2012北京海淀区高三二模文科数学试题
北京市各区2012届高三第一学期文科数学期末试卷汇编
北京市昌平区2012届高三上学期期末考试试题（数学文）北京市朝阳区2012届高三上学期期末考试试题（数学文）北京市东城区2012届高三上学期期末教学统一检测（数学文）北京市房山区2012届高三上学期期末统测数学（文）试题北京市丰台区2012届高三上学期期末考试试题（数学文）北京市海淀区2012届高三上学期期末考试试题（数学文）北京市石景山区2012届高三上学期期末考试数学（文）试卷北京市西城区2012届高三上学期期末考试试题（数学文）2012年2月昌平区2011－2012学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试 卷（文科） 2012 .1考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．2.答题前，考生务必将学校、班级、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔．3.修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分． 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1．设全集}7,5,3,1{=U ，集合}7,3,1{},5,3{==B A ，则()U A B ð等于A ．{5}B ．{3，5}C ．{1，5，7}D ．Φ2．21i -等于A ． 22i -B ．1i -C ．iD ．1i +3．“x y >”是“22x y>”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是A ．910B ．45C ．25D ．125.若某空间几何体的三视图如图所示，则该 几何体的体积是 A ．2 B ．4 C ．6. D ．8 6. 某程序框图如图所示，则输出的S =A ．120B ． 57C ．56D ． 267.某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元.主视俯视同样工时，可以生产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品.则获得利润最大时生产产品的档次是A.第7档次B.第8档次C.第9档次D.第10档次8. 一圆形纸片的圆心为点O ,点Q 是圆内异于O 点的一定点，点A 是圆周上一点.把纸片折叠使点A 与Q 重合，然后展平纸片，折痕与OA 交于P 点.当点A 运动时点P 的轨迹是 A ．圆 B ．椭圆 C ． 双曲线 D ．抛物线第Ⅱ卷（非选择题 共110分）填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9.已知函数x x y cos sin = ，则函数的最小正周期是 .10.已知向量(2,1)=a ，10⋅=a b ， 7+=a b ，则=b .11.某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的 产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106] .已知样本中产品净重小于100克的个数是48，则a =___________ ；样本中净重在[98，104）的产品的个数是__________ .12. 已知双曲线122=-y m x 的右焦点恰好是抛物线x y 82=的焦点，则m = .13. 已知D是由不等式组0,0,x y x -≥⎧⎪⎨+≥⎪⎩所确定的平面区域，则圆224x y +=在区域D 内的弧长为_____________；该弧上的点到直线320x y ++=的距离的最大值等于__________ .14.设函数)(x f 的定义域为R ，若存在与x 无关的正常数M ，使|||)(|x M x f ≤对一切实数x 均成立，a则称)(x f 为有界泛函.在函数①x x f 5)(-=，②x x f 2sin )(=，③xx f )21()(=，④x x x f cos )(=中，属于有界泛函的有__________(填上所有正确的序号) .三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15.（本小题满分13分）在ABC ∆中，AA A cos cos 2cos 212-=．（I ）求角A 的大小；（II ）若3a =，sin 2sin B C =，求ABCS ∆．16．（本小题满分13分） 已知数列}{n a 是等差数列,22, 1063==a a ，数列}{n b 的前n 项和是nS ，且131=+n n b S .（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）求证：数列}{n b 是等比数列；17.（本小题满分14分）如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，ABCD PA 底面⊥，垂足为点A ，2==AB PA ,点M ，N 分别是PD ，PB 的中点．（I ）求证:ACM PB 平面// ； （II ）求证:⊥MN 平面PAC ；（III ）求四面体A MBC -的体积.18.(本小题满分13分)已知函数ax x x x f ++=1ln )(（a 为实数）.（I ）当0=a 时， 求)(x f 的最小值；（II ）若)(x f 在),2[+∞上是单调函数，求a 的取值范围.19.(本小题满分14分)已知椭圆C 的中心在原点，左焦点为(，离心率为23．设直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点P ，记点P 在第一象限时直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为B A 、，且向量+=.求： （I ）椭圆C 的方程；（II ）||的最小值及此时直线l 的方程.20. (本小题满分13分)M 是具有以下性质的函数()f x 的全体：对于任意s ，0t >，都有()0f s >，()0f t >，且()()()f s f t f s t +<+.（I ）试判断函数12()log (1)f x x =+，2()21x f x =-是否属于M ？（II ）证明：对于任意的0x >，0(x m m +>∈R 且0)m ≠都有[()()]0m f x m f x +->；（III ）证明：对于任意给定的正数1s >，存在正数t ，当0x t <≤时，()f x s <.昌平区2011－2012学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学(文科)试卷参考答案及评分标准 2012.1一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．) 9．π 10. 26 11. 0.125；120 12. 313． 65π;5102+14. ① ② ④三、解答题(本大题共6小题，共80分)15.（本小题满分13分）解：（I ）由已知得：AA A cos cos )1cos 2(2122-=-，……2分.21cos =∴A ……4分 π<<A 0 ，.3π=∴A …………6分（II ）由C c B b sin sin = 可得：2sin sin ==c bC B ………7分∴ c b 2= …………8分214942cos 222222=-+=-+=c c c bc a c b A ………10分 解得：32b , 3==c ………11分2332333221sin 21=⨯⨯⨯==A bc S . ……13分16（本小题满分13分）解：（1）由已知⎩⎨⎧=+=+.225,10211d a d a 解得 .4,21==d a.244)1(2-=⨯-+=∴n n a n ………………6分（2）由于nn b S 311-=， ① 令n =1，得.31111b b -= 解得431=b ，当2≥n 时，11311---=n n b S ② －②得n n n b b b 31311-=- ， 141-=∴n n b b 又0431≠=b ,.411=∴-n n b b ∴数列}{n b 是以43为首项，41为公比的等比数列.……………………13分17.（本小题满分14分）证明：（I ）连接O BD AC MN MO MC AM BD AC = 且,,,,,,的中点分别是点BD PD M O ,, ACM PB PB MO 平面⊄∴,//∴ACM PB 平面//. …… 4分(II) ABCD PA 平面⊥ ，ABCD BD 平面⊂BD PA ⊥∴是正方形底面ABCDBD AC ⊥∴又A AC PA =⋂ PAC BD 平面⊥∴ ……7分在中PBD ∆，点M ，N 分别是PD ，PB 的中点．∴BD MN //PAC MN 平面⊥∴. …… 9分（III ）由h S V V ABC ABC M MBC A ⋅⋅==∆--31 ……11分PAh 21= ……12分 32212131=⋅⋅⋅⋅⋅=∴-PA AD AB V MBC A . ……14分18.(本小题满分13分)解：(Ⅰ) 由题意可知：0>x ……1分当0=a 时21)(x x x f -=' …….2分当10<<x 时，0)(<'x f 当1>x 时，0)(>'x f ……..4分故1)1()(m in ==f x f . …….5分(Ⅱ) 由222111)(x x ax a x x x f -+=+-='① 由题意可知0=a 时，21)(x x x f -=',在),2[+∞时，0)(>'x f 符合要求 …….7分② 当0<a 时，令1)(2-+=x ax x g 故此时)(x f 在),2[+∞上只能是单调递减0)2(≤'f 即04124≤-+a 解得41-≤a …….9分 当0>a 时，)(x f 在),2[+∞上只能是单调递增 0)2(≥'f 即,04124≥-+a 得41-≥a 故0>a …….11分综上),0[]41,(+∞⋃--∞∈a …….13分19. （本小题满分14分） 解：(Ⅰ)由题意可知3=c ，23==a c e ，所以2=a ，于是12=b ，由于焦点在x 轴上，故C 椭圆的方程为2214x y += ………………………………5分（Ⅱ）设直线l 的方程为：m kx y +=)0(<k ，),0(),0,(m B k mA -⎪⎩⎪⎨⎧=++=,14,22y x m kx y 消去y 得：012)41(222=-+++m kmx x k …………………7分直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，0)1)(41(42222=-+-=∆m k m k即1422+=k m ① …………………… 9分 ∵OB OA OM +=222||m k m OM +=∴② ……………………11分将①式代入②得：||3OM ==当且仅当22-=k 时，等号成立，故min ||3OM =，此时直线方程为：03222=-+y x . …………………14分20（本小题满分13分）(Ⅰ)由题意可知，0)(,0)(,0)(,0)(2211>>>>t f s f t f s f 若)1(log )1(log )1(log 222++<+++t s t s 成立 则1)1)(1(++<++t s t s 即0<st与已知任意s ，0t >即0>st 相矛盾，故M x f ∉)(1； ……2分 若12222-<-++ts ts成立 则01222<--++ts t s即0)21)(12(<--t s s ，0t > 021,12<->∴t s 即0)21)(12(<--ts 成立 …..4分故M x f ∈)(2.综上，M x f ∉)(1，M x f ∈)(2. ……5分(II) 当0>m 时，)()()()(x f m f x f m x f >+>+ 0)()(>-+∴x f m x f 当0<m 时，)()()()()(m x f m f m x f m m x f x f +>-++>-+=0)()(<-+∴x f m x f故0)]()([ >-+x f m x f m . ……9分(III) 据（II ））上为增函数在（∞+.0)(x f ，且必有)(2)2(x f x f >（*） ①若s f <)1(，令1=t ，则t x ≤<0时 s x f <)(；②若,)1(s f >则存在*N ∈k ，使t f k 12)1(=<由（*）式可得s f f f kk k <<<<<-1)1(21)21(21)21(1即当s x f t x <≤<)(0时， 综①、②命题得证。
2012北京海淀高考一模数学文(含解析)
海淀区第二学期期中练习 高三数学试卷（文科）2012．04一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|1}A x x ==，{|(2)0}B x x x =-<，那么A B I =（ ）． A ．∅ B ． {1}- C ．{1} D ．{1,1}-2．在等比数列{}n a 中，26a =，318a =-，则1234a a a a +++=（ ）．A ．26B ．40C ．54D ．803．已知向量=(12x +a ,)，()=1,x -b ．若a 与b 垂直，则||b =（ ）．A ．1 BC ．2D ．44．过双曲线221916x y -=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是（ ）．A ．34150x y +-=B ．34150x y --=C ．43200x y -+=D ．43200x y --=5．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（ ）．A ．5B ．6C ．7D ．86．若满足条件020x y x y y a -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的整点(,)x y 恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为（ ）． A ．3- B ． 2- C ．1- D ．07．已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．2a <B ．2a >C ．22a -<<D ．2a >或2a <-8．在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点， 则满足'2PA PC +=的点P 的个数为（ ）． A ．4 B ．6 C ．8 D ．12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上． 9．复数2i1i-在复平面内所对应的点的坐标为 ．10．若tan 2α=，则sin 2=α ．11．以抛物线24y x =上的点0(,4)x 为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是 ． 12．已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此 三棱锥的体积是 ，左视图的面积是 ．13．设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQ EP大于1（其中'EQ Q P EP Q =-，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是 ．14．已知函数1,,()0,.x f x x ∈⎧=⎨∈⎩R Q Q ð （Ⅰ）则()()______f f x =；（Ⅱ）下面三个命题中，所有真命题的序号是 ． ①函数()f x 是偶函数；②任取一个不为零的有理数T ，()()f x T f x +=对x ∈R 恒成立；③存在三个点112233(,()),(,()),(,()),A x f x B x f x C x f x 使得ABC △为等边三角形．俯视图D ’C ’B ’A ’DCBA3 / 17三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()sin sin()3f x x x π=+-．（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ．已知()f A =a =， 试判断ABC △的形状．16．（本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．Array（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少x名学生可以申请住宿．时间5 / 1717．（本小题满分14分）已知菱形ABCD 中，4AB =，60BAD ∠=o （如图1所示），将菱形ABCD 沿对角线BD 翻折，使点C 翻折到点1C 的位置（如图2所示），点,,E F M 分别是11,,AB DC BC 的中点．（Ⅰ）证明：BD ∥平面EMF ； （Ⅱ）证明：1AC BD ⊥；（Ⅲ）当EF AB ⊥时，求线段1AC 的长．E 图2图1AMF C 1D B ACBD18．（本小题满分13分）已知函数211()ln (0)22f x a x x a a =-+∈≠R ，．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．7 / 1719．（本小题满分13分）已知椭圆2222: 1 (0)x yC a ba b+=>>的右顶点(2,0)A O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P（异于点A）为椭圆C上一个动点，过O作线段AP的垂线l交椭圆C于点,E D，求DEAP的取值范围．20．（本小题满分14分）对于集合M ，定义函数1,,()1,.M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合M ，N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-． 已知{}246810A =，，，，，{}124816B =，，，，．（Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆； （Ⅱ）用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数．（ⅰ）求证：当()()Card X A Card X B ∆+∆取得最小值时，2X ∈； （ⅱ）求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值．9 / 17海淀区第二学期期中练习高三数学试卷（文科）参考答案及评分标准一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．(1,1)- 10．4511．22(4)(4)25x y -+-= 12 ；13．(10,20) 14．1；①②③ 三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()sin sin()3f x x x π=+-1sin sin 2x x x =+- ………………………………………2分3sin 2x x =1cos 2x x ⎫-⎪⎪⎭)6x π-．