<<=Φ-Φ=2()0.8σ⇒Φ=0222(0)()()1()10.80.2p X p X σσσ-⇒<=<=Φ-=-Φ=-=.18、设随机变量X 的分布函数为()F x ，试求随机变量()Y F X =的密度函数 解：由于0()1F X ≤≤，故当0Y <时，有()()0Y F y p Y y =≤=； 当01y ≤≤时，有11()()(())(())(())Y F y p Y y p F X y p X F y F F y y --=≤=≤=≤==当1y >时，有()()1Y F y p Y y =≤= 即Y 的分布函数00()0111Y y F y yy y <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩于是，Y 的密度函数()()Y Y f y F y '=101y <<⎧=⎨⎩其它即随机变量Y 服从区间(0,1)上的均匀分布.。
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第二章 随机变量及其分布§2.1-2.2一、填空题1. 设随机变量X 的分布律是{}),4,3,2,1(10===k kk X P 则 {}{}103102101112521=+==+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤X P X P X P2. 设随机变量X 的分布律是{},0),,3,2,1(!>===λλ k k ak X P k为常数，λ-=e a3. 已知随机变量X 只能取-1，0，1，2这四个值，其相应的概率依次为c c c c 162,85,43,21，则2=c 因为21163216210128162854321=⇒==+++=+++c cc c c c c 4. 设5个产品中有3个正品2个次品，如果每次从中任取1 个进行测试，测试后不放回，直到把2个次品都取出来为止，用X 表示需要进行的测试次数，则{}{}525,1012====X P X P 解：:i A “第i 次取到次品”{},1014152)|()()()(21212121=⨯=====A A P A P A A P A A P X P {}()=+++==543215432154321543215A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A P X P()=+++=54321543215432154321()()()A A A A A P A A A A A P A A A A A P A A A A A P5221314253213242532132425321324352=+++=5. 若{}{},1,112αβ-=≥-=≤x X P x X P 其中21x x <，则{}βα--=≤≤121x X x P 。
解：{}{}{}{}==+≤-≤=≤≤11221x X P x X P x X P x X x P{}{}{}{}{}βα--=≤+-≤==+<+-≤=11112112x X P x X P x X P x X P x X P6. 一颗均匀骰子重复掷10次，用X 表示3出现的次数，则X 服从参数为61,10==p n 的二项分布，X 的分布律为{}kk k C k X P -⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==101061161，10,,2,1,0 =k7. 一电话交换每分钟接到呼叫次数，X ～)4(P ，则每分钟恰好有8次呼叫的概率为8448!e -，每分钟呼次数大于8的概率为{}021363.0!41884=-=>∑=-k k e k X p 8. 一实习生用一台机器接连独立的制造了3个相同的零件，第)3,2,1(=i i 个零件是不合格品的概率为),3,2,1(11=+=i i p i 以X 表示3个零件中合格品的次数，在{}24112==X P 设i A ：“第i 个零件合格”，3,2,1=i ；则{}==2X P()()()()321321321321321321A A A P A A A P A A A P A A A A A A A A A P ++= =)()()()()()()()()(321321321p A P A P A p P A P A p A P P ++=24111218141413221433121433221=++=++ 二、车从某校到火车站途中，要经过3个设有红绿灯的十字路口中，遇到 红灯是相互独立的，并概率都是31。
（1） 求X 表示途中遇到红灯的次数，求X 的分布律 解：X ～)31,3(b ，则X 的分布律为{}3,2,1,0,3113133=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k C k X P kk k（2） 若以Y 表示汽车从学校出发首次遇到红灯前已通过的路口数，求Y 的分布律。
解：{}{}331132,1,0,31311⎪⎭⎫⎝⎛-===⎪⎭⎫ ⎝⎛-==Y P k k Y P k（3） 求从学校出发到火车站途中至少遇到一次红灯的概率解：{}{}27193210113=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-=≥X P X P三、一台设备由三大部件构成，在设备运转中各个部件需要调整的概率分别为0.10，0.20和0.30，设各部件的状态相互独立，以X 表示同时需要调整的部件数，求X 的分布律。
解：设i A ：“第i 大部件需要调整”，3,2,1=i{}504.0)3.01()2.01()1.01()()()()(0321321=-⨯-⨯-====A P A P A P A A A P X P {}398.03.08.09.07.02.09.07.08.01.0)()()()(1321321321321321321=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++===A A A P A A A P A A A P A A A A A A A A A P X P {}092.03.08.01.03.02.09.07.02.01.0)()()()(2321321321321321321=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++===A A A P A A A P A A A P A A A A A A A A A P X P {}006.03.02.01.0)()()()(3321321=⨯⨯====A P A P A P A A A P X P四、某些产品的次品率为0.1，捡验员每天捡验6次，每次有放回的10件产品进行检验若发现这10 件产品中有次品，就去调整设备，设X 为一天中调整的次数，求X 的概率分布。
解：每次出现次品的概率为：()65.09.0110≈-=P而X ～),6(p b ，则{}6,5,4,3,2,1,0,)65.01(65.0)1(6666=-=-==--k C p p C k X P k k kk k k五、某车间有20 台同型号的机床，每台机床开动的概率为0.8，若机床是否开坳相互独立，每台机床开时需要耗电15个单位，求该车间消耗电能不少于270个单位的概率。
