(最新)数学八年级下册第19章第1节《变量与函数》省优质课一等奖教案
(最新)数学八年级下册第19章第1节《变量与函数》省优质课一等奖课件
观察思考 再次概括
函数的定义： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值 与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数．
如果当 x =a 时，对应的 y =b， 那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值．
观察思考 分析变化
年份 x 人口数y/亿
1984
10.34
1989
11.06
1994
11.76
1999
12.52
2010
13.71
初步应用 巩固知识
练习3 下图是一只蚂蚁在竖直的墙面上的爬行图， 请问：蚂蚁离地高度 h 是离起点的水平距离 t 的函数吗？ 为什么？ 离地高度 h/cm
6
5
4
3
2
1
1 2 34 5 6
观察思考 再次概括
综合以上这些现象，你能再次归纳出上面所有事例 的变量之间关系的共同特点吗？
在一个变化过程中，有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应
观察思考 再次概括
函数的定义： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值 与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数．
51
38
当x取定一个值时，通过查表，y有唯一确定的值与之对应.
观察思考 再次概括
问题4 如图是北京某天的气温变化图，你能根据 图象说出某一时刻的气温吗？
当t取定一个值时，通过图像，T有唯一确定的值与之对应.
初步应用 巩固知识
练习1 下列问题中，一个变量是否是另一个变量的 函数？请说明理由．
(最新)数学八年级下册第19章第1节《变量与函数》省优质课一等奖教案
《变量与函数》教学设计一、内容和内容解析1. 内容常量和变量的概念2．内容解析本节课是函数的起始课，函数是刻画运动变化现象的重要数学模型，用数量刻画事物变化过程是对变化过程的数学表示，也是用函数模型研究变化过程的基础要.从数学的角度研究变化现象，把握变化规律，首先要关注变化过程中量的变化，这就是变量.有了变量的概念，便为研究成函数关系的两个变量的“运动与对应”关系打下基础.本课从四个简单的实际问题入手，通过分析问题中数值的变与不变，引出常量与变量的概念，而且问题中变量的单值对应关系，也为学习函数的定义做铺垫.基于以上分析，确定本节课的教学重点是:能找出一个变化过程中的变量与常量，了解常量与变量的意义.二、目标和目标解析1.目标（1）了解常量与变量的含义.（2）感受运动与变化的数量关系，初步体验函数思想.（3）让学生参与变量的发现过程，培养学生积极参与数学活动的热情.2.学习目标解析目标（1）的要求是：运用丰富的实例，使学生在具体情境中分清实例中的常量与变量.目标（2）的要求是：通过动手实践与探索，学会将实际问题抽象成数学问题.目标（3）的要求是：感受变量是刻画现实生活中许多变化事物的一种重要的数学工具，加深学生对数学来源于生活的体验，在解决问题体会数学的应用价值.三、教学问题诊断常量、变量并不一定是带单位的量，常量也可以是常数，常量和变量是相对的，在不同的研究过程中，常量和变量的身份可以相互转换.变量是学生第一次接触，对一个运动变化过程中的两个变量的关系，学生往往只认为是一种确定的数量关系，没有用运动与变化的观点去体会两个变量之间的相互依赖的变化，基于以上分析，确定本节课的教学难点为：用含有一个变量的式子表示另一个变量，体会运动变化过程中量的变化，较复杂问题中常量与变量的识别.四、教学过程设计一、引言：一辆长途客车从杭州驶向上海，全程哪些量不变？哪些量在变？当我们用数学来分析现实世界的各种现象时，会遇到各种各样的量，如物体运动中的速度、时间和距离；圆的半径、周长和圆周率；购买商品的数量、单价和总价；某城市一天中各时刻变化着的气温；某段河道一天中时刻变化着的水位……在某一个过程中，有些量固定不变，有些量不断改变。
人教版数学八年级下册19.1.1《变量与函数》教学设计
-利用生活实例或数学问题，激发学生的好奇心，引导他们观察变量之间的变化规律。
-设计系列问题，逐步引导学生深入探讨函数的定义和性质。
2.运用合作学习、讨论交流的方法，提高学生的思维品质和解决问题的能力。
-组织学生进行小组合作，鼓励他们发表自己的观点，倾听他人的意见，共同解决问题。
-在下次课堂上，每个小组分享自己的解题过程和心得体会，促进同学之间的交流和学习。
5.思考与拓展：
-思考函数在生活中的应用，如天气预报、股票市场分析等，并简述函数在这些领域中的作用。
-探索函数的其他性质，如周期性、对称性等，并尝试举出相应的实际例子。
接着，我会引导学生思考：“如果我们想要预测未来某个时间点的气温，该怎么做呢？”从而引出变量和函数的概念。学生会发现，通过观察已经收集到的数据，可以尝试寻找气温与时间之间的关系，进而预测未来气温。这样，学生便对函数的概念有了初步的认识，为接下来的学习打下基础。
（二）讲授新知
在讲授新知环节，我会从以下几个方面展开：
-对于基础薄弱的学生，通过个别辅导和小组互助，帮助他们克服学习难点。
3.探究式学习，培养学生的思维能力
-采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、实验、推理等过程，自主探究函数的定义和性质。
-设计开放性问题，鼓励学生多角度思考，培养他们的创新意识和解决问题的能力。
4.信息技术辅助，提高教学效果
-利用数学软件和多媒体工具，直观演示函数图象和变化过程，帮助学生形象地理解函数概念。
-通过网络资源，拓展学生的学习视野，使他们能够接触到更多与函数相关的实际应用。
5.实践活动，增强学生的应用能力
-安排课后实践活动，让学生在实际操作中运用函数知识，解决现实问题。
人教版八年级数学下册19.1.1变量与函数(第2课时)一等奖优秀教学设计
人教版义务教育课程标准实验教科书八年级下册
19.1.1变量与函数（第2课时）教学设计
一、教材分析
1、地位作用：作为函数的起始章节，教材第一次给出了函数的一般概念以及自变
量、函数值等概念。
既是“一次函数”中函数的基本概念，也是初中阶段学习代数函数的基础，即八年级下学期学习第19章“一次函数”，九年级上学期学习第22章“二次函数”，九年级下学期学习第26章“反比例函数”。
本节是全章的基础部分，结合简单的实际问题，对事物的运动变化进行数量化讨论，先引出常量和变量的意义，再从描述变量之间对应关系的角度刻画了一般函数的基本特征，从而初步建立函数的概念，并给出函数的解析式的意义，对后续学习函数其他内容很重要.