…………………………………4分由22,262k x k k ππππ-<-<π+∈Z ，得：222,33k x k k πππ-<<π+∈Z ．所以()f x 的单调递增区间为2(2,2)33k k πππ-π+，k ∈Z ．……………6分（Ⅱ）解：因为()f A =)6A π-=．所以1sin()62A π-=．…………………………7分因为 0A <<π，所以 5666A ππ-<-<π．所以 3A π=． …………………………………9分因为 sin sin a b A B=，a =， 所以 1sin 2B =． ………………………………………11分因为a b >，3A π=，所以6B π=．所以2C π= ．所以ABC △为直角三角形． ………………………………………13分16．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由直方图可得200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．所以0.0125x =． …………………………………6分（Ⅱ）解：由直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003220=0.12⨯⨯．………………………………………9分因为6000.1272⨯=．所以600名新生中有72名学生可以申请住宿．…………………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为点,F M 分别是11,C D C B 的中点，所以FM BD ∥． ………………………………………2分 又FM ⊂平面EMF ，BD ⊄平面EMF ，所以BD ∥平面EMF ． ………………………………………4分 （Ⅱ）证明：在菱形ABCD 中，设O 为,AC BD 的交点，则AC BD ⊥． ………………………………5分 所以在三棱锥1C ABD -中，1,C O BD AO BD ⊥⊥．又1,C O AO O =I所以BD ⊥平面1AOC ． ………………7分 又1AC ⊂平面1AOC ，所以BD ⊥1AC ． ………………………9分 （Ⅲ）解：连结1,DE C E ．在菱形ABCD 中，,60DA AB BAD =∠=o ，所以ABD △是等边三角形．所以DA DB =． ………………………10分 因为E 为AB 中点，所以 DE AB ⊥． 又EF AB ⊥，EF DE E =I ．所以AB ⊥平面DEF ，即AB ⊥平面1DEC ．…12分O EMFC 1DB AEMF C 1DBA11 / 17又1C E ⊂平面1DEC ， 所以AB ⊥1C E ．因为,4AE EB AB ==，1BC AB =，所以114AC BC ==． ……………………………………14分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为(0,)+∞．2'()a x af x x x x-+=-=． ………………………………………2分当0a <时，在区间(0,)+∞上，'()0f x <．所以()f x 的单调递减区间是(0,)+∞． ………………………………………3分 当0a >时，令'()0f x =得x =x =． 函数()f x ，'()f x 随x 的变化如下：所以()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞．…………6分 综上所述，当0a <时， ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：当0a <时， ()f x 在[1,)+∞上单调递减．所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤． ……………………………7分当0a >时，1，即01a <≤时，()f x 在[1,)+∞上单调递减．所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤． ………………………………10分1>，即1a >时，()f x 在[1上单调递增， 所以(1)f f >． 又(1)0f =，所以0f >，与对于任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤矛盾．………12分 综上所述，存在实数a 满足题意，此时a 的取值范围是(,0)(0,1]-∞U ．……13分19．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为(2,0)A 是椭圆C 的右顶点，所以2a =．又c a =，所以c 所以222431b a c =-=-=．所以椭圆C 的方程为2214x y +=． ………………………3分（Ⅱ）当直线AP 的斜率为0时，||4AP =，DE 为椭圆C 的短轴，则||2DE =．所以||1||2DE AP =． …………………5分 当直线AP 的斜率不为0时，设直线AP 的方程为(2)y k x =-，00(,)P x y ，则直线DE 的方程为1y x k=-． ……………6分由22(2),14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得224[(2)]40x k x +--=． 即2222(14)161640k x k x k +-+-=．所以202162.41k x k +=+ 所以20282.41k x k =+- …………………8分所以||AP即||AP =类似可求||DE =所以2||||DE AP = ………………………………11分设t =则224k t =-，2t >．13 / 1722||4(4)1415(2).||DE t t t AP t t-+-==> 令2415()(2)t g t t t -=>，则22415'()0t g t t+=>． 所以 ()g t 是一个增函数．所以2||41544151||22DE t AP t -⨯-=>=． 综上，||||DE AP 的取值范围是1[,)2+∞． ………………………………13分 （20）（本小题满分14分）（Ⅰ）解：(1)=1A f ，(1)=1B f -，{1,6,10,16}A B ∆=．………………………3分 （Ⅱ）解：设当()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值时，X W =．（ⅰ）证明：假设2W ∉，令{2}Y W =U ．那么 ()()Card Y A Card Y B ∆+∆()1()1C a r d W A C a r d W B =∆-+∆-()()C a r d W A C a r d W B <∆+∆．这与题设矛盾．所以 2W ∈，即当()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值时，2X ∈．………7分 （ⅱ）同（ⅰ）可得：4W ∈且8W ∈．若存在a X ∈且a A B ∉U ，则令{}X Z a =ð． 那么()()Card Z A Card Z B ∆+∆()1()1C a r d X A C a r d X B =∆-+∆-()()C a r d X A C a r d X B <∆+∆．所以 集合W 中的元素只能来自A B U ．若a A B ∈U 且a A B ∉I ，同上分析可知：集合X 中是否包含元素a ，()()Card X A Card X B ∆+∆的值不变．综上可知，当W 为集合{}161016，，，的子集与集合{}248，，的并集时，()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值4． ………………………14分北京市海淀区高三统一测试 数学（文科）选填解析一、 选择题 1．【答案】C【解析】解：由题可知{}1,1A =-，()0,2B =，故{}1A B =I ，满足题意． 故选C ．2．【答案】B【解析】解：由题意得16a q =，2118a q =-，可得12a =-，3q =-， 故123426185440a a a a +++=-+-+=． 故选B ．3．【答案】B【解析】解：因为a 与b 垂直，则()()1,21,120x x x x ⋅=+⋅-=--+=a b ，即1x =，所以b 故选B ．4．【答案】D【解析】解：可知双曲线的5c =，故右焦点为()5,0， 经过一、三象限的渐近线的方程为43y x =， 故所求直线的斜率为43， 由点斜式可知()4053y x -=-．故选D ．5．【答案】A【解析】解：如下列表故输出为5．15 / 17故选A ．6．【答案】C【解析】解：如图可知当1a =-时，若满足条件020x y x y y a -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的整点(,)x y 恰有9个．故选C ．7．【答案】A【解析】解：本题可采用数形结合和分类讨论的方式得到结论，但对于小题，特征法排除法更有效， 当0a =时，如图一满足题意，故可排除B ，D ；当3a =-时，如图二满足题意． 故选A ．8．【答案】B【解析】解：讨论可分为四组：第一组AB,AD,AA'，当点P 与点A 重合时'PA PC +P 与点,,B D A '重合时'PA PC +取到最大值1，故在三条棱上各存在一点满足'2PA PC +=；第二组CC ,C D ,C B '''''，与第一组同理可知CC ,C D ,C B '''''各存在一点满足'2PA PC+=；第三组BC ，当点P 与点B 或C重合时'PA PC +取到最大值1当点P 为点BC 的 中点时'PA PC +2，故在棱BC 上不存在满足条件的点； 第四组A D ''，讨论与第三组一样，在棱A D ''上不存在满足条件的点； 综上，共有六点满足题意． 故选B ．二、 填空题 9．【答案】(1,1)-图一【解析】解：由2i 2i 1i 22i 1i 1i 1i 1i 2+-+=⋅==-+--+， 复数2i1i-在复平面内所对应的点的坐标为(1,1)-． 故答案为(1,1)-．10．【答案】45【解析】解：2222sin cos 2tan 24sin 2sin cos tan 1415ααααααα====+++．故答案为45．11．【答案】22(4)(4)25x y -+-=【解析】解：由题可知0016=44x x ⇒=，焦点坐标为()1,0 所以满足条件的圆的圆心为()4,4，半径为5r ．故答案为22(4)(4)25x y -+-=．12； 【解析】解：由题可知该立体图形的三视图 如图所示，因为,,PA PB PC 两两垂直且2AB BC CA ===，所PA PB PC ==所以1132P ABC V -=⨯⨯； 立体图形的左视图如图所示，易知PC PD ⊥，PC =1PD =，所以)112CDP S =⨯=△．； ．13．【答案】(10,20)【解析】解：由题可知'511005EQ Q pP EP Q p-=-=->-， 所以22010010202020p p p p p -->⇒<⇒<<--． 故答案为(10,20)．DPC PD CB A17 / 1714．【答案】1； ①②③【解析】解：（Ⅰ）1,,()0,,x f x x ∈⎧=⎨∈⎩RQ Q Q ð，()f x ∴∈Q ， 故(())=1f f x ；（Ⅱ）① 正确．当x ∈Q ，则x -∈Q ，易知()()1f x f x =-=； 当x ∈R Q ð，则x -∈R Q ð，易知()()0f x f x =-=， 综上()()()f x f x x =-∈R ．② 正确．因为x ∈Q 或x ∈R Q ð，T ∈Q ，所以x T +∈Q 或x T +∈R Q ð， 故()()f x T f x +=对x ∈R 恒成立．当以90BAC ∠=o 时，则()11(,1)A x x ∈Q ，()22(,0)B x x ∈R Q ð，()33(,0)C x x ∈R Q ð为顶点， 易知121x x -=，与已知矛盾（1x ∈R Q ð，2x ∈Q ，3x ∈Q 同理可证）；当以11190B AC ∠=o时，则()111(,1)A x x ∈R Q ð，()122(,0)B x x∈R Q ð，()133(,0)C x x ∈Q 为顶 点，易知12x x =，与已知矛盾（1x ∈Q ，2x ∈Q ，3x∈R Q ð同理可证）； ③ 正确．如图设()22(,1)C x x ∈Q ， ()11(,0)A x x ∈R Q ð，()22(,0)B x x ∈R Q ð，为顶点的等边三角形，由题可知 212x x -==，不妨设(1,1)C ， (1A ，(1B ，满足题意． （1x ∈Q ，2x ∈Q ，3x ∈R Q ð同理可证）． 故答案为1； ①②③．。
北京市海淀区2012届高三上学期期末考试数学(文)试题(WORD精校版)
海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（文科）2012.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数i(12i)-=（A ）2i -+ （B ）2i + （C ）2i - （D ）2i --（2）如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么=EF（A ）1122AB AD+（B ）1122AB AD -- （C ）1122AB AD -+ （D ）1122AB AD-（3）已知数列{}n a 满足：22111, 0, 1(*)n n n a a a a n +=>-=∈N ，那么使5n a <成立的n 的最大值为（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）24 （D ）25 （4）某程序的框图如图所示，若执行该程序，则输出的i 值为（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（5）已知直线1l ：110k x y ++=与直线2l ：210k x y +-=，那么“12k k =”是“1l ∥2l ”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）函数()sin(2)(,)f x A x A ϕϕ=+ R 的部分图象如图所示，那么(0)f =（A ）12-（B ）1- （C ）32- （D ）3-FEDC BA 开始 i =1,s =0 s =s +2 i -1is ≤100i = i +1 输出i 结束 是否（7）已知函数()2f x x x x =-，则下列结论正确的是（A ）()f x 是偶函数，递增区间是()0,+（B ）()f x 是偶函数，递减区间是(,1)-（C ）()f x 是奇函数，递减区间是()1,1- （D ）()f x 是奇函数，递增区间是(),0-（8）点A 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点A 到图形C 的距离. 已知点(1,0)A ，圆C ：2220x x y ++=，那么平面内到圆C 的距离与到点A 的距离之差为1的点的轨迹是（A ）双曲线的一支 （B ）椭圆 （C ）抛物线 （D ）射线二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）双曲线22145x y -=的离心率为 .（10）已知抛物线2y ax =过点1(,1)4A ，那么点A 到此抛物线的焦点的距离为 .（11）若实数,x y 满足40,250,10,x y x y y ì+- ïïï+- íïï- ïïî 则2z x y =+的最大值为 .（12）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：C °）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是_____________，气温波动较大的城市是____________.（13）已知圆C ：22(1)8x y -+=，过点(1,0)A -的直线l 将圆C 分成弧长之比为1:2的两段圆弧，则直线l 的方程为 .（14）已知正三棱柱'''ABC A B C -的正（主）视图和侧（左）视图如图所示. 设,'''ABC A B C ∆∆的中心分别是,'O O ，现将此三棱柱绕直线'OO 旋转，射线OA 旋转所成的角为x 弧度（x 可以取到任意一个实数），对应甲城市 乙城市9 08 77 3 1 2 4 72 2 0 4 743的俯视图的面积为()S x ，则函数()S x 的最大值为 ；最小正周期为 .说明：“三棱柱绕直线'OO 旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为负角.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 2A B =，3sin 3B =. （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若2b =，求边,a c 的长. (16)（本小题满分13分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙和丙三支队伍参加决赛.（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率； （Ⅱ）求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率. （17）（本小题满分13分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，AC BD O = . （Ⅰ）若AC PD ⊥，求证：AC ⊥平面PBD ； （Ⅱ）若平面PAC ^平面ABCD ，求证：PB PD =； （Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M （异于点C ）使得BM ∥平面PAD ，若存在，求PMPC的值；若不存在，说明理由.(18)（本小题满分13分）已知函数2()e ()xf x x ax a =+-，其中a 是常数. （Ⅰ）当1a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,)+∞上的最小值.（19）（本小题满分13分）BCDO AP已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为1F (1,0)，离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程及左顶点P 的坐标；（Ⅱ）设过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，若PAB ∆的面积为3613，求直线AB 的方程.（20）（本小题满分14分） 若集合A 具有以下性质：①A ∈0，A ∈1；②若A y x ∈,，则A y x ∈-，且0≠x 时，A x∈1. 则称集合A 是“好集”.