专题九 数学思想方法问题
中考数学专题练习 综合问题(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
综合题综合题是初中数学中涵盖广、综合性最强的题型，它可以包含初中阶段所学的代数、平面几何、解析几何、统计概率的若干知识点和各种数学思想方法，还能有机结合探索性、开放性等有关问题；它既突出考查了初中数学的主干知识，又突出了与高中衔接的重要内容，如函数、方程、不等式、三角形、四边形、相似形、圆等.它不但考查学生数学基础知识和灵活运用知识的能力还可以考查学生对数学知识迁移整合能力；既考查学生对几何与代数之间的内在联系，多角度、多层面综合运用数学知识、数学思想方法分析问题和解决问题的能力，还考查学生知识网络化、创新意识和实践能力。
前面专题已对代数之方程和不等式综合问题、函数之一次函数和反比例函数综合问题、函数之一次函数、反比例函数和二次函数综合问题、代数和函数综合问题、静态几何之综合问题等有过介绍，本专题主要原创编写代数和平面几何的综合问题、代数和统计概率的综合问题、平面几何和统计概率的综合问题、解析几何和统计概率的综合问题、平面几何和解析几何的综合问题模拟题。
1.已知一元二次方程x2－11x＋30=0 的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC底边上的高为。
【答案】4或1192。
【考点】因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的性质，三角形三边关系，勾股定理，分类思想的应用。
1. 已知关于x 的方程x 2－（m ＋2）x ＋（2m －1）=0的一个根是2，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积。
【答案】解：∵此方程的一个根是1，∴12－1×（m ＋2）＋（2m －1）=0，解得，m=2， 则方程的另一根为：m ＋2－1=2+1=3。
①该直角三角形的两直角边是1、3时，该直角三角形的面积为131322⋅⋅=。
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22；则该直角三角形的面积为112222⋅⋅=。
综上所述，该直角三角形的面积为32或2。
(河南省)聚焦中考数学复习课件：专题9-综合型问题(含答案)
则D的 y＝172a，
坐标是(172a，172a)，OA 的垂直平分线的解析式是 x＝32a，则 C 的坐标是(32a，32a)，则 k＝
94a2.∵以 CD 为边的正方形的面积为27，∴2(172a－32a)2＝27，则 a2＝2(2015·钦州)如图，在平面直角坐标系中，以点 B(0，8)为端点的射线 BG∥x 轴，点 A 是射线 BG 上一个动点(点 A 与点 B 不重合)，在射线 AG 上取 AD＝OB，作线段 AD 的垂直平分线，垂足为 E，且与 x 轴交于点 F，过点 A 作 AC⊥OA，交直线 EF 于点 C， 连接 OC，CD.设点 A 的横坐标为 t.
点拨：作∠DAE＝∠BAD 交 BC 于 E，作 DF⊥AE 交 AE 于 F，作 AG⊥BC 交 BC 于 G.∵∠C＋∠BAD＝∠DAC，∴∠CAE＝∠ACB，∴AE＝EC，∵tan∠BAD＝47，∴设 DF＝ 4x，则 AF＝7x，在 Rt△ADF 中，AD2＝DF2＋AF2，即( 65)2＝(4x)2＋(7x)2，解得 x1＝－1(不 合题意，舍去)，x2＝1，∴DF＝4，AF＝7，设 EF＝y，则 CE＝7＋y，则 DE＝6－y，在 Rt△ DEF 中，DE2＝DF2＋EF2，即(6－y)2＝42＋y2，解得 y＝53，∴DE＝6－y＝133，AE＝236，∴设 DG＝z，则 EG＝133－z，则( 65)2－z2＝(236)2－(133－z)2，解得 z＝1，∴CG＝12，在 Rt△ADG 中，AG＝ AD2－DG2＝8，在 Rt△ACG 中，AC＝ AG2＋CG2＝4 13.故答案为：4 13
5．(2015·乌鲁木齐)如图，在直角坐标系 xOy 中，点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴，OOAB＝ 34.∠AOB 的角平分线与 OA 的垂直平分线交于点 C，与 AB 交于点 D，反比例函数 y＝kx的图 象过点 C.当以 CD 为边的正方形的面积为27时，k 的值是( D )
高考数学第一轮复习教案 专题9不等式
专题九 不等式一、考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 二、考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ 三、命题热点高考对该部分主要从以下几个方面考查：一元二次不等式、一元二次不等式组和简单的线性规划问题、基本不等式的应用等。
高考在解答题中一般有一道数列题，各地高考的试题不尽相同，但总的趋势是难度在下降；试卷中没有不等式解答题，通常会在小题中设置1到2道，而对不等式的深层考查则在数列解答题、解析几何解答题、函数导数解答题中考查。
四、知识回顾1. 不等式的基本概念（1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式.（4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质（1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c a c b b a >⇒>>,（传递性）（3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性）（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >⇒>>0,.（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除）11(10),0a b ab a b>>⇒<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）3.几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b aab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4.几个著名不等式（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么2112a b a b ++（当仅当a=b 时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）：特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，222()22a b a b ab ++==）),,,(332222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥++ ⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++ 注：例如：22222()()()ac bd abcd +≤++.常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-==-≥++--1)n ==≥（2）柯西不等式： 时取等号当且仅当（则若nn n n n n n n b a b a b ab a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ 332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ （3）无理不等式：转化为有理不等式求解1()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬≥⎨⎭⎪>⎩定义域○2⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f （4）.指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>（5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩（6）含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○3应用化归思想等价转化 ⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： ①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=⋅--≤=②2222232(1)(1)124(1)()22327x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111||||||()2x x x x x x+=+≥与同号，故取等7、二元一次不等式（组）与简单线性规划问题(一)二元一次不等式表示的区域对于直线0=++C By Ax (A>0)当B>0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 上方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的下方区域.当B<0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 下方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的上方区域.（二）线性规划(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =A x +B y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z =A x +B y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.(3)那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. 线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.(5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.五、典型例题例1 在ΔABC 中，已知lgtgA+lgtgc=2lgtgB.求证：3π≤B ＜2π. 这个问题的已知是三角形中量的一种相等关系，要求从相等的条件出发，去推证出关于另一(些)量的不等关系.虽说本题考查的是对数、三角函数、不等式的一些相关基础知识，并要求把分析法、综合法加以综合运用，但问题的实质却是某种“相等关系”向“不等关系”的转化，抓住这一实质特征，就可以找到解决问题的方法.当然要熟练掌握对数、三角函数及不等式的知识，在这里根据题意激活知识也是必不可少的.简解：lgtgA+lgtgC=2lgtgB=lgtgA ·tgc ⇒tg 2B=tgA ·tgctgB=tg(π-(A+C))=-Btg 21tgCtgA -+∴tgA+tgC=tgB(tg 2B －１) ∵tgA+tgC ≥2tgC tgA ⋅=2tgB 即 tg 2B-1≥2∴tgB ≥3 ∵B ≥3π……这里，抓住了tg 2B=tgA ·tgC 这一相等关系及tgB=-tgCtgA ⋅-+1tgCtgA 隐含关系.通过tgA+tgC≥2tgC tgA ⋅这一恒成立的不等式得出关于tgB 的不等式，求解即得结论.b)“不等”向“相等”的转化.ⅰ)由实数理论知：若a ≥b 且a ≤b 则必有a=b ，这是由“不等”变为“相等”的典型模型，在数学运算中经常用到，例如：由(x-y)2≤0及隐含条件(x-y)2≥0可以导出(x-y)２＝0ⅱ)添加变量使“不等”变“相等”.例如：由x+y ＞0⇒y ＞-x 可含y=-x+t ，这里t ＞0，从而把x,y 的“不等”关系转化为某种“相等”关系.例2 已知a 、b 、c ∈R ，函数f(x)=ax ２＋bx+c ，g(x)=ax+b ，当-1≤x ≤1时，f(x)≤1 (1)证明：｜c ｜≤｜(2)证明：当｜x ｜≤1时，｜g(x)｜≤2(3)设a ＞0，当｜x ｜≤1时，g(x)的最大值是2，求f(x).本题综合了函数、方程、不等式的知识与方法，由于是以证明不等式为主，对逻辑思维和推理论证能力的要求很高，难度很大，它以二次函数和一次函数为载体，侧重考查函数的概念，含绝对值的不等式的性质，函数的单调性等数学知识的综合灵活运用，并利用函数作为材料，考查恒等变形，放缩变形的方法和技能，等式和不等式的联系和转化.这里仅剖析第(3)小题.已知告诉我们：对一切x ∈［-1,1］，g(x)≤2恒成立，这是不等的关系，由此(加上“a ＞0”)要得出f(x)的表达式，即给出一组值，使之分别与a 、b 、c 相等，很明显是“不等”向“相等”的转化.简解如下：∵a ＞0，∴g(x)=ax+b 是［-1,1］上的增函数，当x=1时，g(x)max =g(1)即：a+b=g(1)=2=f(1)-f(0) ①∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2≤-1 ∴c=f(0)=-1∵当-1≤x ≤1时f(x)≥-1恒成立，即f(x)≥f(0)∴直线x=0是抛物线y=f(x)的对称轴，由此可得-ab2=0，即b=0代入①得a=2 ∴f(x)=2x 2-12.“相等”与“不等”的构造 从上可以看出，“相等”向“不等”的转化，其关键之处在于构建出相关的不等关系，再将这个不等关系向目标(不等式)作进一步的变形处理即可.a)在“相等关系”中构造出“不等关系”：途径：①利用重要不等式：ⅰ)a 2+b 2≥2abⅱ)a 、b 、c ∈R ＋，a+b ≥2ab ，a+b+c ≥33abc ⅲ)a b +ba≥2(a 、b ＞0)等等 ②利用函数单调性：f(x)是区间I 上的增函数，若x 1、x 2∈I ，则f(x ２)＜f(x １)；f(x)是区间I 上的减函数，若x 1、x 2∈I ，则f(x 1)＞f(x 2)；③利用等量关系中的隐含条件，如x ２-１≥0 ｜x ｜≤a y=1-x 2⇒ x 2+y 2=a 2⇒y ≥0 ｜y ｜≤a例3 已知a 、b ∈R 且a 21b -+b 21a -=1，求证a 2+b 2=1这是一道脍炙人口的名题，其证法有多种，常见的方法有：平方法、三角法、几何法等，但另辟蹊径，巧用“相等”与“不等”，又可别开生面，证明如下：证明：∵a21b-≤2b -1a 22+ b 21a -≤2a -1b 22+两式相加得a 21b -+b 21a - ≤1又已知a 21b -+b 21a - =1，则上述两不等式必同时取等号即a=21b - ,b=21a -∴a 2+b 2=1例4 求满足(x 2+2x+3)(y 2+1)=2的实数x,y解：∵x 2+2x+3=(x+1)2+2≥2 y 2+1≥1∴(x 2+2x+3)(y 2+1)≥2 当且仅当x 2+2x+3=2,y 2+1=1时成立解之得x=-1且y=0 b)在“不等”关系中构造“相等”关系.x=rcos θ途径：①设元构造.