上海历年高考文科数学试题及答案汇编九圆锥曲线

上海历年高考文科数学试题及答案汇编九圆锥曲线（2008-2016）试题1、6．（4分）（2008上海）若直线ax﹣y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点，则实数a= ．2、12．（4分）（2008上海）设p是椭圆上的点．若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|等于（）A．4 B．5 C．8 D．103、9．（4分）（2009上海）过点A（1，0）作倾斜角为的直线，与抛物线y2=2x交于M、N 两点，则|MN|= ．4、12．（4分）（2009上海）已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b= ．5、15．（4分）（2009上海）已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3=0平行，则k的值是（）A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或26、17．（4分）（2009上海）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=17、7．（4分）（2010上海）圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d= ．8、8．（4分）（2010上海）动点P到点F（2，0）的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则P的轨迹方程为．9、13．（4分）（2010上海）在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是．10、5．（4分）（2011上海）若直线l过点（3，4），且（1，2）是它的一个法向量，则直线l的方程为．11、12．（4分）（2013上海）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为．12、18．（5分）（2013上海）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则M n=（）．C．213、4．（4分）（2014上海）若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ．14、14．（4分）（2014上海）已知曲线C ：x=﹣，直线l ：x=6，若对于点A （m ，0），存在C 上的点P 和l 上的Q 使得+=，则m 的取值范围为 ．15、7. （4分）（2015上海）抛物线22y px =(0)p >上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =_____.16、12. （4分）（2015上海）已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为2214x y -=.若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为__________. 17、3．（4分）（2016上海）已知平行直线l 1：2x+y ﹣1=0，l 2：2x+y+1=0，则l 1，l 2的距离 ． 18、13．（4分）（2016上海）设a ＞0，b ＞0．若关于x ，y 的方程组无解，则a+b的取值范围是 ． 解答题1、20．（16分）（2008上海）已知双曲线．（1）求双曲线C 的渐近线方程； （2）已知点M 的坐标为（0，1）．设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记．求λ的取值范围；（3）已知点D ，E ，M 的坐标分别为（﹣2，﹣1），（2，﹣1），（0，1），P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为△DEM 截直线l 所得线段的长．试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数．2、22．（16分）（2009上海）已知双曲线C 的中心是原点，右焦点为，一条渐近线m ：x+y=0，设过点A （﹣3，0）的直线l 的方向向量e=（1，k ）， （1）求双曲线C 的方程；（2）若过原点的直线a ∥l ，且a 与l 的距离为，求k 的值； （3）证明：当k ＞时，在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l 的距离为．3、23．（18分）（2010上海）已知椭圆Γ的方程为，A （0，b ）、B（0，﹣b ）和Q （a ，0）为Γ的三个顶点． （1）若点M 满足，求点M 的坐标；（2）设直线l1：y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l2：y=k2x于点E．若，证明：E为CD的中点；（3）设点P在椭圆Γ内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆Γ的两个交点P1、P2满足？令a=10，b=5，点P的坐标是（﹣8，﹣1），若椭圆Γ上的点P1、P2满足，求点P1、P2的坐标．4、22．（16分）（2011上海）已知椭圆C：=1 （常数m＞1），P是曲线C上的动点，M是曲线C上的右顶点，定点A的坐标为（2，0）（1）若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；（2）若m=3，求|PA|的最大值与最小值；（3）若|PA|的最小值为|MA|，求实数m的取值范围．5、21．（14分）（2012上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？6、22．（16分）（2012上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2﹣y2=1．（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求点M的坐标；（2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（3）设斜率为k（）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ．7、23．（18分）（2013上海）如图，已知双曲线C 1：，曲线C 2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P 的直线与C 1，C 2都有公共点，则称P 为“C 1﹣C 2型点”（1）在正确证明C 1的左焦点是“C 1﹣C 2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx 与C 2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C 1﹣C 2型点”； （3）求证：圆x 2+y 2=内的点都不是“C 1﹣C 2型点”8、22．