（Ⅰ）分别判断集合{1,0,1}B =-，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由； （Ⅱ）设集合A 是“好集”，求证：若A y x ∈,，则A y x ∈+； （Ⅲ）对任意的一个“好集”A ，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题p ：若A y x ∈,，则必有A xy ∈； 命题q ：若A y x ∈,，且0≠x ，则必有A xy∈；海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（文科）参考答案及评分标准 2012．01一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDCACBCD二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）32 （10）54（11）7 （12）乙，乙 （13）1y x =+或1y x =-- （14）8；3π注：（13）题正确答出一种情况给3分，全对给5分；（12）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2A B =，所以2cos cos 212sin A B B ==-. ………………………………………2分 因为3sin 3B =， 所以11cos 1233A =-?. ………………………………………3分 （Ⅱ）由题意可知，(0,)2B πÎ.所以26cos 1sin 3B B =-=. ………………………………………5分 所以 22sin sin 22sin cos 3A B B B ===. ………………………………………7分因为sin sin b aB A=，2b =，所以232233a=. 所以463a =. ………………………………………10分 由1cos 3A =可知，(0,)2A πÎ.过点C 作CD AB ^于D . 所以466110cos cos 23333c a Bb A=????. ………………………………………13分(16)（本小题满分13分）解：基本事件空间包含的基本事件有“甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙， 丙乙甲”. ………………………………………2分 （Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，事件A 包含的基本事件 有“甲乙丙，乙甲丙”，则 ………………………………………4分()2163P A ==. 所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为13. ………………………………………7分（Ⅱ）设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件B ，事件B 包含的基本事件 有“甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲”，则………………………………………10分()4263P B ==. 所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为23. ………………………………………13分(17)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为 底面ABCD 是菱形所以 AC BD ⊥. ………………………………………1分 因为 AC PD ⊥，PD BD D = ，所以 AC ⊥平面PBD . ………………………………………3分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知AC BD ⊥.因为 平面PAC ^平面ABCD ，平面PAC 平面ABCD AC =，BD Ì平面ABCD ，所以 BD ⊥平面PAC . ………………………………………5分 因为 PO Ì平面PAC ，所以 BD PO ⊥. ………………………………………7分 因为 底面ABCD 是菱形， 所以 BO DO =.所以 PB PD =. ………………………………………8分 （Ⅲ）解：不存在. 下面用反证法说明. ………………………………………9分 假设存在点M （异于点C ）使得BM ∥平面PAD . 在菱形ABCD 中，BC ∥AD ， 因为 AD Ì平面PAD ，BC Ë平面PAD ， 所以 BC ∥平面PAD .………………………………………11分 因为 BM Ì平面PBC ，BC Ì平面PBC ，BC BM B = ，所以 平面PBC ∥平面PAD .………………………………………13分而平面PBC 与平面PAD 相交，矛盾. ………………………………………14分(18)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由2()e ()xf x x ax a =+-可得2'()e [(2)]xf x x a x =++. ………………………………………2分 当1a =时,(1)e f = ,'(1)4e f =. ………………………………………4分 所以 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()e 4e 1y x -=-，即4e 3e y x =-. ………………………………………6分 （Ⅱ）令2'()e [(2)]0xf x x a x =++=，解得(2)x a =-+或0x =. ………………………………………8分MBCDOAP当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，'()0f x ≥，所以()f x 是[0,)+∞上的增函数.所以()f x 的最小值为(0)f ＝a -; ………………………………………10分 当(2)0a -+>，即2a <-时, ()'(),f x f x 随x 的变化情况如下表x(0,(2))a -+(2)a -+ ((2),)a -++∞'()f x-+()f x(0)f↘((2))f a -+↗由上表可知函数()f x 的最小值为24((2))ea a f a ++-+=. ……………………………………13分 （19）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知：1c =，12c a =，所以2a =. 所以 2223b a c =-=.所以 椭圆C 的标准方程为22143x y +=，左顶点P 的坐标是(2,0)-.……………………………………4分（Ⅱ）根据题意可设直线AB 的方程为1x my =+，1122(,),(,)A x y B x y .由221,431x y x my ìïï+=ïíïï=+ïî可得：22(34)690m y my ++-=. 所以 223636(34)0m m ∆=++>，122634m y y m +=-+，122934y y m =-+. ……………………………………7分所以 PAB ∆的面积21212121113()422S PF y y y y y y =-=创+-……………………………………9分222223636181()2343434m m m m m +=-+=+++.………………………………………10分 因为PAB ∆的面积为3613， 所以22123413m m +=+. 令21t m =+，则22(1)3113t t t = +. 解得116t =（舍），22t =. 所以3m =.所以直线AB 的方程为+310x y -=或310x y --=.……………………………………13分 （20）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）集合B 不是“好集”. 理由是：假设集合B 是“好集”. 因为1B - ，B ∈1，所以112B --=- . 这与2B - 矛盾.………………………………………2分有理数集Q 是“好集”. 因为0ÎQ ，1ÎQ , 对任意的,x y ÎQ ，有x y - Q ，且0≠x 时，1xÎQ . 所以有理数集Q 是“好集”. ………………………………………4分 （Ⅱ）因为集合A 是“好集”，所以 A ∈0.若,x y A Î，则A y ∈-0，即A y ∈-.所以A y x ∈--)(，即A y x ∈+. ………………………………………7分 （Ⅲ）命题q p ,均为真命题. 理由如下： ………………………………………9分 对任意一个“好集”A ，任取,x y A Î， 若y x ,中有0或1时，显然A xy ∈. 下设y x ,均不为0，1. 由定义可知：A xx x ∈--1,11,1. 所以111A x x- -，即1(1)A x x Î-.所以 (1)x x A - .由（Ⅱ）可得：(1)x x x A -+ ，即2x A Î. 同理可得2y A Î. 若0x y +=或1x y +=，则显然2()x y A + . 若0x y + 且1x y + ，则2()x y A + . 所以 A y x y x xy ∈--+=222)(2. 所以A xy∈21. 由（Ⅱ）可得：A xyxy xy ∈+=21211. 所以 A xy ∈.综上可知，A xy ∈，即命题p 为真命题. 若,x y A Î，且0x ¹，则1A xÎ. 所以 1y y A x x=孜，即命题q 为真命题. ……………………………………14分。
2012年北京高考数学文科试题及参考答案(WORD版)
绝密★使用完毕前2012年普通高等学校招生全国统一考试数 学 (文) (北京卷)本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合{320}A x x =∈+>R ，{(1)(3)0}B x x x =∈+->R ，则A B =I（2）在复平面内，复数10i 3i+对应的点的坐标为（3）设不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）(,1)-∞- （B ）2(1,)3--（C ）2(,3)3-（D ）(3,)+∞（A ）(1,3)（B ）(3,1)（C ）(1,3)-（D ）(3,1)-（A ）4π（B ）22π- （C ）6π（D ）44π-（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16S=S ∙2k1k=0, S=1是否输出S结束开始（5）函数121()2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为（6）已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（8）某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的 年平均产量最高，m 的值为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（A ）1322a a a +≥ （B ）2221322a a a +≥ （C ）若13a a =，则12a a =（D ）若31a a >，则42a a >（A）28+（B）30+（C）56+（D）60+（A ）5 （B ）7 （C ）9 （D ）11俯视图侧（左）视图正（主）视图434第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为 ． （10）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若112a =，23S a =，则2a = ；n S = ．（11）在A B C ∆中，若3a =，b =3A π∠=，则C ∠的大小为 ．（12）已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += ．（13）已知正方形A B C D 的边长为1，点E 是A B 边上的动点，则D E C B ⋅uuu r uur的值为 ；D E D C ⋅uuu r uuu r的最大值为 ．（14）已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-．若x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <，则m 的取值范围是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=．（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 的单调递减区间．（16）（本小题共14分）如图1，在R t A B C ∆中，90C ∠=︒，D ，E 分别为A C ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE ∆沿D E 折起到1A D E ∆的位置，使1A F C D ⊥，如图2． （Ⅰ）求证：D E //平面1A C B ； （Ⅱ）求证：1A F BE ⊥；（Ⅲ）线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥⊥平面DEQ ？说明理由．（17）（本小题共13分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其 他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取 了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ，其中0a >，a b c ++=600．当数据,,a b c 的方差2s 最大时，写出,,a b c的值（结论不要求证明），并求此时2s 的值．（注：222121[()()s x x x x n=-+-+ (2)()]n x x +-，其中x 为数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数）D FDEBCA 1F CB图2图1（18）（本小题共13分）已知函数2()1(0)f x ax a =+>，3()g x x bx =+．（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值； （Ⅱ）当3a =，9b =-时，若函数()()f x g x +在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围．（19）（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的一个顶点为(2,0)A ，离心率为2．直线(1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M ，N ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当A M N ∆3k 的值．（20）（本小题共13分）设A 是如下形式的2行3列的数表，满足性质P ：,,,,,[1,1]a b c d e f ∈-，且0a b c d e f +++++=．记()i r A 为A 的第i 行各数之和(1,2)i =，()j c A 为A 的第j 列各数之和(1,2,3)j =； 记()k A 为1|()|r A ，2|()|r A ，1|()|c A ，2|()|c A ，3|()|c A 中的最小值． （Ⅰ）对如下数表A ，求()k A 的值；（Ⅱ）设数表A 形如其中1-≤d ≤0．求()k A 的最大值；（Ⅲ）对所有满足性质P 的2行3列的数表A ，求()k A 的最大值．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）绝密 使用完毕前2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）D （2）A （3）D （4）C （5）B（6）B（7）B（8）C二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）（10）1 1(1)4n n +（11）2π（12）2（13）1 1（14）(4,0)-三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）由sin 0x ≠得()x k k π≠∈Z ，故()f x 的定义域为{|,}x x k k π∈≠∈R Z ． 因为(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=2cos(sin cos )x x =- sin 2cos 21x x =--)14x π=--， 所以()f x 的最小正周期22T ππ==．（Ⅱ）函数sin y x =的单调递减区间为3[2,2]()22k k k ππππ++∈Z ．由 3222242k x k πππππ+≤-≤+，()x k k π≠∈Z ，得 37()88k x k k ππππ+≤≤+∈Z ．所以()f x 的单调递减区间为37[,]()88k k k ππππ++∈Z ．解：（Ⅰ）因为D ，E 分别为A C ，A B 的中点，所以D E //B C ．又因为D E ⊄平面1A C B ， 所以D E //平面1A C B 平面．（Ⅱ）由已知得A C B C ⊥且D E //B C ，所以D E A C ⊥．所以1D E A D ⊥，D E C D ⊥． 所以D E ⊥平面1A D C ． 而1A F ⊂平面1A D C ， 所以1D E A F ⊥． 又因为1A F C D ⊥， 所以1A F ⊥平面B C D E ． 所以1A F BE ⊥．（Ⅲ）线段1A B 上存在点Q ，使1A C ⊥⊥平面DEQ ．理由如下：如图，分别取1A C ，1A B 的中点P ，Q ，则PQ //B C ． 又因为D E //B C ， 所以D E //PQ ．所以平面DEQ 即为平面D EP ． 由（Ⅱ）知，D E ⊥平面1A D C ， 所以1D E A C ⊥．又因为P 是等腰三角形1D A C 底边1A C 的中点， 所以1A C D P ⊥． 所以1A C ⊥平面D EP ． 从而1A C ⊥平面DEQ ．故线段1A B 上存在点Q ，使得1A C ⊥⊥平面DEQ ．A 1P F D QECB解：（Ⅰ）厨余垃圾投放正确的概率约为40024001001003==++“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量．（Ⅱ）设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量得总和除以生活垃圾总量，即()P A 约为400240600.71000++=，所以约为10.70.3-=．（Ⅲ）当600a =，0b c ==时，2s 取得最大值．因为1()2003x a b c =++=，所以22221[(600200)(0200)(0200)]800003s =-+-+-=．（18）（共13分）解：（Ⅰ）()2f x ax '=，2()3g x x b '=+．