例：x 2+y 2≤1⇒ (0≤r ≤1) y=rsin θ②数形结合，构造函数(或方程).例：x -4x -52≥x 可设y 1=x -4x -52,y 2=x例5 求证：nn 2＜1-n 2 (n ∈N ，n ≥2) 证明：∵2n =(1+1)n＝1+n+21)-n(n +…∴n ≥2，n ∈N,右端展开式中的各项为正∴2n＞21)-n(n即n n 2＜1-n 2例6 为使不等式x 2+4xy+4y 2+10x+ay+b ＞0对任意实数x 、y 恒成立，求实数a 、b 应满足的条件.解：为使不等式恒成立，须且仅须x 2+4xy+4y 2+10x+ay+b 为一个实数的平方加上一个正增量t ，可令x 2+4xy+4y 2+10x+ay+b=(x+2y+m)2+t=x 2+4xy+4y 2+2mx+4my+m 2+410=2m a=20 根据多项式相等的条件有： a=4m ⇒b=m 2+t(t ＞0) b=25+t ＞25 所以当a=20,b ＞25时，原不等式恒成立.例7 已知x 2+y 2≤1，求x+y 的最大值.分析：这里，量x+y 与x 2+y 2的直接关系可以通过2(x 2+y 2)≥(x+y)2得出，还可以通过换元令x=rcos θ，y=rsin θ，则有r 2≤1∴0≤r ≤1∴x+y=rcos θ+rsin θ=2rsin(θ+4π)≤2 r ≤2 得出. 3.由不等进行估算估计变数或式子的取值范围，对某些数学问题能起到挖掘隐含信息，找到思维的切入点，从而使困难的问题迎刃而解.x+y=6 例8 求解方程组z 2=xy-9这是二个方程三个变量的方程组，按常规似乎有无数个解.但可对xy 进行估算，可知xy ＞9，否则z 2＜0,x+y ＞0∵x ＞0,且y ＞0且6=x+y ≥2xy ⇒xy ≤9故z 2=xy-9≤9-9=0∴z=0且x=y=34.由不等推出矛盾：反证法是“数学家最精良的武器之一”，它在数学解题中确有奇效，若能有意识地挖掘问题中潜在的不等关系，使两者联手，往往可以及时找到矛盾点——由不等导出矛盾.例9 已知锐角α，β满足βαsin cos +αβsin cos =2，求证α+β＝2π证明：假设α+β＞2π，则α＞2π-β，β＞2π-α ∵α，β，2π-2，2π-β∈(0，2π)∴cos α＜cos(2π-β)＝sin βcos β＜cos(2π-α)=sin α从而2=βαcos cos +αβsin log ＜ββsin sin +ααsin sin =2矛盾 故α+β≤2π，同理α+β≥2π，∴α+β=2π(二)不等式与函数、方程的关系前面谈到“不等”与“相等”的相互依存，转化，在不等式与函数、方程中尤为突出. 1.一元二次不等式与二次函数，一元二次方程的关系(1)一元二次方程的根(二次函数图像与x 轴交点的横坐标)是对应一元二次不等式解集的端点值，由此可引申出解一元高次不等式的“根轴法”，可以由数形结合，根据函数图像求不等式的解集.(2)方程的条件根问题可以借助所设辅助函数与关于函数值的不等式，得出等价转化.例10 2x ２-3x=k 在［-1,1］内有实根，求实数k 的取值范围.此题是有关一元二次方程根的个数讨论，通过构造二次函数，讨论其零值点的分布，借助不等式求出k 的范围.解：设y=2x 2-3x-k=f(x)①若方程2x 2-3x-k=0在［-1，1］上有两根，则 Δ≥0f(-1)≥0 9+8k ≥0f(1)≥0 ⇔ 2+3-k ≥0 解之得：-89≤k ≤-1 -1＜43＜1 2-3-k ≥0 ②若方程2x 2-3x-k=0在［-1,1］上仅有一根则 Δ＞0 k ＞-89 ⇔ ⇔ -1≤k ≤5 f(-1)f(1)≤0 (5-k)(1-k)≤0 综上可知，k ∈［-89,5］ 2.不等式与函数最值(1)求函数的最大值与最小值涉及的范围极为广泛，可使用的方法很多，代数的，三角的，几何的问题中都有大量的求最值问题，求函数的值域也常归结为函数的最值；许多实际问题的应用题也能利用最值解决.而最值问题往往归结为不等问题，用不等式的性质以及求解不等式的方法都可用于解决最值问题，代数课本上册P26例2实际上是两个极值定理，有着广泛的应用价值，(课本上虽为二个正数，但可推广到三、四个及多个的情形)在利用它解决问题时，要注意三个条件“一正、二定、三能等”即：①这几个数都必须是正数.例如：当xy=4，如果没有x 、y 都为正数这个条件，就不能说x+y 有最小值4，因为若x=y=-2虽满足xy=4但x+y=-4＜4.②这几个数必须满足条件“和为定值”或“积为定值”，如果找不出“定值”这个条件，就不能应用这两个定理.例如：当x ＞0时，求y=x 2+x 1的最小值，若写成y=x 2+x1≥2xx 12⋅=2x (等号当且仅当x 2=x 1即x=1时y min =21=2)则最小值为2，这是错误的.而应该是这样的：由于x 2·x 21·x 21=4为定值，故y=x 2+x 1=x 2+x 21+x 21≥3322121x x x ⋅⋅=2332，即y min ＝2332(显然(2332)3=427＜8 即2332＜2＝③要保证等号能成立，如果等号不能成立，则求出的仍不是最值，例如：当0＜x ＜2π时求y=sinx+sinx 4的最小值，尽管y=sinx+sinx 4≥2xsin 4sin ⋅=4.但y min ＝４是错误的，因为当sinx=sinx4时可推出sinx=2(sinx ＞0)不成立，这只能说y ＞4恒成立，因此y min ＞4必成立，实际上由y=t+t4在(0，1］上是单调减函数可知，当sinx=1时y min =5(2)不等式与二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的最椎 x ∈R 时①当a ＞0时，x=-a b 2时，y min =a 4b -4ac 2；当a ＜0，x=-a b 2时y max =a4b -4ac 2②当x ∈［m,n ］(m ＜n ＝时，易画出图像(是抛物线的一部分)“看图说话”. 例11 若a ＞0，y=ax 2+bx+c 的最值如下表当a ＜0时，可依上表写出类似结论.(3)重要函数y=x+c ，(a ＞0,x ＞0)的单调性.利用不等式的性质可证明，y=x+ f(m) 在(o ，a )上是减函数，在QS ［a ，+∞)上是增函数.例12 求y=4522++x x 的最值解：y=41422+++x x ＝4x 2++412+x令t=4x 2+≥2，于是y=t+t 1在［1,+∞)单调递增，可知t=2，即x=0时y min =25 (三)不等式与几何的关系数学关系实质上是反映现实生活中的量与量的关系的，因而往往具有一些实际意义(或几何意义)，不等关系也是这样.1.构造几何图形证明不等式1)对于一些含有“A+B ≥C ”结构的不等式问题，可联想“三角形两边之和大于第三边.”构造三角形证明例13 x 、y 、z ∈R +，求证：-xy y x 22+ +yz -z y 22+＞xz y x -+22简析：x 2+y 2-xy=x 2+y 2-2xycos60°由 y 2+z 2-yz=y 2+z 2-2yzcos60°联想到余弦定理，构造三棱锥z 2+x 2-xz=x 2+z 2-2xzcos60°o-ABC 得证(如图)，AB=xy -y x 22+ BC=yz -y 22z + CA=xz -x 22z +及ΔABC 中，AB+BC ＞AC2)对于一些含有“A ·B 或21(A+B)·C ”结构的不等式问题，可联想面积证明之例14 设a ＞c,b ＞c ＞0,求证：c)-c(a +)(c b c -≤ab 简析：∵(c -b )2+(c )2=(b )2(c -a )2+(c )2=(a )2即勾股定理，c)-c(a +)(c b c -=c (c -a +c -b )联想到梯形面积可用补形法构造一个梯形.(如图二)3)对于含有“a 2+b 2=c 2”结构的不等式问题，可联想长方体中的对角线与棱长的公式，构造长方体.4)对于一些含有“(a-m)2+(b-n)2”或22C bB aA BA +++”结构的不等式问题可用解几中的两点间的距离，点到直线的距离公式进行构图求证.5)对含有“a 2+b 2=R 2且aA+bB+C=0”结构的不等问题，可构造圆与直线的位置关系求证. 2.运用不等式知识解决几何最值这类问题主要是通过建立目标函数之后，应用不等式知识(如函数单调性，基本不等式等)求出函数最值，这里不作详述.(四)不等式与其它杂题 1.不等关系的探索.现实生活中量与量的不等关系是普遍的、大量的，高考中探索性问题即包含对不等关系的探索，下面举例说明之：例15 已知S n =1+21+31+…n1(n ∈N),设f(n)=S 2n+1-S n+1.试确定m 的取值范围，使得对于一切大于1的自然数，不等式f(n)＞m 恒成立.分析：依题意f(n)=S 2n+1-S n+1=2n 1++3n 1++…+12n 1+ (n ∈N)由于f(n)无法求和化简，故应把f(n)看作n 的函数，只须求出f(n)的最小值即可.略解：∵f(n)=2n 1++3n 1++…+12n 1+ f(n+1)=3n 1++…+32n 1+ 且f(n+1)-f(n)=22n 1++ 32n 1+-2n 1+=(22n 1+-42n 1+)+(32n 1+-42n 1+)＞0∴f(n+1)＞f(n) (n ＞1，n ∈N)∴f(2)是f(n)(n ＞1，n ∈N)的最小值f(2)=209 要使f(n)＞m 恒成立，只须f(2)＞m 恒成立，故m ＜209 例16 已知等差数列｛a n ｝和等比数列｛b n ｝中，a 1=b 1,a 2=b 2,a 1≠a 2,a n ＞0,n ∈N (1)试比较a 3,b 3及a 4,b 4的大小.(2)推测a n 与b n 的大小，并证明你的结论. (结论：b n ＞a n 对任意n ∈N ，n ≥3成立)简析：运用归纳法进行探测，猜出一般性的结果，用数学归纳法证明之.例17 定义在(-1，1)上的函数f(x)满足(ⅰ)对任意x 、y ∈(-1，1)有f(x)+f(y)=f(xyyx ++1) (ⅱ)当x ∈(-1,0)时，有f(x)＞0，试研究f(51)+f(111)+…+f(13n n 12++)与f(21)的关系.简析：由(ⅰ)、(ⅱ)可知f(x)是(-1，1)上的奇函数且是减函数. f(13n n 12++)=f(1-2)1)(n (n 1++)=f(211111)21(11+-⋅+++-++n n n n ) =f(1n 1+)+f(-2n 1+)=f(1n 1+)-f(2n 1+)∴f(51)+f(111)+…+f(13n n 12++)=［f(21)-f(31)］+［f(31)-f(41)］+…+［f(1n 1+)-f(2n 1+)］=f(21)-f(2n 1+)＞f(21)(∵0＜2n 1+＜1，∴f(2n 1+)＜0)2.不等式问题中的思维策略1)反客为主当从正面按常规方法不易得出问题的解时，可以变换角度从侧面入手寻找突破口.例18 当｜p ｜≤2时，不等式2x-1＞p(x 2-1)恒成立，求x 的取值范围x 2-1=0 x 2-1＞0 x 2-1＜0 简析：若按常规思路，将问题转化为 或 或 2x-1＞0 1-x 1-2x 2＞2 1-x 1-2x 2＜-2 分别解三个不等式组获解，但太繁琐.若“反客为主”将原不等式化为关于P 的不等式：(1-x 2)p+(2x-1)＞0构造函数f(p)=(1-x 2)p+2x-1 问题转化为对一切｜p ｜≤2，f(p)＞0恒成立当1-x 2=0时易得x=1f(-2)＞0 当1-x 2≠0时，当且仅当 解之得217-＜x ＜231+且x ≠1 f(2)＞0 综上217-＜x ＜231+ 2)以退为进有时从问题的整体去思考颇为费解，但若退出局部着手，常能轻易找出问题的解决途径. 例19 在锐角ΔABC 中，求证：sinA+sinB+sinC ＞cosA+cosB+cosC简析：观察此题，求证式整体与局部，三个角的三角函数有轮换的特征可退出局部考察A 、B 的关系是否有sinA ＞sinB证明：∵A+B=π-C ＞2π ∴2π＞A ＞2π-B ＞0 ∴sinA ＞sin(2π-B)=cosB同理 sinB ＞cosCsinC ＞cosA三式相加得sinA+sinB+siC ＞cosA+cosB+cosC 五、二元一次不等式（组）与简单线性规划问题 （一）二元一次不等式(组)与平面区域 （1）求约束条件及平面区域的面积例20.双曲线4y x 22=-的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）A. ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≥-3x 00y x 0y xB. ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≥-3x 00y x 0y xC. ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤-3x 00y x 0y xD. ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≤-3x 00y x 0y x【解题思路】依据平面区域的画法求解.[解析]双曲线4y x 22=-的两条渐近线方程为x y ±=，两者与直线3x =围成一个三角形区域时有⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≥-3x 00y x 0y x ，故选A 。
专题九(动点型问题)
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③如图②， 当EO=EF时， 过点E作EH⊥y轴 于点H ，在△AOE和△BEF中， ∵∠EAO=∠FBE， EO=EF， ∠AOE=∠BEF， ∴△AOE≌△BEF（AAS）。∴BE=AO=2。 ∵EH⊥OB ，∴∠EHB=90°。 ∴∠AOB=∠EHB。 ∴EH∥AO。 ∴∠BEH=∠BAO=45°。
4
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中考典例剖析 （二）以双动点为载体，探求结论开放性问题 4 例轴8，.O如A为图y，轴在建矩立形平A面B直CD角中坐，标AO系=3，，设taDn、∠EA分CB别= 是3．线以段OA为C、坐O标C上原的点动，点OC，为它x 们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单 位的速度从点C向点O运动．设运动时间为t（秒） （1）求直线AC的解析式； （2）用含t的代数式表示点D的坐标； （3）在t为何值时，△ODE为直角三角形？ （4）在什么条件下，以Rt△ODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的 抛物线？并请选择一种情况，求出所确定的抛物线的解析式．
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中考数学 专题九 综合型问题复习1
专题九 综合型问题
综合题，各地中考常常作为压轴题进行考查，这类题目难度大， 考查知识多，解这类习题的关键就是善于利用几何图形的有关性质 和代数的有关知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解 题目的．