2、教学目标：
1．经过练习，观察，认识变量中的自变量与函数。
会写出函数关系式，会求函数值，会确定自变量取值范围.
2. 通过观察、讨论、归纳等活动，体会函数的模型思想.
3、教学重、难点
教学重点：①会写出函数关系式,能分清自变量与函数；②初步确定自变量的取
值范围.
教学难点：认识函数、领会函数的意义.
突破难点的方法：分析变化─探索交流─归纳总结
二、教学准备：多媒体课件、导学案
三、教学过程
学会确定自
、自变量、函数及函数值都有两个变量。
人教版数学八年级下册19.1.1《变量与函数》教学设计1
人教版数学八年级下册19.1.1《变量与函数》教学设计1一. 教材分析《变量与函数》是人教版数学八年级下册第19.1.1节的内容，本节课主要介绍变量的概念以及函数的定义。
学生在学习本节课之前，已经掌握了代数基础知识，如代数式、方程等，为本节课的学习打下了基础。
本节课的内容是学生学习更高级数学知识的重要基石，对于培养学生的逻辑思维能力、解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的代数基础，对于未知数、代数式等概念有了初步的了解。
但是，学生在学习过程中，可能对于抽象的变量概念、函数的定义及表示方法等方面存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过具体实例来理解抽象概念，提高学生的抽象思维能力。
三. 教学目标1.理解变量的概念，掌握常量与变量的区别。
2.理解函数的定义，掌握函数的表示方法。
3.能够运用变量和函数的知识解决实际问题。
四. 教学重难点1.重点：变量、函数的概念及其表示方法。
2.难点：函数概念的理解，函数表示方法的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入变量和函数的概念，使学生能够更好地理解抽象知识。
2.引导发现法：教师引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主发现变量和函数的规律。
3.实践操作法：让学生通过动手操作，加深对变量和函数概念的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作生动有趣的教学课件，帮助学生直观地理解变量和函数的概念。
2.教学实例：准备一些生活实例，用于引导学生学习变量和函数。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如气温、水位等，引导学生思考这些量是如何变化的。
通过观察、讨论，让学生初步理解变量概念。
2.呈现（10分钟）介绍常量与变量的定义，让学生明确常量与变量的区别。
接着，引入函数的定义，讲解函数的表示方法，如解析式、图象等。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，举例说明生活中的一些函数关系，如身高与年龄的关系、商品价格与数量的关系等。
人教版八年级下第19章一次函数19.1.1变量与函数教案
3.培养学生合作交流、自主探究的学习习惯，提高数学建模和数学运算的核心素养。
4.激发学生学习兴趣，培养勇于挑战、善于思考的学习态度，提升学生的数学素养和综合素质。
在教学过程中，重点关注学生在以下方面的表现：
1.能否运用所学知识，分析并解决实际问题，体现数学的应用价值。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调变量与常量的区别以及函数的三要素。对于难点部分，我会通过举例和图示来帮助大家理解一次函数的定义和图像特点。
（三）实践活动（用时10ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一次函数相关的实际问题，如公交车票价与乘车距离的关系。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如用尺子和直尺绘制一次函数的图像，观察斜率和截距的变化。
五、教学反思
在上完这节课之后，我对自己的一些教学设计和学生的反应进行了思考。我发现，通过生活中的实例引入变量和函数的概念，学生们能够更直观地理解这些抽象的数学概念。他们对于一次函数的应用表现出浓厚的兴趣，尤其是当我将函数与他们的日常生活联系起来时，比如购物打折、手机话费等问题。
我注意到，在教学过程中，有些学生对一次函数的图像绘制感到困惑。我意识到，这里可能需要更多的直观演示和实际操作，让学生亲手尝试，从而更好地理解图像的生成过程。在接下来的课程中，我打算增加一些互动环节，比如让学生分组在教室里用道具来模拟一次函数的图像，这样既能增强他们的动手能力，也能加深对一次函数图像特征的理解。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解变量与函数的基本概念。变量是随着某些条件变化而变化的量，而函数则是描述两个变量之间依赖关系的数学模型。它们在数学和生活中都有着广泛的应用。
(最新)数学八年级下册第19章第1节《变量与函数》省优质课一等奖教案