因为曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，所以(1)(1)f g =，且(1)(1)f g ''=．即 11a b +=+，且23a b =+． 解得 3a =，3b =．（Ⅱ）记()()()h x f x g x =+．当3a =，9b =-时，32()391h x x x x =+-+， 2()369h x x x '=+-．令()0h x '=，得13x =-，21x =．()h x 与()h x '在(,2]-∞上的情况如下：由此可知：当k ≤3-时，函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值为(3)28h -=； 当32k -<<时，函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值小于28． 因此，k 的取值范围是(,3]-∞-．解：（Ⅰ）由题意得2222,2,a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得b =．所以椭圆C 的方程为22142xy+=．（Ⅱ）由22(1),1,42y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(12)4240k x k x k +-+-=．设点M ，N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则11(1)y k x =-，22(1)y k x =-，2122412kx x k+=+，21222412k x x k-=+．所以||M N ==12k=+．又因为点(2,0)A 到直线(1)y k x =-的距离d =，所以A M N ∆的面积为21||||212k S M N d k=⋅=+．123k=+，解得1k =±．（20）（共13分）解：（Ⅰ）因为1() 1.2r A =，2() 1.2r A =-，1() 1.1c A =，2()0.7c A =，3() 1.8c A =-，所以()0.7k A =．（Ⅱ）1()12r A d =-，2()12r A d =-+，12()()1c A c A d ==+，3()22c A d =--．因为1-≤d ≤0，所以12|()||()|10r A r A d =≥+≥，3|()|10c A d ≥+≥． 所以()1k A d =+≤0．当0d =时，()k A 取得最大值1．（Ⅲ）任给满足性质P 的数表A （如下所示）．任意改变A 的行次序或列次序，或把A 中的每个数换成它的相反数，所得数表A *仍满足性质P ，并且()()k A k A *=．因此，不妨设1()0r A ≥，1()0c A ≥，2()0c A ≥．由()k A 的定义知，1()()k A r A ≤，1()()k A c A ≤，2()()k A c A ≤．从而1123()()()()()()()k A r A c A c A a b c a d b e ≤++=++++++()()a b c d e f a b f =+++++++- 3a b f =+-≤．所以()1k A ≤．由（Ⅱ）知，存在满足性质P 的数表A 使()1k A =．故()k A 的最大值为1．。
2012-2013学年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷(文科)(附答案解析)
2012-2013学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数21−i的值为（ ）A.1−iB.1+iC.−1−iD.−1+i2. 向量a →=(1, 1)，b →=(2, t)，若a →⊥b →，则实数t 的值为（ ） A.−2 B.−1 C.1 D.23. 在等边△ABC 的边BC 上任取一点P ，则S △ABP ≤S △APC 的概率是（ ） A.13 B.12C.23D.564. 点P 是抛物线y 2=4x 上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为（ ） A.2 B.3C.4D.55. 某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的P 为24，则输出的n ，S 的值分别为（ ）A.n =4，S =30B.n =4，S =45C.n =5，S =30D.n =5，S =456. 已知点A(−1, 0)，B(cos α, sin α)，且|AB|=√3，则直线AB 的方程为（ ） A.y =√3x +√3或y =−√3x −√3 B.y =√33x +√33或y =−√33x −√33C.y =x +1或y =−x −1D.y =√2x +√2或y =−√2x −√27. 已知函数f(x)={sin x,sin x ≥cos xcos x,sin x <cos x 则下面结论中正确的是（ ）A.f(x)是奇函数B.f(x)的值域是[−1, 1]C.f(x)是偶函数D.f(x)的值域是[−√22, 1]8. 如图，在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P // 平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是( )A.[1, √52]B.[3√24, √52] C.[√52, √2]D.[√2, √3]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.tan 225∘的值为________． 双曲线x 23−y 23=1的渐近线方程为________；离心率为________．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 2+a 6=a 8，则S5a 5=________．不等式组表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx −1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为________．三棱锥S −ABC 及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB 的长为________．任給实数a ，b 定义a ⊕b ={a ×b,a ×b ≥0a b，a ×b <0 设函数f(x)=ln x ⊕x ，则f(2)+f(12)=________；若{a n }是公比大于0的等比数列，且a5=1，f(a1)+f(a2)+f(a3)…+f(a7)+f(a8)=a1，则a1=________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.已知函数f(x)=√3sin x cos x−cos2x+12，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c且f(A)=1．（1）求角A的大小；（2）若a=7，b=5，求c的值．某汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A型车(I)试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系（只需写出结果）；(Ⅱ)现从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，试估计这辆汽车是A型车的概率；(Ⅲ)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC＝90∘，AB＝AC＝AA1，且E是BC中点．(Ⅰ)求证：A1B // 平面AEC1；(Ⅱ)求证：B1C⊥平面AEC1．已知函数f(x)=12x2−12与函数g(x)＝a ln x在点(1, 0)处有公共的切线，设F(x)＝f(x)−mg(x)(m≠0)．（1）求a的值（2）求F(x)在区间[1, e]上的最小值．已知椭圆M：：x2a2+y23=1(a>0)的一个焦点为F(−1, 0)，左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（1）求椭圆方程；（2）当直线l的倾斜角为45∘时，求线段CD的长；（3）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1−S2|的最大值．已知函数f(x)的定义域为(0, +∞)，若y=f(x)x在(0, +∞)上为增函数，则称f(x)为“一阶比增函数”．（1）若f(x)=ax2+ax是“一阶比增函数”，求实数a的取值范围；（2）若f(x)是“一阶比增函数”，求证：∀x1，x2∈(0, +∞)，f(x1)+f(x2)<f(x1+x2)；（3）若f(x)是“一阶比增函数”，且f(x)有零点，求证：f(x)>2013有解．参考答案与试题解析2012-2013学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.【答案】 B【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化为a +bi(a 、b ∈R)，可得选项． 【解答】解：21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=2(1+i)1−i 2=1+i ．故选B ． 2.【答案】 A【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量数量积的运算 【解析】由题意可得a →⋅b →=1×2+1×t =0，解之即可． 【解答】解：∵ a →=(1, 1)，b →=(2, t)，且a →⊥b →， ∴ a →⋅b →=1×2+1×t =0，解得t =−2 故选A 3.【答案】 B【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】利用三角形的面积公式，判断P 所在的位置，利用几何概型求出结果即可． 【解答】解：因为等边△ABC 的边BC 上任取一点P ，则S △ABP ≤S △APC ， 所以PB ≤PC ，所以P 在BC 的中点靠近B 的一侧，所以等边△ABC 的边BC 上任取一点P ，则S △ABP ≤S △APC 的概率是：S △ABP S △ABC=PB BC =12．故选B ． 4.【答案】 B【考点】 抛物线的求解 【解析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知P 到该抛物线焦点的距离|MF|=4，则M 到准线的距离也为2，即点M 的横坐标x +p2=4，将p 的值代入，进而求出x ． 【解答】解：∵ 抛物线y 2=4x =2px ， ∴ p =2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的， ∴ P 到该抛物线焦点的距离|MF|=4=x +p2=4，∴ x =3， 故选B ． 5.【答案】 C【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序框图及已知中输入24，可得：进入循环的条件为S <24，即S =0，1，2，3，模拟程序的运行结果，即可得到输出的n ，S 值． 【解答】解：开始S =0时，S =0+3=3，n =2； S =3+6=9，n =3； S =9+9=18，n =4； S =18+12=30，n =5；此时S >24，退出循环，故最后输出的n ，S 的值分别为n =5，S =30． 故选C ． 6. 【答案】 B【考点】两点间的距离公式 直线的一般式方程【解析】通过AB 的距离，求出cos α，与sin α，然后求出AB 的斜率，利用点斜式求出直线的方程． 【解答】解：因为点A(−1, 0)，B(cos α, sin α)，且|AB|=√3，所以(cos α+1)2+sin 2α=3，所以2cos α=1，cos α=12，sin α=±√32， 所以K AB =sin αcos α+1=±√33， 所以直线AB 的方程：y =±√33(x +1)．即y =√33x +√33或y =−√33x −√33． 故选B ．7.【答案】 D【考点】函数奇偶性的判断 函数的值域及其求法 【解析】由题意可得：函数f(x)={sin x,x ∈(π4+2kπ，5π4+2kπ]cos x,x ∈[2kπ−3π4，2kπ+π4]，再根据三角函数的图象与性质可得正确答案．【解答】解：由题意可得：函数f(x)={sin x,x ∈(π4+2kπ，5π4+2kπ]cos x,x ∈[2kπ−3π4，2kπ+π4]，其图象如图所示，所以f(x)的值域是[−√22, 1]． 故选D ． 8.【答案】 B【考点】点、线、面间的距离计算 【解析】分别取棱BB 1、B 1C 1的中点M 、N ，连接MN ，易证平面A 1MN // 平面AEF ，由题意知点P 必在线段MN 上，由此可判断P 在M 或N 处时A 1P 最长，位于线段MN 中点处时最短，通过解直角三角形即可求得． 【解答】解：如下图所示：分别取棱BB 1、B 1C 1的中点M 、N ，连接MN ，连接BC 1，∵ M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，∴ MN // BC 1，EF // BC 1， ∴ MN // EF ，又MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， ∴ MN // 平面AEF ；∵ AA 1 // NE ，AA 1=NE ，∴ 四边形AENA 1为平行四边形， ∴ A 1N // AE ，又A 1N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ， ∴ A 1N // 平面AEF ，又A 1N ∩MN =N ，∴ 平面A 1MN // 平面AEF ， ∵ P 是侧面BCC 1B 1内一点，且A 1P // 平面AEF ， 则P 必在线段MN 上，在Rt △A 1B 1M 中，A 1M =√A 1B 12+B 1M 2=√1+(12)2=√52， 同理，在Rt △A 1B 1N 中，求得A 1N =√52， ∴ △A 1MN 为等腰三角形，当P 在MN 中点O 时A 1P ⊥MN ，此时A 1P 最短，P 位于M 、N 处时A 1P 最长， A 1O =√A 1M 2−OM 2=√(√52)2−(√24)2=3√24， A 1M =A 1N =√52， 所以线段A 1P 长度的取值范围是[3√24, √52]． 故选B .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 【答案】 1【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】利用诱导公式即可求得答案． 【解答】解：∵ tan 225∘=tan (180∘+45∘)=tan 45∘=1，故答案为：1．【答案】y=±x,√2【考点】双曲线的特性【解析】由双曲线x 23−y23=1的渐近线方程为x23−y23=0，能求出双曲线x23−y23=1的渐近线方程和离心率．【解答】解：∵双曲线x 23−y23=1的渐近线方程为x23−y23=0，∴双曲线x23−y23=1的渐近线方程为y=±x；离心率e=ca =√3+3√3=√2．故答案为：y=±x，√2．【答案】3【考点】等差数列的通项公式等差数列的前n项和【解析】设出等差数列的首项和公差，然后由a2+a6=a8列式求得a1和d的关系，最后把要求的比式S5a5转化为仅含有公差d的式子，则答案可求．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a2+a6=a8，得a1+d+a1+5d=a1+7d，即a1=d，所以S5a5=5a1+5×(5−1)d2a1+4d=5a1+10da1+4d=15d5d=3．故答案为3．【答案】[3, +∞)【考点】简单线性规划【解析】作出题中不等式组对应的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部．因为直线y＝kx−1经过定点M(0, −1)，所以当直线y＝kx−1与区域有公共点时，直线的位置应界于AM、CM之间，由此算出直线CM的斜率并加以观察即可得到实数k的取值范围．【解答】作出不等式组表示的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部，即为区域Ω其中A(0, 1)，B(0, 3)，C(1, 2)∵直线y＝kx−1经过定点M(0, −1)，∴当直线y＝kx−1与区域Ω有公共点时，它的位置应界于AM、CM之间（含边界）∵直线CM的斜率k3∴直线y＝kx−1斜率的最小值为3，可得实数k的取值范围为[3, +∞)【答案】4√2【考点】点、线、面间的距离计算简单空间图形的三视图【解析】由主视图知CD⊥平面ABC、B点在AC上的射影为AC中点及AC长，由左视图可知CD长及△ABC中边AC的高，利用勾股定理即可求出棱BD的长．【解答】由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE＝CE＝2；由左视图知CD＝4，BE＝2√3，在Rt△BCE中，BC=√BE2+EC2=√(2√3)2+22=4，在Rt△BCD中，BD=√BC2+CD2=√42+42=4√2．【答案】0,e【考点】数列的求和函数的求值【解析】由新定义可得f(x)=ln x⊕x={x ln xx≥1ln xx0<x<1，代入数值求解可得；可设该数列的前8项分别为1q4，1q3，1q2，1q，1，q，q2，q3，当q>1时，f(a1)+f(a2)+f(a3)…+f(a7)+f(a8)=−q4ln q4<0，不合题意，当0<q<1时，f(a1)+f(a2)+f(a3)…+f(a7)+f(a8)=q4ln q4=1q，解之即可．