近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现， 其解题关键是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵 活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识 解题．值得注意的是，近年中考几何综合计算的呈现形式多样，如 折叠类型、探究型、开放型、运动型、情境型等，背景鲜活，具有 实用性和创造性，在考查考生计算能力的同时，考查考生的阅读理 解能力、动手操作能力、抽象思维能力、建模能力，力求引导考生 将数学知识运用到实际生活中去．
点拨：：设 OA＝3a，则 OB＝4a，设直线 AB 的解析式是 y＝kx＋b，则
根据题意得：3ba＝k＋4ab，＝0，解得：kb＝ ＝4－a43，，则直线 AB 的解析式是 y＝－43x
＋4a，直线 OD 是∠AOB 的平分线，则 OD 的解析式是 y＝x.根据题
意得：yy＝ ＝x－，43x＋4a，解得：yx＝＝117722aa，，则 D 的坐标是(172a，172a)，OA
解 ： (1)AE ＝ CE. 理 由 ： 连 接 AE ， DE ， ∵ ∠ ABC ＝ 90° ， ∴∠ABE＝90，∴∠ADE＝∠ABE＝90°.∵AD＝DC，∴AE＝ CE
(2)连接 AE，ED，∵∠ABE＝90°，∴AE 是⊙O 的直径．∵EF 是⊙O 的 切线，∴∠AEF＝90°，∴∠ADE＝∠AEF＝90°.又∵∠DAE＝∠EAF，
CF＝
aCD(a＞0)时，sin∠CAB＝ aa＋＋22.提示：∵CF＝aCD，AD＝DC，∴AF＝ AD＋DC＋CF＝(a＋2)CD，∴AE2＝DC·(a＋2)DC＝(a＋2)DC2，∴AE＝
高2013届高三二轮专题复习专题设置及教学建议
(2)由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccosA，即16＝b2＋ 16 2 c ＋bc≥3bc(当且仅当b＝c时取等号)，故bc≤ .(8分) 3 1 3 4 3 故△ABC的面积为S＝ bcsinA＝ bc≤ ，当且仅当b 2 4 3 4 3 4 3 ＝c＝ 时，△ABC的面积取得最大值 .(12分) 3 3
二轮专题复习专题设置及教学建议
目录 ※专题复习的目的和任务3-6 ※专题设置
专题一：三角函数、三角变换，解三角形与平面向量 专题二：数列 专题三：概率与统计 专题四：立几与空间向量 专题五：解析几何 专题六：函数、导数与不等式
专题七：新增内容
专题八：数学思想方法 专题九：选择题、填空题的解答技巧 专题十：解答题的答题规范 专题十一：易错易混梳理
专题二：数列
※本专题设计2课时 第一讲：等差数列与等比数列 第二讲：数列综合 第三讲：推理
第一讲：等差数列与等比数列
本讲主要涉及等差数列、等比数列的定义；会用定义法判定数列类型；会 求数列的通项公式；会利用等差、等比数列的性质解题；会求等差、等比 数列的前n项和，会通过通项公式与前n项和公式识别等差、等比数列，并 能从中提取出相关的基本量；会用下标和性质与片段和性质解题。
典型例题
π 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|< ) 2 的一段图象(如图所示)，求其解析式．
思维启迪 先由图象求出函数的周期，从而求得 ω 的值， 再由关键点求 φ，最后将(0， 2)代入求 A 的值．
解 设函数的周期为 T， 3 7π π 3 则4T＝ 8 －8＝4π， 2π ∴T＝π，∴ω＝ ＝2. T π π π 又∵2×8＋φ＝2kπ＋2 (k∈Z)，∴φ＝2kπ＋4 (k∈Z)， π π 又∵|φ|< ，∴φ＝ . 2 4
中考数学总复习讲义课件：核心素养专题九 数学文化
B．160
256 C. 3
D．64
【解析】 作出几何体的直观图如答图所示：
跟踪训练 3 答图 沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直， 则将几何体分成两个四棱锥和 1 个直三棱柱， 则三棱柱的体积 V1＝12×4×4×4＝32， 四棱锥的体积 V2＝13×2×4×4×1＝332， 由三视图可知两个四棱锥大小相等， ∴V＝V1＋2V2＝1630.
跟踪训练 1.[2018·孝义期末]公元前 5 世纪古希腊的毕达哥拉斯学派有一种观点，
即“万物皆数”，一切量都可以用整数或整数比(分数)表示，后来，当这一学派中
的希帕索斯发现，边长为 1 的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示
时，毕达哥拉斯学派感到惊恐不安，由此，引发了第一次数学危机，这儿“不能
3．[2019·汉阳区模拟]我国古代数学名著《九章算术》记载：刍甍者，下有袤有广， 而上有袤无丈．刍，草也；甍，屋盖也．翻译为：底面有长有宽为矩形，顶部只 有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．图 6 为一刍甍的三视图，其中 正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形．则它的体积为( A )
图6
160 A. 3
类型一 以科技或数学时事为题材 典例 [2019·广元]我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方 法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公 共部分形成的几何体．如图 1 所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型， 它的俯视图是( A )
跟踪训练 1.[2019·宜昌]古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利
用整数或整数的比表示的数”指的是( B )
A．有理数
B．无理数
C．合数
D．质数
九年级数学复习方法
九年级数学复习方法九年级数学复习方法指导九年级数学复习方法指导：一、数学复习计划分为三个阶段第一阶段：以回顾基础知识为主。
即单元复习，全面复习基础知识，加强基本技能训练。
第二阶段：专题复习。
第三阶段：中考模拟。
具体实施如下：第一阶段：以回顾基础知识为主。
这个阶段的复习目的是让学生全面掌握初中数学基础知识，提高基本技能，做到全面、扎实、系统、形成知识网络。
我们将初中三年来的知识分成九个单元，即：《数与式》、《方程和不等式(组)》、《函数及其图象》、《统计与概率》、《图形初步认识和三角形》、《四边形》、《相似和解直角三角形》、《圆》、《图形的变换、投影与视图》。
第一阶段的复习我们主要采取了以下措施：1、加强了数学教师之间的合作，明确了每位教师的任务。
即对每个单元的复习必须出示至少4份试卷。
第一份试卷，以引导学生系统梳理教材、构建知识结构，归纳和总结各种概念、公理、定理、公式为主。
教师要力求对每个概念以及公式定理讲解到位，使学生对基础知识的掌握达到“内化”的要求，并形成学生的能力，使学生能应用知识去解决问题、分析问题。
对每个重要的概念和公式，要有专门的跟踪练习，这部分练习不易过难，主要考察对基础知识的理解和掌握。
这份试卷试卷一般提前3天完成。
第二份试卷，以归纳总结本单元的常用结论、解题方法、一题多解、一题多变为主。
第一轮复习要扎扎实实地抓基础，使每个学生对初中数学知识能达到"理解"和"掌握"的要求，在应用基础知识时能做到熟练、正确和迅速。
不搞题海战术，精讲精练，举一反三、触类旁通。
进行有针对性、典型性、层次性、切中要害的强化练习。
定期检查学生完成的作业，及时反馈。
教师对于作业、练习、测验中的问题，应采用集中讲授和个别辅导相结合，引导学生做好解题后的反思和总结。
注重思想教育，不断激发学生学好数学的自信心，并创造条件，让学困生体验成功。
第二阶段：专题复习进行如下专题复习：“图表信息问题”、“阅读理解题”、“情景应用问题”、“开放性问题”、“探索性问题” 、“数学思想方法”、“方案设计问题” 、“综合性问题”等以便学生熟悉、适应这些题型。
专题09 与隐零点有关的恒成立问题(解析版)
备战2022高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第二篇专题九 与隐零点有关的恒成立问题一、问题指引我们知道导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的，我们称之为“隐零点”(即能确定其存在，但又无法用显性的代数式进行表达)，基本解决思路是:形式上虚设，运算上代换，数值上估算，策略上等价转化，方法上分离函数(参数)，技巧上反客为主。
二、方法详解一般是先用导数证明函数的单调性，然后利用零点存在性定理说明有零点，但这个零点又解不出来，故称为隐藏的零点，把它设出来，再去解决问题。
类型一：隐零点与参变量分离相结合【例】（2020·宁夏银川一中高三月考（理））已知函数()ln f x x x =. （1）设实数12a e>（e 为自然对数的底数），求函数()f x 在[],2a a 上的最小值； （2）若k 为正整数，且()()1f x k x k >--对任意1x >恒成立，求k 的最大值． 【答案】（1）1e-；（2）3 【解析】【分析】（1）求得函数()f x 的定义域和导函数，对a 分成1a e ≥和112a e e<<两种情况讨论()f x 的单调区间，由此求得()f x 在区间[],2a a 上的最小值. （2）将不等式()()1f x k x k >--分离常数得到ln 1x x xk x +>-，构造函数ln ()(1)1x x x g x x x +=>-，利用导数求得()g x 取得最小值时对应的x 的取值范围，由此求得k 的最大值. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，∵()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，得1x e=, 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，()f x 单调递减；当1,x e⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 单调递增． 当1a e≥时，()f x 在[,2]a a 单调递增，min [()]()ln ,f x f a a a == 当112a e e <<时，得12a a e <<，min 11[()]f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.（2） ()(1)f x k x k >--对任意1x >恒成立，即ln x x x +(1)k x >-对任意1x >恒成立，即ln 1x x xk x +>-对任意1x >恒成立. 令2ln ln 2()(1)'()(1)1(1)x x x x x g x x g x x x x +--=>⇒=>-- 令1()ln 2(1)'()0()x h x x x x h x h x x-=-->⇒=>⇒在(1,)+∞上单调递增. ∵(3)1ln30,(4)2ln 40,h h =-<=->∴所以()h x 存在唯一零点0(3,4)x ∈，即00ln 20x x --=. 当0(1,)x x ∈时，0()()0'()0h x h x g x <=⇒<；当0(,)x x ∈+∞时，0()()0'()0h x h x g x >=⇒>； ∴()g x 在0(1,)x x ∈时单调递减；在0(,)x x ∈+∞时，单调递增； ∴0000min 0000(ln 1)(1)[()]()11x x x x g x g x x x x +-====--，由题意min 0[()]k g x x <=，0(3,4)x ∈. 又因为k Z ∈，所以k 的最大值是3.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.【类题展示】已知函数()ln f x ax x x =+的图像在点x e =(其中e 为自然对数的底数)处的切线斜率为3. （1）求实数a 的值； （2）若k Z ∈，且()1f x k x <-对任意1x >恒成立，求k 的最大值； 【分析】（1）略；（2）分离参数得()ln ()11f x x x xk g x x x +<==--，确定()g x 有唯一零点0(3,4)x∈，由[]000000min 00(ln 1)(1)()()11x x x x g x g x x x x +-====--，确定满足条件的k 的最大正整数为3.【解析】（1）()'1ln f x a x =++，由()3f e =解得1a =； （2）()ln f x x x x =+，()ln ()11f x x x xk g x x x +<==--，22ln '()(1)x x g x x --=-， 令()2ln h x x x =--，有1'()10h x x=->，那么()(1)1h x h >=-. 不妨设0()0h x =，由(3)0h <，(4)0h <，则可知0(3,4)x ∈，且00ln 2x x =-. 因此，当()0h x >时，()'0g x >，0x x >；当()0h x <时，()'0g x <，0x x <； 即可知[]000000min 00(ln 1)(1)()()11x x x x g x g x x x x +-====--，所以0k x ≤，所以k 的最大正整数为3.【评注】求解关键是通过赋值缩小0x 的范围，然后把[]min ()g x 用0x 表示。
高考数学：专题九 第五讲 解析几何课件
2 2 解得 k＝± 2 ,所以直线 l 的斜率为± 2 .
(2)证明 设线段 AB 中点的坐标为 N(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),
因为直线 AB 不与 x 轴垂直,所以 AB 斜率存在, 4－x0 y0 所以直线 MN 的斜率为 ,直线 AB 的斜率为 , y0 x0－4 4－x0 直线 AB 的方程为 y－y0＝ y (x－x0), 0
设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 4k2m2－4 8k2m x1＋x2＝ ,x x ＝ . 1＋4k2 1 2 1＋4k2 |km| 2 2 又由 l 与圆 x ＋y ＝1 相切,得 2 ＝1, k ＋1 2 2 2 即 m k ＝k ＋1.
所以|AB|＝ x2－x12＋y2－y12 ＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2] 64k4m2 44k2m2－4 ＝ 1＋k2 2 2－ 2 1＋4k 1＋4k 4 3|m| ＝ 2 . m ＋3
题型突破
|BF2| 同理|PF2|＝ (2 2－|AF1|). |AF1|＋|BF2|
第五讲
本 讲 栏 目 开 关
|AF1| |BF2| 因此,|PF1|＋|PF2|＝ (2 2－|BF2|)＋ · 2－|AF1|) (2 |AF1|＋|BF2| |AF1|＋|BF2| 2|AF1|· 2| |BF ＝2 2－ . |AF1|＋|BF2|
例 2
第五讲
在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 C(0,p)作直线与抛物线 x2＝
2py(p>0)相交于 A,B 两点.
