河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三学评第三次测评数学(文)试题 含解析

河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三学评第三次测评文科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用对数函数的单调性化简集合M，再利用交集的运算性质即可得出结果.【详解】因为，，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的运算,属于简单题目.2.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准方程，其为开口向上，焦准距为2的抛物线，写出其准线方程即可. 【详解】抛物线的标准方程为，焦准距，，所以抛物线的准线方程为，故选A.【点睛】该题考查的是有关抛物线的准线方程的问题，在解题的过程中，注意首先需要将抛物线方程化为标准形式.3.已知复数，则的虚部为（）A. -3B. 3C.D.【答案】B【解析】【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，求得后得到答案.【详解】由，所以，所以的虚部为3，故选B.【点睛】该题考查的是有关复数的虚部的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的共轭复数以及复数的虚部，属于简单题目.4.在中，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量基本定理分析求解即可.【详解】由已知可得点是靠近点的三等分点，又点是的中点。

故选【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，属基础题.5.“对任意的正整数，不等式都成立”的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】【分析】原不等式等价于，当时，，，成立，当时，，要使成立，只需成立，即，由此求得原不等式成立的充要条件，从而可以从选项中确定出原不等式成立的充分不必要条件. 【详解】原不等式等价于，当时，，，成立，当时，，要使成立，只需成立，即，由，知最小值为，所以，所以或是原不等式成立的充要条件，所以是原不等式成立的充分不必要条件，故选B.【点睛】该题考查的是有关充分不必要条件的问题，涉及到的知识点有恒成立问题对应参数的取值范围的求解，充分不必要条件的定义与选取，在解题的过程中，正确求出充要条件对应参数的范围是解题的关键.6.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A. 84B.C.D.【答案】C【解析】【分析】几何体为侧放的五棱柱，底面为正视图中的五边形，棱柱的高为4，利用相关公式求得结果.【详解】由三视图可知几何体为五棱柱，底面为正视图中的五边形，高为4，所以五棱柱的表面积为，故选C.【点睛】该题考查的是有关几何体的表面积的求解问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，柱体的表面积问题，属于简单题目.7.已知函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，则（）A. 1B.C.D. 0【答案】C【解析】试题分析：因为函数是上的单调函数，且，所以可设（为常数），即，又因为，所以，令，显然在上单调递增，且，所以，，，故选C.考点：1.函数的表示与求值；2.函数的单调性.8.已知为等差数列，，，则等于（）A. 7B. 3C. -1D. 1【答案】D【解析】【分析】根据题意，等差数列中，公差为，由等差数列的性质分析可得，由等差数列的通项公式可得，又由，即可得答案.【详解】根据题意，等差数列中，公差为，又由，，则，即，由，则，即，则公差，则，故选D.【点睛】该题考查的是有关等差数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，属于简单题目.9.已知一个高为l的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，内有一个体积为的球，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据题意，确定出满足条件的球为该棱锥的内切球，利用相关公式得到结果.【详解】依题意，当球与三棱锥的四个面都相切时，球的体积最大，该三棱锥侧面的斜高为，，，所以三棱锥的表面积为，设三棱锥的内切球半径为，则三棱锥的体积，所以，所以，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关几何体的内切球的问题,涉及到的知识点有锥体的内切球的半径的求法，对应的等量关系式为大棱锥的体积等于若干个小棱锥的体积和，从而建立其内切球半径所满足的条件，从而求得结果.10.已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=A. B. 3 C. D. 4【答案】B【解析】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离同时求得的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.11.己知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图像沿轴向左平移个单位，得到函数的图像，关于函数，下列说法正确的是（）A. 在上是增函数B. 其图像关于直线对称C. 函数是奇函数D. 在区间上的值域为【答案】D【解析】试题分析：，函数图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，故函数的最小正周期为，所以；函数图象沿轴向左平移个单位得，，故为偶函数，并在区间上为减函数，所以A、C错误．，所以B错误．因为，所以，，所以D正确．考点：1、三角函数辅助角公式；2、三角函数图像平移；3、三角函数奇偶性单调性．12.若函数在区间上单调递增，则的最小值是（）A. -3B. -4C. -5D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知函数在区间上单调递增，等价于在上恒成立，即在上恒成立，结合二次函数在某个闭区间上的最值，求得结果.【详解】函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，其对称轴为，当即时，在上恒成立等价于，由线性规划知识可知，此时；当即时，在上恒成立等价于，，即；当即时，在上恒成立等价于，此时；综上可知，，故选.【点睛】该题考查的是有关式子的最值的问题，涉及到的知识点有函数在给定区间上单调对应的等价条件，二次函数在给定区间上的最小值的求解，属于较难题目.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.（2013•湖北）在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m=_________ ．【答案】3【解析】如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，所以m=3．故答案为：3．14.设变量满足约束条件：，则的最小值__________．【答案】-8【解析】画出可行域与目标函数线，如图可知，目标函数在点(－2，2)处取最小值－8.15.在数列中，，当，，则的值为__________．【答案】4951【解析】【分析】先根据递推式分别表示出时的关系式，叠加后即可求得，则可得.【详解】因为，所以，，将以上个式子相加得：，因为，所以，所以，故答案是：4951.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有应用累加法求数列的通项公式，属于简单题目.16.三角形中，且，则三角形面积的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】设，由，得C点轨迹为以为圆心，以为半径的圆，可求三角形高为时，最大，即可得解.【详解】设，则由得，化简得，所以点轨迹为以圆心，以为半径的圆，所以最大值为，所以三角形面积的最大值为.【点睛】该题考查的是有关三角形的面积的最值问题，涉及到的知识点有动点的轨迹方程的求解，在解题的过程中，注意对题意进行正确的分析，得出在什么情况下取得最值是正确解题的关键.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，内角所对的边分别为，若，，且. （1）求角的大小；（2）若，三角形面积，求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）4【解析】【分析】（Ⅰ）根据向量坐标数量积的坐标表示和·＝，再根据半角公式求得角A的值。