【解答】解：∵a⊕b={a×b,a×b≥0ab，a×b<0，∴f(x)=ln x⊕x={x ln xx≥1ln xx0<x<1，∴f(2)+f(12)=2ln2+ln1212=2ln2+2ln12=2ln2−2ln2=0；∵{a n}是公比大于0的等比数列，且a5=1，故可设该数列的前8项分别为1q4，1q3，1q2，1q，1，q，q2，q3，故当q>1时，数列的前4项1q，1q，1q，1q均为(0, 1)之间的数，数列的6、7、8项q，q2，q3均大于1，f(a1)+f(a2)+f(a3)…+f(a7)+f(a8)=q4ln1q4+q3ln1q3+q2ln1q2+q ln1q+0+q ln q+q2ln q2+q3ln q3=−q4ln q4<0，这与f(a1)+f(a2)+f(a3)…+f(a7)+f(a8)=a1=1q4>0矛盾；同理可得当0<q<1时，数列的前4项1q4，1q3，1q2，1q均为大于1，数列的6、7、8项q，q2，q3均为(0, 1)之间的数，f(a1)+f(a2)+f(a3)…+f(a7)+f(a8)=q4ln q4=a1=1q4，解得1q4=e，故a1=e故答案为：0；e三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【答案】解：（1）因为f(x)=√3sin x cos x−cos2x+12=√32sin2x−12cos2x=sin(2x−π6)…又f(A)=sin(2A−π6)=1，A∈(0, π)，…所以2A−π6∈(−π6,7π6)，2A−π6=12π∴A=13π…（2）由余弦定理a2=b2+c2−2bc cos A得到49=25+c2−2×5cos13π，所以c2−5c−24=0…解得c=−3（舍）或c=8…所以c=8【考点】求二倍角的余弦求二倍角的正弦余弦定理【解析】（1）由f(x)=√3sin x cos x−cos2x+12利用二倍角公式及辅助角公式对已知化简，然后结合f(A)=1，及A∈(0, π)可求A；（2）由余弦定理a2=b2+c2−2bc cos A可求c【解答】解：（1）因为f(x)=√3sin x cos x−cos2x+12=√32sin2x−12cos2x=sin(2x−π6)…又f(A)=sin(2A−π6)=1，A∈(0, π)，…所以2A−π6∈(−π6,7π6)，2A−π6=12π∴A=13π…（2）由余弦定理a2=b2+c2−2bc cos A得到49=25+c2−2×5cos13π，所以c2−5c−24=0…解得c=−3（舍）或c=8…所以c=8【答案】（I）由数据的离散程度可以看出，B型车在本星期内出租天数的方差较大．（2）∵出租天数为3天的汽车A型车有3辆，B型车有10辆，从这13辆中任取一辆可有C131=13中方法，其中任取一辆是A型车的抽法有C31=3中，因此随机抽取一辆，这辆汽车是A型车的概率P=313；(Ⅲ)50辆A类型车出租的天数的平均数x A¯=3×3+4×30+5×15+6×7+7×550=4.62；50辆B类型车出租的天数的平均数x B¯=3×10+4×10+5×15+6×10+7×550=4.8．答案一：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，选择B类型的出租车的利润较大，应该购买B型车．答案二：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，而B型车出租天数的方差较大，所以应购买A型车．【考点】古典概型及其概率计算公式极差、方差与标准差【解析】(Ⅰ)由数据的离散程度可以看出哪个方差较大；(Ⅱ)利用古典概型的概率计算公式即可得出；(Ⅲ)可有从出租的天数的平均数或出租天数的方差大小去考虑．【解答】（I）由数据的离散程度可以看出，B型车在本星期内出租天数的方差较大．（2）∵出租天数为3天的汽车A型车有3辆，B型车有10辆，从这13辆中任取一辆可有C131=13中方法，其中任取一辆是A型车的抽法有C31=3中，因此随机抽取一辆，这辆汽车是A型车的概率P=313；(Ⅲ)50辆A类型车出租的天数的平均数x A¯=3×3+4×30+5×15+6×7+7×550=4.62；50辆B类型车出租的天数的平均数x B¯=3×10+4×10+5×15+6×10+7×550=4.8．答案一：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，选择B类型的出租车的利润较大，应该购买B型车．答案二：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，而B 型车出租天数的方差较大，所以应购买A 型车． 【答案】证明：(I) 连接A 1C 交AC 1于点O ，连接EO ∵ ACC 1A 1为正方形，∴ O 为中点∴ EO // A 1B ，EO ⊂平面AEC 1，A 1B ⊄平面AEC 1， ∴ A 1B // 平面AEC 1．（2）∵ AB ＝AC ，E 是BC 的中点，∴ AE ⊥BC∵ 直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ， ∴ AE ⊥平面BB 1C 1C ，B 1C ⊂平面BB 1C 1C ， ∴ B 1C ⊥AE在矩形BCC 1B 1中，tan ∠CB 1C 1＝tan ∠EC 1C =√22，∵∠CB 1C 1+∠B 1CC 1=π2∴ ∠B 1CC 1+∠EC 1C =π2，∴ B 1C ⊥EC 1， 又AE ∩EC 1＝E ， ∴ B 1C ⊥平面AEC 1【考点】直线与平面垂直 直线与平面平行【解析】对(I)，根据三角形的中位线平行于底边，在平面内作平行线，再由线线平行⇒线面平行． 对(II)，根据直棱柱的性质，侧棱与侧面都与底面垂直，可证平面内的AE 与B 1C 垂直； 利用平面几何与三角函数知识，证C 1E 与B 1C 垂直；再由线线垂直⇒线面垂直． 【解答】证明：(I) 连接A 1C 交AC 1于点O ，连接EO ∵ ACC 1A 1为正方形，∴ O 为中点∴ EO // A 1B ，EO ⊂平面AEC 1，A 1B ⊄平面AEC 1， ∴ A 1B // 平面AEC 1．（2）∵ AB ＝AC ，E 是BC 的中点，∴ AE ⊥BC∵ 直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ， ∴ AE ⊥平面BB 1C 1C ，B 1C ⊂平面BB 1C 1C ， ∴ B 1C ⊥AE在矩形BCC 1B 1中，tan ∠CB 1C 1＝tan ∠EC 1C =√22， ∵ ∠CB 1C 1+∠B 1CC 1=π2 ∴ ∠B 1CC 1+∠EC 1C =π2，∴ B 1C ⊥EC 1，又AE ∩EC 1＝E ， ∴ B 1C ⊥平面AEC 1【答案】因为f(1)=12×12−12=0，g(1)＝a ln 1＝0，所以(1, 0)在函数f(x)，g(x)的图象上又f ′(x)=x,g ′(x)=ax，所以f ′(1)＝1，g ′(1)＝a所以a ＝1因为F(x)＝f(x)−mg(x)，所以，F(x)=12x 2−12−m ln x ，其定义域为{x|x >0}F ′(x)=x −m x=x 2−m x当m <0时，F ′(x)=x −m x=x 2−m x>0，所以F(x)在(0, +∞)上单调递增所以F(x)在[1, e]上单调递增，其最小值为F(1)=12×12−12−m ⋅ln 1=0． 当m >0时，令F ′(x)=x −m x=x 2−m x=0，得到x 1=√m >0,x 2=−√m <0（舍）当√m≤1时，即0<m≤1时，F′(x)>0对(1, e)恒成立，所以F(x)在[1, e]上单调递增，其最小值为F(1)＝0当√m≥e时，即m≥e2时，F′(x)<0对(1, e)成立，所以F(x)在[1, e]上单调递减，其最小值为F(e)=12e2−12−m当1<√m<e，即1<m<e2时，F′(x)<0对(1,√m)成立，F′(x)>0对(√m,e)成立所以F(x)在(1,√m)单调递减，在(√m,e)上单调递增其最小值为F(√m)=12m−12−m ln√m=12m−12−m2ln m．综上，当m≤1，且m≠0时，F(x)在[1, e]上的最小值为F(1)＝0．当1<m<e2时，F(x)在[1, e]上的最小值为F(√m)=12m−12−m2ln m．当m≥e2时，F(x)在[1, e]上的最小值为F(e)=12e2−12−m．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的最值【解析】（1）因为函数f(x)=12x2−12与函数g(x)＝a ln x在点(1, 0)处有公共的切线，且f(1)＝g(1)＝0，说明点(1, 0)在两条曲线上，把两函数求导后根据在(1, 0)处的导数值相等可得a的值；（2）把f(x)与g(x)代入函数F(x)的解析式，然后求其导函数，分m<0和m>0判断导函数的单调性，根据函数的单调性求得F(x)在区间[1, e]上的最小值．其中当m>0时需要由导函数的零点对区间[1, e]进行分段．【解答】因为f(1)=12×12−12=0，g(1)＝a ln1＝0，所以(1, 0)在函数f(x)，g(x)的图象上又f′(x)=x,g′(x)=ax，所以f′(1)＝1，g′(1)＝a 所以a＝1因为F(x)＝f(x)−mg(x)，所以，F(x)=12x2−12−m ln x，其定义域为{x|x>0}F′(x)=x−mx=x2−mx当m<0时，F′(x)=x−mx =x2−mx>0，所以F(x)在(0, +∞)上单调递增所以F(x)在[1, e]上单调递增，其最小值为F(1)=12×12−12−m⋅ln1=0．当m>0时，令F′(x)=x−mx =x2−mx=0，得到x1=√m>0,x2=−√m<0（舍）当√m≤1时，即0<m≤1时，F′(x)>0对(1, e)恒成立，所以F(x)在[1, e]上单调递增，其最小值为F(1)＝0当√m≥e时，即m≥e2时，F′(x)<0对(1, e)成立，所以F(x)在[1, e]上单调递减，其最小值为F(e)=12e2−12−m当1<√m<e，即1<m<e2时，F′(x)<0对(1,√m)成立，F′(x)>0对(√m,e)成立所以F(x)在(1,√m)单调递减，在(√m,e)上单调递增其最小值为F(√m)=12m−12−m ln√m=12m−12−m2ln m．综上，当m≤1，且m≠0时，F(x)在[1, e]上的最小值为F(1)＝0．当1<m<e2时，F(x)在[1, e]上的最小值为F(√m)=12m−12−m2ln m．当m≥e2时，F(x)在[1, e]上的最小值为F(e)=12e2−12−m．【答案】解：（1）因为F(−1, 0)为椭圆的焦点，所以c=1，又b2=3，所以a2=4，所以椭圆方程为x24+y23=1；（2）因为直线的倾斜角为45∘，所以直线的斜率为1，所以直线方程为y=x+1，和椭圆方程联立得到{x24+y23=1y=x+1，消掉y，得到7x2+8x−8=0，所以△=288，x1+x2=−87，x1x2=−87，所以|CD|=√1+k2|x1−x2|=√2×√(x1+x2)2−4x1x2=247；（3）当直线l无斜率时，直线方程为x=−1，此时D(−1, 32)，C(−1, −32)，△ABD，△ABC面积相等，|S1−S2|=0，当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k(x+1)(k≠0)，设C(x1, y1)，D(x2, y2)，和椭圆方程联立得到{x24+y23=1y=k(x+1)，消掉y得(3+4k2)x2+8k2x+4k2−12=0，显然△>0，方程有根，且x1+x2=−8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2，此时|S1−S2|=2||y1|−|y2||=2|y1+y2|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|=2|k(x2+x1)+2k|=12|k|3+4k2=123|k|+4|k|≤2√|k|×4|k|=2√12=√3，（k=±√32时等号成立）所以|S1−S2|的最大值为√3．【考点】圆锥曲线的综合问题椭圆的标准方程【解析】（1）由焦点F坐标可求c值，根据a，b，c的平方关系可求得a值；（2）写出直线方程，与椭圆方程联立消掉y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|CD|；（3）当直线l不存在斜率时可得，|S1−S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k(x +1)(k ≠0)，与椭圆方程联立消y 可得x 的方程，根据韦达定理可用k 表示x 1+x 2，x 1x 2，|S 1−S 2|可转化为关于x 1，x 2的式子，进而变为关于k 的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值； 【解答】 解：（1）因为F(−1, 0)为椭圆的焦点，所以c =1，又b 2=3， 所以a 2=4，所以椭圆方程为x 24+y 23=1；（2）因为直线的倾斜角为45∘，所以直线的斜率为1， 所以直线方程为y =x +1，和椭圆方程联立得到 {x 24+y 23=1y =x +1，消掉y ，得到7x 2+8x −8=0， 所以△=288，x 1+x 2=−87，x 1x 2=−87，所以|CD|=√1+k 2|x 1−x 2|=√2×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=247；（3）当直线l 无斜率时，直线方程为x =−1，此时D(−1, 32)，C(−1, −32)，△ABD ，△ABC 面积相等，|S 1−S 2|=0， 当直线l 斜率存在（显然k ≠0）时，设直线方程为y =k(x +1)(k ≠0)， 设C(x 1, y 1)，D(x 2, y 2)，和椭圆方程联立得到{x 24+y 23=1y =k(x +1)，消掉y 得(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−12=0， 显然△>0，方程有根，且x 1+x 2=−8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2，此时|S 1−S 2|=2||y 1|−|y 2||=2|y 1+y 2|=2|k(x 2+1)+k(x 1+1)|=2|k(x 2+x 1)+2k|=12|k|3+4k2=123|k|+4|k|≤2√3|k|×4|k|=2√12=√3，（k =±√32时等号成立） 所以|S 1−S 2|的最大值为√3． 【答案】解：（1）由题意得y =f(x)x=ax 2+axx=ax +a 在(0, +∞)是增函数，由一次函数性质知：当a >0时，y =ax +a 在(0, +∞)上是增函数， ∴ a >0．（2）∵ f(x)是“一阶比增函数”，即f(x)x在(0, +∞)上是增函数，又∀x 1，x 2∈(0, +∞)，有x 1<x 1+x 2，x 2<x 1+x 2， ∴f(x 1)x 1<f(x 1+x 2)x 1+x 2，f(x 2)x 2<f(x 1+x 2)x 1+x 2，∴ f(x 1)<x 1f(x 1+x 2)x 1+x 2，f(x 2)<x 2f(x 1+x 2)x 1+x 2，∴ f(x 1)+f(x 2)<x 1f(x 1+x 2)x 1+x 2+x 2f(x 1+x 2)x 1+x 2=f(x 1+x 2)．（3）设f(x 0)=0，其中x 0>0．因为f(x)是“一阶比增函数”，所以当x >x 0时，f(x)x>f(x 0)x 0=0．法一：取t ∈(0, +∞)，满足f(t)>0，记f(t)=m ．由（2）知f(2t)>2m ，同理f(4t)>2f(2t)>4m ，f(8t)>2f(4t)>8m ． 所以一定存在n ∈N ∗，使得f(2n t)>2n m >2013， 所以f(x)>2013 一定有解．法二：取t ∈(0, +∞)，满足f(t)>0，记f(t)t=k ．因为当x >t 时，f(x)x>f(t)t=k ，所以f(x)>kx 对x >t 成立．只要 x >2013k，则有f(x)>kx >2013，所以f(x)>2013 一定有解．【考点】函数与方程的综合运用 【解析】（1）利用“一阶比增函数”的意义及一次函数的单调性即可得出； （2）利用“一阶比增函数”的意义及增函数的定义即可证明； （3）利用“一阶比增函数”的意义和（2）的结论即可证明． 【解答】解：（1）由题意得y =f(x)x=ax 2+axx=ax +a 在(0, +∞)是增函数，由一次函数性质知：当a >0时，y =ax +a 在(0, +∞)上是增函数， ∴ a >0．（2）∵ f(x)是“一阶比增函数”，即f(x)x在(0, +∞)上是增函数，又∀x 1，x 2∈(0, +∞)，有x 1<x 1+x 2，x 2<x 1+x 2， ∴f(x 1)x 1<f(x 1+x 2)x 1+x 2，f(x 2)x 2<f(x 1+x 2)x 1+x 2，∴ f(x 1)<x 1f(x 1+x 2)x 1+x 2，f(x 2)<x 2f(x 1+x 2)x 1+x 2，∴ f(x 1)+f(x 2)<x 1f(x 1+x 2)x 1+x 2+x 2f(x 1+x 2)x 1+x 2=f(x 1+x 2)．（3）设f(x 0)=0，其中x 0>0．因为f(x)是“一阶比增函数”，所以当x >x 0时，f(x)x>f(x 0)x 0=0．法一：取t ∈(0, +∞)，满足f(t)>0，记f(t)=m ．由（2）知f(2t)>2m ，同理f(4t)>2f(2t)>4m ，f(8t)>2f(4t)>8m ． 所以一定存在n ∈N ∗，使得f(2n t)>2n m >2013， 所以f(x)>2013 一定有解．法二：取t ∈(0, +∞)，满足f(t)>0，记f(t)t=k ．因为当x>t时，f(x)x >f(t)t=k，所以f(x)>kx对x>t成立．只要x>2013k，则有f(x)>kx>2013，所以f(x)>2013一定有解．。
2012-2013年海淀区高三年级第一学期期末试题(文科)讲评
2012-2013学年第一学期期末考试文科数学蓝图2013.01知识板块能力板块知识用起来，问题串起来，思维动起来，能力提起来海淀区高三年级第一学期期末数学（文科）试卷分析2013.1下阶段复习教学现状：时间紧、任务重、学生基础各不相同，既要突出重点又要关注细节，既要让高层次的学生提高能力，还要面对基础差又想在高考数学考察中有所收获的学生，差异性教学如何实现……本次试卷讲评目的：1认识和体会本次考题设计、编排思路及所设计的问题价值、意义2如何进行试卷讲评，加强考察的深度作用，探寻教学方向3反思考察结果与预期差距，安排下阶段复习的方向和重心4纵观高考题的发生、发展和演变，利用区模拟题说明本次试卷要让各种不同水平学生，在知识增长与能力提高上:1、体验“知行合一”学过的知识用得上，知识用后有成就；遇到的问题有线索，抓住线索的问题能解决。
——试题的舒适性（1）基于具体数学事实和记忆性知识的问题，不设计“路障”，计算上不“插曲”，选项上不迷惑，不拖泥带水；（2）为考察知识板块特有的数学思维模式而设计的问题，不在问题条件上晦涩难懂，不强扯硬拽等价转化。
2、恪守“格物致知”不轻易否定学生的数学直觉，不妄断正确结果的获取过程。
只有在推究出特殊中蕴含的一般的原理和方法才能够到达理性的彼岸。
——试题的科学严谨性（1）在问题解决的道路上，合情推理的价值突出体现如（14）题（2）问；（2）考察的问题不仅需对数学结论进行合理猜想，更要有严谨论证的数学知识和能力。
3、最后“道法自然”。
顺其自然，水到渠成，思路起点与问题解决完美契合。
——试题的数学思维性（1）变量；（2）数形；（3）本次考试是高三复习阶段性检测练习，既要突出考察期中之后复习内容，也要着眼于高考，从部分知识的复习到所有数学知识的整合。
期中之后，根据区里安排的教学进度，重点复习了解析几何、立体几何和统计概率、不等式与推理证明、复数框图内容。
本次考察以上知识版块所占分值也体现了重点复习内容重点考察的目的，同时对期中以前所复习的函数导数、数列、平面向量也进行了阶段性滚动性质的考察，从所占分值和能力考察层级中可窥一斑。
2012年北京市海淀区高三二模文科数学含答案纯word版-推荐下载
（16）（本小题满分 13 分）
在一次“知识竞赛”活动中，有 A1, A2 , B, C 四道题，其中 A1, A2 为难度相同的容易题， B 为中档 题， C 为较难题. 现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答.