本 讲 栏 目 开 关
(1)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求△ANB 面积的最小值； (2)是否存在垂直于 y 轴的直线 l,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦 长恒为定值？若存在,求出 l 的方程,若不存在,说明理由.
2019年高考数学理真题分项解析：专题09 圆锥曲线
专题九 圆锥曲线1.【2019高考新课标Ⅰ，理10】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A. 2212x y +=B. 22132x y +=C. 22143x y +=D. 22154x y +=【答案】B 【解析】 【分析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得32n =，从而可求解. 【详解】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得32n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．2.【2019高考新课标Ⅱ，理8】若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，故选D ．【详解】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．3.【2019高考新课标Ⅱ，理11】设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A. 2B. 3C. 2D.5【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==Q ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==． 2e ∴=，故选A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．4.【2019高考新课标Ⅲ，理10】双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A.324B.322C. 22D. 32【解析】 【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题． 【详解】由222,2,6,a b c a b ===+=．6,2P PO PF x =∴=Q ， 又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在22y x =上， 1133262224PFO P S OF y ∴=⋅=⨯⨯=△，故选A ． 【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．5.【2019高考北京卷，理4】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A. a 2=2b 2B. 3a 2=4b 2C. a =2bD. 3a =4b【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式. 【详解】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B .【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.6.【2019高考北京卷，理8】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A. ① B. ②C. ①②D. ①②③【答案】C 【解析】 【分析】将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.【详解】由221x y x y +=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭厔, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y +++…,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2. 结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -, 四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.7.【2019高考天津卷，理5】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 A .2B. 3C. 2D. 5【答案】D 【解析】 【分析】只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。
专题09动态几何定值问题(解析版)
专题九动态几何定值问题【考题研究】数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
【解题攻略】动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。
解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成：先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.【解题类型及其思路】在中考中，动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。
在中考压轴题中，动态几何之定值（恒等）问题的重点是线段（和差）为定值问题，问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。
【典例指引】类型一【线段及线段的和差为定值】【典例指引1】已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．①写出旋转角α的度数；②求证：EA′+EC＝EF；（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接P A，PF，若AB＝2，求线段P A+PF 的最小值．（结果保留根号）【答案】（1）①105°，②见解析；（2）626+【解析】（1）①解直角三角形求出∠A′CD即可解决问题，②连接A′F，设EF交CA′于点O，在EF时截取EM=EC，连接CM．首先证明△CF A′是等边三角形，再证明△FCM≌△A′CE（SAS），即可解决问题．（2）如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．证明△A′EF≌△A′EB′，推出EF=EB′，推出B′，F关于A′E对称，推出PF=PB′，推出P A+PF=P A+PB′≥AB′，求出AB′即可解决问题．【详解】①解：由∠CA′D＝15°，可知∠A′CD=90°-15°=75°，所以∠A′CA=180°-75°=105°即旋转角α为105°．②证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，∴∠CEA′＝120°，∵FE平分∠CEA′，∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，∴△FOC∽△A′OE，∴OFA O'＝OCOE，∴OFOC＝A OOE'，∵∠COE＝∠FOA′，∴△COE∽△FOA′，∴∠F A′O＝∠OEC＝60°，∴△A′CF是等边三角形，∴CF＝CA′＝A′F，∵EM＝EC，∠CEM＝60°，∴△CEM是等边三角形，∠ECM＝60°，CM＝CE，∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，∴∠FCM＝∠A′CE，∴△FCM≌△A′CE（SAS），∴FM＝A′E，∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．（2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，∴△A′EF≌△A′EB′，∴EF＝EB′，∴B′，F关于A′E对称，∴PF＝PB′，∴P A+PF＝P A+PB′≥AB′，在Rt△CB′M中，CB′＝BC2AB＝2，∠MCB′＝30°，∴B′M＝12CB′＝1，CM3∴AB ′＝22AM B M '+＝22(23)1++＝626+． ∴P A +PF 的最小值为626+． 【名师点睛】本题属于四边形综合题，考查旋转变换相关，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题，难度较大． 【举一反三】如图（1），已知∠=90MON o ,点P 为射线ON 上一点，且=4OP ，B 、C 为射线OM 和ON 上的两个动点（OC OP >），过点P 作PA ⊥BC ，垂足为点A ，且=2PA ，联结BP ．（1）若12PAC ABOPS S ∆=四边形时，求tan BPO ∠的值； （2）设PC x =，ABy BC=求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （3）如图(2)，过点A 作BP 的垂线，垂足为点H ，交射线ON 于点Q ，点B 、C 在射线OM 和ON 上运动时，探索线段OQ 的长是否发生变化？若不发生变化，求出它的值。
九年级数学上册思想方法专题矩形中的折叠问题(新版)北师大版
思想方法专题：矩形中的折叠问题——体会矩形折叠中的方程思想及数形结合思想◆类型一矩形折叠问题中直接求长度或角度1．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形．已知∠CEB′＝50°，则∠AEB′＝_______°.第1题图第2题图2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，点E，F分别是边BC，AD上一点．将矩形ABCD沿EF折叠，使点C，D分别落在点C′，D′处．若C′E⊥AD，则EF的长为______cm.◆类型二矩形折叠问题中利用勾股定理结合方程思想求长度3．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为（）A．2 3 B.323 C. 3 D．6第3题图第4题图4．(2016·东营中考改编)如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处．已知折痕AE＝55cm，且EC∶FC＝BF∶AB＝3∶4，那么矩形ABCD的周长为__________cm.◆类型三矩形折叠问题中结合其他性质解决问题5．如图，在矩形OABC中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA＝2，AB＝5，把△ABC沿着AC对折得到△AB′C，AB′交y轴于D点，则D点的坐标为_________．第5题图第6题图6．★(2016·威海中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为______．7．★如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图②.(1)求证：EG＝CH；(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．思想方法专题：矩形中的折叠问题答案1．65 2.6 23．A 解析：由题意可得∠OCE＝∠BCE，∠COE＝∠B＝90°.又∵OA＝OC，∴OE垂直平分AC，∴EA＝EC，∴∠CAE＝∠OCE.∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAE.∴∠BCE＝∠OCE＝∠ACD＝30°，∴BE＝1 2CE.在Rt△BCE中，CE2－BE2＝BC2，即CE2－⎝⎛⎭⎪⎫12CE2＝32，∴CE＝2 3.故选A.4．36 解析：设EC＝3x cm，FC＝4x cm，则DE＝EF＝5x cm，∴AB＝DC＝8x cm.又∵BF∶AB＝3∶4，∴BF＝6x cm，∴AD＝BC＝10x cm.在Rt△ADE中，AD2＋DE2＝AE2，即(10x)2＋(5x)2＝(55)2，解得x＝1(取正值)．∴AB＝8cm，AD＝10cm，∴矩形ABCD的周长为2×(10＋8)＝36(cm)．5．(0，2.1) 解析：∵矩形OABC中，OA＝2，AB＝5，∴BC＝2，OC＝5.∵把△ABC沿着AC对折得到△AB′C，∴B′C＝BC，∠B′＝∠B＝90°，∴AO＝CB′，∠AOD＝∠B′.又∵∠ADO＝∠CDB′，∴△AOD≌△CB′D，∴AD＝CD.设OD＝x，则AD＝CD＝5－x.在Rt△AOD中，AD2＝OA2＋OD2，∴(5－x)2＝22＋x2，∴x＝2.1.∴D点的坐标为(0，2.1)．6.185解析：如图，连接BF交AE于H，由折叠的性质可知BE＝FE，AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，AH⊥BF，BH＝FH.∵BC＝6，点E为BC的中点，∴BE＝12BC＝3.又∵AB＝4，∴在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝AB2＋BE2＝5.∵S△ABE＝12AB·BE＝12AE·BH，∴BH＝125，则BF＝2BH＝245.∵E是BC的中点，∴FE＝BE＝EC，∴∠EBF＝∠BFE，∠ECF＝∠EFC.又∵∠EBF＋∠BFE＋∠EFC＋∠ECF＝180°，∴∠BFE＋∠EFC＝90°，即∠BFC＝90°.在Rt△BFC中，由勾股定理得CF＝BC2－BF2＝62－⎝⎛⎭⎪⎫2452＝185.7．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝BC.由折叠的性质可得∠ADE＝∠A′DE＝12∠ADC＝45°，AE＝EG，BC＝CH，∴∠AED＝90°－∠ADE＝45°＝∠ADE，∴AE＝AD＝BC，∴EG＝CH；(2)解：由折叠的性质可得∠FGE＝∠A＝90°，GF＝AF＝ 2.由(1)可知∠ADE＝45°，∴∠DFG＝90°－∠ADE＝45°＝∠ADE，∴DG＝GF＝2，∴DF＝DG2＋FG2＝2，∴AD＝AF＋DF＝2＋2.由折叠的性质可知∠AEF＝∠GEF，∠BEC＝∠HEC，∴∠AEF＋∠BEC＝90°.又∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠BEC＝∠AFE.由(1)可知AE＝AD＝BC.在△AEF与△BCE中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE＝∠BEC，∠A＝∠B＝90°，AE＝BC，∴△AEF≌△BCE(AAS)，∴AF＝BE，∴AB＝AE＋BE＝AD＋AF＝2＋2＋2＝22＋2.。
人教版九年级数学上册中考专题复习题含答案全套
人教版九年级数学上册中考专题复习题1.类比归纳专题：配方法的应用2.类比归纳专题：一元二次方程的解法3.易错易混专题：一元二次方程中的易错问题4.考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合5.解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题6.易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围7.难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)8.抛物线中的压轴题9.易错专题：抛物线的变换10.解题技巧专题：巧用旋转进行计算11.旋转变化中的压轴题12.类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度13.类比归纳专题：切线证明的常用方法14.解题技巧专题：圆中辅助线的作法15.解题技巧专题：圆中求阴影部分的面积16.考点综合专题：圆与其他知识的综合17.圆中的最值问题18.抛物线与圆的综合19.易错专题：概率与放回、不放回问题类比归纳专题：配方法的应用——体会利用配方法解决特定问题◆类型一 配方法解方程1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－ 2C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2D ．x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 22．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25C ．2t 2－7t －4＝0化为⎝⎛⎭⎫t －742＝8116 D ．3x 2－4x －2＝0化为⎝⎛⎭⎫x －232＝1093．利用配方法解下列方程：(1)(2016·淄博中考)x 2＋4x －1＝0；(2)(x ＋4)(x ＋2)＝2；(3)4x 2－8x －1＝0；(4)3x 2＋4x －1＝0.◆类型二 配方法求最值或证明 4．代数式x 2－4x ＋5的最小值是（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．55．下列关于多项式－2x 2＋8x ＋5的说法正确的是（ ）A ．有最大值13B ．有最小值－3C ．有最大值37D ．有最小值1 6．(2016－2017·夏津县月考)求证：代数式3x 2－6x ＋9的值恒为正数．7．若M ＝10a 2＋2b 2－7a ＋6，N ＝a 2＋2b 2＋5a ＋1，试说明无论a ，b 为何值，总有M ＞N .◆类型三 完全平方式中的配方 8．如果多项式x 2－2mx ＋1是完全平方式，则m 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．±1D ．±29．若方程25x 2－(k －1)x ＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为（ ）A ．－9或11B ．－7或8C ．－8或9D ．－6或7◆类型四 利用配方构成非负数求值 10．已知m 2＋n 2＋2m －6n ＋10＝0，则m ＋n 的值为（ ）A ．3B ．－1C ．2D ．－211．已知x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0，求(x ＋y )2016的值．答案：类比归纳专题：一元二次方程的解法——学会选择最优的解法◆类型一 一元二次方程的一般解法方法点拨： 形如（x ＋m ）2＝n （n ≥0）的方程可用直接开平方法；当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法；如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法.1.