2018年高考数学总复习-定积分和微积分基本定理

第三节定积分和微积分基本定理考纲解读1.了解定积分的实际背景、基本思想及概念.2.了解微积分基本定理的含义.命题趋势探究定积分的考查以计算为主，其应用主要是求一个曲边梯形的面积，题型主要为选择题和填空题.知识点精讲 一、基本概念1.定积分的极念一般地，设函效()f x 在区间[a ，b]上连续.用分点0121i i a x x x x x -=<<<<<L n x b <<=L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b ax n-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：1()n n ii S f x ξ==∆=∑ 1()ni i b af nξ=-∑，当x D 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分．记为：()baS f x dx =⎰，()f x 为被积函数，x 为积分变量，[,]a b 为积分区间，b 为积分上限，a 为积分下限．需要注意以下几点： （1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时），称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法.①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b af n ξ=-∑；④取极限：()1()lim nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功(x)baS F dx =⎰2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形(如图3-13中的阴影部分所示)的面积，这就是定积分()baf x dx ⎰的几何意义．一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的值的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图像以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．二、基本性质性质11badx b a =-⎰.性质2 ()()(0)b ba akf x dx k f x dx k =⎰⎰其中是不为的常数（定积分的线性性质）. 性质3 1212[()()]()()b b baaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰（定积分的线性性质）.性质4 ()()()()b c ba a cf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）推广1 1212[()()()]()()()b b b bmmaaaaf x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰ 推广2 121()()()()kbc c ba ac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰．三、基本定理设函数()f x 是在区间[,]a b 上连续，且()F x 是()f x 是在[,]a b 上的任意一个原函数，即'()()F x f x =，则()()()b af x dx F b F a =-⎰，或记为()()b a b f x dx F x a==⎰ ()()F b F a -，称为牛顿—莱布尼兹公式，也称为微积分基本定理．该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，只要求出被积函数()f x 的一个原函数()F x ．然后计算原函数()F x 在区间[],a b 上的增量()()F b F a -即可，这一定理提示了定积分与不定积分之间的内在联系．题型归纳及思路提示题型51 定积分的计算思路提示对于定积分的计算问题，若该定积分具有明显的几何意义，如圆的面积等（例3.26及其变式），则利用圆面积计算，否则考虑用牛顿-莱布尼茨公式计算． 例3.25（2012江西11）计算()12-1sin xx dx +⎰= ．解析()123-111112sin =cos cos1cos113333xx dx x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=----= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰．A. B. C. D.变式1 ()421dx x =⎰A.-2ln 2B. 2ln 2C.-ln2D. ln 2变式2()1(2)xex dx +=⎰A.1 B 1e -. C.e D. +1e变式3 设函数()()20f x ax c a =+≠，若()()()101f x dx f x x=≤≤⎰，则0x 的值为 ．变式4 设函数()y f x =的定义域为R, 若对于给定的正数k ，定义函数()()(),(),k k f x kf x f x f x k≤⎧=⎨>⎩，则当函数()1,1f x k x ==时，定积分()214k f x dx ⎰的值为（ ）A.2ln 22+B. 2ln21-C.2ln2D. 2ln21+ 例3.26 根据定积分的几何意义计算下列定积分（1）()402x dx -⎰； （2）1-⎰分析根据定积分的几何意义，利用图形的面积求解.解析 根据定积分的几何意义，所求的定积分是直线所围成图形（如图3-14所示）的面积的代数和，很显然这是两个面积相等的等腰直角三角形，如图3-14所示，其面积代数和是0，故()420x dx -=⎰．（2）根据定积分的几何意义，所求的定积分是曲线()2210x y y +=≥和x 轴围成图形（如图3-15所示）的面积，显然是半个单位圆，其面积是2π，故1=2π-⎰．评注 定积分()bax dx ⎰的几何意义是函数和直线,x a x b ==以及x 轴所围成的图形面积的代数和，面积是正值,但积分值却有正值和负值之分，当函数时,()0f x >面积是正值，当函数()0f x <时，积分值是负值． 变式1 根据定积分的几何几何意义计算下列定积分．（1）()402x dx +⎰； （2）0-⎰； （3）100sin xdx π⎰； （4）344sin xdx ππ-⎰．题型52 求曲边梯形的面积思路提示函数()(),y f x y g x ==与直线(),x a x b a b ==<围成曲边梯形的面积为()()|f g |dx baS x x =-⎰，具体思路是：先作出所涉及的函数图象，确定出它们所围成图形的上、下曲线所对应函数，被积函数左、右边界分别是积分下、上限．例3.27 由曲线23,y x y x ==围成的封闭图形的面积为（ ）A.112 B.14 C.13 D.712解析 由23x x =得01,x x ==或则由2y x =和3y x =围成的封闭图形的面积为()1233401111110343412x x dx x x ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭⎰，故选A ． 变式1（2012湖北理3）已知二次函数()y f x =的图象如图3-16所求，则它与x 轴所围成图形的面积为（ ）A.25π B.43 C.32 D.2π变式2 由曲线y x =和直线()20,1,,0,1x x y t t ===∈所围成的图形（如图3-17中阴影部分所示）面积的最小值为（ ）A.23 B.13 C.12 D.14变式3 求抛物线24y x =与24y x =-围成的平面图形的面积．变式4 求由两条曲线2214,y 4y x x ==和直线4y =所围成的面积．最有效训练题16（限时45分钟）1.已知函数()223f x x x =--，则()11f x dx -=⎰（ ）A. -2B.163-C.-4D. 1632.定积分)10x dx =⎰（ ）A,24π- B.12π- C.14π- D. 12π- 3.设()[]2,0,12,(1,2]x x f x x x ⎧∈=⎨-∈⎩，则()20f x dx =⎰（ ）A.34B.45C.56D.不存在 4.222,,sin x a xdx b e dx c xdx ===⎰⎰⎰，则,,a b c 的大小关系是（ ）A,a c b << B.a b c << C.c b a << D. c a b << 5.曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面区域的面积为（ ）A,１ B. ２ 1 D. )216.由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y θ=所围成的平面图形的面积为（ ）A,12B.１ D.7.抛物线22y x =与直线4y x =-围成的平面图形的面积为 ．8.已知()f x 是偶函数，且()56f x dx =⎰，则()55f x dx -=⎰ ．9.()202|1x |dx --=⎰ ．10.已知函数()y f x =的图象是折线段ABC ，其中()()10,0,5,1,02A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，．函数()()01y xf x x =≤≤的图象与x 轴所围成的图形的面积为 ．11.根据定积分的几何意义计算下列定积分．（１）11|x|dx -⎰； （２）22411x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰； （３）11dx +⎰；（４）20cos 2x dx π⎰； （５）20cos 2cos sin x dx x x π-⎰ １２．有一条直线与抛物线2y x =相交于Ａ，Ｂ两点，线段ＡＢ与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段ＡＢ的中点Ｐ的轨迹方程．。