（Ⅱ）根据三角形面积公式和余弦定理，求得b+c的值。

【详解】（Ⅰ）∵,，且·＝∴－cos2＋sin2＝，即－cosA＝，又A∈（0，π），∴A＝π（Ⅱ）S△ABC＝bc·sin A＝b·c·sinπ＝∴bc＝4,又由余弦定理得：a2=b2+c2－2bc·cosπ＝b2+c2+bc∴16＝（b+c）2，故b+c＝4【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，余弦定理及三角形的面积公式，属于基础题。

18.如图，三棱柱的侧棱底面，，是棱的中点，是的中点，，．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）详见试题解析;（2）【解析】试题分析：（1）取的中点，连，易证四边形是平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得平面；（2）依题意，可证得侧面，利用等体积转换，即可求出三棱锥的体积．试题解析：（1）取的中点，连，∵分别是的中点，∴；又∵为侧棱的中点，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面平面，∴平面；（2）解：∵三棱柱的侧棱底面，∴平面，又平面，∴；又∵，∴，∵平面平面，∴平面，∴，．考点：（1）直线与平面平行的判定；（2）锥体的体积．【方法点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直的性质，考查三棱锥的体积轮换公式的运用，考查推理证明与运算能力，属于中档题．在线面平行的证明中最常见的证法：1、利用三角形的中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行；在求三棱锥的体积中，关键是找到顶点到底面的距离，利用等体积转换，求出其体积．19.某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，己知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.（1）求与的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意，假设该同学通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且，利用相关公式建立方程组，即可求得与的值；（2）根据题意，可知不低于4分包括了得分为4分、5分、6分三种情况，之后应用乘法和加法公式求得结果.【详解】（1）依题，解得（2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为，获得本选修课学分分数不低于4分为事件，则；；.故.【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有相互独立事件同时发生的概率，互斥事件有一个发生的概率，注意对公式的正确应用是解题的关键.20.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点且的中点坐标为.（1）求的方程；（2）设直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率的和为l，试判断直线，是否经过定点，若经过定点，请求出该定点；若不经过定点，请给出理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .【解析】【分析】（Ⅰ）设，由点差法可得，MN的中点坐标为，则可得，由此能求出椭圆C的方程．（II）设直线AB：，联立方程得：由此利用韦达定理、直线斜率公式，结合已知条件能求出直线l经过定点．【详解】（I）设，则，两式相减得,，又MN的中点坐标为，且M、N、F、Q共线因为，所以，因为所以，所以椭圆C的方程为.（II）设直线AB：，联立方程得：设则，因为，所以，所以所以，所以，所以所以，因为，所以，所以直线AB：，直线AB过定点，又当直线AB斜率不存在时，设AB：，则，因为所以适合上式，所以直线AB过定点.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、直线斜率公式、韦达定理的合理运用．21.己知函数，其中是自然对数的底数．（1）若在上是单调增函数，求a的取值范围；（2）当时，求整数的所有值，使方程在上有解．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可；（2）根据函数单调性结合函数零点的判断条件进行求解即可.【详解】（1）问题转化为在上恒成立；又，即在上恒成立；令，，对称轴①当，即时，在上单调增，，②当，即时，在上单调减，在上单调增，，解得：，综上，的取值范围是.（2），设，令，令，得，，，存在时，时在上单调减，在上单调增又，，，由零点的存在性定理可知：的根，即或.【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有根据函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围，通过方程在给定区间上有解，转化为求函数的值域，属于较难题目.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，曲线（为参数），在以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线．（1）写出曲线和的普通方程；（2）若曲线上有一动点，曲线上有一动点，求使最小时点的坐标．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）【解析】试题分析：（1），；（2）设，结合图形可知：最小值即为点到直线的距离的最小值．到直线的距离，所以的坐标为。