用合适的方法解下列方程：（1）⎝⎛⎭⎫x －522－14＝0；（2）x 2－6x ＋7＝0；（3）x 2－22x ＋18＝0；（4）3x （2x ＋1）＝4x ＋2.◆*类型二 一元二次方程的特殊解法 一、十字相乘法方法点拨：例如：解方程：x 2＋3x －4＝0.第1种拆法：4x －x ＝3x （正确）， 第2种拆法：2x －2x ＝0（错误）， 所以x 2＋3x －4＝（x ＋4）（x －1）＝0，即x ＋4＝0或x －1＝0，所以x 1＝－4，x 2＝1. 2.解一元二次方程x 2＋2x －3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程____________.3.用十字相乘法解下列一元二次方程： （1）x 2－5x －6＝0； （2）x 2＋9x －36＝0.二、换元法方法点拨：在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.4.若实数a ，b 满足（4a ＋4b ）（4a ＋4b －2）－8＝0，则a ＋b ＝_______.5.解方程：（x 2＋5x ＋1）（x 2＋5x ＋7）＝7.1.解：（1）移项，得⎝⎛⎭⎫x －522＝14， 两边开平方，得x －52＝±14， 即x －52＝12或x －52＝－12，∴x 1＝3，x 2＝2；（2）移项，得x 2－6x ＝－7，配方，得x 2－6x ＋9＝－7＋9，即（x －3）2＝2， 两边开平方，得x －3＝±2， ∴x 1＝3＋2，x 2＝3－2；（3）原方程可化为8x 2－42x ＋1＝0. ∵a ＝8，b ＝－42，c ＝1，∴b 2－4ac ＝（－42）2－4×8×1＝0， ∴x ＝－（－42）±02×8＝24，∴x 1＝x 2＝24； |（4）原方程可变形为（2x ＋1）（3x －2） ＝0，∴2x ＋1＝0或3x －2＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝23.2. x －1＝0或x ＋3＝0.3.解：（1）原方程可变形为（x －6）（x ＋1） ＝0，∴x －6＝0或x ＋1＝0， ∴x 1＝6，x 2＝－1；（2）原方程可变形为（x ＋12）（x －3） ＝0，∴x ＋12＝0或x －3＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝3. 4.－12或15.解：设x 2＋5x ＋1＝t ，则原方程化为t （t ＋6）＝7，∴t 2＋6t －7＝0，解得t ＝1或－7.当t ＝1时，x 2＋5x ＋1＝1，x 2＋5x ＝0， x （x ＋5）＝0，∴x ＝0或x ＋5＝0，∴x 1＝0，x 2＝－5； 当t ＝－7时，x 2＋5x ＋1＝－7，x 2＋5x ＋8＝0，∴b 2－4ac ＝52－4×1×8＜0，此时方程 无实数根.∴原方程的解为x 1＝0，x 2＝－5.易错易混专题：一元二次方程中的易错问题◆类型一 利用方程或其解的定义求待定系数时，忽略“a ≠0”1．(2016－2017·江都区期中)若关于x的方程(a ＋3)x |a |－1－3x ＋2＝0是一元二次方程，则a 的值为______.【易错1】2．关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a 2－1＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）A ．－1B ．1C ．1或－1D ．－1或0 3．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋5x ＋m 2－3m ＋2＝0的常数项为0.(1)求m 的值； (2)求方程的解．◆类型二 利用判别式求字母取值范围时，忽略“a ≠0”及“a 中的a ≥0”4．(2016－2017·抚州期中)若关于x 的一元二次方程(m －2)2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有解，那么m 的取值范围是（ ）A ．m ＞34B ．m ≥34C ．m ＞34且m ≠2D ．m ≥34且m ≠25．已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.6．若m 是非负整数，且关于x 的方程(m －1)x 2－2x ＋1＝0有两个实数根，求m 的值及其对应方程的根．◆类型三 利用根与系数关系求值时，忽略“Δ≥0”7．(2016·朝阳中考)关于x 的一元二次方程x 2＋kx ＋k ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，且x 21＋x 22＝1，则k 的值为_______.【易错2】 8．已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m 的值．【易错2】◆类型四 与三角形结合时忘记取舍 9．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x 2－14x ＋48＝0的根，则这个三角形的周长为（ ）A ．11B ．17C ．17或19D ．1910．在等腰△ABC 中，三边分别为a ，b ，c ，其中a ＝5，若关于x 的方程x 2＋(b ＋2)x ＋6－b ＝0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是________．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为_________．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与一次函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x －m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x ＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y＝(5－m2)x和关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋mx＋1＝0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是______．◆类型三一元二次方程与二次根式的综合12．(达州中考)方程(m－2)x2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m的取值范围为（）A．m＞52B．m≤52且m≠2C．m≥3 D．m≤3且m≠213．(包头中考)已知关于x的一元二次方程x2＋k－1x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．答案：12.B 13.解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题◆类型一由某一函数的图象确定其他函数图象的位置1．二次函数y＝－x2＋ax－b的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第1题图第2题图2．已知一次函数y＝－kx＋k的图象如图所示，则二次函数y＝－kx2－2x＋k的图象大致是（）3．已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图象可能正确的是（）第3题图第4题图4．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是（）◆类型二由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值5．(2016·新疆中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是【方法10】（）A．a＞0B．c＜0C．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根D．当x＜1时，y随x的增大而减小第5题图第7题图6．(2016·黄石中考)以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是【方法10】（）A．b≥54B．b≥1或b≤－1C．b≥2 D．1≤b≤27．(2016·孝感中考)如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a－b＋c＞0；②3a＋b＝0；③b2＝4a(c－n)；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．(2016·天水中考)如图，二次函数y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，则下列结论：①abc＜0；②b2－4ac4a＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB ＝－ca .其中正确结论的序号是____________.答案：易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围——类比各形式，突破给定范围求最值◆类型一 没有限定自变量的范围求最值 1．函数y ＝－(x ＋1)2＋5的最大值为_______. 2．已知二次函数y ＝3x 2－12x ＋13，则函数值y 的最小值是【方法11】（ ）A ．3B ．2C ．1D ．－13．已知函数y ＝x(2－3x)，当x 为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值．◆类型二 限定自变量的取值范围求最值4．(2016－2017·双台子区校级月考)函数y ＝x 2＋2x －3(－2≤x ≤2)的最大值和最小值分别是（ ）A ．4和－3B ．－3和－4C ．5和－4D ．－1和－45．二次函数y ＝－12x 2＋32x ＋2的图象如图所示，当－1≤x ≤0时，该函数的最大值是【方法11】（ ）A ．3.125B ．4C ．2D ．06．已知0≤x ≤32，则函数y ＝x 2＋x ＋1（ ） A ．有最小值34，但无最大值B ．有最小值34，有最大值1C ．有最小值1，有最大值194D ．无最小值，也无最大值◆类型三 限定自变量的取值范围求函数值的范围7．从y ＝2x 2－3的图象上可以看出，当－1≤x ≤2时，y 的取值范围是（ ）A ．－1≤y ≤5B ．－5≤y ≤5C ．－3≤y ≤5D ．－2≤y ≤18．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ≥2时，y 的取值范围是（ ）A ．y ≥3B ．y ≤3C ．y ＞3D ．y ＜39．二次函数y ＝x 2－x ＋m(m 为常数)的图象如图所示，当x ＝a 时，y ＜0；那么当x ＝a －1时，函数值CA ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．y ＞mD ．y ＝m◆类型四 已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值10．当二次函数y ＝x 2＋4x ＋9取最小值时，x 的值为（ ）A ．－2B ．1C ．2D ．911．已知二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a －1的最小值为2，则a 的值为（ ）A．3 B．－1C．4 D．4或－112．已知y＝－x(x＋3－a)＋1是关于x 的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤513．在△ABC中，∠A，∠B所对的边分别为a，b，∠C＝70°.若二次函数y＝(a＋b)x2＋(a＋b)x－(a－b)的最小值为－a2，则∠A＝_______度．14．★已知函数y＝－4x2＋4ax－4a－a2，若函数在0≤x≤1上的最大值是－5，求a的值．答案：难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)——代几结合，突破面积及点的存在性问题◆类型一二次函数与三角形的综合一、全等三角形的存在性问题1．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－4)和(－2，5)，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C.在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．二、线段(或周长)的最值问题及等腰三角形的存在性问题2．(2016·凉山州中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P 的坐标；(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．◆类型二二次函数与平行四边形的综合3．如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c(a＞0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，A点在B点左侧．若点E在x轴上，点P 在抛物线上，且以A，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，抛物线y＝12x2＋x－32与x轴相交于A，B两点，顶点为P.(1)求点A，B的坐标；(2)在抛物线上是否存在点E，使△ABP 的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)坐标平面内是否存在点F，使得以A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标．◆类型三 二次函数与矩形、菱形、正方形的综合5．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y ＝x 2－2x ＋2上运动．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连接BD ，则对角线BD 的最小值为________.第5题图 第6题图6．如图，抛物线y ＝ax 2－x －32与x 轴正半轴交于点A(3，0)．以OA 为边在x 轴上方作正方形OABC ，延长CB 交抛物线于点D ，再以BD 为边向上作正方形BDEF.则a ＝，点E 的坐标是_________________．7. (2016·新疆中考)如图，对称轴为直线x ＝72的抛物线经过点A(6，0)和B(0，－4)． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)设点E(x ，y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式；(3)当(2)中的平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形．8．(2016·百色中考)正方形OABC 的边长为4，对角线相交于点P ，抛物线l 经过O ，P ，A 三点，点E 是正方形内的抛物线l 上的动点．(1)建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O ，P ，A 三点的坐标； ②求抛物线l 的解析式；(2)求△OAE 与△OCE 面积之和的最大值．答案：拔高专题抛物线中的压轴题一、基本模型构建常见模型思考在边长为1的正方形网格中有A, B, C三点，画出以A,B,C为其三个顶点的平行四边形ABCD。
专题九 数学思想方法问题
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4．平面直角坐标系中，已知点 O(0,0)， A(0,2)， 1 B(1,0)，点 P 是反比例函数 y＝－ 图象上的一个动点， x 过点 P 作 PQ⊥ x 轴，垂足为点 Q，若以点 O，P， Q 为顶点的三角形与△ OAB 相似，则相应的点 P 共有 ( D ) B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个 A． 1 个
A．当 x＝ 3 时， EC<EM B．当 y＝9 时， EC>EM C．当 x 增大时， EC· CF 的值增大 D．当 y 增大时， BE· DF 的值不变
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解析： 因为等腰直角三角形 AEF 的斜边 EF 过 C 点， M 为 EF 的中点， 所以△ BEC 和△ DCF 都是直角三 角形．由反比例函数图象知，当 x＝3，y＝3 时，所 9 以反比例函数的解析式为 y＝ ；当 x＝3 时， y＝3， x 即 BC＝CD＝3， 所以 CE＝ 2BC＝3 2， CF＝ 2CD ＝3 2，C 点与 M 点重合，则 EC＝EM，所以 A 选 项错误；
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【思路点拨】(1)设剪成的较短的一段为 x cm，则 较长的一段就为 (40－ x)cm，然后表示出这两个正方形 的面积，根据两个正方形的面积之和等于 58 cm 建立 方程求出其解即可；(2)设剪成的较短的一段为 m cm， 则较长的一段就为(40－ m)cm， 然后表示出这两个正方 形的面积，根据两个正方形的面积之和等于 48 cm 建 立方程，如果方程有解就说明小峰的说法错误，否则 正确．
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专题九：分类讨论的思想-教师版-苏深强
分类讨论的思想【考情分析】高考中的分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”【知识交汇】分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位。
所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．1. 分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点⑴分类讨论的思想具有明显的逻辑特点；⑵分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察；⑶解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧；⑷分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关。