《变量与函数》教学设计教学内容：（一）“变量与函数”是人教版义务教育课程标准教科书八年级下册第十九章第一节，本设计是第2课时，引导学生从生活实例中抽象出函数、函数值等概念，函数的概念是本节核心内容．函数概念的核心是两个变量间的特殊对应关系：（1）由哪一个变量确定另一个变量；（2）唯一对应关系.如果直接研究某个量y有一定困难，我们可以去研究另一个与之有关的量x，从而达到研究的目的.这也是一种化繁为简的转化思想．本节课是函数入门课，初步感受到现实世界各种变量之间联系的复杂性，同时感受到研究主要从化繁就简入手，在初中阶段主要研究两个变量之间的特殊对应关系．教学重点是借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数概念.本设计把重点放在认识“两个变量间的特殊对应关系：由哪一个变量确定另一变量；唯一确定的含义．”而函数图象和表格较为直观形象，有助于学生理解函数的概念，因此把函数图象中的部分内容提前到本课时学习．同时渗透函数的三种表示方法，为下一节的学习打下基础。
教学目标：1.知识与技能：（1）引导学生在探索实际问题中的数量关系和变化规律中，自主建构函数的定义;(2)初步掌握函数的概念，会判断两个变量间的关系是否可看做函数；（3）初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力. 2.过程与方法：通过具体情境和丰富的实例，经历和探索出函数的意义，即一个量随另一个量的变化而变化.3.情感态度与价值观：通过对函数这一重要数学工具的认识和应用，深刻体会数形结合思想在数学学习中的应用，并进一步体会到数学知识来源于实际生产生活的需要，反之，它又很好地服务于生产、生活.学情分析：变量与函数的概念把学生由常量数学的学习引入变量数学学习中．学生知道代数式中的字母可以表示数，方程中的未知数求出来后也是一个“已知数”，从“静态”的角度理解字母所表示的数，另外，学生在日常生活中也接触到函数图象、两个变量的关系等朴素的函数关系的生活实例．但是学生初次接触函数的概念，难以理解定义中“唯一对应”的准确含义．所以教学难点是怎样理解“唯一对应”.借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出变量间的共同特征，从最简单的情形入手，化繁为简，逐步理解变量间的单值对应关系。
人教版数学八年级下册19.1.1《变量与函数》教学设计教师版
人教版数学八年级下册19.1.1《变量与函数》教学设计教师版一. 教材分析人教版数学八年级下册19.1.1《变量与函数》是学生在学习了初中阶段函数知识的基础上,进一步深入研究函数的概念、性质和应用。
本节内容主要包括函数的定义、函数的性质和函数的图像等方面的内容。
本节内容对于学生掌握函数知识,理解数学的内涵和外延,培养学生的数学思维能力都具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前,已经学习了初中阶段函数的基本知识,对于函数的概念、图像和性质有一定的了解。
但是,对于函数的定义和细节方面可能还存在一些疑惑,需要通过本节课的学习进一步深化理解。
同时,学生需要通过本节课的学习,掌握函数知识的应用,提高解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.理解函数的定义,掌握函数的性质,了解函数图像的基本特征;2.学会如何求解函数的值,能够运用函数知识解决实际问题;3.培养学生的数学思维能力,提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.函数的定义和性质;2.函数图像的特征;3.函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作探究法等教学方法,通过引导学生自主探究、合作交流,让学生在实际问题中感受函数的意义,理解函数的定义和性质,掌握函数图像的基本特征,提高解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT;2.教学素材(实际问题、函数图像等);3.教学用具(黑板、粉笔等);4.学生分组合作探究材料。
七. 教学过程导入(5分钟)1.引入新课:通过一个实际问题引入函数的概念,让学生感受函数的意义;2.引导学生思考:如何定义函数?如何表示函数?呈现(15分钟)1.讲解函数的定义:函数是一种数学关系,其中每个输入值都对应唯一的输出值;2.介绍函数的性质:函数的单调性、奇偶性、周期性等;3.呈现函数图像:直线、曲线等。
操练(15分钟)1.让学生自主探究:如何求解函数的值?如何根据函数的性质解决问题?2.案例教学:通过一些实际问题,让学生运用函数知识解决问题。
人教版八年级数学下册19.1.1变量与函数(第1课时)优秀教学设计
（２）在以上这个过程中，变化的量是_和。不变化的量是。
（３）若一场电影售票x张，票房收入y元．请用含x的式子表示y是：y=
三、自主交流 探究新知
（1）设圆柱的底面积的半径为R不变，圆柱的体积V与圆柱的高h满足V= .在这个式子中的常量和变量分别是什么？
验收小结
五、评价小结：书写变量关系式的一般方法步骤是：
１．确定事物变化中的．
２．尝试运算寻求变量间存在的规律．
３．利用学过的有关知识公式确定关系式．
教学心得
1.以身边的实际问题展开讨论，突出数学与现实的联系．
2.及时进行学法指导，注重方法规律的提炼总结.
