高二数学教案：9.3直线和平面平行与平面和平面平行(2)

【课 题】直线和平面平行与平面和平面平行(2) 【教学目标】
进一步理解、掌握直线和平面平行的判定与性质；以及它们的应用。

【教学重点】两个平面平行的性质. 【教学难点】性质定理的正确运用. 【教学过程】
一、
复习引入
1、直线与平面平行的判定定理：如果不在平面内的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

即：线线平行，则线面平行。

2、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

即：线面平行，则线线平行
二、 例题讲解
【例1】 （课本20页习题4）求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，这条直线和它们的交线平行.
已知：面α∩面β=l ，a ∥α，a ∥β,求证：a ∥l .
证明：设过a 的平面γ交α于b ，过a 的平面δ交β于c . 过a 的平面δ交β于c 。

//,,,//a a b a b αγα
γ⊂=∴，同理//a c ，所以//b c
从而//b β平面，
C'
C
所以//
b l，所以//
a l
【例2】正方体ABCD A B C D
''''
-中，E，G分别是BC、C D''的中点，求证：//
EG BB D D
''
平面
证明：取BD的中点F，连结EF、D F'，
因为E为BC的中点，
所以EF为ΔBCD的中位线，
则EF//DC，且
1
2
EF DC
=，
因为G为C D''的中点，
所以
1
//,
2
D G CD D G CD
''=
且
所以//,
EF D G EF D G
''
=
且
所以四边形EFD G'为平行四边形，
所以//
D F EG
'，
而,
D F BDD B EG BDD B
'''''
⊂⊂
平面平面
所以//
EG BB D D
''
平面
【例3】设a、b是异面直线，A∈a, B∈b, 过AB的中点O作平面α，使a∥α，b∥α，M、N分别是a、b上的点，MN与α相交于P点，求证：P是MN的中点.
证明：连AN交平面α于Q点，连OQ，PQ，
则OQ//BN，PQ//AM，
因为O为AB的中点，
所以由OQ//BN可知，Q为AN的中点，
又由PQ//AM 可知，P 为MN 的中点。

【例4】 已知ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH . 证明：连结AC ，设AC 交BD 于O ，连结MO . ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴O 是AC 的中点 又M 是PC 的中点 ∴MO ∥P A
又MO ⊂面BDM 、P A ⊄面BDM . ∴P A ∥面BDM .
又经过P A 与点G 的平面交面BDM 于GH . ∴AP ∥GH .
三、 课堂练习
1、如图，线段AB 、CD 所在直线是异面直线，E 、F 、G 、H 分别是线段AC 、CB 、BD 、DA 的中点；（1）求证：E 、F 、G 、H 共面并且所在平面平行于直线AB 、CD ；（2）设P 、Q 分别是AB 和CD 上的任意一点，求证：PQ 被平面EFGH 平分。

证明：（1）略
（2）设PQ EFGH N =平面，连结PC ， 设，PC
EF M PCQ EFGH MN =∆=所在平面平面；
//，，//CQ EFGH CQ PCQ CQ MN ⊂∴平面平面 ，，EF ABC M CP ∆∴为的中位线为的中点
则N 为PQ 的中点，即PQ 被平面EFGH 平分。

2、两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一个平面内，M 、N 分别在它们的对角线AC 、BF 上，且AM=FN ，求证：//MN CBE 平面
证明：分别过M 、N 作AB 的平行线交BC 于G ，交BE 于H ，连GH ，从而MG//NH 。

又因为AM=BN 所以CM=BN ， 所以
,MG CM BN NH
EF AB AB CA BF EF
==== A
B C
D
E
F G H
M
N
Q
P
所以//,MN GH GH CBE ⊂平面
//MN CBE 平面
四、
小结
五、 课外练习
1、（课本20页习题5）已知a 、b 是异面直线，求证：过b 且只有一个平面和a 平行。

证明；存在性
在直线b 上取一点A ，过A 作直线//a a ',则a '和b 是相交直线，它们确定一个平面。

//,,,//a a a a a ααα''⊂⊂∴。

因此过b
存在一个平面与
a 平行。

唯一性
如果平面β也是过b 且与a 平行的平面。

过去时工和A 作平面γ， 设a γ
β''=，则a ''过A 且平行于a ，
因为在同一平面γ内，a '与a ''都过A 且平行于a ， 所以a ''与a '重合。

即平面β也是由b 与a '所确定的平面。

所以β与α重合。

因此过b 有且只有一个平面和a 平行。

2、如图，平面MNPQ ∥AC ，BD ∥面MNPQ . （1）求证：MNPQ 是平行四边形；
（2）如果AC =BD =a ，求证：四边形MNPQ 的周长为定值； （3）如果AC =a ,BD =b ,AC 与BD 成θ角，求四边形MNPQ 面积的最大值，并确定此时M 的位置.
证明：（1）因为AC //面MNPQ ，
过AC 的平面ACB 交面MNPQ 于MN ，所以AC //MN ， 同理AC //PQ ，由平行公理得MN //PQ ， 同理可证MQ //NP ，
所以四边形MNPQ 是平行四边形.
a 1
a 2
a
αγ
A
（2）因为MN 平行于AC ，所以BA
BM
AC MN =
， 又AC =a ，所以MN =BA
BM
=a ， 因为MQ //BD 。

所以
BD MQ =AB AM 。

又BD =a ，所以MQ =AB
AM
a ， 所以四边形MNPQ 的周长=2（MN +MQ ）=2a （AB
AM
BA BM +
）=2a （定值） （3）设AB =l （l 为定值）AM =x （0＜x ＜l ）
由（2）知：NP =x l
b
b l x b AB AM == )(x l l
a
a l x l a BA BM MN -=-==
∵MN ∥AC ,NP ∥BD
∴∠MNP 是AC 、BD 所成的角，即∠MNP =θ. 设平行四边形MNPQ 的面积为S . 则S =MN ·NP ·sin MNP
θθθsin ]4)2([sin )(sin )(2222
2l l x l
ab x lx l ab x l l a x l b +--=-=-⋅= ∴当x =
2
l
，即M 为AB 的中点时，S 最大 最大值为4
ab
sin θ.。