2. 分类讨论的思想的本质分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略．3. 运用分类讨论的思想解题的基本步骤⑴确定讨论对象和确定研究的全域；⑵对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；⑷归纳总结，整合得出结论．4. 明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n项和公式等等；⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘一实数对不等号方向的影响等等；⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等。
数学思想方法
数学思想方法数学思想方法是数学家们为了解决问题而采用的一系列思考方法和策略。
这些方法和策略涉及到逻辑推理、归纳和演绎、分类和比较、抽象和具体、观察和实验、模型和推广等方面。
首先，逻辑推理是数学思想方法中的重要组成部分。
在数学中，逻辑推理是通过合乎逻辑的推导和推理来得出结论。
数学家会使用各种推理方法，如直接推理、间接推理、反证法等来证明定理和解决问题。
其次，归纳和演绎也是数学思想方法中常用的推理方法。
归纳是通过观察已有的例子或情况得出一般规律或结论。
数学家通过对特殊情况的研究和总结，逐步提炼出普遍规律。
演绎则是从一般规律出发，通过逻辑推理得出特殊情况或结论。
另外，分类和比较是数学思想方法中一种重要的策略。
数学家通过将问题或对象进行分类，找出其中的共性和差异，进而解决问题。
比较不同的对象或方法，可以更好地理解数学概念和定理，并找到解题的思路。
此外，抽象和具体也是数学思想方法中的关键因素。
数学家常常通过抽象来简化问题，将其转化为更容易处理的形式。
同时，数学家也会通过具体的例子或实验来验证和巩固理论和结论。
还有，观察和实验也是数学思想方法中的重要环节。
观察可以帮助数学家发现问题的特征和规律，实验则可以验证和验证数学家的猜想和推论。
最后，模型和推广是数学思想方法中的重要策略。
数学家经常使用模型来描述和分析现实世界中的问题，从而得到理论和结论。
然后，数学家还会尝试将已有的理论和结论推广到更一般的情况，以便解决更复杂的问题。
总之，数学思想方法包括逻辑推理、归纳和演绎、分类和比较、抽象和具体、观察和实验、模型和推广等多个方面。
这些方法和策略有助于数学家解决问题、发现规律和推导定理。
九年级数学专题课评课用语
九年级数学专题课评课用语一、教学目标方面（5条）1. 评课用语：“教学目标明确，紧扣九年级数学课程标准，准确把握了本专题在整个初中数学知识体系中的地位和作用，既关注了知识技能目标，又涵盖了数学思想方法和学生的情感态度发展。
”- 解析：教学目标明确且符合课程标准是一堂好课的基础。
九年级数学的每个专题都与整个初中数学知识体系相互关联，明确其地位和作用有助于教师合理组织教学内容。
知识技能目标是基础，如在函数专题中，要让学生掌握函数的概念、性质等；数学思想方法如函数中的数形结合思想，能提升学生的数学思维能力；关注学生情感态度，如培养学生对数学的兴趣、克服困难的毅力等，有助于全面发展学生的数学素养。
2. 评课用语：“目标设定具有很强的针对性，充分考虑了学生的实际学情，从学生已有的知识经验出发，设定了合理的学习目标，让不同层次的学生在本节课中都能有所收获。
”- 解析：了解学生学情对于目标设定至关重要。
例如在复习圆的专题时，如果学生对圆的基本概念掌握较好，但在圆与直线的位置关系方面存在不足，教师就可以针对这一情况设定目标，如巩固圆的基本性质，重点突破圆与直线位置关系的判定和计算等。
这样不同层次的学生，基础较弱的可以在巩固基础部分受益，基础较好的可以在重难点突破部分得到提升。
3. 评课用语：“教学目标清晰可测，通过具体的行为动词如‘理解’‘掌握’‘运用’等明确表述了学生应达到的学习水平，为教学评价提供了明确的依据。
”- 解析：在教学目标中使用具体的行为动词，有助于教师和学生明确学习任务的要求。
例如在二次函数的最值问题专题课中，“理解二次函数最值的概念”“掌握求二次函数最值的方法”“运用二次函数最值解决实际问题”，这些目标明确了学生在不同学习阶段应达到的水平。
教师可以根据这些目标设计相应的练习题和测试题，从而准确地评价学生的学习成果。
4. 评课用语：“教学目标体现了学科核心素养，注重培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等能力，将这些素养的培养融入到具体的教学内容之中。
高三数学极限与探索性问题的解题技巧
专题九极限与探索性问题的解题技巧【命题趋向】综观历届全国各套高考数学试题，我们发现对极限的考查有以下一些知识类型与特点：1．数学归纳法①客观性试题主要考查学生对数学归纳法的实质的理解，掌握数学归纳法的证题步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)．②解答题大多以考查数学归纳法容为主，并涉及到函数、方程、数列、不等式等综合性的知识，在解题过程常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目③数学归纳法是高考考查的重点容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用数学归纳法的一种主要思想方法. 在由n=k时命题成立，证明n=k+1命题也成立时，要注意设法化去增加的项，通常要用到拆项、组合、添项、减项、分解、化简等技巧，这一点要高度注意．2. 数列的极限①客观性试题主要考查极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等容，对基本的计算技能要求比较高，直接运用四则运算法则求极限．②解答题大多结合数列的计算求极限等，涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.③数列与几何：由同样的方法得到非常有规律的同一类几何图形，通常相关几何量构成等比数列，这是一类新题型．3．函数的极限①此部分为新增容，本章容在高考中以填空题和解答题为主．应着重在概念的理解，通过考查函数在自变量的某一变化过程中，函数值的变化趋势，说出函数的极限．②利用极限的运算法则求函数的极限进行简单的运算．③利用两个重要极限求函数的极限．④函数的连续性是新教材新增加的容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中，必将这一块容溶入到函数容中去，因而一定成为高考的又一个热点.4.在一套高考试题中，极限一般分别有1个客观题或1个解答题，分值在5分—12分之间．5.在高考试题中，极限题多以低档或中档题目为主，一般不会出现较难题，更不会出现难题，因而极限题是高考中的得分点．6.注意掌握以下思想方法①极限思想：在变化中求不变，在运动中求静止的思想；②数形结合思想，如用导数的几何意义及用导数求单调性、极值等.此类题大多以解答题的形式出现，这类题主要考查学生的综合应用能力，分析问题和学生解决问题的能力，对运算能力要求较高． 【考点透视】1．理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 2．了解数列极限和函数极限的概念．3．掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．4．了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． 【例题解析】 考点1 数列的极限1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限. 注意：a 不一定是｛a n ｝中的项.2.几个常用的极限：①∞→n lim C =C （C 为常数）;②∞→n lim n1=0;③∞→n lim q n=0（|q |＜1）.3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞→n lim a n =a , ∞→n lim b n =b 时，∞→n lim （a n ±b n ）=a ±b ;例 1. ( 2006年卷）数列{n a }满足:113a =,且对于任意的正整数m,n 都有m n m n a a a +=⋅,则12lim()n n a a a →∞+++= ( )A.12B.23C.32D.2[考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式lim 0(1)n n q q →∞=< 的应用.[解答过程]由113a =和m n m n a a a +=⋅得23111,,.9273n na a a ==∴=1211(1)133lim()lim .1213n n x x a a a →∞→∞-∴++⋅⋅⋅+==-故选A.例2．（2006年卷）设常数0a >，42ax ⎛ ⎝展开式中3x 的系数为32，则2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=_____.[考查目的]本题考查利用二项式定理求出关键数, 再求极限的能力. [解答过程] 1482214r rrrr T C axx---+=，由18232,2,r rxxx r --==得4431=22r r C a -由知a=，所以212lim()1112n n a a a →∞++⋅⋅⋅+==-，所以为1. 例3. （2007年卷理）把21(1)(1)(1)n x x x +++++++展开成关于x 的多项式，其各项系数和为n a ，则21lim 1n n n a a ∞-+→等于( )（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2[考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式lim 0(1)n n q q →∞=< 的应用.[解答过程] 22121,1(1)(1)(1)122221,12nn nn n x a x x x -==+++++++=++++==--当时1212211211lim lim lim lim 2 2.121122n n n n n n n n n n na a +∞∞∞∞----===-=+-+→→→→()∴()() 故选D例 4. (2007年天津卷理)设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n na n S →∞-= ． 思路启迪：由等差数列{}n a 的公差d 是2，先求出前n 项的和为n S 和通项n a ． [解答过程] 221222,,2n n n n a a n a S na n a n -=+-=-+=+=+-()(n 1)(1)222222222122lim lim lim 3.1nn n n n aa n n a n n n a S n a n n→∞→∞→∞-+---+-===-+-+()()∴1(1) 故填3 小结:1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点：（1）各数列的极限必须存在；（2）四则运算只限于有限个数列极限的运算. 2.熟练掌握如下几个常用极限： （1） ∞→n lim C =C （C 为常数）;（2） ∞→n lim （n1）p=0（p ＞0）;（3） ∞→n lim dcn b an k k++=ca （k ∈N *,a 、b 、c 、d ∈R 且c ≠0）;（4） ∞→n lim q n=0（|q |＜1）.例5. (2007年卷理)设正数a , b 满足4)(22lim=-+→b ax x x 则=++--+∞→nn n n n b a ab a 2111lim （ ）（A ）0（B ）41（C ）21（D ）1解:221lim()4,24,.2x a x ax b a b b →+-=+-==∵∴4∴111111111112limlim lim .1224222n n n n n nx x x n n a a a a aba b a a b b b bb --+--→∞→∞→∞--+++====+++[()][()]则()() 故选B小结:重视在日常学习过程中运用化归思想. 考点2 函数的极限 1.函数极限的概念：（1）如果+∞→x lim f （x ）=a 且-∞→x lim f （x ）=a ,那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f （x ）的极限是a ,记作∞→x lim f （x ）=a ,也可记作当x →∞时，f （x ）→a.（2）一般地，当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x 不等于x 0）时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋近于x 0时，函数f （x ）的极限是a ,记作0lim x x →f （x ）=a ,也可记作当x →x 0时，f （x ）→a .（3）一般地，如果当x 从点x =x 0左侧（即x ＜x 0＝无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数f （x ）在点x 0处的左极限，记作-→0lim x x f （x ）=a .如果从点x =x 0右侧（即x ＞x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数f （x ）在点x 0处的右极限，记作+→0lim x x f （x ）=a .2.极限的四则运算法则：如果0lim x x → f （x ）=a , 0lim x x →g （x ）=b ,那么lim x x →[f （x ）±g （x ）]=a ±b ; 0lim x x →[f （x ）·g （x ）]=a ·b ; 0lim x x →)()(x g x f =ba （b ≠0）.例6．(2007年卷理) 1lim 231--→x x x x =( )A ．等于0B ．等于lC ．等于3D ．不存在 [考查目的]本题主要考查利用同解变形求函数极限的能力.[解答过程] 32221111lim lim lim 1.11x x x x x x x x x x →→→--===--()故选B例7．(2007年卷理) =---→121lim 221x x x n ( )（A ）0（B ）1（C ）21（D ）32[考查目的]本题主要考查利用分解因式同解变形求函数极限的能力. [解答过程] 2211111112lim lim lim .211113n n n x x x x x x x x x →→→--++===--+-+()()(2)()2故选D例8.若f （x ）=11113-+-+x x 在点x =0处连续，则f （0）=__________________.思路启迪：利用逆向思维球解.解答过程：∵f （x ）在点x =0处连续，∴f （0）=0lim →x f （x ）,lim →x f （x ）= 0lim→x 11113-+-+x x =lim→x 1111)1(332++++++x x x =23.答案: 23例9.设函数f （x ）=ax 2+bx +c 是一个偶函数,且1lim →x f （x ）=0,2lim -→x f （x ）=－3,求这一函数最大值..思路启迪：由函数f （x ）=ax 2+bx +c 是一个偶函数,利用f （－x ）=f （x ）构造方程,求出b 的值.解答过程：∵f （x ）=ax 2+bx +c 是一偶函数, ∴f （－x ）=f （x ）,即ax 2+bx +c =ax 2－bx +c . ∴b =0.∴f （x ）=ax 2+c .又1lim →x f （x ）= 1lim →x ax 2+c =a +c =0, 2lim -→x f （x ）=2lim -→x ax 2+c =4a +c =－3,∴a =－1,c =1.∴f （x ）=－x 2+1.∴f （x ）max =f （0）=1. ∴f （x ）的最大值为1.例10.设f （x ）是x 的三次多项式，已知ax 2lim →=ax x f 2)(-=ax 4lim→ax x f 4)(-=1. 求ax 3lim →ax x f 3)(-的值（a 为非零常数）.解答过程：由于ax 2lim→ax x f 2)(-=1,可知f （2a ）=0. ① 同理f （4a ）=0. ②由①②，可知f （x ）必含有（x －2a ）与（x －4a ）的因式，由于f （x ）是x 的三次多项式，故可设f （x ）=A （x －2a ）（x －4a ）（x －C ）. 这里A 、C 均为待定的常数. 由ax 2lim→ax x f 2)(-=1,即ax 2lim→ax C x a x a x A 2))(4)(2(----=a x 2lim →A （x －4a ）（x －C ）=1, 得A （2a －4a ）（2a －C ）=1,即4a 2A －2aCA =－1. ③ 同理，由于ax 4lim→ax x f 4)(-=1,得A （4a －2a ）（4a －C ）=1,即8a 2A －2aCA =1. ④ 由③④得C =3a ,A =221a ,因而f （x ）=221a （x －2a ）（x －4a ）（x －3a ）.∴ax 3lim→a x x f 3)(-=a x 3lim →221a（x －2a ）（x －4a ）=221a ·a ·（－a ）=－21.例11 a 为常数，若+∞→x lim （12-x －ax ）=0,则a 的值是____________..思路启迪：先对括号的的式子变形.解答过程：∵+∞→x lim （12-x －ax ）= +∞→x lim axx x a x +---112222=+∞→x lim axx x a +---11)1(222=0,∴1－a 2=0.∴a =±1.但a =－1时，分母→0, ∴a =1.考点3.函数的连续性及极限的应用1.函数的连续性.一般地，函数f （x ）在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件：（1）函数f （x ）在点x =x 0处有定义；（2）0lim x x →f （x ）存在；（3）0lim x x →f （x ）=f （x 0）.如果函数y =f （x ）在点x =x 0处及其附近有定义，而且0lim x x →f （x ）=f （x 0）,就说函数f （x ）在点x 0处连续.2.如果f （x ）是闭区间［a ,b ］上的连续函数，那么f （x ）在闭区间［a ,b ］上有最大值和最小值.3.若f （x ）、g （x ）都在点x 0处连续,则f （x ）±g （x ）,f （x ）·g （x ）,)()(x g x f （g （x ）≠0）也在点x 0处连续.若u （x ）在点x 0处连续,且f （u ）在u 0=u （x 0）处连续,则复合函数f ［u （x ）］在点x 0处也连续.