（16分）（2014上海）在平面直角坐标系xOy 中，对于直线l ：ax+by+c=0和点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），记η=（ax 1+by 1+c ）（ax 2+by 2+c ），若η＜0，则称点P 1，P 2被直线l 分隔，若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点P 1、P 2被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线．（1）求证：点A （1，2），B （﹣1，0）被直线x+y ﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx 是曲线x 2﹣4y 2=1的分隔线，求实数k 的取值范围；（3）动点M 到点Q （0，2）的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分隔线． 9、22.（本题满分16分）（2015上海）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D .记AOC △的面积为S .(1) 设()11,A x y ，()22,C x y .用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明122112S x y x y =-；(2) 设1l ：y kx =，C ，13S =，求k 的值；(3) 设1l 与2l 的斜率之积为m .求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变. 10、21．（14分）（2016上海）双曲线x 2﹣=1（b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A 、B 两点． （1）若l 的倾斜角为，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b=，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率．答案1、解：直线ax﹣y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点F（1，0），则a+1=0∴a=﹣1．故答案为：﹣12、解：由椭圆的第一定义知|PF1|+|PF2|=2a=10，故选D．3、解：∵θ=，∴k=1，∴直线方程为y=x﹣1，联立方程解得：M（），N（），所以MN=，故答案为．4、解：∵F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．∴|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，∴（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2，∴36=4（a2﹣c2）=4b2，∴b=3．故答案为3．5、解：由两直线平行得，当k﹣3=0时，两直线的方程分别为 y=﹣1 和 y=，显然两直线平行．当k﹣3≠0时，由=≠，可得 k=5．综上，k的值是 3或5，故选 C．6、解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选A．7、解：圆心（1，2）到直线3x+4y+4=0距离为．故答案为：38、解：由抛物线的定义知点P的轨迹是以F为焦点的抛物线，其开口方向向右，且=2，解得p=4，所以其方程为y2=8x．故答案为y2=8x9、解：因为、是渐近线方向向量，所以双曲线渐近线方程为，又，∴a=2，b=1双曲线方程为，=（2a+2b，a﹣b），∴，化简得4ab=1．故答案为4ab=1．10、解：直线的法向量是（1，2），直线的方向向量为：（﹣2，1），所以直线的斜率为：﹣，所以直线的方程为：y﹣4=﹣（x﹣3），所以直线方程为：x+2y﹣11=0．故答案为：x+2y﹣11=0．11、解：如图，设椭圆的标准方程为，由题意知，2a=4，a=2．∵∠CBA=，BC=，∴点C的坐标为C（﹣1，1），因点C在椭圆上，∴，∴b2=，∴c2=a2﹣b2=4﹣=，c=，则Γ的两个焦点之间的距离为．故答案为：．12、解：把椭圆得，椭圆的参数方程为：（θ为参数），∴x+y=2cosθ+sinθ，∴（x+y）max==．∴M n==2．故选D．13、解：由题意椭圆+=1，故它的右焦点坐标是（2，0），又y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，故得p=4，∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2．故答案为：x=﹣214、解：曲线C：x=﹣，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且x P∈[﹣2，0]，对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，∴m=∈[2，3]．故答案为：[2，3]．15、答案：2解： 抛物线上的动点到焦点的距离等于动点到准线的距离.∴当动点Q 到焦点的距离最小时，有距离12Q p d x =+=，当且仅当0Q x =时距离最小，此时12p=即2p =. 16、答案：22144x y -= 解： 双曲线1C 、2C 的顶点重合∴在双曲线2C 中2a =.又 2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的2倍.即得21222C b = 22C b ∴=.故2C 的方程为22144x y -=. 17、解：平行直线l 1：2x+y ﹣1=0，l 2：2x+y+1=0，则l 1，l 2的距离：=．故答案为：．18、解：∵关于x ，y 的方程组无解，∴直线ax+y ﹣1=0与直线x+by ﹣1=0平行， ∴﹣a=﹣，且．即a=且b ≠1．∵a ＞0，b ＞0．∴a+b=b+＞2． 故答案为：（2，+∞）．解答题1、解：（1）在双曲线，把1换成0，所求渐近线方程为（2）设P 的坐标为（x 0，y 0），则Q 的坐标为（﹣x 0，﹣y 0），=∵∴λ的取值范围是（﹣∞，﹣1]．（3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点， 则直线l 的斜率由计算可得，当；当∴s表示为直线l的斜率k的函数是2、（1）解：由题意知，c=，=，再由c2=a2+b2，a=，b=1，∴双曲线方程为：﹣y2=1．（2）解：直线l的方程y﹣0=k（x+3），即 kx﹣y+3k=0．∵过原点的直线a∥l，∴直线a方程为：kx﹣y=0，两平行线间的距离，∴k=±．（3）证明：设过原点且平行于l的直线b：kx﹣y=0，则直线l与b的距离d=，当k＞时，d＞．又双曲线C的渐近线为x±y=0，∴双曲线C的右支在直线b的右下方，∴双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于，故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为．3、解：（1）∵，∴M是B（0，﹣b）和Q（a，0）的中点，∴．（2）由方程组，消y得方程（a2k12+b2）x2+2a2k1px+a2（p2﹣b2）=0，因为直线l1：y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，所以△＞0，即a2k12+b2﹣p2＞0，设C（x1，y1）、D（x2，y2），CD中点坐标为（x0，y0），设C（x1，y1）、D（x2，y2），CD中点坐标为（x0，y0），则，由方程组，消y得方程（k2﹣k1）x=p，又因为，所以，故E为CD的中点；（3）因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，由知F为P1P2的中点，根据（2）可得直线l的斜率，从而得直线l的方程．