3.鼓励学生独立思考，自主探索，自己寻找问题的答案，在交流中完善自己的结果．
四、自主应用 当堂检测
1.一辆自行车在2千米长的环形赛道上行驶了5圈，
（1）请根据码表记录的速度，填写每圈的行驶的时间．
第一圈
第二圈
第三圈
第四圈
第五圈t(时)ຫໍສະໝຸດ V（千米/时）510
15
20
25
（２）．在以上这个过程中，变化的量是______和。不变化的量是。
（3）对照自主学习第一题，你能得到什么结论
2.若球体体积为Ｖ，半径为Ｒ，则Ｖ＝ ．其中变量是_____、 ______，常量是______．
课题
19.1.1变量与函数（第1课时）
优化方案
目标
1．认识变量、常量
2．学会用含一个变量的代数式表示另一个变量
准备
多媒体课件，导学案
设境
定向
一、创境引入：出示图片，行星在宇宙中的位置随时间而变化，气温随海拔而变化，汽车行驶路程随时间而变化，等等大千世界都处在不停地变化之中，那么如何来研究这些运动变化，并找寻其中的规律呢？数学上通常采用函数来刻画这些运动变化。
人教版数学八年级下册19.1.1《变量与函数》教学设计
人教版数学八年级下册19.1.1《变量与函数》教学设计一. 教材分析《变量与函数》是初中数学的重要内容，人教版八年级下册19.1.1节主要介绍了变量的概念以及函数的定义。
通过本节课的学习，学生能够理解变量、常量的概念，了解函数的定义及表示方法，为后续学习函数的性质、图象等知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了代数基础知识，如代数式、方程等。
但他们对变量的概念及函数的定义还较为模糊，需要通过实例和练习来进一步理解和掌握。
此外，学生可能对函数的表示方法感到陌生，需要通过教师的引导和学生的实践来逐步熟悉。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解变量、常量的概念，掌握函数的定义及表示方法。
2.过程与方法：通过实例分析，让学生体会变量之间的依赖关系，学会用函数表示实际问题中的变量关系。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：变量、常量的概念，函数的定义及表示方法。
2.难点：函数概念的理解，函数表示方法的运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入变量、常量概念，让学生在具体情境中感受数学与生活的联系。
2.引导发现法：教师引导学生发现变量之间的依赖关系，自主探究函数的定义及表示方法。
3.实践操作法：让学生通过实际操作，加深对函数概念的理解，提高运用函数解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作涵盖实例、练习、拓展等环节的课件，以便于引导学生逐步深入学习。
2.教学素材：收集与生活相关的函数实例，如温度、身高、体重等，用于导入和巩固环节。
3.练习题库：准备不同难度的练习题，以便于针对性地进行操练和巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示生活中常见的变量关系，如气温随时间的变化、身高与年龄的关系等，引导学生关注变量之间的依赖关系。
在此基础上，提出问题：“你们认为什么是变量？什么是常量？”让学生发表自己的见解。
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《变量与函数》教学设计教学内容19.1.1变量与函数教学目标一、知识技能：1.通过简单实例，了解变量、常量的定义。
2.结合具体实例了解函数的概念．二、数学思考：1.经历常量与变量的学习过程，体会分类的思想.2.经历函数概念的形成过程，感悟变化与对应的思想.3.经过观察、比较、抽象、概括等数学活动过程，进一步发展思维能力.三、解决问题：1.能指出具体问题中的变量与常量.2.能结合具体实例判断两个变量之间是否存在函数关系．四、情感态度：1.在经历函数概念的形成过程中，体会数学的应用价值.2.在探索两个变量之间的对应关系过程中，感悟事物之间相互联系并不断运动、变化、发展的哲学思想．教学重点1．认识变量、常量．2．用式子表示变量间关系．教学难点用含有一个变量的式子表示另一个变量．教学方法引导、探索法教学准备ppt教学过程设计一、情景引入放映多媒体视频，欣赏美丽的多媒体图片，体会生活中处处有变化的量.1.行星在宇宙中的位置随时间而变化2.气温随海拔而变化3.汽车行驶里程随行驶时间而变化设计意图：通过欣赏美丽的多媒体图片，让学生真实地感受到生活中处处遇到不断变化的量，体会学习变量与函数的必要性，提高学习数学知识的兴趣.师：世间万物无时不在运动：大到宇宙、星球、飞船，小到微生物。
看得见变化的如奔驰的汽车，飞翔的小鸟；感觉不到变化的如行驶中汽车油箱中的汽油，成长的小树为了更深刻地认识千变万化的世界，在这一章里，我们将学习有关一种量随另一种量变化的知识，共同见证事物变化的规律.（引入课题）二、探究新知问题1.一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米．•行驶时间为t小时．请同学们根据题意填写下表：请说明你的道理：路程 =____________1．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．2．试用含t的式子s．s=_________________这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程．问题2. 每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张，三场电影票的票房收入各多少元？若设一场电影售出票 x 张，票房收入为 y 元，怎样用含 x 的式子表示 y ？1.早场票房收入 =日场票房收入 =晚场票房收入 =请说明道理：票房收入 =2. 在以上这个过程中，变化的量是___________不变化的量是_______________ 3．试用含x的式子表示y．y=_________________这个问题反映了票房收入_________随售票张数_________的变化过程．探究3.圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径R 分别为10 cm，20cm，30 cm 时，圆的面积S 分别为多少？怎样用半径r来表示面积S?圆面积S与圆的半径R之间的关系式是————————；其中变化的量是—————；不变化的量是————————。