（Ⅰ）求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率； （Ⅱ）求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率.
A, B 两点，点 O 是坐标原点. 给出三个命题：① PA = PB ；② OAB 的面积为定值；③曲线 C 上存
在两点 M , N ，使得 OMN 为等腰直角三角形．其中真命题的个数是
（A）１
（B）２ （C）３ （D）０
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.
（9）复数
（10）已知双曲线
z
=
1+ i3
i
x2 a2
，则
-
z
=
.
y2 = 1的渐近线方程是 y = ± 2x ，那么此双曲线的离心率为 b2
（11）在 ABC 中，若 ÐA = 120° ， c = 6 ， ABC 的面积为 9 3 ，则 a =
（12）在面积为 1 的正方形 ABCD 内部随机取一点 P ，则 PAB 的面积大于等于 1 的概率是
海淀区高 三年级第 二学期期 末练习
数 学（文科）
2012.05 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
（1）函数 y = - x2 + 1,- 1£ x < 2 的值域是
（A） (- 3, 0]
（2）已知命题 p ： $x Î
值点是
；函数 f (x) 的值域是
2012海淀二模参考答案
海淀区高三年级第二学期期末练习答案语文2012.5一、本大题共5小题，每小题3分，共15分1. C2. D3. B4. B5. B二、本大题共4小题，每小题3分，共12分。
6. A７.D8. D9. C三、本大题共4小题，共30分。
10.（5分）“/”处为必断处，“//”处为可断可不断处。
必断处每答对2处得1分。
在可断可不断处断句，不得分。
答错2处扣1分，扣完5分为止。
陕西因洪水下/大石塞山涧中/水遂横流为害/石之大有如屋者/人力不能去/州县患之/雷简夫为县令/乃使人各于石下穿一穴/度如石大/挽石入穴/窖之/水患遂息也。
[译文]陕西因为山洪爆发，有一块巨石堵塞在山涧当中，涧水四处流溢，造成灾害。
巨石大得如一幢房舍，（凭）人力根本无法搬动，州县对此（特别）担忧。
雷简夫作（当地）县令，就命人在巨石的下方挖洞，估量洞的大小和巨石一样了，将巨石拉入洞中，填埋洞穴，水患也就平息了。
11.（8分）答案略。
（每句1分，句中有错该句不得分）12.（７分）①（3分）C（“独对冷清的秋夜，难免心生孤寂悲切之情”有误）②（４分）特点：山居生活惬意闲适。
（１分）表现：（1）通过壮丽清幽的自然环境描写（或景物描写）来表现；（2）通过描写与山村野老相伴对酒共话的清闲生活来表现；（3）通过写作者怡然自得的心境来表现(每点1分，共3分)。
13.（10分）“秋景的描写”赏析：表现手法或内容（秋景本身）特色赏析均可，也可综合分析。
要点:①本诗诗句秋景描写特色赏析（4分）：特色2分，结合诗句赏析2分；②另举一例赏析（４分）：举例恰当（1分），赏析特色具体（3分）；③语言顺畅，表达清晰（2分）。
四、本大题共３小题，共18分。
14.（３分）B15．（５分）“这种生命史”是完美的生命史（1分），生命史中无论大小的言行举止（1分），都体现出高尚、独特的人格修养（2分），并与完整的人格协调一致（都不能和完整的人格相冲突）（1分）。
（意思对即可）16. (10分)第一问：（3分）美点：有完整高尚的人格（完美的人格），有独特的情趣或个性（至性深情），自然（或真实，或本色） (每点1分，共3分)。
2012年北京市各区二模试题分类解析【数学文】(3)：导数及其应用.pdf
三、导数及其应用（选修2-2） 1.（2012年西城二模 文18）已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间． 解：（Ⅰ）当时，，． ……2分 由 ， 得曲线在原点处的切线方程是．……4分 （Ⅱ）． ………6分 ① 当时，． 所以在单调递增，在单调递减． …7分 当，． ② 当时，令，得，，与的情况如下： 故的单调减区间是，；单调增区间是．……10分 ③ 当时，与的情况如下： 所以的单调增区间是；单调减区间是，． ……13分 综上，时在单调递减；在单调递增. 时，在单调递增，在单调递减；时在单调递增；在单调递减． 2.（2012年朝阳二模文18）设函数.（Ⅰ）已知曲线在点处的切线的斜率为，求的；（Ⅱ）讨论函数的单调性； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对于定义域内的一个，都有． 解：（Ⅰ）的定义域为 …1分 . ……2分 根据题意，，所以，即，解得 ………4分 （Ⅱ）（1）当时，因为，所以，， 所以，函数在上单调递减. ………6分 （2）当时， 若，则，，函数在上单调递减； 若，则，，函数在上单调递 综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减在上单调递增………9分 （Ⅲ）由（Ⅰ）可知设，即. . …10分 当变化时，，的变化情况如下表： －0＋极小值是在上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是的最小值点. 可见 ……13分 所以，即，所以对于定义域内的每一个，都有. ……14分 ，两函数图象的交点在x轴上，且在该点处切线相同．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求证：当x>1时，f(x) 0可得x >2或x <1，由f ′ (x) < 0可得1< x <2． ∴ 函数f ( x ) 的单调递增区间为 (0 ，1) 和 (2，+ ∞ )， 单调递减区间为 (1 , 2 )． …9分 (Ⅲ) 由(Ⅱ)可知函数f (x)在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，在(2，+∞)单调递增． 且当x=1或x=2时，f ′ (x)=0． …10分 ∴ f (x) 的极大值为 ………11分 f (x)的极小值为 ……12分 则 ………14分 .（Ⅰ）若，求在处的切线方程；（Ⅱ）若在上是增函数，求实数的取值范围. 解：（Ⅰ）由，，， ……1分 所以. ……3分 又， 所以所求切线方程为即. ……5分 （Ⅱ）由已知，得. 因为函数在上是增函数， 所以恒成立，即不等式 恒成立. ………9分 整理得. 令 …11分 的变化情况如下表： +极小值 由此得的取值范围是. ……13分 6.（2012年海淀二模文18）已知函数（，）.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，若对任意，有成立，求实数的最小值. 解：. 令，解得或. …2分 （Ⅰ）当时，，随着的变化如下表 极小值极大值函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，. 当时，，随着的变化如下表 极小值极大值函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，. （Ⅱ）当时，由（Ⅰ）得是上的增函数，是上的减函数. 又当时，. 所以 在上的最小值为，最大值为. 所以 对任意，. 所以 对任意，使恒成立的实数的最小值为.。
2012年北京市海淀区高考数学二模试卷(文科)(附答案解析)
2012年北京市海淀区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 函数y=−x2+1，−1≤x<2的值域是（）A.(−3, 0]B.(−3, 1]C.[0, 1]D.[1, 5)2. 已知命题p:∃x∈R，使sin x<12x成立．则¬p为（）A.∃x∈R,sin x=12x B.∀x∈R,sin x<12xC.∃x∈R,sin x≥12x D.∀x∈R,sin x≥12x3. cos215∘−sin215∘的值为( )A.1 2B.√22C.√32D.√624. 执行如图所示的程序框图，若输入x的值为10，则输出的x值为（）A.4B.2C.1D.05. 已知平面α，β和直线m，且m⊂α，则“α // β”是“m // β”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件6. 为了得到函数y=12log2(x−1)的图象，可将函数y=log2x的图象上所有的点的（）A.纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度B.纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度7. 某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A.203B.43C.6D.48. 点P(x, y)是曲线C:y=1x(x>0)上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点O是坐标原点．给出三个命题：①|PA|=|PB|；②△OAB的周长有最小值4+2√2；③曲线C上存在两点M，N，使得△OMN为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.复数z=1+ii3，则|z|=________．已知双曲线x2a−y2b=1的渐近线方程是y＝±2x，那么此双曲线的离心率为________．在△ABC中，若∠A=120∘，c=6，△ABC的面积为9√3，则a=________．在面积为1的正方形ABCD内部随机取一点P，则△PAB的面积大于等于14的概率是________．某同学为研究函数f(x)=√1+x2+√1+(1−x)2(0≤x≤1)的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP+PF=f(x)．请你参考这些信息，推知函数的极值点是________，函数的值域是________．已知定点M(0, 2)，N(−2, 0)，直线l:kx−y−2k+2=0（k为常数）．若点M，N到直线l的距离相等，则实数k的值是________；对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，则实数k的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，S5=4a3+6，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{1S n}的前n项和公式．在一次“知识竞赛”活动中，有A1，A2，B，C四道题，其中A1，A2为难度相同的容易题，B为中档题，C为较难题．现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答．(I)求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率；(II)求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率．在正方体ABCD−A′B′C′D′中，棱AB，BB′，B′C′，C′D′的中点分别是E，F，G，H，如图所示．（1）求证：AD′ // 平面EFG；（2）求证：A′C⊥平面EFG；（3）判断点A，D′，H，F是否共面？并说明理由．已知函数f(x)=x+ax2+3a2(a≠0, a∈R)．(I)求函数f(x)的单调区间；(II)当a=1时，若对任意x1，x2∈[−3, +∞)，有f(x1)−f(x2)≤m成立，求实数m的最小值．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1, 0)，且点(−1, √22)在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点Q(54, 0)，动直线l过点F，且直线l与椭圆C交于A，B两点，证明：QA→⋅QB→为定值．将一个正整数n表示为a1+a2+...+a p(p∈N∗)的形式，其中a i∈N∗，i=1，2，…，p，且a1≤a2≤...≤a p，记所有这样的表示法的种数为f(n)（如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故f(4)=5）．(I)写出f(3)，f(5)的值，并说明理由；(II)证明：f(n+1)−f(n)≥1(n=1, 2,…)；(III)对任意正整数n，比较f(n+1)与12[f(n)+f(n+2)]的大小，并给出证明．参考答案与试题解析2012年北京市海淀区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】二次函数的性质【解析】已知函数y=−x2+1，可以利用其图象以及单调性求出f(x)在−1≤x<2的值域；【解答】解：函数y=−x2+1，图象开口向下，对称轴为y轴，画出图象：由图象可得函数y在x=0处取最大值，f(x)max=f(0)=1，f(x)在x=2处取得最小值，f(x)min=f(2)=−4+1=−3，∴函数y=−x2+1，−1≤x<2的值域是(−3, 1].故选B.2.【答案】D【考点】全称命题与特称命题命题的否定【解析】含有量词的命题的否定法则：“∃x∈R，p(x)”的否定是“∀x∈R，¬p(x)”，由此不难得到本题的答案．【解答】解：由含有量词的命题否定法则，得∵命题p:∃x∈R,sin x<12x，∴命题¬p为：∀x∈R，sin x≥12x故选：D3.【答案】C【考点】二倍角的余弦公式【解析】将所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．【解答】解：cos215∘−sin215∘=cos(2×15∘)=cos30∘=√32．故选C.4.【答案】A【考点】程序框图【解析】按照程序的流程，写出前几次循环的结果，并同时判断各个结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．【解答】解：经过第一次循环得到x=8，不满足判断框中的条件；经过第二次循环得到x=6，不满足判断框中的条件；经过第三次循环得到x=4，不满足判断框中的条件；经过第四次循环得到x=2，满足判断框中的条件，执行“是”，x=22=4，输出x即输出4．故选A．5.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】首先题目问的是“α // β”是“m // β”的什么条件．然后应该判断“α // β”是否可以推出“m // β”，是则充分，不是则相反．再判断“m // β”是否可以直接推出“α // β”，是则必要，否则相反；判断的时候主要应用了空间直线与平面间的位置关系．【解答】解：由于m⊂α，若“α // β”，由直线与平面的关系，故可以直接推出“m // β”成立．则是充分条件．反之．若“m // β”，不可以直接推出“α // β”成立，因平面α与平面β也可能相交．则不是必要条件．则“α // β”是“m // β”的充分不必要条件．故选C．6.【答案】A【考点】函数的图象变换【解析】根据函数图象的变换规律，可得结论．【解答】解：∵将函数y=log2x的图象上所有的点的纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，可得函数y=12log2x的图象．再把所得图象向右平移1个单位长度，可得函数y=12log2(x−1)的图象，故选A．7.【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】根据三视图，还原成几何体，再根据长度关系，即可求得几何体的体积【解答】由三视图知，原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥其中正方体的棱为2，正四棱柱的底面边长为正方体的上底面，高为1∴原几何体的体积为V=2×2×2−13×2×2×1=2038.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】先利用导数求出过点P的切线方程：①由切线方程可求得点A、B的坐标，进而利用两点间的距离公式即可证明；②先利用两点间的距离公式求出△OAB的周长，再利用基本不等式的性质即可证明；③先假设满足条件的点M、N存在，利用等腰三角形的性质只要解出即证明存在，否则不存在．【解答】解：设动点P(m,1m )(m>0)，则y′=−1x2，∴f′(m)=−1m2，∴过动点P(m,1m )的切线方程为：y−1m=−1m2(x−m)．①分别令y=0，x=0，得A(2m, 0)，B(0,2m)．则|PA|=√m2+1m2，|PB|=√m2+1m2，∴|PA|=|PB|，故①正确；②由上面可知：△OAB的周长=2m+2m +2√m2+1m2≥2×2√m×1m+2√2√m2×1m2=4+2√2，当且仅当m=1m ，即m=1时取等号．故△OAB的周长有最小值4+2√2，即②正确．③假设曲线C上存在两点M(a,1a)，N(b,1b)，不妨设0<a<b，∠OMN=90∘．则|ON|=√2|OM|，OM→⊥MN→，所以{√b2+1b2=√2√a2+1a2a(b−a)+1a(1b−1a)=0化为{b2+1b2=2(a2+1a2)a3b=1解得{a=√3−√524b=1a，故假设成立．因此③正确．