，直线OF的斜率，直线l的斜率，解方程组，消y：x2﹣2x﹣48=0，解得P1（﹣6，﹣4）、P2（8，3），或P1（8，3）、P2（﹣6，﹣4），．4、解：（1）根据题意，若M与A重合，即椭圆的右顶点的坐标为（2，0）；则m=2；椭圆的焦点在x轴上；则c=；则椭圆焦点的坐标为（，0），（﹣，0）；（2）若m=3，则椭圆的方程为+y2=1；变形可得y2=1﹣，|PA|2=（x﹣2）2+y2=x2﹣4x+4+y2=﹣4x+5；又由﹣3≤x≤3，根据二次函数的性质，分析可得，x=﹣3时，|PA|2=﹣4x+5取得最大值，且最大值为25；x=时，|PA|2=﹣4x+5取得最小值，且最小值为；则|PA|的最大值为5，|PA|的最小值为；（3）设动点P（x，y），则|PA|2=（x﹣2）2+y2=x2﹣4x+4+y2=（x﹣）2﹣+5，且﹣m≤x≤m；当x=m时，|PA|取得最小值，且＞0，则≥m，且m＞1；解得1＜m≤1+．（1）t=0.5时，P的横坐标x P=7t=，代入抛物线方程中，得P的纵坐标y P=3． (2)5、解：分由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时．由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan弧度． (6)分（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）．由vt=，整理得．因为，当且仅当t=1时等号成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．6、解：（1）双曲线C1：的左焦点F（﹣），设M（x，y），则|MF|2=（x+）2+y2，由M点是右支上的一点，可知x≥，所以|MF|==2，得x=，所以M（）．（2）左焦点F（﹣），渐近线方程为：y=±x．过F与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=，所以，解得．所以所求平行四边形的面积为S=．（3）设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故，即b2=k2+1…①，由，得（2﹣k2）x2﹣2bkx﹣b2﹣1=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，又y1y2=（kx1+b）（kx2+b）．所以=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2==．由①式可知，故PO⊥OQ．7、（1）解：C1的左焦点为（），写出的直线方程可以是以下形式：或，其中．（2）证明：因为直线y=kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得．若原点是“C1﹣C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．显然直线x=0与C1无公共点．如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组，得，矛盾．所以直线y=kx（|k|＞1）与C1也无公共点．因此原点不是“C1﹣C2型点”．（3）证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，故可设l：y=kx+b．若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1．因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．因为|k|＞1，所以1﹣2k2≠0，因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0，即b2≥2k2﹣1．因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离，所以，从而，得k2＜1，与|k|＞1矛盾．因此，圆内的点不是“C1﹣C2型点”．8、解：（1）把点（1，2）、（﹣1，0）分别代入x+y﹣1可得η=（1+2﹣1）（﹣1﹣1）=﹣4＜0，∴点（1，2）、（﹣1，0）被直线 x+y﹣1=0分隔．（2）联立可得（1﹣4k2）x2=1，根据题意，此方程无解，故有1﹣4k2≤0，∴|k|≥．当|k|≥时，对于直线y=kx，曲线x2﹣4y2=1上的点（﹣1，0）和（1，0）满足η=﹣k2＜0，即点（﹣1，0）和（1，0）被y=kx分隔．故实数k的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．（3）设点M（x，y），则•|x|=1，故曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．对任意的y 0，（0，y 0）不是上述方程的解，即y 轴与曲线E 没有公共点． 又曲线E 上的点（1，2）、（﹣1，2）对于y 轴（x=0）满足η=1×（﹣1）=﹣1＜0，即点（﹣1，2）和（1，2）被y 轴分隔，所以y 轴为曲线E 的分隔线． 9、(1)直线1l ：110y x x y -=，点C 到1l的距离d =因为OA =所以12211122S OA d x y x y ==- . (2)由22,21,y kx x y =⎧⎨+=⎩得21211+2x k =.由(1),122112S x y x y =-113x kx =-=13=，解得15k =-或1-.(3)设1l ：y kx =，则2l ：my x k =.设()11,A x y ，()22,C x y .由22,21,y kx x y =⎧⎨+=⎩得212112x k=+，同理2222221212()k x m k m k==++.由(1),122112S x y x y =- 122112x mx x kx k =- 21212k m x x k -==，整理24222222(81)(4162)(81)0S k S S m m k S m -++++-=.由题意知，S 与k 无关，则2222810,41620,S S S m m ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩得21,81.2S m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以，12m =-. 10、解：（1）若l 的倾斜角为，△F 1AB 是等边三角形，把x=c=代入双曲线的方程可得点A 的纵坐标为b 2，由tan ∠AF 1F 2=tan ==，求得b 2=2，b=，故双曲线的渐近线方程为y=±bx=±x ，即双曲线的渐近线方程为y=±x ． （2）设b=，则双曲线为 x 2﹣=1，F 2（2，0），若l 的斜率存在，设l 的斜率为k ，则l 的方程为y ﹣0=k （x ﹣2），即y=kx ﹣2k ，联立，可得（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，由直线与双曲线有两个交点，则3﹣k2≠0，即k．△=36（1+k2）＞0．x1+x2=，x1•x2=．∵|AB|=•|x1﹣x2|=•=•=4，化简可得，5k4+42k2﹣27=0，解得k2=，求得k=．∴l的斜率为．。