人教版八年级数学下册第19章19.1.1常量与变量优秀教学案例
5.教学内容的总结与拓展：在教学的最后阶段，教师引导学生对所学内容进行总结和拓展，帮助学生形成知识体系，提高学生的知识运用能力。同时，教师还布置了具有针对性的作业，要求学生在课后进行巩固和练习，以确保学生能够牢固掌握所学知识。
3.鼓励学生提出问题，培养学生的质疑精神和探究能力。例如，学生在解决实际问题的过程中，可能会提出“为什么速度乘以时间等于路程？”等问题，教师要给予肯定和鼓励，引导学生进一步探究。
4.问题导向过程中，教师要注重引导学生自主思考，培养学生解决问题的能力。教师的角色是引导者、组织者，而非直接给出答案。
（三）小组合作
2.问题导向的教学策略：教师在教学过程中设计了一系列具有层次性、启发性的问题，引导学生主动探究、思考，使学生在解决问题的过程中，培养了自主学习、合作交流的能力。这种问题导向的教学策略，有助于培养学生的思维能力和问题解决能力。
3.小组合作的学习方式：在教学过程中，教师组织学生进行小组合作，让学生在讨论、交流中共同解决问题。这种方式不仅提高了学生的合作能力，还使学生在解决实际问题的过程中，加深了对常量和变量的理解。
2.结合生活实际，让学生理解和掌握常量和变量的应用。例如，通过讲解速度、路程、时间等问题，让学生明白常量和变量在实际问题中的作用。
3.设计具有针对性的练习题，巩固学生对常量和变量的理解。例如，给出一些实际问题，要求学生运用常量和变量进行解答，提高学生的应用能力。
4.教师要关注学生的学习情况，及时给予解答和指导。例如，在学生解决问题过程中，教师要关注学生的困惑和问题，并给予及时的解答和帮助。
人教版八年级数学下册19章19.1.1变量与函数(教案)
（二）新课讲授（用时10分钟）
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示函数的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
3.在小组讨论中，要注意问题的设置，引导学生正确地思考和解决问题。
4.课后要加强作业和练习的布置，帮助学生巩固所学知识。
在今后的教学中，我会根据这节课的反思，不断调整和优化教学方法，以提高学生的学习效果。
在总结回顾环节，我强调了对函数概念和三要素的掌握，希望学生们能够在日常生活中运用所学知识。然而，我也意识到，仅仅依靠课堂上的讲解和练习是远远不够的，还需要在课后布置一些相关的作业和练习，以巩固所学知识。
1.在理论讲解时，要尽量用简单明了的语言，结合实际案例，让学生更好地理解抽象的概念。
2.在实践活动前，要进行充分的讲解和演示，确保学生能够顺利地进行实验操作。
-举例：在函数y = 2x + 3中，2和3是常量，x和y是变量。
2.教学难点
-函数关系式的建立：学生需要学会从实际问题中பைடு நூலகம்象出函数关系，并用数学符号进行表达。
(最新)数学八年级下册第19章第1节《变量与函数》省优质课一等奖教案
《变量与函数》教学设计知识技能目标1.掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围，以及实际背景对自变量取值的限制；2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值.过程性目标1.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识；2.联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法．教学过程一、创设情境问题1 填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式．解如图能发现涂黑的格子成一条直线．函数关系式：y＝10－x．问题2 试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式．解 y与x的函数关系式：y＝180－2x．问题3 如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，AC 与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N 点重合．试写出重叠部分面积ycm2与MA长度x cm之间的函数关系式．解 y与x的函数关系式：．二、探究归纳思考 (1)在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围．(2)在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？分析问题1，观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围．问题2，因为三角形内角和是180°,所以等腰三角形的底角的度数x不可能大于或等于90°．问题3，开始时A点与M点重合，MA长度为0cm，随着△ABC不断向右运动过程中，MA长度逐渐增长，最后A点与N点重合时，MA长度达到10cm．解 (1)问题1，自变量x的取值范围是：1≤x≤9；问题2，自变量x的取值范围是：0＜x＜90；问题3，自变量x的取值范围是：0≤x≤10．(2)当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是7；当纵向的加数为6时，横向的加数是4．上面例子中的函数,都是利用解析法表示的,又例如：s＝60t， S＝πR2．在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，不必须使实际问题有意义．例如，函数解析式S＝πR2中自变量R的取值范围是全体实数，如果式子表示圆面积S 与圆半径R的关系，那么自变量R的取值范围就应该是R＞0．对于函数 y＝x(30－x)，当自变量x＝5时，对应的函数y的值是y＝5×(30－5)＝5×25＝125．125叫做这个函数当x＝5时的函数值．三、实践应用例1 求下列函数中自变量x的取值范围：(1) y＝3x－1；(2) y＝2x2＋7解 (1)x取值范围是任意实数；(2)x取值范围是任意实数；例2 分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：(1)某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y(元)关于用电度数x的函数关系式；(2)已知等腰三角形的面积为20cm2，设它的底边长为x(cm)，求底边上的高y(cm)关于x的函数关系式；(3)在一个半径为10 cm的圆形纸片中剪去一个半径为r(cm)的同心圆，得到一个圆环．