故选D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.【答案】√2【考点】复数的模【解析】把给出的复数的分母化简后利用复数的除法运算化为a+bi(a, b∈R)的形式，则复数的模可求．【解答】解：z=1+ii3=1+i−i=(1+i)⋅i−i2=−1+i，∴|z|=√(−1)2+12=√2．故答案为√2．【答案】√5【考点】双曲线的离心率【解析】由焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±2x，知双曲线的标准方程可设为x2λ−y24λ=1，由此能求出此双曲线的离心率．【解答】∵焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±2x，∴设双曲线方程为x2λ−y24λ=1，λ>0，∴双曲线的标准方程为x2λ−y24λ=1，∴a2＝λ，b2＝4λ，c2＝5λ，∴此双曲线的离心率e=√5λ=√5．【答案】6√3【考点】余弦定理【解析】由A 的度数求出sin A 与cos A 的值，利用面积公式列出关系式，将sin A ，已知的面积与b 的值代入，求出b 的值，再利用余弦定理列出关系式，将b ，c 及cos A 的值代入，开方即可求出a 的值． 【解答】解：∵ ∠A =120∘，c =6，△ABC 的面积为9√3， ∴ 12bc sin A =3√32b =9√3，即b =6，∴ 由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bc cos A =36+36+36=108， 则a =6√3． 故答案为：6√3 【答案】12【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】设E 、F 分别为AD 、BC 的中点，可得四边形ABFE 是矩形．当点P 落在线段EF 上时，△PAB 的面积等于矩形ABFE 面积的一半，可得此时S △ABP =12S 矩形ABFE =14，由此可得当点P 落在矩形CDEF 内部或在EF 上时△PAB 的面积大于等于14，即可算出△PAB 的面积大于等于14的概率． 【解答】解：设正方形ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 的中点∵ 四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别为AD 、BC 的中点 ∴ EF // AB 且EF =AB ，可得四边形ABFE 是矩形 ∵ 正方形ABCD 面积为1，∴ AB =1且AE =12AD =12当点P 落在线段EF 上时，△PAB 的面积等于矩形ABFE 面积的一半， 此时S △ABP =12S 矩形ABFE =14因此，当点P 落在正方形ABCD 内部，且在线段EF 上或EF 的上方时， 可使△PAB 的面积大于等于14∴ △PAB 的面积大于等于14的概率为P =SCDEF S ABCD=12 故答案为：12 【答案】12,[√5, √2+1]【考点】函数单调性的性质 函数的值域及其求法 【解析】分别在Rt △PCF 和Rt △PAB 中利用勾股定理，得PA +PF =√1+x 2+√1+(1−x)2．运动点P ，可得A 、P 、B 三点共线时，PA +PF 取得最小值；当P 在点B 或点C 时，PA +PF 取得最大值．由此即可推知函数的极值点及函数f(x)的值域． 【解答】解：Rt △PCF 中，PF =√CP 2+CF 2=√1+x 2 同理可得，Rt △PAB 中，PA =√12 ∴ PA +PF =√1+x 2+√1+(1−x)2．从运动的观点看，当点P 从C 点向点B 运动的过程中，在运动到BC 的中点之前，PA +PF 的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大，∵ 当点P 在BC 的中点上时，即A 、B 、P 三点共线时，即P 在矩形ADFE 的对角线AF 上时， PA +PF 取得最小值 √AE 2+EF 2=√5，当P 在点B 或点C 时，PA +PF 取得最大值 √2+1． ∴ √5≤PA +PF ≤√2+1，可得函数的极值点是 12； 函数f(x)=AP +PF 的值域为[√5, √2+1]． 故答案为：12；[√5, √2+1]． 【答案】1或13,(−∞,−17)∪(1,+∞) 【考点】 两直线的夹角 直线的倾斜角【解析】由点M(0, 2)，N(−2, 0)到直线l:kx −y −2k +2=0的距离相等，利用点到直线的距离公式求得k 的值． 由题意可得，以MN 为直径的圆与直线l:kx −y −2k +2=0相离，故圆心H(−1, 1)到直线l:kx −y −2k +2=0的距离大于半径，即2>√2，由此解得k 的范围．【解答】解：由点M(0, 2)，N(−2, 0)到直线l:kx −y −2k +2=0的距离相等可得√k 2+1=√k 2+1，解得 k =1，或 k =13．由于对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，故以MN 为直径的圆与直线l:kx −y −2k +2=0相离．而MN 的中点，即圆心为H(−1, 1)，则点H 到直线l:kx −y −2k +2=0的距离大于半径12⋅MN =√2， 即√k 2+1>√2，即 (1−3k)2>2(1+k 2)，解得 k <−17，或 k >1，故答案为 1或13； (−∞,−17)∪(1,+∞)．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【答案】 解：（1）因为S 5=4a 3+6，所以5a 1+10d =4(a 1+2d)+6．①… 因为a 1，a 3，a 9成等比数列，所以a 1(a 1+8d)=(a 1+2d)2．②… 由①②及d ≠0可得：a 1=2，d =2．… 所以a n =2n ．…（2）由a n =2n ，可知S n =n 2+n … 所以1S n=1n(n+1)=1n−1n+1，…所以数列{1S n}的前n 项和为1−12+12−13+...+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1，…【考点】等差数列与等比数列的综合 等差数列的通项公式 等比数列的通项公式【解析】（1）利用S 5=4a 3+6a ，且a 1，a 3，a 9成等比数列，建立方程，可求数列的首项与公差，即可得到数列{a n }的通项公式；（2）利用裂项法，即可求数列{1S n }的前n 项和公式．【解答】 解：（1）因为S 5=4a 3+6，所以5a 1+10d =4(a 1+2d)+6．①… 因为a 1，a 3，a 9成等比数列，所以a 1(a 1+8d)=(a 1+2d)2．②… 由①②及d ≠0可得：a 1=2，d =2．… 所以a n =2n ．…（2）由a n =2n ，可知S n =n 2+n … 所以1S n=1n(n+1)=1n −1n+1，…所以数列{1S n}的前n 项和为1−12+12−13+...+1n −1n+1=1−1n+1=nn+1，…【答案】解：由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，所有可能的结果有16个， 它们是：(A 1, A 1)，(A 1, A 2)，(A 1, B)，(A 1, C)，(A 2, A 1)，(A 2, A 2)，(A 2, B)， (A 2, C)，(B, A 1)，(B, A 2)，(B, B)，(B, C)，(C, A 1)，(C, A 2)，(C, B)，(C, C)． (I)用M 表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”，则M 包含的基本事件有：(A 1, A 1)，(A 1, A 2)，(A 2, A 1)，(A 2, A 2)，(B, B)，(C, C)，共有6个． 所以P(M)=616=38．(II)用N 表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”， 则N 包含的基本事件有：(B, A 1)，(B, A 2)，(C, A 1)，（C, A 2,），(C, B)，共有5个． 所以P(N)=516．【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】(I)先列举出所有可能的结果有16个，找出其中事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”包含的基本事件有6个，从而求得甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率．(II)在所有的基本事件中找出事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”包含的基本事件的个数，可得甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率． 【解答】解：由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，所有可能的结果有16个， 它们是：(A 1, A 1)，(A 1, A 2)，(A 1, B)，(A 1, C)，(A 2, A 1)，(A 2, A 2)，(A 2, B)， (A 2, C)，(B, A 1)，(B, A 2)，(B, B)，(B, C)，(C, A 1)，(C, A 2)，(C, B)，(C, C)． (I)用M 表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”，则M 包含的基本事件有：(A 1, A 1)，(A 1, A 2)，(A 2, A 1)，(A 2, A 2)，(B, B)，(C, C)，共有6个． 所以P(M)=616=38．(II)用N 表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”， 则N 包含的基本事件有：(B, A 1)，(B, A 2)，(C, A 1)，（C, A 2,），(C, B)，共有5个． 所以P(N)=516．【答案】（1）证明：连接BC ′，在正方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中，AB =C ′D ′，AB // C ′D ′． 所以，四边形ABC ′D ′是平行四边形，所以，AD ′ // BC ′．因为 F ，G 分别是BB ′，B ′C ′的中点，所以 FG // BC ′，所以，FG // AD ′． 因为 EF ，AD ′是异面直线，所以，AD ′⊄平面EFG ． 因为 FG ⊂平面EFG ，所以，AD ′ // 平面EFG ．（2）证明：连接B ′C ，在正方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中，A ′B ′⊥平面BCC ′B ′，BC ′⊂平面BCC ′B ′，所以，A ′B ′⊥BC ′．在正方形BCC ′B ′中，B ′C ⊥BC ′，因为 A ′B ′⊂平面A ′B ′C ，B ′C ⊂平面A ′B ′C ，A ′B ′∩B ′C =B ′，所以，BC ′⊥平面A ′B ′C ． 因为 A ′C ⊂平面A ′B ′C ，所以，BC ′⊥A ′C ．因为 FG // BC ′，所以，A ′C ⊥FG ，同理可证：A ′C ⊥EF ．因为 EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，EF ∩FG =F ，所以，A ′C ⊥平面EFG ．（3）点A，D′，H，F不共面．理由如下：假设A，D′，H，F共面．连接C′F，AF，HF．由（1）知，AD′ // BC′，因为BC′⊂平面BCC′B′，AD′⊄平面BCC′B′，所以，AD′ // 平面BCC′B′．因为C′∈D′H，所以，平面AD′HF∩平面BCC′B′=C′F．因为AD′⊂平面AD′HF，所以AD′ // C′F．所以，C′F // BC′，而C′F与BC′相交，矛盾．所以，点A，D′，H，F不共面．【考点】直线与平面平行的判定平面的基本性质及推论直线与平面垂直的判定【解析】（1）利用正方体的性质以及题中的条件，证明FG // AD′，再根据直线和平面平行的判定定理证得AD′ // 平面EFG．（2）利用直线和平面垂直的判定定理、性质定理证明BC′⊥A′C，A′C⊥EF，从而证明A′C⊥平面EFG．（3）点A，D′，H，F不共面，用反证法证明如下：假设A，D′，H，F共面，由（1）可证得C′F // BC′，而C′F与BC′相交，这是矛盾的，故假设不对．【解答】（1）证明：连接BC′，在正方体ABCD−A′B′C′D′中，AB=C′D′，AB // C′D′．所以，四边形ABC′D′是平行四边形，所以，AD′ // BC′．因为F，G分别是BB′，B′C′的中点，所以FG // BC′，所以，FG // AD′．因为EF，AD′是异面直线，所以，AD′⊄平面EFG．因为FG⊂平面EFG，所以，AD′ // 平面EFG．（2）证明：连接B′C，在正方体ABCD−A′B′C′D′中，A′B′⊥平面BCC′B′，BC′⊂平面BCC′B′，所以，A′B′⊥BC′．在正方形BCC′B′中，B′C⊥BC′，因为A′B′⊂平面A′B′C，B′C⊂平面A′B′C，A′B′∩B′C=B′，所以，BC′⊥平面A′B′C．因为A′C⊂平面A′B′C，所以，BC′⊥A′C．因为FG // BC′，所以，A′C⊥FG，同理可证：A′C⊥EF．因为EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EF∩FG=F，所以，A′C⊥平面EFG．（3）点A，D′，H，F不共面．理由如下：假设A，D′，H，F共面．连接C′F，AF，HF．由（1）知，AD′ // BC′，因为BC′⊂平面BCC′B′，AD′⊄平面BCC′B′，所以，AD′ // 平面BCC′B′．因为C′∈D′H，所以，平面AD′HF∩平面BCC′B′=C′F．因为AD′⊂平面AD′HF，所以AD′ // C′F．所以，C′F // BC′，而C′F与BC′相交，矛盾．所以，点A，D′，H，F不共面．【答案】解：求导函数，可得f′(x)=−(x−a)(x+3a)(x2+3a2)2．令f′(x)=0，解得x=a或x=−3a．(I)当a>0时，f′(x)，f(x)随着x的变化如下表函数f(x)的单调递增区间是(−3a, a)，函数f(x)的单调递减区间是(−∞, −3a)，(a, +∞)．当a <0时，f′(x)，f(x)随着x 的变化如下表函数f(x)的单调递增区间是(a, −3a)，函数f(x)的单调递减区间是(−∞, a)，(−3a, +∞)． (II)当a =1时，由(I)得f(x)是(−3, 1)上的增函数，是(1, +∞)上的减函数． 又当x >1时，f(x)=x+1x 2+3>0．所以f(x)在[−3, +∞)上的最小值为f(−3)=−16，最大值为f(1)=12． 所以对任意x 1，x 2∈[−3, +∞),f(x 1)−f(x 2)≤f(1)−f(−3)=23．所以对任意x 1，x 2∈[−3, +∞)，使f(x 1)−f(x 2)≤m 恒成立的实数m 的最小值为23． 【考点】利用导数研究函数的单调性导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】(I)求导函数，分类讨论，由导数的正负，即可求函数f(x)的单调区间；(II)当a =1时，由(I)得f(x)是(−3, 1)上的增函数，是(1, +∞)上的减函数，对任意x 1，x 2∈[−3, +∞)，有f(x 1)−f(x 2)≤m 成立，等价于f(x)max −f(x)min ≤m 求实数m 的最小值． 【解答】解：求导函数，可得f′(x)=−(x−a)(x+3a)(x 2+3a 2)2．令f′(x)=0，解得x =a 或x =−3a ．(I)当a >0时，f′(x)，f(x)随着x 的变化如下表函数f(x)的单调递增区间是(−3a, a)，函数f(x)的单调递减区间是(−∞, −3a)，(a, +∞)． 当a <0时，f′(x)，f(x)随着x 的变化如下表函数f(x)的单调递增区间是(a, −3a)，函数f(x)的单调递减区间是(−∞, a)，(−3a, +∞)． (II)当a =1时，由(I)得f(x)是(−3, 1)上的增函数，是(1, +∞)上的减函数． 又当x >1时，f(x)=x+1x 2+3>0．所以f(x)在[−3, +∞)上的最小值为f(−3)=−16，最大值为f(1)=12．所以对任意x 1，x 2∈[−3, +∞),f(x 1)−f(x 2)≤f(1)−f(−3)=23．所以对任意x 1，x 2∈[−3, +∞)，使f(x 1)−f(x 2)≤m 恒成立的实数m 的最小值为23． 【答案】（1）解：由题意知：c =1．根据椭圆的定义得：2a =(√22)+√22，解得a =√2．所以 b 2=2−1=1． 所以椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1．（2）证明：当直线l 的斜率为0时，A(√2，0)，B(−√2,0)． 则 QA →⋅QB →=(√2−54,0)⋅(−√2−54,0)=−716．