例12..f （x ）在x =x 0处连续是f （x ）在x =x 0处有定义的_________条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 思路启迪：说明问题即可.解答过程：f （x ）在x =x 0处有定义不一定连续. 答案：A例13.f （x ）=xxπcosπcos的不连续点为( )A.x =0B.x =122+k （k =0,±1,±2,…） C.x =0和x =2k π（k =0,±1,±2,…） D.x =0和x =122+k （k =0,±1,±2,…）思路启迪：由条件出发列方程解之.解答过程：由cos xπ=0,得xπ=k π+2π（k ∈Z ）,∴x =)(122Z ∈+k k .又x =0也不是连续点,故选D 答案：D例14. 设f （x ）=⎩⎨⎧≥+<),0(),0(e x xa x x当a 为________时,函数f （x ）是连续的. 解答过程：+→0lim x f （x ）= +→0lim x （a +x ）=a , -→0lim x f （x ）=-→0lim x e x=1,而f （0）=a ,故当a =1时,lim →x f （x ）=f （0）,即说明函数f （x ）在x =0处连续,而在x ≠0时,f （x ）显然连续,于是我们可判断当a =1时, f （x ）在（－∞,+∞）是连续的.小结：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.例15.已知函数f （x ）=⎩⎨⎧-,1,为无理数为有理数x xx x 函数f （x ）在哪点连续( ) A.处处连续 B.x =1 C.x =0 D.x =21 思路启迪：考虑结果的启发性.解答过程：+→21lim x f （x ）= -→21lim x f （x ）=f （21）.答案：D例16..抛物线y =b （ax ）2、x 轴及直线AB :x =a 围成了如图（1）的阴影部分,AB 与x 轴交于点A ,把线段OA 分成n 等份,作以na 为底的接矩形如图（2）,阴影部分的面积为S 等于这些接矩形面积之和当n →∞时的极限值,求S 的值.思路启迪：先列出式子.解答过程：S =∞→n lim ［b ·（n 1）2+b ·（n 2）2+b ·（n 3）2+…+b ·（n n 1-）2］2·na=∞→n lim3222)1(21n n -+++ ·ab=∞→n lim 36)12()1(n n n n -⋅⋅-·ab =31ab .例17.如图，在边长为l 的等边△ABC 中，圆O 1为△ABC 的切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB 、BC 相切,…,圆O n +1与圆O n 外切，且与AB 、BC 相切，如此无限继续下去,记圆O n 的面积为a n （n ∈N *）.（1）证明{a n }是等比数列； （2）求∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）的值.解答过程：（1）证明:记r n 为圆O n 的半径， 则r 1=2l tan30°=63l .nn n n r r r r +---11=sin30°=21,∴r n =31r n －1（n ≥2）.于是a 1=πr 12=1212π-⋅n n a a l ,1-n n a a =（1-n n r r ）2=91,∴{a n }成等比数列. （2）解：因为a n =（91）n －1·a 1（n ∈N *）,所以∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）=9111-a =32π32l .例18. 一弹性小球自h 0=5 m 高处自由下落,当它与水平地面每碰撞一次后速度减少到碰前的97,不计每次碰撞时间,则小球从开始下落到停止运动所经过的路程和时间分别是多少? 解答过程：设小球第一次落地时速度为v 0,则有v 0=02gh =10（m/s ）,那么第二,第三,…,第n +1次落地速度分别为v 1=97v 0,v 2=（97）2v 0,…,v n =（97）nv 0,小球开始下落到第一次与地相碰经过的路程为h 0=5 m,小球第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的路程是L 1=2×gv 221=10×（2)97.小球第二次与地相碰到第三次与地相碰经过的路程为L 2, 则L 2=2×g v 222=10×（97）4.由数学归纳法可知,小球第n 次到第n +1次与地面碰撞经过路程为L n =10×（97）2n .故从第一次到第n +1次所经过的路程为S n +1=h 0+L 1+L 2+…+L n ,则整个过程总路程为S =∞→n lim S n +1=5+∞→n lim 10×222)97(1])97(1[)97(--n =5+1022)97(1)97(-=20.3（m ）,小球从开始下落到第一次与地面相碰经过时间t 0=002g h =1（s ）.小球从第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的时间t 1=2×gv 1=2×97,同理可得t n =2×（97）n ,t n +1=t 0+t 1+t 2+…+t n ,则t =∞→n lim t n +1=1+∞→n lim 2×)97(1])97(1)[97(--n =8（s ）. 考点4.新考题例19．（2007年卷理）（本小题满分12分）已知数列}{n a 、}{n b 与函数)(x f 、)(x g ，R ∈x 满足条件：))(()(,*11N ∈===+n b g b f a b b n n n ．（I ）若)()(,2)(),2,0(1)(b g b f x x g t t tx x f ≠=≠≠+=，且n n a +∞→lim 存在，求t 的取值围，并求n n a +∞→lim （用t 表示）． （II ）若函数)(x f y =在R 上是增函数，1)1(,1),()(1<==-f b x f x g ，证明对任意的*N ∈n ，n n a a <+1．[考查目的]本小题主要考查数列的定义，数列的递推公式，等比数列，函数，不等式等基础知识，考查运用数学归纳法解决问题的能力. [解答过程]（Ⅰ）解法一：由题设知2.1212,11,111≠+=⎩⎨⎧=+=++++t a ab a tb a n n n n n n 又已知得，可得 ).22(21221-+=-++t a t a n n由⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+≠≠-+=-+≠≠≠22,02,0222,0,2),()(1t a t t ttb t a t t b g b f n 所以可知是等比数列，其首项为2,2t t t tb 公比为-+，于是.22)2)(2(,)2)(2(2211---+=-+=-+--t t t t tb a t t t tb t a n n n n 即又.022,1|2|0,lim ≠<<-<<t t t a n 且所以可得存在.22lim ta n n -=∞→解法二：由题设知2,211≠=++t b tb n n 且，可得 ).21(21211-+=-++t b t b n n由2121,02,021,0,2),()(-+⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+≠≠-+≠≠≠t b t b t t b t t b g b f n 是首项为所以可知，公比为2t 的等比数列..21)2)(21(,)2)(21(2111---+=-+=-+--t t t b b t t b t b n n n n 即由,1|2|0,lim ,lim ,21<<=∞→∞→+t b a b a n n n n n n 于是可得存在则存在若可知所以.022≠<<-t t 且 .22lim 2lim tb a n n n n -==∞→∞→解法三：由题设知121+=+n n b tb ，即2121+=+n n b t b ，①于是有,21212+=++n n b t b②②－①得n n n n n n n b b c b b t b b -=-=-++++1112),(2令，得.21n n c t c =+由,02,021)2(0,2),()(121≠≠+-=-=≠≠≠t b t b b c t t b g b f 可知 所以2,}{2t b b c n 公比为是首项为-的等比数列，于是.2)(2])2(1[42,)(21)2(1)(121121211b b b tt b a b b b t t b c c c b n n n nn n +---==+---=++++=++ 又.022,1|2|0,lim ≠<<-<<∞→t t t a n n 且所以可得存在.222)(24lim 12tb b b t a n n -=+--=∞→说明：数列{a n }通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以上评分标准.（Ⅱ）证明：因为).(),()(),()(1111n n n n n a f b b f b g a x f x g ==='=++-+即所以 下面用数学归纳法证明).(*1N ∈<+n a a n n （1）当1)1(,)(,1<=f x f n 且为增函数由时，得 ,)1()(,1)1()(,1)1()(1221211a f b f a f a f b f b f a =<=<<=<==即12a a <，结论成立.（2）假设n = k 时结论成立，即)(.1x f a a k k 由<+为增函数，得 121),()(+++<<k k k k b b a f a f 即， 进而得.),()(1212++++<<k k k k a a b f b f 即这就是说当n = k +1时，结论也成立.根据（1）和（2）可知，对任意的.,1*n n a a n <∈+N例20.(2006年卷）已知公比为)10(<<q q 的无穷等比数列}{n a 各项的和为9，无穷等比数列}{2n a 各项的和为581.(Ⅰ)求数列}{n a 的首项1a 和公比q ；(Ⅱ)对给定的),,3,2,1(n k k ⋅⋅⋅=,设)(k T 是首项为k a ，公差为12-k a 的等差数列.求数列)(k T 的前10项之和；(Ⅲ)设i b 为数列)(i T 的第i 项，n n b b b S +⋅⋅⋅++=21，求n S ，并求正整数)1(>m m ，使得mS nn ∞→lim 存在且不等于零.(注：无穷等比数列各项的和即当∞→n 时该无穷数列前n 项和的极限)[考查目的]本题考查运用等比数列的前n 项和公式，从已知的条件入手列方程组求出等比数列的公比和首项.[解答过程] (Ⅰ)依题意可知,1121293,12.81315a a q q a q⎧==⎧⎪-⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪-⎩ (Ⅱ)由(Ⅰ)知,1323-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=n n a ,所以数列)2(T 的的首项为221==a t ,公差3122=-=a d ,15539102121010=⨯⨯⨯+⨯=S ,即数列)2(T 的前10项之和为155. (Ⅲ) i b =()()121--+i i a i a =()()112---i a i i =()()1321231--⎪⎭⎫ ⎝⎛--i i i ，()()2132271845--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n n S nn ，m n n n S ∞→lim =∞→n lim ()14518272.32n m m m n n n n n n ⎛⎫-+⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当m=2时，m n n n S ∞→lim =－21，当m>2时，mn n n S ∞→lim =0，所以m=2.【专题训练与高考预测】 一.选择题1.下列极限正确的个数是①∞→n lim αn 1=0（α＞0）;②∞→n lim q n=0;③∞→n lim nn n n 3232+-=－1 ; ④∞→n lim C =C （C 为常数）A.2B.3会C.4D.都不正确2.下列四个命题中正确的是A.若∞→n lim a n 2＝A 2，则∞→n lim a n ＝A B.若a n ＞0，∞→n lim a n ＝A ，则A ＞0C.若∞→n lim a n ＝A ，则∞→n lim a n 2＝A2D.若∞→n lim （a n －b ）＝0，则∞→n lim a n ＝∞→n lim b n3.+→0lim x x f （x ）=-→0lim x x f （x ）=a 是f （x ）在x 0处存在极限的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.f （x ）=⎩⎨⎧<≥,10,12x x x 下列结论正确的是( ) A.)(lim 1x f x +→=-→1lim x f （x ） B.)(lim 1x f x +→=2，)(lim 1x f x -→不存在C.+→1lim x f （x ）=0, )(lim 1x f x -→不存在 D.+→1lim x f （x ）≠-→1lim x f （x ）5.下列图象表示的函数在x =x 0处连续的是()①②④A.①B.②③C.①④D.③④ 6.若f （x ）在定义域［a ,b ］上有定义,则在该区间上( )A.一定连续B.一定不连续C.可能连续也可能不连续D.以上均不正确 7.已知31a cn c bn Lim ,5cbn cnanLim n 22n =++=++∞→∞→，如果bc ≠0，那么ban cn c bn anLim 22n ++++∞→=( )A 、 15B 、151 C 、53D 、358.若r 为实常数，则集合}R r ,|r |1|r |Limx |x {nn n ∈+=∞→A 、恰有一个元素B 、恰有两个元素C 、恰有三个元素D 、无数多个元素 9. 11(1)1lim 1,lim 1(22)x x f x x x f x →→--==--若则（C ）A ．－1B ．1C ．－21 D ．2110. 已知()23,12,1x x f x x +≠⎧=⎨=⎩，下面结论正确的是（ ） A.()f x 在1x =处连续 B.()5f x = C.()1lim 2x f x -→= D.()1lim 5x f x +→=二.填空题11.四个函数:①f （x ）=x1;②g （x ）=sin x ;③f （x ）=|x |;④f （x ）=ax 3+bx 2+cx +d .其中在x =0处连续的函数是____________.（把你认为正确的代号都填上） 12.下四个命题:①f （x ）=x1在［0,1］上连续;②若f （x ）是（a ,b ）的连续函数,则f （x ）在（a ,b ）有最大值和最小值; ③2πlim →x xx cos 2sin 2=4;④若f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥).0(1),0(x x x x 则0lim →x f （x ）=0.其中正确命题的序号是____________.（请把你认为正确命题的序号都填上） 13.则a=______，b=______.14.函数f(x)在（0，+∞）满足f ’(x)>0，f(0)>0，则nnnn n )](f [5)]3(f [4)](f [3)]3(f [2Lim π-+π--∞→=_________.15. ∞→n limnn ++++ 212=__________.16. ∞→n lim 32222-+n n n =____________.三.解答题17.求下列函数极限:①x → ②lim x →- ③lim (0).x a a +→>18. .数列{a n }的首项为a 1=1,且对任意n ∈N *,a n 与a n +1恰为方程x 2－b n x +c n=0的两根,其中0＜|c |＜1,当∞→n lim （b 1+b 2+…+b n ）≤3,求c 的取值围.【参考答案】一. B 1.提示:①③④正确.2. C 提示:排除法，取a n ＝（－１）n，排除A ； 取a n ＝n1，排除Ｂ；取a n ＝b n ＝n ，排除D ．3. C4. D5. A6. C 提示：有定义不一定连续.7. D8. C9.C 提示：111111limlim .(1)(22)22lim 1x x x x f x f x x →→→-==-----10.D 提示: ()1lim (1)213 5.x f x f +→==⨯+=故选D .二. 11.②③④; 12.③; 13. a=53- ;15. 提示：原式=∞→n lim2)1(2++n n n =∞→n lim221212n n n ++=0.16. 提示：:原式=∞→n lim23221n n -+=21.三.17. 解:①x →x →=1.2x →==②x →-lim x →-=x →-=8x →-=- 2.=-③x a→x a+→=lim x a →=lim x a →+limx a +→=(3)当x →∞时，求有理(无理)分式的极限只需比较分子分母最高项的系数.即当000,0,a b m ≠≠和n 为非负整数时,有101101,,0,,lim ,.m m m n n x n a n m b a x a x a n m b x b xb n m --→∞⎧=⎪⎪+++⎪>=⎨+++⎪⎪∞<⎪⎩ 18. 解：首先,由题意对任意n ∈N *,a n ·a n +1=c n恒成立.∴121+++⋅⋅n n n n a a a a =nn a a 2+=nn cc1+=c .又a 1·a 2=a 2=c .∴a 1,a 3,a 5,…,a 2n －1,…是首项为1,公比为c 的等比数列,a 2,a 4,a 6,…,a 2n ,…是首项为c ,公比为c 的等比数列.其次,由于对任意n ∈N *,a n +a n +1=b n 恒成立. ∴nn b b 2+=132+++++n n n n a a a a =c .又b 1=a 1+a 2=1+c ,b 2=a 2+a 3=2c ,∴b 1,b 3,b 5,…,b 2n －1,…是首项为1+c ,公比为c 的等比数列,b 2,b 4,b 6,…,b 2n ,…是首项为2c ,公比为c 的等比数列,∴∞→n lim （b 1+b 2+b 3+…+b n ）= ∞→n lim （b 1+b 3+b 5+…）+ ∞→n lim （b 2+b 4+…）=cc -+11+cc -12≤3.。
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8． (2013· 温州市实验中学模拟)若直线 y＝ m(m 为 常数 )与函数 y＝ 的图象恒有三个不同的交点，则常数 m 的取值范 围是 0＜m＜2. 解析：根据题意可画图，如图，直线与函数有三 个交点，所以常数 m 的取值范围是 0＜ m＜ 2.