设圆环的面积为S(cm2)，求S关于r的函数关系式．解 (1) y＝0.50x，x可取任意正数；(2) x可取任意正数；(3)S＝100π－πr2，r的取值范围是0＜r＜10．例3 在上面的问题(3)中，当MA＝1 cm时，重叠部分的面积是多少?解设重叠部分面积为y cm2，MA长为x cm， y与x之间的函数关系式为当x＝1时，所以当MA＝1 cm时，重叠部分的面积是 cm2．例4 求下列函数当x = 2时的函数值：(1)y = 2x-5 ； (2)y =－3x2 ；解 (1)当x = 2时，y = 2×2－5 =－1；(2)当x = 2时，y =－3×22 =－12；四、交流反思1.求函数自变量取值范围的两个依据：(1)要使函数的解析式有意义．①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0；③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0．(2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义．2.求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值．五、检测反馈1.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：(1)一个正方形的边长为3 cm，它的各边长减少x cm后，得到的新正方形周长为y cm．求y和x间的关系式；(2)寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n封这样的信所需邮资y（元）与n间的函数关系式；(3)矩形的周长为12 cm，求它的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)间的关系式，并求出当一边长为2 cm时这个矩形的面积．2.求下列函数中自变量x的取值范围：(1)y＝－2x－5x2； (2) y＝x(x＋3)；3.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t（秒）滑下的距离s（米）由下式给出：s ＝10t＋2t2．假如滑到坡底的时间为8秒，试问坡长为多少？4.当x＝2及x＝－3时，分别求出下列函数的函数值：(1) y＝(x+1)(x－2)；(2)y＝2x2－3x＋2； (3) ．教学反思本节课学习了常量与变量,函数的概念及函数自变量的取值范围的确定,关于变量与常量概念:要通过实例引导学生分析运动变化过程中出现的数量关系,它们都刻画了某些变化规律.这里出现了各种各样的量,值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量,有些是数值始终不变的量,总结得出并通过实例练习巩固.关于函数概念的教学,通过实例引导学生分析总结得出,并明确表示函数关系的方法通常有三种:①解析法.②列表法.③图象法.关于函数自变量的取值范围的教学,通过实例引导学生分析得出:求函数自变量取值范围的两个依据:(1)要使函数的解析式有意义.①函数的解析式是整式时,自变量可取全体实数;②函数的解析式分母中含有字母时,自变量的取值应使分母≠0;③函数的解析式是二次根式时,自变量的取值应使被开方数≥0.(2)对于反映实际问题的函数关系,应使实际问题有意义.。
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C.y x
D. y x
A
闯关题：
y=2x+15 X≥1且为整数
x ≠ －1
解:∵花盆图案形如三角形,每边花有n个,总共有3n个, 其中重复了算3个。
∴ s 与 n 的函数关系式为: s = 3n－3 (n>1的整数）
常量：数值始
{ { 常量与变量
常量与变量的概念
终不变的量
变量：数值发 生变化的量
弹簧长度 L(cm) 10.5 11 11.5 12
5
12.5
弹__簧__长_度__L_ 随着 重物质量m 的变化而变化， 当重物质量m取定一个值时，弹簧长度L就有唯一确定的值与 其对应。
问题3：
用10 m 长的绳子围成长方形,设长方形的面积为 s(m2),一边长为x,怎样用含X的式子表示长方形的面积s ？
2 如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变 量x的值为a时y的函数值。
像 1 . S=60t; 2. y=10x ; 3.
s r 2
4.y=5-x
一.函数关系是用数学式子给出的 (叫解析式法)
二. 前面像体检心电图函数关系是用图象给出的 （叫图象法）
三 .前面我国人口数统计表函数关系是用表格给出 的 （叫列表法）
列出变量之间的关系式
从现实问题出发，寻求事物变化中变量之间变化规律的一 般方法及步骤：
1.确定事物变化中的变量与常量.
2.尝试运算寻求变量间存在的规律.
3.利用学过的有关知识确定关系式.
12 3
4
s(米)
24 6
8
怎样用含t的式子表示 s？ S=2t
__路_程__S___ 随着 时间t 的变化而变化， 当 时间t 取定一个值时， 路程S 就有唯一确定 的值与其对应。
(名师整理)最新人教版数学8年级下册第19章第1节《变量与函数》市公开课一等奖课件
t/h 1 s/km 60
2
3
4
5
120 180 240 300
在这个变化过程中，通过表格可以发现：
（1） 行驶路程s 随
行的驶时变间化t 而变化;
（2）每当行驶时间t取定一个值时，行驶路程s
就
. 有唯一确定的对应值
学校要新建一个垃圾池.规划中的垃圾池平面图是周长为 10米的长方形，设长方形一边长为x米，则另一边长为（ 5-x）米，面积S（米2）与长方形的一边长x的关系式为 S=x（5-x）,完成下表：
一、复习引入
购买一些铅笔，单价为0.2元/支，
总价y元随铅笔支数x变化，指出其中的 常量与变量，并用含有x的式子表示y。
答：常量是 , 0.2 变量是 x和y.
式子表示为
y=0.2x
问题1 下面变化过程中含有几个变量，变量之间有什么联系？ ①汽车以60 km/h 的速度匀速行驶,行驶路程为s km,行驶时间为t h.