当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：x =ty +1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．由{x 22+y 2=1x =ty +1，可得：(t 2+2)y 2+2ty −1=0．显然△>0，则{y 1+y 2=−2tt 2+2y 1y 2=−1t 2+2.， 因为x 1=ty 1+1，x 2=ty 2+1，所以QA →⋅QB →=(x 1−54，y 1)⋅(x 2−54,y 2)=(ty 1−14)(ty 2−14)+y 1y 2=(t 2+1)y 1y 2−14t(y 1+y 2)+116=−(t 2+1)1t 2+2+14t 2t t 2+2+116=−2t 2−2+t 22(t 2+2)+116=−716，即 QA →⋅QB →=−716．综上，QA →⋅QB →=−716，即QA →⋅QB →为定值． 【考点】圆锥曲线的综合问题 椭圆的标准方程【解析】（1）由题意知：c =1，根据椭圆定义可求得a ，根据b 2=a 2−c 2可得b ；（2）分直线l 的斜率为0，不为0两种情况进行讨论：当直线l 的斜率为0时直接按照向量数量积运算即可；当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：x =ty +1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．联立直线方程与椭圆方程消掉x 得y 的二次方程，由韦达定理及向量数量积公式代入运算可得结论； 【解答】（1）解：由题意知：c =1．根据椭圆的定义得：2a =√(−1−1)2+(√22)2+√22，解得a =√2．所以 b 2=2−1=1．所以椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1．（2）证明：当直线l 的斜率为0时，A(√2，0)，B(−√2,0)． 则 QA →⋅QB →=(√2−54,0)⋅(−√2−54,0)=−716．当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：x =ty +1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．由{x 22+y 2=1x =ty +1，可得：(t 2+2)y 2+2ty −1=0．显然△>0，则{y 1+y 2=−2tt 2+2y 1y 2=−1t 2+2.， 因为x 1=ty 1+1，x 2=ty 2+1，所以QA →⋅QB →=(x 1−54，y 1)⋅(x 2−54,y 2)=(ty 1−14)(ty 2−14)+y 1y 2 =(t 2+1)y 1y 2−14t(y 1+y 2)+116=−(t 2+1)1t 2+2+14t 2t t 2+2+116=−2t 2−2+t 22(t +2)+116=−716，即 QA →⋅QB →=−716．综上，QA →⋅QB →=−716，即QA →⋅QB →为定值．【答案】解：a =8，b7，B =0∘， 整理得：2−8c5=0， 解得：c3或=5， 则c 的值35． 【考点】数列与不等式的综合 数列的函数特性【解析】利用得b2a2+c2−2ac cos B ，a ，b 及B 的度数代入，利用殊角的三角函数值化，得出关于元二次，求出方程的解即可得到c 的值． 【解答】解：a =8，b7，B =0∘， 整理得：2−8c5=0， 解得：c3或=5， 则c 的值35．。
精品解析：北京市海淀区2012届高三上学期期末考试数学(文)试题解析(教师版)
【试题总体说明】本套试卷严格按照2011年北京卷的高考题进行命制，题目难度适当，创新度较高。
所命试卷呈现以下几个特点：（1）注重对基础知识、基本能力和基本方法的考查，严格控制试题难度。
如选择题2,4；（2）知识点覆盖全面，既注重对传统知识的考查，又注重对新增内容的考查，更注重对主干知识的考查;（3）遵循源于教材、高于教材的原则,部分试题根据教材中的典型例题或习题改编而成；如选择题3，7。
（4)深入探究2011高考试题,精选合适的试题进行改编;如填空题9，11。
（5)题型新颖，创新度高，部分试题是原创题，有较强的时代特色．如填空题13和解答题20等；(6）在知识网络的交汇处命题，强调知识的整合，突出考查学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。
如17题。
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）复数i(12i)-=（A)2i -+ (B ）2i + （C ）2i - （D ）2i --【答案】B（3）已知数列{}n a 满足：22111, 0, 1(*)n n n a a a a n +=>-=∈N ，那么使5n a <成立的n 的最大值为（ ）（A)4 （B ）5 (C ）24 （D)25【答案】C 【解析】22222111,{}1,11(1),n n n n a a a a a n n +-=∴=∴=+-=是以为公差的等差数列，0,.5,5,25.n n n a a n a n n n >∴=<∴<∴<∴的最大值为24，故选C 。
（A ）充分不必要条件 （B)必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】1212121212,11,;,110,.k k l l l l k k k k =≠-∴∴⨯-⨯=∴=∥∥故为充要条件。
（6）函数()sin(2)(,)f x A x A ϕϕR 的部分图象如图所示，那么(0)f（A ）12（B)1 （C ）32（D ）3【答案】B【解析】由图可知，(,2)3π为函数图象的最高点,2,()2,3A f π∴==2222sin()2,sin()1,2()3332k k Z ππππϕϕϕπ∴+=∴+=∴+=+∈12(),(0)2sin 2sin(2)2() 1.662k k Z f k ππϕπϕπ∴=-+∈∴==-+=⨯-=-（7）已知函数()2f x x x x =-，则下列结论正确的是 （A ）()f x 是偶函数,递增区间是0,（B ）()f x 是偶函数，递减区间是(,1)（C ）()f x 是奇函数，递减区间是1,1(D ）()f x 是奇函数，递增区间是,0观察图象可知，函数图象关于原点对称，故函数为奇函数,且在[]1,1- 单调递减。
20120届北京海淀区高三年级第二学期适应性试卷数学(文)试题
北京海淀区高三年级第二学期适应性试卷数学（文科）全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题国要求的一项。
(1)已知集合{}15A x x =≤≤，{}36B x x =≤≤，则AB = (A)[1,3] (B)[3,5] (C)[5,6] (D)[1,6](2)复数()z a i i R =+∈的实部是虚部的2倍，则a 的值为(A) 12- (B) 12 (C) -2 (D)2(3)已知双曲线2221(0)3x y a a -=>的右顶点和抛物线28y x =的焦点重合，则a 的值为 (A)1 (B)2(C)3 (D)4(4)若关于x 的方程1x a x+=在(0,)+∞上有解，则a 的取值范围是 (A)(0， +∞) (B)[1， +∞)(C)[2， +∞) (D)[3， +∞)(5)某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的所有棱长构成的集合为(A){} (B){} (C){}2,4,(D) {(6)把函数2x y =的图象向左平移t 个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为32x y =⋅，则t 的值为(A ) 3log 2 (B) 2log 3 (C) (D)(7)已知函数()sin (0)f x x ωω=>，则“函数()f x 的图象经过点（4π，1）”是“函数()f x 的图象经过点（,02π）”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(8)记221x y +≤表示的平面区域为W ，点O 为原点，点P 为直线22y x =-上的一个动点．若区域W 上存在点Q ，使得OQ PQ =，则OP 的最大值为(A)1 (B) (C) (D)2第二部分（非选择题共1 10分）二、 填空题共6小题，每小题5分，共30分．(9)已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a = ，1l 与2l 之间的距离为( 10)已知函数2()()()f x x t x t =+-是偶函数，则t =( 11)41,log 3,sin 28a b c π===，则这三个数中最大的是 ( 12)已知数列{}n a 满足11n n a a n n+=+，且515a =，则8a =_____． (13)在矩形ABCD 中，2,1AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上．若AE AF AP +=，且点P 在直线AC 上，则AF =(14)已知集合{}001A x x =<<.给定一个函数()y f x =，定义集合{}1(),n n A y y f x x A -==∈ 若1nn A A φ-=对任意的*n N ∈成立，则称该函数()y f x =具有性质“ 9”． (I)具有性质“9”的一个一次函数的解析式可以是 ；(Ⅱ)给出下列函数：①1y x =；②2x y =；③s ()12y in x π=+，其中具有性质“9”的函 数的序号是____．（写出所有正确答案的序号）三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．( 15)（本小题满分13分）在ABC ∆中，7,8,3a b A π===．(Ⅰ)求sin B 的值；(Ⅱ)若ABC ∆是锐角三角形，求ABC ∆的面积．(16)（本小题满分13分）已知数列{}n a 为等比数列，且1=23nn n a a +-⋅． (I)求公比q 和3a 的值；(Ⅱ)若{}n a 的前n 项和为n S ，求证：13,,n n S a +-成等差数列．(17)（本小题满分14分）如图1所示，在等腰梯形ABCD ，BC ∥AD ，CE AD ⊥，垂足为E ，33AD BC ==，1EC =.将DEC ∆沿EC 折起到1D EC ∆的位置，使平面1D EC ∆⊥平面ABCE ，如图2所示，点G 为棱1AD 的中点。
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海淀区高三年级第二学期期末练习
数 学（文科）
2012.05
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
（1）函数21,12y x x
=-+-?的值域是
（A ）(3,0]- （B ） (3,1]- （C ）[0,1] （D ）[1,5) （2）已知命题p ：1
,sin 2
x x x $?R . 则p Ø为 （A ）1
,sin 2x x x $?R （B ）1,sin 2x x x "?R （C ）1
,sin 2
x x
x $纬R （D ）1,sin 2
x x x "纬R （3）2
2
cos 15sin 15
-的值为
（A ）
12 （B
）2 （C
）2 （D
）2
（4）执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为10，则输出的x
（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0
（5）已知平面,αβ和直线m ，且m Ì
α，则“α∥β”是“m ∥β”的
（A ）充要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（6）为了得到函数21
log (1)2
y x =
-的图象，可将函数2log y x =的图象上所有的点的
（A ）纵坐标缩短到原来的
1
2倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 （B ）纵坐标缩短到原来的1
2
倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度
（C ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度
（D ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度
（7）某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是
（A ）
20
3
（B ）
43
（C ）6 （D ）4
（8）点(,)P x y 是曲线1
:(0)C y x x
=
>上的一个动点，曲线C 在点P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，点O 是坐标原点. 给出三个命题：①PA PB =；②OAB ∆的面积为定值；③曲线C 上存在
两点,M N ，使得OMN ∆为等腰直角三角形．其中真命题的个数是
（A ）１ （B ）２ （C ）３ （D ）０
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）复数3
1i
i z +=
，则z = . （10）已知双曲线22
221x y a b
-=的渐近线方程是2y x = ，那么此双曲线的离心率为 .
（11）在ABC ∆中，若120A
? ，6c =，ABC ∆
的面积为a = .
（12）在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则PAB ∆的面积大于等于
1
4
的概率是_________． （13）
某同学为研究函数()1)f x x
=
＃的性质，构造了如图所示的两个边长
为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP x =，
则()AP PF f x +=. 请你参考这些信息，推知函数()f x 的极值点是 ；函数()f x 的值域是 .
E
F
A
B C D
P
左
俯视图
主视图
（14）已知定点(0,2),(2,0)M N -，直线:220l kx y k --+=（k 为常数）. 若点,M N 到直线l 的距离相等，则实数k 的值是 ；对于l 上任意一点P ，MPN Ð恒为锐角，则实数k 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ¹，5346S a =+，且139,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列1
{
}n
S 的前n 项和公式.
（16）（本小题满分13分）
在一次“知识竞赛”活动中，有12,,,A A B C 四道题，其中12,A A 为难度相同的容易题，B 为中档题，
C 为较难题. 现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答.
（Ⅰ）求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率； （Ⅱ）求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率.
(17)（本小题满分14分）
在正方体''''ABCD A B C D 中, 棱,','',''AB BB B C C D 的中点分别是,,,E F G H , 如图所示． （Ⅰ）求证：'AD ∥平面EFG ；
（Ⅱ）求证：'A C ^平面EFG ；
（Ⅲ）判断点,',,A D H F 是否共面? 并说明理由.
(18)（本小题满分13分）
C'
C
已知函数22
()3x a
f x x a +=
+（0a ≠，a ∈R ）.
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当1a =时，若对任意12,[3,)x x ∈-+∞，有12()()f x f x m -≤成立，求实数m 的最小值.
（19）（本小题满分13分）
已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，且点(-在椭圆C 上.
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）已知点5
(,0)4
Q ，动直线l 过点F ，且直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，证明：QA QB ⋅ 为定值.
（20）（本小题满分14分）
将一个正整数n 表示为12(*)p a a a p +++ N 的形式，其中*i a ÎN ，1,2,,i p = ，且
p a a a ≤≤≤ 21，记所有这样的表示法的种数为)(n f （如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，
故5)4(=f ）.
（Ⅰ）写出)5(),3(f f 的值，并说明理由； （Ⅱ）证明：(1)()1f n f n +- （1,2,n = ）；
（Ⅲ）对任意正整数n ，比较)1(+n f 与)]2()([2
1
++n f n f 的大小，并给出证明．。