9．如图，已知函数 y＝－ 3 与 y＝ax2＋ bx(a>0， b>0)的图 x 象交于点 P，点 P 的纵坐标为 1，则关于 x 的方程 ax ＋bx 3 ＋ ＝0 的解为 x＝－3 . x
2
【思路点拨】(1)设剪成的较短的一段为 x cm，则 较长的一段就为 (40－ x)cm，然后表示出这两个正方形 的面积，根据两个正方形的面积之和等于 58 cm 建立 方程求出其解即可；(2)设剪成的较短的一段为 m cm， 则较长的一段就为(40－ m)cm， 然后表示出这两个正方 形的面积，根据两个正方形的面积之和等于 48 cm 建 立方程，如果方程有解就说明小峰的说法错误，否则 正确．
规律方法 不规则图形的面积计算问题，一般转化为规则图 形面积的和与差，或转化为与其等面积且便于计算的 图形，常见的转化方法有： ①应用全等变换，对图形 进行分割、重组；②利用等 同 底等 同 高对三角形的 面积进行转换 .
(2013· 连云港)小林准备进行如下操作实验： 把一根长为 40 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围 成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于 58 cm2，小 林该怎么剪？ (2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不 可能等于 48 cm .”他的说法对吗？请说明理由．
(2)设剪成的较短的一段为 m cm， 则较长的一段就 m 2 40－m 2 为 (40－ m)cm，由题意，得( ) ＋ ( ) ＝48， 4 4 变形为 m2－40m＋ 416＝ 0， ∵ b －4ac＝ (－ 40) －4× 416＝－ 64<0，∴原方程 无解， ∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不 可能等于 48 cm .
专题九
数学思想方法问题
【专题分析】数学思想方法在中考中的常考点有： 分类讨论思想方法，数形结合思想方法，方程函数 建模思想，化归思想方法以及代入法、消元法、待 定系数法等；代数与几何的综合题所涉及到的思想 方法很多，以数形结合思想为主线，综合考查其他 思想方法的灵活运用，难度较大，一般为中考中的 压轴题.
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规律方法 应用数学建模思想解决问题一般会根据实际问题 的不同，建立方程、不等式、函数、几何等模型.其基 本步骤为：分析问题；简化假设；建立模型；求解验 证.
如图，在矩形 ABCD 中， AB＝ 12 cm， BC＝ 8 cm，点 E， F， G 分别从点 A， B， C 三点同时出发， 沿矩形的边按逆时针方向移动，点 E， G 的速度均为 2 cm/s，点 F 的 速度为 4 cm/s， 当点 F 追上点 G(即 点 F 与点 G 重合 )时，三个点随之停止移动．设移动 开始后第 t 秒时，△ EFG 的面积为 S(cm2 )．
4．平面直角坐标系中，已知点 O(0,0)， A(0,2)， 1 B(1,0)，点 P 是反比例函数 y＝－ 图象上的一个动点， x 过点 P 作 PQ⊥ x 轴，垂足为点 Q，若以点 O，P， Q 为顶点的三角形与△ OAB 相似，则相应的点 P 共有 ( D ) B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个 A． 1 个
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解：(1)设剪成的较短的一段为 x cm，则较长的一 x 2 40－ x 2 段就为 (40－ x)cm，由题意，得 ( ) ＋ ( ) ＝ 58， 4 4 解得 x1＝ 12， x2＝ 28. 当 x＝ 12 时，较长的一段为 40－ 12＝ 28(cm)； 当 x＝ 28 时， 较长的一段为 40－ 28＝ 12<28(舍去 )． ∴剪成的较短的一段为 12 cm，则较长的一段为 28 cm.
解析：设 AB 的中点是 O， 连结 OE. 1 1 S△ ADC ＝ AD · CD ＝ × 4×4 ＝ 2 2 1 2 8， S 扇形 OAE＝ π× 2 ＝ π， 4 1 S△ AOE＝ × 2× 2＝ 2，则 S 弓形 AE＝ π－ 2， 2 ∴阴影部分的面积为 8－ (π－ 2)＝ 10－ π.
3． (2013· 安徽)图①所示矩形 ABCD 中， BC＝ x， CD＝ y，y 与 x 满足的反比例函数关系如图②所示，等 腰直角三角形 AEF 的斜边 EF 过 C 点，M 为 EF 的中 点，则下列结论正确的是( )
A．当 x＝ 3 时， EC<EM B．当 y＝9 时， EC>EM C．当 x 增大时， EC· CF 的值增大 D．当 y 增大时， BE· DF 的值不变
解析： 因为等腰直角三角形 AEF 的斜边 EF 过 C 点， M 为 EF 的中点， 所以△ BEC 和△ DCF 都是直角三 角形．由反比例函数图象知，当 x＝3，y＝3 时，所 9 以反比例函数的解析式为 y＝ ；当 x＝3 时， y＝3， x 即 BC＝CD＝3， 所以 CE＝ 2BC＝3 2， CF＝ 2CD ＝3 2，C 点与 M 点重合，则 EC＝EM，所以 A 选 项错误；
2
10.某市出租车公司规定：出租车收费与行驶路程 关系如图所示．如果小明姥姥乘出租车去小明家花了 22 元，那么小明姥姥乘车路程有 13 千米．
解析：设后段的解析式为 y＝ kx＋ b，因为图象过
6＝3k＋ b， 点 (3,6) ， (8,14) ， 所 以 有 )解之得 14＝8k＋b，
6 b＝5，
8 k＝ ， 5
8 6 )所以解析式为 y＝ x＋ .当 y＝ 22 时，x＝ 5 5
7．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC＝10， BC＝ 8，则 图中五个小矩形的周长之和为 28 .
[提示：本题可以运用转化的思想，把五个小矩形的周 长之和转化为求大矩形的周长，五个小矩形的上边之和等 于 AD， 下边之和等于 BC， 同理， 它们的左边之和等于 AB， 右边之和等于 CD，可知五个小矩形的周长之和等于矩形 ABCD 的周长． ]
②如图乙， 当点 F 追上点 G 时，4t－2t＝8，解得 t＝ 4.当 2 ＜ t≤4 时，CF＝ (4t－8)cm，CG ＝ 2t cm， FG＝ CG－CF＝(8－ 1 1 2t)cm ，即 S＝ FG· BC＝ (8 － 2 2 2t)×8＝(－8t＋ 32)cm2.
(3)如图甲，当点 F 在矩形的边 BC 上移动时， 0≤ t≤ 2，在△ EBF 和△ FCG 中，∠ B＝∠ C＝ 90° .① 12－ 2t 4t EB BF 2 2 若 ＝ ，即 ＝ ，解得 t＝ ，又 t＝ 满足 3 3 FC CG 8 －4 t 2 t 2 EB 0≤ t≤ 2，所以当 t＝ 时，△ EBF∽△ FCG；②若 ＝ 3 GC
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一、选择题 1. 若 x 是 2 的相反数， |y|＝ 3，则 x－ y 的值是 ( D ) A．－ 5 B． 1 C．－ 1 或 5 D． 1 或－5
2． (2013· 南充)如图，函数 y1 k1 ＝ 与 y2 ＝ k2x 的图象相交于点 x A(1,2)和点 B，当 y1<y2 时，自变量 x 的取值范围是 ( C ) A． x>1 B．－ 1<x<0 C．－1<x<0 或 x>1 D． x<－ 1 或 0<x<1
12－ 2t BF 4t 3 3 ， 即 ＝ ， 解得 t＝ ， 又 t＝ 满足 0≤ t≤2， 2 2 CF 2t 8－4t 3 所以当 t＝ 时，△ EBF∽△ GCF. 2
2 3 综上所述，当 t＝ 或 时，以点 E， B， F 为顶点 3 2 的三角形与以 F， C， G 为顶点的三角形相似． 规律方法 能够应用分类讨论思想的题目一般有：1题设交 代笼统，存在不确定因素，如代数中字母的取值不确 定；几何图形中元素的位置、形状不确定；实际问题 中存在的不同限制条件等；2题情复杂，被研究的对 象不唯一或多个研究对象存在交叉现象.
(2013· 重庆 ) 如图，在边 长为 4 的正方形 ABCD 中， 以 AB 为直径的半圆与对角线 AC 交于 点 E，则图中阴影部分的面积为 10－π.(结果保留 π) 【思路点拨】 设 AB 的中点是 O， 连结 OE.求得弓 形 AE 面积，△ ADC 的面积与弓形 AE作 A 关于直线 CD 的对称点 A′，连结 A′B， 则 A′B 的 长 就 是 最 短 路 程 ．根 据 题 意， 得 A′B ＝ 5002＋ 1 2002＝ 1 300(m)． 答案： C
二、填空题 6．已知 a，b 是一元二次方程 x2－ 2x－1＝ 0 的两 个实数根，则代数式(a－ b)(a＋b－2)＋ ab 的值等于 －1 .
(1)当 t＝ 1 秒时， S 的值是多少？ (2)写出 S 和 t 之间的函数解析式， 并指出自变量 t 的取值范围． (3)若点 F 在矩形的边 BC 上移动，当 t 为何值时， 以点 E， B， F 为顶点的三角形与以 F， C， G 为顶点 的三角形相似？请说明理由．
【思路点拨】 (1)代入 t＝ 1，求出 AE， EB， BF， FC，CG 的长，代入 S＝S 梯形 EBCG－ S△ EBF－ S△ FCG 求出 S 的值；(2)由点 F 的位置的不同，分类讨论：当 0≤t≤2 时，由 S＝S 梯形 EBCG－ S△ EBF－ S△ FCG 得出函数解析式； 1 当 2＜ t≤4 时，由 S＝ FG· BC 得出函数解析式；(3)分 2 △ EBF∽△ FCG 和△ EBF∽△ GCF 两种情况求 t 的 值．
5．如图，一牧童在 A 处 牧马，牧童家在 B 处， A， B 处距河岸的距离 AC，BD 的长 分别为 500 m 和 700 m， 且 C， D 两地的距离为 500 m，天黑 前牧童从 A 点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家， 那么牧童至少要走 ( A． 100 29 m C． 1 300 m ) B． 1 200 m D． 1 700 m