一边长x 米
43
2.5
面积S=x（5-x）（米2） 4
6 6.25
在这个变化过程中，通过填表可以发现：
（1）面随积SFra bibliotek的一变边化长x而变化;
（2）每当长方形一边长x取定一个值时，面积S就
.
有唯一确定的对应值
归纳：上述两个问题中的两个变量是相互联系，当其中一个变量取定一个值时， 另一个变量就有唯一确定的值与其对应。
解：时间T是自变量,水量V是T的函数
函数解析式为 V=10-0.05T
四、归纳小结
1、一般地，在一个变化过程中，如果有 两个变
量x和y，并且对于x的每一个确定的值 ，y都有
__唯__一__确_定__的__值__与其对应，那么我们就说x是
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《变量与函数》教学设计【教学目标】1.学懂常量与变量的含义,能分清实例中的常量与变量.2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.3.经历观察、分析、思考等数学活动过程,发展合情推理,以提高分析问题和解决问题的能力.4.引导学生探索实际问题中的数量关系,渗透事物是运动的,运动是有规律的辩证思想,培养学生对学习的兴趣和积极参与数学活动的热情.【教学重点】认识变量、常量,会用式子表示变量间的关系.【教学难点】用含有一个变量的式子表示另一个变量.【教学过程】新课导入当我们用数学的眼光来分析现实世界的各种现象时,会遇到各种各样的量,如物体运动中的速度、时间和距离;圆的半径、周长和圆周率;购买商品的数量、单价和总价;某城市一天中各时刻变化着的气温等.在某一个过程中,有些量固定不变,有些量不断改变.为了更好地认识和了解这些变化现象中所隐含的变化规律,从本节课开始我们将学习这一部分知识.1.变量与常量的概念问题1:汽车以60 km/h的速度匀速行驶,行驶时间为t h.填写表19-1,s的值随t的值的变化而变化吗?(出示教材表19-1)表19-1学生填表,并思考.1.根据题意填表:2.在以上这个过程中,变化的量是.不变化的量是.3.试用含t的式子表示s.教师引导学生交流: 从题意中可以知道汽车是匀速行驶,那么它1 h行驶60 km, 2 h行驶2×60 km,即120 km,3 h行驶3×60 km,即180 km,4 h行驶4×60 km,即240 km,5 h行驶5×60 km,即300 km……因此其中行驶里程s与时间t是变化的量,速度60 km/h是不变的量.行驶里程s km与时间t h之间有关系: s=60t. s随t的增大而增大.[设计意图]挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情境,让学生经历探索具体情境中的变量与常量.问题2:电影票的售价为10元/张,第一场售出150张票,第二场售出205张票,第三场售出310张票,三场电影的票房收入各是多少元?设一场电影售出x张票,票房收入为y元,y的值随x的值的变化而变化吗?学生分析问题,并同桌交流.1.电影票的售价为10元/张,第一场售出150张票,则第一场电影的票房收入为元;第二场售出205张票,则第二场电影的票房收入为元;第三场售出310张票,则第三场电影的票房收入为元.2.设一场电影售票x张,票房收入y元,则用含x的式子表示y为.教师解析:第一场电影的票房收入为150×10=1500(元).第二场电影的票房收入为205×10=2050(元).第三场电影的票房收入为310×10=3100(元).用含x的式子表示y为：y=10x, y随x的增大而增大.[设计意图]通过适当地把问题进行分解,引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律.问题3:你见过水中涟漪吗?如图所示,圆形水波慢慢的扩大.在这一过程中,当圆的半径r分别为10 cm,20 cm,30 cm时,圆的面积S分别为多少?S的值随r的值的变化而变化吗?学生活动填表,并讨论.(1)填表:(2) S与r之间满足下列关系:S=.教师解析:(1)(2) S=πr2.圆的半径越大,它的面积就越大.[设计意图]挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情境,让学生经历探索具体情境中两个变量关系的过程,直接获得探索变量关系的体验.问题4:用10 m长的绳子围成一个矩形,当矩形的一边长x分别为3 m,3.5 m,4 m,4.5 m时,它的邻边长y分别为多少?y的值随x的值的变化而变化吗?学生活动小组讨论后,教师进行解析:因为矩形两组对边相等,所以它的一边长与它的邻边长的和应是周长10 m的一半,即5 m.若矩形一边长为3 m,则它的邻边长为5-3=2(m).若矩形一边长为3.5 m,则它的邻边长为5-3.5=1.5(m).若矩形一边长为4 m,则它的邻边长为5-4=1(m).若矩形一边长为4.5 m,则它的邻边长为5-4.5=0.5(m).若矩形一边长为x m,则它的邻边长为y=5-x(m),y随x的增大而减小.[设计意图]在本环节中,设计了问题情境,目的是让学生在现实情境中感知变量和常量的存在和意义,体会变量之间的互相依存关系和变化规律.此外,希望通过这几个问题引出常量、变量的概念,使学生体验从具体到抽象的认识过程.这些问题反映了不同事物的变化过程,涉及多个量,你能将这些问题中出现的量按照某种标准进行分类吗?学生分组讨论,交流自己的看法.