解：1815270=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ，而X ～)8.0,20(b 则{}{}{}{}2060.00115.00576.01369.08.02.08.02.08.02019181820202011919202181820=++=++===+=+==≥C C C X P X P X P X P§2.3一、 填空题1. 随机变量X 的分布函数是事件{}x X ≤的概率，2. 用随机变量X 的分布函数)(x F 表示下述概率{})()(),()(--===≤a F a F a X p a F a X F ，{}{}()a F a X P a X P -=≤-=>11 )()()(1221x F x F x X x P -=≤<3. 设)(x F 是离散型随机变量X 的分布函数，若{}0==b X P ，则{})()(a F b F b X a P -=<<成立。
因这有{}{})()()()()()(a F b F a F b X P b F a F b F b X a P -=-=-=-=<<-二、 设袋中有标号分－１、１，１，１，１，２，２的六个球，先从中任取一球的标号Ｘ的分布函数，并作出分布函数的图形。
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤--<=xx x x x F 212132116110)(三、 已知离散型随机变量Ｘ的概率分为{}{},3.02,2.01====X P X P {}5.03==X P ，试写出Ｘ的分布函数)(x F ，并给出其图形解：分布律为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<=xx x x x F 31325.0212.010)(说明：空心点暂时无法画上去§2.４一、选择题１．设x x f sin )(=，要使)(x f 为某随机变量Ｘ的概率密度函数，则Ｘ可能取值的区为（Ｄ）],23,[.ππA ],2,23[.ππB ],,0[.πC ],21,0[.πD ２．设连续型随机变量的概率密度函数，分布函数分别为)(x f 和)(x F ，则下列选项中正确的是（Ｂ）,1)(0.≤≤x f A {})(.x F x X P B ≤=， {})(.x F x X P C ==， {})(.x f x X P D ==３．某电子元件的寿命Ｘ（单位：小时）的概率密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤=1000100010000)(2x x x x f则装有５个这种电子元件的系统在使用的前１５００小时内正好有２个元件需要更换的概率是（Ｃ）,31.A ,24340.B ,24380.C ,32.D解：⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=10001000110000)(x x x x F ，{}31)1500(1500==≤=F X p p{}24380)311()31(23225=-==C X P二、填空题１．设随机变量k ～]6,1[U ，则Ｋ的概率密度函数是⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他61,51)(x x f２．设随机变量k ～]4,1[N ，且{}5.0=≥a X P 则1=a （因为1=μ为对称中心，12218)1(2=--∞+∞-⎰dx e x π）３．如果函数)()(+∞<<-∞=-x Ae x f x是某随机变量的概率密度函数，则21=A （因为⎰⎰⎰+∞∞-∞-+∞-==---=+=0012)10()01()(A A A dx Ae dx Ae dx x f x x ）４．设X ～[]1,0U ，则2X Y =在（0，1）内的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他1021)(y yy f Y解：{}{}{}⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<==≤=≤=≤=1110,00)()(2y y y y y F y X P y X P y Y P y F Y则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==其他1021)()('y yy F y f Y Y解法2.因)1,0(,2∈=x x y 知y x =，由定理2.2知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⋅=其他10211)(y yy f Y5，设X ～),2,3(-N 则 23+=X Y ～)1,0(N （因为σμ-=X Y ～)1,0(N ）6．已知X ～),2,2(2N 且b aX Y +=～),1,0(N 则21±=a ，1 =b 因为b aX Y +=～)1,0()2,2(22N a b a N =+⨯ 则,1,21-==b a 或1,21=-=b a三、设连续型随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<=其他021210)(x x x xx f求（1）X 的分布函数)(x F ;解： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<≤-+-<≤<=x x x x x xx x F 212112210200)(22 （2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-211X P 解：8102121)1()21(2112=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-F F X P四、设电池寿命（单位：h ）X 是一个随机变量，且X ～)35,300(2N （1） 求电池寿命在250h 以上的概率；（2） 求数a ，使得电池寿命在区间)300,300(a a +-内的概率不小于0.9. 解：（1）{}{}⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=≤-=>3530025012501250X P X P ()9236.0429.17107101=Φ=⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=（2）{}{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=<-=+<<-3535300300300300a X P a X P a X a P 95.0359.013523535≥⎪⎭⎫⎝⎛Φ⇒≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=a a a a ，即66.135=a ，则75.57≥a五、设某公共汽车从早上5：00起，每分5钟辆汽车通过，乘客在6：00到 6：05到达车站是等可能的，求乘客位候车时间不超过2分钟的概率。