按照有无变化,我们发现其中有些量(例如时间t,路程s;售出票数x,票房收入y……)的值是变化的,有些量的值始终不变(例如速度60 km/h;电影票的单价10元……),因此可分为两类.师生共同总结出变量和常量的定义并板书.变量和常量的定义:在某个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量;数值始终不变的量叫做常量.[设计意图]通过上述的四个问题进行具体的讲评,借助实例来理解变量、常量的概念,在讲解概念后强调常量与变量的区别与联系,使学生进一步理解、领会有关常量和变量的概念2.训练拓展在学习与生活中,经常要研究一些数量关系,先看下面的问题.问题(1):下图是某地一天的气温变化图象,任意给出这天中的某一时刻t,你能说出这一时刻的气温T吗?这一问题中涉及哪几个量? 它们变化吗?学生结合图,说出每一时刻所对应的温度值,教师进行确认.问题(2):弹簧原长22 cm,弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)有如下关系:在这个问题中变化的量是什么?不变化的量是什么?学生讨论发现:弹簧的原长不变,为22 cm,弹簧伸长的长度随着物体质量的变化而变化.因此,弹簧的总长=原长+伸长的长度.教师引导学生概括:在上面的问题中,我们研究了一些数量关系,出现了各种各样的量,有些量,它们始终保持不变,我们称之为常量,而有些量,在某一变化过程中,可以取不同数值,我们称之为变量.[设计意图]在本环节中,设计了问题情境,并让学生举出生活中类似的例子,目的是让学生在现实情境中感知变量和常量的存在和意义,体会变量之间的互相依存关系和变化规律.此外,希望通过这几个问题引出常量、变量的概念,使学生体验从具体到抽象的认识过程.[知识拓展](1)常量与变量是相对而言的,是相对某个变化过程来说的,换句话说,在这个变化过程中是变量,而在另一个变化过程中有可能以常量身份出现.如s=vt中,若v=20,此式子为s=20t,可见s,t为变量,若t=10,此式子为s=10v,s,v为变量,变量与常量的身份可以相互转化.(2)判断一个量是常量还是变量关键是看这个量所在的变化过程中,该量的值是否发生变化.(3)常数也叫常量,如S=πr2,其中常量是π.3.检测提升1.若球体体积为V,半径为R,则V=πR3.其中变量是、,常量是.〔解析〕根据变量和常量的概念进行求解,解题时注意π是一个常量.答案:V R π2. 写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量:(1)圆的周长C与半径r的关系式;(2)火车以120千米/时的速度行驶,它驶过的路程s(千米)和所用时间t(小时)的关系式.〔解析〕先根据实际问题确定所给问题的关系式,再根据变量和常量的概念进行求解.解:(1)C=2πr,2π是常量,r,C是变量.(2)s=120t,120是常量,t,s是变量.[设计意图]通过上述几个问题进行具体的讲评,借助实例来理解变量、常量的概念.4.学校购买某种型号的钢笔作为学生的奖品,钢笔的价格是4元/支,则总金额y(元)与购买支数x(支)的关系式是,其中变量是,常量是.解析:∵钢笔的价格是4元/支,∴总金额y(元)与购买支数x(支)的关系式是y=4x,∴变量为x,y,常量为4.答案:y=4x x,y 45.在圆的周长公式C=2πR中,下列说法正确的是()A.π,R是变量,2 是常量B.R是变量,C,2,π是常量C.C是变量,2,π,R是常量D.C,R是变量,2,π是常量解析:∵C=2πR,∴变量为C,R,常量为2,π.故选D.6.分别指出下列各关系式中的变量与常量.(1)三角形的一边长为5 cm,它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式是S=h;(2)若直角三角形中的一个锐角的度数为α(度),则另一个锐角β(度)与α(度)间的关系式是β=90-α.解:(1)∵S=h,∴变量为S,h,常量为.(2)∵β=90-α,∴变量为β,α,常量为-1,90.小结反思本节课从现实问题出发,找出了寻求事物变化中变量之间变化规律的一般方法步骤.它对以后学习函数及建立函数关系式有很重要的意义.1.确定事物变化中的变量与常量.变量和常量的定义:在某个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量;数值始终不变的量叫做常量.2.尝试运算寻求变量间存在的规律.3.利用学过的有关知识公式确定关系式.[设计意图]通过小结、课堂训练和学生反思,进一步理顺学生的学习思路,加深对变量、常量有关概念的理解.作业：【必做题】教材第71页练习.【选做题】教学反思本节课学习了常量与变量,函数的概念及函数自变量的取值范围的确定,关于变量与常量概念:要通过实例引导学生分析运动变化过程中出现的数量关系,它们都刻画了某些变化规律.这里出现了各种各样的量,值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量,有些是数值始终不变的量,总结得出并通过实例练习巩固.关于函数概念的教学,通过实例引导学生分析总结得出,并明确表示函数关系的方法通常有三种:①解析法.②列表法.③图象法.关于函数自变量的取值范围的教学,通过实例引导学生分析得出:求函数自变量取值范围的两个依据:(1)要使函数的解析式有意义.①函数的解析式是整式时,自变量可取全体实数;②函数的解析式分母中含有字母时,自变量的取值应使分母≠0;③函数的解析式是二次根式时,自变量的取值应使被开方数≥0.(2)对于反映实际问题的函数关系,应使实际问题有意义.。